BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA · PDF fileBAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI 119 8.1....

BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
118
BAB 8
RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan
mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring
Tujuan Instruksional Khusus :
Setelah diberikan penjelasan mengenai Subring dan Ideal, mahasiswa minimal 80%
dapat :
a. Menentukan apakan suatu Ring merupakan Ring Faktor
b. Menentukan apakan suatu Ring merupakan Homomorfisma Ring
c. Menjelaskan teorema dasar dari Isomorfisma
Deskripsi Singkat :
Sama halnya dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Grup, di dalam Ring juga
dikenal dengan Ring Faktor dan Homomorfisma Ring. Dalam bab ini akan dijelaskan
mengenai Ring Faktor mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Grup Faktor dan
Homomorfisma Ring yang mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan
Homomorfisma Grup.

119
8.1. Ring Faktor
Pada bab 7, telah kita pelajari mengenai Ideal, yang mirip dengan
Subgrup Normal dalam dalam Grup. Suatu Ring Faktor terdiri dari
himpunan dari koset-koset Ring tersebut yang diantaranya adalah ideal-
ideal.
Definisi 8.1 :
Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R.
R/S ={S + a | a R} adalah Ring dengan (S + a) + (S + b) = S + (a +b)
dan (S + a) . (S + b) = S + (a . b). Ring semacam ini disebut Ring Faktor
atau Ring Koisen.
Sekarang akan kita buktikan bahwa R/S = {S + a | a R}
membentuk suatu Ring, yaitu dengan memperhatikan syarat-syarat dari
suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu terhadap
penjumlahan (+) dan terhadap perkalian (.) yang membentuk suatu
Ring (R/K,+,.). Adapun syarat-syarat suatu struktur aljabar yang
mempunyai dua operasi biner membentuk suatu Ring adalah sebagai
berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b R dan a + b R
Maka :
Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S
berlaku (S + a) + (S + b) = S + (a +b)
yang berarti S + (a + b) R/S
Sehingga S + (a + b) R/S, tertutup terhadap penjumlahan di R/S

120
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b, c R
maka (a + b) + c = a + (b + c)
Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R/S
[(S + a) + (S + b)] + (S + c) = (S + a) + [(S + b) + (S + c)]
[S + (a + b)] + (S + c) = (S + a) + [S + (b + c)]
S + [(a + b) + c] = S + [a + (b + c)]
S + [a + (b +c)] = S + [(a + b) + c]
(S + a) + [S + (b + c)] = [S + (a + b)] + (S + c)
(S + a) + [(S + b)+(S + c)] = [(S + a)+(S + b)] + (S + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a R
maka a + e = e + a = a
Sehingga :
Untuk setiap (S + a) R/S
(S + 0) + (S + a) = S + (0 + a) = S + a
(S + a) + (S + 0) = S + (a + 0) = S + a
(S + 0) + (S + a) = (S + a) + (S + 0) = S + a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a R
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
Sehingga :
(S + a) + (S + (-a)) = S + (a + (-a)) = S + 0 = S
(S + (-a)) + (S + a) = S + ((-a) + a) = S + 0 = S
(S + a) + (S + (-a)) = (S + (-a)) + (S + a) = S + 0 = S

121
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a,b R
maka a + b = b + a
Sehingga :
(S + a)+(S + b) = (S + b) + (S + a)
S + (a + b) = S + (b + a)
S + (b + a) = S + (a + b)
(S + b) + (S + a) = (S + a)+(S + b)
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a, b R dan a . b R
Maka :
berlaku (S + a) . (S + b) = S + (a . b)
yang berarti S + (a . b) R/S
Sehingga S + (a . b) R/S, tertutup terhadap perkalian di R/S
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a, b, c R
maka (a . b) . c = a . (b . c)
Sehingga :
[(S + a) . (S + b)] . (S + c) = (S + a) . [(S + b) . (S + c)]
[S + (a . b)] . (S + c) = (S + a) . [S + (b . c)]
S + [(a . b) . c] = S + [a . (b . c)]
S + [a . (b . c)] = S + [(a . b) . c]
(S + a) . [S + (b . c)] = [S + (a . b)] . (S + c)
(S + a) . [(S + b) . (S + c)] = [(S + a) . (S + b)] . (S + c)

122
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a R
maka a . e = e . a = a
Sehingga :
(S + 1) . (S + a) = S + (1 . a) = S + a
(S + a) . (S + 1) = S + (a . 1) = S + a
(S + 1) . (S + a) = (S + a) . (S + 1) = S + a
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b, c R
maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)
Sehingga :
(S + a) . [(S + b) + (S + c)] = [(S+a).(S+b)] + [(S+a).(S+c)]
(S + a) . [S + (b + c)] = [S + (a . b)] + [S + (a . c)]
S + [a . (b + c)] = S + [(a . b) + (a . c)]
S + [(a . b) + (a . c)] = S + [a . (b + c)]
[S + (a . b)] + [S + (a . c)] = S + a) . [S + (b + c)]
[(S+a).(S+b)] + [(S+a).(S+c)] = (S + a) . [(S + b) + (S + c)]
dan
[(S + a) + (S + b)] . (S + c) = [(S+a).(S+c)] + [(S+b).(S+c)]
[S + (a + b)] . (S + c) = [S + (a . c)] + [S + (b . c)]
S + [(a +b) . c] = S + [(a . c) + (b . c)]
S + [(a . c) + (b . c)] = S + [(a +b) . c]
[S + (a . c)] + [S + (b . c)] = [S + (a + b)] . (S + c)
[(S+a).(S+c)] + [(S+b).(S+c)] = [(S + a) + (S + b)] . (S + c)

123
Dengan kata lain, misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu
Ideal dari R, maka R/S disebut Ring Faktor jika :
1. (R/S,+) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R/S,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid
3. (R/S,+,.) merupakan distributif perkalian terhadap penjumlahan
Contoh 8.1 :
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6.
Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian :
Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu :
K = {0, 2, 4}
K + 1 = {1, 3, 5}
Sehingga Z6/K = {K, K + 1}
Tabel 8.1.
Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)
+ K K + 1
. K K + 1
K K K +1
K K K
K + 1 K + 1 K
K + 1 K K + 1
Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.
Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan syarat-
syarat suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syarat-
syaratnya sebagai berikut :

124
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
Sehingga K + 1 Z6/K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)]
[K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)]
(K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0)
K + (1 + 1) = K + (0 + 0)
K = K
Sehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K + 1 Z6/K
(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1
(K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1
Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K + 1 Z6/K
(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K
(K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
K + (K + 1) = (K + 1) + K
K + (0 + 1) = K + (1 + 0)
K + 1 = K + 1
Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1

125
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
berlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga K Z6/K
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)]
[K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)]
(K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1)
K + (0 . 1) = K + (0 . 1)
K = K
Sehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/K
K Z6/K
(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K
K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
K, K + 1 Z6/K
Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1
a. (b + c) = (a . b) + (a . c)
K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)]
K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]
K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]
K + (0 . 0) = K + (0 + 0)
K = K
Sehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = K
Jadi, Z6

BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA · PDF fileBAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI 119 8.1....

Documents

Transcript of BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA · PDF fileBAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI 119 8.1....