Bab 5 : Fungsi Trigonometri -...
Transcript of Bab 5 : Fungsi Trigonometri -...
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
1
Peta Konsep
______________________________________________________
5.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen
Hasil Pembelajaran
Melakar graf fungsi trigonometri
(a) y = c + a sin bx
(b) y = c + a kos bx
(c) y = c + a tan bx
dengan a, b dan c ialah pemalar dan b > 0
Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri dengan
menggunakan lakaran graf.
Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan graf-graf terlukis
( Sila Rujuk Modul Powerpoint Yang Disediakan Bersama )
Bab 5
FUNGSI TRIGONOMETRI
5.3 Graf Fungsi Sinus,
Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5 Rumus Penambahan dan Rumus
Sudut Berganda
5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5.2 6 Fungsi Trigonometri Bagi
Sebarang Sudut
FUNGSI TRIGONOMETRI
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
2
Hasil Pembelajaran 1: Melakar Graf Fungsi Trigonometri
A. Graf Fungsi Sinus
1. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut.
Contoh 1: 20,sin2 xxy
(a) 20,sin4 xxy
Contoh 2: 20,2sin2 xxy
(b) 20,2sin3 xxy
kala kala
Amplitud
y = c + a sin bx,
a = amplitud
b = bilangan kala dalam 3600 atau
2π
c = bilangan anjakan
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
-2
2π π 0 x
2
y
-2
2π π 0 x
2
y Semak : a= 2 b = 2 c = 0
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
3
(c) xxy 0,2sin
(d) 2
30,2sin3 xxy
Contoh 3: 20,sin2 xxy
(e) 20,sin xxy
Contoh 4 : 20,1sin2 xxy
(f) 20,1sin3 xxy
Contoh 5 : xy sin2 20 x
(g) 1sin5 xy , 20 x
x
-2
0
-2
2π π 0 x
2
y
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
-1
2π π 0 x
3
y
Semak :
a= 2
b = 1
c = 1
1
2π π
2
y
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
4
B. Graf Fungsi Kosinus
2. Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut.
Contoh 1 : 20,cos3 xxy
(a) 20,cos2 xxy
Contoh 2 : 20,cos3 xxy
(b) 20,cos2 xxy
-3
2π π
y
3
x
y
kala kala
y = c + a cos bx,
a = amplitud
b = bilangan kala dalam 3600 atau
2π
c = bilangan anjakan
0
x
3
0 2π π
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
5
Contoh 3 : 20,1cos3 xxy
(e) 20,1cos2 xxy
Contoh 4 : 20,2
3cos3 xxy
(f) 20,2
3cos5 xxy
Contoh 5 : 20,2
3cos xxy
(g) 20,2
3cos4 xxy
-1
2π π
-2
4
x 0
y
x
-3
y
2π π
3
x 0
x
y
2π
1
π 0
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
Semak :
a= 2
b = 1
c = 0
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
6
C. Graf Fungsi Tangen
Contoh 1 : 20,2tan xxy
(a) 20,2tan2 xxy
Contoh 2 : 20,tan xxy
(b) xxy 0,2tan
Contoh 3 : 20,tan xxy
(c) xxy 0,2tan
x
-3
2π
2π
Asimtot
Kala kala
y = c + a tan bx,
a = amplitud
b = bilangan kala dalam 3600 atau
2π
c = bilangan anjakan
0
y
-3
π
3
x
-3
0 π x
y
2π
3
0 π
y
3
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
7
Aktiviti Berkumpulan : “JOM LAKAR”
Arahan :
1. Bentukkan kumpulan ( 3 – 4 orang satu kumpulan )
2. Setiap kumpulan mendapat sekeping papan putih ( saiz kecil ) dan pen marker atau kertas A4
( beberapa helai )
3. Guru memaparkan soalan ini tahun demi tahun dan setiap kumpulan dikehendaki
melakarkan graf fungsi trigonometri tersebut dalam masa 3 minit.
4. Wakil setiap kumpulan akan mempamerkan jawapan masing-masing.
5. Guru memberi markah kepada hasilan pelajar.
5. Setelah selesai semua soalan ( mengikut kesuaian masa ) . Guru memberi hadiah kepada
kumpulan yang menang.
6. Guru membuat kesimpulan dan membincangkan analisis soalan secara keseluruhan.
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
8
Analisis Soalan SPM Kertas 2 Bahagian A : ( 2003 – 2015)
Tahun Jenis Graf Fungsi
Trigonometri
Julat Lakaran Graf
2003 xkosy
2
32
20 x
2004 xkosy 22 00 1800 x
2005 xkosy 22 20 x
2006 xkosy 22 20 x
2007 xkosy 23 20 x
2008 xy 2tan x0
2009 xkosy 2
2
3
2
30 x
2010 kosxy 31 20 x
2011 xy
2
3sin3
20 x
2012 12 kosxy 20 x
2013 Tiada soalan lakaran graf
2014 xy 2tan1 x00
2015 xkosy 2 00 3600 x
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
9
Hasil Pembelajaran 2 :
Menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan
trigonometri dengan menggunakan lakaran graf.
Untuk menentukan bilangan penyelesaian bagi sesuatu
persamaan trigonometri :
(i) asingkan ungkapan trigonometri daripada
ungkapan bukan trigonometri dahulu.
(ii) kemudian, lakarkan kedua-dua gaf fungsi itu pada
rajah yang sama.
(iii) bilangan penyelesian bagi persamaan trigonometri
itu diwakili oleh bilangan titik persilangan bagi
dua graf fungsi itu.
______________________________________________________________ Contoh 1 :
Lakarkan graf xxkosy 0 bagi ,12 . Daripada graf itu,
(a) Nyatakan koordinat titik maksimum dan minimum bagi graf y = kos2x + 1,
(b) Tentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan trigonometri
( i ) ,12 xkos
( ii ) xxkos 824
Info :
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
10
Penyelesaian :
Langkah 1:
xxkosy 0 bagi ,12
(ii)
Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf y = kos 2x +1 dengan graf
4
32 xy
Maka persamaan trigonometri xxkos 824 mempunyai satu penyelesaian.
-1
2π π
y
1
x 0
2π π
y
2
x 0
Langkah 2 :
y
2
x 0
4
32
14
1212
4
82
824
xy
xxkos
xxkos
xxkox
Lakarkan graf 4
32 xy
pada rajah yang sama.
(a) Daripada graf, koordinat titik maksimum
ialah ( 0, 2 ) dan ( 2π, 2).
Koordinat titik minimum ialah ( π, 0)
(b)
( i ) Kos 2x = -1
Kos 2x + 1 = 0
y =kos2x+ 1 dan y = 0,
Daripada graf, terdapat satu titik persilangan bagi graf y = kos 2x + 1 dengan
paksi-x, Maka persamaan trigonometri kos 2x = -1 mempunyai satu penyelesaian.
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
11
Contoh 2 :
(i) Lakarkan graf bagi y = 2 sin 2x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
(ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang
sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2
2sin
xx
bagi 0 ≤ x ≤ 2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
Penyelesaian :
( i )
12
12
2sin2
2
12sin
22sin
xy
xx
xx
xx
Bilangan penyelesaian = 3
x 0 π 2π
y -1 1 3
2π π 0 x
2
y
Tip
Langkah penyelesaian
(i) Lakarkan graf
(ii) Cari Persamaan garis lurus
(iii) Lukiskan garis lurus
(iv) Nyatakan bilangan titik
penyelesaian
Plotkan garis lurus ini
Pilih 2 atau 3 nilai x yang sesuai dan cari
nilai y yang sepadan.
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
12
Latihan Format SPM Kertas 2
1 (a) Lakarkan graf bagi y = |5 sin 2
3x| bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 4 markah ]
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan
5 − |5 sin 2
3x| =
x
2π bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah ]
2 (a) Lakarkan graf bagi y = - 2 kos 3x bagi 0 ≤ x ≤ π. [3 markah]
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan xkosx 3234
bagi 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [4 markah]
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
13
3 (a) Lakarkan graf bagi y = sin 2x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan bagi xx 2sin4 bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [7 markah]
4 (a) Lakar graf bagi y = 2 kos x + 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π. [4 markah]
(b) Jika garis y = k dilukis pada paksi yang sama, cari julat nilai k atau nilai k jika
k – 1 = 2 kos x
(i) tiada penyelesaian,
(ii) mempunyai satu penyelesaian. [2 markah]
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
14
5 (a) Lakar graf xy 2tan2 untuk x0 [3 markah]
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 62tan22 x untuk x0 .
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
[3 markah]
6.(a) Lakarkan graf bagi y = 5 kos 3x bagi 0 ≤ x ≤ π. [ 4 markah]
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −10x
π + 7 − 5 kos 3x = 0 bagi 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
[3 markah ]
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
15
7.(a) Lakarkan graf bagi y = −3 sin x bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 3 markah ]
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu graf yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −π
x − 3 sin x = 0 bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah ]
8 (a) Lakarkan graf bagi y = tan 2x bagi 0 ≤ x ≤ π.
.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 02tan43
xx
bagi 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [6 markah ]
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
16
9. (a) Lakarkan graf bagi xy 2sin3 bagi 0 ≤ x ≤ 2π [4 markah]
(b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang bersesuaian untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan - 2 + x2sin3 = 2
x for 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian tersebut. [3 markah]
10 (a) Lakarkan graf bagi y = −1 − 3 kos x bagi 0 ≤ x ≤ 2π. [ 4 markah ]
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan −6π kos x = −2π + 2x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [ 3 markah]
Selamat mencuba..!!!
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
17
Permarkahan :
Apa yang pelajar perlu tahu dan ingat…
Lakaran yang salah
(i) (ii)
Garis lengkung tidak boleh melebihi
atau tidak menyentuh garis amplitud
Pada garis lurus, pelajar
mesti fokus kepada nilai
pintasan –y dan bentuk
kecerunan
Kalaan mestilah tepat dengan julat yang diberi dalam soalan
Graf tajam graf mendatar
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
18
Jawaban :
1(a)
5
b ) 52
xy
Bil Penyelesaian = 6
2(a)
(b) −4x
π + 3 + 2 cos 3x = 0
y = −4x
π + 3
Bila x = 0, y = 3
Bila x = π, y = −1
Bilangan Penyelesaian = 3
3 (a)
22
3
20
(b)
4 sin 2x = 1 − x
π
sin 2x = 1
4 −
x
4π
y = 1
4 −
x
4π
Bilangan Penyelesaian = 5
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
19
4.
5.
Lukis 3y di atas paksi yang sama
Bil. Penyelesaian = 4
6. (a)
(b) 5 kos 3x = −10x
π + 7,
Bil. penyelesaian=2
3
π π/2 0
(i) k > 3, k < −1
(ii) k = −1
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
20
7. (a)
(b) y = π
x ,
Bil. penyelesaian = 2
8. (a)
(b) y = −3x
π + 4,
Bil.penyelesaian= 2
9. (a)
(b) y = 2 + x
2π ,
Bil. penyelesaian = 8
Bab 5 : Fungsi Trigonometri
21
10. (a)
(b) 𝑦 =𝑥
𝜋− 2,
Bil. penyelesaian = 2
Selamat Maju Jaya!!