Postulat Kesejajaran Euclides /

95

BAB 5

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES

Sekolah tersebut tidak maju dan Euler pun tidak

belajar matematika sama sekali dari sekolah Namun

minatnya akan matematika didukung oleh pengajaran bapak

nya, Euler membaca buku matematika yang ia miliki dan

mengambil beberapa pelajaran pribadi. Leonhard Euler lulus

dari Universitas Basel tahun 1724 di mana ia belajar

theologie dan Ibrani. Selama di sekolah, ia diles-privatkan

pelajaran matematika kepada Johann Bernoulli.

Euler menyelesaikan studi nya di Universitas Basel

pada tahun 1726. Ia telah belajar banyak mathematical

selama bekerja di Basel. Pekerjaan ini adalah dari Varignon,

Descartes, Newton, Galileo, von Schooten, Jacob Bernoulli,

Hermann, Taylor dan Wallis.Euler menduduki suatu posisi

di Akademi Ilmu pengetahuan di St Petersburg, Rusia. Pada

7 Januari 1734, Euler menikah dengan Katharina Gsell,

putri seorang pelukis dari St Petersburg. Euler mengklaim

bahwa sebagian penemuan matematika terbesarnya terjadi

saat seorang bayi dalam pelukannya dengan anak-anak lain

berkeluyuran di kakinya. Artikel dan buku mekanika, yang

Leonhard Euler dilahirkan di Basel (Switzerland), pada tanggal 15 April 1707 di St Petersburg (Rusia) .Keluarga Leonhard Euler pindah ke Riehen, daerah yang tidak jauh dari Basel, ketika Leonhard berumur satu tahun dan di tempat itu dia dibesarkan. Leonhard dikirim sekolah ke Basel dan tinggal bersama nenek nya, hal itu dikarenakan bapak Euler

ingin putra nya menjadi pendeta.

/Postulat Kesejajaran Euclides 96

secara ekstensif memperkenalkan dinamika newtonian dalam

wujud matematika analisa memulai perjalanan Euler untuk

bekerja di bidang matematika.Euler menulis sekitar 380

artikel, diantaranya menulis buku kalkulus, kalkulasi

tentang garis edar keplanetan, artileri dan balistik, analisa,

pembuatan kapal dan ilmu pelayaran, gerakan dari bulan,

memberi kuliah kalkulus. Euler meninggal pada 18

September 1783, di St Petersburg ( Rusia)

A. Kesejajaran Euclid

Euclides, seorang ahli logika, masih

mendasarkan pada gambar geometri dalam

pembuktiannya.

geometri Euclides adalah satu-satunya teori

ruang yang mungkin dan betul-betul

menggambarkan dunia fisik. Tidak terpikir oleh

mereka bahwa gambar geometri mungkin dapat

menyesatkan mereka. Tetapi

kedudukan geometri Euclides yang mutlak dan

unik ini dibantah pada awal abad 19 oleh

penemu geometri non-Euclides, para ahli

matematika seolah terguncang.

Revolusi dalam matematika telah terjadi, yang

dapat disamakan dengan revolusi Copernicus

dalam ilmu astronomi atau revolusi Darwin

dalam biologi.

Kegagalan dalam setiap usaha untuk

membuktikan postulat kesejajaran membawa

pada suatu kenyataan bahwa postulat

kesejajaran tidak pasti, teori Euclides tidak

keramat, dan teori geometri yang lain (non

Euclides) mungkin benar.

Postulat Kesejajaran Euclides /

97

B. Struktur Geometri Bidang Euclides

Postulat kesejajaran Euclides

Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal

sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak

kurang dari 1800, maka kedua garis itu berpotongan pada

pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 1800

Kita mulai dengan mendaftar sejumlah asumsi atau

postulat geometri Euclides.

I. Barang-barang yang sama dengan sesuatu barang,

satu sama lain adalah sama.

II. Jika barang sama ditambah dengan barang yang

sama, jumlahnya sama.

III. Jika barang sama dikurangi dengan barang yang

sama, selisihnya sama.

IV. Keseluruhan lebih besar dari bagiannya.

V. Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah

ukuran dan bentuknya.

VI. Setiap sudut mempunyai garis bagi.

VII. Setiap segmen mempunyai satu dan hanya

satu titik tengah.

VIII. Dua buah titik terletak pada satu dan hanya

satu garis.

IX. Sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama

dengan segmen tertentu.

X. Sebuah lingkaran dapat digambar jika diketahui

pusat dan jari-jarinya.

XI. Semua sudut siku-siku besarnya sama.

Dari postulat-postulat di atas dapat disimpulkan

sejumlah teorema dasar, di antaranya :

1. Sudut-sudut yang bertolak belakang besarnya

sama.

/Postulat Kesejajaran Euclides 98

2. Sifat-sifat kongruensi segitiga (ss-sd-ss, sd-ss-sd, ss-

ss-ss)

3. Teorema tentang kesamaan sudut-sudut alas

segitiga samakaki dan konversnya.

4. Adanya satu garis yang tegak lurus pada suatu

garis melalui satu titik pada garis tersebut.

5. Adanya garis tegak lurus pada garis tertentu

melalui titik di luar garis tersebut.

6. Pembuatan sudut yang sama dengan sudut tertentu

pada titik tertentu dengan menetapkan titik sudut

dan sisinya.

7. Pembuatan segitiga yang kongruen dengan segitiga

tertentu dengan menetapkan sisi yang sama dengan

sisi dari segitiga tertentu tersebut.

Sekarang kita dapat membuktikan teorema

sudut luar, sebagai kunci pengembangan selanjutnya.

Teorema 5.1 (Teorema sudut luar)

Sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut

dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.

A

B C D

. . M

H .

E

F

1 2

Postulat Kesejajaran Euclides /

99

Bukti:

Misalkan diketahui segitiga ABC dan D pada

perpanjangan BC .

Pertama, kita tunjukkan bahwa sudut luar ACD

> A. Misalkan E titik tengah AC , dan BE

diperpanjang melalui E sedemikian hingga BE = EF.

Maka AE = EC, BE = EF, dan AEB = CEF

(sudut bertolak belakang besarnya sama).

Jadi AEB CEF (ss sd ss), dan BAE = FCE

(sudut yang bersesuaian pada segitiga yang

kongruen adalah sama). Karena ACD > FCE

(keseluruhan lebih besar dari bagiannya), kita dapat

menyimpulkan ACD > BAE = A.

Untuk menunjukkan bahwa ACD > B,

perpanjang AC melalui C ke H, sehingga

membentuk BCH. Selanjutnya tunjukkan BCH >

B gunakan cara seperti bagian pertama bukti di

atas :

Misalkan M titik tengah BC , perpanjang AM

melalui M sedemikian hingga AM = MN, dan

seterusnya. Untuk melengkapi bukti tersebut,

perhatikan bahwa BCH dan ACD adalah sudut

bertolak belakang, berarti besarnya sama.

Teorema 5.2

Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal

sedemikian hingga membentuk sepasang sudut

dalam berseberangan yang sama, maka kedua garis

tersebut sejajar.

A

B

C

k

m

1

2

A

B

C 1

2

k

m

/Postulat Kesejajaran Euclides 100

Bukti:

Misalkan sebuah garis transversal memotong dua

garis k dan m di titik A dan B dan membentuk

sepasang sudut dalam berseberangan 1 dan 2

yang sama. Andaikan k dan m tidak sejajar. Maka

keduanya berpotongan di titik C, dan membentuk

ABC. Titik C terletak di sebelah kiri AB atau di

sebelah kanannya. Dalam hal ini sudut luar ABC

sama dengan sudut dalam yang tidak bersisian

dengannya ( 1 = 2). Hal ini kontradiksi dengan

Teorema 1. Jadi pengandaian salah, yang benar l dan

m sejajar.

Akibat dari teorema 5.3 ini ada 3 yaitu:

Akibat 5.1

Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama

adalah sejajar.

Akibat 5.2

Hanya ada satu garis tegak lurus pada garis tertentu

yang melalui satu titik di luar garis tersebut.

Akibat 5.3

Jika titik P tidak ada garis k, maka ada sedikitnya satu

garis lurus yang melalui P yang sejajar k.

Bukti:

P

Q

m

k

Postulat Kesejajaran Euclides /

101

Dari P ditarik garis tegak lurus k dengan titik kakinya

Q, kemudian buat garis m yang melalui P dan tegak

lurus PQ . Maka m sejajar dengan k (sesuai dengan

akibat 1 teorema 2)

Teorema 5.3:

Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 1800.

Bukti:

Misalkan diketahui ABC. Akan kita tunjukkan

bahwa A + B < 1800. Perpanjang CB melalui B ke

D. Maka ABD adalah sudut luar ABC.

Menurut Teorema 5.1 : ABD > A. Tetapi

ABD = 1800 - B

Dengan demikian berarti :

1800 - B > A

atau

1800 - A + B

Jadi : A + B < 1800 (teorema terbukti)

C. Pengganti postulat kesejajaran Euclides

Postulat Playfair.

Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang

diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang

diketahui.

C

A

B D

/Postulat Kesejajaran Euclides 102

Postulat Playfair membahas tentang kesejajaran

garis dan postulat kesejajaran Euclides tentang

garis-garis yang berpotongan.

Postulat ke lima dan postulat Postulat Playfair.

keduanya mempunyai peran yang sama dalam

perkembangan geometri.

Kedua postulat tersebut ekivalen secara logis atau

hanya ekivalen. Ini berarti, jika postulat Playfair

diambil sebagai postulat (bersama dengan

semua postulat Euclides kecuali postulat

kesejajaran Euclides), m