Bab I Matematika I

BAB I

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

1. Bentuk Pangkat Positif, Negatif Dan Nol

2. Bentuk Akar Dan Pangkat Pecahan

3. Penjumlahan, Pengurangan Dan Perkalian Bentuk Akar

4. Merasionalkan Bentuk Akar

5. Mengubah Bentuk Pangkat Ke Bentuk Logaritma Dan Sebaliknya

6. Menentukan nilai logaritma dengan grafik, tabel dan kalkulator

7. Sifat- Sifat Logaritma Dan Penggunaan Dalam Perhitungan Aljabar.

1

LEMBAR KERJA SISWA 1

Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi pelajaran : Bentuk pangkat positif, negatif dan nolKelas/Semester : X / GasalWaktu : 3 x 45 menit___________________________________________________________

MATERI :

1. PANGKAT BULAT POSITIF

Proses perkalian bilangan berulang dapat ditulis sebagai :

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

35 disebut bilangan berpangkat

3 disebut bilangan pokok

5 disebut pangkat

Latihan 1.

1. Tuliskan perkalian berulang dengan notasi pangkat !

a. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = ….

b. a x a x a x a = …..

c. 3 x 3 x y x y x y = ……

2. Tuliskan tanpa menggunakan pangkat !

a. (-1)3 = ….

b. 4 p3 = ….

c. 32 + 53 = ….

d. (2m) 3 = ….

2

Untuk aR, dan n bulat positif maka An = a x a x a x … x a Sebanyak n faktor

Sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif

1. Tentukan hasil perkalian bilangan pangkat

a. 34 x 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3… = 3…+…

4 faktor 5 faktor

b. a4 x a 3 = a x … x a x a x….. = a x a x …… x a = a … = a …+…

… faktor …faktor …faktor

Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?

2. Tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat :

a. 35 3 x …x…x…x…. = = 3 …

32 ….. x 3

35

= 3… = 3 …+…

32

b. p7 p x … x … x … = = p …

p5 p x ….. x p

p7

= p… = p … - …

p5

Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas ?

3. Tentukan hasil perpangkatan bilangan berpangkat !

a. (23)2 = 23 x 23 = (2 x … x …) x ( 2 x … x …) = 2 …

(23) 2 = 2 … = 2 …x…

3

am x an = a …+…

am

= a …-…

an

a 2 x a 2 x … x … x … (axa) x (axa) x …. x….x (axa) b. (a2)5 = =

5 faktor … faktor a x a x a x… x … x … x a = = a …

…. faktor

(a2)5 = a … = a … x …

Kesimpulan apa yang dapat diambil dari penyelesaian di atas?

4. Tentukan hasil perpangkatan pada perkalian bilangan.

a. (4 x 3)3 = (4 x 3) x (… x …) x (… x…) = (4 x … x … ) x (3 x … x …) = 4 … x 3…

b. (a x b)4 = (a x b) x ( … x …) x (… x …) x (a x b) = (a x … x … x … ) x (b x … x … x … ) = a… x b …


5. Tentukan perpangkatan dari hasil bagi dua bilangan

2 x … x … 2 …

a. (2/3)3 = (2/3) x (….) x ( …) = = 3 x…x… 3 …

a x… x… x… a …

b. (a/b) 4 = (a/b) x (….) x ( ….) x ( ….) = = b x… x…x… b…


a n a …

= b b …

Dari hasil nomor 2 (a – b) di atas ditemukan sifat-sifat bilangan

berpangkat bulat positif, untuk a,b bilangan real dan m,n bulat positif

maka berlaku sifat :

4

(am)n = a …x…

( a x b ) n = …. … x … …

1. am x an= …

2. am : an = …

3. (am)n = ….

4. ( a x b )n = …

5. ( a/b )n = ….

2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Perhatikan sifat am : a n = a m – n dan definisi bilangan berpangkat :

a n = a x a x a x ………. x a n faktor

Perhatikan hasil pembagian bilangan berpangkat a3 : a5

1. dengan menggunakan definisi perpangkatan :

a3 a x a x … 1 1 = = = a5 a x .. x …x…x… a x … a …

2. dengan menggunakan rumus :

a3 = (a) … - … = a …

a5 1 1

Dari 1 dan 2 didapat a –n = dan an = a… a –n

Jika m = n maka :

a. dengan menggunakan rumus a m : a n = a … - … = a …

b. dengan definisi pangkat a m a n = = …. a n …

Kesimpulan apa yang dapat diambil ?

5

a … = ….

Latihan 3.

1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.

a. 2-6

b. 3-5

c. 4/(2)-3

d. a-2. b-3

e. 1/3. a3 . b–4

f. 7. p-5. q2

g. a2 . b-3

a-1. b5

h. (2.y-2.z)-4

i. a2 -2

------ 2.b-3

2. Hitunglah :

a. 3 –2

b. 1/(5–2)

c. (1/2)-3

d. 3/(2–2)

e. 25 x 5-3

f. 3–2 x 4–2

g. (5-1)/2

h. 8 x 4–2

i. 5-4 x 2-1

j. (0,2) –4


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Bentuk akar dan pangkat pecahanKelas/Semester : X / Gasal

6

Waktu : 3 x 45 menit

MATERI :

1. PENGERTIAN BENTUK AKAR

a. Diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC , panjang sisi AB = 1, BC=1

(lihat gambar)

A Dengan menggunakan rumus phitagoras

dapat dihitung panjang sisi miring (AC)

(AC)2 = (AB) 2 + (BC) 2

= 12 + 12

B C = 2

panjang sisi AC dinyatakan dalam bentuk akar 2 =

1,414213562 ...... (dengan kalkulator)

b. Hitung nilai dari suatu pecahan 1/3.

1/3 = 0,333333….. ( dgn kalkulator)

Dari kasus kedua di atas dapat dilihat bahwa bentuk pecahan 1/3 dan

bentuk akar 2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berulang.

1/3 = 0,33333………. (angka 3 dibelakang koma selalu berulang)

2 = 1,414213562 …(tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal

berulang).

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal

berulang disebut bilangan rasional, bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal berulang disebut bilangan

irrasional.

Berilah contoh –contoh bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Bilangan rasional : …..

Bilangan irrasional : ….

7

Perhatikan . 3 = 1,732050808… (tak berulang dan tak terbatas)

4 = 2

4 disebut bilangan rasional dan bukan bentuk akar dan 3 bilangan

irrasional dan disebut bentuk akar.

Jadi bentuk akar merupakan akar dari suatu bilangan riil positif yang

hasilnya bukan merupakan bilangan rasional.

Latihan 1.

No Bilangan Bentuk akarYa atau Tidak

Alasan

1 82 93 164 185 256 277 458 509 26910 (16/25)

2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Untuk setiap a,b bilangan bulat positif maka berlaku :

a. (axb) = a x b dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam

bentuk kuadrat

b. a 0 , b 0

Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi aljabar

maka bentuk akar dituliskan dalam bentuk akar yang paling

sederhana.

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar berikut !

1. 12 = (3x4) = 4 x 3 = 2x3 = 23

2. 8a2 = ( 4 x 2 x a2 x a ) = 4a2 x 2a = 2a2a

8

Latihan 2.

Sederhanakan bentuk akar berikut !

1. 24 2. 45 3. 12 4. 9a3

5. 20p2 6. 125 7. 0,48 8. a6.b2.c3

9. 10. 1/27 11. 50 a2b2 12.

3. MENYATAKAN BILANGAN PANGKAT PECAHAN DALAM BENTUK AKAR DAN SEBALIKNYA

Definisi dan sifat-sifat bentuk pangkat pecahan.

a. 2 = 2a

(2) 2 = (2a) 2 kedua ruas dipangkatkan

gunakan sifat (am)n = a mxn

2 = 22a (2 = 21)

21 = 22a 1 = 2a a = ½

jadi :

Beberapa konsep

1. a = a1/2

2. 3 = a1/3

3. 7a = a1/ 7

4. dan seterusnya dan didapat na = a1/n

dari na = a1/n maka nam = (am)1/n

= (a)mx1/ n

= (a)m / n

dengan a 0 , m , n bilangan bulat positif

9

2 = 21/2

nam = a m/n

Ingat! Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan pangkat bulat positif

berlaku juga pada bilangan pangkat pecahan.

1. am x a n = am+n

2. am : a n = am-n

3. (am) n = amn

4. (a x b) n = an . b n

5. (a/b) n = a n / b n

6. a-n = 1 / a n

Contoh :

Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya.

1. 3y2 = (y2) 1/ 3 = (y2.1/ 3 ) = y2/ 3

2. 5a.b = (a.b) … = a…x b…

3. 3a.4b = a…x b…

4. 122/3 = (12 2) … = 3 12…

5. 2. a2/ 3. b1/ 3 = 2. ….x……

Latihan 3.

I. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat !

1. 5 2. 316 3. 5p4 4. (3xy)5

5. 76. 67 6. 2 -3 7. 21/a 8. 3x .4x3

II. Ubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar !

1. 71/ 2 2. 122/ 3 3. a-3/ 2 4. x1/2 . y1/ 2

5. 2.a2 /3.b1/ 3 6. (m2.n2)5/ 3 7. 1/7 8. 1/a-3

III. Dengan menggunakan sifat-sifat pada pangkat pecahan sederhanakan

operasi-operasi aljabar berikut !

1. 21/3 x 21/5

2. a2/ 3 : a7/ 3

3. (32/ 3)3/ 4

10

4. (27)-2/3

5. (2 x 3)3/4

6. (0,25)0,5 + (0,04) 0,5

7. 2x16-1/ 2 + 27 4/ 3 – 3x16 0

8. (27) -2/ 3 + 5 2/ 3x 51/ 3

9. Jika p = 8 , q = 4 dan r = 9 hitung 3p-1/ 3 q2 r -3/ 2

10. Jika p = 8 dan q = 9 hitung 2p-1/ 2 + q 4/ 3 – 3p 0


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian

Bentuk AkarKelas/Semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit___________________________________________________________

11

MATERI :

1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR

Sifat ! a.b + a.c = ( b + c ) a

a.b – ac = ( b – c ) a

3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a

dan b tidak sejenis

begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.

Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangi jika sejenis.

Kedua sifat ini berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan

bentuk akar.

ac + bc = ( a + b ) c

ac - bc = ( a – b ) c

Contoh :

1. 37 + 27 = ( 3 + 2 ) 7 = 5 7

2. 43 - 3 = ( 4 - … ) 3 = …3

3. 18 - 8 = (…x 2 ) - (…x 2) = …2 - …2 = (… - …)2 = ……

4. 75 -25 + 5 = ( … - … + … ) 5 = ……

5. 2 + 3 - 52 + 23 = (2 - …2) + (3 + …3) = ….2 + …3

( tidak dapat dijumlahkan kenapa? )

Latihan 1.

Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut !

a. 53 + 3

b. 35 + 55 - 25

c. 63 + 7 - 28

d. 125 - 45 + 20

e. (9/2) 3 + (1/2) 27

2. PERKALIAN BENTUK AKARPada sifat bentuk akar berlaku (a x b) = a x b , dengan a , b 0

12

Contoh :

1. 2 x 3 = (2x3) = 6

2. 32 x 53 = (3 x 5) (2x3) = 156

3. 8 x 10 = (8x10) = 80 = (16x5) = 16 x 5 = 45

Rumus- rumus aljabar seperti :

1. a ( b + c ) = a.b + a.c

2. ( a + b ) 2 = a2 + 2 ….. + b2

3. ( a – b ) 2 = … - 2 …. + ….

4. (a + b) ( a – b) = a2 - b2

5. (a + b) (c + d) = a.c + … + ….+ b.d

Contoh :

1.3 (2 + 23)=(3x2) + 3x23 = (3x2) + 2x3x3 = 6 +2.3= 6 6

2. (2 + 1) 2 = (2) 2 + 2x ….x1 +12 = … + 2 … + … +… + … ( rms. 2 )

3. (3 – 2) (3 + 2) = (3) 2 – 22 = …. – …. = …… (rms 4)

4. (5+4) (3+2) = 5 x3 +…3 + …5 + 4x2 = … +... +… + 8 (rms.5)

Latihan 2.

Sederhanakan !

1. 8 (2 + 3)

2. (3 - 5 )2

3. (32 + 1 ) 2

4. (23 + 2 ) (23 -2)

5. (2 +3) (2 – 5)

6. ( 312 –2) 2

7. (23 - 46)(22 + 36)

8. 5 (2- 32) 2

13


Mata pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Merasionalkan bentuk akarKelas/Semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit__________________________________________________________

MATERI :

A. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK

2 = 1,4142….. jika dihitung dengan menggunakan kalkulator.

Bagaimana jika membagi sebuah bilangan dengan 2 ?

Contoh :

(perhitungan seperti ini sulit jika tidak menggunakan

kalkulator)

Untuk memudahkan perhitungan ada cara yang mudah yaitu dengan

merasionalkan penyebut, contohnya :

Merasionalkan bentuk , dengan b> 0 (ingat sifat a x a = a)

a a b ab a = x = = b b b b b b

Contoh : Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !

1). 1 1 3 3 = x = 3 3 3 3

2). 2 2 … 2… = x = 8 8 … ….

3. 10 10 … 10 x … ….

15

= x = = 22 22 2 …. ….

Latihan 1.

a. 8 b. 3 c. 52 d. 33 e. 4 2 53 25 12 53

c c B. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK DAN a b a b

Perlu diingat kembali bahwa ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

( a – b ) ( a + b) = a2 – b2

( a – b ) disebut kawan dari ( a + b )

( a + b ) disebut kawan dari ( a – b )

Hasil kali dari pasangan sekawan selalu menghasilkan bilangan

rasional.

Perhatikan perkalian dari :

( a + b ) ( a – b ) = a2 - (b) 2 = a2 – b

(a + b) (a – b ) = (a) 2 - (b) 2 = a – b

Terlihat di atas ( a + b ) sekawan dengan ( a - b )

(a + b ) sekawan dengan (a - b )

Contoh : tentukan sekawan dari

1. 1 + 5 sekawannya 1 - 5 berikan alasannya!

2. 3 – 8 sekawannya ……..

3. 4 + 7 sekawannya ……..

4. 2 - 6 sekawannya .…….

5. 23 + 1 sekawannya ……..

6. 1 - 53 sekawannya …….

7. 36 + 2 sekawannya …….

8. 25 - 3 sekawannya …….

16

Merasionalkan penyebut yang bentuk akarnya berupa jumlah atau

selisih dari dua bilangan adalah dengan mengalikan baik pembilang

dan penyebut dengan pasangan bentuk sekawan.

Contoh :

1. 10 10 4 + 6 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) 10 ( 4 + 6 ) = x = = = 4+ 6 4 + 6 4 + 6 (4)2 – (6) 2 16 – 6 10

2. 2 + 5 2 + 5 2 + 5 ( 2 + 5 ) 2 22+ 2x2x5 + (5) 2

= x = = = 2 - 5 2 - 5 2 +5 (2) 2 – (5) 2 4 – 5

4 + 45 + 5 9 + 45 = = -9 - 45 -1 -1

3. 5 5 …. + …. 5 ( … + ….) ( …. + ….) ….. = x = = = 6 + 7 6 + 7 6 - 7 ( … ) 2 – ( …)2 … - ….. …….

4. 3 3 3 – 2 3 ( … - ….) 3 ( … - …) = x = = = = ...

3 + 2 3 + 2 … - … ( …)2 – ( … ) 2 … - … …..

Latihan 2.

Rasionalkan bentuk akar di bawah ini.

1. 3 2. 2 3. 7 2 + 5 3 – 1 5 + 32

4. 5 5. 5 6 5 – 2 6 - 7 5 - 6 5 + 2

p q

17

7. Hitunglah p + q ; p – q ; p x q ; ; jika : q p

4 9a. p = dan q = 3 + 2 2

1 1b. p = dan q = 2 + 3 2 - 3

2 -2c. p = dan q = 2 + 2 2 + 2


Mata pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Mengubah bentuk pangkat ke bentuk

logaritma dan sebaliknya Kelas / semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit

18

___________________________________________________________

MATERI :

1. MENGUBAH BENTUK PANGKAT KE BENTUK LOGARITMA DAN SEBALIKNYA.Pada pembahasan yang lalu, anda diminta untuk menentukan nilai-nilai

bilangan berpangkat, misalnya :

22 = 4

32 = 9

3-1 = 1/3

51/2 = 5

Sekarang bagaimana menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan

hasil perpangkatannya diketahui ?

2 … = 165 … = 2510 … = 10016 … = 4

Masalah di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan notasi

logaritma

2 … = 16 ditulis 2log 16 = …. 2 log 16 = 4 karena 24 = 165 … = 25 ditulis 5log 25 = … 5 log 25 = 2 karena 52 = 2516…= 4 ditulis 16log 4 = … 16log 4 = ½ karena 161/2 = 4

dari permasalahan tersebut terlihat ada hubungan antara perpangkatan

dengan logaritma, yaitu logaritma adalah invers dari perpangkatan.

a = bilangan pokok dengan syarat a 0 dan a 1c = numerus ( bilangan yang dicari logaritmanya ) syarat c 0b = hasil logaritma , syarat bias positif atau negatif atau nolContoh : tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat

dan sebaliknya.

1. 3 5 = 234 3 log 234 = 52. 42 = 16 4 log 16 = 23. 5-2 = 1/25 5 log 1/25 = -2

19

a log c = b jika dan hanya jika a b = c

4. 72 = 49 7 log … = …5. 51/2 = 5 5 log … = ….

6. 3 log 81 = 4 3 4 = 817. b. 2 log 16 = 4 2 … = 168. c. 3 log 27 = 3 3 … = ….9. log 1000 = 3 …3 = …10. 5 log 1/5 = -1 … -1 = .....

Latihan 1

Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan

sebaliknya

1. 30 = 1

2. 2 n = 8

3. a2/ 5 = 4

4. 9-1/ 2 = 1/3

5. 5 log 1/125 = -3

6. 2 log 6 = x

7. a log ¼ = -2

8.3 log 3 = ½

2. MENGHITUNG NILAI LOGARITMA

a. 3log 27 = x ubah ke bentuk pangkat 3 x = 27 maka x = 3 jadi 3 log 27 = 3

b. 5 log 5 = y ubah ke bentuk pangkat 5 y = 5 maka y = 1 jadi 5 log 5 = 1

Latihan 2

Tentukan nilai :

1. 4 log 2 = ….

2. 2 log ½ = ….

3. log 10.000 = …

4. 4 log 64 = …

20

5 . 5 log 125 = …

6. ½ log 1/8 = …

7. 3 log 81 = …

8. 3 log 1/9 = …

9. log 100 = …

10. 4 log ¼ = …

11. 3 log 3 = …

12. 7 log 49 = ….

13. 81 log 9 = ….

14. ½ log 4 = ….

15. 6 log 36 = ….


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Menentukan nilai logaritma dengan grafik,

tabel dan kalkulator Kelas/Semester : X / GasalWaktu : 2 x 45 menit___________________________________________________________

21

MATERI :

I. MENENTUKAN NILAI LOGARITMA

Anda telah mempelajari dan memahami LKS 5, telah dibahas beberapa

contoh dan latihan menentukan bilangan–bilangan logaritma yang bias

langsung ditentukan nilainya, karena bilangan tersebut merupakan hasil

dari perpangkatan dari bilangan pokoknya. Seperti :2log 4 = 2 sebab 4 = 22

3log81 = 4 sebab 81 = 34

Bagaimana jika kita menghitung nilai 2log 7 = x ?

Terlihat bahwa bilangan 7 tidak bias diperoleh secara langsung dari 2x.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x

tersebut, yaitu :

a. dengan menggunakan grafik y = a x , a 1 atau 0 a 1

b. dengan menggunakan tabel

c. dengan menggunakan kalkulator

1. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan grafik y = a x ,

dengan a 1 atau 0 a 1

Contoh : tentukan nilai 2 log 6 dengan menggunakan grafik !

Langkah-langkah :

1. Menentukan grafik yang akan digunakan

2 log 6 = x 2 x = 6 sehingga grafik yang digunakan y = 2 x

2. Membuat tabel yang menyatakan hubungan x dan y = 2 x

Tabel hubungan x dan y X 0 1 2 3 4

Y = 2 x 1 2 4 8 16( x , 2 x ) ( 0,1 ) ( 1,2 ) ( 2,4 ) ( 3,8 ) ( 4,16)

3. melukis grafik y = 2 x

4. lihat bilangan 6 pada sumbu y, tarik garis sejajar sumbu x hingga

memotong grafik.

22

5. pada titik perpotongan tarik garis sejajar sumbu y sehingga memotong

sumbu x

6. titik perpotongan dengan garis sejajar sumbu y pada sumbu x adalah

hasil dari 2 log 6 yaitu 2, …

jadi 2log 6 = 2, … ( pembulatan satu desimal)

Gambar grafik :

23

Latihan 1

1. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 2 x untuk menentukan nilai

a. 2 log 3 b. 2 log 5 c. 2 log 7 d. 2 log ½

2. Lukis pada kertas millimeter grafik y = 3 x untuk menentukan nilai

a. 3 log 5 b. 3 log 7 c. 3 log 9 d. 3 log 12

2a. Menentukan nilai logaritma bilangan antara 1 dan 10 dengan

menggunakan tabel

Tabel logaritma menyajikan logaritma dengan bilangan pokok 10 dan

e (logaritma natural yang disingkat dengan ln )

Pada tabel kita hanya dapat menentukan nilai logaritma dengan

bilangan pokok 10, sedang untuk bilangan pokok lain dapat ditentukan

dengan menggunakan sifat-sifat logaritma. Logaritma dengan pokok

10 , misalnya 10 log x , dapat ditulis log x.

Pada tabel logaritma disajikan nilai-nilai logaritma untuk bilangan 1

sampai 10, dapat dilihat langsung nilai yang dimaksud.

Misalnya: log 1,03 = 0,0128 (lihat tabel )

log 2,04 = 0,3096

log 6,25 = 0,7959

Keterangan tabel :

1. kolom N memuat bilangan logaritma antara 1 sampai 10

2. Kolom 0 sampai 9 memuat mantis yaitu bagian desimal yang

menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan pokok 10

Contoh 1. log 1,03 = 0,0128

karakteristik mantis

karakteristiknya adalah 0, yaitu bilangan yang dilogaritmakan

terletak antara 1-10

24

mantisnya adalah 0128, yaitu bagian desimal hasil logaritma

dengan pokok 10

2. log 25,3 = 1,4031

karakteristiknya adalah 1, yaitu bilangan yang dilogaritmakan

terletak antara 1-100

mantisnya adalah 4031

2b. Menentukan nilai logaritma dengan menggunakan kalkulator.

Kalkulator yang kita butuhkan dalam menghitung nilai logaritma

adalah kalkulator yang mempunyai fasilitas log. Langkah-langkahnya

tergantung pada type kalkulatornya.

Coba anda sebutkan langkah-langkah dalam menentukan nilai

logaritma dengan kalkulator sesuai type kalkulator yang anda punya.

1. ...

2. ...

3. ...

4. ...

Latihan 2

1. Tentukan nilai logaritma berikut dengan menggunakan tabel.

a. log 7,75 b. log 5,58 c. log 8,66 d. log 3,49 e. log 9,17

f. log 20,5 g. log 75,2 h. log 62,9 i. Log 123 j. log 350

2.Tentukan nilai logaritma berikut dengan kalkulator.

a. log 1,79 b. log 4,57 c. log 8,65 d. log 12,6

e. log 80,1 f. log 325 g. log 675 h. log 930

25

II. MENENTUKAN ANTILOGARITMA SUATU BILANGAN

Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Antara 0 dan 10 Dengan

Tabel.

Antilogaritma merupakan kebalikan dari logaritma yaitu menentukan

bilangan bila diketahui nilai logaritmanya.

Contoh tentukan nilai x dari logaritma berikut :

1. log x = 0,2718

log x = 0,2718 maka x = antilog 0,2718

caranya dengan tabel logaritma ( lihat dan simak tabel log ) cari

bilangan 2718 dalam tabel log , yaitu terletak pada kolom 7,

kemudian telusuri ke kiri pada baris sampai kolom N , diperoleh

angka 1.8 maka bilangan tersebut adalah 1,87.

Jadi antilog 0,2718 = 1,87

2. log x = 0,3538

log x = 0,3538 maka x = antilog 0,3538

caranya dapat digunakan tabel antilog (lihat dan simak tabel antilog)

cari bilangan 0,35 ( pada tabel 35 ) pada kolom x tabel antilog.

Telusuri baris ke kanan sampai kolom 3, didapat angka 2254,

kemudian pada baris telusuri lagi ke kanan sampai kolom 8 (pada

kolom tambahan) kita dapatkan angka 4, selanjutnya angka pada

kolom 3 dan angka pada kolom 8 (kolom tambahan) dijumlahkan

sehingga 2254 + 4 = 2258.

Karena karakteristik logaritma di atas adalah 0, maka bilangannya

terletak antara 1 sampai 10 .

Jadi antilog 0,3538 = 2,258

3. log x = 1, 2711 maka x = antilog …..

cari bilangan pada tabel (tabel antilog) . 27

telusuri baris ke kanan sampai kolom …. Didapat angka ….. ,

kemudian telusuri lagi pada baris(kolom tambahan) ke kanan sampai

kolom …. Didapat angka ….

26

Kemudian jumlahkan didapat ….. + …. = ……

Karena karakteristik logaritma di atas adalah 1, maka bilangannya

terletak antara 10 sampai 100.

Jadi antilog 1,2711 = …..

Latihan 3

1. Gunakan tabel log untuk menentukan nilai x

a. log x = 0,6990 b.log x = 0,7520 c. log x = 0,8225

d. log x = 0,9350 e.log x = 1,2923 f. log x = 2,4099

2. Gunakan tabel antilog untuk menentukan nilai x

a. log x = 0,4065 b. log x = 0,4771 c. log x = 0,5670

d. log x = 0,3579 e. log x = 0,190 f. log x = 0,7615

3. Dengan menggunakan kalkulator hitung antilog bilangan berikut

a 0,190 b. 0,2711

c .0,3579 d. 0,76

27


Mata Pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Sifat-sifat logaritma dan penggunaan dalam

perhitungan aljabarKelas / Semester : X / Gasal Waktu : 3 x 45 menit___________________________________________________________

MATERI :

Sifat-sifat logaritma yang akan dipelajari banyak digunakan untuk

menentukan logaritma bilangan yang lebih dari 10 atau bilangan-bilangan

antara 0 sampai 10 serta penerapannya dalam hitungan aljabar.

Beberapa sifat-sifat logaritma

1. Sifat : alog b = b

Contoh : Sederhanakan logaritma berikut

a) 3 log 2 = 2 c) z log y = ...

b) 6 log 7 = ... d) 2 log 3 = ...

2. Sifat : jika a, b, c bilangan real positif dan a ≠ 1

Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 2

a) 2log 4 + 2log 16 = 2log 4.16 = 2log 64 = 6

b) 7log 7 + 7log 49 = 7 log (…x…) = 7log …. = …

c) log 5 + log 2 = log (…x…) = log … = ….

d) 3log 4 + 3log 2 = 3log( …x …) = 3log … = ….

3. Sifat : Jika a,b dan c bilangan real positif, a 1 maka

b alog = alog b - alog c c

Contoh : Sederhanakan dengan menggunakan sifat 3

28

16a. 2log 16 - 2log 4 = 2 log = 2log 4 = 2

4

9b. 3log 9 - 3log 1/3 = 3log = 3log …. = …..

…

625c. 5log 625 - 5log 5 = 5log = ….. = …..

….

….d. log 100 - log 10 = log = log …. = …..

….

Latihan 1.

Sederhanakan dengan menggunakan sifat 1, 2 dan 3

1. 6 log 9

2. 2 log 5 + 3 log 7

3. 7 log 9 x 8 log 2

4. 5 log 7 – 6 log 3

5. log 2 + log 6 6. 2log 8 + 2log 32

7. 8 log 32 + 8log 16 + 8log 128

8. log 25 - log 32

9. 3log 7 ½ + 3log 5/6 + 3log (36/25)

10. log 16 + log 25 - log 4

11. 5log 20 + 5log 15 - 5log 12

12. 2log 144 + 2log 125 - 2log 15 - 2log 150

4. Sifat : jika b 0 , n bilangan rasional maka

29

alog bn = n . alog b

Contoh :

Sederhanakan dengan menggunakan sifat 4

a. 2log 53 = 3. 2log 5

b. log 100 = log 10… = … log 10 = … x 1 = …

c. 3 log 27 = 3log 3 … = …. 3log 3 = … x 1 = …

1 d. 1/2log 2–4 = 1/2log = 1/2 log (1/2)…. = ….x 1/2log ½ = … x …= ... 24

e. 5log 1/5 = 5log 5… = … x 5log … = …..

5. Sifat : Mengubah bilangan pokok logaritma

clog b alog b = jika a 0 , a 1 , c 0 , c 1

clog a

Pada kasus khusus jika c = b 1 alog b = blog a

Contoh : sederhanakan dengan menggunakan sifat 5

Log 5 0,699a. 2 log 5 = = = 2,322

log 2 0,301

log 23 3log 2 3(0,301)b. 3log 23 = = = = 1,893 log 3 0,477 0,477

log 125 log 5 … …log 5 c. jika 2log 5 = x maka 4log 125 = = =

log 4 log 2 … ….log2 …. …

30

(gunakan sifat 5) = 2log … = x …. …

6. Sifat : jika a>0, a1, b>0, b1, c>0

alog b . blog c = alog c

Contoh :

a. 3log7 . 7log 81 = 3log 81 = 3log 3 … = ……

b. xlog 5 . 5log y . ylog x = xlog …. = xlog x … = ….

c. 7log 1/5 . 5log 49 = 7log 5 … . 5log 49 = …. 7log 5 . 5log 49

( sifat … )

= … …log …..

= ……..

Latihan 2

sederhanakan dengan menggunakan sifat logaritma 4, 5, dan 6

log 811. log 9

2log 82. 2log 2

3. 343 log 49

4. 3log 18 - 1/2log 3

31

5. alog x . xlog b

6. alog (1/x) . xlog a

7. 1/5 log 7 . 5log 49

8. x log y2

xlog y

7. Sifat :

am log bm = a log b

Contoh :

jika 2log 3 = x , tentukan nilai logaritma di bawah dalam x.

1. 8log 27 = = 2log 3 = x

2. 4log 9 = 2``` log 3 … = …. = …..

3. ½ log 1/3 = log 3 … = ….. = ….

8. Sifat :

= m/n . a log b

Contoh :

nyatakan dalam 2 log 3 = a

1. 8log 9 = = 2/3 . 2log 3 = 2/3 a

2. 16 log 27 = = (….) 2 log 3 = …. a

3. ½ log 3 = = (….) 2log 3 = …. a

Penerapan logaritma dalam perhitungan-perhitungan

1. Penerapan logaritma untuk perkalian dan pembagian bilangan

32

Digunakan sifat logaritma

a. log (a x b ) = log a + log b

b. log ( a/b ) = log a - log b

Contoh :

1. hitung 38,3 x 82,97 = ….

misal a = 38,3 x 82,97

log a = log ( 38,3 x 82,97 )

= log 38,3 + log 82,97 (cari dalam tabel logaritma)

= ( ….. .....) + (... …….)

log a = …….

a = antilog …..

a = …… (cari dalam tabel antilogaritma)

2. hitung 2,714 : 19,83 = ….

misal a = 2,714 : 19,83

Log a = log (2,714 : 19,83)

= log 2,714 - log 19,83 ( cari dalam table logaritma)

= (……......) - ( …...…..)

log a = ………

a = antilog …….

a = ……….. (cari dalam table antilogaritma)

Latihan 3 A

Selesaikan bentuk perkalian dan pembagian bilangan dengan

menggunakan logaritma.

1. 6,74 x 2,95 4. 4,68 : 3,21

2. 0,236 x 0,042 5. 412,6 : 40,85

3. 8,65 x 94,37 6. 0,216 : 1,47

2. Penerapan logaritma untuk perpangkatan dan penarikan akar.

Gunakan sifat :

33

a. log ab = b . log a

b. log nab = log a b/n = b/n . log a

Contoh : Hitung nilai

3. ( 23,49 ) 3 = …..

Misal a = ( 23,49 ) 3

Log a = log ( 23,49 ) 3

= 3 . log 23,49

= 3 . ( ……..) ( cari dalam table log )

= ……….

a = antilog ……

= …… (cari dalam table antilog)

4. 465,7 = ….

Misal a = 465,7

log a = log 465,7

= log (465,7 )1/2

= ½ log 465,7

= ½ ( …… ) (cari dalam table log )

log a = ……….

a = antilog ……

a = ………. ( cari dalam table antilog )

Latihan 3B

Selesaikan bentuk perpangkatan dan penarikan akar dengan logaritma.

1. ( 3,18 )3 4. 17,35

2. ( 5,864 )5 5. 53

3. ( 0,875 )10 6. 0,8021

Selesaikan dengan menggunakan logaritma.

4230

34

1) 3,142 x 28

0,015 x 30,192) 20

35

Bab I Matematika I

Documents

Transcript of Bab I Matematika I