Bab 6 Atom Hidrogen

Bab VI Atom Hidrogen/

BAB VI

ATOM HIDROGEN

6.1 Persamaan Schrodinger Untuk Kasus Gaya Pusat

Kasus elektron dalam atom hidrogen adalah kasus gaya pusat yang bersifat

sphericcaly symetric. Oleh karena itu sebelum membahas Hidrogen, kita akan membahas

kasus gaya pusat ini secara lebih umum. Yang dimaksud dengan kasus gaya pusat adalah

kasus-kasus yang melibatkan partikel yang energi potensialnya hanya merupakan fungsi

jarak, artinya energi potensial hanya ditentukan oleh jarak partikel itu dari titik pusat

peredaran, atau V = V( r) .Kita tahu bahwa persamaan Schrodinger bebas waktu adalah:

= E (6-1)

dengan adalah:

= + = ( ) + V( r) (6-2)

Karena sifatnya yang spherically symetric, maka kita gunakan dalam koordinat

spherik, yaitu:

= (6-3)

atau :

= (6-4)

Dari Bab 5 kita tahu bahwa :

=

Sehingga:

= /

Jadi (6-3) boleh ditulis:

= = (6-5)

Substitusi (6-5) ke dalam operator Hamilton diperoleh:

86


= + V( r) (6-6)

= + V( r) (6-7)

Persamaan Schrodinger untuk kasus gaya pusat diperoleh, yaitu dengan

mensubstitusi (6-7) ke dalam (6-1), jadi :

+ + V( r) = E (6-8)

Telah kita ketahui dari Bab 5, bahwa nilai eigen terhadap operator adalah ( +1)

sehingga persamaan eigennya dapat ditulis:

( + 1) (6-9)

dan (6-8) dapat ditulis:

+ + V( r) = E (6-10)

Sekilas, tampaknya persamaan (6-9) hanya melibatkan satu variabel yaitu r, tetapi harus

diingat bahwa ( + 1) adalah nilai eigen dari operator padahal seperti kita tahu,

operator melibatkan variabel dan . Jadi sebenarnya persamaan (6-9) melibatkan

tiga macam variabel, yaitu r, dan , sehingga yang merupakan penyelesaian (6-9)

harus (r,,) yang merupakan gabungan dari ( r) , () dan (). Selanjutnya ( r)

kita tulis R sedang menurut bab 5, () ditulis T dan () ditulis sehingga:

= R T (6-11)

Subtitusi (6-10) ke dalam (6-9) menghasilkan:

+ R T + V( r) R T = E R T (6-12)

atau:

+ R T + V( r) R T = E R T

Jika dibagi dengan R T , hasilnya:

+ + V( r) = E (6-13)

87


atau:

+ R + V( r) R = E R (6-14)

Perlu diketahui bahwa = sehingga (6-14) boleh ditulis:

+ R + V( r) R = E R atau

+ R + V( r) R = E R atau:

+ R + V(( r) R = E R (6-15)

Perlu ditegaskan bahwa bagi sembarang problem dengan fungsi energi potensial

yang spherically symetric V( r) , maka fungsi gelombangnya adalah = R T yang

memenuhi persamaan (6-15), dengan R = fungsi radial, T fungsi dan adalah fungsi

. Fungsi T dan fungsi sudah kita turunkan di bab 5.

Persamaan (6-15) adalah persamaan Schrodinger sebagai fungsi radial, untuk

sembarang problem yang melibatkan fungsi energi potensial yang spherically symetric

V(r) .

6.2 Gerak Rotasi ( Rigid Rotor Dua Partikel )

Meskipun sebenarnya kita sudah dapat melanjutkan pembahasan dalam rangka

menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk atom Hidrogen namun lebih dulu kita akan

menyelesaikan problema yang lebih sederhana yaitu rigid rotor dua partikel yaitu

problema tentang sistem dua partikel yang berada pada jarak yang tetap, dan

dihubungkan oleh sebuah batang kaku tanpa massa yang panjangnya d. Dalam kasus ini,

karena jarak kedua partikel tetap, maka gerak internal dalam bentuk vibrasi pasti tidak

88


mungkin, sehingga satu-satunya gerak internal adalah gerak rotasi. Seluruh energi dalam

rotor adalah energi kinetik, jadi:

V = 0 (6-16)

sehingga operator Hamilton untuk gerak rotasinya adalah:

= (6-17)

Dalam persamaan (6-17) di atas kita gunakan sebagai pengganti m, karena sistemnya

terdiri atas dua partikel, sehingga massa yang digunakan adalah massa tereduksi yang

didefinisikan:

= (6-18)

dengan m1 dan m2 adalah massa masing-masing partikel. Operator adalah operator

koordinat spherik seperti pada persamaan (6-5) yaitu:

=

tetapi karena dalam rigid rotor, jari-jarinya konstan, maka turunan terhadap jari-jari = 0

= (6-19)

karena jarak antar partikel adalah d, maka: = sehingga operator Hamiltonnya

menjadi:

= (6-20)

adalah operator momentum angular untuk gerak translasi yang melengkung, sedang

yang kita bicarakan adalah gerak translasi. Untuk membedakannya, maka diganti

yaitu operator momentum angular rotasi. Sehingga (6-20) ditulis:

=

Demikian persamaan Schrodinger untuk rigid rotor dua partikel:

89


= E (6-21)

Telah kita ketahui bahwa nilai eigen untuk terhadap adalah ( + 1) , jadi

seharusnya nilai eigen adalah j ( j + 1) , sehingga = j (j + 1) dan (6-21)

ditulis:

j (j + 1) = E (6-22)

sehingga:

E = (6-23)

Selanjutnya d2 ditulis I sehingga (6-23) ditulis:

E = J = 0, 1, 2, . . . . . . . (6-24)

dengan I = momen Inertia, yang didefinisikan:

I = d2 (6-25)

Perbandingan antara L dan J

L adalah momentum angular translasi, harganya dengan adalah bilangan

kuantum momentum angular translasi. J adalah momentum angular rotasi, harganya

dengan j adalah bilangan kuantum momentum angular rotasi. L mempunyai

komponen Lz = m , maka J juga mempunyai komponen yang disebut Jz = m . Jika

pada gerak translasi m harganya mulai , ( +1) . . . . . . + , maka m pada gerak

rotasi mempunyai harga mulai dari j , j+1, . . . . sampai dengan +j.

Apakah Energi rotasi mengalami degenerate ?

90


Kita tahu bahwa energi level rotasi hanya ditentukan oleh j. Jadi jika j = 2

misalnya maka energinya . Untuk j = 2, maka ada 5 harga m, yaitu 2 , 1, 0,

1, 2. Kita telah tahu dari bab 5 bahwa fungsi eigen untuk operator momentum angular

ditentukan oleh dan m. Sudah barang tentu untuk gerak rotasi, fungsi eigennya

ditentukan oleh j dan m. Karena untuk j = 2 ada 5 harga m, itu artinya untuk j = 2, ada

lima macam fungsi gelombang yaitu: ; ; ; dan , yang kelima-limanya

mempunyai energi yang sama yaitu . Karena ada 5 fungsi gelombang

berbeda yang energinya sama, maka dikatakan bahwa untuk j = 2, energi level rotasi

mengalami 5th fold degenerate.

6. 3 Gerak Rotasi Molekul Diatomik

Energi level rotasi molekul diatomik dapat diaproksimasi dengan menggunakan

energi level rigid rotor dua partikel (6-24). Telah diketahui bahwa ketika molekul

diatomik mengabsorpsi atau mengemisi energi, ternyata transisi rotasi murni yang

mungkin adalah:

j = + 1 (6-26)

Perlu ditambahkan bahwa momen dipole molekul harus tidak nol untuk dapat

menghasilkan spektrum rotasi murni. Transisi rotasi disebut transisi murni jika hanya

bilangan kuantum rotasi saja yang berubah. Jika terjadi transisi rotasi dari E2 ke E1 maka

E nya yaitu E2 E1 berubah menjadi foton atau h, Jadi:

h =

= (6-27)

Jadi:

= (6-28)

Jika dianggap j = 1, maka j2 = j1 + 1 sehingga. Jika j1 ditulis j saja, maka j2 = j + 1, jadi:

91


= = 2 ( j + 1) B (6-29)

B = h / (82I) dan j = level yang rendah = 0, 1, 2, 3, . . . . . .

B disebut tetapan rotasi molekul.

Pengukuran terhadap frekuensi absorpsi rotasi, memungkinkan kita menghitung B. Dari

B, kita dapat menghitung momen inertia I, untuk selanjutnya jarak ikatan molekul d,

dapat ditentukan.

Contoh:

Garis spektrum frekuensi terendah pad absorpsi rotasi murni molekul 12C32S terjadi pada

48991 MHz. Tentukan jarak ikatan.

Jawab:

Frekuensi terendah, berarti transisi dari j = 0 1, sehingga:

= 2 B jadi B = / 2

B = h / (82I) I = h / ( 8 2 B) = h / (4 2 )

I = d2 d2 = I / = h / (42 )

d =

= = x 1,661 . 1024 gram = 1,44885 . 1023 gram

= 1,44885 . 1026kg

d = = 1,5377 x 1010 m = 1,5377 A

6.4 Atom Hidrogen

Atom hidrogen terdiri atas sebuah proton dan sebuah elektron. Jika e menyatakan

muatan sebuah proton ( e = + 1,6 x 1019 C ) maka muatan elektron adalah e. Kita akan

berasumsi bahwa elektron dan proton adalah titik massa yang interaksinya mengikuti

hukum Coulomb. Dalam membahas tentang atom atau molekul , kita biasanya akan

92


memandangnya sebagai sistem terisolasi, dengan mengabaikan interaksi antar atom dan

antar molekul. Pembahasan kita tentang Hidrogen ini akan kita buat lebih umum, yaitu

tidak saja untuk atom hidrogen, tetapi juga untuk atom yang mirip Hidrogen (Hidrogen

liked atom) yaitu misal ion He+ ; ion Li2+ dan lain-lain.

Pertama kita akan membicarakan gaya yang bekerja dalam sistem ini, yaitu gaya

Coulomb:

F = (6-30)

yang merupakan gaya pusat. Hubungan antara energi potensial V dengan F yang bekerja

adalah:

F = dV/dr (6-31)

dengan demikian maka:

dV/dr = , jadi:

V = (6-32)

Supaya penulisannya ringkas (¼o)1/2e diganti e', sehingga (6-32) menjadi:

V = (6-33)

Jika kita misalkan gerak internal dalam sistem itu diwakili oleh fungsi dengan

adalah:

= R (6-34)

maka sebagai representasi dari kasus gaya pusat, harus mengikuti persamaan:

+ R + V(( r) R = E R (6-15)

Dengan memasukkan harga V = , dan m diganti (mengapa ?) maka (6-15)

menjadi:

+ R R = E R

93


+ R R E R = 0

R R E R = 0

R R E R = 0

atau:

Jika diganti a maka:

R R R = 0

atau

R = 0 (6-35)

Persamaan (6-35) adalah persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen dinyatakan dalam

satu variabel yaitu radial. Jika (6-35) diselesaikan, maka R diperoleh. Padahal T dan

sudah kita ketahui dari bab 5. Jadi Jika R diperoleh maka untuk atom mirip hidrogen

yang merupakan penggabungan (hasil kali) R T juga diperoleh.

Solusi Persamaan Radial

Untuk memperoleh R, sebenarnya kita dapat langsung menyelesaikan (6-35)

dengan menggunakan metode deret. Tetapi relasi recursi yang diperoleh akan terlalu

rumit. Agar relasi recursi yang diperoleh bentuknya sederhana maka kita akan melakukan

beberapa langkah awal yaitu dengan memasukkan r yang sangat besar. Jika r = , maka

(6-35) menjadi:

R '' R = 0 (6-36)

dan penyelesaian-penyelesaiannya adalah:

(6-37).

94


Sekarang pembahasan akan kita fokuskan jika E positif. Untuk E positif, maka bilangan

dalam akar akan negatif, sehingga muncullah i sebagai faktornya r :

R E > 0 (6-38)

atau, jika harga a dikembalikan ke asalnya maka:

R E > 0 (6-39)

Simbol pada (4-9) menunjukkan bahwa R tersebut adalah R yang hanya berlaku untuk r

yang sangat besar, dan merupakan fungsi asymtotik terhadap R yang sesungguhnya.

Bentuk persamaan (6-39) tersebut mengingatkan kita kepada persamaan (6-26) pada bab

III mengenai partikel bebas. Ini berarti untuk r sangat besar dan E > 0 maka elektron

atom hidrogen berada dalam keadaan partikel bebas, atau dengan perkataan lain hidrogen

dalam keadaan ion positif.

Persamaan (4-9) belum memberikan faktor radial yang lengkap bagi fungsi radial

dengan E positif. Studi lebih lanjut mengenai hal ini (baca literatur Quantum Mechanics

of One and Two Electron Atoms , 1957 karangan Bethe dan Salpeter halaman 21-24)

menunjukkan bahwa fungsi radial dengan E positif harganya tertentu (terhingga) untuk

sembarang harga r berapapun harga E positifnya. Ini berarti, bahwa sebagai partikel

bebas sembarang harga E nonnegatif diijinkan atau untuk partikel bebas, energinya

kontinum nonnegatif atau tidak energi level bagi partikel bebas.

Karena kita mendapat energi positif yang kontinum, maka eigen fungsi yang

bersangkutan disebut continuum eigenfunctions. Sebagaimana lazimnya fungsi partikel

bebas, maka fungsi eigen kontinuumpun tak ternormalisasi.

Sekarang kita akan membahas bound state atom Hidrogen yaitu jika E < 0. Jika E

negatif maka bilangan di bawah tanda akar dalam (6-37) adalah positif. Karena

berapapun harga r, fungsi harus bernilai terhingga, maka kita pilih tanda minus untuk

persamaan (6-37) tersebut sehingga:

R E < 0 (6-40)

95


Persamaan (6-40) menunjukkan bahwa R disitu adalah fungsi asymtotik bagi R yang

sesungguhnya. Karena (6-40) adalah asymtotik terhadap R sesungguhnya maka R

sesungguhnya pasti mengandung (6-40). Kita boleh memisalkan R dalam bentuk apapun

asal mengandung (6-40). Misal R sesungguhnya adalah:

R = K (6-41)

dengan K adalah fungsi r atau K(r). [ Hati-hati dengan e dan e' pada (6-30). Ingat bahwa

e disitu adalah bilangan basis logaritma natural, tidak ada hubungannya dengan muatan

proton sedang e' ada hubungannya dengan muatan proton ].

Jika dengan C, maka (6-41) menjadi:

R = K (6-42)

dengan

C = (6-43)

Penggunaan R dalam (6-43) dijamin tidak hanya berlaku untuk r sangat besar, tetapi

untuk sembarang harga r asal E negatif.

Proses selanjutnya, R pada (6-42), turunan pertamanya ( R') dan turunan keduanya (R'')

dimasukkan pada (6-35), maka (6-35) akan menjadi:

` r2 K '' + ( 2r Cr2 ) K ' + [ ( 2 Z a1 2 Cr ) ( +1) ] R = 0 (6-44)

Sekarang, kita dapat memasukkan deret pangkat berbentuk:

K = (6-45)

ke dalam (6-44). Jika kita benar-benar melakukannya, maka akan kita lihat bahwa

beberapa koefisien pada suku-suku yang awal dari deret penyelesaian itu adalah nol. Jika

kita misalkan koefisien pertama yang tidak nol adalah koefisien suku ke s atau cs , maka

(6-45) boleh ditulis:

K = ck 0 (6-46)

Jika k s diganti j maka: k = s diganti j = 0 dan k diganti j + s, sehingga (6-46) menjadi:

K = = cj+s 0 (6-47)

96


Selanjutnya cj+s diganti bj sehingga:

K = bi 0 (6-48)

(Meskipun kita telah melakukan berkali-kali substitusi, tetapi substituennya adalah

substituen sembarang, jadi tidak mengubah prosedur standar penyelesaian persamaan

diferensial dengan metode deret). Dalam (6-47) s adalah bilangan bulat, yang nilai

ditentukan pada saat menyelesaikan persamaan diferensial. Selanjutnya kita buat fungsi

radial baru yaitu M yang harganya adalah K / rs Jadi:

K = M bi 0 (6-49)

M = bi 0 (6-50)

Kita cari K' dan K'' dari (6-49) dan bersama (6-49) kita masukkan ke dalam (6-44), kita

peroleh:

r2M'' + [(2s + 2 ) r 2C r2 ] M' + [ s2 + s + ( 2 Z a1 2 C 2 C s ) r ( +1)] M = 0

(6-51)

Untuk mendapatkan harga s kita tempuh langkah-langkah sebagai berikut:

Masukkan r = 0 ke dalam (6-50) sehingga :

[ s2 + s ( +1)] = 0 (6-52)

dan diperoleh:

s = dan s = 1 (6-53)

Dari dua harga s ini, mana yang akan dipergunakan ? Untuk itu ikuti uraian berikut:

Dari (6-42) , (6-49) dan (6-50) kita peroleh:

R = rs atau: (6-54)

R = rs M (6-55)

Ingat bahwa = 1 Cr + (Cr)2/ 2 ! . . . . . maka untuk r yang kecil, = 1,

sementara itu = b0 + b1 r + b2 r2 . . . . sehingga untuk r yang kecil, = b0,

akibatnya untuk r yang kecil, (4-24) menjadi:

97


R = b0 rs (6-56)

Untuk s = maka R = b0 r sedang untuk s = 1 , maka R = yang akan menjadi

tak terhingga untuk r = 0. Padahal yang begitu tidak boleh. Jadi s = 1 dibuang, dan s

= dipergunakan. Dengan s = , persamaan (6-51) akan menjadi:

r2M'' + [(2 + 2 ) r 2C r2 ] M' + [ 2 + + ( 2 Z a1 2 C 2 C ) r ( +1)] M = 0

r2M'' + [(2 + 2 ) r 2C r2 ] M' + ( 2 Z a1 2 C 2 C ) r M = 0

r2M'' + [(2 + 2 ) 2C r ] r M' + ( 2 Z 1 2 C 2 C ) r M = 0

jadi:

rM'' + [(2 + 2 ) 2C r ] M' + ( 2 Z a1 2 C 2 C ) M = 0 (6-57)

Sementara itu dengan s = Persamaan (6-55) menjadi:

R = r M (6-58)

dengan M adalah dinyatakan pada (6-50) yaitu:

M = (6-59)

M' = = = =

M'' = = = =

=

Jika M, M' dan M'' disubstitusikan ke dalam (6-57), kita peroleh:

= 0

Jadi:

= 0

dan diperoleh relasi recursi:

bj + 1 = (6-60)

98


Sekarang kita harus menguji sifat deret tak terhingga (6-50) untuk r yang besar. Karena

untuk r yang besar sifat deret ditentukan oleh suku-suku yang besar, maka kita akan

menguji rasio antara

bj + 1/ bj untuk j yang besar. Untuk j yang besar:

bj + 1/ bj = untuk j besar (6-60)

Marilah sekarang kita perhatikan seandainya kita mempunyai bentuk . Jika bentuk

ini kita nyatakan dalam bentuk deret pangkat, maka:

= 1 + (2Cr) + . . . . . + + . . . (6-61)

Rasio koefisien r dari sebuah suku dengan suku sebelumnya dari (6-61) tersebut adalah:

/ = . = = untuk j besar

yang ternyata sama dengan (6-60) untuk j besar. Hal ini mendorong kita untuk

menyimpulkan bahwa untuk j yang besar (6-50) sifatnya mirip , sehingga kita boleh

menuliskan:

M ~ (6-62)

atau:

~ (6-63)

dan selanjutnya maka (4-24) dapat ditulis:

R ~ rs atau

R ~ rs

Karena uraian kita ini tadi berangkat dari s = , maka:

R ~ r (6-64)

Namun perlu diperhatikan bahwa (6-64) akan menjadi tak terhingga jika r tak terhingga

dan ini tidak boleh karena tidak quadratically integrable. Satu-satunya cara untuk

mengatasi hal ini adalah (seperti yang sudah kita kenal pada osilator harmonis)

99


menghentikan deret (6-50) pada suku tertentu, misal suku ke k. Ini berarti relasi recursi

( 4- 27) harus menjadi nol jika j = k, jadi:

= 0 atau:

2C + 2C + 2 C k 2 Z a-1 = 0 atau

2C (1 + + k ) 2 Z a-1 k = 0 , 1 , 2 , . . . . (6-65)

karena dan k adalah bilangan bulat maka ( 1 + + k ) pasti adalah bilangan bulat yang

baru yang untuk selanjutnya disebut bilangan kuantum utama = n, jadi:

n = ( 1 + + k) (6-66)

Dari (6-65) maka hubungan antara (bilangan kuantum momentum angular ) dengan n

(bilangan kuantum utama adalah:

= n 1 k atau:

< n 1 (6-67)

Catatan:

Dalam pembahasan mengenai hidrogen ini mucul bilangan kuantum utama n. Pada

pembahasan mengenai momentum angular, kita telah mengenal dua bilangan kuantum

yaitu dan m. Karena momentum angular berlaku untuk semua gerak melengkung, dan

gerak elektron dalam atom adalah gerak melengkung maka dam m juga berlaku pada

gerak elektron dalam atom. Jadi sampai sejauh ini kita mengenal 3 macam bilangan

kuantum adalah atom yaitu n, dan m.

Energi Level

Jika kita masukkan (6-66) ke dalam (6-65) maka diperoleh:

C n = Z a1 (6-68)

Jika harga a = dan C = dimasukkan kembali, maka diperoleh:

E = atau: (6-69)

E = atau: (6-70)

jika harga e' = (4o)-1/2 e dimasukkan kembali maka:

100


E = (6-71)

Untuk atom hidrogen:

E = (6-72)

dengan = = 0,9994557 melektron =9,1044318 . 10kg;

e =muatan proton=1,602177x1019 C ; Z = nomor atom dan 0 = permitivitas dalam

vakum = 8,8541878 x 1012 C / N.m2

6.5 Fungsi Gelombang Atom Hidrogen

Fungsi Radial R

Dengan memanfaatkan (4-35) maka relasi recursi (6-60) menjadi:

bj + 1 = (6-73)

Pada pembahasan penurunan (6-66) dinyatakan bahwa polinomial M = akan

dihentikan pada saat j = k, sehingga polinomialnya (dikenal dengan Polinomial Laguerre)

menjadi:

M = (6-66+)

Karena menurut (6-66), n = ( 1 + + k) maka k = n 1, sehingga (6-66+) menjadi:

M = (6-74)

Fungsi radialnya dinyatakan oleh (4-24 c) yaitu: R = r M. jadi

R = r atau: (6-75)

jika harga C dimasukkan maka diperoleh :

R = r atau: (6-76)

101


R adalah salah bagian saja dari fungsi gelombanh Hidrogen. Perlu diketahui bahwa

elektron dalam atom hidrogen bergerak spherik, artinya pasti terjadi momentum angular.

Oleh karena itu selain fungsi radial, fungsi gelombang hidrogen pasti juga terdiri atas

fungsi eigen momentum angular yang sudah diturunkan pada bab V. Secara keseluruhan

fungsi gelombang atom mirip hidrogen adalah::

= R . T . (6-77)

dengan T dan dapat dilihat pada bab V tentang momentum angular.

Jika kita perhatikan persamaan (5-30) bab V, tampak bahwa ditentukan oleh

bilangan kuantum m. Dari (5-64) bab V, tampak bahwa T ditentukan oleh dan m, dan

jika kita amati persamaan (5-4) bab ini, maka tampak bahwa R ditentukan oleh n dan

maka dapat disimpulkan bahwa ditentukan oleh tiga macam bilangan kuantum yaitu n ,

dan m, sehingga (6-77) biasa ditulis:

(n , , m ) = R( n, ) . T( , m) . (m) (6-78)

Contoh

Tentukan fungsi gelombang atom hidrogen dengan n = 3, = 1 dan m = 1.

Jawab:

Menentukan fungsi

Dengan menggunakan persamaan (5-30) bab V:

= ei m ei (6-79)

Menentukan T

Dengan menggunakan (5-64) bab V:

Kita hitung dulu :dengan menggunakan (5-63) bab V:

= (1 - cos ) (cos - 1)

= (1 - cos ) (cos - 1)1

102


= (1 - cos ) (cos - 1)1

Kita selesaikan dulu (cos - 1) dan supaya tampak sederhana cos kita ganti x

sehingga:

(cos - 1) = (x 1)

= 2x = 2

Jadi:

= (1 - cos ) . 2 = sin

Setelah itu, T dapat ditentukan:

= sin sin (6-80)

Menentukan Fungsi Radial:

Dengan menggunakan (6-76) bab ini:

R = r

= r .

= r . ( bo + b1 r ) (6-81)

Koefisien b1 ditentukan dengan relasi recursi (6-73) bab ini:

bj + 1 =

jadi:

b1 = =

103


Harga b1 dimasukkan ke dalam (6-81):

R = r . ( bo r ) = bo { r . (1 r ) }

bo dicari dengan normalisasi:

= 1

= = r2 dr = 1

= 1/

= 1/

= 1/

= 1/

4 !. ( 5 ! ) + ( 6 ! ) = 1/

4. 3. 2. 35 . 25 a5 5. 4. 2. 36 26 a5 + 5 .4. 37 27 a5 = 1/

36. 22 a5 5. 36 23 a5 + 5. 37 25 a5 = 1/

a5 a5 + a5 = 1/

a5 a5 + a5 = 1/

( 8 4 . 5 + 5 . 3) a5 = 1/

3 a5 = 1/ = bo = =

104


bo = = .

Jadi:

R = bo { r . (1 r ) }

R = . { r . (1 r ) }

Akhirnya diperoleh yaitu:

(3, 1, 1) = R T = . . . . . . . . . . (masukkan)

Degenerasi

Apakah energi level atom hidrogen mengalami degenerate ? Untuk menjawab ini marilah

kita lihat persamaan (6-72). Dari persamaan tersebut tampak bahwa energi level atom

hidrogen hanya ditentukan oleh n, padahal fungsi gelombangnya ditentukan oleh 3

macam bilangan kuantum, ini berarti dapat saja terjadi bahwa fungsi gelombang yang n

sama mempunyai dan m berbeda kecuali untuk n = 1. Sebab untuk n = 1, hanya ada

satu kemungkinan harga dan m yaitu = 0 dan m = 0, sehingga untuk n = 1 hanya

adalah satu macam fungsi gelombang yaitu (1, 0, 0 ) . Tetapi bagaimana untuk n = 2

Untuk lebih jelasnya kita buat tabel n, dan m serta fungsi gelombangnya.

Bil. Kuantum Utama n

Bil Kuant. Angular Bil. Kuan. Magnetik m

Fungsi Gelombang

1 0 0 ( 1, 0, 0 )

2 0 0 ( 2, 0, 0 )

1 1 ( 2, 1, )

( 2, 1, 0 )

( 2, 1, 1 )

3 0 ( 3, 0, 0 )

1 ( 3, 1, )

105


( 3, 1, 0 )

( 3, 1, 1 )

2 ( 3, 2, )

( 3, 2, )

( 3, 2, 0 )

( 3, 2, 1 )

( 3, 2, 2 )

Dst

Dari tabel di atas tampak bahwa untuk n > 2, maka diperoleh n2 fungsi gelombang

berbeda. Jadi untuk n – 2 ada 4 fungsi gelombang yang berbeda yaitu ( 3, 1, ) , ( 3, 1, 0 ) ,

( 3, 1, 1 ) dan ( 3, 2, ) . Karena n nya sama, maka ke empat fungsi gelombang tersebut

mempunyai energi level yang sama. Dengan demikian maka untuk n = 2 energi level

atom hidrogen mengalami degenerasi dengan derajat degenerate = 4.

Dengan penjelasan yang sama maka dapat kita ketahui bahwa ada 9 fungsi

gelombang yang energinya sama untuk n = 3 yaitu: ( 3, 0, 0 ) , ( 3, 1, )

, ( 3, 1, 0 ) , ( 3, 1, 1 ) ,

( 3, 2, ) , ( 3, 2, ) ,

( 3, 2, 0 ) , ( 3, 2, 1 ) , dan ( 3, 2, 2 ).

6.6 Bilangan Kuantum Magnetik Spin

Sejauh ini, kita telah menurunkan 3 macam bilangan kuantum, yaitu bilangan

kuantum utama n, Bilangan kuantum momentum angular translasi dan bilangan

kuantum orbital momentum angular m. Bilangan kuantum utama menentukan energi

dengan relasi:

E =

Bilangan kuantum utama juga berkorelasi dengan kulit lintas, yang hubungannya dapat dilihat dari tabel

berikut:

n 1 2 3 4 5 6 7Kulit K L M N O P Q

106


Bilangan kuantum utama ini muncul ketika menentukan fungsi Radial

Bilangan kuantum momentum angular, menentukan momentum angular dengan

relasi:

L =

Bilangan kuantum ini juga menentukan bentuk lintasan. Bilangan muncul ketika kita

hendak menentukan fungsi . Dalam bahasa spektrum, bilangan berhubungan dengan

nama-nama orbital.

0 1 2 3 4 dstOrbital s p d f g h

Bilangan kuantum yang ketiga adalah bilangan kuantum orbital momentum angular yang

juga disebut bilangan kuantum magnetik translasi m. Bilangan ini merupakan penentu Lz

yaitu proyeksi momentum angular L pada sumbu z. Hubungan antara Lz dan m adalah:

Lz = m

Bilangan m ini juga dipandang sebagai penentu orientasi (arah) translasi elektron, karena

jika kita mengetahui m kita dapat mengetahui Lz. Jika kita mengetahui Lz, maka arah

momentum angular dapat diketahui, karena:

Lz = L cos

dengan adalah sudut arah L terhadap sumbu z. Jika arah L diketahui, maka dengan

kaidah tangan kanan, arah translasi elektron dapat diketahui.

Apakah dengan 3 macam bilangan kuantum sudah cukup ? Jika mengacu kepada

fenomena makroskopis, maka dapat diketahui bahwa kedudukan planet dalam tata surya

ditentukan oleh 4 macam tetapan, yaitu tetapan energi, tetapan momentum angular,

tetapan komponen momentum angular dan tetapan rotasi. Dua buah planet tidak pernah

bertabrakan karena tidak ada dua planet yang keempat tetapannya sama. Jika fenomena

mikroskopik dipandang sebagai miniatur dari fenomena makroskopik maka atom masih

membutuhkan satu tetapan lagi yang berasal dari gerak rotasi elektron. Kita tahu translasi

elektron dalam atom adalah lintasan sperik, oleh karena itu mempunyai momentum

angular L. Karena gerak rotasi juga bersifat spherik maka gerak rotasi juga harus

107


mempunyai momentum angular yang disebut momentum angular rotasi, notasinya S. Jika

L ditentukan oleh dalam relasi L = Maka S ditentukan oleh s (bilangan

kuantum angular spin) dalam relasi S = . Kita tahu bahwa L mempunyai

komponen yang disebut Lz, maka S harus mempunyai komponen yang disebut Sz. Jika

Lz ditentukan m dalam relasi Lz = m maka penentu Sz adalah ms dalam relasi:

Sz = ms

Kita tahu banyaknya harga m adalah 2 +1 mulai dari , ( +1) . . . . . .+ . Jika begitu

banyaknya harga ms harus 2s + 1 yaitu dari s sampai + s. Kita juga tahu bahwa m adalah

penentu arah translasi, maka ms pasti penentu arah rotasi. Karena hanya ada 2 macam

arah rotasi, maka tentu hanya ada dua macam harga ms. Padahal banyaknya harga ms = 2s

+ 1, jadi{

2s + 1 = 2 s = ½

Karena harga ms adalah s dan + s maka harga ms = + ½

Dan harga momentum angular rotasi S adalah:

S = = =

Selanjutnya ms = + ½ itulah yang dijadikan sebagai bilangan kuantum ke empat.

6.7 Pengaruh Momentum Angular Translasi Terhadap Energi (Efek Zeeman)

Telah kita ketahui bahwa energi hanya ditentukan oleh bilangan kuantum utama

n. Hal itu benar, manakala atom tidak berada di bawah pengaruh medan magnet

eksternal. Tetapi jika ada medan magnet eksternal maka momentum angular akan

mengubah besarnya energi. Berapa besar perubahan energi yang ditimbulkan oleh

momentum angular jika atom berada dalam medan magnet eksternal yang kuat medannya

B, itulah yang akan kita bahas sekarang.

Jika elektron dalam atom bermassa m dan bermuatan e, membentuk lintasan spherik,

maka selain momentum angular L, juga terjadi momen magnet yang arahnya

berlawanan dengan arah L. Sedang arah L adalah arah ibu jari tangan kanan jika arah

lintasan partikel (elektron) ditunjukkan oleh keempat jari yang digenggamkan. Hubungan

antara dan L adalah:

108


= L (6-82)

tanda negatif tersebut menunjukkan bahwa arah L dab berlawanan. Menurut tinjauan

mekanika kuantum besarnya L = , jadi :

= (6-83)

Jika sebuah atom dengan momen magnet berada dalam medan magnet eksternal yang

kuat medannya B, maka perubahan energi yang dialami atom itu adalah:

Em = . B = . B cos (6-84)

dengan adalah sudut antara dan B.

Substitusi (6-82) ke dalam (6-84) menghasilkan:

Em = B . L cos (6-85)

L cos adalah Lz jadi:

Em = B . Lz (6-86)

Kita juga tahu bahwa Lz = m jadi:

Em = m B (6-87)

( m yang cetak miring adalah bilangan kuantum magnetik sedang m yang cetak tegak

adalah massa partikel/elektron).

Kuantitas biasa ditulis , sehingga (6-87) juga boleh ditulis:

Em = m B (6-88)

= Bohr Magneton = 9,27402 . 1024 J/T

Dari Persamaan (6-88) itu tampak bahwa bilangan kuantum magnetik akan menentukan

perubahan energi orbital, manakala atom (hidrogen) berada di bawah pengaruh medan

magnet kecuali orbital-orbital yang m-nya nol.

Perubahan energi orbital itu dapat digambarkan sebagai berikut:

m B m B 3

mB 2 2

109


1 1 1Em 0 0 0 0

1 1 1

Orbital s Orbital p Orbital d Orbital f

Gambar 6.1 : Splitting Energi orbital s, p , d dan f

Dari gambar (6-82) tersebut tampak bahwa selain orbital s, semua orbital mengalami

perubahan energi. Orbital p pecah menjadi 3 sub level magnetik, orbital d menjadi 5 dan

orbital f menjadi 7 sub level magnetik. Banyaknya sub level dalam sebuah orbital disebut

komponen Zeeman. Jadi komponen Zeeman orbital s, p, d dan f adalah 1, 3, 5 dan 7.

Secara umum dapat dinyatakan bahwa banyaknya komponen Zeeman adalah 2 +1.

===000===

Soal-soal Bab 6

1. Frekuensi absorpsi terkecil untuk molekul 12C16O adalah 115271 MHz. Hitunglah:

a) Jarak ikatan 12C16O

b) Prediksilah dua frekuensi serapan terkecil berikutnya

c) prediksilah frekuensi serapan terendah bagi 13C16O

2. Hitunglah panjang gelombang garis spektra yang muncul dari transisi n = 6 3 pada

atom hidrogen. Ulangi hal yang sama untuk He.

3. Hitunglah Tingkat energi dasar hidrogen dalam satuan eV.

4. Positron adalah partikel dengan massa sama dengan massa elektron tetapi bermuatan

+e. Tentukan berapa eV tingkat energi dasar atom positronium (atom ini terdiri atas 1

positron dan 1 elektron.

5. Untuk atom mirip hidrogen dalam keadaan dasar, tentukan < r >

6. Tentukan < r > untuk 2p0 dari atom mirip hidrogen .

7. Tentukan < r2 > untuk 2p1 dari atom mirip hidrogen .

110


8. Tulislah fungsi radial 2s dan 2p untuk atom mirip hidrogen. Tulis pula fungsi

gelombangnya.

9. Harga untuk orbital d = 2. Berapakah harga untuk orbital t ?

Catatan :Nama orbital adalah s, p, d, f. Setelah itu alphabetik, dengan j tidak

dipergunakan.

10. Untuk atom hidrogen dalam keadaan ground state, tentukan probabilitas

mendapatkan elektron pada jarak lebih dari 2a ?

11. Tentukan, berapakah jari-jari ruang 1s atom hidrogen menggunakan batas

probabilitas 90 % ?

12. (a) Tentukan < T > untuk atom hidrogen keadaan dasar. (b) Dengan < T > itu,

tentukan kecepatan elektron.

13. Tentukan populasi ratio gas atom hidrogen antara n = 2 dan n = 1 pada suhu:

(a) 25o C (b) 1000 K (c) 10 000 K

14. Tentukan fungsi gelombang atom hidrogen 3,2,1

15. Fungsi gelombang atom hidrogen didefinisikan sebagai:

= A r2 er / 3a sin2 e2 i

a) tentukan A

b) Tentukan n

c) Tentukan

d) Tentukan L

e) Tentukan Lz

===000===

111

Bab 6 Atom Hidrogen

Documents

Transcript of Bab 6 Atom Hidrogen