04/20/23 1

BAB. 9 (Kerja, Energi dan

Daya)

04/20/23 2

Setelah pertemuan selesai, peserta (mahasiswa)

diharapkan dapat menentukan besaran-besaran

usaha, energi dan daya dalam persoalan mekani-

ka sederhana.

Tujuan Instruksional:

04/20/23 3

Konsep Kerja-Energi

Kerja (W) dan energi (E) merupakan konsep alter-

natif untuk menyelesaikan persoalan gerak.

W dan E dikembangkan dari konsep (F) dan gerak.

Konsep W dan E merupakan penghubung antara

mekanika Newton dengan bagian ilmu fisika yang

lain (gelombang, fisika panas, dan listrik magnet)

W dan E juga menjadi penghubung antara ilmu

fisika dengan bidang ilmu lainnya (kimia, elektro,

mesin, ilmu gizi dll)

04/20/23 4

F, dasar pembicaraan di dalam dinamika.

Misal F, sebagai f(t) atau tetapan memudahkan kita untuk menginformasikan tentang I dan p.

F sebagai f(r) akan memunculkan besaran E.

Arah F, tetap (misal gaya berat) akan memberikan (menginformasikan) konsep energi potensial (Ep).

Kelengkapan informasi F, akan mempermudahkan pemberian informasi besaran lain sepanjang ben-tukan sifat khusus F diperlukan.

Pendahuluan.

Apabila informasi F tidak lengkap, akhirnya infor-masi gerak tidak akan kita peroleh.

04/20/23 5

Bagaimana Mekanisme Perubahan Bentuk Energi ?

Kerja (W), karena F dapat merubah bentuk E.

E, hanya dapat berubah bentuk, dari bentuk satu

berubah menjadi bentuk lain.

Contoh PLTA.

Air sungai di tempat yang tinggi mempunyai Ep

yang besar (nantinya sebagai bentuk air terjun).

Interaksi, dapat merubah bentuk E.

04/20/23 6

Jika air sungai menemukan terjun, maka F gra-

vitasi merubah Ep air menjadi energi kinetik (Ek)

dari air terjun.

Kerja turbin, yang membawa kumparan berputar

merubah Ek turbin menjadi energi listrik.

Ketika air terjun tersebut menumbuk turbin, maka

W oleh F tumbukan tersebut diubah Ek air terjun

menjadi Ek turbin.

E adalah suatu besaran yang menunjukkan ke-

mampuan untuk melakukan W.

Lanjutan.

04/20/23 7

Apakah kerja itu?

0rang memindahkan bangku dari satu tempat ke

tempat lain

Mesin traktor memindahkan tanah

Semut membawa makanan

0rang, mesin traktor dan semut melakukan usa-

ha/kerja (mekanik)

04/20/23 8

A. Konsep Kerja (W)

Gaya F bekerja pada suatu benda, dan benda

mengalami perpindahan sejauh dr artinya F ter-

sebut telah melakukan usaha (kerja).

W besaran skalar.

Jika, akibat F bekerja pada suatu benda, maka benda akan berpindah dari A B.

Kerja, B

A

dW rF .

W, dilakukan oleh sebuah F, pada suatu benda

sebagai hasil perkalian titik antara F tersebut de-

ngan perpindahan dimana F itu bekerja.

04/20/23 9

Persm di atas dapat dihitung jika informasi F jelas,

[F sebagai tetapan atau fungsi perpindahan F (r)].

F

r

W = F r cos → W = F . r

Lanjutan.

04/20/23 10

W merupakan pernyataan dot product sehingga

hasilnya skalar,

Besaran FT = F cos merupakan nilai F dalam

arah perpindahan. Koordinat kartesian (tiga dimensi) persm gaya di-

nyatakan sebagai:

B

A

T

B

A

drFWdrFW atau cos

Gaya, F = Fx i + Fy j + Fz k

W = F . dr = (Fx dx + Fy dy + Fz dz)

Perpindahan, dr = dx i + dy j + dz k,

04/20/23 11

Bila F searah dengan gerak dan pergeseran (per-pindahan) dan berupa garis lurus, maka besarnya FT = F sehingga kerja menjadi:

W = F r

Satuan usaha N m atau kg m2 s-2 dan disebut joule (J), James Prescott Joule (1818 – 1889).

Apabila gerakan benda berupa garis lurus dan gaya F membuat sudut maka usahanya,

W = F r cos

Dua komponen yang harus ada dalam usaha - kerja

Pelaku yang memberikan gaya (F) pada benda dan perpindahan (r) benda.

04/20/23 12

F = 600 N digunakan orang untuk menggeser benda sejauh 2 m. Carilah W yang dilakukan oleh F tersebut jika dengan perpindahan:a. searah b. tegak lurus c. berlawanan

Contoh.

b. W = F r cos = (600 N)(2 m) cos 90o = 0 J.

Penyelesaian.

a. W = F r cos = (600 N)(2 m) cos 0o

= 1200 J.

c. W = F r cos = (600 N)(2 m) cos 180o

= - 1.200 J

04/20/23 13

Sebuah F = 6 t (N) bekerja pada sebuah partikel m = 2 kg. Bila partikel mula-mula diam, carilah W yang dilakukan F selama dua detik pertama ?

Contoh.

W = ∫ F dr tidak dapat langsung digunakan kare-

na gaya F(t).

Penyelesaian.

22

0

2

00

5,1 2

6 tvdt

tdtadv

v

m 4)2( 5,0 5,0 5,1 332

0

2

0

txdttdxx

04/20/23 14

Sekarang peroleh x sebagai fungsi t, yaitu

33 260,12 xxt 3 260,1 )6( xF

J 0,36

) )3/4)(260,1( )6( ) 260,1( )6(4

0

3 44

0

3

xdxxW

J 0,36

4

9 ) 5,1( ) 6(

2

0

42

0

2

tdtttW

04/20/23 15

B. Konsep Energi.

1. Energi Kinetik (Ek).

Gaya (F), bekerja pada suatu benda akan me-nyebabkan perpindahan (sebesar dr).

dt

d

d

dm

dt

dm

r

r

vF

vF .,IINewton Hukum

22 ). mvmvddmd2

1

21

( vvrF

Besaran, ½ m v2 disebut Ek ,(besaran skalar).

Ek, adalah energi yang terkandung di dalam ob-yek (benda) yang bergerak.

04/20/23 16

Contoh, palu digerakkan agar mempunyai Ek sehingga ketika palu mengenai paku, palu dapat melakukan W terhadap paku sehingga paku da-pat menancap pada dinding.

Kerja (W) = perubahan Ek,

W = ΔEk = ½ m v2 – ½ m vo2.

m

dr

vo v

F F

W = F . dr = ½ m v2 – ½ m vo2.

W menghasilkan perubahan Ek.

04/20/23 17

0rang mendorong benda m = 0,1 kg di dalam bi-

dang horisontal. Benda yang semula diam dido-

rong dengan F = 5 N sejauh 2 m.

a. Berapa W yang dilakukan gaya tersebut ?

b. Berapa Ek akhir ?

c. Berapa v akhir benda ?

Contoh.

Benda mula-mula diam berarti Eko = 0.

Penyelesaian.

a. W = F r cos = (5 N)(2 m)(cos 0o) = 10 J.

b. W = Ek - Eko atau Ek = Eko + W

Ek = 0 + 10 J = 10 J

04/20/23 18

c. Kecepatan akhir, Ek = ½ m v2 sehingga,

1s m 210

1,0

)10( 2 2

m

Ekv

04/20/23 19

2. Energi Potensial (Ep).

Ep besaran scalar.

W dari benda karena F tetap memungkinkan memunculkan konsep Ep, (tetapi tidak setiap F tetap akan memunculkan Ep).

Ep, energi yang terkandung dalam suatu sis-

tem/benda karena konfigurasi sistem tersebut

atau karena posisi benda tersebut.

Contoh (Ep), untuk menancapkan tiang pan-cang pada pekerjaan konstruksi bangunan, be-ban ditarik ke atas kemudian dilepaskan se-hingga menumbuk tiang pancang,

04/20/23 20

Apabila benda berpindah dari A (posisi rA) B

(posisi rB), W yang dilakukan pada benda,

)( AB

B

A

rrFWdW rF .

F yang memiliki sifat seperti di atas, W tidak

tergantung pada lintasan tetapi hanya tergantung

pada posisi awal dan akhir.

Gaya berat (= w), merupakan gaya gravitasi ben-

tuk F yang arah dan besar tetap (w = m g) dan

[arah menuju pusat bumi (- j)].

04/20/23 21

Dalam koordinat kartesian tiga dimensi, vektor

posisi benda dinyatakan sebagai:

0A = rA = xA i + yA j + zA k

0B = rB = xB i + yB j + zB k

Perpindahan posisi dari A → B dinyatakan sebagai,

rB – rA = (xB - xA) i + (yB - yA) j + (zB - zA) k

0

rA

rB

A B

m g

Lanjutan.

04/20/23 22

Gaya, F = - m g j

W = F . Δr = m g (yA – yB) = - m g (yB – yA)

Pernyataan m g y disebut energi potensial (Ep).

W = EpA - EpB

= - (EpB – EpA) = - Ep

Satuan energi potensial (Ep) joule.

Negatip (-) dari W karena F gravitasi bumi meng-

hasilkan perubahan Ep gravitasi bumi.

Lanjutan.

04/20/23 23

Jika y posisi benda [menyatakan tinggi tempat

(dinotasikan h)] maka Ep, Ep = m g h.

W, F berat merupakan negatif (-) perubahan EP

awal dan akhir.

Jika lintasan tertutup [edar benda kembali ke po-

sisi semula (awal), semula berposisi pada A dan

kembali ke A], maka W = 0.

F melakukan kerja [W, (-)], artinya Ep berubah

dari potensial rendah menuju tinggi, dan sebalik-

nya.

Lanjutan.

04/20/23 24

Contoh.

Benda m = 3 kg, diangkat naik dari permukan ta-

nah sampai setinggi 2 m. Berapa W yang

dilakukan ? Berapakah Ep-nya sekarang ?.

Percepatan gravi-tasi bumi 10 m s-2

W = (3 kg)(10 m s-2)(0) - (3 kg)(10 m s-2)(2 m)

= - 60 J

Penyelesaian.

Tanda (-) artinya kita perlu mengeluarkan tenaga untuk mengangkat benda m = 3 kg sampai seting-gi 2 m (yaitu 60 J).

Ep benda sekarang adalah m g h,

Ep = (3 kg)(10 m s-2)(2 m) = 60 J

04/20/23 25

Soal:

Sebuah batu ber-m = 2 kg dijatuhkan dari ketinggi-an

5 m. Bila gesekan diabaikan, maka tentukan:

perubahan Ep benda, Ek pada saat dia sampai di

tanah, kecepatan benda saat menyentuh tanah !

Penyelesaian.

?

04/20/23 26

Soal

Berapakah kira-kira beda ketinggian antara jalan di depan asrama dan di pertigaan tersebut?

Seorang mahasiswa mengendarai sepeda dari tem-pat parkir FKIP kembali ke asrama. Pada saat men-capai pertigaan, awal jalan menurun menuju asra-ma, kelajuan sepeda adalah 5 m s-1 dan mahasiswa tersebut berhenti mengayuh sepeda dan sepedanya dibiarkan melaju tanpa direm. Ketika hampir sam-pai asrama ternyata kelajuan sepedanya mencapai 15 m s-1.

Penyelesaian.

?

04/20/23 27

Soal.

Seorang mahasiswa mengangkat buku ber-m =

0,5 kg dari lantai ke atas meja yang tingginya 75

cm dengan melawan F gravitasi.

Tentukan:

A. W yang dilakukan oleh mahasiswa tersebut.

B. W yang dilakukan F gravitasi.

Penyelesaian.

?

04/20/23 28

Soal.

Penyelesaian.

Sebuah batu ber-m = 2 kg dijatuhkan dari ke-tinggian 5 m. Bila gesekan diabaikan, tentukan (a) perubahan Ep benda, (b) Ek pada saat dia sampai di tanah, (c) v benda saat menyentuh tanah

?

04/20/23 29

Bentuk Energi Lain

Energi listrik, Ep elektromagnetik dan Ek elektron

yang mengalir pada penghantar dan pada peralatan

listrik

Energi kimia, Ep elektromagnetik dan Ek pada atom

dan molekul

Energi dalam gas ideal: Ek partikel-partikel gas

ideal

Energi nuklir, Ep inti (kuat dan lemah) dalam ben-

tuk energi ikat inti atau massa (dari kesetaraan

massa dengan energi)

04/20/23 30

C. Konsep Daya (P).

Cepat atau lambatnya W yang dihasilkan gaya F yang bekerja pada benda tidak selalu sama (me-miliki nilai tertentu).

W yang dihasilkan tiap satuan waktu disebut P. Dengan demikian pernyataan, maka P adalah,

dt

dWP

Satuan daya J s-1 atau watt, (James Watt 1736 - 1819).

Daya (P, besaran skalar) adalah laju transfer energi

dari satu sistem ke sistem lain.

04/20/23 31

Pernyataan P dapat pula diformulasikan sebagai,

vFr

F . . Pdt

dP

) ( potensial,

) ( kinetik, Energi

22

1

hgm

vm

t

daya

04/20/23 32

Contoh.

Benda massa m dilempar dengan sudut elevasi

kecepatan awal vo. Berapakah P rata-rata yang di-

lakukan oleh w selama gerakan dan P sesaat

sebagai fungsi waktu.

Penyelesaian.

Benda dilempar ke atas akhirnya akan jatuh

kembali ke tanah sehingga usaha (W-nya nol).

P rata-rata = P total dibagi waktu sehingga P

rata-rata = 0

04/20/23 33

Kecepatan gerak parabola, v = vx i + vy j

v = vo cos i + (vo sin – g t) j

Dengan demikian daya sesaat, P = F . v

= - m g j . [vo cos i + (vo sin - g t) j]

P = m g (g t - vo sin )

04/20/23 34

D. Hukum Kekekalan Energi Mekanik

Persm kerja, W = EpA - EpB dan W = Ek - Eko.

Apabila, nilai F yang bekerja pada benda tetap maka, F bersifat konservatif,

Akibat ada F, bekerja pada benda, maka benda berpindah dari A → B sehingga ada kemungkinan benda memiliki Ek maupun Ep.

Dengan demikian dalam masalah ini dapat berla-

ku, EpA - EpB = EkB - EkA .

04/20/23 35

Soal.

Penyelesaian

?

Sebuah mobil dapat menghasilkan F sebesar 2. 104

N. Jika mobil tersebut melaju dengan kelajuan rata-

rata 40 m s-1 tentukan P mobil tersebut. Pertanyaan

yang sama untuk sebuah truk yang dapat

menghasilkan F = 105 N yang melaju de-ngan v

rata-rata 10 m s-1

04/20/23 36

Jika disusun menjadi, EpA + EkA = EpB + EkB

W oleh F konservatif, tidak tergantung lintasan, tapi

hanya tergantung titik awal dan akhir.

Contoh: gaya gravitasi, gaya pegas

Jika F total merupakan F konservatif maka:

Hukum kekekalan energi mekanik (Em).

Ep + Ek = E, besaran E disebut Em.

04/20/23 37

Persm EpA + EkA = EpB + EkB disebut hukum kekekalan Em.

Em benda di bawah pengaruh F konservatif selalu tetap.

Posisi A dan B dari benda berlaku untuk semba-rang tempat (posisi) sehingga pernyataan hukum kekekalan Em ditulis:

m g hA + ½ m vA2 = m g hB + ½ m vB

2

04/20/23 38

Berapakah v benda yang menumbuk tanah,

apabila benda massa m dijatuhkan dari menara

setinggi h (dari tanah)?

Contoh.

Dari soal diketahui, vA = 0; vB = v dan hA = h; hB

= 0.

Penyelesaian.

Persm berlaku,

(m)(g)(h) + ½ (m)(0) = (m)(g)(0) + ½ (m)(v2).

Dengan demikian dihasilkan, v = √2 g h m s-1.

04/20/23 39

Bola homogen berjari-jari r bermassa m seim-bang (diam) pada puncak bola lain dengan jari-jari R, (R > r). Bila keseimbangan diganggu, bola tergelincir tanpa mengguling (koefisien geseran nol). Dimana dan dengan v berapa bola kecil meninggalkan bola besar ! (lihat gambar)

Contoh.

Penyelesaian.

m g h1 + ½ m v12 = m g h2 + ½ m v2

2

Bila pusat bola diposisikan (0; 0) berlaku,

m g R = m g R cos + ½ m v2

v2 = m g R (1 – cos ).

04/20/23 40

Posisi A berlaku,

Benda meninggalkan lintas-an (dipenuhi N = 0) sehing-ga v2 = g R cos .

Diperoleh persm, gR cos = 2 g R (1 - cos ).

0R

vh

A N

Sehingga, 3 cos = 2 = 48o 1! 1!

Posisi A berada pada sudut 48o 1! 1!! dan berke

cepatan, 3

2 Rg

Kecepatan, v2 = g R (1 – cos 48o 1! 1!!)

R

vmNmg

2

cos

04/20/23 41

Gaya Pegas.

Gaya pegas, gaya nilainya tergantung pada perubah-an panjang pegas (F = k x).

F = - k x, arah gaya berlawanan dengan perubah-

an panjang.

F gaya, x perubahan panjang pegas (karena kon-traksi) dan k tetapan pegas.

Pernyataan F = - k x, disebut hukum Hooke.

Kerja dari gaya pegas, W = ½ k x2.

04/20/23 42

Contoh.

Suatu sistem terdiri dari dua benda identik ber-massa m. Kedua benda terhubung dengan tali dalam pegas (tetapan pegas k dan m diabaikan). Mula-mula pegas terkompresi, lalu tali diputus. Hitung pemanpatan pegas tersebut agar benda di bawah terangkat !

Penyelesaian.

Energi total awal, Eawal = ½ k (ΔL)2 + m g (L – ΔL)2

Energi total akhir (pegas teregang x),

Eakhir = ½ k (x)2 + m g (L + x)2

Kekekalan energi, Eawal = Eakhir.

04/20/23 43

k x2 + 2 m g x + [2 m g (ΔL) - k (ΔL)2] = 0

k

gmL

3

Benda bawah akan naik jika, k x ≥ m g

k (ΔL) – 2 m g ≥ m g

k (ΔL) ≥ 3 m g

gmLkxk

LkxkLkmggmxkk

LkLgmkgmgmx

2)(

)( )]([ 2

])( )( 2[ 4 2 2

2

112

22

12

04/20/23 44

Contoh.

Sistem m-pegas (gambar sam-ping) terdiri dari balok dengan massa m dan dua pegas dengan konstanta pegas k dan 3k. Massa m dapat berosilasi ke atas dan ke bawah, tetapi orientasi balok di-pertahankan mendatar. Kedua pe-gas dihubungkan dengan tali tanpa massa melalui suatu katrol licin.

x

3kk

m

tali

Berapakah periode osilasi sistem ? (nyatakan dalam : m dan k)

04/20/23 45

Penyelesaian.

Teori yang mendasari, Hukum Hooke dan osilasi.Untuk memudahkan pembahasan, kita akan nama-kan pegas k sebagai pegas 1 dan pegas 3k sebagai pegas 2. Tegangan kedua pegas sama, karena di-hubungkan lewat satu tali maka, k x1 = 3 k x2.

Simpangan massa m = x. Dari geometri jelas bah-

wa, 2 x = x1 + x2. Jadi, ,

Gaya yang bekerja pada massa m, 2 k x1= 3 k x.

Persm gerak sistem,

1

3

2x x 2

1

2x x

0 32

2

xkdt

xdm

23

mT

k

04/20/23 46

Contoh.

Suatu pegas memiliki konstanta pegas k dan mas-sa m. Untuk memudahkan perhitungan, pegas ini dapat dimodelkan dengan sistem yang terdiri atas susunan m dan pegas. Untuk pendekatan perta-ma, anggap system pegas ber-m ini ekuivalen de-ngan sistem m-pegas yang terdiri dari dua m iden-tik m’ dan dua pegas identik yang tidak ber-m de-ngan konstanta k’. (Jika kita menambahkan terus jumlah m dan pegas dalam model ini maka akan semakin mendekati pegas sesungguhnya). Mula-mula sistem dibiarkan pada keadaan seimbang. Panjang pegas menjadi L (panjang kendurnya Lo). Jika ujung atas A dipotong, berapa percepatan massa bawah menurut model ini ?

04/20/23 47

Asumsikan percepatan gravitasi g tetap.

Lanjutan.

Teori yang mendasari :

Hukum Hooke tentang pegas, Newton tentang gerak.

Hubungan antara m dan m’, 2 m! = m

Hubungan antara k dengan k’ , kkk

F

k

F2

2 !!

Saat mula-mula,

Pertambahan panjang pegas bawah karena gaya gra-

vitasi,

!

!

1 k

gmx

F = k! Δx1 m! g= k! Δx1

k

mg

k

gm

x4

1

22

1

04/20/23 48

k, m m’

m’

k’

k’

A A

Lanjutan.

Tegangan pegas bawah,

Pertambahan panjang pegas atas,

F = k! ∆ x2 2 m! g = k! ∆ x2

mgk

mgkxk

2

1

4

121

'

!

!

2

2

k

gmx

k

mg

k

gm

k

gmx

22

2

22 !

2

Tegangan pegas atas, mgk

mgkxk

222

'

04/20/23 49

Saat sambungan dengan langit-langit dipotong (titik A),

Tegangan pegas atas = nol

Tegangan pegas bawah =

F pada m bawah,

1. F gravitasi = m’g =

2. F dari pegas bawah =

Jadi total F pada m bawah = nol, sehingga m bawah tidak dipercepat.

Lanjutan.

2

mg

2

mg

arah ke bawah2

mg

arah ke atas

04/20/23 50

F pada m atas.

1. F gravitasi = m! g =

2. F dari pegas bawah =

Jadi total F pada m atas = mg,

Percepatan m atas = = 2 g

Lanjutan.

2

mgarah ke bawah

2

mgarah ke bawah

'm

mg

04/20/23 51

Benda Bergerak Lurus (fomulasi gaya).

Kasus benda bergerak lurus (satu dimensi), Ep

hanya tergantung pada satu koordinat katakanlah x

[atau Ep(x)]. Bentuk persm gerak benda yang di-

maksud hendak diformulasikan dengan menggu-

nakan hukum kekekalan Em. Formulasi hukum ke-

kekalan Em, berbentuk Ep + Ek = E. Formula persm

energi bentuknya dapat berubah sebagai berikut,

m v2 + 2 Ep (x) = 2 E

)(

2xEpE

mdt

dx

04/20/23 52

x

x

t

t oo xEpEm

dxdt

)(2

Persm di atas memberikan persm gerak benda da-lam formulasi energi.

Persm dapat dihitung jika bentuk Ep sebagai fungsi x diketahui, kita dapat memperoleh bentuk x, kare-na m dan E tetap.

04/20/23 53

Contoh.

Bentuk Ep dari gaya (F i), (F tetapan) adalah Ep = - F x. Keadaan benda pada saat to = 0, xo = 0. Carilah bentuk persm gerak benda tersebut !

Penyelesaian.

xx

FxE

dx

mt

FxE

dxmt

00

2

2

F

E

FF

Ex

Fmt

F

Ex

dx

Fmt

x 222

2

22

0

EFxF

EFm

tEF

EFxFm

t 222222

04/20/23 54

)( 221

EFxEm

Ft

Persm terakhir dikuadratkan akan diperoleh,

m

EFtt

m

FxFx

m

EFt

mFt

EFxEm

FtEm

Ft

2

2

12

1

)( 221

2 21

222

22

Pernyataan F/m = a, E = ½ m v2 - F x E = ½ m v2

√2 E/m = vo , sehingga dihasilkan x = vo t + ½ a t2.

04/20/23 55

Gerak Benda Karena Gaya Sentral Bentuk Ep (r).

Jika Ep tergantung pada r [Ep (r)] bentuk F sentral a-

kan memberikan bentuk energi m v2 + 2 Ep (r) = 2 E.

v dinyatakan dalam koordinat kutub,

dt

drmL

dt

dr

dt

drv

222

22 dan,

Energi menjadi, ErEprdt

dr

dt

drm 2)( 2 2

222

)( 2 2

22

2

m

rEp

rm

L

m

E

dt

dr

04/20/23 56

Integrasi r (edar/lintasan) sebagai fungsi t dengan batas, t = to ; r = ro dan untuk t = t ; r = r akan memiliki bentuk hubungan sebagai berikut,

r

r

t

t oo

m

rEp

rm

L

m

E

drdt

)( 2222

2

)( 2 2

22

22

m

rEp

rm

L

m

E

L

rm

d

dr

Peredaran (r) dapat dinyatakan dalam hubungan

dengan sudut , dengan mengganti

dt

d

d

dr

dt

dr

04/20/23 57

r

roo

m

rEp

rm

L

m

E

dr

rm

Ld

)( 22 22

22

Integrasi dengan batas-batas r = ro ; = o dan saat r = r ; = ,

Integrasi persm di atas dapat dilakukan jika bentuk (model) Ep diketahui.

04/20/23 58

Bagaimana bentuk persm lintasan suatu benda

yang memiliki (dipengaruhi), Ep = - k/r, k tetapan.

Contoh.

Penyelesaian.

r

r

r

r

oo

oo

L

rmk

L

rmEr

drd

m

rEp

rm

L

m

E

dr

rm

Ld

1 2 2

)( 22

2

2

22

22

04/20/23 59

Integrasi persm di atas, dengan batas integrasi ro =

0 dan o = - ½ dan r = r dan = hasilnya:

212

112

21 cos1

kmLE

kmLr

Nilai L, m, k dan E tetap sehingga lintasan r diten-

tukan oleh besaran, √1 + 2 E L m-1 k-2 yang akan

menentukan bentuk lintasan (r) benda.

Bentuk lintasan r, (berupa lingkaran, elips, para-

bola atau hiperbola), ditentukan oleh nilai kelon-

jongan e = √1 + 2 E L m-1 k-2

04/20/23 60

Gaya Nonkonservatif

Kerja gaya-gaya nonkonservatif, walaupun dalam lintasan tertutup nilai W ≠ 0, (ada energi yang hi-lang).

Contoh F nonkoservatif adalah F geseran.

Benda bergerak dari A → B karena pengaruh F, (F secara umum dapat diurai menjadi F konservatif dan nonkonservatif) tetap memiliki hukum kekekal an energi.

Hukum kekekalan bentuk: W = EpA - EpB + W!.

Ep, dihasilkan oleh F konservatif dan W! oleh F nonkonservatif.

04/20/23 61

Disusun persm sebagai berikut:

(EkB - EkA) = EpA - EpB + W!

W! = (Ek + Ep)B - (Ek + Ep)A

Persm di atas menginformasikan bahwa terdapat selisih Em akhir dan awal.

W, F nonkonservatif, mengindikasikan adanya per-tukaran energi sistem dengan lingkungan.

Energi yang tertukar, tidak dapat diperoleh kemba-li (hilang pada lingkungan atau disekitarnya, walau pun lintasannya tertutup).

04/20/23 62

Bagan Peta Konsep (Dinamika)

dt

dwP t

rdt

drv

aF m

dt

dva

m

vp m

dt FI 2

1

2

1

a

a

m

mr.F W

m

pEk

2

2

=½ m v2

04/20/23 63