Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

27
Bab V Momentum Angular/ BAB V MOMENTUM ANGULAR 5.1 Pengukuran Simultan Beberapa Properti Pada bab ini kita akan membahas momentum angular dan pada bab berikutnya nanti kita akan menunjukkan bahwa dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk elektron hidrogen adalah konstan. Sebelum membahas momentum angular, kita akan bahas lebih dulu, pengukuran secara simultan beberapa properti dan untuk itu, kita harus mengetahui kriteria yang dapat kita gunakan untuk menentukan properti apa saja dari suatu sistem yang nilainya dapat ditentukan secara simultan. Perlu diingat bahwa dalam mekanika kuantum ada pasangan- pasangan properti yang pengukurannya tidak dapat secara simultan sebagai contoh posisi dan momentum merupakan dua properti pengukurannya tidak dapat secara simultan. Sementara itu ada pasangan-pasangan properti yang pengukurannya dapat secara simultan, karena masing-masing mempunyai hasil pengukuran yang pasti. Dalam bab III telah kita bahas bahwa jika fungsi adalah fungsi eigen dari operator dengan nilai eigen a, maka a adalah nilai properti A. Sebagai contoh jika adalah fungsi eigen dari operator energi kinetik dengan nilai eigen t, maka t adalah nilai dari energi kinetik T. Selanjutnya jika secara simultan merupakan fungsi eigen dari dua buah operator yaitu dan dengan nilai eigen a 66

Transcript of Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Page 1: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

BAB V

MOMENTUM ANGULAR

5.1 Pengukuran Simultan Beberapa Properti

Pada bab ini kita akan membahas momentum angular dan pada bab berikutnya

nanti kita akan menunjukkan bahwa dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk

elektron hidrogen adalah konstan. Sebelum membahas momentum angular, kita akan

bahas lebih dulu, pengukuran secara simultan beberapa properti dan untuk itu, kita harus

mengetahui kriteria yang dapat kita gunakan untuk menentukan properti apa saja dari

suatu sistem yang nilainya dapat ditentukan secara simultan. Perlu diingat bahwa dalam

mekanika kuantum ada pasangan-pasangan properti yang pengukurannya tidak dapat

secara simultan sebagai contoh posisi dan momentum merupakan dua properti

pengukurannya tidak dapat secara simultan. Sementara itu ada pasangan-pasangan

properti yang pengukurannya dapat secara simultan, karena masing-masing mempunyai

hasil pengukuran yang pasti.

Dalam bab III telah kita bahas bahwa jika fungsi adalah fungsi eigen dari

operator dengan nilai eigen a, maka a adalah nilai properti A. Sebagai contoh jika

adalah fungsi eigen dari operator energi kinetik dengan nilai eigen t, maka t adalah

nilai dari energi kinetik T. Selanjutnya jika secara simultan merupakan fungsi eigen

dari dua buah operator yaitu dan dengan nilai eigen a dan b sehingga dapat kita tulis

= a dan = b, maka kita dapat secara simultan mengetahui secara pasti nilai

properti A dan B, yaitu a dan b. Kapankah terjadi kemungkinan bahwa menjadi fungsi

eigen dari dua buah operator berbeda ? Fungsi akan secara simultan merupakan fungsi

eigen dari dua buah operator dan jika kedua operator tersebut adalah pasangan

operator yang commute atau jika [ , ] = 0 (Akan dibuktikan di Bab 7). Dengan logika

terbalik dapat dinyatakan bahwa, jika dua buah operator dan adalah commute atau

jika [ , ] = 0, maka dapat menjadi fungsi eigen bagi maupun .

66

Page 2: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

Ingat kembali bahwa commutator dan adalah [ , ] = . Berikut ini

diberikan beberapa commutator identitas yang sangat membantu dalam mengevaluasi

commutator.

[ , ] = = [ , ] (5-1)

[ , n] = 0 (5-2)

[k , ] = [ , k ] = k[ , ] (5-3)

[ , + ] = [ , ] + [ , ] ;

[ + , ] = [ , ] + [ , ] (5-4)

[ , ] = [ , ] + [ , ] ;

[ , ] = [ , ] + [ , ] (5-5)

Contoh:

Buktikanlah bahwa x dam px tidak dapat diukur secara simultan.

Bukti:

Untuk membuktikan kita harus menguji bahwa [ x , ] 0

[ x , ] = [ x x ]

Jika dioperasikan pada sembarang fungsi :

[ x , ] = [ x x ]

= x x

Karena = i , maka:

[ x , ] = x ( i ) ( i )x

i ( x x )

i { x ( x + x ) }

i { x ( + x ) }

i { x x }

i { x x }

67

Page 3: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

i { }

i

Jadi:

[ x , ] = i

Karena [ x , ] tidak = 0, maka tidak mungkin merupakan fungsi eigen simultan

terhadap x dan sehingga pengukuran x dan px harus secara simultan dan mengikuti

prinsip ketidakpastian.

5.2 Momentum Angular Sistem Partikel Tunggal

Momentum Angular Dalam Mekanika Klasik

Jika sebuah partikel bermassa m melintas dan kita tinjau partikel itu dalam sistem

koordinat Cartessius dengan r adalah vektor dari titik acuan ke posisi partikel pada saat

itu, maka hubungan antara vektor r dengan komponen-komponennya adalah:

r = x i + y j + z k (5-6)

dengan x, y dan z adalah koordinat partikel sedang i, j, k adalah unit vektor berarah x, y

dan x.

Jika vektor momentum linear adalah p maka hubungan antara vektor p dengan

komponen-komponennya adalah:

p = px i + py j + pz k (5-7)

dengan px = m vx ; py = m vy dan pz = m vz

Menurut mekanika klasik, vektor momentum angular L didefinisikan sebagai :

L = r x p =

= i j + k (5-8)

Karena hubungan antara vektor L dan komponen-komponennya adalah:

L = Lx i + Ly j + Lz k (5-9)

Maka kita peroleh:

68

Page 4: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

(5-10)

Hubungan antara harga L dengan Lx , ly dan Lz adalah:

L2 = (5-11)

Operator Momentum Angular

Operator momentum angular diperoleh dari persamaan klasik (5-11) dan (2-10) setelah

mengganti px , py dan pz dengan operator , dan yaitu:

=

= (5-12)

=

sehingga:

=

= (5-13)

=

Selanjutnya kita tahu bahwa besarnya harga skalar L adalah:

L2 =

Jadi operator = + + (5-14)

Commutator antar Momentum Angular dan dengan Komponen-komponennya

Selanjutnya karena pasangan commutator sangat penting untuk mengetahui apakah dua

buah properti dapat diukur secara simultan atau tidak, maka sekarang kita akan melihat

bagaimana harga pasangan-pasangan commutator antar komponen momentum angular,

yaitu [ , ] ; [ , ] ; [ , ] dan juga pasangan commutator antara operator

69

Page 5: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu commutator [ , ] ; [

, ] dan [ , ].

Pertama kita akan mengevaluasi commutator [ , ]. Kita tahu bahwa:

[ , ] =

Jika dioperasikan pada sembarang fungsi F maka:

[ , ] F = F F

= { F F}

= { }

= = F

Jadi:

[ , ] = (5-15)

Analog dengan cara diatas maka diperoleh (Buktikan):

[ , ] = (5-16)

[ , ] = (5-17)

Dari (2-11) tampak bahwa pasangan commutator antar komponen momentum angular

adalah non commute. Sekarang akan kita selidiki pasangan commutator antara operator

momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu: [ , ] ; [ , ] dan [ ,

70

Page 6: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

]. Pertama akan kita selidiki dulu: [ , ] dengan memanfaatkan sifat commutator

identitas pada awal bab ini.

Karena: = + + maka:

[ , ] = [ + + , ]

= [ , ] + [ , ] + [ , ]

Menurut sifat (5-2), [ , ] = 0, jadi:

[ , ] = [ , ] + [ , ]

atau:

[ , ] = [ , ] + [ , ]

Dengan menggunakan sifat (5-5) yaitu [ , ] = [ , ] + [ , ], maka:

[ , ] = [ , ] + [ , ] + [ , ] + [ , ]

= + + = 0

Jadi:

[ , ] = 0 (5-18)

Analog dengan cara di atas maka diperoleh:

[ , ] = 0 (5-19)

[ , ] = 0 (5-20)

Dari persamaan (5-18) sampai dengan (5-20) tampak bahwa operator momentum angular

dan salah satu komponen-komponen bersifat commute, jadi antara dengan salah

satu atau atau mempunyai fungsi eigen yang sama.

Operator Momentum Angular dalam Koordinat Spherik

Persamaan (5-13) dan (5-14) itu adalah operator untuk menghitung Lx , Ly dan Lz

dengan menggunakan koordinat Cartessius. Mengingat momentum angular terjadi pada

partikel yang bergerak melengkung, maka penggunaan operator kuantum angular dalam

koordinat bola, ternyata lebih menguntungkan, oleh karena itu, kita perlu mengetahui,

bagaimana pernyataan operator tersebut dalam koordinat bola. Buku ini tidak akan

71

Page 7: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

membahas bagaimana penurunan operator tersebut dalam koordinat bola, tetapi bagi yang

ingin mengetahui penurunannya dianjurkan untuk membaca literatur mekanika kuantum.

Adapun dalam koordinat bola (Hanna, 1969: 137):

=

= (5-14)

=

Telah kita ketahui, bahwa hubungan antara suatu vektor dengan komponen-komponennya

adalah kuadrat vektor = jumlah kuadrat komponen-komponennya, jadi:

Dengan demikian diperoleh:

= (5-18)

atau:

= (5-19)

Fungsi Eigen Dan Nilai Eigen Momentum Angular Orbital Partikel Tunggal

Sekarang kita akan menurunkan fungsi eigen dari operator dan . Dengan

memperhatikan bahwa operator tersebut melibatkan dan , maka fungsi tersebut kita

sebut fungsi (,) yang merupakan fungsi dan fungsi dalam relasi:

(,) = f() . f() (5-20)

Jika agar praktis f() ditulis T dan fungsi f() ditulis , maka:

(,) = T . (5-21)

Jika b adalah nilai eigen untuk dan c adalah nilai eigen untuk , maka persamaan

eigennya dapat ditulis:

= b (5-22)

= c (5-23)

72

Page 8: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

Kita selesaikan dulu (5-22). Dengan menggunakan operator dan fungsi ditulis T.

maka (5-22) dapat ditulis:

T. = b T. atau: T = b T. atau:

T = (b/ ) T. atau: = . atau:

d d atau: ln = C atau:

= = = A (5-24)

dengan A adalah tetapan sembarang.

Apakah setiap (5-24) dapat menjadi fungsi eigen ? Jawabnya tidak. Karena

tidak semua bentuk (5-24) adalah bernilai tunggal (singled valued). Agar (5-24) singled

valued maka jika ditambah 2 harga tidak berubah. Jadi (5-24) adalah fungsi eigen

jika:

A = A = A sehingga:

= 1 (5-25)

adalah cos 2b/ + i sin 2b/ . Jadi:

cos 2b/ + i sin 2b/ = 1 (5-26)

Untuk memenuhi (5-26) maka :

2b/ harus = 2 m dengan m = 0, 1, 2, 3 . . . . . sehingga:

b = m m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . . . (5-27)

Karena b adalah nilai eigen dari operator maka harga Lz pasti = b, atau:

Lz = m m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . . . . (5-28)

Jika harga b dimasukkan ke dalam (5-24) maka fungsi eigen diperoleh, yaitu:

= A ei m (5-29)

Dengan normalisasi, harga A diperoleh, yaitu A = sehingga:

73

Page 9: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

= ei m (5-30)

dengan m adalah bilangan kuantum magnetik.

Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (5-23) yaitu = c yang dapat

ditulis:

= c atau:

= c atau:

ei m = c ei m atau:

(Buktikan !) (5-31)

Untuk menyelesaikan (5-31) kita lakukan dengan melakukan manipulasi matematika,

pertama diadakan perubahan variabel bebas, dengan cara mensubstitusi:

cos = x (5-32)

Jika cos = x maka:

sin = (1 x2)1/2 (5-33)

i cot = x / (1 x2)1/2

Akibat perubahan variabel ini, maka terjadi transformasi fungsi T yang semula fungsi

menjadi fungsi x. Kita misalkan fungsi baru sebagai akibat transformasi itu adalah G(x)

Jadi:

T = G(x) (5-34)

sehingga, dengan aturan berantai yaitu:

= = sin = (1 x2)1/2 (5-35)

Untuk mengevaluasi kita gunakan operator aljabar:

= (1 x2)1/2 Jadi:

74

Page 10: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

= (1 x2)1/2 [(1 x2)1/2 ]

= (1 x2)1/2 [ (1 x2)1/2 ]

= (1 x2)1/2 { (1 x2)1/2 . + (1 x2)1/2 ]

= (1 x2)1/2 { (1/2) (1 x2)1/2 (2x). + (1 x2)1/2 ]

= (1 x2)1/2 { (1/2) (1 x2)1/2 (2x). + (1 x2)1/2 ]

= (1 x2)1/2 { x) (1 x2)1/2. + (1 x2)1/2 ]

= x + (1 x2) Jadi:

= (1 x2) x (5-36)

Dengan menggunakan (5-32) s/d (5-36), maka (5-31) dapat ditulis:

(1 x2) x + G = 0 (5-37)

dengan x adalah 1 < x < +1 (Mengapa ?)

atau:

(1 x2) G'' x G'+ G = 0 (5-38)

Agar penyelesaiannya tidak rumit ketika kita melakukan penyelesaian dengan

menggunakan metode deret penyelesaian, maka kita nyata G kedalam fungsi x yang lain

yaitu H(x) dengan relasi:

G = H (5-39)

Dari (5-39) kita cari G' dan G'' untuk disubstitusikan ke (5-38) dan setelah dibagi dengan

, maka (5-38) menjadi:

(1 x2 ) H'' 2 x H' + [ c H = 0 (5-40)

75

Page 11: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

Sekarang akan kita selesaikan (5-40) dengan metode deret, yaitu dengan memisalkan:

H = (5-41)

Turunannya adalah:

H' = (5-42)

H'' = = (5-43)

Substitusi (5-41) s/d (5-43) ke dalam (5-40) menghasilkan::

= 0

Karena x j pasti tidak nol maka koefisiennya yang nol jadi:

= 0

dan diperoleh:

= (5-44)

Sebagaimana dalam osilator harmonis, bentuk umum penyelesaian (5-40) adalah

kombinasi linear dari fungsi berpangkat genap (yang koefisiennya ditentukan oleh harga

a0) dan fungsi berpangkat ganjil (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a1). Kedua

fungsi penyelesaian ini tampak merupakan fungsi berbentuk deret pangkat sampai tak

terhingga, sehingga tidak merupakan well behaved eigenfunctions. Namun seperti halnya

yang sudah kita kenal pada osilator harmonis, kita dapat membuat salah satu deret

penyelesaian itu berhenti pada suku berpangkat tertentu, yaitu dengan membuat koefisien

pada suku tersebut berharga nol. Jika kita misalkan deret penyelesaian berhenti pada suku

berpangkat k, artinya jika kita mengganti j dengan k, maka koefisiennya suku itu, yang

dapat dihitung dari (5-38) menjadi berharga nol, sehingga kita akan memperoleh:

c = (5-45)

dan karena k adalah j, sedang j berharga 0, 1, 2, . . . ., maka k juga berharga 0, 1, 2, . . . ..

Selanjutnya karena juga berharga 0, 1, 2, . . . . maka juga berharga 0, 1, 2,

3 . . .

76

Page 12: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

yang untuk selanjutnya disebut bilangan kuantum azymuth atau bilangan

kuantum angular translasi dan diberi notasi jadi:

= (5-46)

dan dengan demikian maka (5-45) menjadi:

c = ( +1) (5-47)

Karena menurut (5-23), c adalah nilai eigen dari operator momentum , maka dapat

disimpulkan bahwa harga skalar L2 adalah:

L2 = ( +1) (5-48)

atau:

L = (5-49)

Marilah kita amati lagi persamaan (5-46). Hal penting yang diperhatikan dari

persamaan (5-45) itu adalah bahwa harga tidak melebihi , sebab jika

melebihi maka k akan negatif. Padahal harus diingat bahwa k adalah j sedang j adalah

pangkat x dari deret penyelesaian persamaan diferensial orde dua, dengan harga paling

kecil nol. Karena j paling kecil nol, maka k paling kecil nol. Kalau k paling kecil nol,

maka paling besar = atau kita biasa menulis:

< (5-50)

atau:

m = 0 , + 1, +2, +3, . . . . . . . . . . + (5-51)

Penurunan Fungsi

Menurut (5-34) fungsi nya adalah : T = G(x) dengan G = H (menurut

2-31) sehingga:

T = H (5-52)

Karena x adalah cos , maka:

T = H (5-53)

Menurut (5-41), H = , sehingga:

77

Page 13: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

T = (5-54)

Karena fungsi dikehendaki hanya sampai suku k dengan k = , maka (5-54) dapat

ditulis:

T = . (5-55)

Karena penyelesaian pada dasarnya adalah salah satu kemungkinan genap, atau

ganjil, maka (5-55) dapat dipecah bentuknya menjadi:

T = . jika genap (5-56)

T = . jika ganjil (5-57)

Jika x kita kembalikan ke asalnya yaitu cos , maka:

T = . jika genap

(5-58)

T = . jika ganjil (5-59)

Koefisien a, mengikuti (5-44), yang setelah harga nilai eigen c, dimasukkan

menjadi:

= (5-60)

Setelah T diperoleh, maka (,) juga diperoleh, yaitu:

ei m (5-61)

dengan T adalah salah satu dari (2-49). Karena (,) ditentukan oleh dan m, maka fungsi

eigen momentum angular juga sering ditulis , sehingga:

= ei m (5-62)

78

Page 14: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

Contoh:

Sebuah partikel yang diperikan oleh bilangan kuantum = 3 dan m = 1, tentukan:

a) Komponen momentum Lz

b) Momentum angular L

c) Fungsi gelombang eigennya

Jawab:

a) Lz = m =

b) L = =

c) karena = 3 dan m = 1, maka m = 2, jadi fungsi genap, dan untuk menentukan

fungsi T kita gunakan (5-58):

T = .

= sin ( a0 + a2 cos2 )

a2 kita cari dari relasi:

=

=

a2 = a0 = a0

Jadi:

:T = sin ( a0 a0 cos2 ) = a0 sin (1 5cos2) = a0 sin (5cos2 1)

Harga a0 dicari dengan normalisasi:

= 1

d = r2 dr sin d d

Karena T hanya fungsi , maka :

= 1 atau:

79

Page 15: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

= 1 atau:

= 1

= 1/a02

25 10 +

= 1/a02

25 (12/105) 10 (4/15) +4/3 = 1/a02

160/105 = 1/a02

a0 = + = + = +

Kita pilih a0 = , supaya fungsi T

Jadi:

T = sin (5cos2 )

Karena T sudah diperoleh maka orbital momentum angularnya adalah:

= ei m

= sin (5cos2 ) ei

Cara lain menentukan fungsi T (fungsi )

Persamaan (5-38) sangat dikenal dalam matematika, dan disebut Persamaan Legendre

terasosiasi, Yang penyelesaiannya adalah:

= (1 - cos ) (cos - 1) (5-63)

80

Page 16: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

Penyelesaian (5-62) di atas disebut Polinomial Legendre terasosiasi, . Setelah

diperoleh, fungsi tetha T diperoleh dengan cara sebagai berikut:

(5-64)

Jika T sudah diperoleh maka ( ,m) segera diketahui.

Contoh: Sekarang kita akan mencoba menghitung 3,1) tetapi menggunakan

Polinomial Legendre.

Jawab:

Kita hitung dulu :

= (1 - cos ) (cos - 1)

= (1 - cos ) (cos - 1)3

= sin (cos - 1)3

Kita selesaikan dulu (cos - 1)3 dan supaya tampak sederhana cos kita ganti

x sehingga:

(cos - 1)3 = (x 1)3

= (x6 3x4 + 3x2 1)

= (6x5 12x3 + 6x)

= (30x4 36x2 + 6)

= (120x3 72x)

= (360x2 72) = (360 cos2 72) = 72 (5 cos2 1)

Jadi:

81

Page 17: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

= sin (cos - 1)3

= sin { 72 (5 cos2 1) }

= sin (5 cos2 1)

Setelah itu, T dapat ditentukan:

sin (5 cos2 1)

sin (5 cos2 1)

sin (5 cos2 1)

Akhirnya ( 3, 1) diperoleh, yaitu:

= ei m

( 3, 1) = sin (5cos2 ) ei

Soal-soal Bab 5

1. Buktikan commutator identitas berikut:

(a) [ , ] = = [ , ] (5-1)

(b) [ , n] = 0 (5-2)

(c) [k , ] = [ , k ] = k[ , ] (5-3)

(d) [ , + ] = [ , ] + [ , ] ;

[ + , ] = [ , ] + [ , ] (5-4)

(e) [ , ] = [ , ] + [ , ] ;

[ , ] = [ , ] + [ , ] (5-5)

82

Page 18: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

2. Buktikan [ , ] =

3. Buktikan [ x , ] = i

4. Dengan menggunakan [ x , ] = i dan commutator identitas, tentukan [ x , ]

5. Diketahui vektor A mempunyai komponen (3, 2, 6) dan vektor B komponennya (1,4,

4) .

Tentukan (a) harga skalar A dan B; (b) A + B ; (c) A B; (d) A . B (e) A x B;

(f) sudut antara A dan B.

6. Buktikan bahwa:

Jika f dan g masing-masing adalah fungsi koordinat, buktikan bahwa:

f . g = g f + 2 f . g + f g

7. Jika f = 2x2 5 xyz + z2 1, maka tentukan (a) gradien f ; (b) f

8. Buktikan bahwa cross vektor x = i

9. Tentukan [ , ]

10 . Tentukan koordinat polar dari titik-titik yang koordinat rektangularnya adalah:

(a) ( 1, 2, 0 ) ; (b) ( 1, 0, 3 ) ; (c) ( 3, 1, 2 ) ; (d) ( 1, 1, 1 )

Tentukan koordinat rektangular dari titik-titik yang koordinat polarnya adalah:

(a) ( 1, , ) ; (b) ( 2, ; 0 )

12. Tentukan kemungkinan-kemungkinan sudut antara L dengan z, jika = 2.

13. (a) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang bilangan kuantum momentum

angularnya adalah = 2, ada berapakah kemungkinan hasilnya ?

(b) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang momentum angularnya adalah

, ada berapakah kemungkinan hasilnya ?

14. Pada saat tertentu, sebuah partikel mempunyai fungsi = N . (,

(a) Tentukan berapa momentum angular L nya ? (b) berapa Lz nya ?

(c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z ?

15. Fungsi orbital momentum angular sebuah partikel adalah:

83

Page 19: Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali

Bab V Momentum Angular/

= A sin2 cos

(a) Tentukan berapa momentum angular L nya ?

(b) berapa Lz nya ?

(c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z ?

16. Jika = 3 dan m = 3, tentukan fungsi gelombang orbital momentum angularnya .

===000===

84