Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali
-
Upload
siti-munawaroh -
Category
Documents
-
view
84 -
download
6
Transcript of Bab 5 Momentum Angular (0)Lengkapsekali
Bab V Momentum Angular/
BAB V
MOMENTUM ANGULAR
5.1 Pengukuran Simultan Beberapa Properti
Pada bab ini kita akan membahas momentum angular dan pada bab berikutnya
nanti kita akan menunjukkan bahwa dalam keadaan stasioner, momentum angular untuk
elektron hidrogen adalah konstan. Sebelum membahas momentum angular, kita akan
bahas lebih dulu, pengukuran secara simultan beberapa properti dan untuk itu, kita harus
mengetahui kriteria yang dapat kita gunakan untuk menentukan properti apa saja dari
suatu sistem yang nilainya dapat ditentukan secara simultan. Perlu diingat bahwa dalam
mekanika kuantum ada pasangan-pasangan properti yang pengukurannya tidak dapat
secara simultan sebagai contoh posisi dan momentum merupakan dua properti
pengukurannya tidak dapat secara simultan. Sementara itu ada pasangan-pasangan
properti yang pengukurannya dapat secara simultan, karena masing-masing mempunyai
hasil pengukuran yang pasti.
Dalam bab III telah kita bahas bahwa jika fungsi adalah fungsi eigen dari
operator dengan nilai eigen a, maka a adalah nilai properti A. Sebagai contoh jika
adalah fungsi eigen dari operator energi kinetik dengan nilai eigen t, maka t adalah
nilai dari energi kinetik T. Selanjutnya jika secara simultan merupakan fungsi eigen
dari dua buah operator yaitu dan dengan nilai eigen a dan b sehingga dapat kita tulis
= a dan = b, maka kita dapat secara simultan mengetahui secara pasti nilai
properti A dan B, yaitu a dan b. Kapankah terjadi kemungkinan bahwa menjadi fungsi
eigen dari dua buah operator berbeda ? Fungsi akan secara simultan merupakan fungsi
eigen dari dua buah operator dan jika kedua operator tersebut adalah pasangan
operator yang commute atau jika [ , ] = 0 (Akan dibuktikan di Bab 7). Dengan logika
terbalik dapat dinyatakan bahwa, jika dua buah operator dan adalah commute atau
jika [ , ] = 0, maka dapat menjadi fungsi eigen bagi maupun .
66
Bab V Momentum Angular/
Ingat kembali bahwa commutator dan adalah [ , ] = . Berikut ini
diberikan beberapa commutator identitas yang sangat membantu dalam mengevaluasi
commutator.
[ , ] = = [ , ] (5-1)
[ , n] = 0 (5-2)
[k , ] = [ , k ] = k[ , ] (5-3)
[ , + ] = [ , ] + [ , ] ;
[ + , ] = [ , ] + [ , ] (5-4)
[ , ] = [ , ] + [ , ] ;
[ , ] = [ , ] + [ , ] (5-5)
Contoh:
Buktikanlah bahwa x dam px tidak dapat diukur secara simultan.
Bukti:
Untuk membuktikan kita harus menguji bahwa [ x , ] 0
[ x , ] = [ x x ]
Jika dioperasikan pada sembarang fungsi :
[ x , ] = [ x x ]
= x x
Karena = i , maka:
[ x , ] = x ( i ) ( i )x
i ( x x )
i { x ( x + x ) }
i { x ( + x ) }
i { x x }
i { x x }
67
Bab V Momentum Angular/
i { }
i
Jadi:
[ x , ] = i
Karena [ x , ] tidak = 0, maka tidak mungkin merupakan fungsi eigen simultan
terhadap x dan sehingga pengukuran x dan px harus secara simultan dan mengikuti
prinsip ketidakpastian.
5.2 Momentum Angular Sistem Partikel Tunggal
Momentum Angular Dalam Mekanika Klasik
Jika sebuah partikel bermassa m melintas dan kita tinjau partikel itu dalam sistem
koordinat Cartessius dengan r adalah vektor dari titik acuan ke posisi partikel pada saat
itu, maka hubungan antara vektor r dengan komponen-komponennya adalah:
r = x i + y j + z k (5-6)
dengan x, y dan z adalah koordinat partikel sedang i, j, k adalah unit vektor berarah x, y
dan x.
Jika vektor momentum linear adalah p maka hubungan antara vektor p dengan
komponen-komponennya adalah:
p = px i + py j + pz k (5-7)
dengan px = m vx ; py = m vy dan pz = m vz
Menurut mekanika klasik, vektor momentum angular L didefinisikan sebagai :
L = r x p =
= i j + k (5-8)
Karena hubungan antara vektor L dan komponen-komponennya adalah:
L = Lx i + Ly j + Lz k (5-9)
Maka kita peroleh:
68
Bab V Momentum Angular/
(5-10)
Hubungan antara harga L dengan Lx , ly dan Lz adalah:
L2 = (5-11)
Operator Momentum Angular
Operator momentum angular diperoleh dari persamaan klasik (5-11) dan (2-10) setelah
mengganti px , py dan pz dengan operator , dan yaitu:
=
= (5-12)
=
sehingga:
=
= (5-13)
=
Selanjutnya kita tahu bahwa besarnya harga skalar L adalah:
L2 =
Jadi operator = + + (5-14)
Commutator antar Momentum Angular dan dengan Komponen-komponennya
Selanjutnya karena pasangan commutator sangat penting untuk mengetahui apakah dua
buah properti dapat diukur secara simultan atau tidak, maka sekarang kita akan melihat
bagaimana harga pasangan-pasangan commutator antar komponen momentum angular,
yaitu [ , ] ; [ , ] ; [ , ] dan juga pasangan commutator antara operator
69
Bab V Momentum Angular/
momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu commutator [ , ] ; [
, ] dan [ , ].
Pertama kita akan mengevaluasi commutator [ , ]. Kita tahu bahwa:
[ , ] =
Jika dioperasikan pada sembarang fungsi F maka:
[ , ] F = F F
= { F F}
= { }
= = F
Jadi:
[ , ] = (5-15)
Analog dengan cara diatas maka diperoleh (Buktikan):
[ , ] = (5-16)
[ , ] = (5-17)
Dari (2-11) tampak bahwa pasangan commutator antar komponen momentum angular
adalah non commute. Sekarang akan kita selidiki pasangan commutator antara operator
momentum angular dengan komponen-komponennya yaitu: [ , ] ; [ , ] dan [ ,
70
Bab V Momentum Angular/
]. Pertama akan kita selidiki dulu: [ , ] dengan memanfaatkan sifat commutator
identitas pada awal bab ini.
Karena: = + + maka:
[ , ] = [ + + , ]
= [ , ] + [ , ] + [ , ]
Menurut sifat (5-2), [ , ] = 0, jadi:
[ , ] = [ , ] + [ , ]
atau:
[ , ] = [ , ] + [ , ]
Dengan menggunakan sifat (5-5) yaitu [ , ] = [ , ] + [ , ], maka:
[ , ] = [ , ] + [ , ] + [ , ] + [ , ]
= + + = 0
Jadi:
[ , ] = 0 (5-18)
Analog dengan cara di atas maka diperoleh:
[ , ] = 0 (5-19)
[ , ] = 0 (5-20)
Dari persamaan (5-18) sampai dengan (5-20) tampak bahwa operator momentum angular
dan salah satu komponen-komponen bersifat commute, jadi antara dengan salah
satu atau atau mempunyai fungsi eigen yang sama.
Operator Momentum Angular dalam Koordinat Spherik
Persamaan (5-13) dan (5-14) itu adalah operator untuk menghitung Lx , Ly dan Lz
dengan menggunakan koordinat Cartessius. Mengingat momentum angular terjadi pada
partikel yang bergerak melengkung, maka penggunaan operator kuantum angular dalam
koordinat bola, ternyata lebih menguntungkan, oleh karena itu, kita perlu mengetahui,
bagaimana pernyataan operator tersebut dalam koordinat bola. Buku ini tidak akan
71
Bab V Momentum Angular/
membahas bagaimana penurunan operator tersebut dalam koordinat bola, tetapi bagi yang
ingin mengetahui penurunannya dianjurkan untuk membaca literatur mekanika kuantum.
Adapun dalam koordinat bola (Hanna, 1969: 137):
=
= (5-14)
=
Telah kita ketahui, bahwa hubungan antara suatu vektor dengan komponen-komponennya
adalah kuadrat vektor = jumlah kuadrat komponen-komponennya, jadi:
Dengan demikian diperoleh:
= (5-18)
atau:
= (5-19)
Fungsi Eigen Dan Nilai Eigen Momentum Angular Orbital Partikel Tunggal
Sekarang kita akan menurunkan fungsi eigen dari operator dan . Dengan
memperhatikan bahwa operator tersebut melibatkan dan , maka fungsi tersebut kita
sebut fungsi (,) yang merupakan fungsi dan fungsi dalam relasi:
(,) = f() . f() (5-20)
Jika agar praktis f() ditulis T dan fungsi f() ditulis , maka:
(,) = T . (5-21)
Jika b adalah nilai eigen untuk dan c adalah nilai eigen untuk , maka persamaan
eigennya dapat ditulis:
= b (5-22)
= c (5-23)
72
Bab V Momentum Angular/
Kita selesaikan dulu (5-22). Dengan menggunakan operator dan fungsi ditulis T.
maka (5-22) dapat ditulis:
T. = b T. atau: T = b T. atau:
T = (b/ ) T. atau: = . atau:
d d atau: ln = C atau:
= = = A (5-24)
dengan A adalah tetapan sembarang.
Apakah setiap (5-24) dapat menjadi fungsi eigen ? Jawabnya tidak. Karena
tidak semua bentuk (5-24) adalah bernilai tunggal (singled valued). Agar (5-24) singled
valued maka jika ditambah 2 harga tidak berubah. Jadi (5-24) adalah fungsi eigen
jika:
A = A = A sehingga:
= 1 (5-25)
adalah cos 2b/ + i sin 2b/ . Jadi:
cos 2b/ + i sin 2b/ = 1 (5-26)
Untuk memenuhi (5-26) maka :
2b/ harus = 2 m dengan m = 0, 1, 2, 3 . . . . . sehingga:
b = m m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . . . (5-27)
Karena b adalah nilai eigen dari operator maka harga Lz pasti = b, atau:
Lz = m m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . . . . (5-28)
Jika harga b dimasukkan ke dalam (5-24) maka fungsi eigen diperoleh, yaitu:
= A ei m (5-29)
Dengan normalisasi, harga A diperoleh, yaitu A = sehingga:
73
Bab V Momentum Angular/
= ei m (5-30)
dengan m adalah bilangan kuantum magnetik.
Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (5-23) yaitu = c yang dapat
ditulis:
= c atau:
= c atau:
ei m = c ei m atau:
(Buktikan !) (5-31)
Untuk menyelesaikan (5-31) kita lakukan dengan melakukan manipulasi matematika,
pertama diadakan perubahan variabel bebas, dengan cara mensubstitusi:
cos = x (5-32)
Jika cos = x maka:
sin = (1 x2)1/2 (5-33)
i cot = x / (1 x2)1/2
Akibat perubahan variabel ini, maka terjadi transformasi fungsi T yang semula fungsi
menjadi fungsi x. Kita misalkan fungsi baru sebagai akibat transformasi itu adalah G(x)
Jadi:
T = G(x) (5-34)
sehingga, dengan aturan berantai yaitu:
= = sin = (1 x2)1/2 (5-35)
Untuk mengevaluasi kita gunakan operator aljabar:
= (1 x2)1/2 Jadi:
74
Bab V Momentum Angular/
= (1 x2)1/2 [(1 x2)1/2 ]
= (1 x2)1/2 [ (1 x2)1/2 ]
= (1 x2)1/2 { (1 x2)1/2 . + (1 x2)1/2 ]
= (1 x2)1/2 { (1/2) (1 x2)1/2 (2x). + (1 x2)1/2 ]
= (1 x2)1/2 { (1/2) (1 x2)1/2 (2x). + (1 x2)1/2 ]
= (1 x2)1/2 { x) (1 x2)1/2. + (1 x2)1/2 ]
= x + (1 x2) Jadi:
= (1 x2) x (5-36)
Dengan menggunakan (5-32) s/d (5-36), maka (5-31) dapat ditulis:
(1 x2) x + G = 0 (5-37)
dengan x adalah 1 < x < +1 (Mengapa ?)
atau:
(1 x2) G'' x G'+ G = 0 (5-38)
Agar penyelesaiannya tidak rumit ketika kita melakukan penyelesaian dengan
menggunakan metode deret penyelesaian, maka kita nyata G kedalam fungsi x yang lain
yaitu H(x) dengan relasi:
G = H (5-39)
Dari (5-39) kita cari G' dan G'' untuk disubstitusikan ke (5-38) dan setelah dibagi dengan
, maka (5-38) menjadi:
(1 x2 ) H'' 2 x H' + [ c H = 0 (5-40)
75
Bab V Momentum Angular/
Sekarang akan kita selesaikan (5-40) dengan metode deret, yaitu dengan memisalkan:
H = (5-41)
Turunannya adalah:
H' = (5-42)
H'' = = (5-43)
Substitusi (5-41) s/d (5-43) ke dalam (5-40) menghasilkan::
= 0
Karena x j pasti tidak nol maka koefisiennya yang nol jadi:
= 0
dan diperoleh:
= (5-44)
Sebagaimana dalam osilator harmonis, bentuk umum penyelesaian (5-40) adalah
kombinasi linear dari fungsi berpangkat genap (yang koefisiennya ditentukan oleh harga
a0) dan fungsi berpangkat ganjil (yang koefisiennya ditentukan oleh harga a1). Kedua
fungsi penyelesaian ini tampak merupakan fungsi berbentuk deret pangkat sampai tak
terhingga, sehingga tidak merupakan well behaved eigenfunctions. Namun seperti halnya
yang sudah kita kenal pada osilator harmonis, kita dapat membuat salah satu deret
penyelesaian itu berhenti pada suku berpangkat tertentu, yaitu dengan membuat koefisien
pada suku tersebut berharga nol. Jika kita misalkan deret penyelesaian berhenti pada suku
berpangkat k, artinya jika kita mengganti j dengan k, maka koefisiennya suku itu, yang
dapat dihitung dari (5-38) menjadi berharga nol, sehingga kita akan memperoleh:
c = (5-45)
dan karena k adalah j, sedang j berharga 0, 1, 2, . . . ., maka k juga berharga 0, 1, 2, . . . ..
Selanjutnya karena juga berharga 0, 1, 2, . . . . maka juga berharga 0, 1, 2,
3 . . .
76
Bab V Momentum Angular/
yang untuk selanjutnya disebut bilangan kuantum azymuth atau bilangan
kuantum angular translasi dan diberi notasi jadi:
= (5-46)
dan dengan demikian maka (5-45) menjadi:
c = ( +1) (5-47)
Karena menurut (5-23), c adalah nilai eigen dari operator momentum , maka dapat
disimpulkan bahwa harga skalar L2 adalah:
L2 = ( +1) (5-48)
atau:
L = (5-49)
Marilah kita amati lagi persamaan (5-46). Hal penting yang diperhatikan dari
persamaan (5-45) itu adalah bahwa harga tidak melebihi , sebab jika
melebihi maka k akan negatif. Padahal harus diingat bahwa k adalah j sedang j adalah
pangkat x dari deret penyelesaian persamaan diferensial orde dua, dengan harga paling
kecil nol. Karena j paling kecil nol, maka k paling kecil nol. Kalau k paling kecil nol,
maka paling besar = atau kita biasa menulis:
< (5-50)
atau:
m = 0 , + 1, +2, +3, . . . . . . . . . . + (5-51)
Penurunan Fungsi
Menurut (5-34) fungsi nya adalah : T = G(x) dengan G = H (menurut
2-31) sehingga:
T = H (5-52)
Karena x adalah cos , maka:
T = H (5-53)
Menurut (5-41), H = , sehingga:
77
Bab V Momentum Angular/
T = (5-54)
Karena fungsi dikehendaki hanya sampai suku k dengan k = , maka (5-54) dapat
ditulis:
T = . (5-55)
Karena penyelesaian pada dasarnya adalah salah satu kemungkinan genap, atau
ganjil, maka (5-55) dapat dipecah bentuknya menjadi:
T = . jika genap (5-56)
T = . jika ganjil (5-57)
Jika x kita kembalikan ke asalnya yaitu cos , maka:
T = . jika genap
(5-58)
T = . jika ganjil (5-59)
Koefisien a, mengikuti (5-44), yang setelah harga nilai eigen c, dimasukkan
menjadi:
= (5-60)
Setelah T diperoleh, maka (,) juga diperoleh, yaitu:
ei m (5-61)
dengan T adalah salah satu dari (2-49). Karena (,) ditentukan oleh dan m, maka fungsi
eigen momentum angular juga sering ditulis , sehingga:
= ei m (5-62)
78
Bab V Momentum Angular/
Contoh:
Sebuah partikel yang diperikan oleh bilangan kuantum = 3 dan m = 1, tentukan:
a) Komponen momentum Lz
b) Momentum angular L
c) Fungsi gelombang eigennya
Jawab:
a) Lz = m =
b) L = =
c) karena = 3 dan m = 1, maka m = 2, jadi fungsi genap, dan untuk menentukan
fungsi T kita gunakan (5-58):
T = .
= sin ( a0 + a2 cos2 )
a2 kita cari dari relasi:
=
=
a2 = a0 = a0
Jadi:
:T = sin ( a0 a0 cos2 ) = a0 sin (1 5cos2) = a0 sin (5cos2 1)
Harga a0 dicari dengan normalisasi:
= 1
d = r2 dr sin d d
Karena T hanya fungsi , maka :
= 1 atau:
79
Bab V Momentum Angular/
= 1 atau:
= 1
= 1/a02
25 10 +
= 1/a02
25 (12/105) 10 (4/15) +4/3 = 1/a02
160/105 = 1/a02
a0 = + = + = +
Kita pilih a0 = , supaya fungsi T
Jadi:
T = sin (5cos2 )
Karena T sudah diperoleh maka orbital momentum angularnya adalah:
= ei m
= sin (5cos2 ) ei
Cara lain menentukan fungsi T (fungsi )
Persamaan (5-38) sangat dikenal dalam matematika, dan disebut Persamaan Legendre
terasosiasi, Yang penyelesaiannya adalah:
= (1 - cos ) (cos - 1) (5-63)
80
Bab V Momentum Angular/
Penyelesaian (5-62) di atas disebut Polinomial Legendre terasosiasi, . Setelah
diperoleh, fungsi tetha T diperoleh dengan cara sebagai berikut:
(5-64)
Jika T sudah diperoleh maka ( ,m) segera diketahui.
Contoh: Sekarang kita akan mencoba menghitung 3,1) tetapi menggunakan
Polinomial Legendre.
Jawab:
Kita hitung dulu :
= (1 - cos ) (cos - 1)
= (1 - cos ) (cos - 1)3
= sin (cos - 1)3
Kita selesaikan dulu (cos - 1)3 dan supaya tampak sederhana cos kita ganti
x sehingga:
(cos - 1)3 = (x 1)3
= (x6 3x4 + 3x2 1)
= (6x5 12x3 + 6x)
= (30x4 36x2 + 6)
= (120x3 72x)
= (360x2 72) = (360 cos2 72) = 72 (5 cos2 1)
Jadi:
81
Bab V Momentum Angular/
= sin (cos - 1)3
= sin { 72 (5 cos2 1) }
= sin (5 cos2 1)
Setelah itu, T dapat ditentukan:
sin (5 cos2 1)
sin (5 cos2 1)
sin (5 cos2 1)
Akhirnya ( 3, 1) diperoleh, yaitu:
= ei m
( 3, 1) = sin (5cos2 ) ei
Soal-soal Bab 5
1. Buktikan commutator identitas berikut:
(a) [ , ] = = [ , ] (5-1)
(b) [ , n] = 0 (5-2)
(c) [k , ] = [ , k ] = k[ , ] (5-3)
(d) [ , + ] = [ , ] + [ , ] ;
[ + , ] = [ , ] + [ , ] (5-4)
(e) [ , ] = [ , ] + [ , ] ;
[ , ] = [ , ] + [ , ] (5-5)
82
Bab V Momentum Angular/
2. Buktikan [ , ] =
3. Buktikan [ x , ] = i
4. Dengan menggunakan [ x , ] = i dan commutator identitas, tentukan [ x , ]
5. Diketahui vektor A mempunyai komponen (3, 2, 6) dan vektor B komponennya (1,4,
4) .
Tentukan (a) harga skalar A dan B; (b) A + B ; (c) A B; (d) A . B (e) A x B;
(f) sudut antara A dan B.
6. Buktikan bahwa:
Jika f dan g masing-masing adalah fungsi koordinat, buktikan bahwa:
f . g = g f + 2 f . g + f g
7. Jika f = 2x2 5 xyz + z2 1, maka tentukan (a) gradien f ; (b) f
8. Buktikan bahwa cross vektor x = i
9. Tentukan [ , ]
10 . Tentukan koordinat polar dari titik-titik yang koordinat rektangularnya adalah:
(a) ( 1, 2, 0 ) ; (b) ( 1, 0, 3 ) ; (c) ( 3, 1, 2 ) ; (d) ( 1, 1, 1 )
Tentukan koordinat rektangular dari titik-titik yang koordinat polarnya adalah:
(a) ( 1, , ) ; (b) ( 2, ; 0 )
12. Tentukan kemungkinan-kemungkinan sudut antara L dengan z, jika = 2.
13. (a) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang bilangan kuantum momentum
angularnya adalah = 2, ada berapakah kemungkinan hasilnya ?
(b) Jika kita mengukur Lz dari sebuah partikel yang momentum angularnya adalah
, ada berapakah kemungkinan hasilnya ?
14. Pada saat tertentu, sebuah partikel mempunyai fungsi = N . (,
(a) Tentukan berapa momentum angular L nya ? (b) berapa Lz nya ?
(c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z ?
15. Fungsi orbital momentum angular sebuah partikel adalah:
83
Bab V Momentum Angular/
= A sin2 cos
(a) Tentukan berapa momentum angular L nya ?
(b) berapa Lz nya ?
(c) Berapa sudut antara L dengan sumbu z ?
16. Jika = 3 dan m = 3, tentukan fungsi gelombang orbital momentum angularnya .
===000===
84