BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam sebuah bank terdapat suatu ruang rahasia yang harus dibuka setiap

hari. Bank tersebut mempekerjakan tiga orang teller senior, tetapi mereka tidak

dipercaya untuk membuka ruangan rahasia tersebut secara individual. Dengan

demikian perlu dibuat suatu sistem agar dua atau tiga orang teller senior dapat

membuka ruangan tersebut secara bersama-sama, tetapi tidak dapat melakukannya

sendirian. Masalah ini dapat diselesaikan dengan skema berbagi rahasia (secret

sharing scheme) [Stinson, 1995].

Skema berbagi rahasia juga berguna dalam beberapa tindakan yang

memerlukan persetujuan dari beberapa pihak tertentu untuk dapat dilaksanakan.

Misalkan peluncuran rudal atau peluru kendali, penggunaan senjata nuklir,

pembukaan brankas bank atau pembukaan kotak deposito [Blundo, 1995].

Skema berbagi rahasia adalah metode pembagian suatu kunci rahasia k

kepada para partisipan dalam himpunan P. Jika partisipan dalam himpunan bagian

A ⊆ P memenuhi syarat untuk mengetahui rahasia tersebut, maka mereka dapat

membacanya dengan mengumpulkan informasi rahasia yang diterima. Tetapi jika

A ⊆ P tidak memenuhi syarat untuk mengetahui rahasia tersebut, mereka tidak

akan dapat membukanya. Sebagai tambahan, jika himpunan bagian yang tidak

memenuhi syarat tidak mempunyai informasi ekstra, yaitu gabungan pembagian

rahasia mereka independen, maka skema tersebut disebut sempurna (perfect).

Sedangkan deskripsi dari himpunan bagian yang memenuhi syarat di antara semua

himpunan bagian partisipan yang mungkin disebut struktur pembuka (access

structure) [Csirmaz, 2005]. Struktur pembuka dikatakan monoton jika sembarang

himpunan yang memuat himpunan bagian yang dapat membuka rahasia, maka

himpunan tersebut juga dapat membuka rahasia [Blundo, 1995].

Salah satu hal penting dalam penerapan skema berbagi rahasia adalah

ukuran pembagian (the size of the shares), karena keamanan sistem menurun

2

sebanding dengan bertambah besarnya informasi rahasia yang harus dijaga.

Dalam semua skema berbagi rahasia, ukuran pembagian tidak bisa kurang dari

ukuran rahasianya (the secret size), sehingga terdapat struktur pembuka yang

harus memberi beberapa partisipan ukuran pembagian yang tepat sama dengan

ukuran rahasianya [Blundo, 1995].

Perbedaan ukuran dimungkinkan untuk jumlah informasi yang harus

diberikan kepada setiap partisipan. Untuk mempelajari ukuran pembagian terbesar

(maximum size of shares) dapat digunakan laju informasi (information rate), yaitu

perbandingan antara banyaknya rahasia dan maksimal shares yang dibagikan

kepada setiap partisipan. Jika akan dipelajari besarnya semua ukuran pembagian,

maka digunakan rata-rata laju informasi (average information rate), yaitu

perbandingan antara ukuran rahasia dengan rata-rata jumlah dari setiap ukuran

shares yang dibagikan kepada setiap partisipan [Blundo, 1995].

Graf d-cube dan d-lattice merupakan suatu graf yang verteks-verteksnya

merupakan barisan 0 dan 1 dengan panjang d. Dalam hal ini, verteks-verteks

dalam graf tersebut dianggap sebagai partisipan dan edge-nya merupakan rahasia

yang dibagikan kepada setiap partisipan yang memenuhi syarat.

Skripsi ini akan mempelajari laju informasi skema berbagi rahasia pada

d-cube dan d-lattice, kemudian akan ditunjukkan bahwa rata-rata laju informasi

pada d-cube adalah 2d dan rata-rata laju informasi pada d-lattice adalah d untuk

d ≥ 2.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka permasalahan yang akan

dibahas adalah

1. bagaimana membuktikan bahwa rata-rata laju informasi untuk semua

d-cube adalah 2d untuk d ≥ 2?

2. bagaimana membuktikan bahwa rata-rata laju informasi untuk semua

d-lattice adalah d untuk d ≥ 2?

3

1.3 Batasan Masalah

Skripsi ini membatasi masalah pada graf berbentuk d-cube (Cd) dengan

d ≥ 2 dan d-lattice (Ld) dengan panjang edge k.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah

1. membuktikan bahwa rata-rata laju informasi untuk semua d-cube dengan

d ≥ 2 adalah 2d

2. membuktikan bahwa rata-rata laju imformasi untuk semua d-lattice dengan

d ≥ 2 adalah d.

1.5 Manfaat Penulisan

Manfaat teoritis yang dapat diperoleh dari penulisan ini adalah pengkajian

ulang bidang kriptologi, terutama pada Skema Berbagi Rahasia, sehingga

pembaca dapat lebih mudah untuk memahami laju informasi Skema Berbagi

Rahasia. Sedangkan manfaat praktis dari hasil kajian ini diharapkan dapat

dinyatakan sebagai salah satu pertimbangan dalam pembuatan skema berbagi

rahasia.

4

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Dasar Graf

Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan berurutan (V(G),E(G))

dengan V(G) merupakan himpunan verteks dan E(G) merupakan himpunan egde.

Jika u dan v adalah sembarang dua verteks dari graf G yang dihubungkan oleh

edge e, dinotasikan e = uv, maka u dan v disebut dua verteks yang adjacent.

Selanjutnya verteks u dan v dikatakan incident dengan edge e dan u, v disebut

verteks ujung (ends) dari e. Derajat (degree) dari verteks v∈ V(G), dinotasikan

dG(v), adalah banyaknya edge yang incident dengan v. Graf G yang setiap

verteksnya mempunyai derajat yang sama disebut graf reguler. Jika setiap

verteksnya berderajat r, maka graf tersebut dikatakan sebagai graf reguler

berderajat r [Bondy,1976]. Suatu graf dikatakan graf berhingga jika graf tersebut

memuat verteks dan edge yang jumlahnya behingga. Jika graf tersebut memuat

verteks dan edge yang jumlahnya tak berhingga, maka graf tersebut dikatakan

sebagai graf tak berhingga.

Suatu graf H disebut subgraf dari G, ditulis GH ⊆ , jika )()( GVHV ⊆

dan )()( GEHE ⊆ . Jika )()( GVHV = , maka disebut subgraf terentang. Misalkan

GG ⊆1 , )()( 1 GVGV ⊆ , dan φ=)( 1GV , G1 disebut subgraf terinduksi dari G

jika G1 mempunyai himpunan edge { })(),(,;)( 11 GEuvGVvuuvGE ∈∈=

[Bondy, 1976].

Walk dalam graf G adalah barisan berhingga dari verteks dan edge yang

disusun bergantian. Misal terdapat walk ,,,,,,, 2110 kk veevevW Λ= ,

kik ≤≤≥ 1,0 , verteks ujung dari ei adalah vi-1 dan vi, maka W disebut walk dari

0v ke vk. Verteks 0v disebut verteks awal (origin)dan vk disebut verteks akhir

(terminus), sedangkan verteks lainnya disebut verteks dalam (internal). Bilangan

bulat positif k menyatakan panjang (length) walk W. Walk disebut tertutup jika

kvv =0 . Jika edge keee ,,, 21 Λ dalam walk W berbeda, W disebut trail.

5

Kemudian jika verteks kvvv ,,, 10 Λ dalam walk W berbeda, maka W disebut path.

Trail tertutup dengan verteks dalam dan verteks awalnya berbeda disebut cycle

[Bondy, 1976].

Suatu graf G = (V(G),E(G)) disebut terhubung (connected) jika untuk

sembarang verteks u dan v terdapat lintasan dari u ke v. Graf lengkap (complete

graph) Kn adalah graf dengan n verteks, dengan setiap dua verteks terhubung oleh

sebuah edge [Bondy, 1976].

Graf bipartit (bipartite graph) adalah graf G dengan himpunan titik V(G)

yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian

sehingga setiap sisi graf G menghubungkan sebuah titik di V1 ke sebuah titik di V2

dan dinyatakan sebagai G(V1,V2). Dengan kata lain, setiap titik di V1 tidak harus

adjacent dengan semua titik di V2. Apabila setiap titik di V1 adjacent dengan

semua titik di V2, maka G(V1,V2) disebut sebagai graf bipartit lengkap (complete

bipartite graph) [Chartrand and Oellermann,1993].

Graf multipartit (multipartite graph) adalah salah satu bentuk graf yang

himpunan verteksnya dapat dipartisi menjadi beberapa himpunan bagian

sedemikian hingga tidak ada edge yang mempunyai verteks ujung di sembarang

himpunan verteks yang sama [Bondy, 1976].

Graf d-cube (Cd ) adalah graf yang verteks-verteksnya merupakan barisan

0 dan 1 dengan panjang d. Dua verteks dihubungkan oleh sebuah edge jika

barisannya hanya berbeda tepat pada satu tempat. Titik-titik dengan semua

koordinat dalam himpunan {0,1} adalah verteks-verteks dan dua verteks

terhubung bila jaraknya adalah 1 [Csirmaz, 2005].

Graf d-cube mempunyai 2d verteks, d.2d-1 edge, dan setiap verteks

mempunyai derajat d. Subruang dimensi 2 adalah persegi, yaitu cycle dengan

panjang empat, dan disebut 2-wajah. Setiap verteks v adjacent dengan

2

d

2-wajah, karena setiap pasang edge yang dimulai dari v membentuk 2-wajah.

Akibatnya jumlah 2-wajah adalah 2d-2..Banyaknya 2-wajah yang adjacent ke

suatu edge adalah (d-1). Hal ini berarti bahwa 2-wajah, sebagai subgraf,

menyusun sebuah (d-1) selimut Cd [Csirmaz, 2005].

6

Berikut ini adalah beberapa contoh d-cube dengan d=1, 2, dan 3:

• • 1- cube

• • 2- cube • •

• • • • 3- cube

• • • •

Gambar 1. Beberapa contoh d-cube

Graf d-lattice (Ld) adalah graf tak berhingga yang verteks-verteksnya

merupakan titik-titik integer dari daerah Euclid dimensi d, yaitu titik-titik yang

hanya mempunyai koordinat integer. Dua verteks terhubung jika jarak di antara

keduanya tepat satu, yaitu jika keduanya berbeda hanya pada satu koordinat, dan

perbedaan di antara koordinat tersebut tepat satu. Setiap verteks dalam Ld

mempunyai derajat 2d. Jika terdapat 2 edge v1v2 dan w1w2 dari Ld, terdapat suatu

automorfisma dari Ld yang memetakan v1 ke w1 dan v2 ke w2 [Csirmaz, 2005].

Suatu matching dalam suatu graf G adalah sebuah 1-subgraf reguler dari

G, yaitu sebuah subgraf yang dibentuk oleh koleksi pasangan berurutan edge-edge

yang non-adjacent. Setiap matching dari suatu graf dengan order p pasti

mempunyai paling banyak 2p edge. Jika G adalah suatu graf dengan order p yang

mempunyai sebuah matching dengan kardinalitas 2p , maka matching tersebut

dinamakan matching sempurna (perfect matching). Jika suatu graf G dengan order

p mempunyai sebuah perfect matching, maka p pasti genap. Tetapi tidak semua

1 0

00 01

10 11

000 001

010 011

100 101

111 110

7

graf dengan order genap mempunyai sebuah perfect matching [Jungnickel dan

Vanstone, 1993].

2.2 Lapangan

Definisi 2.2.1. (Anton dan Rorres, 2004) Himpunan F disebut lapangan (field)

jika anggotanya tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (•),

sedemikian hingga sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh sembarang Fcba ∈,, .

1. )()( cbacba ++=++

2. abba +=+

3. terdapat F∈0 sedemikian hingga berlaku aaa =+=+ 00 .

4. terdapat Fa ∈− sedemikian hingga berlaku 0))()( =+−=−+ aaaa

5. )()( cbacba ••=••

6. terdapat F∈1 sedemikian hingga berlaku aaa =•=• 11

7. untuk setiap 0≠a terdapat Fa ∈−1 sedemikian hingga berlaku

111 =•=• −− aaaa

8. cabacba •+•=+• )(

Lapangan yang jumlahnya tak hingga disebut lapangan tak hingga (infinite

fields), sedangkan lapangan yang jumlah anggotanya berhingga disebut lapangan

hingga (finite fields). Contoh lapangan tak hingga adalah himpunan bilangan

rasional (Q), himpunan bilangan real (R), dan bilangan kompleks (C). Sedangkan

contoh lapangan hingga adalah Zn, yaitu himpunan bilangan bulat dengan operasi

penjumlahan dan perkalian dalam modulo n.

2.3 Ruang Vektor

Definisi 2.3.1. (Anton dan Rorres, 2004) Misalkan V adalah suatu himpunan tak

kosong dari obyek-obyek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian

dengan skalar (bilangan). Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan

sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap pasang u dan v pd V dengan

suatu obyek u+v, yang disebut jumlah (sum) dari u dan v. Operasi perkalian

8

skalar (scalar multiplication) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang

mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap obyek u pada V dengan suatu obyek

ku, yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k. Jika aksioma-

aksioma berikut dipenuhi oleh semua obyek u, v, w pada V dan semua skalar k

dan l, maka V disebut ruang vektor (vector space) dan onyek-obyek pada V

disebut sebagai vektor.

1. jika u dan v adalah obyek-obyek pada V, maka u+v berada pada V

2. u+v = v+u

3. u+(v+w) = (u+v)+w

4. di dalam V terdapat suatu obyek 0, yang disebut vektor nol (zero vector)

untuk V, sdemikian rupa sehingga 0+u = u+0 = u, untuk semua u pada V.

5. untuk setiap u pada V, terdapat suatu obyek –u pada V, yang disebut

sebagai negatif dari u, sedemikian rupa sehinga u+(-u) = (-u)+u =0

6. jika k adalah skalar sembarang dan u adalah obyek sembarang pada V,

maka ku terdapat pada V

7. k (u+v) = ku+kv

8. (k+l) u = ku+lu

9. k(lu) = (kl)u

10. 1u = u

2.4 Ruang Vektor Euclid Dimensi n

Definisi 2.4.1. (Anton dan Rorres, 2004) Jika n adalah suatu integer positif, maka

tupel n berurutan (ordered n-tupel) adalah suatu urutan dari n bilangan real

),,,( 21 naaa Κ . Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n

(n-space) dan dinyatakan sebagai Rn.

Definisi 2.4.2. (Anton dan Rorres, 2004) Jika u = ),,,( 21 nuuu Κ dan

v = ),,,( 21 nvvv Κ adalah vektor-vektor sembarang pada Rn, maka hasil kali

dalam Euclidean (Euclidean inner product) u• v didefinisikan sebagai

u• v = nnvuvuvu +++ Κ2211 .

9

Sifat-sifat hasil kali dalam Euclidean:

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka

1. u • v = v • u

2. (u+v) • w = u • w + v • w

3. (ku) • v = k(u • v)

4. v • v≥ 0. Lebih lanjut v • v = 0 jika dan hanya jika v = 0.

2.5 Skema Berbagi Rahasia

Suatu skema berbagi rahasia merupakan suatu metode pembagian kunci

rahasia k kepada para partisipan dalam himpunan berhingga P sedemikian hingga

hanya himpunan bagian pertisipan tertentu saja yang dapat mengetahui kunci k.

Nilai k dipilih oleh dealer, dinotasikan dengan ∂, ∂∈P. Misal Γ ⊆ 2P, Γ disebut

struktur pembuka (an access structure) dan setiap A∈Γ disebut bagian resmi (an

authorized subset) jika A merupakan himpunan bagian dari P yang diharapkan

dapat menghitung nilai kunci k [Stinson, 1994].

Definisi 2.5.1. (Stinson, 1995) Suatu skema berbagi rahasia sempurna (perfect

secret sharing scheme) yang menyatakan struktur pembuka Γ adalah suatu

metode pembagian kunci k di antara suatu himpunan partisipan P jika memenuhi

kedua sifat berikut.

1. Jika himpunan bagian resmi dari partisipan PB ⊆ mengumpulkan shares

mereka, maka mereka dapat menentukan nilai k.

2. Jika himpunan bagian tidak resmi dari partisipan CB ⊆ mengumpulkan

shares mereka, maka mereka tidak dapat menentukan apapun tentang nilai

k.

Misalkan PCB ⊆⊆ , Γ∈B , maka dengan mengabaikan partisipan dalam C\B,

himpunan C dapat mengetahui nilai k. Hal ini berlaku karena B merupakan

himpunan bagian resmi, sehingga dapat dikatakan bahwa Γ harus memenuhi sifat

monoton naik [Stinson, 1994], yaitu

Γ∈⇒⊆⊆Γ∈ CPCBB , .

10

2.6 Laju Informasi Skema Berbagi Rahasia

Definisi 2.6.1. (Stinson, 1995) Jika terdapat suatu skema berbagi rahasia

sempurna yang menyatakan sebuah struktur pembuka Γ, maka laju informasi

untuk suatu partisipan PPi ∈ , wi ≤≤1 didefinisikan

ρi = )(log

log2

2

PiS

K,

dengan S(Pi) menyatakan himpunan shares yang mungkin sehingga Pi dapat

menerima, yaitu { }FfPfPS ii ∈= );()( , SPiS ⊆)( . Laju informasi dari skema

dinotasikan dengan ρ dan didefinisikan sebagai

{ }wii ≤≤= 1:min ρρ ,

dengan w bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah partisipan. Rata-rata

laju informasi, dinotasikan ρ adalah

)(∑

∈

==

Ppi

i

PS

KPF

)(log

log2

2

ρρ .

Diberikan S adalah skema berbagi rahasia sempurna yang berdasarkan graf G

dengan variabel random ξ sebagai rahasia dan ξv untuk Vv ∈ sebagai shares.

Untuk setiap himpunan bagian A dari verteks-verteks, didefinisikan

)(

}):({)(

ξ

ξ

H

AvHAf v

def ∈= .

Jelas bahwa laju informasi rata-rata dari S adalah rata-rata dari }:)({ Vvvf ∈ , dan

laju informasi kasus terburuk adalah nilai maksimal dalam himpunan tersebut.

Dengan menggunakan sifat fungsi entropi diperoleh

a) ,0)( =φf dan pada umumnya 0)( >Af (kepositifan);

b) Jika ,VBA ⊆⊆ maka )()( BfAf ≤ (kemonotonan);

c) )()()()( BAfBAfBfAf ∪+∩≥+ (submodularitas).

Sudah diketahui bahwa untuk dua variabel random η dan ξ, nilai η menentukan

nilai ξ jika dan hanya jika H(ηξ) = H(η), dan η dan ξ independen (secara statistik)

11

jika dan hanya jika H(ηξ) = H(η) + H(ξ). Dengan menggunakan fakta-fakta ini

dan definisi dari skema berbagi rahasia sempurna, diperoleh juga

d) Jika BA ⊆ , A adalah himpunan independen dan B bukan, maka

)(1)( BfAf ≤+ (kemonotonan kuat);

e) Jika baik A maupun B tidak independen, tetapi BA ∩ independen, maka

)()(1)()( BAfBAfBfAf ∪+∩+≥+ (submodularitas kuat).

Sifat submodular (c) dan submodular kuat (e) sering digunakan dalam bentuk

yang disusun ulang berikut dengan A, X, dan Y himpunan yang disjoin dari

himpunan verteks V:

c') )()()()( AYfAXYfAfAXf −≥− ;

lebih dari itu, jika A independen, AX dan AY tidak kosong, maka

e') 1)()()()( +−≥− AYfAXYfAfAXf .

Dalam partisinya, jika X dan Y keduanya mengandung sebuah edge, maka

1)()()( +−≥ YfXYfXf .

Definisi 2.6.2. (Stinson, 1995) Laju informasi suatu graf tak berhingga

merupakan supremum dari laju informasi semua subgraf terentang dari G.

Laju informasi suatu graf berhingga G yang paling kecil adalah sebesar laju

informasi dari subgraf terentang-nya.

Definisi 2.6.3. (Stinson, 1995) Laju informasi dari suatu graf komplit multipartit

adalah 1.

Definisi 2.6.4. (Stinson, 1995) Jika semua verteks dari graf mempunyai derajat

,d≤ maka laju informasi terbesar pada kasus terburuk adalah 2)1( +d .

2.7 Kerangka Pemikiran

Ukuran efisiensi dari suatu skema berbagi rahasia diukur berdasarkan besarnya

laju informasi dan rata-ratanya. Pada kasus ini rahasia yang dibagikan tidak

12

tunggal, sehingga masing-masing partisipan dapat mengetahui lebih dari satu

rahasia. Besarnya laju informasi dapat diketahui dari teorema yang ada dan dapat

dibuktikan dengan membuat perfect matching antara verteks-verteksnya,

kemudian dibuktikan secara aljabar.

13

BAB III

METODE PENULISAN

Metode dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur dengan mengkaji

ulang definisi dan teorema yang terdapat dalam referensi, untuk membahas

permasalahan yang dirumuskan.

Langkah-langkah yang digunakan untuk membahas permasalahan seperti

disebutkan pada perumusan masalah adalah

1. menentukan lapangan terbatas F yang cukup luas dan ruang vektor X yang

berdimensi (d-1) atas F

2. menentukan S sembarang skema berbegi rahasia pada Cd

3. membagi himpunan verteks dari d-cube menjadi dua bagian yang sama

dalam model seperti papan catur

4. membuat perfect matching antara kedua himpunan verteks.

14

Berikut adalah diagram alur dari langkah-langkah yang digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan.

d-cube d-lattice

Gambar 2. Diagram alur dari metode penulisan

Menentukan lapangan F dan ruang vektor X

berdimensi (d-1)

Menentukan S sebarang skema berbagi rahasia

pada Cd

d-cube or

d-lattice

Membagi d-lattice menjadi dua (d-1)-cube

Membagi himpunan verteks dari d-cube menjadi dua bagian yang sama dalam

model papan catur

Membuat perfect matching antara kedua himpunan verteks

mulai

selesai

15

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Laju Informasi pada d-Cube

Laju informasi (information rate) adalah perbandingan antara banyaknya

rahasia dan maksimal shares yang dibagikan kepada setiap partisipan. 1-cube

adalah graf dengan dua verteks dan sebuah edge yang menghubungkan kedua

verteks tersebut. Pada graf ini laju informasi pada kasus terburuk sama dengan 1,

bukan 21 . 2-cube berbentuk persegi, yaitu cycle dengan empat verteks, yang

merupakan graf bipartit lengkap, sehingga rata-rata laju informasi pada kasus

terburuk C2 adalah 1.

Teorema 4.1.1. (Csirmaz, 2005) Laju informasi untuk d-cube dengan d ≥ 2

adalah 2d .

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa rasio terbesar adalah 2d . Pada akhirnya akan

dikonstruksikan skema berbagi rahasia sempurna yang menunjukkan nilai ini.

Ditentukan F adalah lapangan terbatas yang cukup luas dan X adalah

ruang vektor berdimensi (d-1) atas F. Untuk setiap 2-wajah dari cube, pilih sebuah

vektor Xxi ∈ sedemikian hingga semua (d-1) dari vektor-vektor ini membangun

seluruh ruang vektor X. Vektor xi adalah informasi publik dan rahasianya adalah

elemen random Xs ∈ . Untuk setiap vektor xi, ambil hasil kali dalam ii xsa .= .

Jika diberikan sembarang (d-1) dari hasil kali dalam, salah satunya dapat

membuka rahasia s. Andaikan 2-wajah ke-i mempunyai verteks-verteks v1, v2, v3,

v4 dalam hal ini. Kemudian ia didistribusikan di antara verteks-verteks ini sebagai

berikut. Pilih elemen random Fr ∈ dan diberikan kepada v1 dan v3, serta iar +

diberikan kepada v2 dan v4. Setiap edge dalam 2-wajah ini dapat membuka ia ,

16

sehingga semua edge dalam d-cube dapat membuka (d-1) dari ia , dan dengan

demikian dapat membuka rahasia s dengan baik.

Telah dijelaskan bahwa sistem ini adalah sistem berbagi rahasia sempurna.

Rahasianya adalah (d-1) tupel dari lapangan F. Setiap verteks diberikan sebanyak

elemen dari F yang banyaknya sama dengan 2-wajah yang membuatnya, namakan

elemen-elemen

2

d. Dengan demikian laju informasi rata-rata dan kasus terburuk

untuk skema ini adalah ( )12

−

d

d

= 2d , yang merupakan batas atasnya.

Sebelum membuktikan batas bawahnya, perlu diperhatikan bahwa laju

informasi untuk kasus terburuk dan rata-rata untuk cube adalah sama. Alasannya

adalah karena Cd simetris. Bila N adalah grup automorfisma dari graf Cd, grup ini

mempunyai 2d. d! elemen. Jika v1 dan v2 adalah dua verteks dari Cd (tidak harus

berbeda), maka jumlah automorfisma H∈π dengan 21 )( vv =π adalah tepat

!2

!.2 ddd

d

C

Hd == . Jika S adalah sembarang skema berbagi rahasia sempurna

pada Cd, dan S independen untuk dC∈π untuk setiap H∈π , maka ukuran

rahasia dalam skema campuran ini bertambah H lipatan, dan setiap partisipan

akan mendapat shares yang ukurannya dC

H dikali jumlah seluruh shares dalam

S, sehingga untuk membuktikan bahwa 2d adalah batas bawah untuk laju

informasi dari Cd pada kasus terburuk dan rata-rata, cukup menunjukkan bahwa

untuk semua fungsi bernilai real f yang memenuhi sifat (a)-(e) pada landasan teori

diperoleh

}{∑ ≥∈ 2:)( dVvvf .

Himpunan verteks dari d-cube Cd dibagi menjadi dua bagian yang sama

dalam model seperti papan catur: ddd BAC ∪= , dengan Ad dan Bd disjoin,

independen, dan 12 −== ddd BA . Verteks-verteks dalam Ad mempunyai kawan

hanya di Bd, dan Bd mempunyai kawan hanya di Ad. (d+1)-cube terdiri dari dua

17

turunan yang disjoin dari d-cube pada dua level, dan terdapat sebuah perfect

matching antar verteks-verteks yang sesuai. Setiap edge dari Cd+1 adalah verteks

dari sebuah cube dengan dimensi lebih rendah atau anggota dari perfect matching

tersebut. Andaikan verteks-verteks dari dua cube yang lebih kecil dibagi menjadi

dd BA ∪ dan dd BA '' ∪ berturut-turut, sehingga terdapat perfect matching antara

Ad dan B’d, dan antara Bd dan A’d, maka pembagian verteks-verteks dari (d+1)-

cube dapat dinyatakan sebagai

ddd AAA '1 ∪=+ dan ddd BBB '1 ∪=+ .

Dengan menggunakan dekomposisi ini, dapat digunakan induksi pada dimensi d.

Dalam kalimat induksinya digunakan notasi

[ ] ∑∑∈∈

−−=AaBb

def

aAfbAfBA }){()(, .

Notasi ini digunakan dengan asumsi A dan B mempunyai kardinalitas yang sama.

Lemma 4.1.2. (Csirmaz, 2005) Untuk d-cube dengan pembagian ddd BAC ∪=

berlaku

[ ] 12)1(,)( −

∈

−+≥∑ ddd

Cv

dBAvfd

. (4.1)

Bukti:

Akan dibuktikan kebenaran pertidaksamaan (4.1) untuk 1=d . Graf 1-cube

mempunyai dua verteks terhubung, a dan b, dengan A1 ={a}, B1={b}, sehingga

pertidaksamaan (4.1) menjadi

0)()()()( +−≥+ φfabfbfaf ,

yang memenuhi sifat submodular fungsi f.

Andaikan (4.1) dipenuhi oleh kedua d-subcube dari (d+1)-cube dengan

pembagian ddd AAA '1 ∪=+ dan ddd BBB '1 ∪=+ , maka dengan hipotesis induksi

18

∑∑∑∈∈∈

+=+ ddd VvVvVv

vfvfvf''

)'()()(1

[ ] [ ] ddddd dBABA 2)1(',', −++≥ .

(4.2)

Setiap Bb ∈ terhubung dengan dAa ''∈ sehingga (a’, b) berpasangan, diperoleh

})'{'(})'{'()()( aAAfaAbAfAfbAf dddddd −−−≥− (4.3)

dengan submodularitas. Ambil sembarang verteks dAa ∈ yang terhubung dengan

dBb ∈ . Karena b terhubung dengan a dan a’. Dengan demikian dbA' dan

]{' aabA d − adalah subhimpunan (yang tidak independen) yang memenuhi syarat,

sedangkan irisannya, }'{' abA d − , independen.

Dengan demikian diperoleh pertidaksamaan

}),'{'()'(1}){'()'( abaAfbaAfabAfbAf dddd −−+≥−− (4.4)

yang memenuhi sifat submodularitas kuat.

Dengan menggunakan pertidaksamaan (4.4) dan sifat sumodularitas

sebanyak dua kali, diperoleh

}){'()'{})'{'()'( abAfbAfaAfAf dddd −−≥−−

})'{'()'(1 abaAfbaAf dd −−+≥

})'{'()'(1 aAbAfAbAf dddd −−+≥ .

(4.5)

Dengan menambahkan (4.3) ke pertidaksamaan (4.5), untuk setiap pasangan

terhubung (a’, b) dari dAa ''∈ dan dBb ∈ diperoleh

})'{'()'(1})'{'()'()()'( aAAfAbAfaAfAfAfbAf dddddddd −−+≥−−+− .

Dengan analogi, (Ad, Bd) dapat ditukar dengan (A’d, B’d), sehingga diperoleh

}){'()''(1}){()()'()''( aAAfAAbfaAfAfAfAbf dddddddd −−+≥−−+−

untuk setiap pasangan terhubung )',( ba dari dAa ∈ dan dBb ''∈ . Terdapat 2d-1

edge di antara A’d dan Bd dan terdapat juga 2d-1 edge di antara Ad dan B’d,

sehingga dengan menambahkan 2d pada pertidaksamaan ini dan menghapuskan

)( dAf dan )'( dAf pada ruas kiri diperoleh

19

[ ] [ ] [ ] ddddddddd BBAABABA 2','',', +≥+ . (4.6)

Jika pertidaksamaan (4.6) dikombinasikan dengan (4.2) diperoleh

[ ] dddddd

Vv

dBBAAvfd

22)1(',')(1

+−+≥∑+∈

,

yang merupakan pertidaksamaan (4.1) untuk (d+1), yang telah dibuktikan.

Dilanjutkan dengan pembuktian Teorema 4.1.1. Jika ddd BAC ∪=

merupakan pembagian verteks-verteks menjadi seperti papan catur yang disjoin,

maka terdapat tepat 2d-1 verteks di Ad dan Bd yang dapat dibuat matching-nya. Jika

(a,b) merupakan suatu pasangan matching, maka dengan sifat kemonotonan kuat

1}){()( ≥−− aAfbAf dd ,

dengan Ad-{a} independen, sedangkan bAd tidak. Kemudian dengan

menambahkan pertidaksamaan ini diperoleh

[ ] 12}){()(, −

∈∈

≥−−= ∑∑ d

Aad

Bbddd

dd

aAfbAfBA (4.7)

.

Dari (4.7), bersama dengan klaim dari Lemma 4.1.2 diperoleh

111 222)1()(1

−−−

∈

=+−≥∑+

ddd

Vv

ddvfd

.

Terdapat 2d verteks dalam Vd, sehingga rata-rata nilai f pada verteks Vd paling

sedikit 2d . Hal ini menunjukkan bahwa rata-rata laju informasi pada d-cube

paling sedikit 2d . Dengan demikian diperoleh laju informasi pada kasus terburuk

juga paling sedikit 2d .

4.2 Laju Informasi pada d-Lattice

Verteks-verteks pada d-lattice (Ld) adalah titik-titik integer dari ruang

Euclid dimensi d, yaitu titik-titik yang hanya mempunyai koordinat integer. Dua

verteks terhubung jika jaraknya tepat 1, yaitu jika keduanya berbeda pada satu

koordinat, dan perbedaan pada koordinat tersebut tepat 1. Ld merupakan graf tak

berhingga.

Setiap verteks dalam Ld mempunyai derajat 2d, dan seluruh graf

merupakan edge transitive. Dinamakan demikian karena untuk dua verteks

20

sembarang, v1v2 dan w1w2 dari Ld, terdapat suatu automorfisma dari Ld yang

memetakan v1 ke w1 dan v2 ke w2.

Karena setiap verteks pada d-lattice mempunyai derajat 2d, maka dengan

Definisi 2.3.5, laju informasi terbesar untuk d-lattice adalah 2)12( +d . Jika 1=d

maka laju informasi untuk 1L adalah 23 . 1-lattice adalah suatu graf tak berhingga.

Batas atas 23 diperoleh dari Definisi 2.3.5 sedangkan batas bawahnya diperoleh

sebagai berikut.

Teorema 4.2.1. (Csirmaz, 2005) Untuk 2≥d laju informasi dari d-lattice (Ld)

adalah d.

Bukti:

Ditunjukkan bahwa d adalah batas atas. Ini memerlukan suatu konstruksi

dari skema berbagi rahasia sempurna yang setiap verteksnya harus mengingat

paling banyak d kali jumlah informasi yang ada sebagai rahasia. Ambil v verteks

dari Ld yang semua koordinatnya mempunyai derajat yang sama, yaitu semuanya

bilangan bulat ganjil atau semuanya bilangan bulat genap. Setiap koordinat

ditambahkan dengan 0 atau 1. Hasil dari 2d membentuk d-cube. Lakukan hal yang

sama untuk semua cube. Cube-cube ini memenuhi semua ruang dalam model

papan catur. Setiap verteks dari Ld adalah milik tepat dua cube: cube pertama

mulai dari sebuah titik dengan koordinat genap saja, dan cube yang lain mulai dari

sebuah titik dengan koordinat ganjil saja. Lebih jauh lagi, setiap edge dari Ld

adalah milik tepat satu dari cube-cube ini.

Distribusikan rahasia ke dalam masing-masing cube yang tak berhingga

banyak ini secara independen. Hal ini dapat dilakukan dengan Teorema 4.1.1

sehingga masing-masing verteks dari cube mendapat tepat 2d bit untuk setiap bit

dalam rahasia. Karena setiap verteks dalam Ld terdapat dalam tepat dua cube,

maka setiap verteks mendapat dua kali 2d bit. Dan karena setiap verteks dalam Ld

adalah verteks dalam beberapa cube, maka titik akhir dari suatu verteks dapat

menutupi rahasia.

21

Distribusi setiap rahasia dalam setiap cube dibuat oleh suatu sistem

sempurna, dan nilai random dipilih secara independen untuk setiap cube. Dengan

demikian subhimpunan independen dari Ld tidak mempunyai informasi atas

rahasia tersebut. Hal ini membuktikan bahwa d adalah batas atas untuk laju

informasi rata-rata dan kasus terburuk.

Untuk membuktikan bahwa d juga adalah batas bawah, pertama-tama

dibuktikan suatu generalisasi dari Lemma 4.1.2. Untuk menggambarkan

susunannya andaikan dipunyai suatu graf yang verteks-verteksnya dibagi menjadi

enam himpunan yang disjoin )''(*)()( * BABBAA ∪∪∪∪∪ . Subhimpunan

'* AAA ∪∪ dan '* BBB ∪∪ independen, kardinalitas dari subhimpunan A, 'A ,

B, dan 'B sama, dan ** BA = . Edge-edge dari graf menghubungkan antara

*AA ∪ dan *BB ∪ , antara 'A dan 'B , sehingga terdapat suatu perfect matching

antara 'A dan B dan suatu perfect matching antara A dan 'B . Hal ini berarti bahwa

setiap '' Aa ∈ terhubung dengan tepat satu anggota dari B, dan tidak terdapat edge

antara 'B dan *A .

Lemma 4.2.2. (Csirmaz, 2005) Ambil kBABA ==== '' . Andaikan setiap

Bb ∈ terhubung dengan beberapa *AAa ∪∈ , dan setiap '' Bb ∈ terhubung

dengan beberapa '' Aa ∈ , maka

]','[2]','[],[ **** BBBAAAkBABBAA +≥+ .

Bukti:

Seperti dalam bukti Lemma 4.1.2, untuk Bb ∈ ambil '' Aa ∈ sebagai

verteks yang terhubung dalam 'A , dan ambil *AAa ∪∈ yang terhubung dengan

b. Kemudian dengan menggunakan sifat submodularitas dan submodularitas kuat,

})'{'(})'{'()()( **** aAAAfaAbAAfAAfbAAf −−−≥− ,

dan

})'{'()'(})'{'()'( abAfbAfaAfAf −−≥−−

})'{'()'(1 abaAfbaAf −−+≥

22

})'{'()'(1 ** aAbAAfAbAAf −−+≥ .

Di sisi lain, jika '' Bb ∈ terhubung dengan Aa ∈ dan '' Aa ∈ , maka

}){'(}){''()'()''( ** aAAAfaAAAbfAfAbf −−−≥− ,

dan

}){'()'{}){()( **** aAAbfAAbfaAAfAAf −−≥−−

}){''()''(1 ** aAAabfAAabf −−+≥

}){''()''(1 ** aAAAbfAAAbf −−+≥ .

Dengan menambahkan pertidaksamaan-pertidaksamaan ini, 2k dalam totalnya,

)( *AAf dan )'(Af dihapuskan, diperoleh

−−+

−− ∑∑∑∑

∈∈∈∈ ''''

** })'{'()''(}){()(AaBbAaBb

aAfAbfaAAfbAAf

∑∑∪∈∪∈

−−+≥'

*

'

* }){'()'(2AAaBBb

aAAAfAbAAfk .

Bagian yang hilang, yaitu

∑∑∑∑∈∈∈∈

−−≥−−****

}){'()'(}){()( ****

AaBbAaBb

aAAAfAbAAfaAAfbAAf

mengikuti secara langsung dari sifat submodularitas dan ** BA = .

Karena Lemma 4.2.2 akan digunakan secara induksi, maka diperlukan

kasus dasar, yaitu kasus ketika dimensinya 1. Graf 1-lattice merupakan path yang

tak berhingga; akan dikerjakan sebagai bagian-bagian yang terhitung berhingga.

Kemudian ambil 2≥k sebagai bilangan genap, dan ambil 22

,,,, 11 kk baba Κ

menjadi verteks-verteks dari path dengan panjang k. Ambil A himpunan verteks-

verteks ganjil dan B himpunan verteks-verteks genap sehingga diperoleh

Lemma 4.2.3.

Lemma 4.2.3. (Csirmaz, 2005) Untuk setiap path P dengan panjang 2≥k

genap,

[ ] 1,)(2

−+≥∑∈

k

Pv

BAvf

23

Bukti:

Dibuktikan dengan induksi pada panjang path. Jika 2=k , yaitu graf yang

hanya terdiri dari dua verteks terhubung a dan b , maka dengan sifat

submodularitas

[ ]}{},{)()()( baabfbfaf =≥+ ,

yang merupakan pernyataan lemma.

Ambil dua verteks pertama pada path sebagai 'a dan 'b , dan ambil *A

himpunan verteks-verteks ganjil kecuali 'a , dan *B himpunan verteks-verteks

genap kecuali 'b . Tambahkan dua verteks ekstra, "a dan "b untuk memulai path.

Lemma mengikuti dengan induksi pada panjang path jika ditunjukkan

]"',"'[1]','[)"()"( **** bbBaaAbBaAbfaf +≥++ .

Sekarang )""()"()"( bafbfaf ≥+ , dan dengan submodularitas

∑∑∑∑∈∈∈∈

−−≥−−****

}){"'()"'(}){'()'( ****

AaBbAaBb

aAaafAabafaAafAbaf ,

sehingga cukup untuk menunjukkan bahwa

)()''()""( ** AfAabfbaf −+

)"()'()"'"()"''(1 **** AafAafAaabfAaabf −−++≥ .

Namun ini hanyalah jumlahan dari tiga pertidaksamaan submodular berikut:

)'"()"'"(1)"()""( ** AabfAaabfbfbaf −+≥−

)'()'"()"( ** AafAabfbf −≥

)"()"''()()''( **** AafAaabfAfAabf −≥− ;

pertidaksamaan pertama memenuhi karena ""ba dan '"ab adalah edge-edge

dalam graf tersebut.

Sekarang ambil k suatu bilangan genap, dan ambil dkL suatu subgraf

terentang dari d-lattice dengan semua verteksnya mempunyai koordinat antara 0

dan k. Sehingga, sebagai contoh dL2 hanyalah suatu d-cube dengan dua verteks

pada setiap dimensinya. Karena dkL suatu subgraf terentang dari d

lL jika lk ≤ ,

maka rata-rata laju informasi dari dkL bertambah dengan k. Dengan

24

memperhatikan juga bahwa setiap subgraf terentang yang berhingga dari Ld

isomorfis dengan subgraf terentang dari dkL untuk setiap nilai k yang cukup besar.

Dengan demikian rata-rata laju informasi dari Ld adalah limit dari rata-rata laju

informasi dari dkL dengan k mendekati tak hingga.

Seperti dalam bukti Teorema 4.1.1, verteks-verteks dari dkL dibagi menjadi

dua himpunan yang disjoin dkA dan d

kB dalam model papan catur sehingga kedua

himpunan independen dan hanya memuat sebagian dari verteks-verteks:

2dkd

kdk BA == .

Lemma 4.2.4. (Csirmaz, 2005) Untuk dua himpunan disjoin, dkA dan d

kB ,

berlaku

[ ]2

1 )(|,)(d

dk

kdddk

dk

Lv

kkdBAvf −−+≥ −

∈

∑ .

Bukti:

Untuk 1=d , ini adalah klaim dari Lemma 4.2.3. Untuk dimensi yang lebih

besar digunakan induksi pada d. (d+1)-lattice ( 1+dkL ) hanya terdiri dari k level dari

dkL dengan suatu perfect matching antara level-levelnya. Dengan demikian

Lemma 4.2.2 dapat digunakan (k-1) kali, setiap aplikasi menambahkan konstanta

dengan jumlah verteks dari level yang baru, yaitu oleh kd. Sehingga konstanta

untuk (d+1) adalah k kali konstanta untuk d, ditambah (k-1) kali k.

Teorema 4.2.5. (Csirmaz, 2005) Rata-rata laju informasi dari d-lattice dengan

panjang edge k paling sedikit )1( 1kd − .

Bukti:

Dengan menggunakan notasi dari Lemma 4.2.4, perhatikan bahwa [ ]dk

dk BA ,

dapat ditulis sebagai jumlahan dari 2

dk perbedaan. Masing-masing perbedaan ini

mempunyai nilai 1≥ dengan sifat kemonotonan kuat, karena subhimpunan

25

pertama memuat sebuah edge., sedangkan subhimpunan kedua independen.

Dengan demikian diperoleh 2],[dkd

kdk BA ≥ . Sehingga diperoleh

)()( 1−

∈

−≥∑ dd

Lv

kkvfdk

.

Untuk 2=k , sebagai kasus khusus, rata-rata laju informasi dari d-cube

paling sedikit 2d .

Sekarang bukti Teorema 4.2.1 dapat diselesaikan. Telah diketahui bahwa d

adalah batas atas untuk laju informasi pada kasus terburuk dari d-lattice (Ld).

Dalam Teorema 4.2.5 diberikan batas bawah )1( 1kd − untuk graf d

kL , yang dapat

dibentuk sebagai subgraf terentang menjadi Ld. Dengan demikian rata-rata laju

informasi dari Ld lebih besar atau sama dengan supremum dari )1( 1kd − dengan k

bilangan bulat genap. Sehingga ≤d rata-rata laju informasi dari ≤dL laju

informasi kasus terburuk d≤ , yang membuktikan teorema.

26

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Menurut Teorema 4.1.1, laju informasi untuk d-cube dengan d ≥ 2 adalah

2d . Kebenaran teorema ini dapat dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai

berikut.

1. Membuktikan bahwa batas atas rata-rata laju informasi untuk d-cube

adalah 2d untuk d ≥ 2.

2. Membuktikan bahwa batas bawah rata-rata laju informasi untuk d-cube

adalah 2d untuk d ≥ 2.

Menurut Teorema 4.2.1, laju informasi untuk d-lattice dengan d ≥ 2 adalah

d. Kebenaran teorema ini dapat dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai

berikut.

1. Membuktikan bahwa batas atas rata-rata laju informasi untuk d-lattice

adalah d untuk d ≥ 2.

2. Membuktikan bahwa batas bawah rata-rata laju informasi untuk d-lattice

adalah d untuk d ≥ 2.

5.2 Saran

Dalam skripsi ini, pembahasan yang dilakukan adalah membuktikan rata-

rata laju informasi dari skema berbagi rahasia pada d-cube adalah 2d dan pada d-

lattice adalah d, untuk d ≥ 2. Bagi pembaca yang berminat mendalami skema

berbagi rahasia pada d-cube dan d-lattice dapat mengkaji lebih lanjut mengenai

skema berbagi rahasia pada d-cube dan d-lattice dan pengembangannya.

27

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. dan Rorres, C. (2004). Aljabar Linear Elementer. Erlangga. Jakarta.

Ateniese, G., Blundo, C., De Santis, A., and Stinson D.R. (1996). Visual

Cryptography for General Acceess Structures.

Blundo,C., De Santis A., Stinson D.R. and Vaccaro U. (1995). Graph

Decompositions and Secret Sharing Schemes. Journal of Cryptology, Vol 8,

pp:39-64.

Bondy, J.A and Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory with Applications. North

Holland. New York.

Chartrand, Gary and R.Oellermann,Ortrud. (1993). Applied and Algorithmic

Graph Theory. New York: Mc.Graw-Hill

Csirmaz, L. (2005). Secret Sharing on the d-Dimensional Cube.

eprint.iacr.org/2005/177.pdf

Jungnickel, D. and S.A. Vanstone.(1993). Coding Theory, Design Theory, Group

Theory, New York: John Wiley&Sons.

Fraleigh, J. B.(1997). A First Course in Abstract Algebra. Addison Wesley.

Harrary, F. (1972). Graph Theory Addison Wesley Publishing Company. Menlo

Park, California.

Johnsonbough, R. (1986). Discrete Mathematics. New York: Macmillan

Publishing Company.

Stinson, D. R. (1994). Decompositions Constructions for Secret Sharing

Schemes. IEEE Trans. Inform. Theory. Vol 40, pp:120-185.

Stinson, D. R. (1995). Cryptography: Theory and Practice. CRC Press Inc. Bocca

Raton, Florida.

.