Logika Matematika Sukses Ujian Nasional Matematika 30

BAB 6

LOGIKA MATEMATIKA

RINGKASAN MATERI

1. Pengertian

Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang

masuk akal).

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah (variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar

atau salahnya).

2. Lima Penghubung Matematika

Negasi (ingkaran) Notasi : ~ p

Konjungsi (dan) Notasi : p q

Disjungsi (atau) Notasi : p q

Implikasi (jika… , maka …) Notasi : p q

Biimplikasi (… jika dan hanya jika …) Notasi : p q

3. Tabel kebenarannya

p q ~p p q pq P q p q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

S

B

S

B

B

B

S

S

B

4. Konvers, Invers, Kontrapositif

Implikasi

p q

Konvers

q p

Invers

~p ~q

Kontraposisi

~q ~p

5. Tautologi dan Pernyataan Ekuivalen

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran.

Implikasi logis adalah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran.

Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang mengandung nilai salah dan benar pada kemungkinan nilai

kebenarannya.

Pernyataan yang Ekuivalen ( )

a. p q q p

p q q p

b. p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

c. p p p

p p p

d. p S p

p S S

e. p B B

p B p

f. ~(p q) ~ p ~ q

~(p q) ~ p ~ q

g. p q ~ q ~ p

p q ~ p q

h. p q (p q) (q p)

p q (~ p q) (~ q p)

6. Penarikan Kesimpulan

Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

p q … premis 1

p … premis 2

q … kesimpulan

p q … premis 1 ~ q … premis 2

~ p … kesimpulan

p q … premis 1

q r … premis 2

p r … kesimpulan

A

Logika Matematika Sukses Ujian Nasional Matematika 31

7. Pernyataan Berkuantor

Universal : = semua, setiap

Khusus : = ada, berapa, sebagian

8. Bukti dalam Matematika

Bukti tak langsung

Menggunakan konsep :

p q ~ q ~ p

Bukti dengan induksi matematika

a. Tunjukkan bahwa rumus P(n) benar untuk n = 1

b. Tunjukkan bahwa jika rumus P(n) benar untuk n = k, maka rumus P(n) juga benar untuk n = k+1.

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk (p q) (~p ~q) adalah ….

a. BSSS b. SSSB c. SBSS d. SSBS e. SBBS

Jawaban: b

Penyelesaian:

Tabel kebenarannya

p q ~p ~q p q ~p ~q (p q) (~p ~q)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

B

S

S

S

B

Jadi [ (p q) (~p ~q) ] = SSSB

2. nilai x agar kalimat “ 4x = 2 2 jika dan hanya jika

2log 1 = 0” menjadi biimplikasi yang bernilai benar adalah ..

a. 4

3 b.

2

3 c. 2 d. 2 e. 2 2

Jawaban: a

Penyelesaian:

4x = 2 2

22x

= 2

3

2

2x = 2

3

x = 4

3

2 log 1 = 0 adalah menyatakan benar.

Jadi, agar kalimat “4x = 2 2 jika dan hanya jika

2log 1 = 0” menjadi biimplikasi yang bernilai benar, maka

haruslah x = 4

3.

3. Negasi dari pernyataan “jika guru matematika hadir, maka semua siswa senang” adalah ....

a. jika guru matematika tidak hadir, maka semua siswa tidak senang

b. jika guru matematika tidak hadir, maka ada siswa yang tidak senang

c. guru matematika tidak hadir atau semua siswa senang

d. guru matematika hadir atau ada siswa yang tidak senang

e. guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang

Jawaban: e

Penyelesaian:

Misalnya p : guru matematika hadir

q : semua siswa senang

~ (p q) ~ (~ p q) p ~q

Jadi, negasinya adalah “guru matematika hadir dan ada siswa yang tidak senang”

Kalimat berkuantor Negasinya

a. (x); P(x) Q(x)

b. (x); P(x) Q(x)

a. (x); P(x) ~ Q(x)

b. (x); P(x) ~ Q(x)

B

Logika Matematika Sukses Ujian Nasional Matematika 32

4. Ebtanas 2001

Kontraposisi pernyataan majemuk p (p q) adalah ....

a. (p q) p c. (p q) p e. (p q) p

b. (p q) p d. ( p q) p

Jawaban: b

Penyelesaian:

Kontraposisi dari p (p q) adalah (p q) p (p q) p

5. UAN 2003

Penarikan kesimpulan dari

I p q II p q III p q

p q r q r

q r p p r

Yang sah adalah …

a. hanya I c. hanya I dan III e. hanya III

b. hanya I dan II d. hanya II dan III

Jawaban: c

Penyelesaian:

6. UN 2004

Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut :

1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA.

2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang.

3. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal.

Dari ketiga pernyataan di atas, dapat disimpulkan ….

a. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal

b. Jika penguasaan matematika rendah, maka IPTEK berkembang

c. IPTEK dan IPA berkembang

d. IPTEK dan IPA tidak berkembang

e. Sulit untuk memajukan negara

Jawaban: a

Penyelesaian:

p : Penguasaan matematika rendah

q : Sulit menguasai IPA

q : IPA tidak sulit dikuasai.

r : IPTEK tidak berkembang.

s : Negara akan semakin tertinggal.

Jadi, dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa: “Jika penguasaan matematika rendah, maka

Negara akan semakin tertinggal”

p q

q r

r s

p q

q r

r s

p s

Ekuivalen dengan

I. p q ekuivalen dengan p q

~ p p

q q

Penarikan kesimpulan I adalah sah.

II. p q seharusnya p q

q r q r

r p p r (silogisme)

Karena r p tidak ekuivalen dengan p r,

maka penarikan kesimpulan II tidak sah.

III. p q ekuivalen dengan p q

q r q r

p r p r

Penarikan kesimpulan III adalah sah.

Jadi, penarikan kesimpulan yang sah adalah I dan III.

Logika Matematika Sukses Ujian Nasional Matematika 33

LATIHAN SOAL

1. Jika (p q) bernilai benar, maka pernyataan

berikut yang bernilai benar adalah …

a. p q d. p q

b. p q e. p q

c. p q

2. Nilai kebenaran dari [(p q) q] q adalah …

a. SSSS d. SBSB

b. SSBB e. BSBB

c. BBBB

3. Jika x2

– 4x + 4 = 0, maka jumlah sudut segitiga

adalah 360o. Agar implikasi dari kalimat diatas

salah, maka nilai x adalah ....

a. x = –4 d. x = 2

b. x = –2 e. x = 4

c. x 2

4. Ebtanas 2001

Diketahui pernyataan (p q) p. Konvers dari

pernyataan tersebut adalah

a. p (p q) d. p (p q)

b. p (p q) e. p (p q)

c. p (p q)

5. Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Bila Ali

rajin belajar maka Ali naik kelas” adalah ….

a. Bila Ali naik kelas maka Ali rajin belajar

b. Bila Ali tidak rajin belajar maka Ali tidak naik

kelas

c. Bila Ali tidak naik kelas maka Ali rajin bekajar

d. Bila Ali tidak rajin belajar maka Ali naik kelas

e. Ali tidak rajin belajar atau Ali naik kelas

6. Ingkaran dari (p q) r adalah ….

a. ~p ~q r d. ~p ~q r

b. (~p ~q) r e. (~p ~q) r

c. p q ~r

7. UN 2008

Ingkaran dari pernyataan. “Beberapa bilangan prima

adalah bilangan genap.” adalah ...

a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.

b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.

c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.

d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima.

e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan

prima.

8. UAN 2002

Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi

berikut p q

q r

……

adalah .…

a. p r d. p r

b. p r e. p r

c. p r

C

Logika Matematika Sukses Ujian Nasional Matematika 34

9. Ebtanas 2001

Penarikan kesimpulan dari

1. p q 2. p q 3. p r

p p q r

q q p q

yang sah adalah ....

a. 1, 2, dan 3 d. 2 saja

b. 1 dan 2 e. 3 saja

c. 1 dan 3

10. UN 2008

Diketahui premis-premis

a. Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang

tua, maka Ayah membelikan bola basket.

b. Ayah tidak membelikan bola basket.

Kesimpulan yang sah adalah …

a. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang

tua.

b. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh

pada orang tua.

c. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak

patuh pada orang tua.

d. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada

orang tua.

e. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada

orang tua.

11. UN 2006

Dari argumentasi berikut :

Upik rajin belajar maka naik kelas.

Upik tidak dapat hadiah maka tidak naik kelas.

Upik rajin belajar.

Kesimpulan yang sah adalah ….

a. Upik naik kelas

b. Upik dapat hadiah

c. Upik tidak dapat hadiah

d. Upik naik kelas dan dapat hadiah

e. Upik dapat hadiah atau naik kelas

12. Diketahui pernyataan :

1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai

payung.

3. Ani tidak memakai payung

Kesimpulan yang sah adalah ….

a. Hari panas

b. Hari tidak panas

c. Ani memakai topi

d. Hari panas dan Ani memakai topi

e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi

13. Dari argumentasi berikut :

Jika ibu tidak pergi maka adik senang

Jika adik senang maka dia tersenyum

Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah ….

a. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum

b. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum

c. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum

d. Ibu tidak pergi dan adik tidak tersenyum

e. Ibu pergi atau adik tersenyum