BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri...

28
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a) 30˚ (c) 590˚ (b) (d) Penyelesaian (a) (b) y x 30° y x 3 4

Transcript of BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri...

Page 1: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI

(Jangka waktu : 9 sesi)

Sesi 1

Sudut Positif dan Sudut Negatif

Contoh

Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu

berada.

(a) 30˚ (c) 590˚

(b)

(d)

Penyelesaian

(a)

(b)

y

x 30°

y

x

3

4𝜋

Page 2: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(c)

(d)

Sinus, Kosinus, dan Tangen

y

x

7

3𝜋

c b

a

𝜃

sin𝜃 =𝑏

𝑐

kos 𝜃 =𝑎

𝑐

t n𝜃 =sin𝜃

kos 𝜃=𝑏

𝑎

Page 3: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Contoh

Jika t n =

, dengan 80° 360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin dan

kos .

Penyelesaian

sin =

kos =

Sesi 2

Sekan, Kosekan, dan Kotangen

-5

-12 13

𝜃

c b

a

𝜃

sek 𝜃 =

kos𝜃=𝑐

𝑎

kosek 𝜃 =

sin𝜃=𝑐

𝑏

kot 𝜃 =

t n𝜃=𝑎

𝑏

Page 4: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Contoh

Diberi ialah sudut refleks dengan sek =

. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,

nilaikan

(a) kot

(b) kosek

(c) sin kos

Penyelesaian

sek =5

4

sek =

kos =

5

4

kos =4

5

(a) kot =

=

=

(b) kosek =

=

=

(c) sin kos

=

=

4

5 -3

𝜃

Page 5: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

SUDUT PELENGKAP

sin = kos(90 )

kos = sin(90 )

t n = kot(90 )

sek = kosek(90 )

kosek = sek(90 )

kot = t n(90 )

SUDUT NEGATIF

sin( ) = sin

kos( ) = kos

t n( ) = t n

SUKUAN SETARA

[Sukuan II]

sin = sin( 80° )

kos = kos( 80° )

t n = t n( 80° )

[Sukuan III]

sin = sin( 80°) kos = kos( 80°)

t n = t n( 80°)

[Sukuan IV]

sin = sin(360° )

kos = kos(360° )

t n = t n(360° )

Page 6: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Sesi 3

Sudut-Sudut Khas ° ° °

Contoh

Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi

(a) sin 5°

(b) sek 660°

(c) sin 50° kot( 50°)

Penyelesaian

2

1

3

30°

60°

45°

1

1

sin 30° =

sin60° =

3

kos 30° = 3

kos 30° =

t n 30° =

3 t n 60° = 3

sin 45° =

kos 45° =

t n 45° =

Page 7: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(a) sin 5°

= sin 45°

=

(b) sek 660°

=

kos 660°

=

=

=

(c) sin 50° kot( 50°)

= sin 50°

t n( 50°)

= sin 50°

( t n 50°)

= sin 50°

t n 50°

= sin 30°

( t n 30°)

= sin 30°

t n 30°

=

=

=

660°

50°

Page 8: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Sesi 4

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° 360°.

(a) kos = 0 9063

(b) sin = 0 669

(c) sin =

(d) kosek

=

(e) 2 t n (

60°) 3 =

Penyelesaian

(a) kos = 0 9063

0° 360°

= 55° 05°

(b) sin = 0 669

0° 360°

0° 7 0°

= 4 ° 38° 40 ° 498°

= ° 69° 0 ° 49°

(c) sin =

sin =

0° 360°

= 45° 35°

45°

Page 9: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(d) kosek

=

=

sin

=

0° 360°

80°

= 60° 0°

= 0° 40°

(e) t n (

60°) 3 =

Contoh 2

Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° 360°.

(a) 3 sin kos =sin

(b) kot = t n( )

(c) 4 t n kot 3 = 0

Penyelesaian

(a) 3 sin kos = sin

3 sin kos sin = 0

sin (3kos ) = 0

sin = 0 3 kos = 0

= 0° 80° 360° kos =

3

0° 360°

= 70 53° 89 47°

= 0° 70 63° 80° 89 47° 360°

60°

Page 10: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(b) kot = t n ( )

kot = t n

(

t n ) = t n

= t n

t n =

t n = 4 4

0° 360°

= 54 73° 5 7° 34 73° 305 7°

(c) 4 t n kot 3 = 0

Page 11: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Sesi 5

Melakar graf fungsi trigonometri

= sin

= sin ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian.

Nilai maksimum bagi sin ialah 1 apabila = 70° 90° 450°

Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 450° 90° 70°

Amplitud =

= kos

= kos ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian.

Nilai maksimum bagi kos ialah 1 apabila = 369° 0° 360°

Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 80° 80° 540°

Amplitud =

Amplitud

Kala

= sin

-2

-1

0

1

2

-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450

Kala

Amplitud = kos

Page 12: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

= t n

= t n ialah satu fungsi berkala dengan kala 80° atau i n

= t n adalah tak tertakrif apabila = 70° 90° 90° 70° Maka, = t n

tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.

Graf bagi = t n menghampiri garis-garis menegak = 70° = 90° = 90° =

70° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.

Contoh 1

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 .

(a) = 3 sin

(b) = 3kos

(c) = |kos |

Penyelesaian

(a) = 3 sin

=

=

Asimptot

Kala

𝑦 = t n 𝑥

360° 80° 360° 80° 0

y

x

Page 13: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(b) = 3kos

=

=

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

= 3 sin

= sin

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

= 3kos

= 3kos

Page 14: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(c) = |kos |

=

=

Contoh 2

Lakarkan graf bagi = t n bagi 0° 360°.

Penyelesaian

-1

0

1

y

x

𝑦 = t n 𝑥

𝑦 = t n 𝑥

Page 15: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Contoh 3

Lakarkan graf bagi = |sin

| bagi 0° .

Penyelesaian

=

3

=

3

Sesi 6

Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf

Contoh (SPM 2011)

(a) Lakarkan graf bagi = 3 sin

untuk 0 [4 markah]

(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi

3 sin

= 0 untuk 0 . Nyatakan bilangan

penyelesaian itu. [3 markah]

Page 16: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Penyelesaian

(a) = 3 sin

=

3

=4

3

(b)

Page 17: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Identiti Asas

Pembuktian

=

( ) (

)

(

)

=

kos sin =

sin

kos

sin

sin

sin =

sin

kot = kosek

kos t n = sek

Contoh

Buktikan

(a)

= sek

(b) sin kos t n = kos

(c) t n kot = sek kosek

Penyelesaian

(a)

=

sin

=

kos

= sek (te ukti)

b c

a

𝜃

sin 𝐴 kos A =

kot A = kosek 𝐴

t n 𝐴 = sek 𝐴

1

1

1

Page 18: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(b) sin kos t n = sin kos (

)

= sin

= kos (te ukti)

(c)

Sesi 7

Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas

Contoh 1

Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° .

(a) t n sek = 3 t n

(b) kosek = kot 3

(c) 3 sin 5kos 5 = 0

Penyelesaian

(a) t n sek = 3 t n

t n t n = 3 t n

t n 3 t n = 0

( t n )(t n ) = 0

t n = 0 t n = 0

t n =

t n =

= 6 57° 06 57° = 45° 5°

= 6 57° 45° 06 57° 5°

Page 19: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(b) kosek = kot 3

( kot ) = kot 3

kot kot 3 = 0

kot kot = 00

( kot )(kot ) = 0

kot = 0 kot = 0

kot =

kot =

t n =

t n =

t n = t n =

= 6 57° 96 57° = 45° 5°

= 45° 6 57° 5° 96 57°

(c)

Contoh 2

Tunjukkan bahawa sek =

Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan

trigonometri

= 4 , untuk 0

Penyelesaian

sin

sin =

sin sin

sin

=

kos

= sek (te tun uk)

Page 20: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

sin

sin = 4

sek = 4

sek =

kos =

kos =

kos = √

=

=

4 3

4 5

4 7

4

Rumus penambahan

sin( ) = sin kos sin kos

sin( ) = sin kos sin kos

kos( ) = kos kos sin sin

kos( ) = kos kos sin sin

t n( ) =t n t n

t n t n

t n( ) =t n t n

t n t n

Contoh

Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan

(a) sin 55° = ( )

(b) (b)t n 5° =

(c) sin( 60°) kos( 60°) =

(sin kos )

Page 21: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Penyelesaian

(a) sin 55° = sin 75°

= sin(45° 30°)

= sin 45°kos 30° sin 30° kos 45°

= *

( 3

)

(

)+

= * 3

+

= * 3

+

= ( 3 )

4 (te tun uk)

(b) t n 5° = t n(45° 30°)

=t n 45° t n 30°

t n 45° t n 30°

= (

3) (

3)

= ( 3

3) (

3

3)

= ( 3

3) (

3

3 )

= 3

3 (te tun uk)

(c) sin( 60°) kos( 60°)

= (sin kos60° sin 60° kos ) (kos kos 60° sin sin 60°)

=

sin

3

kos

kos

3

sin

=

sin

3

sin

kos

3

kos

= (

3

) sin (

3

) kos

= ( 3

) (sin kos ) (te tun uk)

Page 22: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Sesi 8

Rumus Sudut Berganda

sin = sin kos

kos = kos sin

= kos

= sin

t n = t n

t n

Rumus Sudut Separuh

sin = sin

kos

kos = kos

sin

= kos

= sin

t n = t n

t n

Contoh 1

Diberi kos =

dan ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai

(a) sin ( ) t n (e)kos

(b) kos ( )kos 4

Page 23: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Penyelesaian

(a) sin = sin kos

= (3

5) (

4

5)

= 4

5

(b) kos = kos

= ( 4

5)

= ( 6

5)

=3

5

=7

5

(c) t n =

= 4

5

7

5

= 4

5

5

7

= 4

7

(d) kos 4 = kos ( )

= kos

= (7

5)

= (49

6 5)

=98

6 5

= 5 7

6 5

3 5

-4

𝜃

Page 24: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

(e)

Contoh 2

Diberi t n = dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.

Penyelesaian

kos = kos

= (

√ )

=

=

=

=

p

1

𝜃

Page 25: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Contoh 3

Tunjukkan bahawa

= t n .

Penyelesaian

sin

kos =

sin kos

( kos A )

= sin kos

kos

= t n (te tun uk)

Contoh 4

Buktikan

= kot

.

Penyelesaian

sin kos

sin kos

= sin

kos

kos

sin kos

( sin

)

= sin

kos

kos

sin kos

sin

= kos

(sin

kos

)

sin (kos

sin

)

= kot

(te ukti)

Page 26: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

Sesi 9

Menyelesaikan persamaan trigonometri

Contoh 1

Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya

(a) 5 sin kos = 0

(b) kos sin = 0

(c) t n = 3 t n

Penyelesaian

(a) 5 sin kos = 0

5 sin kos =

sin kos =

5

( ) sin kos = 4

5

sin = 4

5

0° 360°

0° 360°

= 33 3° 306 87° 593 3° 666 87°

= 6 57° 53 44° 96 57° 333 44°

(b) kos sin = 0

sin sin = 0

sin sin = 0

( sin )(sin ) = 0

sin = 0 sin = 0

sin =

sin =

= 30° 50° = 70°

= 30° 50° 70

(c) t n = 3 t n

t n

t n = 3 t n

t n = 3 t n 3 t n

3 t n t n = 0

t n (3 t n ) = 0

Page 27: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

t n = 0 3 t n = 0

= 0° 80° 360° t n =

3

t n =

3

= 30° 50° 0° 330°

= 0° 30° 50° 80° 0° 330° 360°

Contoh 2

Diberi sin( ) =

dan sin( ) =

, tunjukkan bahawa sin kos =

dan

kos sin =

. Seterusnya, buktikan bahawa 3 t n kot = 0.

Penyelesaian

sin( ) =

sin kos sin kos =

sin( ) =

sin kos sin kos =

Daripada : sin kos =

sin kos

Gantikan ke dalam :

sin kos

sin kos =

4

sin kos =

4

sin kos =

8

sin kos A =

(

8)

=3

8

1

2

1 3

3 2

Page 28: BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI Sesi 1 Sudut Positif dan … · Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua

3 t n kot =3 s n

kos

kos

sin

=3 sin kos

kos sin

=3 (

8)

38

= ( 3

8) (

8

3)

=

= 0 (te ukti)