DAFTAR ISI

BAB I DERET

BAB II BILANGAN KOMPLEK

BAB III ANALISIS VEKTOR

BAB IV ANALISIS KOMPLEK

BAB V TRANSFORMASI LAPLACE

BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB VII DERET FOURIER

BAB VIII FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELLIPTIK

BAB IX TRANSFORMASI KOORDINAT

BAB X PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE

DAN LAGUERE.

BAB I

DERET

Uji banding (comparison test)

1. Jika suku demi suku dari deret nn au , dimana na adalah deret konvergen

maka deret nu juga konvergen.

na = deret geometri

2. Jika suku demi suku deret nn bv , dimana nb membentuk deret divergen,

maka deret nv juga divergen.

nb =deret harmonic

Uji Integral

Diandaikan deret positif

~

1n

na yang suku-sukunya memenuhi sifat

nn aa 1 . Jika dapat ditentukan fungsi positif )(nf yang turun untuk 1n dan

nanf )( maka deret yang diberikan akan konvergen jika integral ~

1

).(I dnnf

berhingga(finite). Sebaliknya integral ~

1

).(I dnnf tak hingga (infinite) maka deret

divergen.

Uji Rasio

Rasio suku ke- n

n

nn

a

a 1

Informasi konvergensi

nn

~

lim

Jika

a. 1 , maka deret itu konvergen

b. 1 , maka deret itu divergen

c. 1 , boleh jadi konvergen/divergen(harus di uji dengan metode lain)

Uji Pembanding Khusus

Deret yang di uji

~

1n

naS

Deret pembanding

a. Konvergen

~

1n

nbB

b. Divergen

~

1n

ndD

Aturan

1. Jika

~

1n

nb adalah deret positif dan konvergen 0na . Jika n

n

b

abernilai

berhingga maka

~

1n

naS adalah deret konvergen.

2. Jika

~

1n

nd adalah deret positif divergen 0na , jika ~0 n

n

d

a, maka

~

1n

naS adalah deret divergen.

Uji Konvergensi Deret Bolak-balik

1. Jika semua suku dianggap positif tetapi S konvergen maka disebut deret

konvergen mutlak (konvergen absolut)

2. Semua suku diambil absolutnya sehingga S adalah deret divergen maka

S boleh jadi divergen atau konvergen, perlu diuji lagi dengan metode lain

Teorema untuk menguji konvergensi deret bolak-balik

Teorema “ Sebuah deret bolak-balik disebut konvergen bila nilai mutlak deret itu

berkurang secara tunak menuju nol, dan bila nn aa 1 serta 0~

lim

na

n

Aturan yang berkaitan dengan konvergensi sebuah deret

1. Konvergensi/divergensi sebuah deret tidak berubah oleh pengalian

dengan tetapan, namun dapat berubah oleh penjumlahan

2. Jika

~

1

~

1

dan n n

nn ba keduanya diketahui konvergen maka operasi

penjumlahan dan pengurangan dari kedua deret itu menghasilkan deret

baru yang konvergen juga.

3. Deret konvergen mutlak, bila suku-sukunya disusun kembali maka tidak

akan mengubah konvergensi deret tersebut.

konvergensi mutlak deret na dikatakan konvergen mutlak jika deret nilai

mutlaknya na konvergen.

Uji Akar Cauchy

~

1 ~

lim

n

nnn a

nca

1c konvergen

1c konvergen

1c uji akar Cauchy tidak memberikan kesimpulan

Deret Taylor

~

0 !n

n

n

n

axafxf

n

n

aaa

aa axn

fax

fax

faxffxf )(

!....)(

!3

''')(

!2

'')(')(

)()(2)(

)()(

Deret Maclaurin

Merupakan deret Taylor dengan 0a

~

0 !0

n

nn

n

xfxf

nn

xn

fx

fx

fxffxf

!......

!3

'''

!2

''')(

)0(3)0(2)0(

)0()0(

Deret Maclaurin dari berbagai fungsi

Fungsi Deret Maclaurin

xsin ...

!7!5!3

753

xxx

x

xcos ...

!6!4!21

642

xxx

xe ...

!3!21

32

xx

x

xe ...

!3!21

32

xx

x

x1ln ...

432

432

xxx

x

Deret Binomial Newton

...!3

21

!2

111 32

x

pppx

pppxx

p

BAB II

BILANGAN KOMPLEK

iyxz dan

iyxzz *

Modulus zzrz

Sifat-sifat modulus

2121 zzzz dan

2

1

2

1

z

z

z

z

Jika iyxzr

dt

dz

dt

zd

dt

dzv

2

2

dt

zda

Impedansi

CLiRZ

1

2

2 1

CLRZ

Deret Geometri

r

raS

n

n

1

1

irez

innn erz

ninieni sincossincos

2

ni

nrerrez ni n

i

nnn

sincos111

BAB III

ANALISIS VEKTOR

AAA

ACURLDIVA

GRADCURL

BAABBAABBA

BABAABABBA

BAABBA

AAA

AAA

2

2

) ( 0

) ( 0

Integral garis :

2

1

p

pC

zC

yx dzAdyAdxArdArdA

Integral permukaan

S Skn

dxdynAdanAadA

ˆˆˆ

Catatan khusus untuk integrasi permukaan

1. Parameter dalam koordinat kartesius

kn

dxdyda

ˆ

2. Parameter dalam koordinat silinder

dzdyjxiadAn ˆ dengan a = jari-jari

3. Parameter dalam koordinat bola

ddazkyjxidAn sinˆ

Teorema Divergensi Gauss

V S

dSnAdVA ˆ

Teorema Stokes

C S

dSnArdA ˆ

CR

dxdyy

M

x

NNdyMdx

BAB IV

ANALISIS KOMPLEK

Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat orthogonal/kartesius

y

v

x

u

dan

y

u

x

v

Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat polar

v

rr

u 1 dan

u

rr

v 1

Persamaan Laplace

02

2

2

2

y

u

x

u dan 0

2

2

2

2

y

v

x

v

Suatu fungsi disebut analitik jika memenuhi persamaan Cauchy Rieman atau

persamaan Laplace

Integral lintasan

C C C

C C

udyvdxivdyudxdzzf

idydxivudzzf

Rumus Integral Cauchy

C z

n dzaz

zf

i

naf

12

!

Residu

zfzz

dz

d

mzza

m

m

m

01

1

0

1!1

1lim

Integrasi Residu0

CzfidzzfC

dlm di residu jmlh .2

Deret Taylor

~

0

0

0!n

n

n

n

zzzfzf

Deret Maclaurin

~

0 !0

n

nn

n

zfzf

Integrasi Trigonometri

Integral bentuk

2

0

sin,cos df

Lakukan subtitusi 2

cos1

zz

, i

zz

2sin

1 , dan

iz

dzd

Integral bentuk ~

~dxxf

Penyelesaiannya adalah

xsumbudibawahfresiduidxxf

xsumbudiatasfresiduidxxf

2

2

~

~

~

~

BAB V

TRANSFORMASI LAPLACE

~

0t

st dttfetfL

tf tfL

1

s

1

t 2

1

s

nt 1

!ns

n

ate

as

1

atsin

22 as

a

atcos

22

2

as

s

atsinh

22 as

a

atcosh

22 as

s

iate

ias

1

Rumus-rumus

sfds

dtftL

n

nnn 1 , tf di laplace_kan dulu

t

u

t

t

duufdttfs

sfL

00

1

~

ss

dssft

tfL

sfLt

tf '1 1

tftds

sFdL nn

n

n

11

Penyelesaian persamaan differensial dengan transformasi Laplace

1. Persamaan differensial → ty atau xy

2. Kenai transformasi Laplace pada kedua ruas kanan dan kiri sehingga

menjadi sy

3. Kenai syarat batas/syarat awal, misalnya 00 y

4. Bentuklah fungsi sfy

5. Kenai invers transformasi Laplace

tfsfLsfyL )()( 11

Rumus transformasi Laplace dalam persamaan differensial

1

00

1

''

0

'

00

23

'

00

2

0

......

'''

''

'

nnnn yysysyL

ysyysysyL

ysyysyL

ysyyL

yyL

Integral Bromwich

~

~2

1ic

ic

ztdzetfi

tf

Konvolusi

t

u

dutgtfsgsfL0

1 )(*)(

BAB VI

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bentuk Umum Persamaan Diferensial

byayaya ...''' 210

2

2

''dx

ydy

dx

dyy '

y merupakan peubah gayut (diatas)

x merupakan peubah bebas (dibawah)

PD Linier dan Non-Linier

PD Linier bila baa dan ,...., 10 adalah tetapan

PD Non-Linier bila fbaa dan ,......, 10 (peubah gayut)

PADA Homogen dan Non-Homogen

PD Homogen bila 0b

PD Non-Homogen bila 0b

Persamaan x

yx

dx

dy

2

3 adalah salah satu contoh PADA homogen, sifat ini

ditentukan oleh kenyataan bahwa pangkat x dan y yang terlibat dalam masing-

masing suku sama derajatnya (dalam hal ini berpangkat 1) kunci untuk

memecahkan persamaan homogen adalah dengan subtitusi vxy .

PERSAMAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA

1. Orde suatu persamaan diferensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi yang

muncul dalam persamaan ini.

2. Sebuah persamaan diferensial berorde n diperoleh dari suatu fungsi yang

memiliki n buah konstanta sembarang

3. Pemecahan persaman diferensial orde pertama

a) Dengan Integrasi langsung

xfdx

dy memberikan dxxfy

b) Dengan pemisahan variable

)().( xfdx

dyyF memberikan dxxf

dx

dyyF )().(

c) Persamaan homogen :

Subtitusikan vxy memberikan )(vFdx

dyxv

d) Persamaan Linier

QPydx

dy

Factor integrasi Pdx

eFI

Dan ingat bahwa Ae A ln

Memberikan FIdxQFIy ..

e) Persamaan Bernoulli

nQyPydx

dy

Bagilah dengan ny kemudian misalkan nyz 1

Dengan begini kembali menjadi jenis (d) di atas.

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA

1. Pemecahan persamaan yang berbentuk

)(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda

2. Persamaan karakteristiknya ialah

02 cbmam

3. Macam-macam kemungkinan jawab :

a. Kedua akarnya riil dan berbeda 1mm dan 2mm

Jawab umumnya ialah xmxmBeAey 21

b. Kedua akarnya riil dan sama 1mm (dua kali)

Jawab umumnya ialah BxAeyxm

1

c. Kedua akarnya kompleks jm

Jawab umumnya ialah xBxAey x sincos

4. Persamaan yang berbentuk 02

2

2

yndx

yd

Jawab umum nxBnxAy sincos

5. Persamaan yang berbentuk 02

2

2

yndx

yd

Jawab umum nxBnxAy sinhcosh

6. persamaan yang berbentuk )(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda

jawab umumnya

y fungsi komplementer (FK)+integral khusus (IK)

7. Untuk memperoleh fungsi komplementer (FK) pecahlah

02

2

cydx

dyb

dx

yda

untuk memperoleh IK, gunakan pemisalan bentuk umum ruas kanan.

Perhatikan : jika bentuk umum ruas kanan sudah tercakup dalam FK, kalikanlah

dengan x dan kemudian lanjutkanlah seperti biasa. Tentukanlah dahulu jawab

umum selengkapnya sebelum melakukan subtitusi untuk mencari konstanta

sembarang A dan B

Cara Menyelesaikan PD Non-Linier

Bentuk Umum PD Non-Linier

xPeybDaD n

cx

c konstanta

xPn Polinomial berderajat n

Penyelesaiannya ialah

PC YYy

Ada tiga kemungkinan untuk PY

1. batau acxQeY n

cx

P

2. xQxeY n

cx

P untuk baac tetapibatau

3. xQexY n

cx

P

2 untuk bac

BAB VII

DERET FOURIER

Koefisien Deret Fourier

L

L

n dxL

xnxf

La

cos

1

dxL

xnxf

Lb

L

L

n

sin

1

Deret Fourier

~

1

~

1

0 sincos2 n n

nnL

xnb

L

xna

axf

Deret Fourier dalam bentuk komplek.

dxexfL

C

L

L

L

xin

n

2

1

Deret Fourier

ixixixix

n

inx

n eCeCeCeCCeCxf 2

2

2

2110

~

~

Jika xf mempunyai periode L2 , maka koefisien deret Fouriernya ialah

LC

C

n dxL

xnxf

La

2

cos1

LC

C

n dxL

xnxf

Lb

2

sin1

2sinh

2cosh

zz

zz

eez

eez

Fungsi genap dan fungsi gasal

xf adalah fungsi genap, jika xfxf

xf adalah fungsi ganjil, jika xfxf

Perkalian antara dua fungsi memenuhi aturan berikut :

1. Fungsi genap dikalikan fungsi genap atau fungsi gasal dikalikan fungsi

gasal akan menghasilkan fungsi genap.

2. Fungsi genap dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi gasal.

0 jika xf fungsi gasal

L

L

dxxf

L

dxxf0

2 jika xf fungsi genap

Jika xf fungsi gasal

0na

L

n dxL

xnxf

Lb

0

sin2

Jika xf fungsi genap

A Q

P

N

R

L

n dxL

xnxf

La

0

cos2

0nb

NOTE : jika 0na maka 0a belum tentu nol

TEOREMA PARSEVAL

L

L

dxxfL

xf22

2

1

~

1

2~

1

2

2

02

2

1

2

1

4 n

n

n

n baa

xf

Deret Pangkat dalam dua variable

~

0

,!

1,

n

n

bafy

kx

hn

yxf

Deret Maclaurin diatas ialah 0 yx dan xh , yk

Differensial total

...

dz

z

fdy

y

fdx

x

fdf

Aturan Cramer

Dua buah persamaan linier :

rqypx

cbyax

Maka nilai x dan y ialah

qp

ba

rp

ca

y

qp

ba

qr

bc

x dan

GARIS DAN BIDANG

Persamaan bidang melalui titik CBA ,, ialah

ckbjaiN

ACABN

Persamaan bidang

0000 zzcyybxxa

000 ,, zyx merupakan titik CBA ,, .

Jarak terdekat titik P ke bidang A ialah

AN

nPQPR ˆ

N

Nn

ˆ

Perpotongan garis dengan bidang

Bidang 1 dczbyax

Bidang 2 srzqypx

kcjbiaN ˆˆˆ:1

krjqipN ˆˆˆ:2

Persamaan garis ialah 21: NN

, ini juga menunjukkan arah perpotongan kedua

bidang

Sudut antara 2 bidang

cos.. 2121 NNNN

21

21.cosNN

NN

Persamaan bidang melalui titik P yang tegak lurus terhadap bidang lain.

Persamaan bidangnya ialah :

20 Nrr

Dengan 2N

ialah :

12 NPQN

BAB VIII

FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELIPTIK

Fungsi Gamma

Definisi fungsi gamma

~

0

1 1 ndxexn xn

21

nnn

sin1

Rumus rekursi fungsi gamma

1untuk 11

1untuk 11

nnn

n

nnnn

Fungsi Beta

Definisi Fungsi Beta

1

0

11 0,0 1, qpdxxxqpBqp

Hubungan fungsi beta dengan fungsi gamma

qp

qpqpB

,

Fungsi Beta dalam bentuk trigonometri

2/

0

1212cossin2,

dqpBqp

Bentuk fungsi beta yang lain

~

0

1

1, dy

y

yqpB

qp

p

Integral Eliptik

Bentuk Legendre

Jenis Tak Lengkap Lengkap

I

022 sin1

,k

dkF

2/

022 sin1

k

dkF

II

dkkE 0

22 sin1,

dkkE

2/

0

22 sin1

III

0222 sin1sin1

,,kn

dnk

2/

0222 sin1sin1

,

kn

dnk

Bentuk Jakobi

Dengan subtitusi karcsin maka diperoleh

x

xkx

dxxkF

0222 '1'1

',

dxx

xkxkE

x

0

2

22

1

1,

x

xkxnx

dxxnk

02222 111

,,

Periodisitas Integral Eliptik

,2, kFnknkF

,2),( kEnknkE

Sifat ,, kFkF

BAB IX

TRANSFORMASI KOORDINAT

Perkalian dua buah matrik

ABC atau j

jkijik BAC

Transpose perkalian suatu matrik

TTTABAB

Invers perkalian suatu matrik

111 ABAB

Matrik Simetri dan antisimetri

Suatu matrik dikatakan simetri jika AAT

Sedang dikatakan antisimetri jika AAT

Matrik Ortogonal

1 MM T

Rotasi Sistem Koordinat

y

'x

'y

O x

2222 '' yxyx

Jumlah kuadrat variable yang baru sama dengan jumlah kuadrat variable yang

lama.

ORTHOGONAL dan ORTHONORMAL

Dua buah fungsi xA dan xB disebut “orthogonal” dalam interval ba, jika

0b

a

xx dxBA

Fungsi xA disebut normal atau ternormalisasi dalam interval ba, jika

12

b

a

x dxA

Dua buah fungsi disebut “ortonormal” dalam selang ba, jika

0b

a

nm dxxx

Sebuah fungsi disebut ortonormal dalam selang ba, jika

12

dxx

b

a

m

BAB X

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL,

HERMITE, DAN LAGUERE

A. Persamaan Diferensial Legendre.

Deret pangkat

~

0n

n

n xay

~

1

1'n

n

n xnay

~

2

21"n

n

n xanny

Persamaan diferensial legendre muncul pada penyelesaian persamaan

diferensial parsial dalam sistem koordinat bola, mekanika kuantum, teori medan,

dan distribusi suhu dengan simetri bola.

Bentuk persamaan diferensial legendre ialah

01'2"1 2 yllxyyx

Penyelesaian umum persamaan diferensial ini ialah

...

!5

4321

!3

21...

!4

321

!2

11 3

1

42

0

llllx

llxax

llllx

llay

Rumus Rodrigues

Merupakan metode untuk memperoleh polinomial legendre

ll

l

ll xdx

d

lxP 1

!2

1 2

Polinomial legendre yang di peroleh dari rumus rodrigues ialah

xxxP

xxP

xxP

xP

352

1

132

1

1

3

3

2

2

1

0

Fungsi pembangkit polinomial legendre

1, 21, 2

12

hhxhhx

Atau dapat ditulis sebagaiberikut

..., 2

2

10 xPhxhPxPhx

~

0

,l

l

l xPhhx

Fungsi pembangkit berguna untuk merumuskan hubungan rekursi/rekurensi.

Hubungan rekursi ini berguna untuk menyerderhanakan persoalan dan

membantu dalam pembuktian suatu persamaan.

Hubungan Rekursi

1. xPlxxPlxlP lll 21 112

2. xlPxPxxP lxll

3. xlPxxPxP lll 11

4. xlxPxlPxPx lll 1

21

5. xPxPxPl lll 1112

ORTHOGONALITAS DAN NORMALISASI POLINOMIAL LEGENDRE

xPll

dx

xdPx

dx

dl

l 11 2

Polinomial Legendre xPl sebenarnya merupakan pemecahan persoalan nilai

eigen Sturm-Liouville.

Polinomial Legendre membentuk himpunan fungsi orthogonal dalam selang

1,1 yang memenuhi hubungan

1

1

lmlml NdxxPxP

0 jika ml

0lm

1 jika ml

12

2

lN

Normalisasi Polinomial Legendre

22* NdxAdxAA

b

a

xx

b

a

x

Deret Legendre

Dalam basis polinomial Legendre xPl berbentuk

~

0l

ll xPCxf

Sehingga

...33221100 xPCxPCxPCxPCxf

Dengan

1

12

12dxxfxP

lC ll

Fungsi Legendre Asosiasi

01

1'2"12

22

y

x

mllxyyx

Atau

01

112

22

y

x

mll

dx

dyx

dx

d

Dengan penyelesaiannya yaitu

0 12/2 mxP

dx

dxxP lm

mmm

l

Atau dengan memasukkan rumus rodrigues diperoleh

lml

mlm

l

m

l xdx

dx

lxP 11

!2

1 22/2

Untuk m

0 !

!1

mxP

ml

mlxP m

l

mm

l

Fungsi Legendre Asosiasi juga membentuk himpunan fungsi orthogonal, yaitu

nl

m

n

m

lml

ml

ldxxPxP

!

!

12

21

1

Persamaan Diferensial Legendre Asosiasi lebih sering di kenal dalam variable

bebas sudut , yaitu dengan subtitusi cosx

0sin

1sinsin

12

2

y

mll

d

dy

d

d

B. Persamaan Diferensial Bessel

PD Besel ialah

0'" 222 ypxxyyx

Atau

0'' 22 ypxxyx

Penyelesaiannya berupa fungsi Bessel yaitu

~

0

2

211

1

n

pnn

p

x

pnnxJ

Penyelesaian kedua Bessel

~

0

2

211

1

n

pnn

p

x

pnnxJ

Penyelesaian Umum PD Bessel ialah

xBJxAJxy pp

Untuk kasus p bilangan bulat, sebagai pengganti penyelesaian kedua

persamaan diferensial Bessel xJ p diperkenalkan fungsi Neumann

p

xJxJpxYxN

pp

ppsin

cos

Dengan demikian penyelesaian umum PD Bessel ialah

xBNxAJxy pp

Fungsi Bessel dan Aplikasinya

P.D Bessel

0 0'" 222 nynxxyyx

Solusi/penyelesaian umum P.D Bessel ini ialah

xYCxJCy nn 21

Bentuk P.D Bessel yang lain

0'" 2222 ynxxyyx

Dengan penyelesaian umum

xYCxJCy nn 21

Persamaan diferensial Bessel biasanya kita temui dari persamaa laplace 02 u

yang diungkapkan dalam koordinat silinder z,,

Fungsi Bessel bentuk yang pertama

...42224.2222

112

42

nn

x

n

x

n

xxJ

n

n

n

C. Persamaan Diferensial Hermite

Persamaan Diferensial Hermite diberikan oleh

02'2" nyxyy

Polinomial Hermit diberikan oleh rumus Rodrigues

22

1 x

n

nxn

n edx

dexH

Fungsi pembangkit untuk polinomial Hermite

~

0

2

!

2

n

nnttx tn

xHe

...!3!2

132

xx

xe x

Rumus Rekursi untuk Polinomial Hermite

xnHxxHxH nnn 11 22

xnHxH nn 12'

Ortogonalitas polinomial Hermite

nmdxxHxHe nm

x

0

~

~

2

Untuk nm

!22

~

~

2

ndxxHe n

n

x

Deret polinomial hermite

...221100 xHAxHAxHAxf

Dengan nA ialah

dxxHxfen

A n

x

nn

~

~

2

!2

1