BAB 7 GEOMETRI NETRAL - · PDF fileA. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada Geometri...

Geometri Netral /

161

BAB 7

GEOMETRI NETRAL

Dia menjadi sangat terkenal ketika dia diminta untuk

menjumlahkan angka-angka 1 sampai 100, dia juga

memberitahukan pola bilangan dan dijawab dengan

menjumlahkannya. Gauss bisa mengkalkulasi angka-angka

pada umur yang sangat muda bahkan dia dapat membantu

ayahnya untuk menghitung gajinya.

Gauss telah berbuat banyak hal-hal mengagumkan di

Matematika. Saat di Brunswick itulah Gauss

memformulasikan prinsip kuadrat terkecil dan hasil

perkiraan yang dianggap benar jika geometri Euclid tidak

benar, dan berbagai temuan kecil lainnya, seperti halnya

Euler, Gauss berfikir aljabar secara numerik.

Ketika Gauss berumur duapuluh tahun, ia mengalami suatu

perkembangan yang sangat cepat, kecepatan yang tidak

masuk akal, di bidang penyelidikan matematika dan teori

konstruksi. Meskipun keluarganya miskin, Gauss dibiayai

oleh adipati Brunswick untuk masuk perguruan tinggi

Caroline. Di perguruan tinggi itu gauss melanjutkan

studinya di bidang geometri, aljabar dan analisis. Setelah

belajar selama 3 tahun, Gauss datang ke universitas

gottingen, disini gauss mendapatkan keberhasilan

Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777, di Brunswick, Daerah duke Brunswick (sekarang Negara Jerman). Gauss tumbuh didalam keluarga yang agak sederhana, bukan kaya maupun terdidik. Gauss mulai sekolah dasar saat usia tujuh tahun, saat itulah kecerdasannya ditemukan hampir dengan

seketika.

/ Geometri Netral 162

terbesarnya. Setelah hanya satu tahun di universitas

Gottigen, Gauss bekerja di sambil membuat penemuan yang

besar.

Di tahun 1799, Gauss berprofesi sebagai doctor di

Universitas Helmstedt. Gauss benar-benar hidup sukses

walaupun tumbuh dewasa dalam keluarga yang tak sehat

dan miskin, menakjubkan!!!!!!

A. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada

Geometri Netral

Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat

kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut

geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri

absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi

pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi

pengertian pangkal geometri absolut. Selain itu

diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu

kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen

dan interval. Jika segmen AB kongruen dengan

segmen CD, maka untuk menyatakan ini digunakan

notasi AB CD. Pengertian ini tidak didefenisikan.

Pengertian pangkal geometri absolut, menurut

Pasch ialah

a. Titik-titik A, B, C, D, …

b. Keantaraan

c. Kongruensi.

Titik dipandang sebagai unsur yang tidak

didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi sebagai

relasi-relasi yang tidak didefinisikan.

Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai

berikut :

Aksioma 6.1

Geometri Netral /

163

Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar

yang berpangkal di C dan tepat satu titik D

sedemikian, hingga AB CD.

Aksioma 6.2

Jika AB CD dan CD EF, maka AB EA.

Aksioma 6.3

AB BA

Aksioma 6.4

Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB A’B’ dan BC B’C’,

maka AC A’C’.

Aksioma 6.5

Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC

B’C’, CA C’A’. AB A’B’, sedang D dan D’ adalah

dua titik berikutnya sedemikian, hingga [BCD] dan

[B’C’D’] dan BD B’D’, maka AD A’D’.

Dari aksioma-aksioma ini dapat diturunkan,

bahwa kongruensi suatu relasi ekuivalensi. Aksioma

5.2 menunjukkan dipenuhinya sifat transitif. Dari

aksioma 5.1 dan 5.3 dapat diturunkan, bahwa sifat

refleksif dan simetrik juga dipenuhi.

Jika kita perhatikan aksioma 5.4, tampak adanya

penjumlahan segmen garis yang menjadi dasar untuk

teori panjang.

B

C

A

D

B1

C1

A1

D1


Menurut Aksioma 5.5 kongruensi segmen dapat

diperluas menjadi kongruensi sudut.

Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan

BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’, maka biasa

dikatakan kedua segitiga itu sisi-sisinya sama (S, S, S)

yang secara diam-diam mengakibatkan sudut ABC

sama dengan sudut A’B’C’ atau susut ABD sama

dengan sudut A’B’D’.

Bagian kedua dari Aksioma 5.5 dapat

disimpulkan, bahwa jika AB A’B’, sudut ABD sama

dengan A’B’D’ dan BD B’D’, maka AD A’D’ (S,

Sdt, S). Kongruensi dua segitiga tidak didefinisikan

dengan jelas.

Kongruensi dua segmen AB CD ekivalen

dengan AB = CD untuk panjang. Jadi symbol untuk

segmen sama dengan symbol untuk panjang.

Diskusi

Buktikan: Jika AB CD maka CD AB

Definisi 6.1

Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang

kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya

suatu sudut siku-siku sama dengan ½ .

Definisi 6.2

Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat

kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r.

Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada

di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak

di luar lingkaran, dikatakan ada di dalam lingkaran.

Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat

kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat

Geometri Netral /

165

adanya perkembangan teori-teori geometri yang

kontradiksi dengan postulat kesejajaran ini. Pada bab

ini akan dipelajari konsekuensi postulat Euclides selain

postulat kesejajaran Euclides. Bab ini bertujuan untuk

menjelaskan peran postulat kesejajaran dalam geometri

Euclides, membukakan jalan untuk mempelajari

geometri non-Euclides pada bab berikutnya, dan

menghasilkan teorema yang cocok untuk geometri

non-Euclides.

B. Teori Saccheri dalam Geometri Netral

Teorema geometri netral ini tepatnya

disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides

kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari

geometri netral kita bertolak dari sebagian teori

Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang

ditetapkan Saccheri, yakni postulat kesejajaran

Euclides harus dianggap valid. Sebaliknya, kita periksa

kemungkinan penyatuan postulat lain sehingga

pengetahuan geometri kita menjadi lebih dalam.

Kita pelajari geometri netral dengan cara

mengamati teorema-teorema. Karena teorema

akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat

kesejajaran, demikian juga pada proposisi-proposisi

geometri netral. Istilah yang digunakan dalam

pengukuran segmen garis dan sudut, misalnya sudut

siku-siku dan ukuran derajat sudut juga merupakan

bagian dari geometri netral.

1. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga

Lemma 6.1


Jika diberikan ABC dan A. Maka ada segitiga

A1B1C1 sedemikian hingga A1B1C1 mempunyai

jumlah sudut yang sama dengan ABC, dan A1 <

21 A.

Bukti :

Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE

sedemikian hingga AE = EF dan E terletak antara A

dan F. Maka BEA CEF dan sudut-sudut yang

bersesuaian sama.

Kita tunjukan AFC adalah A1B1C1 yang kita cari.

Dengan memberikan nama sudut-sudutnya seperti

pada gambar, kita tahu bahwa :

2 = 2’ , 3 = 3’ dan

A + B + C = 1 + 2 + 3 + 4

= 1 + 2’ + 3’ + 4

= CAF + AFC + FCA

Untuk melengkapi bukti, perhatikan A = 1 +

2 yang berakibat A = 1 + 2’

Pada persamaan tersebut, salah satu dari ruas

kanan, 1 atau 2’ harus kurang atau sama

dengan setengah dari suku di ruas kiri yaitu A.

Jika 1 < 21 A namakan A sebagai A1 ; jika tidak,

namakan F sebagai A1 kemudian namakan dua titik

Geometri Netral /

167

yang lain dari AFC dengan B1 dan C1, maka

lemma terbukti.

Secara sederhana lemma di atas menyatakan

bahwa “kita dapat mengganti sebuah segitiga baru

dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah

jumlah sudut-sudutnya”. Hal ini bisa dilakukan

dengan memotong ABE dari ABC dengan

meletakkan di belakang FCE.

Sepintas, lemma ini tidak ada artinya, pada hal

tidak, sebab dalam geometri netral kita tidak dapat

mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga

selalu konstan, yang hal ini merupakan teorema

Euclides yang buktinya tergantung pada postulat

kesejajaran. Oleh karena itu, lemma ini penting sebab

lemma itu menunjukkan bahwa jika diberikan suatu

segitiga tertentu, kita dapat membuat segitiga yang

nonkongruen, tetapi mempunyai jumlah sudut yang

sama. Dengan demikian berarti ada tak berhingga

segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya

mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga

yang diberikan.

Sekarang kita dapat membuktikan banyak sekali

teorema yang merupakan konsekuensi dari usaha

Saccheri yang menyalahkan hipotesis sudut tumpul.

Bukti bebasnya diberikan oleh A.M. Legendre (1752 –

183).

Teorema 6.1 (SACCHERI – LEGENDRE).

Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama

dengan 1800.

Bukti (tak langsung)


Andaikan ada ABC dengan jumlah sudut = 180o +

o, bilangan positif. Menurut lemma, ada A1B1C1

dengan jumlah sudut = 180o + o sedemikian

hingga A1 < 21 A. dengan menggunakan

lemma lagi, berarti ada A2B2C2 dengan jumlah

sudut = 180o + o sedemikian hingga A2 < 21 A1

< (21 )2 A. Dan seterusnya dengan cara yang sama,

kita dapat membuat barisan segitiga-segitiga

A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3,….., yang masing-

masing jumlah sudutnya 180o + o, sedemikian

hingga

An < n2

1 A, untuk sebarang bilangan bulat

positif n.

Jelaslah kita dapat memilih n yang cukup besar

sedemikian hingga An sekecil mungkin, misalnya

An < o.

Karena An + Bn + Cn = 180o + o, yang berarti

bahwa :

Bn + Cn > 180o

Berarti, kontradiksi dengan Teorema 5.3 dari Bab 5.

Jadi pengandaian salah, dan teorema 6.1 di atas

benar.

Contoh 6.1

Misalkan = 1 dan A = 250 maka dalam ABC

didapatkan A + B + C = 180o dan A = 25o.

Menurut lemma ada A1B1C1 sedemikian hingga

A1 + B1 + C1 = 181o dan A1 < 25o / 2. Dengan

cara yang sama :

Ada A2B2C2 sedemikian hingga A2 + B2 +

C2 = 181o dan A2 < 25o / 4. Untuk menunjukkan

Geometri Netral /

169

terjadinya kontradiksi, gunakan lemma tiga kali

lagi untuk mendapatkan A5B5C5 dengan A5 +

B5 + C5 = 180o dan A5 < 25o / 32 1.

Akibatnya B5 + C5 > 180 (tidak mungkin

terjadi).

Teorema Akibat (corollary).

Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama

dengan 360.

Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan

Saccheri bahwa hipotesis sudut tumpul adalah salah.

Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa jumlah

sudut suatu segitiga dapat melebihi 180. Tetapi

kemungkinan bahwa jumlah sudut dalam segitiga

kurang dari 180, yang bersesuaian dengan hipotesis

Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita

sendiri.

2. Adakah persegipanjang itu ?

Adanya persegipanjang dalam geometri

merupakan yang penting. Bayangkan, bagaimana

bentuk geometri Euclides jika kita tidak punya atau

tidak dapat menggunakan persegipanjang. Tentu saja

sulit sekali akan membuat suatu persegipanjang tanpa

mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran

Euclides, atau salah satu dari teorema akibatnya,

misalnya jumlah sudut segitiga adalah 180.

Akibatnya, seluruh teorema dalam pembahasan ini

dapat dianggap bahwa persegipanjang itu ada. Untuk

menghindari kesalahpahaman, secara formal kita

definisikan istilah persegipanjang sebagai berikut.

Definisi 6.3


Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semua

sudutnya adalah siku-siku.

Ingat, karena kita mempelajari geometri netral,

tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi

Euclides yang terkenal, seperti :

(a) sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang

adalah sejajar, atau

(b) sisi-sisi tersebut sama panjang, atau

(c) diagonal persegipanjang membagi persegipanjang

menjadi dua segitiga yang kongruen.

Jika kita ingin menyatakan sebarang akibat, kita

harus membuktikannya dengan berdasarkan definisi di

atas tanpa menggunakan postulat kesejajaran.

Teorema 6.2.

Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada juga

sebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebih

panjang dari pada ruas garis tertentu.

Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD

dan ruas garis XY. Maka ada persegipanjang yang satu

sisinya lebih panjang dari pada XY.

Bukti :

Kita gunakan ABCD sebagai “kotak pembangun”

(building block), untuk melukis persegipanjang

yang kita inginkan. Lukis segi empat D2C2CD yang

A

X Y

C B

D2 D

C2 C3

D3

Cn

Dn

Geometri Netral /

171

kongruen dengan ABCD sedemikian hingga C2D2

dan BA berlainan pihak terhadap CD. (Caranya

dengan memperpanjang BC ke arah C sehingga

panjang CC2 sama dengan BC dan memperpanjang

AD ke arah D sehingga panjang DD2 sama dengan

AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang. Lebih

dari itu, B, C, C2 terletak pada satu garis, karena

hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di

C. demikian juga A, D, D2 terletak dalam satu garis.

Jadi ABCC2D2D merupakan segiempat ABC2D2, dan

merupakan persegipanjang. Ingat bahwa ABC2D2

mempunyai sifat :

AD2 = 2 AD

Dengan cara yang sama, lukis D3C3C2D2 kongruen

dengan DCC2D2 sehingga C3D3 dan CD bersesuaian

letaknya dan berlainan pihak terhadap C2D2.

Akibatnya ABC3D3 adalah persegipanjang, dan

AD3 = 3 AD

Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapatkan

bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif n ada

persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga :

ADn = n AD

Pilih n cukup besar sehingga n AD > XY. Dengan

demikian, persegipanjang ABCnDn merupakan

persegipanjang yang kita inginkan.

Teorema akibat.

Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada sebuah

persegipanjang yang dua sisinya yang berdekatan

panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua

segmen tertentu.

G H

W


Dengan kata lain. Jika ada persegipanjang

ABCD dan segmen garis XY dan ZW diberikan. Maka

ada persegipanjang PQRS sedemikian hingga PQ > XY

dan PS > ZW.

Bukti :

Sesuai dengan Teorema 6.2. Ada persegipanjang

ABEF dengan AF > XY. Dengan melukis

persegipanjang yang kongruen dengan

persegipanjang ABEF berulang-ulang dan

menempatkan di atasnya, kita dapat melukis AFHG

dengan AG > ZW. Karena AF > XY, maka AFHG

merupakan persegipanjang PQRS yang

dimaksudkan pada teorema akibat di atas.

Teorema 6.3.

Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada

persegipanjang dengan panjang dua sisi yang

berdekatan masing-masing sama dengan XY dan ZW.

Bukti :

Cara kita membuktikan seperti apa yang dilakukan

penjahit. Dengan menggunakan teorema akibat

terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang

S

Y X

P Q

R R’

Q’

R* S’

W

Z

Geometri Netral /

173

PQRS dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian

kita potongnya sedemikian hingga panjang PQ =

XY dan PS = ZW.

Jadi ada titk Q pada PQ sedemikian hingga

PQ = XY. Dari titik Q ditarik garis yang tegak

lurus RS dengan kaki R. kita tunjukkan bahwa

PQRS adalah persegipanjang.

Sudut P, R dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan

pula bahwa PQR juga siku-siku. Andaikan

PQRS > 360, kontradiksi dengan akibat dari

teorema 6.1. Andaikan PQR < 90, maka QQR

> 90 dan jumlah sudut segi empat PQRS > 360,

kontradiksi dengan akibat dari teorema 6.1.

Andaikan PQR < 90, maka QQR > 90

jumlah sudut segiempat QQRR > 360

(kontradiksi). Jadi satu-satunya kemungkinan

adalah PQR = 90, dan PQRS adalah

persegipanjang.

Dengan cara yang sama, ada titik S pada PS

sedemikian hingga PS = ZW. Tarik garis S tegak

lurus QR dengan kaki R*. maka, sebagaiman di

atas, PQR*S adalah persegipanjang. Sisi-sisinya

yang berdekatan PQ dan PS masing-masing sama

dengan XY dan ZW, dan teorema terbukti.

Teorema 6.4.

Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga

siku-siku mempunyai jumlah sudut 180.

Bukti :

A

B C

A’

B’ C’

D’

p

q


Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara

menunjukkan bahwa :

1) Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari

sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara

membelah persegipanjang pada diagonalnya.

2) Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 180.

Misalkan ABC siku-siku di B. menurut Teorema

5.3, ada persegipanjang ABCD dengan AB = AB

dan BC = BC. Hubungkan A dan C.

Maka ABC ABC, dengan demikian ABC

dan ABC mempunyai jumlah sudut yang sama.

Misalkan : p adalah jumlah sudut ABC dan

q adalah jumlah sudut ADC

Maka :

p + q = 4.90 = 360, ………………………...

(1)

Kita tunjukkan bahwa p = 180.

Menurut Teorema 5.1, p = 180 atau p < 180.

Andaikan p < 180. Dari persamaan (1) diperoleh q

> 180 (bertentangan dengan teorema 1). Jadi p =

180.

Teorema 6.5.

Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga

memiliki jumlah sudut 180.

Bukti :

A

B

C D

1 2

1 2

Geometri Netral /

175

Sekarang ABC dapat dipotong menjadi dua

segitiga siku-siku dengan menarik salah satu garis

tinggi. Masing-masing segitiga ini mempunyai

jumlah sudut 180 (Teorema 4). Oleh karena itu,

sifat tersebut berlaku juga untuk sebarang ABC.

Ini merupakan hasil yang agak menyolok.

Adanya satu persegipanjang yang kecil dengan satu

sisi yang sangat kecil sekali yang menempati bagian

daerah terpencil menjamin bahwa setiap segitiga

yang mungkin (yang dapat dipikirkan) mempunyai

jumlah sudut 180. Karena hal ini merupaka ciri

khusus geometri Euclides, kita berusaha

mengatakan bahwa jika dalam geometri itu menjadi

geometri Euclides. Pernyataan ini benar, tetapi

masih belum sepenuhnya ditunjukkan alasannya.

Karena, untuk menggolongkan suatu geometri

sebagai geometri Euclides, kita harus menunjukkan

bahwa geometri tersebut memenuhi postulat

kesejajaran Euclides. Hal ini akan dibahas pada bab

berikutnya.

3. Jumlah sudut suatu segitiga

Adanya persegipanjang dapat digunakan untuk

mempertajam teorema I, teorema Saccheri – Legendre

tentang jumlah sudut segitiga. Hal ini mudah sekali

dilakukan, seperti pada Teoerma 6.5, adanya segitiga

dengan jumlah sudut 180 adalah ekivalen dengan

adanya persegipanjang.

Teorema 6.5

Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180,

maka akan ada sebuah persegipanjang.


Bukti :

Misalkan ABC mempunyai jumlah sudut 180,

pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku

dengan jumlah sudut 180. Potong ABC menjadi dua

segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai

jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi

tertentu, misalnya AD, maka : p + q = 2.90 + 180 =

360.

Kita tunjukkan p = 180. Menurut teorema 6.1, p 180.

Jika p < 180 , q > 180 bertentangan dengan Teorema

6.1. Jadi ada segitiga siku-siku, misalnya ABD

dengan sudut siku-siku di D, yang mempunyai jumlah

sudut 180.

Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku,

kedua segitiga tersebut kita tempelkan bersama untuk

membentuk persegipanjang.

A

B

C D

p q

A

B D

E

1

2’

1’

2

Geometri Netral /

177

Lukis BAE ABD dengan E berlainan pihak

dengan D dari sisi AB, dan BE bersesuaian dengan AD.

Karena jumlah sudut ABD adalah 180, maka :

1 + 2 = 90

karena

1 = 1, 2 = 2

maka kita peroleh :

1 + 2 = 90 , dan 1 + 2 = 90

Tetapi

1 + 2 = EBD, dan

1 + 2 = EAD.

Jadi

EAD = EBD = 90

Berarti ADBE persegipanjang.

Akibat 1 Teorema 6.6

Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800,

maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180o.

Bukti :

Gunakan Teorema 6.6 dan 6.5

Akibat 2 Teorema 6.6

Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang

dari 180o, maka setiap segitiga mempunyai jumlah

sudut kurang dari 180o.

Bukti :

Misalkan ABC mempunyai jumlah sudut kurang

dari 180o. Perhatikan sebarang PQR. Menurut

Teorema 6.1, jumlah sudutnya , dan < 180o.

Misalkan = 180o. Maka menurut akibat Teorema

6.6 di atas, ABC mempunyai jumlah sudut 180o,


bertentangan dengan permisalan di atas. Jadi <

180o.

Dengan membandingkan teorema akibat 1 dan 2

dari Teorema 6.6, kita amati suatu fakta penting yang

tidak termuat dalam Teorema Saccheri Legendre.

Geometri netral adalah “homogen”, dalam arti bahwa

semua segitiga mempunyai jumlah sudut 180o, atau

semua segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari

180o. Jenis geometri netral yang pertama tersebut

merupakan geometri Euclides. Sedangkan yang kedua

secara historis muncul sebagai geometri non-Euclides.

Keduanya akan dipelajari pada bab yang akan datang.

Kita simpulkan daftar referensi Proposisi

Geometri Netral Bidang yang boleh digunakan dalam

menyelesaikan Latiahan 6 di bawah.

Contoh 6.1

Buktikan Dua Segitiga adalah kongruen jika dua sudut

dan sisi di hadapan salah satu sudut dari dua segitiga

yang bersesuaian adalah sama.

Diketahui: Lihat gambar

di samping I.

Buktikan: ∆ ABC ∆

PQR

Bukti: Teorema

kongruensi yang ada

ádalah proposisi 8 (s,sd,s),

(sd,s,sd), (s,s,s)

.tidak ada yang cocok.

Terpaksa menggunakan

Postulat V sebagai berikut:

A B

R C

P Q

A=P111

B= Q1

C= R1

P11

P1

Geometri Netral /

179

Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah ukuran

dan bentuknya.

Langkahnya ∆PQR diimpitkan ke ∆ABC

Alternatif yang mungkin P terletak di:

a) antara A dan B,

b) pada perpanjangan BA dan

c) berimpit dengan A. (mengapa ?)

∆PQR ∆P1Q1 R1 (postulat V).

Lihat ∆ ACP1 berarti A < ACP1

(mengapa?)...... 1)

Padahal CP1B adalah sudut luar ∆ACP1 berarti

A < CP1B (teorema sudut luar) ........ 2)

Dari 1) dan 2) terjadi kontradiksi.

Analog jika terjadi:

b) kontradiksi juga

c) A = P111 maka AB = P111 G1 sehingga

∆ABC ∆PQR

Proposisi-proposisi Geometri Netral Bidang

1. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling

banyak satu titik potong.

2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik

tengah.

3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.

4. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah

sama.

5. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.

6. Kongruensi dua segitiga adalah ss-sd-ss, sd-ss-sd,

ss-ss-ss.

7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-

sudut di hadapannya sama.


8. Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi di

hadapannya sama.

9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis

tertentu melalui satu titik pada garis tertentu

tersebut.

10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis

tertentu melalui satu titik di luar garis tertentu

tersebut.

11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika

dan hanya jika TA = TB.

12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-

sudut di hadapannya juga tidak sama, dan sudut

yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih

panjang.

13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-

sisi di hadapannya juga tidak sama, dan sisi yang

lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih

besar.

14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan

sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen yang

tegak lurus.

15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang

ketiga.

16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-

masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua,

dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari

sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari

segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari

segitiga kedua.

17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-

masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua,

dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang

dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit

Geometri Netral /

181

dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit

dari segitiga kedua.

18. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar

dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian

dengan sudut luar tersebut.

19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang

dari 180o.

20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan

membentuk sepasang sudut dalam berseberangan

yang sama dua garis tersebut sejajar.

21. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama

adalah sejajar.

22. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar

dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di

luar garis tertentu tersebut.

23. Misalkan garis 1 melalui titik C yang jaraknya ke

pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya.

Maka garis 1 memotong lingkaran di dua titik.

24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran

jika dan hanya jika garis tersrebut tegak lurus pada

jari-jari lingkaran.

25. Jika diketahui ABC dan segmen garis PQ

sedemikian hingga PQ = AB, maka ada titik R di

luar PQ sedemikian hingga PQR ABC.

26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui

sebarang segitiga.

LATIHAN 6

Bagian A

1. Buktikan : Dua segitiga adalah kongruen jika dua

sudut dan sisi di hadapan salah satu sudut dari dua

segitiga yang bersesuaian adalah sama.


2. Buktikan : Dua segitiga siku-siku adalah konguren

jika sisi miring dan salah satu kaki segitiga yang

satu sama dengan sisi miring dan salah satu kaki

segitiga yang lain.

3. Buktikan : Jika dua garis dipotong oleh garis lain

dan membentuk sudut dalam berseberangan yang

sama, maka kedua garis tersebut mempunyai satu

garis tegak lurus persekutuan.

Definisi : Segiempat ABCD disebut segiempat Saccheri

jika

B = C = 90o, dan AB = DC.

BC disebut sisi alas segiempat Sachheri, AB

dan DC disebut sisi (kaki)nya dan AD

adalah sisi atas (summit)nya, D adalah

sudut puncaknya.

Buktikan : Sudut-sudut puncak dari segiempat

Saccheri adalah sama dan tidak tumpul.

4. Buktikan : Garis yang menghubungkan titik tengah

sisi atas dan titik tengah sisi alas segiempat Saccheri

adalah tegak lurus pada sisi atas dan sisi alasnya.

Simpulkan bahwa sisi atas dan sisi alas segiempat

Saccheri adalah sejajar.

5. Buktikan : Sumbu sisi alas segiempat Saccheri juga

merupakan sumbu sisi atasnya.

6. Buktikan : Dua garis mempunyai satu garis tegak

lurus persekutuan jika dan hanya jika pada salah

satu garis tersebut terdapat dua titik yang jaraknya

sama ke garis yang lain.

7. Pada segiempat ABCD, diketahui B = C = 900.

Buktikan bahwa AB > DC jika dan hanya jika D

> A.

Geometri Netral /

183

8. Pada segiempat ABCD, diketahui B = C = 900,

buktikan : jika A = D maka AB = DC.

9. Buktikan : sisi atas segiempat Saccheri lebih besar

atau sama dengan sisi alasnya.

10. Buktikan : Segmen garis yang menghubungkan titik

tengah sisi atas dan titik tengah sisi alas segiempat

Saccheri adalah lebih kecil atau sama dengan kaki

segiempat Saccheri.

11. Buktikan : Jika segiempat mempunyai tiga sudut

siku-siku, maka sisi yang berdekatan dengan sudut

keempat lebih besar atau sama dengan sisi

dihadapannya (disebut segi-4 Lambert).

12. Buktikan : Jika dua garis mempunyai satu garis

tegak lurus persekutuan, maka segmen garis

terpendek menghubungkan kedua garis tersebut

adalah garis tegak lurus persekutuan tersebut.

13. Jika diketahui sebuah segitiga siku-siku. Lukislah

segitiga siku-siku yang baru yang mempunyai

sudut lancip yang sama yang baru yang

mempunyai sudut lancip yang sama dengan

segitiga siku-siku yang pertama, dan panjang garis

miringnya dua kali sisi miring segitiga siku-siku

yang pertama. Buktikan bahwa sisi yang

berhadapan dengan sudut lancip tersebut paling

tidak dua kali dari sisi yang bersesuaian dari

segitiga yang pertama. Pikirlah bagaimana dengan

sisi yang berdekatan dengan sisi tersebut. Coba

jelaskan jawaban anda.

14. Diketahui dua garis l dan m berpotongan di O. Titik

P terletak di antara O dan Q di l. PP’ m di P’ : QQ’

m di Q’. Buktikan QQ’ > PP’, (Berarti jika sebuah


titik di l menjauhi O maka jaraknya ke m

bertambah panjang).

15. Pada soal 15 tunjukkan bahwa jika OP bertambah

panjang terus maka PP’ juga bertambah panjang.

Hal ini memantapkan sifat (A) dari Bab 2 bagian 5,

bahwa jika sebuah titik pada L menjauhi O terus

menerus, maka jaraknya ke m juga bertambah

terus.

Kunci Soal No 8

Pada segiempat ABCD diketahui B = C = 900,

buktikan bahwa AB>DC jika hanya jika D > A.

Diketahui: Lihat gambar

Buktikan :

a) AB > DC D > A

b) D > A AB > DC

Bukti:

a) Pilih titik E pada AB sedemikian hingga

BE = CD, maka EBCD segiempat

Saccheri (definisi)

berarti E2 = D2 = <= 900 (Soal no 4)

... 1)

Pada ∆ ADE, A < E2 (teorema sudut luar) ......

2)

D2 < D12 ....... 3)

Dari 1), 2), 3) didapat A < D2 < D12 A

< D (sifat transitif)

Alternatif yang mungkin

b) D < A i) AB < DC

ii) AB = DC

B C

A

D E

Geometri Netral /

185

iii) AB > DC

i) AB < DC D< A (bukti A) kon indikasi

dengan D > A

ii) AB = DC maka D = A (mengapa dengan

D > A yang mungkin AB < DC.

Dari a) dan b) terbukti soal no 8

AB > DC D > A

Soal ini mirip dengan proposisi 12 dan 13

pada ∆

AB > AC C < B

Soal 8 sering dipakai pada penyelesasian soal

berikutnya bersama-sama dengan soal 4

Bagian B

1. Buktikan : garis yang tegak lurus ke garis yang

menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga

dari ujung-ujung sisi ketiga membentuk segiempat

Saccheri. Lebih jelasnya, jika M, N adalah titik-titik

tengah sisi AB dan AC dari segitiga ABC dan BP

MN di P, CQ MN di Q maka BPQC adalah

segiempat Saccheri.

A

M

Q

P

B

C N

B C

A


Definisi : Suatu segitiga dan segiempat Saccheri

yang berhubungan seperti pada soal no. 1

dikatakan berasosiasi. Sebuah segitiga

mempunyai tiga segiempat Saccheri yang

berasosiasi dengan segitiga tersebut.

2. Buktikan bahwa (sesuai gambar pada soal no. 1 di

atas) : MN < 21 BC dan MN / / BC.

Definisi : Dua poligon , q adalah ekivalen jika

dapat dipecah-pecah atas segitiga 1, 2,

……., n’ dan q dapat dipecah-pecah atas

segitiga q1, q2, ….., qn sedemikian hingga i

qI, untuk i = 1, 2, ….., n.

Definisi : Dua poligon , q adalah ekivalen jika :

a) Keduanya ekivalen dengan cara

dipecah-pecah;

atau

b) Ada poligon ’, q’ yang keduanya

ekivalen dengan dipecah-pecah

sedemikian hingga ’ dapat dipecah

menjadi dan sejumlah segitiga 1, 2,

……., n, dan q’ dapat dipecah menjadi

q dan sejumlah segitiga q1, q2, ….., qn,

dengan i qI, i = 1, 2, …., n.

Asumsikan bahwa relasi ekivalen dari poligon-poligon

adalah transitif, yakni :

Jika ekiv. q dan q ekiv. r maka ekiv. r

3. Buktikan : Sebuah segitiga adalah ekivalen dengan

setiap segiempat Saccheri yang berasosiasi dengan

segitiga tersebut, dan jumlah sduut segitiga tersebut

sama dengan jumlah sudut puncak segiempat

Saccheri yang berasosiasi.

Geometri Netral /

187

4. Buktikan : Jika dua segitiga memiliki bersama suatu

segiempat Saccheri berasosiasi, maka dua segitiga

tersebut ekivalen dan mempunyai jumlah sudut

yang sama.

5. Buktikan : Jika sisi atas segiempat Saccheri adalah

satu sisi segitiga, dan sisi alas segiempat Saccheri

tersebut membagi dua sama sisi kedua segitiga

tersebut tentu (sisi alas tersebut) juga akan

membagi dua sama sisi ketiga, maka segiempat

Saccheri tersebut berasosiasi dengan segitiga

tersebut.

6. Diketahui sebuah segiempat Saccheri. Buktikan ada

sebuah segitiga yang berasosiasi, dengan panjang

salah satu sisinya adalah x, dan x paling sedikit dua

kali panjang kaki segiempat Saccheri tersebut.

7. Diketahui segitiga ABC. Buktikan bahwa ada

segitiga lain yang ekivalen dengan segitiga ABC

dan jumlah sudutnya sama dengan segitiga ABC,

serta punya sisi yang panjangnya x, dengan x >

panjang salah satu sisi segitiga ABC.

8. Buktikan : Setiap segiempat Saccheri punya segitiga

samakaki yang berasosiasi. Simpulkan bahwa

sebarang segitiga ABC punya jumlah sudut yang

sama dengan alas AB dan keduanya ekivalen.

Bagian C

1. Buktikan : Jika dalam geometri netral ada

segiempat Saccheri yang sisi atasnya sama dengan

sisi alasnya, maka geometri tersebut adalah

geometri Euclides.

2. Buktikan : Jika dalam geometri netral segmen garis

yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga


selalu sama dengan separoh sisi yang ketiga, maka

geometri tersebut adalah geometri Euclides.

3. Buktikan : Jika dalam geometri netral setiap segitiga

dapat dilalui oleh sebuah lingkaran, maka geometri

tersebut adalah geometri Euclides.

4. Buktikan : Jika dalam geometri netral sebarang

garis yang melalui titik di dalam daerah sudut pasti

memotong sudut tersebut, maka geometri tersebut

adalah geometri Euclides.

5. Buktikan : Jika dalam geometri netral jumlah sudut

segitiga adalah konstan, maka geometri tersebut

adalah geometri Euclides.

6. Buktikan : Geometri netral merupakan geometri

Euclides jika memuat dua segitiga sebangun yang

tidak kongruen.

7. Buktikan : Jika dalam geometri netral ada segitiga

sedemikian hingga segmen garis yang

menghubungkan titik tengah dari sepasang sisi

tertentu dan panjangnya separuh sisi ketiga, maka

geometri tersebut adalah geometri Euclides.

8. Buktikan : Jika teorema Pythagoras berlaku pada

geometri netral, maka geometri tersebut adalah

geometri Euclides.

9. Dalam geometri netral, misalkan segiempat ABCD

mempunyai sudut siku-siku di A dan B, AD = BC

dan sumbu AAB membagi dua CD.

Buktikan : geometri tersebut adalah geometri

Euclides.

Bagian D

1. Buktikan : Jika sisi-sisi yang berhadapan suatu

segiempat sama, maka sudut-sudut yang

berhadapan juga sama.

Geometri Netral /

189

2. Dalam segiempat ABCD, misalkan sudut A dan B

adalah siku-siku.

Buktikan : bahwa ABCD adalah segiempat Saccheri

jika memenuhi salah satu syarat berikut :

(i) sumbu AB CD,

(ii) sumbu CD AB.

(iii) Sumbu CD membagi dua AB.

3. Buktikan : sisi-sisi yang berhadapan suatu persegi

panjang sama.

4. Buktikan : diagonal persegipanjang saling membagi

dua.

5. Buktikan : jika diagonal segiempat Saccheri saling

membagi dua, maka gambar segiempat tersebut

adalah persegipanjang.

6. Buktikan : Pada segiempat Saccheri, garis yang

menghubungkan titik tengah sisi alas dengan titik

tengah sisi atas melalui perpotongan kedua

diagonal.

7. Dalam segiempat Saccheri, buktikan bahwa garis

yang menghubungkan titik tengah kaki-kakinya

dibagi dua oleh sumbu dari garis yang

menghubungkan titik-titik tengah sisi alas dan sisi

atas.

8. Buktikan : Garis yang menghubungkan titik-titik

tengah dua sisi segitiga adalah tegak lurus terhadap

sumbu sisi ketiga.

9. Buktikan : Sumbu dari sisi-sisi segitiga berpotongan

di suatu titik, dengan menetapkan dua diantaranya

berpotongan.

Simpulkan :

(i) tiga sumbu dari sisi segitiga adalah melalui 1

titik atau sejajar.


(ii) Sebuah lingkaran bisa melalui sebuah

segitiga atau sumbu sisi-sisinya sejajar.

10. Buktikan : Sumbu sisi-sisi segitiga merupakan garis

tinggi segitiga yang dibentuk dengan

menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.

11. Buktikan : Sebarang segitiga siku-siku ekivalen

dengan segiempat dengan tiga sudut siku-siku dan

sebaliknya.

Definisi : Jajargenjang adalah segiempat yang

mempunyai dua sisi yang berhadapan sama dan

dua sudut yang berdekatan saling bersuplemen dan

berdekatan pada sisi yang sama. Alasnya adalah

sisi yang menghubungkan titik sudut yang saling

bersuplemen. Ingat bahwa sebarang segiempat

Saccheri adalah jajargenjang.

12. Buktikan : Sisi-sisi yang berhadapan jajargenjang

adalah sejajar.

13. Buktikan : Sebarang segitiga adalah ekivalen

dengan jajargenjang ; jumlah sudutnya sama

dengan jumlah sudut jajargenjang dikurangi 1800.

14. Diketahui segitiga siku-siku, lukislah segitiga siku-

siku yang mempunyai sebuah sudut lancip yang

sama dengan salah satu sudut dari segitiga

pertama, dan sisi yang berdekatan panjangnya dua

kali sisi yang berdekatan dari sisi segitiga pertama.

Buktikan bahwa luas segitiga tersebut > dua kali

sisi luas segitiga pertama.

15. Pada segiempat Saccheri, buktikan bahwa garis

yang menghubungkan titik tengah kaki-kakinya

membagi dua masing-masing diagonalnya.

BAB 7 GEOMETRI NETRAL - · PDF fileA. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada Geometri...

Documents

Transcript of BAB 7 GEOMETRI NETRAL - · PDF fileA. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada Geometri...