Sistem Bilangan Kompleks1KompleksBilangan KompleksKurva dan DaerahLimit dan Fungsi KompleksFungsi ElementerNotasiSebuah bilangan kompleks dapat disajikan dalam dua bentuk :1.2.iy x z + =( ) y , x z =2Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungx adalah bagian riildan y bagian imaginernya dan bisa dituliskan sebagaiRe z = x , Im z = yContoh bilangan kompleks : 2+3i, i,1i, 3( ) 2 i 3 2 Re = + ( ) 3 i 3 2 Im = + ( ) 1 i 1 Im = Bidang KompleksKeteranganSuatu bilangan kompleks bisa digambarkan dalam suatu bidang kompleks seperti Y (Imaginer) - axisy1o z =x1+ i y13Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungbidang kompleks seperti menggambarkan suatu titik pada bidang kartesius XY. Sumbu x : sumbu riilSumbu y: sumbu imaginerX (Real )-axis x1Operasi Operasi dalam bilangan kompleksBila dan1. Penjumlahan1 1 1y i x z + =2 2 2y i x z + =) y y ( i x x z z2 1 2 1 2 1+ + + = +4Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung2. Perkalian3. Pembagian ) y x y x ( i y y x x z . z1 2 2 1 2 1 2 1 2 1+ + =( )( )( )( )22222 1 1 222222 1 2 12 2 2 22 2 1 12 21 121y xy x y xiy xy y x xiy x iy xiy x iy xiy xiy xzz++++= + +=++=Operasi Operasi dalam bilangan kompleksContohDiketahui z1= 1+i dan z2= 22i , Penjumlahan5Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungPenjumlahanPerkalianPembagiani 3 ) 2 1 ( i 2 1 z z2 1 = + + = +4 ) 1 . 2 2 . 1 ( i ) 2 . 1 ( 2 . 1 z . z2 1= + + =( )( )( )i21i84802 22 . 1 1 . 2i2 2) 2 . 1 ( 2 . 1zz2 2 2 221= + = + + + +=Sifat sifat operasi1. Komutatif2. Assosiatif1 2 2 1z z z z + = +1 2 2 1z . z z . z =( ) ( ) z z z z z z + + = + +6Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung3. Distributif4. Identitas / lainnya( ) ( )3 2 1 3 2 1z z z z z z + + = + +( ) ( )3 2 1 3 2 1z z z z z z =( )3 1 2 1 3 2 1z z z z z z z + = +z 0 z z 0 = + = +z 1 . z =0 z ) z ( ) z ( z = + = +Bilangan SekawanDefinisiBilaz = x+iy maka sekawan dari z dinotasikan dengan yang memiliki rumusan berikut :zoz Y (Imaginer-axis)y17Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungmemiliki rumusan berikut :Bila dikaitkan dengan nilai z dan .maka bagian riil dan imaginer bisa dinyatakan sebagaidan iy x z =z( ) z z21x + =( ) z zi 21y =x1y1 o zSoalsoallatihan1. Diketahui , Hitunga. d.b.i 2 z1+ = i 4 3 z2 =2 1z zz 2 z 3 +2 11z zz+8Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungb.c. e.2. Tentukan a. b. c.2 1z 2 z 3 +( )22 1z z +2 1z z +21zzRei 11Rei 1i 2Im+( )6i 1Soalsoallatihan3. Tentukana.b.c.( ) iz z Re2+( ) i z 2 z Im2+ +( ) z z Im9Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungc.4. Bila z = 1ia.b.c.( ) z z Im( )2z z( )2z z +( )2i z i z Bentuk PolarBilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter r dan dengan hubungan sebagai berikut : Cos r x = Sin r y =10Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungr : disebut modulus z, r juga dinotasikan dengan | z | : disebut argumen z, biasa disingkat dengan arg zJadi z bisa dituliskan dalam bentuk : Sin r y =( ) ( ) sin i cos r sin r i cos r z + = + =Bentuk PolarGambarriy z111Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungr11xr22z2Bentuk PolarDari hubungan x,y terhadap r dan maka r dan dapat dinyatakan dalam bentuk :Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik asalnya 2 2y x r + = ||

\|=xytg arc 12Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungSecara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik asalnya (0,0) sedangkan merupakan sudut z yang diukur dari sumbu x positif dan tidak terdefinisi pada z = 0. Nilai prinsipil didefinisikan padaKarena sifat dari yang berulang ,seringkali kita hanya menggunakan nilai pada selangtersebut. < OperasiPerkalian dan PembagianUntuk mempermudah dapat digunakan sifat operasi sebelumnya untuk mendapatkan hasil operasi dalam bentuk polar. Diketahui1 1 1 1 1Sin ir Cos r z + =dan2 2 2 2 2Sin ir Cos r z + =13Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungPerkalian[ ] ) ( Sin i ) ( Cos r r z . z2 1 2 1 2 1 2 1 + + + =Pembagian[ ] ) ( Sin i ) ( Cosrrzz2 1 2 12121 + =Hasil operasi diatas menggunakan sifat 2 1 2 1 2 1Sin Cos Cos Sin ) ( Sin = 2 1 2 1 2 1Sin Sin Cos Cos ) ( Cos m = OperasiPerkalian dan PembagianContoh 1Tentukan nilai prinsipil dari argumen1+i dan 1ibeserta modulusnya.14Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungJawabanModulus1+i = Argumen 1+i = arc tg(y|x) =Modulus1i = Argumen = arc tg (y|x)= 2 1 1 i 12 2= + = +()41 tg arc=2 ) 1 ( ) 1 ( i 12 2= + = ()431 tg arc =Bentuk PolarJawaban (lanjutan)Untuk menghindari kesalahanpenentuan argumen, dapatdigunakan bidang kompleksiy15Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungdigunakan bidang kompleksuntuk menggambarkan titik titiktersebut.2/4x1+i3/41i2Bentuk PolarContoh 2Diketahuiz1= 1i, z2= 1+ia. Gambarkan kedua bilangan kompleks tersebut dalam bidang 16Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungkompleksb. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen dari kedua bilangan kompleks tersebutc. Sajikan kedua bilangan kompleks tersebut bentuk polarBentuk PolarJawabana. Gambar dalam bidang kompleksDalam gambar tersebut terlihat iY217Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungz1: di kuadran 4 z2: di kuadran 2. Dengan rumus arc tg kedua bilangan kompleks akan menghasilkan nilai yang sama yaitu arc tg (1).X1122-1-1-2-2Z1Z2OperasiPerkalian dan PembagianJawaban (lanjutan)b. | z1| = , | z2| =Sedangkan untuk nilai dapat kita tentukan dengan karena 2 ) 1 ( 12 2= +2 1 ) 1 (2 2= + 18Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungSedangkan untuk nilai dapat kita tentukan dengan karena keduanya merupakan sudut istimewa. Untuk z1, 1= 315o(nilai prinsipilnya )sedangkan 2= 135o( nilaiprinsipilnya )c. ,||

\|||

\| +||

\| =4Sin i4Cos 2 z1 ||

\|||

\|+||

\|=43Sin i43Cos 2 z2 OperasiPerkalian dan PembagianContoh 3Diketahui dan a. Tentukan modulus (z1z2) dan nilai prinsipil argumen (z1z2)i 1 z1+ = i 3 z2+ =z z19Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungb. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen JawabanJika dituliskan bentuk polardan z2= 2 (cos /6 + i sin /6 )21zz21zz( )4sin4cos 21 i z + =OperasiPerkalian dan PembagianJawaban (lanjutan)a.((

||

\|+ +||

\|+ =6 4Sin i6 4Cos 2 2 z2 1 z(| |+| |=5Sin i5Cos 2 2 20Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungsehingga modulus (z1z2) = 2 dan argumen (z1z2) = b.sehingga modulus dan argumen ((

||

\|+||

\|=125Sin i125Cos 2 2 2125((

||

\| +||

\| =6 4Sin i6 4Cos22zz21 ((

||

\|+||

\|=12Sin i12Cos22 22zz21=12 zz21=Bentuk pangkat dan akarDari hasil operasi perkalian bentuk polar dapat diperoleh bentuk pangkat bilangan kompleks znyaitu :( ) ( ) [ ] + + + + + + + = ... Sin i ... Cos r ... r . r zn[ ] n Sin i n Cos rn+ =21Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungBentuk pangkat ini lebih dikenal dengan nama rumus De Moivre.Dari bentuk pangkat ini juga bisa diturunkan bentuk akar yang diperoleh dengan cara sebagai berikut :[ ] n Sin i n Cos rn+ =nzBentuk pangkat dan akarDiketahui bentuk akar bilangan kompleks : = WW memiliki bentuk polar : , sedangkan.nz[ ] Sin i Cos R W + =[ ] Sin i Cos r z + =22Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung{ nilai R dan inilah yang akan dicari berdasarkan nilai r dan }. Dari persamaanmaka diperoleh persamaanWn= z.Dari rumus De Moivre yaitumaka didapatkan persamaan :k : bulatnz W =[ ] z n Sin i n Cos R Wn n= + = r Rn= k 2 n + =Bentuk pangkat dan akarNilai R dan bisa diperoleh k : bulatn1r R =nk 2 +=23Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungBila kita mencoba memasukkan nilai k mulai dari 0,1,2,... akandidapatkan bahwa nilai akan kembali periodik untuk k = n, yangberarti nilai W akan sama untuk k = 0 dan k = n, akan sama untukk = 1 dan k = n+1 dan seterusnya..n =Bentuk pangkat dan akarKarena yang diinginkan adalah nilai Wyang berbeda saja makauntuk k = 0,1,...,n1Jadi akar akar dari adalah w1, w2, ...,wndimana untuknk 2 +=| |1 24Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungk = 0 >k = 1 > k = n1 > ||

\|+ =nSin inCos r wn11 M||

\|+++=n2Sin in2Cos r wn12 ( ) ( )||

\| ++ +=n1 n 2Sin in1 n 2Cos r wn1n Bentuk pangkat dan akarKhusus untuk kasus n =2 yaitu akar kompleks yang berbentuk .selain menggunakan rumusan sebelumnya juga bisamenggunakan rumus berikut :2z( + x | z | x | z |25Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungdengan ketentuan sign y = 1 jika y 0 dansigny = 1 jika y < 0 .Rumusan ini peroleh dengan menggunakan sifatdan((

++ =2x | z |i ) y sign (2x | z |z212Cos 2 Cos2||

\|=||

\| =2Sin 2 1 Cos2Bentuk pangkat dan akarContoha. Tentukan akar akar dari b. Tentukan semua nilai z yang memenuhi i 4 3 0 i z 2 z2= + 26Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungc. Tentukan semua nilai z yang memenuhi Jawabana. | z | = 5, x = 3 , y < 0 > sign y = 10 1 z3= +( ) i 223 5i23 5z2 =((

+ =Bentuk pangkat dan akarJawaban (lanjutan)b. Dengan rumus abc2i 4 4 2z =2i 1 2 2 =27Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungKarena masih mengandung bentuk akar maka bentuk akar tersebut harus disederhanakan dulu.Misalkan w1dan w2adalah akar akar dari, dimana 1imemiliki r = danmaka R = 20.25Untuk k = 0 > 22i 12 81 = 41 =Bentuk pangkat dan akarJawaban (lanjutan)b. Diperoleh nilai w1( ) i 38 , 0 92 , 0 19 , 18Sin i8Cos 2 w1 =||

\|||

\| +||

\| = 28Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungUntuk k = 1 > = diperoleh Jadi nilai z yang memenuhi persamaanadalah ( ) i 38 , 0 92 , 0 19 , 187Sin i87Cos 2 w2+ =||

\|||

\|+||

\|= 8 8 \ \ \[ ]i z 38 , 0 09 , 22i) 0,38 - 0,92 ( ,19 1 . 2 2+ =+=Bentuk pangkat dan akarJawaban (lanjutan)b. Atau[ ]i 38 , 0 09 , 01 . 2 iz + ==i) 0,38 - 0,92 ( ,1929Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungc. > > ( bentuk akar pangkat 3 ) Bilangan kompleks 1 akan memiliki r = 1 dan = dan misalkan w1,w2dan w3adalah akar akar dari maka Untuk k = 0 diperoleh=i 38 , 0 09 , 02z + = =31 z =31 i23213Sin i3Cos 1 w1+ =||

\|+ = 0 1 z3= + 1 z3 =Bentuk pangkat dan akarJawaban (lanjutan)c. Untuk k = 1 diperoleh12Sin i2Cos 1 w2 =||

|+++= 30Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungUntuk k = 2 diperolehJadi akar akarnya adalah 13Sin i3Cos 1 w2 =|

\+ =i232134Sin i34Cos 1 w3 =||

\|+++= i2321dan 1 , i2321 +Soalsoallatihan1. Hitunga. b.2. Tentukan modulus , semua argumen dan nilai prinsipil argumenzz1 z1 z+31Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung2. Tentukan modulus , semua argumen dan nilai prinsipil argumendari bilangan kompleks berikuta. 1+ i d.1ib. 5e. 3ic. f. 03 i 1Soalsoallatihan3. Diketahui,tentukana.Re(z5) b. Im(z7)4. Tentukan z yang memenuhi persamaan a. i 3 z =0 2 z 2 z2= + +32Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandunga. b. 5. Sajikan dalam bentukbentuk bentuk akar berikut a. b.0 2 z 2 z2= + +0 1 z4= +i 3iKurva dan Daerah dalam Bidang KompleksDefinisi|za| : Jarak antara z dan a.Lingkaran C dg jari-jari r dan pusat a dpt disajikan dlm bentuk |za| = r|za|< r : Interior dari C33Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung|za|< r : Interior dari CDaerah ini disebut : cakram buka dg pusat a or lingkungan a.|z- a|r : sebuah cakram tertutup dg pusat ar1< | z a | r2: annulus terbuka atau cincin bukayaitu daerah diantara dua lingkaran dg jari2 r1dan r2Kurva dan Daerah dalam Bidang KompleksC : |za|=r34Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungaC : |za|=rrCakram buka dg pusat aKurva dan Daerah dalam Bidang KompleksDefinisiHimpunan S disebut terbuka jika setiap titik di S memiliki cakram buka ygkeseluruhan titiknya masuk didalam S.Himpunan terbuka S disebut tersambung jika utk sembarang 2 titik di35Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungSdpt dihubungkan oleh sejumlah ruas garis yg terletak di S jugaHimpunan terbukadan tersambung disebut domain ( fungsi kompleks)SHimp. terbukaHimp. tertutupHimp. tertutupHimp tersambung terbukaKurva dan Daerah dalam Bidang KompleksContohBuatlahpers. cakram buka di 1+ i dg radius 2, kemudian gambar dlm bidang kompleksJawaban36Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungJawabanPersamaannya adalah( ) 2 i 1 z < + Soalsoallatihan1. Buatlah persamaan grafik beserta gambarnya dari pernyataan berikuta. Cakram tertutup pusat ( 1,1) dan jari jari 2b. Cakram terbuka pusat 3 4i dengan jari jari 32. Gambarkan grafik dari 37Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung2. Gambarkan grafik dari a. | z | > 2b. | z + 1 i | < 3c. Re z > 3d. arg z < /2 3. Dari nomor 1 dan 2, tentukan mana yang merupakan domain fungsi kompleksTurunan Fungsi KompleksDiketahui fungsi kompleks yang berbentuk :Fungsi ini menunjukkan fungsi kompleks yang ekuivalen dengan dua fungsi riil u(x,y) dan v(x,y) yang masing masing tergantung ( ) ( ) ( ) y , x v i y , x u z f + =38Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungdua fungsi riil u(x,y) dan v(x,y) yang masing masing tergantung pada dua variabel riil x dan y.Limit fungsiIni memgandung pengertian bahwa untuk semua z yang dekat dengan zomaka nilai f(z) akan dekat dengan nilai L. L ) z ( f limZo Z=Turunan Fungsi KompleksPengertian dekat dengan z0adalah bilangan kompleks yang terletak didalam cakram buka dengan pusat z0dengan jari jari yang sangat kecil.f(z) dikatakan kontinu dititik z0bila ) z ( f ) z ( f lim0=39Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungf(z) dikatakan kontinu dititik z0bila f(z) dikatakan differensiabel dititik z0 (f (z0) )bila adaatauada ) z ( f ) z ( f lim0Zo Z=) z ( ' fz) z ( f ) z z ( flim00 00 Z= +) z ( ' fz z) z ( f ) z ( flim000Zo Z=Turunan Fungsi KompleksContoh 1Apakah | z | memiliki turunan dititik (0,0) ?Jawaban( ) iy x z z f + = =40Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungMaka Anggap x = 0 konstan maka dan( ) iy x z z f + = =) 0 , 0 ( iy x| 0 0 | | iy x |lim0 , 0 Z ++ +iy x| iy x |lim0 , 0 Z++=1iy| iy |lim0 Y=+1iy| iy |lim0 Y =Karena limitnya tdk ada, |z| tdk memiliki turunanTurunan Fungsi KompleksContoh 2Periksa apakahmemiliki turunan? Kalau punya tentukan turunannya Jawabany 2 i x 2 +41Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungJawaban( ) ( ) y 2 i x 2 y , x f z f + = =( )z) z ( f ) z z ( flim z ' f0 Z +=) iy x () iy x ( f )) iy x ( iy x ( flim0 Z++ + + +=Turunan Fungsi KompleksJawaban (lanjutan)( )) iy x () iy x ( f )) y y ( i x x ( flim z ' f0 Z++ + + += 42Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungJadi memiliki turunan yaitu sama dengan 22) () ( 2 )) ( 2 2 2lim0=+ + + + += iy xiy x y y i x xZ( ) y 2 i x 2 z f + =Turunan Fungsi KompleksContoh 3Diketahui , tentukan?Jawaban( ) z 2 z 3 z f2+ = ( ) i 1 ' f +43Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungBila f(z) disajikan dalam variabel z saja maka selain menggunakandefinisi turunan yang telah dibahas sebelumnya maka bisa juga f(z)diturunkan secara langsung dengan aturan penurunan biasa.Jadi sehingga = 6(1+ i) + 2 = 8+ 6i( ) 2 z 6 z ' f + = ( ) i 1 ' f +Soal latihan1. Tentukandari fungsi fungsi berikuta.b.( )2 2y x 3 x y , x f + =( ) z 3 z z f2+ =44Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungc.2. Dengan menggunakandefinisi turunan, tunjukkan bahwa tidak differensiabel dititik iy ) i 1 ( xiy x ++( ) 1 z Re z f + =Soal latihan3. Tentukan f (1+i ) dari fungsi fungsi berikut a.b.( ) ( )31 z 2 z f =( ) ( ) y xy 2 i x y x y , x f2 2 + =( )z45Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungc.( )1 zzz f=Fungsi analitikDefinisif(z) dikatakan fungsi analitik pada suatu domain D jika f(z) terdefinisi dan memiliki turunan ( differensiabel ) disemua titik di D. 46Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandungf(z) analitik di titik a bila f(z) analitik dilingkaran buka dengan pusat a.Bila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebut juga fungsi entire.Fungsi analitikContoh Diketahui Apakahf(z) analitik di daerah berikut( )1 z2 zz f2++=47Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom BandungApakahf(z) analitik di daerah berikuta.b.c.1 z : P