Barisan dan Deret

Standar Kompetensi

Memahamisifat-sifatbilanganberpangkatdanbentukakar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana

Kompetensi Dasar

6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana6.2 Menentukansukuke-nbarisanaritmatikadan

barisan geometri6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret

aritmatika dan deret geometri6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan

barisan dan deret

Bab 6

BAB 6 Barisan dan Deret154

Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Apa yang akan kamu pelajari?

Polabilanganganjildangenap.

Polabilanganpersegi,segitigadanpersegipan-jang.

PolabilanganpadaSegi-tigaPascal.

Kata Kunci: Pola PolaBilanganGanjil. PolaBilanganGenap. PolaBilanganPersegi. PolaBilanganSegitiga. PolaBilanganPersegipan-

jang. PolaBilanganSegitiga

Pascal.

Sebelumkitabelajarlebihjauh,untukmendalamipolabilanganlakukankegiatanberikutini.

Bahan:Satulembarkertas.1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk

persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagianyang sama. Guntinglah menurut lipatantersebut. Ada berapa banyak potongankertas?

2. Susunlah semua potongan kertas tersebutsehingga saling menutup. Lipatlah susunankertastersebutmenjadi2bagianyangsama,kemudianguntinglahmenurutlipatantersebut.Adaberapabanyakpotongankertassekarang?Catatlahlahbanyaknyapotongankertasyangterjadipadatabeldibawah.

3. Lakukankegiatantersebutsampai6kali.

6.1 Pola Bilangan

A

Matematika SMP Kelas IX 155

Diskusikandengantemanmuuntukmenjawabpertanyaanberikutini.a. Apakahbanyaknyalembarankertasyangterjadimempunyai

keteraturan?Jikaya,jelaskanketeraturannya!b. Apakahdapatditentukanbanyaknyalembarankertasyang

terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas?Berapakahbanyaknyalembarkertasitu?

Banyaknyalembarankertasyangterjadi,jikadilipatdengancaradiatasmembentukpola.2,4,8,...merupakansalahsatucontohpolabilangan.Isilahtigabilanganberikutnyadantandatitiktiga

1. Perhatikantigarangkaianpolaberikut.a. Gambarlah rangkaian

keempatdankelima.b. Berapakah banyaknya persegi yang diarsir pada

rangkaiankeempatdankelima?c. Bayangkanrangkaiankeenam.Jelaskanrancanganitu

menurutkalimatmu. Kamudapatmembentukpolabilangandarigambar

diatas,yaitu1,5,9,... 1merupakansuku pertama, 5merupakansuku kedua, 9 merupakansuku ketiga, danseterusnya. Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu

harusdiketahuidahuluaturanyangdigunakanuntukmendapatkanbilanganpadasukuberikutnya.

2. Perhatikanpolabilangan2,4,6,8,... Tentukanbilangan-bilanganpadaketigasukuberikutnya!

Bagaimanaaturanuntukmendapatkansukuberikutnya?

Diskusi 1

Diskusi 2

BAB 6 Barisan dan Deret156

3. Untukmencariketigasukuberikutnyapadasoalberikutdicaridengancaraberikut.

Jaditigasukuberikutnyaadalah10,12,dan14. Aturannyaadalahdimulai dengan bilangan 2 dan suku-

suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2.

Cobakamumenemukancara lain (caramu sendiri)selaindengancaradiatas.Tuliskanaturanmuitu!

4. Perhatikanpolabilangan1,3,9,27,...Berapakahbilanganpada ketiga suku berikutnya? Tulislah aturan untuk

Pola Bilangan Ganjil1. Perhatikangambarnoktah-noktahberikut.

a. Apakah gambar di atas membentuk suatupola?Jelaskan!

b. Hubungkanmasing-masingpoladiatasdengansuatubilanganyangditunjukkandenganbanyaknyanoktahdalam pola itu. Pola bilangan apakah yang kaliandapat?Jelaskan!

2. Perhatikangambarpersegidisamping.Apakahantarapersegiyangberwarna merah (berwarnagelap)denganyangberwarna hijau(berwarna terang)membentuk pola bilangan yangsama dengan pola pada Masalah 1?Jelaskan!

Diskusi 3

Matematika SMP Kelas IX 157

3. Selanjutnya, kita bandingkan jumlah bilangan-bilanganganjilterhadapluaspersegiberikutini.

Daripola-poladiatasdapatkitabuattabelberikutini.

Bagaimanakahhubunganantarahasilpenjumlahanbilangan-bilangan yang pertama dan terurut ganjil dengan luaspersegi?Dengandemikian,bagaimanakahrumusjumlahdarinbilanganganjilyangpertama?

Pola Bilangan Genap

Perhatikangambarberikut.

Diskusi 2

BAB 6 Barisan dan Deret158

a. Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatubilanganyangditunjukkandenganbanyaknyanoktah.Polabilanganapakahyangkamudapat?Jelaskan.

b. Apakahgambardisampingmenunjukkanpolabilangangenap?Jelaskan!

c. Buatlahtabelyangmenyatakanhubunganantarahasilpenjumlahanbilangangenapdengan luas persegi-panjang, sepertipenjelasanpadapolabilanganganjil.

d. Bagaimanakah hubungan antara hasilpenjumlahan bilangan genap denganluaspersegipanjang?

Pola Bilangan Segitiga

Pernahkah kamu menjumpaipemandusorak(cheerleader)melakukan atraksinya dalamsuatu pertandingan olahraga(misalnya basket)? Seringkalidalam atraksinya merekamembentukpiramidamanusia,yaitu saling berdiri di antarapemain-pemainnya, sehinggapada puncaknya hanya berdiriseorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggapbahwapiramidamanusiatersebutbelummencapaipuncak.Piramidamanusiatertinggipernahdibuatpadatahun1981diSpanyol.Tingginyaadalah9tingkat.Bagaimanacaramerekamembuatpiramidaitu?Lakukankegiatanberikut.

1. Apakahpiramidamanusiaituberbentuklimas?Sebutkanbentukyangtepatuntukmenjelaskannya!

2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat, dan 3tingkat?

3. Misalkansatuorangdalampiramidatersebutdigambarkandengantanda padasuatupiramida.Gambarlahpolabanyaknyaorangdalampiramidamanusiaitu.

B

Diskusi 3

Sumber:google.com

Matematika SMP Kelas IX 159

Banyaknya tanda pada suatu piramida menunjukpadabilangan1,3,6,....Karenabentuknyasepertisegitiga,makapolabilanganitudinamakan Pola bilangan segitiga.

4. Buatlahtabeluntukmenunjukkanbanyaknyatingkatdanbanyaknyaorangdalampiramidaitu.(Selesaikantabelinidenganmengisibagian...)

5. Perhatikanpolanya.Bagaimanakahhubunganbanyaknyaorang dalam piramida manusia itu dengan banyaknyatingkat?

6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bilatingkatnya9?

7. Berpikir Kritis. Cobakalian tentukanbanyaknyaorangpada tingkat tertentu, tanpa harus mengetahui banyakorang pada tingkat sebelumnya? Jelaskan jawabanmuitu!

Setiap tahun suatu perusahanp e n e r b a n g a n m e n g a d a k a npertunjukandirgantara.Secara bergantian pesawat-pesawatterbangtinggallandasdanmembentukformasi-formasitertentu.Padagruppertama,sebuahpesawattinggallandas,kemudiangrupkedua

dengan tiga pesawat yang tinggal landas. Berikutnya grupketiga dengan lima pesawat yang tinggal landas, kemudiangrupkeempatdengantujuhpesawat.

Pola Bilangan Persegi

Sumber:Dit.PSMP,2006

C

BAB 6 Barisan dan Deret160

Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelahpenerbangangrupkeempat,bilapesawat-pesawatpadagrup-grupsebelumnyabelummendarat?Untukmenjawabnyalakukankegiatanberikut.

1. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawatyang berada di angkasa, setelah penerbangan grupketiga,kemudiansesudahpenerbangankeempat,bilapesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum

2. Jikapolapenerbangandiatasdilanjutkan,berapabanyakpesawatyangditerbangkanpadapenerbangangrupke-5danke-6?

3. Berapakah jumlahpesawatyangadadi angkasa setelahpenerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawatpadagrup-grupsebelumnyabelummendarat?

4. Jelaskandandiskusikanhubunganantaragruppesawatdanjumlahpesawatyangadadiangkasa

5. Bilangan-bilangan pada kolom ke-3 pada tabel di atasmerupakanbilangan kuadrat.

6. Perhatikanmodeldaribilangankuadratberikut.Apakahmembentukpolabilangankuadrat?

Diskusi 6

Matematika SMP Kelas IX 161

Karenabilangan-bilangan1,4,9dan16berhubungandenganbentukpersegi,makapolabilangan itudinamakan jugapola bilangan persegi.

Pola Bilangan Persegi Panjang

Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makinberkurangataubahkantidakadalagi.Sehinggauntukberkebunatau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentukpersegisatuandarikayu-kayuyangdiisidengantanah.Berikutrangkaianpot-pottersebut.

Apakahsukukelimasamadengan30?3. Darisoalnomor1,Berapabanyakpotyangadapadasuku

ke-n(rangkaianke-n)?

1. Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatupola?Tuliskanpolaitu.

Karenabilangan2,6,12dan20berhubungandenganbentukpersegipanjang, maka pola bilangan ini dinamakan pola bilangan persegipanjang.

2. Dapatkah kamu menunjukkan bilangan pada sukukelima?

Daripola-poladiatasdapatdibuattabelberikut.

D

Diskusi 7

BAB 6 Barisan dan Deret162

Pola Bilangan Pada Segitiga Pascal

SusunanbilanganberikuttelahdikenaldiCinakira-kiratahun1300.SusunanbilanganitudinamakanSegitigaPascal,setelahmatematikawanPerancis,BlaisePascalmempublikasikanpolainipadatahun1653.PolaberikutinimerupakanpolabilangansegitigaPascalitu.

1. PerhatikanpolabilanganSegitigaPascaldiatas.Isilahtitik-titikpadasusunanbilanganitu.

2. Bagaimanakahaturanuntukmengisititik-titikitu?3. Jika susunan bilangan 1 merupakan bariske-1, susunan

bilangan-bilangan 1 1 merupakan baris ke-2, susunanbilangan-bilangan121merupakanbariske-3,bilanganberapasajapadabariske-6?

4. Berapakahjumlahbilanganpadabariske-6?5. Buatlahtabelyangmenyatakanhasilpenjumlahanbilangan

padatiapbarissegitigaPascal.

E

Diskusi 8

Matematika SMP Kelas IX 163

6. PerhatikandanamatilahsuatuSegitigaPascal. Jumlahbilangan-bilanganpadabariske-1adalah1. Jumlahbilanganpadabariske-2adalah2. Jumlahbilanganpadabariske-3adalah4. Jumlahbilanganpadabariske-4adalah8. Berapa jumlah barisan ke-n dari pola bilangan segitiga

Pascalitu?7. TahukahKamu?Salahsatukegunaandaribarisanbilangan

Segitiga Pascal adalah untuk menentukan koefisien-koefisien suku-suku hasil perpangkatan (a+b).

Perhatikan (a+b)3diatas