Bab 6 Elemen Portal Bidang
-
Upload
alvin-hogan -
Category
Documents
-
view
34 -
download
4
description
Transcript of Bab 6 Elemen Portal Bidang
![Page 1: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/1.jpg)
140
Bab VI :
Elemen Portal Bidang
6.1 Umum
Portal bidang didifinisikan dimana gaya batang yang terjadi adalah gaya Normal, Lintang dan
momen.
Elemen Portal Bidang (plane frame element) adalah gabungan antara elemen rangka bidang
dengan elemen balok yang sudah dihitung pada bab sebelumnya yakni pada bab IV dan bab
V. Seperti pada bab sebelumnya gaya yang bekerja pada elemen rangka bidang adalah
seperti gambar 6.1, dimana gaya batang ada dua.
Sedangkan pada elemen balok gaya yang bekerja adalah:
Selanjutnya pada gambar 6.2 adalah elemen balok dimana gaya batang ada empat
Besaran gaya masing-masing sebesar
Elemen portal bidang adalah penjumlahan dari kedua elemen yakni elemen rangka bidang
dan elemen balok seperti yang dapat dilihat di Gambar 6.3, dimana pada elemen portal
bidang terdapat Momen, Gaya Lintang dan Normal dengan jumlah dof setiap elemen ada
enam.
Sx1 Sx2
Sy1 Sy2
MZ1 MZ2
Gambar 6.1: Elemen rangka bidang
Gambar 6.2: Elemen Balok
![Page 2: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/2.jpg)
141
6.2 Matriks kekakuan
Dalam menentukan matriks kekakuan elemen portal bidang adalah penjumlahan dari elemen
rangka bidang dari bab 3 persamaan (3.3), (3.4) dan elemen balok dari bab 5 persamaan
(5.18), (5.20), (5.21) dan (5.23) , dimana gaya batangnya adalah sbb:
222111211 .0.0.0.0 vu
L
EAvu
L
EAuu
L
EASx
222312132122131
612612)(
126
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
Lvv
LEISy
222212212121
2646)2(
1)(
32
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
Lvv
LEIM Z
222111212 .0.0.0.0 vuL
EAvu
L
EAuu
L
EASx
222312132122132
612612)(
126
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
Lvv
LEISy
222112212122
4626)
426
L
EIv
L
EI
L
EIv
L
EI
L
EI
L
EIvv
L
EIM Z
Dengan demikian maka dengan cara matriks dapat dituliksan sbb:
Mz2
Sx2
Sy2
Z
Sy1
Sx1
Mz1
EA, Iz
L
y
x
Gambar 6.3 : Elemen portal bidang
![Page 3: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/3.jpg)
142
2
2
2
1
1
1
22
22
22
22
3
2
2
2
1
1
1
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
v
u
v
u
LLLL
LL
I
AL
I
ALLLLL
LL
I
AL
I
AL
L
EI
M
S
S
M
S
S
ZZ
ZZ
Z
z
y
x
z
y
X
(6,1)
atau
dKf (6.2)
Dimana matriks kekakuan elemen portal bidang (portal bidang) K adalah
22
22
22
22
3
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
LLLL
LL
I
AL
I
ALLLLL
LL
I
AL
I
AL
L
EIK
ZZ
ZZ
Z
(6.3)
dan gaya adalah
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
X
M
S
S
M
S
S
f
(6.4)
Sedangkan perpindahan adalah
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
d
(6.5)
![Page 4: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/4.jpg)
143
6.3 Transformasi pada system koordinat
Transformasi koordinat dilakukan dari sumbu lokal (X,Y) ke sumbu global ๐ ,๐ dengan
sudut sebesar ๐ผ๐ seperti gambar 6.4. Yang ditransformasikan adalah titik 2 terlebih dahulu
yakni ๐๐ฅ2,๐๐ฆ2 ๐๐๐ ๐๐ง2 dari sumbu (X,Y) ke sumbu ๐ ,๐ .
Gambar 6.4: a) Transformasi koordinat pada elemen portal bidang b) Transformasi Gaya
terhadap sumbu global
Pada gambar 6.4 a) diperhatikan titik simpul 2, dimana ๐๐ฅ2, ๐๐ฆ2 ๐๐๐ ๐๐ง2 ditransformasikan
kearah sb (๐ ,๐ ) maka dihasilkan sebagai berikut
sin.cos, 222 SySxSx
(6.6)
cocSySySy .sin, 222
(6.7)
22 MzMz
(6.8)
Secara matriks ditulis
๐ 2 =
๐ ๐ฅ2
๐ ๐ฆ2
๐ ๐ง2
= cos๐ผ โ ๐ ๐๐๐ผ 0๐ ๐๐๐ผ ๐๐๐ ๐ผ 0
0 0 1
๐๐ฅ2
๐๐ฆ2
๐๐ง2
(6.9)
Persamaan (6.9) dapat ditulis menjadi
๐ 2 = ๐ ๐2 (6.10)
Dimana
Mz2
Sy2
Sx2
Y
X
Y X
SY2 . sin ฮฑ
ฮฑ
Z
ฮฑ
SX2 . cos ฮฑ
SX2 . sin ฮฑ
SY2 . cos ฮฑ
SY2
Sx2 Mz2
2
1 2 b) a)
![Page 5: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/5.jpg)
144
๐ = cos๐ผ โ sin ๐ผ 0sin ๐ผ
0
cos๐ผ0
01 (6.11)
Persamaan (6.11) disebut matriks transformasi.
๐ 2 =
๐ ๐ฅ2
๐ ๐ฆ2
๐ ๐ง2
(6.12)
Sedangkan persamaan (6.12) dinamakan matriks gaya terhadap sumbu global
๐2 =
๐๐ฅ2
๐๐ฆ2
๐๐ง2
(6.13)
Kemudian persamaan (6.13) disebut matriks gaya terhadap sumbu lokal.
Pada titik simpul 1 berlaku juga berlaku juga seperti simpul 2 maka untuk satu elemen
berlaku :
๐ = ๐ ๐ (6.14)
dimana ๐ = ๐ 00 ๐
Matriks transformasi dari persamaan (6.11) dan (6.14) untuk elemen portal bidang adalah
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T
(6.15)
Untuk perpindahan (displacement vector) berlaku juga :
{d} = [T] {d} (6.16)
Dan dari persamaan (6.14) didapat
_1
fTf (6.17)
Dari persamaan (6.16) didapat
_1
dTd
(6.18)
Persamaan (6.17) dan persamaan (6.18) dimasukkan ke persamaan ke (6.2) menjadi
dTKfTe
1_
1
![Page 6: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/6.jpg)
145
dTKTf
1_
dKf__
dimana : 1_
TKTK
\ (6.19)
Selanjutnya pada persamaan (6.19) ๐ adalah matriks Transformasi seperti pada persamaan
(6.15), sedangkan ๐พ adalah matriks kekakuan seperti pada persamaan (6.3). Kemudian
TTT 1
karena [T] matriks Orthogonal.
Dengan cosฮฑ = c dan sinฮฑ = s, maka persamaan (6.15) menjadi
(6.20)
Dari persamaan (6.3) dengan memasukkan ZI
ALk
2
maka didapat
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
TT
![Page 7: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/7.jpg)
146
22
22
3
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
LLLL
LL
kk
LLLL
LL
kk
L
EIK Z
Persamaan ke (6.20) dikali persamaan (6.21) menjadi
100000
0000
0000
000100
0000
0000
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
22
3
cs
sc
cs
sc
x
LLLL
LL
kk
LLLL
LL
kk
L
EITK ZT
Dari perkalian kedua matriks didapat
๐พ ๐ ๐ =๐ธ๐ผ๐ง
๐ฟ3
๐๐ ๐๐ โ12๐ 12๐
0 โ๐๐6๐ฟ 12 ๐
โ๐๐ 0โ12 ๐ 6๐ฟ
โ6๐๐ 6๐ฟ๐โ๐๐ โ๐๐
4๐ฟ2 6๐ฟ๐ 0 ๐๐
โ6๐ฟ๐ 2๐ฟ2
๐๐ 012๐ โ12๐โ6๐ฟ๐ 6๐ฟ๐
โ6๐ฟ โ12๐2๐ฟ2 6๐ฟ๐
12๐ โ6๐ฟโ6๐ฟ๐ 4๐ฟ2
(6.22)
Dengan mengalikan matriks
๐ ๐พ ๐ ๐ =๐ธ๐ผ๐ง๐ฟ3
๐ โ๐ ๐ ๐
0 00 0
0 00 0
0 00 0
1 00 ๐
0 0โ๐ 0
0 00 0
0 ๐ 0 0
๐ 00 1
๐๐ ๐๐ โ12๐ 12๐
0 โ๐๐6๐ฟ 12 ๐
โ๐๐ 0โ12 ๐ 6๐ฟ
โ6๐๐ 6๐ฟ๐โ๐๐ โ๐๐
4๐ฟ2 6๐ฟ๐ 0 ๐๐
โ6๐ฟ๐ 2๐ฟ2
๐๐ 012๐ โ12๐โ6๐ฟ๐ 6๐ฟ๐
โ6๐ฟ โ12๐2๐ฟ2 6๐ฟ๐
12๐ โ6๐ฟโ6๐ฟ๐ 4๐ฟ2
(6.23)
maka persamaan didapat
(6.21)
![Page 8: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/8.jpg)
147
22
2222
2222
22
222
2222
3
_
466266
612)12(612)12(
6)12(126)12(12
266466
612)12(6)12()12(
6)12(126)12(12
LLcLsLLcLs
LcckscskLcckscsk
LscskskcLscskskc
LLcLsLLcLs
LcckscskLcckscsk
LscskskcLscskskc
L
EIK Z
(6.24)
Persamaan (6.24) adalah matriks kekakuan elemen portal bidang, dimana
sin,cos sc dan
ZI
ALk
2
(6.24a)
Jika ฮฑ = 0, maka matriks kekakuannya menjadi
22
22
3
_
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
LLLL
LL
kk
LLLL
LL
kk
L
EIK Z
(6.25)
6.4 Kompatibilitas, keseimbangan dan penentuan dari matriks kekakuan.
Diketahui konstruksi elemen portal bidang seperti gambar 6.5. dan yang akan dihitung adalah
untuk mencari matriks kekakuan dari konstruksi tsb, dimana ada enam simpul 1 sd 6 dan ada
elemen a s/d f. Perletakan pada simpul 1 adalah jepit dan simpul 6 sendi.
1
2
3 4
5
6
a
b
c
e
f
d
F M
Z
Y
X
Gambar 6.5: contoh elemen
portal bidang
![Page 9: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/9.jpg)
148
Pada gambar 6.5, setiap elemen dibuat suatu ketentuan dimana setiap elemen mempunyai
simpul awal dengan nomor simpul 1 dan simpul akhir dengan nomor 2. Dengan demikian
untuk seluruh elemen a s/d f dibuat mana yang awal dengan nomor simpul satu dan mana
yang akhir dengan nomor simpul dua dan dirincikan di tabel 6.1.
Tabel 6.1: Elemen awal dan akhir
Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir)
a 1 2
b 2 3
c 3 4
d 2 5
e 5 4
f 6 5
Matriks elemen a, b, e dan f adalah [Ka], [Kb], [Kc], [Kf] sesuai dengan persamaan (6.24)
dengan besar sudut transformasi sebesar a = b = e = f = 900 . Sedangkan pada elemen c
dan kekakuannya adalah [Kc], [Kd] dan sudut transformasinya adalah c = d = 0.
Untuk system koordinat global (๐ ,๐ ) untuk setiap elemen a s/d f berlaku :
{f} = [K] {d} (6.26)
Untuk titik awal/pangkal dari persamaan ini besarnya adalah
๐ 1 = ๐ 11 . ๐ 1 + ๐ 12 . ๐ 2 (6.26.a)
dan untuk titik akhir/ujung
๐ 2 = ๐ 21 .๐ 1 + ๐ 22 .๐ 2 (6.26.b)
Pada portal gambar 6.5 berlaku syarat kompabilitas, dimana artinya walaupun dibagi dengan
beberapa elemen, besar perpindahan masing-masing elemen adalah sama. Untuk menjamin
kompatibilitas maka harus ditetapkan seperti dibawah ini
{da1} = {d1}
{da2} = {db1} = {dd1} = {d2}
{db2} = {dc1} = {d3} (6.27)
{dc2} = {de2} = {d4}
{dd2} = {de1} = {df2} = {d5}
{df1} = {d6}
f1
f2 =
K11
K21
K12
K22
d1
d2 =
![Page 10: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/10.jpg)
149
Pada titik simpul i berlaku :
๐๐ =
๐น๐ฅ๐น๐ฆ๐๐ง
(6.28)
Adapun definisi arah positif dari gaya-gaya dalam seperti yang dijelaskan pada gambar 6.6
Gambar 6.6: arah Gaya dalam positif dalam elemen portal bidang elemen
Sebagai contoh titik simpul 3 pada Gambar 6.5
๐ 3 = ๐น00 (6.29)
Selanjutnya untuk menghitung matriks kekakuan struktur maka dihitung berdasarkan
persamaan sbb:
{f1} = {fa1}
{f2} = {fa2} + {fb1} + {fd1}
{f3} = {fb2} + {fc1} (6.30)
{f4} = {fc2} + {fe2}
{f5} = {fd2} + {fe1} + {ff2}
{f6} = {ff1}
Selanjutnya dari persamaan (6.26a) dan (6.26b) dimasukkan kepersamaan (6.30) dihasilkan
{f3}
Gaya luar
{fc1}
Gaya dalam
Gaya dalam
{fb2}
c
b
![Page 11: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/11.jpg)
150
{f1} = [Ka11] {d1} + [Ka12] {d2}
{f2} = [Ka21] {d1} + [Ka22] {d2} + [Kb11] {d2} + [Kb12] {d3} + [Kd11] {d2}
+ [Kd12] {d5}
{f3} = [Kb21] {d2} + [Kb22] {d3} + [Kc11] {d3} + [Kc12] {d4} (6.31)
{f4} = [Kc21] {d3} + [Kc22] {d4} + [Ke21] {d5} + [Ke22] {d4}
{f5} = [Kd21] {d2} + [Kd22] {d5} + [Ke11] {d5} + [Ke12] {d4} + [Ke21] {d5}
+ [Kf22] {d6}
{f6} = [Kf11] {d5} + [Kf12] {f6}
Persamaan ini dapat ditulis dengan matriks
๐ 1๐ 2๐ 3๐ 4๐ 5๐ 6
=
๐ ๐11 ๐ ๐12
๐ ๐21 ๐ ๐22 + ๐ ๐11 + ๐ ๐11
0 0๐ ๐12 0
0 0 ๐ ๐12 0
0 ๐ ๐21 0 0
๐ ๐22 + ๐ ๐11 ๐ ๐12
๐ ๐12 ๐ ๐22 + ๐ ๐22
0 0 ๐ ๐21 0
0 ๐ ๐12 0 0
0 ๐ ๐12
0 0
๐ ๐22 + ๐ ๐11 + ๐ ๐21 ๐ ๐22
๐ ๐11 ๐ ๐12
๐ 1๐ 2๐ 3๐ 4๐ 5๐ 6
(6.32)
Persamaan ini dapat ditulis menjadi
๐ = ๐พ ๐ (6.33)
dimana :
๐ =
๐ 1๐ 2๐ 3๐ 4๐ 5๐ 6
(6.34)
๐พ =
๐ ๐11 ๐ ๐12
๐ ๐21 ๐ ๐22 + ๐ ๐11 + ๐ ๐11
0 0๐ ๐12 0
0 0
๐ ๐12 0
0 ๐ ๐21 0 0
๐ ๐22 + ๐ ๐11 ๐ ๐12
๐ ๐12 ๐ ๐22 + ๐ ๐22
0 0 ๐ ๐21 0
0 ๐ ๐12 0 0
0 ๐ ๐12
0 0
๐ ๐22 + ๐ ๐11 + ๐ ๐21 ๐ ๐22
๐ ๐11 ๐ ๐12
(6.35)
dan
![Page 12: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/12.jpg)
151
๐ =
๐ 1๐ 2๐ 3๐ 4๐ 5๐ 6
(6.36)
Pada persamaan (6.32) berlaku syarat batas boundary condition dimana pada titik simpul 1
๐ 1 = 000 (6.37)
dan pada titik simpul 6 berlaku
๐ 6 = 00๐6
(6.38)
Demikian juga pada persamaan (6,32) besar Gaya luar pada simpul 2 dan 5 adalah
๐ 2 = ๐ 5 = 000 (6.39)
Sedangkan pada simpul 3 adalah
๐ 3 = 000 (6.40)
Pada simpul 4
\ ๐ 4 = 00๐ (6.41)
Sedangkan pada simpul 6 berlaku
๐ 6 = ๐ ๐ฅ6
๐ ๐ฆ6
0
(6.42)
dimana S6x dan S6y (reaksi pada perletakan di simpul 6) masih belum diketahui. Demikian
juga reaksi pada titik simpul 1 belum diketahui
๐ 1 = ๐1๐ฅ
๐1๐
๐1
(6.43)
Dari persamaan (6.32) terdapat 18 buah tidak diketahui diantaranya 13 displacement yakni
perpindahan ๐ข2, ๐ฃ2, ๐2, ๐ข3, ๐ฃ3,๐3 , ๐ข4, ๐ฃ4,๐4 , ๐ข5, ๐ฃ5, ๐5, dan ๐6. Selanjutnya 5 gaya dalam
yang belum diketahui (1,2,3,4 dan 5) lihat gambar 6.7.
;
![Page 13: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/13.jpg)
152
Gambar 6.7: 13 displacement dan 5 gaya dalam yang belum diketahui
Dengan demikian matriks (6.32) adalah matriks 18 x 18. Matriks tersebut akan dapat
dijadikan suatu matriks 13 x 13, yang dengan kondisi batas (persamaan 6.37 dan 6.38) baris
ke 1, 2, 3, 16 dan 17 dapat dihilangkan. Selanjutnya dengan matriks Invers didapat
๐ = ๐พ โ1 ๐ (6.44)
persamaan dapat diselesaikan, dan 13 displacement dapat diketahui.
Setelah itu maka displacement dimasukkan ke persamaan (6.32) maka 5 gaya dalam dapat
diketahui/dihitung.
6.5. Transformasi koordinat global ke lokal
Dari koordinat global ke lokal diperlukan transformasi, dimana nanti kegunaannya adalah
untuk menghitung gaya batang.
๐ = ๐ ๐ (6.45)
Dimana
2
2
2
1
1
1
v
u
v
u
d (6.46)
u3
v3
๐3
u2
v2
๐2
u4
v4
๐4
u5
v5
๐5
1
2
3 4
5
6
๐6
5
1
2 3
4
![Page 14: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/14.jpg)
153
displacement terhadap sumbu lokal
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
T
(6.47)
adalah matriks transformasi untuk displacement.
2
2
2
1
1
1
_
v
u
v
u
d (6.48)
displacement terhadap sumbu global.
6.6 Aplikasi Elemen Portal bidang
Pada aplikasi elemen portal bidang dapat pada gambar 6.8 dimana ada sebuah gaya
horizontal H. Yang akan dihitung adalah perpindahan yang terjadi, Reaksi pada perletakan,
gaya dalam yang terjadi dan gambar bidang Momen, Lintang dan Normal.
h = 4 m
L = 4
m
H = 25000 N
a
b
c
1
2
3
4
Gambar 6.8: Aplikasi elemen portal bidang dengan gaya H
![Page 15: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/15.jpg)
154
Kolom dan balok dari baja, dimana IZ = 5700 cm4, E=210.000 N/mm2, A= 78,1 cm2
Dikerjakan dengan program M-Exell. Berat sendiri diabaikan dalam perhitungan.
Tahap I: dihitung kekakuan individual elemen a, b dan c dimana diambil dari persamaan (6.3)
Matriks kekakuan individual ka=kb=kc besarnya dihitung dengan program M-Exell adalah
410,025.00 - -
(410,025.00) -
-
- 2,244.38 4,488,750.00
- (2,244.38)
4,488,750.00
- 4,488,750.00 11,970,000,000.00
- (4,488,750.00)
5,985,000,000.00
(410,025.00) - -
410,025.00 -
-
- (2,244.38) (4,488,750.00)
- 2,244.38
(4,488,750.00)
- 4,488,750.00 5,985,000,000.00
- (4,488,750.00)
11,970,000,000.00
Tahap II : Menghitung kekakuan terhadap sumbu Global diambil dari persamaan (6.24)
Pada Elemen a Matriks kekakuan terhadap sumbu global ๐พ ๐ dengan sudut ฮฑ = 90o, dan
dihitung dengan M-Exell didapat
EIz/L2 k cos sin L
187.03
2,192.28 0.00 1.00 4000
Dan matriks kekakuan ๐พ ๐ besarnya adalah:
2,244.38 0.00
(4,488,750.00)
(2,244.38) 0.00
(4,488,750.00)
0.00 410,025.00
0.00 0.00
(410,025.00)
0.00
(4,488,750.00)
0.00
11,970,000,000.00
4,488,750.00
(0.00)
5,985,000,000.00
(2,244.38) 0.00
4,488,750.00
2,244.38 0.00
4,488,750.00
0.00 (410,025.00)
(0.00) 0.00
410,025.00
(0.00)
(4,488,750.00)
0.00
5,985,000,000.00
4,488,750.00
(0.00)
11,970,000,000.00
![Page 16: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/16.jpg)
155
Elemen b ๐พ ๐ dengan sudut ฮฑ = 0o
410,025.00
-
-
(410,025.00)
-
-
-
2,244.38
4,488,750.00
-
(2,244.38)
4,488,750.00
-
4,488,750.00
11,970,000,000.00
-
(4,488,750.00)
5,985,000,000.00
(410,025.00)
-
-
410,025.00
-
-
-
(2,244.38)
(4,488,750.00)
-
2,244.38
(4,488,750.00)
-
4,488,750.00
5,985,000,000.00
-
(4,488,750.00)
11,970,000,000.00
Elemen c dengan sudut ฮฑ = 270o
Eiz/L2 K cos sin L
187.03 2192.28 0.00 -1.00 4000
Maka kekakuan ๐ ๐ adalah
Tahap III: Menghitung kekakuan struktur
Matriks kekakuan struktur didapat setelah prinsip kompatibilitas dengan masing-masing gaya
batang pada simpul sbb:
f1 = ka11. d1 + ka12.d2
f2 = ka21. d1 + ka22.d2 + kb11.d2 + kb12.d3
f3 = kb21.d2 + kb22.d3 + kc11.d3 + kc12. d4
f4 = kc21.d3 + kc22.d4
Selanjutnya dibuat dalam bentuk matriks
2,244.38 0.00
4,488,750.00
(2,244.38) 0.00
4,488,750.00
0.00
410,025.00
(0.00) 0.00
(410,025.00)
(0.00)
4,488,750.00
(0.00)
11,970,000,000.00
(4,488,750.00)
0.00
5,985,000,000.00
(2,244.38) 0.00
(4,488,750.00)
2,244.38 0.00
(4,488,750.00)
0.00
(410,025.00)
0.00 0.00
410,025.00
0.00
4,488,750.00
(0.00)
5,985,000,000.00
(4,488,750.00)
0.00
11,970,000,000.00
![Page 17: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/17.jpg)
156
๐1
๐2
๐3
๐4
=
๐๐11
๐๐21
๐๐12
๐๐22 + ๐๐11
0๐๐12
00
00
๐๐21
0
๐๐22 + ๐๐11
๐๐21
๐๐12
๐๐22
๐1
๐2
๐3
๐4
Dengan boundary condition dimana pada simpul 1 dan 4 perpindahan sama dengan nol
๐1 =
๐ข1
๐ฃ1
๐1
= 000 dan ๐6 =
๐ข6
๐ฃ6
๐6
= 000
Dan dengan demikian matriks kekakuan ๐พ adalah sbb;
412,269.38 0.00 4,488,750.00 (410,025.00) - -
0.00 412,269.38 4,488,750.00 - (2,244.38) 4,488,750.00
4,488,750.00 4,488,750.00 23,940,000,000.00 - (4,488,750.00) 5,985,000,000.00
(410,025.00) - - 412,269.38 0.00 4,488,750.00
- (2,244.38) (4,488,750.00) 0.00 412,269.38 (4,488,750.00)
- 4,488,750.00 5,985,000,000.00 4,488,750.00 (4,488,750.00) 23,940,000,000.00
Tahap IV: menghitung displacement
Dari persamaan 6.44
๐ = ๐พ โ1 ๐
Sedangkan ๐พ โ1 adalah:
0.000319759 1.0436E-06 -4.83379E-08 0.000318542 -1.0436E-06 -4.80334E-08
1.0436E-06 2.43697E-06 -5.218E-10 1.0436E-06 1.90414E-09 -5.218E-10
-4.83379E-08 -5.218E-10 5.19783E-11 -4.80334E-08 5.218E-10 -3.79263E-12
0.000318542 1.0436E-06 -4.80334E-08 0.000319759 -1.0436E-06 -4.83379E-08
-1.0436E-06 1.90414E-09 5.218E-10 -1.0436E-06 2.43697E-06 5.218E-10
-4.80334E-08 -5.218E-10 -3.79263E-12 -4.83379E-08 5.218E-10 5.19783E-11
![Page 18: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/18.jpg)
157
dan besar ๐ adalah
๐ = ๐2
๐3 =
25.00000000
Maka displacement ๐ didapat dari perkalian matriks M-Exell adalah
u2 7.993984 mm
v2 0.026090 mm
C2 -0.001208 Rad
u3 7.963540 mm
V3 -0.026090 mm
c3 -0.001201 Rad
Gambar displacement ada pada gambar 6.9
Gambar 6.9 : Displacement dan Reaksi
u3 =7,96 mm u2= 7.99 mm
v2=0.026 mm v3 = - 0.026 mm
V1 = 10.697,6 N
V4 = 10.697,6 N
H1=12.517,1 N
H4=12.482,9 N
M1=26.650.441,3 Nmm M4=28.559.336,7 Nmm
![Page 19: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/19.jpg)
158
Tahap V: menghitung reaksi
Gaya luar yang ada berikut dengan gaya di perletakan adalah
๐1
๐2
๐3
๐4
=
๐ป1
๐1
๐1
2500000000๐ป4
๐4
๐4
Pada matriks ini yang belum diketahui adalah reaksi pada simpul 1 yakni
๐1 = ๐ป1
๐1
๐1
dan pada titik simpul 4 adalah
๐1 = ๐ป1
๐1
๐1
Untuk mendapatkan reaksi tersebut maka dilakukan perkalian matrik kekakuan struktur dan
dispalcement. Dari perkalian dengan menggunakan M-Exell diperoleh
H1
(12,517.1)
V1
(10,697.6)
M1
28,650,441.3
25,000.0
0.0
0.0
0.0
(0.0)
0.0
H4
(12,482.9)
V4
10,697.6
M4
28,559,336.7
![Page 20: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/20.jpg)
159
Besaran Reaksi pada simpul 1 dan 4 dapat dilihat di gambar 6.9 diatas. Dari hasil reaksi ini
coba dibuat interpretasi hasil, yakni syarat keseimbangan kearah horizontal ๐ป = 0 , kearah
vertikal ๐ = 0 dan ๐ = 0 baik titik simpual 1 dan simpul 2.
Dalam keseimbangan kearah horizontal H1 + H4 + 25000 = 0 dan kelihatan memenuhi
syarat, demikian juga kearah vertikal V1 + V4 = 0 juga memenuhi syarat.Terakhir dicek
Momen kearah titik 4, ๐4 = 0 maka 10.697,6*4000 - 25.000*4000 +28.650.441.3
+28.559.336.7 = 0.
Dengan demikian maka perhitungan dianggap sudah benar dan memenuhi syarat
keseimbangan.
Tahap VI: menghitung gaya batang
Dalam menghitung gaya batang diambil dari persamaan (6.45)
{d} = [T] {๐ }
Elemen a: sudut ๐ผ = 900, maka dengan matriks transformasi
Sedangkan displacement terhadap sumbu global
๐ ๐ =
000
7,99400,0261โ0,0012
Maka displacement terhadap sb lokal adalah
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
T
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
_
2
2
2
1
1
1
daT
v
u
v
u
da
![Page 21: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/21.jpg)
160
Displacement pada batang a dihasilkan ๐๐
u1 0
v1 0
c1 0
u2 0.026090008
v2 -7.99398394
c2 -0.001208447
Dengan demikian maka gaya batang pada elemen a adalah
daKa
M
S
S
M
S
Sx
fa
Z
Y
X
Z
Y
2
2
2
1
1
1
Besar ๐๐ adalah
Sx1
(10,698)
Sy1
12,517
Mz1
28,650,441
Sx2
10,698
Sy2
(12,517)
`Mz2
21,417,887
Gaya batang pada batang a digambar pada Gambar 6.10, dimana Momen pada gambar6.10
a, Gaya Lintang pada gambar 6.10 b dan Normal pada Gambar 6.10 c .
![Page 22: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/22.jpg)
161
Selanjutnya perhitungan gaya dalam elemen b, dimana displacement ๐ ๐ = ๐๐ adalah
Kemudian gaya batang ๐๐ diperoleh dari
bb
Z
Y
X
Z
Y
dK
M
S
S
M
S
Sx
fb
2
2
2
1
1
1
u1
7.9940
v2 0.026090008
c1 -0.001208447
u2 7.963539655
v2 -0.026090008
c2 -0.001200836
Mz2 = -21,372,334.86 Nmm
Mz1: -21,417,887.12 Nmm
Sy1= 12.517 N
x
Sy2= - 12.517 N
Sy1= - 10.698 N
Sx2= 10.698 N
y
2
a) b)
Gambar 6.10: Gaya dalam pada elemen a . Pada a) Momen, b) Gaya Lintang dan c)Normal.
c)
![Page 23: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/23.jpg)
162
Besar gaya dalam ๐๐ adalah
Sx1
12,482.92
Sy1
(10,697.56)
Mz1
(21,417,887.12)
Sx2
(12,482.92)
Sy2
10,697.56
Mz2
(21,372,334.86)
Gaya dalam elemen b dapat dilihat di gambar 6.11
Gambar 6.11: Gaya batang elemen b
Selanjutnya perhitungan Elemen c, dimana
{dc} = [T] {๐๐ }
Mz1= -21,417.887 Nmm Mz2= -21.372.334,86 Nmm
Sy1=-10,697.56 N Sy2 = 10,697.56 N
Sx1= 12,482.92 N Sx2 = -12.482.92 N
x y
![Page 24: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/24.jpg)
163
Elemen c ฮฑ=270 o
Sedangkan ๐ ๐ adalah
7.963539655
(0.026090008)
(0.001200836)
-
-
-
Dengan perkalian {dc} = [T] {๐๐ } maka didapat ๐๐ sebesar
u1 0.026090008
v1 7.963539655
c1 -0.001200836
u2 0
v2 0
c3 0
100000
0000
0000
000100
0000
0000
cs
sc
cs
sc
T
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
![Page 25: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/25.jpg)
164
Gaya dalam batang c adalah ๐๐ = ๐๐ . ๐๐ dan didapat dengan M-Exell
Sx1
10,697.555
Sy1
12,482.918
Mz1
21,372,334.863
Sx2
(10,697.555)
Sy2
(12,482.918)
Mz2
28,559,336.745
Gaya batang ๐๐ dapat dilihat di gambar 6.12.
Tahap VII: menggambarkan Bidang Momen, Lintang dan Normal
Dalam menggambarkan bidang momen, lintang dan normal diperhatikan hasil gaya batang
pada gambar 6.9, gambar 6.10 dan gambar 6.11. Maka bidang momen dapat dilihat di gambar
6.12. Selanjutnya gambar bidang Lintang dapat dilihat digambar 6.13 dan gambar bidang
Normal dapat dilihat digambar 6.14.
Mz1= 21,372,334.863 Nmm
Mz2: 28,559,336.745 Ncm
Sy1= - 12,482.918 N
x
Sy1= 12,482.918. N
Sx2= - 10,697.555 N
Sx1= 10,697.555 N
y 1
2
Gambar 6.11: gaya batang fc
![Page 26: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/26.jpg)
165
Mz2: 28,559,336.745 Ncm
Mz1= 21,372,334.863 Nmm
Mz2= 21.372.334,86 Nmm
Mz1= -21,417.887 Nmm
Mz1: 28,650,441 Nmm
Mz2 = 21,417,887 Nmm
Gambar 6.12: Bidang Momen
Sy1= - 12.517 N
Sy2= 12.517 N
Sy1=-10,697.56 N Sy2 = 10,697.56 N
Sy1= 12,482.918. N
Sy1= - 12,482.918 N
Gambar 6.13: Bidang Lintang
![Page 27: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/27.jpg)
166
6.7. Portal bidang dengan beban merata
Pada beban merata maka pada titik simpul yang dimodelkan akan dikerjakan gaya sesuai
dengan Tabel 5.1, contoh adalah pada gambar 3.15, dimana pada batang b akan dimodelkan
gaya luar yang bekerja adalah Fiy, Fjy, Miz dan Mjz yang diambil dari tabel 5.2.
h
L
a
b
c
q Fiy Fjy
Miz Mjz
Sy1= - 10.698 N
Sx2= 10.698 N
Sx1= 12,482.92 N Sx2 = -12.482.92 N
Sx1= 10,697.555 N
Sx2= - 10,697.555 N
Gambar 3.14: Bidang Normal
Gambar 5.15: Model beban terbagi rata pada elemen portal bidang
![Page 28: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/28.jpg)
167
Selanjutnya pada saat menentukan gaya dalam gaya dalam khusus yang ada beban meratanya
adalah berdasarkan
freddkf
Dimana fred adalah kebalikan dari adalah Fiy, Fjy, Miz dan Mjz. Sedangkan yang tidak
ada beban merata maka tidak akan dikurangi dengan fred .
Contoh aplikasi beban merata q= 250 kN/m ada elemen portal bidang pada gambar 6.16 ,
hitung displacement dan gaya dalam. Kolom dan balok dari baja, dimana IZ = 5700 cm4,
E=210000 N/mm2, A= 78,1 cm2
Fiy = F2y = - 0.5 q.L= - 0.5x 250 x 4 = -500 kN, dan Fjy= -500 kN sedangkan Miz = M2z
= โ1
12๐๐ฟ2 = โ
1
12 250 42 = โ333,333 ๐๐๐, sedang Mjz=M3z= 333,33 kNM, gaya
tersebut dapat dilihat di gambar 5.17.
Gambar 5.16: Portal bidang dengan beban merata
h
L
a
b
c
q =250 kN/m
![Page 29: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/29.jpg)
168
Gambar 5.17:
Setelah dihitung dengan M-Exell maka displacement adalah
Reaksi pada perletakan
H1 83,219.5
V1 500,000.0
M1 (110,807,429.4)
0.0
(500,000.0)
(333,333,333.3)
(0.0)
(500,000.0)
333,333,333.3
H4 (83,219.5)
V4 500,000.0
M4 110,807,429.4
Gambar lendutan/defleksidan reaksi dapat dilihat di gambar 5.18
u2 0.10148095 mm
v2 -1.21943784 mm
c2 -0.01859030 rad
u3 -0.10148095 mm
V3 -1.21943784 mm
c3 0.01859030 rad
h = 4 m
L = 4
m
a
b
c
2
1
3
4
Fiy=-500
Miz=-333,33 Mjz=+333,33
Fjy=-
5000
![Page 30: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/30.jpg)
169
Gambar 5.18
Kemudian gaya batang a:
Sx1 500,000
Sy1 (83,219)
Mz1 (110,807,429)
Sx2 (500,000)
Sy2 83,219
Mz2 (222,070,381)
Gaya batang c:
Sx1 500,000.000
Sy1 83,219.453
Mz1 222,070,381.351
Sx2 (500,000.000)
Sy2 (83,219.453)
Mz2 110,807,429.370
u2= -0.10148095 mm
v2=-1.21943784 mm
V1 = 500.000 N
V4 = 500.000 N
H1=83.219,5 N
H4=-83.219,5 N
M1=26.650.441,3 Nmm M4=28.559.336,7 Nmm
v3=-1.21943784 mm
u2= -0.10148095 mm
![Page 31: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/31.jpg)
170
Gaya batang b:
Sx1 83,219.45
Sy1 (0.00)
Mz1 (111,262,951.98)
Sx2 (83,219.45)
Sy2 0.00
Mz2 111,262,951.98
Khusus batang b yang direduksi
freddkf
Freduksi adalah
-
500,000.00
333,333,333.33
-
500,000.00
(333,333,333.33)
Maka f batang b menjadi
83,219.45
500,000.00
222,070,381.35
(83,219.45)
500,000.00
(222,070,381.35)
![Page 32: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/32.jpg)
171
Gambar Bidang Momen
Gambar Lintang
Mz2: 110.807.426 Ncm
Mz1= 222.070.381 Nmm
Mz2= 21.372.334,86 Nmm
Mz1= -21,417.887
Nmm
Mz1:- 110.807.426 Nmm
Mz2 = -222,070,381 Nmm
Sy1= - 83.219 N
Sy2= 83.219 N
Sy1=500.000 N Sy2 = 500.000 N
Sy1= -83.219. N
Sy1= - 83.219 N
![Page 33: Bab 6 Elemen Portal Bidang](https://reader030.fdokumen.com/reader030/viewer/2022013109/577c86fa1a28abe054c35a4a/html5/thumbnails/33.jpg)
172
Bidang Normal
Sy1= 500.000 N
Sx2= 500.000 N
Sx1= 83.219 N Sx2 = -83.219 N
Sx1= 500.000 N
Sx2= 500.000 N