Bab 8 Matematika

7/23/2019 Bab 8 Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/bab-8-matematika 1/14

BAB 8

SEGITIGA

A. PENGERTIAN SEGITIGA

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus dan mempunyai

tiga titik sudut.

Gambar di samping merupakan segitiga

ABC yang dibatasi oleh garis AB = c,

BC = b, serta mempunyai titik sudut,

yaitu titik sudut A, B, dan C.

Sebuah segitiga biasanya dinotasikan dengan “ ∆ ”, sehingga segitiga ABC diatas

dapat ditulis menjadi ∆ABC.

umlah sudut!sudut suatu segitiga adalah "#$o. %ada ∆ABC diatas, ∠ A & ∠

B & ∠ C = "#$o atau ∠ p & ∠ ' & ∠ r = "#$o.

C

r

ba

' p

A Bc



B. JENIS-JENIS SEGITIGA

1. enis Segitiga (itinjau dari panjang sisi!sisinya

Apabila ditinjau dari panjang sisi!sisinya, segitiga dibedakan menjadi )

a. Segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua buah sisinya sama panjang.


sama kaki, dengan dua sisi yang sama

panjang, yaitu AC = BC. *arena panjang

sisi AC = BC, maka ∠ CBA = ∠

ABC.

b. Segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

Segitiga ABC di samping adalah segitiga

sama sisi, karena ketiga sisinya sama

panjang, yaitu AB = BC = CA.

∠ CAB = ∠ ABC = ∠ BCA = +$o

c. Segitiga sembarang

Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama

panjang.

Segitiga ABC di samping merupakan

segitiga sembarang, dengan ketiga

sisinya tidak sama panjang, yaitu AB ≠

BC ≠ CA

2. enis Segitiga (itinjau dari Sudut!sudutnya

(itinjau dari besar sudut!sudutnya, segitiga dibedakan menjadi )

a. Segitiga lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya lancip besarnya

kurang -$o

∠A,

∠B,

∠C merupakan sudut lancip.

b. Segitiga siku!siku

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B



Segitiga siku!siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku!siku -$o

∠ A merupakan sudut siku!siku , sehingga

besar ∠ A = -$o.

c. Segitiga tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul

besarnya lebih dari -$o dan kurang dari "#$o

∠ A merupakan sudut tumpul.

3. enis Segitiga (itinjau dari %anjang Sisi dan Besar Sudut

(itinjau dari panjang sisi dan besarnya sudutnya, segitiga dibedakan menjadi )

a. Segitiga siku!siku sama kaki

Besar ∠ B = ∠ C = /0o

b. Segitiga tumpul sama kaki

c. Segitiga lancip sama kaki

C

A B

C

A B

C

A B

A B

C

G 1

2



C. SIFAT-SIFAT SEGITIGA

1. Suatu segitiga dapat dilukis, bila jumlah panjang setiap dua sisi lebih dari

panjang sisi ketiganya.

a & b 3 c

a & c 3 b

a & c 3 a

2. Sudut terkecil

Sisi dihadapan sudut terkecil dari suatu segitiga merupakan sisi terpendek

pada segitiga itu.

%ada gambar diatas, ∠ y adalah sudut terkecil, maka sisi AC = b merupakan

sisi terpendek pada segitiga ABC.

3. Sudut terbesar

Sisi dihadapan sudut terbesar dari suatu segitiga merupakan sisi terpanjang

pada segitiga itu. %ada ∆ABC diatas, ∠ 4 adalah sudut terbesar, maka sisi

AB = c merupakan sisi terpanjang pada ∆ABC.

4. Si5at!si5at segitiga sama kaki

Sisi yang sama panjang yaitu AC dan BC

disebut kaki ∆ ABC dan sisi yang lain yaitu AB

disebut alas ∆ ABC .

Garis C( tegak lurus pada garis AB.

Si5at!si5at dari segitiga sama kaki adalah )

a. 6empunyai 7 buah sisi yang sama panjang AC = BC.

b. 6empunyai 7 buah sudut yang sama besar

∠ A = ∠ B atau ∠ CAB = ∠ ABC

c. 6empunyai sebuah simetri lipat dengan sumbu simetri garis C(, dan

tidak mempunyai simetri putar.

d. 6empunyai 7 cara untuk dipasngkan menempati bingkainya.

5. Si5at!si5at segitiga siku!siku

a. 6empunyai 7 buah sisi yang saling tegak

lurus, yaitu sisa CA tegak lurus AB.

b. 6empunyai sebuah sudut siku!siku, yaitu ∠

A = -$°.

C

8

a b

9 y

BA c

A B(

C

C

A B



c. :idak mempunyai simetri lipat dan simetri

putar.

6. Si5at!si5at segitiga sama sisi

a. 6empunyai ; buah sisi yang sama panjang

%< = < = %

b. 6empunyai ; buah sudut yang sama besar

∠ % = ∠ < = ∠ = +$°

c. 6empunyai ; buah simetri putar dan ; buah

simetri lipat dengan sumbu simetri yaitu

garis S, <:, dan %>.

d. 6empunyai + cara untuk dipasangkan

menempati bingkainya

% S <

: >



D. HUBUNGAN ANTARA SUDUT DALAM

• Sudut A", B" dan C" adalah sudut segitiga

• Sudut A7, B7 dan C7 adalah sudut luar

segitiga

• Sudut luar suatu segitiga adalah sudut

pelurus dari sudut dalam segitiga tersebut.

∠A7 adalah sudut pelurus dari ∠A", maka

∠A7 & ∠A" = "#$°

∠B7 adalah sudut pelurus dari ∠B", maka

∠B7 & ∠B" = "#$°

∠C7 adalah sudut pelurus dari ∠C", maka

∠C7 & ∠C" = "#$°

• Besarnya sudut luar dari salah satu sudut dalam suatu segitiga, sama dengan

jumlah dua sudut dalam lainnya.

∠A7 = ∠B" & ∠C"

∠B7 = ∠A" & ∠C"

∠C7 = ∠A" & ∠B"

C7

"

" 7

B

"7

A



E. KELILING DAN LUAS SEGITIGA

%erhatikan gambar segitiga di ba?ah in@

*eliling adalah jumlah panjang ketiga sisinya.

*eliling segitiga ABC = AB & BC & CA

uas segitiga adalah setengah dari hasil kali atas dengan tingginya.

uas segitiga ABC =7

" 9 alas 9 tinggi =

7

" 9 a 9 t

C

A a B

t

A a B

t

C

A Ba(

t

C



F. DALIL PYTHAGORAS


siku!siku ABC. Sisi AB dan AC disebut

sisi siku!siku, sedangkan sisi BC disebut

hipotenusa sisi miring

(alil %ythagoras

%ada segitiga siku!siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku!

sikunya.

(alil pythagoras untuk segitiga ABC di atas dirumuskan menjadi

BC7 = AC7 & AB7 BC = ( ) ( ) 77ABAC +

dari rumus tersebut dapat diturunkan rumus!rumus berikut )

AB7 = BC7 ! AC7 AB = ( ) ( ) 77

AC!BC

AC7 = BC7 ! AB7 AB = ( ) ( ) 77AB!BC

turunan rumus tersebut digunakan untuk menghitung panjang sisi ∆ siku!siku

ABC jika panjang hipotenusa dan sisi yang lain diketahui.

1. T!"#$ P%&'()*(+

:ripel %ythagoras adalah tiga buah bilangan asli yang memenuhi sisi!sisi

segitiga siku!siku. 6isalkan segitiga siku!siku ABC seperti tampak pada

gambar di ba?ah ini.

Berdasarkan dalil %ythagoras, maka )

a7 = b7 & c7, dan triple pythagorasnya

adalah )

c b a

;

0

#

""

7$

/

"7

7/

"0

+$

7"

0

";

70

"

+"

7-

:riple ini berlaku pula untuk

kelipatannya.

C

A B

t

C

A B

b a

c



2. J#,!+ S#)!&!)( B#(+((, U/(, S!+!-S!+!,%(

• (alam segitiga ABC di samping, jika a7 = b7

& c7 maka sudut A adalah sudut siku!siku,

dan segitiga ABC adalah segitiga siku!siku.

• ika a7 3 b7 & c7, maka segitiga itu adalah

segitiga tumpul

• ika a7 b7 & c7, maka segitiga itu adalah

segitiga lancip

3. P#0(,!,)(, S!+!-S!+! P(( S#)!&!)( S!/-S!/ K'/+/+

a. %ada segitiga di samping, perbandingan sisi!sisinya adalah)

%ada segitiga disamping, perbandingan

sisi!sisinya adalah)

Contoh )

:entukan panjang sisi C> dan D>@

a?ab )

%erbandingan sisinya adalah )

sehingga diperoleh )CD

C>=

7

" dan

CD

D> =

7

;

#

C>=

7

"

#

D>

= 7

;

C> = / D> = ;7

#

= / ;

C

A B

ba

c

+$° +$°

7

;

+$°

# cm

D

>C

+$°

7

D

>C

;

"



adi panjang sisi C> adalah / cm dan panjang sisi D> adalah / ; cm.

b. %ada segitiga perbandingan sisi!sisinya adalah )

c. %ada segitiga perbandingan sisi!sisinya adalah )

4.

G. GARIS-GARIS PADA SEGITIGA

1. P#0(,!,)(,-"#0(,!,)(, T!)*,*#&!

:rigonometri berasal dari bahasa Eunani, yaitu trigonon yang berarti segitiga

dan metria yang berarti ukuran.

%ada segitiga siku!siku ABC di ba?ah, berlaku )

• Sinus sudut a° adalah perbandingan panjang

sisi siku!siku di hadapan sudut a° terhadap

panjang hipotenusa.

Atau ditulis )

sin a° =hipotenusa%anjang

asuduthadapandisiku!sikusisi%anjango

=AC

BC

+$;$°

+$;$°

;

+$7°+$"°

+$/

0°

+$°+$"

°+$/

0° +$"

°

C

AB BA

aB°



• *osinus sudut a° adalah perbandingan panjang sisi siku!siku di samping

sudut a° terhadap panjang hipotenusa.

Atau ditulis )

cos a° =hipotenusa%anjang

asudutsampingdisiku!sikusisi%anjango

=AC

AB

• :arget sudut a° adalah perbandingan panjang sisi siku!siku di hadapan

sudut a° terhadap panjang sisi siku!siku disamping sudut a°.

Atau ditulis )

tan a° = o

o

asudutsampingdisiku!sikusisi%anjang

asuduthadapandisiku!sikusisi%anjang

= AB

BC

Contoh )

Segitiga siku!siku ABC dengan panjang

AB = 0 dan BC = ";. :entukan )

a. sin ∠B

b. cos ∠B

c. tan ∠B

a?ab )

(engan menggunakan dalil pythagoras, maka )

AC = ( ) ( ) 77

AB!BC = 770!"; = 70"+-− = "// = "7

a. sin ∠B =BC

AC =";

"7

b. cos ∠B =BC

AB =";

0

c. tab ∠B =AB

AC =

0

"7

apabila diperhatikan, terdapat hubungan antara sin, cos dan tan yaitu )

tan a° =o

o

acos

asin

>ntuk sudut!sudut istime?a seperti $°, ;$°, /0°, +$° dan -$°, nilai

perbandingan dapat dengan tepat ditentukan.

%erhatikan tabel di ba?ah ini@

C

AB BA0B

";

B



Sudut $° ;$° /0° +$° -$°

Sin $

7

"7

7

";

7

" "

Cos ";

7

"7

7

"

7

" $

:an $;

;

" " ; !

2. P*%#+! S!+!-+!+! S/(&/ S#)!&!)(

%erhatikan segitiga di ba?ah ini@

C( tegak lurus pada garis AB

Garis A( adalah proyeksi garis AC padagaris AB. Sedangkan garis B( adalah

proyeksi garis BC terhadap garis BA.

>ntuk menentukan panjang proyeksi garis AC pada garis AB atau panjang

garis A(, perhatikan ∆ A(C.

cos α = b

A( A( = b cos α

%anjang proyeksi garis BC pada garis BA atau panjang garis B( adalah )

cos β =a

B( B( = a cos β

3. G(!+ T!,))!

Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga

tegak lurus dengan sisi di hadapannya.

Garis A(, garis CF dan garis B disebut garis

tinggi. *etiga garis tinggi tersebut berpotongan

pada satu titik, yang disebut titik tinggi titik H

>ntuk menentukan panjang garis tinggi, perhatikan segitiga ABC di ba?ah

ini@

Garis C( merupakan garis tinggi segitiga ABC.

%anjang garis C( = b sin α = a sin β

4. G(!+ B()!

Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga

dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar.

Garis %S, <: dan > disebut garis bagi.

α β

(

C

b a

A B

H

(

C

FA B

a

C

(A B

b

c

βα



*etiga garis bagi tersebut berpotongan pada

sebuah titik, yang disebut titik pusat lingkaran

dalam titik H

5. G(!+ B#(&

Garis berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari suatu sudut segitiga

yang dihubungkan dengan sisi dihadapannya.

Garis A(, B dan CF disebut garis berat.

*etiga garis berat tersebut berpotongan pada

sebuah titik, yang disebut titik berat titik H.

:itik berat membagi tiap garis berat dengan

perbandingan 7 ) ".

%anjang garis berat!garis berat segitiga ABC dirumuskan sebagai berikut )

6isalkan a = BC, b = AC, dab C = AB

A( = ( ) 777777a!c b7

7

" a

/

" !c

7

" b

7

"+=+

B = ( )777777

b!ca77

"

b/

"

!c7

"

a7

"

+=+

CF = ( ) 777777c! ba7

7

" c

/

" ! b

7

" a

7

"+=+

6. G(!+ S/0/

Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik tengah sisi

segitiga dan tegak lurus dengan sisi itu.

Garis (, FG dan 12 disebut garis

sumbu.*etiga garis sumbu tersebut berpotongan

pada sebuah titik, yang disebut titik

pusat lingkaran luar titik .

H. SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN

1. S%((& D/( S#)!&!)( S#0(,)/,

(ua buah segitiga disebut sebangun jika )

a. Sisi!sisi yang bersesuaian sebanding.

b. Sudut!sudut yang bersesuaia sama besar.

∠A = ∠%

S

<>%

:

H

C

(

BFA

H

C

1

B(A

F

H

G

C



∠C = ∠ ∆ ABC dan ∆ %<

∠B = ∠< sebangun

<=

BC

%=

AC

%<

AB==

2. S!(& D/( S#)!&!)( S#0(,)/,

a.n

m

dc

c

ba

adan

d

b

b

a=

+=

+=

b. a7 = cp

b7

= c' t7 = p'

A B % <

m

n

c

d b

a

c

'

p

at

b

Bab 8 Matematika

Documents

Transcript of Bab 8 Matematika