04/21/23 1

BAB. 5 Gerak Parabola (Gerak Peluru)

04/21/23 2

g

v

Gerak parabola, gerak dengan jejak (lintasan)

berupa grafik parabola (konsep ideal).

Contoh gerak parabola, gerak yang terjadi da-

lam medan gravitasi (g).

Gerak parabola, gerak dalam bidang (dua di-

mensi), yaitu bidang yang dibuat oleh percepat-

an ( ) dan kecepatan ( ) yang membuat sudut.

Syarat yang harus dipenuhi agar gerak menjadi

grafik parabola adalah:

1. kecepatan gerak (v) tidak terlalu besar.

Pendahuluan.

04/21/23 3

2. nilai percepatan gravitasi bumi (g) tetap.

Syarat g tetap, akan dipenuhi jika jangkauan

tidak terlalu jauh (tinggi) dari permukaan bu-

mi.

3. kelengkungan bumi dan gesekan udara diabai-

kan (bumi dianggap bidang datar).

Analisis gerak parabola menggunakan koordinat

kartesian dua dimensi (x, y).

Sudut antara v dengan garis mendatar (sudut )

disebut sudut elevasi (sudut pelemparan).

Lanjutan.

04/21/23 4

1. Gerak Parabola (Gerak Dalam Bidang Datar).

x0

y

vo

vo cos

vo sin

ro

g

rg

H

vy

vx

v

G

g

rr

04/21/23 5

Gerak parabola merupakan paduan (jumlahan)

glb (pada sumbu x) dan glbb (pada sumbu y).

x = vo cos t t = x/vo cos glb

y = vo sin t - ½ g t2 glbb

Mengasilkan y = x tan - ½ g x2/vo cos2 atau y

= f (x2), yang menyimpulkan bentuk grafik

(lintasan) parabola.

Lanjutan.

04/21/23 6

Kecepatan gerak parabola setiap saat dipenuhi

dengan, dv = g dt (dalam hal ini besaran a = g)

Jika dihitung kecepatan partikel setiap saat (di

titik tertentu) akan diperoleh, v = vo + g t

Jika kecepatan gerak partikel dinyatakan de-

ngan komponen vektor maka menjadi,

i vx + j vy = i vo cos + j vo sin - g t j

Posisi partikel setiap saat dipenuhi dengan,

r = ro + vo t + ½ g t2

Analisis Gerak Parabola.

04/21/23 7

Jika posisi gerak partikel setiap saat dinyatakan

dengan komponen vektor maka persm menjadi,

i x + j y = yo j + i vo cos t + j vo sin t – ½ g t2 j

Persm posisi dan kecepatan jika dipisahkan maka

menjadi,

Gerak pada sumbu x,

Besar kecepatan partikel, vx = vo cos

Letak posisi partikel, x = vo cos t

Lanjutan.

04/21/23 8

Gerak pada sumbu y,

Besar kecepatan partikel,

Letak posisi partikel,

vy = vo sin t - g t

y = yo + vo sin t - ½ g t2.

Kecepatan partikel setiap saat, 22yx vvv

Lanjutan.

04/21/23 9

x0

y

vo

vo cos

vo sin

ro

g

rg

H

vy

vx

v

G

g

rr

titiktertinggi

titikterjauh

Lanjutan.

04/21/23 10

Letak posisi-posisi ekstrim pada gerak parabola

Titik tertinggi (H) dijangkau, jika partikel sudah

tidak akan naik lagi, maka dipenuhi vy = 0.

vy = vo sin - g tH = 0.

Dari persm tersebut, diperoleh waktu terbang (tH)

benda (partikel) untuk mencapai titik H (titik

tertinggi) yaitu:

g

vt oH

sin

Lanjutan.

04/21/23 11

Koordinat H (xH, yH)

2sin 2

sincos

2

g

v

g

vvx oooH

22

2

sin 2

sin

2

1sinsin

g

vy

g

vg

g

vvyy

oo

ooooH

Kecepatan partikel pada H adalah vo cos .

Lanjutan.

04/21/23 12

Titik terjauh, dipenuhi jika partikel sampai di

tanah (maka dipenuhi yG = 0).

Koordinat G (titik terjauh partikel jatuh).

yG = g t2 - 2 vo t sin - 2 yo = 0

Bentuk persm kuadrat dari t.

g

ygvvt oooG 2

8 sin 4 sin 2 22

)2,1(

Koordinat partikel menjadi (vo cos tG ; 0)22yx vvv Kecepatan partikel,

Ada dua nilai memenuhi, dan digunakan yang me-

menuhi syarat,

04/21/23 13

Contoh.

Peluru ditembakkan dari suatu tempat ketinggian 100 m dari permukaan tanah. Peluru vo = 80 m s-1 dengan membuat = 30o dengan bidang horison-tal. Berapa ketinggian maksm yang dicapai peluru tersebut ? Dimana dan dengan kecepatan berapa peluru tersebut jatuh di tanah ? g = 10 m s-2.

Penyelesaian.

Lihat gambar gerak parabola di depan !.

Jika titik tertinggi H, maka koordinat H menjadi

04/21/23 14

x0

y

vo

vo cos

vo sin

ro

g

H

g

yH = 180 m

titiktertinggi

titikterjauh

xH = 160√3 m

xG = 400 √3 m

G

04/21/23 15

Sambungan.

22

sin 2 g

vyy ooH

m 18030sin)10( 2

80100 2

2

Hy

m 316060sin)10( 2

80 2sin

2

22

ooH g

vx

Koordinat titik tertinggi, H (160√3; 180) m

g t2 - 2 vo t sin - 2 yo = 10 t2 – 80 t – 200 = 0

Peluru jatuh di titik G, maka

04/21/23 16

t2 – 8 t – 20 = 0 (t – 10)(t + 2) = 0

Waktu terbang peluru adalah 10 detik.

xG = vo tG cos = (80) (10) ½ √3 m

= 400 √3 m Koordinat titik G atau peluru di bumi G (400√3; 0)

Kecepatan jatuh = ( vo cos )2 + (vo sin - g tG)2

= (40√3)2 + (40 – 100)2 = 4800 + 3600 = 8400 m s-1

Kecepatan partikel menumbuk tanah 20 √21 m s-1

( vo).

04/21/23 17

Arah kecepatan peluru jatuh di G, tan = vx /vy.

Tetapi jika peluru ditembakkan dari permukaan

tanah (yo = 0), besar kecepatan dan arah sam-

pai di tanah akan sama dengan saat awal peluru

ditembakkan, hanya arahnya yang berlawanan.

tan (40√3)/(- 60) = - (2/3)√3, = ……

04/21/23 18

Contoh.

Penyelesaian.

Dua peluru memiliki jangkauan R membutuhkan waktu t1 dan t2 untuk mencapai ketinggian ma-sing-masing. Buktikan t1 t2 = 2 R/g !

R

R = v cos t.

t = (2 v sin )/g.

sin2 + cos2 = 1

g2 t2/4 v2 + R2/v2 t2 = 1 g2 t4 – 4 v2 t2 + 4 R2 = 0

x2 = t2 g2 x2 – 4 v2 x + 4 R2 = 0.

04/21/23 19

terbukti, 2

442

2

212

2

21

g

R

g

Rtt

g

R

a

cxx

04/21/23 20

2. Gerak Vertikal (Jatuh Bebas)

Gerak vertikal ke atas dapat dianggap, sebagai

gerak parabola khusus [yaitu sudut elevasi ben-da

= 90o, (nilai cos 90o = 0 dan sin 90o = 1)].

Persm gerak peluru tegak lurus, identik gerak lu-

rus vertikal (gerak dalam sb. y).

y j = yo j + vo j t + ½ g (- j) t2

Persm gerak ke atas (tegak lurus) menjadi,

y = yo + vo t - ½ g t2

Persm gerak ke bawah (tegak lurus dihempaskan)

menjadi, y = yo + vo t + ½ g t2

04/21/23 21

Jika partikel (peluru) dilempar ke atas, maka

suatu saat partikel akan mencapai puncak.

Partikel akan mencapai puncak dipenuhi v = 0.

Jika v = 0, akan dipenuhi vo = g t.

Koordinat puncak menjadi, y = yo + g

vo2

2

Kecepatan partikel, pada suatu posisi setiap saat

dinyatakan sebagai,

v2 = vo2 ± 2 g y.

04/21/23 22

Seorang melempar benda (secara tegak lurus)

dengan kecepatan awal 40 m s-1 dari ketinggian

45 m. Berapakah ketinggian yang dicapai benda

tersebut dan dengan kecepatan berapa benda

akan menumbuk tanah ? g = 10 ms-2.

Contoh.

Penyelesaian.

Benda mencapai titik tertinggi, y = yo + g

vo2

2

y = 45 m + (1600/20) m = 125 m.

04/21/23 23

Kecepatan menumbuk tanah, v2 = vo2 + 2 g y.

v2 = (40)2 + 2 (- 10)(- 45) = 1600 + 900

= 2500 m2 s-2.

Besar kecepatan benda menumbuk tanah, v

= 50 m s-1, dengan arah ke bawah.

04/21/23 24

Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian h. Se-telah

t detik batu kedua dijatuhkan ke bawah dengan

diberi kecepatan v. Kedua benda me-ngenai

permukaan tanah secara bersamaan. Per-syaratan

apa yang diperlukan agar hal tersebut dapat

terjadi ?

Contoh.

Penyelesaian.

Batu pertama, h = ½ g t12 atau

g

ht

21

Batu kedua, h = v (t1 + t) + ½ g (t1 + t)2.

04/21/23 25

2

2

2 22

t

g

hgt

g

hvh

2

2 2

2

2 2 2 t

g

ht

g

hgt

g

hvh

2 8 2

20 tgghttg

hv

tvtgg

hvt

g

h 2

8

8 2

Persm di atas dikuadratkan dan dikalikan g men-

jadi,

04/21/23 26

8 h (g2 t2 + v2 - 2 v t) = g t2 (g2 t2 + 4 v2 – 4 v g t)

8 h (g t - v)2 = g t2 (g t - 2 v)2

bersamaanjatuh akan benda2

8

Dipenuhi

22

gtv

gtvtgh

04/21/23 27

Beberapa buah benda dilepas dari ketinggian yang sama bergerak menuju tanah dengan jalan yang berbeda-beda tanpa geseran (lihat gambar). Bukti-kan kecepatan benda sampai di tanah sama !

Contoh.

Penyelesaian.

β

s2s1

BA

ggh

g sin βg sin

04/21/23 28

lanjutan.

Benda A menempuh jarak s1 dengan memiliki per-

cepatan g sin dan B, s2 dengan percepatan g sin

β. Persm gerak benda A, mencapai tanah dengan

waktu t1, s1 = ½ g sin t12.

hgsg

g

sgtgv

g

st

2sin 2

sin

2sin sin

sin

2

1

111

11

Dalam hal ini t1 akan,

04/21/23 29

lanjutan.

Persm gerak benda B mencapai tanah dengan

waktu t2, lintasan ditempuh s2 = ½ g sin t2.

Dalam hal ini t2 akan sama dengan,

hgsg

g

sgtgv

g

st

2sin 2

sin

2sin sin

sin

2

2

222

22

04/21/23 30

lanjutan.

Kecepatan benda sampai di tanah hanya tergan-

tung pada ketinggian benda (h) dan tidak tergan

tung pada jalan atau lintasan.

Perhatikan v1 = v2, terbukti !.

04/21/23 31

3. Gerak Parabola Dalam Bidang Miring

Gerak parabola dalam bidang miring merupakan

gerak parabola dengan sumbu x tidak menunjuk-

kan garis horizontal tetapi miring.

Analisis gerakan tersebut identik dengan gerak

parabola horizontal [sumbu datar (sb x)] dengan

dilakukan transformasi.

Sudut β merupakan sudut bidang miring.

Bidang miring dijadikan sebagai sumbu x yang

baru dan dibuat sumbu y baru (sb. y baru sb. x

baru).

04/21/23 32

0 β

vo

g cos β

g sin β

g

vo cos

vo sin y

x

x = vo t cos – ½ g t2 sin β

y = vo t sin – ½ g t2 cos β

Persm gerak parabola,

Analisis gerakan, untuk seterusnya sama dengan

gerak peluru dalam bidang datar.

04/21/23 33

Contoh.

Sebuah bola elastis dijatuhkan di atas bidang mi-

ring dengan tinggi h. Bola tersebut terpantul dan

jatuh pada bidang miring dalam titik yang ber-

beda dan seterusnya (bola terpantul dan jatuh

pada bidang miring dalam posisi yang berbeda-

beda), (lihat gambar). Jika jarak antara posisi

pertama (1) bola jatuh dan posisi kedua (2), d12

dan jarak jatuh antara titik kedua (2) dan ketiga

(3) adalah d23.

23

12

d

dTentukan perbandingan jarak !

04/21/23 34

θ

θθ

Vo=√2gh

d12

d23

1

2

3

θ

g

g sin θ

gambar gerakan bola.

04/21/23 35

Kecepatan benda pada posisi (1) vo = √2gh.

Persm gerak pada sb. y menjadi,

y = vo t cos θ – ½ g t2 cos θ .

Mencapai bidang miring kembali y = 0 sehingga

diperlukan waktu t = (2 vo)/g.

Jarak tempuh bola jatuh d12 akan menjadi,

d12 = vo t sin θ + ½ g t2 sin θ

sin 8 sin4

sin 2

sin 2

2

2

2

112

hg

v

g

vg

g

vvd

o

ooo

04/21/23 36

sin4 nilaiberlaku 2

2323 g

vdd

)sin81( 2 2 hgv

sin) sin8(1 8 menjadi 223 hd

Besar nilai v adalah benda jatuh pada ketinggian,

h + 8 h sin2 θ atau h (1 + 8 sin2 θ)

Sehingga kecepatan pada posisi (2) menjadi,

223

12

sin81

1an Perbanding

d

d,nilai tetap.

04/21/23 37

04/21/23 38