Bab - · PDF fileBab D: \My Documents ... Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler ......

$: Bab - · PDF fileBab D: \My Documents ... Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler ... Pada metoda diferensi hingga penyelesaian pendekatan didapat pada titik-titik hitung$
Metoda Numerik hal. 61

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Jack la Motta

Bab

D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Dalam bidang teknik sering dijumpai persamaan suatu fenomena alam yang

dinyatakan dalam persamaan diferensial biasa (PDB) Contoh:

♦ Problem nilai awal: y’ = f(x,y) dengan y(x0) = Y0

♦ Problem nilai batas: y” = g(x,y,y’) dimana a<x<b

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

)('

)(

)('

)(

γγ

bu

buB

au

auA

dengan A & B adalah matrik 2x2 dan ┛1 & ┛2 konstanta yg telah diketahui.

Taylor series

Taylor mengatakan bahwa suatu fungsi dengan sifat tertentu dapat dinyatakan

sebagai

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...!

...!2!1 00

2

00 +++′′+′+= xfn

hxf

hxf

hxfxf n

n

atau

( ) ( )000

2

00 ...!

...!2!1

xxhyn

hy

hy

hyxy

nn

−++++′′+′+=

Deret ini akan digunakan dalam bab ini

Contoh: ( ) 10,02

1==−′ yyy

Secara analitis

∫ ∫=

=→=

dxdyy

dxy

dyy

dx

dy

2

11

2

1

2

1

Jadi ceycxynx

+=→== 2

2

11

Jika ( ) 0110 20

=→+=→= ccey

Maka secara analitis 2x

ey =

Dengan deret Taylor dapat diselesaikan sbb:

Persamaan Differensial Biasa Buku kuliah



D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

Pers. Asli

( )

( )

( )

( )8

10

2

1'

4

10

2

12

10

2

1

0102

10

=′′′′′′=′′′

=′′′′=′′′

=′′=′′

===′

yyy

yyy

yyy

xyyy

Jadi ( ) ...384

1

48

1

8

1

2

11 432 +++++= xxxxxy

Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler

Cara numeris untuk menyelesaikan problem nilai awal adalah diferensial hingga.

Pada metoda diferensi hingga penyelesaian pendekatan didapat pada titik-titik

hitung

......210 <<<<< nxxxx

dan nilai pendekatan pada setiap nx diperoleh dengan menggunakan nilai-nilai

yg didapat sebelumnya.

Ditinjau PDB: ( ) ( ) 00,, Yxyyxfy ==′

Penyelesaian sesungguhnya ditulis Y(x), sehingga pers. diatas menjadi:

Y’(x) = f(x, Y(x)), Y(x0) = Y0

y

x

2

8

1

2

11 xxy ++=

32

384

1

8

1

2

11 xxxy +++=

2/xey =

xy2

11+=




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

Penyelesaian pendekatannya ditulis y(x) dan nilai y(x0), y(x1), …, y(xn), … atau

ditulis sebagai y0, y1, …, yn, … sebuah pias 0⟩h digunakan untuk

mendefinisikan titik-titik hitung

...,1,00 =+= jjhxx j

Jika akan diadakan perbandingan penyelesaian pendekatan untuk

beberapa nilai h, maka yh(x) digunakan untuk menyatakan y(x) dengan pias h.

7.1. Metoda Euler

Dengan deret Taylor hitung Y(xn+1) dengan menggunakan Y(xn)

( ) ( ) ( ) ( )nnnn Yh

xYhxYxY ξ′′+′+=+ 2

2

1

dengan 1+≤≤ nn xx ξ

Rumus Euler menjadi: ( ) ...,2,1,0,1 =+=+ nyxhfyy nnnn

dengan 00 Yy =

Kesalahan diskritisasi adalah

( ) ( )nnn Yh

yxY ξ′′=− ++ 2

2

11

Contoh: PDB ( ) ( ) xexYyyy =→==′ 1, 0

Rumus Euler uth 2.0=h

nnnn yyyy 2.12.01 =+=+

441212121

2112121

12

01

...y.y

..y.y

=×===×==

Jika ditabelkan:

h x yh(x) Yh(x) Yh(x)- yh(x) 0.2 0.4 1.44000 1.49182 0.05182 0.8 2.07360 2.22554 0.15194 1.2 2.98598 3.32012 0.33414 1.6 4.29982 4.95303 0.65321 2.0 6.19174 7.38906 1.19732 0.1 0.4 1.46410 1.49182 0.02772 0.8 2.14356 2.22554 0.08198 1.2 3.13843 3.32012 0.18169




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

h x yh(x) Yh(x) Yh(x)- yh(x) 1.6 4.59497 4.95303 0.35806 2.0 6.72750 7.38906 0.66156

Perhatikan bahwa kesalahan menurun ½ dari nilai pertama karena h dikecilkan ½ kali

7.2. Metoda ‘Multi–Step’

Secara umum rumus langkah majemuk dapat ditulis sebagai:

( )∑ ∑= −=

−−−+ ≥+=p

j

p

j

jnjnjjnjn pnyxfbhyay0 1

1 ,

Koefisien pp bbbaa ...,,,,...,, 010 − adalah suatu konstanta, dan 0≥p

Jika 0≠pa dan 0≠pb , metoda ini disebut metoda langkah (p+1), karena (p+1)

nilai pendekatan sebelumnya digunakan untuk menghitung 1+ny . Nilai pyy ...,,1

harus dihitung dengan cara lain.

Metoda Euler adalah metoda langkah tunggal karena p = 0, dan 10 =a , 01 =−b ,

10 =b .

Jika 01 =−b maka ( )1+nxY hanya terdapat pada ruas kiri, sehingga rumusnya

disebut rumus eksplisit.

Jika 01 ≠−b , maka ( )1+nxY terdapat diruas kanan maupun kiri, sehingga disebut

rumus implisit.

Koefisien ja dan jb dapat dihitung dari

( ) ( ) mibjiaj

bjaa

p

j

j

p

j

i

j

i

p

j

p

j

p

j

jjj

...,,21

11

0 1

1

0 0 1

==−+−

=+−=

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= −=

−

= = −=

Rumus terakhir menjamin bahwa ( )xY dapat diderivikasikan ( )1+m

kali.

Jika 00 =a , 11 =a , 01 =−b , 20 =b , maka didapat rumus untuk metoda titik

tengah

( )nnnn yxhfyy ,211 += −+ n ≥ 1




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

Merupakan metoda langkah ganda yang explisit.

Jika 10 =a , 2

101 ==− bb , maka didapat rumus trapesium yang implisit dan

merupakan metoda langkah tunggal:

( ) ( )[ ]111 ,,2

1+++ ++= nnnnnn yxfyxfhyy , n ≥ 0

7.2.1. Metoda Trapesium

Metoda ini dapat pula dijabarkan dari:

Y’(t) = f(t, Y(t))

Diintegrasikan dari [ ]1, +nn xx

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) 1

3

111 12,,

2

1

)(,1 1

++++ ≤≤′′′−+=−

=′∫ ∫+ +

nnnnnnnnnn

x

x

x

x

xxYh

xYxfxYxfhxYxY

dttYtfdttYn

n

n

n

ξξ

sehingga pendekatannya menjadi

( )( ) ( )( )[ ]111 ,,2

1+++ ++= nnnnnn xYxfxYxfhyy

Karena rumusnya implisit, maka yn+1 dapat dihitung dengan iterasi, jadi secara

umum:

( ) ( ) ( )( )[ ]j

nnnnn

j

n yxfyxfhyy 111

1 ,,2

1++

++ ++= j=0, 1, …

Langkah-langkah hitungan:

1. xn,yn telah diketahui/dihitung pada langkah sebelumnya

2. ( )01+ny diprakirakan dgn rumus eksplisit, misalkan

( ) ( )nnnn yxhfyy ,01 +=+

3. ( )01+ny dimasukkan kedalam ruas kanan sehingga ( )1

1+ny dapat dihitung

4. langkah 2 diulang s/d ketelitian yang dikehendaki Walaupun secara umum dapat diselesaikan dengan iterasi, tetapi mungkin dapat

diselesaikan dengan cara lain atau bahkan tanpa iterasi tergantung dari ƒ(x,y).

Contoh: y’= y y(0) = 1

Karena ƒ(x,y) = y, maka ( )11 2

1++ ++= nnnn yyhyy




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

nn yh

h

y

21

21

1

−

+=+

Untuk nnn yyyh 2222.19.0

1.12.0 1 ==→= +

49383.12222.12222.12222.1

12222.12222.1

12

01

=×==×==

yy

yy

Jika ditabelkan:

x yh(x) Yh(x) Yh(x)- yh(x) 0.4 1.49383 1.49182 -0.00200 0.8 2.23152 2.22554 -0.00598 1.2 3.33350 3.32012 -0.01339 1.6 4.97968 4.95303 -0.02665 2.0 7.43878 7.38906 -0.04972

7.3. Metoda Runge-Kutta (RK)

Metoda Runge-Kutta merupakan metoda langkah tunggal yang lebih teliti

dibandingkan metoda Euler.

Semua metoda RK dapat ditulis sebagai:

( )hyxhyy iii ,,11 Φ+=+

dengan ( )hyx ii ,,Φ disebut fungsi penambah

7.3.1. Metoda RK derajat dua

21 bkak +=Φ

dengan ( )ii ,yx fk =1

( )( )

( )ii

iiii

yph,qhkxf

y,yxph,qhfxfk

++=++=

1

2

dimana a,b,p,q akan ditentukan kemudian.

Ditinjau deret Taylor untuk 2 variabel (x,y):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]32

2

,2

1,

,2

1,,,,

srOyxfsyxrsf

yxfryxsfyxrfyxfsyrxf

yyxy

xxxx

+++

++++=++




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

( ) ( ) ( ) ( )212 hO,yxqhfk,yxphf,yxfk iiyiixii +++=∴

Jadi

( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]iiyiiiixiiiii

iiii

,yxf,yxbqf,yxpbf h,yxbf,yxafhy

,h,yxhfyy

++++=

+=+

2

1 (A)

Dengan deret Taylor:

( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]iiyiiiixiii

yiii

iixiiii

,yxf,yxf,yxfh

,yxhfy

yyyh

yhy

...,yxy!

h,yxyhyy

+++=

′′+′′+′+=

+′+′+=+

2

2

2

2

2

2

1

(B)

21

21 , ,1 ===+→= bqbpbaBA

Tidak dapat diselesaikan karena hanya ada 3 persamaan dengan 4 bilangan anu

yaitu a,b,p,q. Biasanya nilai b adalah ½ atau 1.

♦ Untuk b = ½, a = ½, p =q = 1

( ) ]}),(,{,[2

Euler metodadgn dihitung 1 di slope

1utk Euler

di slope

1 4444 34444 21

48476

43421+

+

+ ++++=

ix

iy

iiii

ix

iiii yxhfyhxfyxfh

yy (C)

Jadi metoda RK dapat dipandang sebagai metoda ‘predictor-corrector’

1. Langkah predictor:

a. prakirakan 1+iy dengan metoda Euler

b. slope (y’) dititik ( )11, ++ ii yx adalah ( )11, ++ ii yxf

2. Langkah corrector: a. hitung slope (y’) dititik (xi, yi) yaitu f(xi, yi) b. hitung slope rerata = (slope 1.b + slope 2.a)/2 c. hitung yi+1 = yi + h x hasil 2.b

♦ Untuk b = 1, a = 0, p = q = ½

( )( )iiiiii yxhfyhxhfyy ++++=+ 21

21

1 ,

7.3.2. Metoda RK berderajat tiga

[ ]( )( )( )123

121

22

1

32161

1

2,

,

,

4

hkhkyhxfk

hkyxfk

yxfk

kkkhyy

ii

ih

i

ii

ii

−++=

+=

=

+++=+




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

7.3.3. Metoda RK berderajat empat

7.3.3.1. Metoda Pertama

( )( )( )( )( )32

121

4

221

21

3

121

21

2

1

432161

,

,

,

,

22

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

kkkkyy

ii

ii

ii

ii

hii

++=

++=

++=

=

++++=+

7.3.3.2. Metoda Kedua

( )( )( )( )( )3214

2131

32

3

131

32

1

432181

,

,

,

,

33

hkhkhkyhxfk

hkhkyhxfk

hkyxfk

yxfk

kkkkyy

ii

ii

ih

i

ii

hii

+−++=

+−+=

++=

=

++++=+

7.3.3.3. Metoda Ketiga

Metoda inilah yang paling banyak digunakan

( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( )( )( )( )32

122

14

221

121

21

3

121

2

1

432161

1

1,

1121,

,

,

2222

hkhkyhxfk

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

kkkkhyy

ii

ii

ii

ii

ii

++−+=

−++−++=

++=

=

+−+−++=+

Contoh: yy 21=′ ( ) 10 =y Ú eksak ( ) 2

x

exY =

( ) 648721271.11 21 == eY

Diselesaikan dengan RK4: ( ) Yyxf 21, =

( ) ( ) 21

21

001 110 =×=== ,f,yxfk

( ) ( )( ) 8

545

21

45

21

21

21

21

121

021

02 1110

===

++=++=

.,f

..,.fhkh,yxfk

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )( )[ ] 643310111211

121

85

21

21

21

21

221

121

021

03

.

hkhkh,yxfk

=−++−+=

−++−++=




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

( )( )( )( ) ( )( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( )[ ] 6484375182812506443102201

82812506433101111

1

21

61

21

85

21

21

321

221

004

...yy

..

hkhkh,yxfk

=++++=

=++−=

++−+=

7.4. Metoda ‘Predictor-Corrector’

Metoda langkah majemuk berdasarkan rumus integrasi. Secara umum metoda

ini mengintegrasi PDB pada interval [xi-k, xi+1] sebagai berikut:

( )

( )

( )∫

∫∫+

−

+

−

+

−

+=

=

=′

−+

1

11

,

,

,

1

i

ki

i

ki

i

ki

x

x

kii

x

x

y

y

dxyxfyy

dxyxfdy

yxfy

f(x, y) didekati polinomial derajat r, ( ) ∑=

=Φr

j

j

j xax0

Integrasi terbuka dan beda terbagi mundur menghasilkan:

♦ untuk k = 0, r = 3

( )321241 9375955 −−−+ −+−+= iiiih

ii ffffyy O(h5)

♦ untuk k = 1, r = 1

iii hfyy 211 += −+ O(h3)

♦ untuk k = 3, r = 3

( )21134

31i 22y +−−+ +−+= fffhy iii (I) O(h5)

♦ untuk k = 5, r = 5

( )4321103

51 1114261411 −−−−−+ +−+−+= iiiiiii fffffhyy O(h7)

Integrasi tertutup dan beda terbagi mundur menjadi:

♦ untuk k = 0, r = 3

( )211241 5199 −−++ +−++= iiiih

ii ffffyy O(h5)

♦ untuk k = 5, r = 5

( )11311 4 −+−+ +++= iiih

ii fffyy (II) O(h5)




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

♦ untuk k = 3, r = 5

( )3211452

31 712327 −−+−+ ++++= iiih

ii ffffyy O(h7)

Kesulitan metoda langkah majemuk adalah pada saat permulaan kiy − belum

terhitung sehingga harus harus dihitung dengan cara lain, misalnya metoda Euler.

Dari hasil di atas tampak bahwa integrasi terbuka memberikan rumus eksplisit;

sehingga hitungan tidak menggunakan iterasi. Integrasi tertutup menghasilkan

rumus implisit, sehingga membutuhkan iterasi.

Walaupun menggunakan iterasi, integrasi tertutup lebih disukai karena

ketelitiannya lebih tinggi.

Contoh:

Pada (I) kesalahan: ( )ξ)4(5

15

14fh 13 +− ≤≤ ii xx ξ

(II) kesalahan: ( )ξ)4(5

90

1fh− 13 +− ≤≤ ii xx ξ

♦ Rumus Adam-Bashforth (eksplisit)

1. ( )nnnn YhYhYY ξ′′+′+=+2

21

1

2. [ ] ( ) ( )nnh

nn YhYYYY ξ33125

121 3 +′−′+= −+

3. [ ] ( ) ( )nnnnh

nn YhYYYYY ξ4483

21121 51623 +′+′−′+= −−+

4. [ ] ( ) ( )nnnnnh

nn YhYYYYYY ξ55720251

321241 9375955 +′−′+′−′+= −−−+

♦ Rumus Adam – Moulton (implisit)

1. ( )nnnn YhYhYY ζ′′−′+= ++2

21

11

2. [ ] ( ) ( )nnnh

nn YhYYYY ζ33121

121 −′+′+= ++

3. [ ] ( ) ( )nnnnh

nn YhYYYYY ζ44121

11121 85 −′−′+′+= −++

4. [ ] ( ) ( )nnnnnh

nn YYYYYYY ζ572019

211241 5199 −′+′−′+′+= −−++

7.4.1. Algoritma ‘Predictor-Corrector

Rumus A-M membutuhkan penyelesaian iterasi, sedangkan rumus A-B tidak,

tetapi A-M ketelitiannya lebih tinggi. Algoritma ‘predictor-corrector’ berusaha

menggabungkan keuntungan kedua rumus diatas, sebagai berikut:




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

1. Gunakan rumus A-B untuk memperkirakan 1+nY (predictor; rumus A-B)

2. Hitung 1+nY memakai rumus A-M tanpa iterasi dengan memakai 1+nY nilai

dari a (corrector; rumusA-M)

Contoh:

1. A-B-M derajat 4:

a. Predictor A-B

[ ]3211 937595524 −−−+ −+−+= nnnnnn ffffhyy

b. Corrector A-B

[ ]2111 519924 −−++ +−−+= nnnnnn ffffhyy

2. Rumus Milne derajat 4:

a. Predictor

( )2131 2234

−−−+ +−+= nnnnn fffhyy

b. Corrector

( )1111 43 −+−+ +++= nnnnn fffhyy

Contoh penggunaan:

021 =− y

dx

dy y(0)=1 å hitung y(1) = ?

Penyelesaiaan:

( ) yyxfyy 21

21 , =→=′ Catatan: solusi eksak 2

x

eY =

Digunakan h = 0.25

Euler nnn hfyy +=+1

i xi yi f(xi,yi)

n-3 0.00 1.0000 0.5000 n-2 0.25 1.1250 0.5625 n-1 0.50 1.2656 0.6328 n 0.75 1.4238 0.7119

n+1 1.00 1.6018 0.8009

A – B –4:

[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]

)(predictor 6127.118887.04238.1

50.095625.0376328.0597119.055

9375955

2424.0

321241

=+=

−+−+=

−+−+= −−−+

n

nnnnh

nn

y

ffffyy

A-B-M-4:




D:\M

y D

ocum

ents

\Pub

likas

i\Met

oda

Num

erik

\Met

oda

Num

erik

.doc

(20

28 K

b)

[ ]

( ) ( ) ( )[ ]corrector) -(predictor 6132.11894.04238.1

5625.06328.057119.0198063.094238.1

5199

8063.06127.1

2425.0

211241

21

121

1

=+=

+−++=

+−++=

=×==

−−++

++

nnnnh

nn

nn

ffffyy

yf

A-M-4:

Iterasi 2: ( ) ( ) ( )[ ]613216.0

5625.06328.057119.0198066.094238.1

8066.06132.1

2425.0

1

21

1

=

+−++=

=×=

+

+

n

n

y

f

Iterasi 3:

M

613217.1

8066.0

1

1

==

+

+

n

n

y

f

Iterasi 9: 613217.1

80661.0

1

1

==

+

+

n

n

y

f

Tampak bahwa algoritma ‘predictor-corrector sudah mencukupi dibandingkan

dengan iterasi. Tabel hasil

x ex/2 Euler A-B-4 A-B-M-4 0,00 1,0000 1,0000 - - 0,25 1,13315 1,1250 - - 0,50 1,28403 1,2656 - - 0,75 1,45499 1,4238 - - 1,00 1,64872 1,6018 1,6127 1,6132

-2,846% -2,185% -2,154%

Untuk latihan: hitung y(1) = ? dengan h = 0,125, bandingkan dengan hasil

h = 0,25



y(

)

DAFTAR PUSTAKA

Carnahan, Brice, H.A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969.

Spiegel, R. Murray, Theory and Problems of Statistics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill International Book Company, Singapore, 1981.

Al-Khafaji, Amir Wahdi, John R.Tooley, Numerical Methods in Engineering Practice, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1986.

Anonim, fx–7000G Owner’s Manual, CASIO®

Atkinson, Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989.

James, M.L., G.M. Smith, J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital Computation with Fortran and CSMP, 2nd Edition, Harper International Edition, New York, 1977.

Bab - · PDF fileBab D: \My Documents ... Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler ......

Documents

Transcript of Bab - · PDF fileBab D: \My Documents ... Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler ......