BAB 4 PENGANALISAAN RANGKAIAN DENGAN...

77

BAB 4

PENGANALISAAN RANGKAIAN DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

ORDE DUA ATAU LEBIH TINGGI

4.1 Pendahuluan

Persamaan-persamaan diferensial yang dipergunakan pada penganalisaan yang

lalu hanya terbatas pada persamaan-persamaan diferensial orde pertama dengan koefisien

konstanta. Selanjutnya akan dibahas persamaan diferensial dengan batasan yang sama

yaitu linieritas dan koefisien konstan akan tetapi dengan orde yang lebih tinggi. Adapun

prosedur matematika diberikan berikut ini termasuk dalam metode penyelesaian klasik

dimana metode klasik ini memberikan pengertian-pengertian yang lebih mudah/baik

mengenai penafsiran persamaan diferensial dan persyaratan suatu penyelesaian.

Pada umumnya persamaan diferensial homogen orde dua dengan koefisien

konstan diperlihatkan sebagai berikut.

0ia

dtdia

dtida 212

2

0 (4.1)

Adapun penyelesaian persamaan diferensial ini harus berbentuk sedemikian rupa

sehingga penyelesaian itu sendiri apabila diturunkan pertama dan kedua dikalikan

dengan suatu koefisien konstan jumlahnya menjadi nol, hal ini mungkin terjadi kalau

hasil penyelesaiannya berbentuk eksponensial yang dimisalkan dengan :

st.K)t(i (4.2)

sehingga :

st.s.K

dtdi

(4.3)

dan :

st2

2

2

.s.Kdt

id

(4.4)

dimana K dan s merupakan konstanta yang nyata, imajiner atau kompleks.

Selanjutnya apabila Persamaan (4.2), (4.3) dan (4.4) disubstitusikan ke dalam

Persamaan (4.1) akan diperoleh :

0KasKaKsa st2

st1

st20 (4.5)

78

oleh karena harga stK tidak akan pernah nol untuk harga t yang terbatas/finite, maka

Persamaan (4.5) dapat dibuat menjadi :

0asasa 212

0 (4.6)

adapun Persamaan (4.6) ini persyaratan agar stK merupakan hasil penyelesaian, yang

disebut juga dengan persamaan karakteristik atau auksiliari yang memiliki akar-akar :

20

21

00

121 aa4a

a21

a2as;s

(4.7)

oleh sebab itu terdapat dua bentuk eksponensial dari penyelesaian persamaan diferensial

homogen dari Persamaan (4.1), yaitu :

)b.....(..........Ki

)a.....(..........Kits

12

ts11

2

1

(4.8)

karena i1 dan i2 masing-masing merupakan penyelesaian persamaan diferensial dari

Persamaan (4.5), sehingga jumlah penyelesaian-penyelesaian ini adalah :

i3 = i1 + i2 (4.9)

dengan demikian i3 juga merupakan suatu penyelesaian, dimana hal ini dapat

diperlihatkan dengan mensubstitusikan Persamaan (4.9) ke dalam Persamaan (4.5) yang

hasilnya adalah :

0)ii(a

dt)ii(da

dt)ii(da 212

2112

212

0

(4.10)

atau :

00

0iadt

dia

dtid

aiadtdi

adt

ida 22

212

22

0121

121

2

0

(4.11)

atau :

0 + 0 = 0

sehingga i3 menyetakan penyelesaian dari Persamaan (4.5), maka secara umum dapat

dinyatakan penyelesaian Persamaan (4.5) ini adalah :

ts

2ts

121 .K.K)t(i (4.12)

Adapun harga-harga s1 dan s2 yang ditentukan dengan Persamaan (4.7) dapat merupakan

bilangan nyata, imajiner ataupun kompleks dan ini tergantung dari harga-harga a0, a1 dan

a2 dari persamaan diferensial homogen tersebut.

79

4.2 Respons Rangkaian RLC Seri Dengan Input Unit Step

Perhatikan rangkaian di bawah ini :

Gambar 4.1 Rangkaian seri RLC dengan input tegangan searah

dengan mengabaikan semua kondisi awal, maka pada saat t = 0 saklar ditutup, sehingga

dapat dituliskan persamaan tegangan pada rangkaian adalah :

oVdtiC1i.R

dtdiL

(4.13)

bila dideferensialkan satu kali maka diperoleh :

0

Ci

dtdi.R

dtidL 2

2

(4.14)

atau :

0iC1

dtd.R

dtdL 2

2

atau :

0

C1

dtd.R

dtdL 2

2

(4.15)

misalkan : dtds

sehingga :

0

C1s.Rs.L 2

(4.16)

Persamaan (4.16) ini disebut sebagai persamaan karakteristik rangkaian di atas. Adapun

akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :

CL4R

L21

L2Rs;s 2

21 (4.17)

maka bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial :

ts

2ts

121 .K.Ki (4.18)

80

dalam hal ini ada tiga kemungkinan, yaitu :

1. Bilamana : R2 > CL4

( keadaan overdamped / teredam lebih)

Dalam kondisi ini besaran

CL4R 2

adalah positif, sehingga akar-akar s1 dan s2 adalah nyata. Untuk menentukan hraga K1 dan K2 dapat dicari dari kondisi awal yang diketahui.

Pada saat saklar ditutup ( t = 0 ), maka i(0+) = 0. Hal ini disebabkan sifat dari L dan C

yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka pada t = 0, bagian dari 0dtiC1

, oleh karena itu Persamaan (4.13) untuk t = 0, adalah :

o

)0( Vdt0C10.R

dtdi

L

maka : LV

dtdi o)0(

(4.19)

sehingga terlihat terdapat dua kondisi awal, yaitu : i(0+) = 0 dan LV

dtdi o)0(

, dan jika

hrga-harga ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.18) akan diperoleh :

0s2

0s1

21 .K.K0)0(i atau : K1 + K2 = 0 (4.20)

Kemudian jika Persamaan (4.18) dideferensialkan satu kali diperoleh :

ts

22ts

1121 .Ks.Ks

dtdi

(4.21)

karena LV

dtdi o)0(

pada saat t = 0, maka Persamaan (4.21) menjadi :

0s22

0s11

o)0( 21 .Ks.KsL

Vdt

di

sehingga di dapat :

LV

KsKs o2211

(4.22)

dari Persamaan (4.20) dan (4.21) akan diperoleh :

)ss(LV

K21

o1

dan )ss(LV

K12

o2

81

dan jika harga-harga K1 dan K2 ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.14), maka

diperoleh penyelesaian persamaan ini untuk kondisi R > CL4

adalah :

tsts

21

o21

)ss(L

Vi

(4.23)

Kalau persamaan (4.23) ini digambarkan bentuknya adalah :

)ss(L

VK

21

o

1

)ss(L

VK

21

o

2

ts2

ts1

21 .K.K

ts1

1.K

ts2

2.K

t

Gambar 4.2 Kurva arus pada rangkaian seri RLC dengan input step pada kondisi R > C

L4

Gambar 4.2, menggambarkan sifat kurva yangmemperlihatkan variasi ts

11.K dan

ts2

2.K dengan waktu dan juga variasi arus total ts2

ts1

21 .K.K dengan waktu.

2. Bilamana : R2 = CL4

( keadaan critical damped / teredam lebih)

Pada kondisi ini besaran

CL4R 2

menjadi nol, oleh karena itu akar persamaan

karakteristik Persamaan (4.16) adalah nyata dan sama, sehingga penyelesaian

Persamaan (104) menjadi :

st

21 )KK(i (4.24)

kalau dimisalkan : K = (K1 + K2), maka persamaan di atas berbentuk :

stKi (4.25)

82

Hal ini belumlah bentuk penyelesaian yang sempurna karena penyelesaian

dari persamaan deferensial orde dua harus mengandung dua konstanta yang berbeda,

oleh karena itu Persamaan (4.25) harus dimodifikasi. Misalkan diasumsikan

penyelesaian Persamaan (4.25) berbentuk :

st.yi (4.26)

dimana y adalah besaran yang akan dicari.

Substitusikan Persamaan (4.26) ke dalam Persamaan (4.14) dengan suatu

ketentuan bahwa y memenuhi persamaan diferensial :

0

dtyd2

2

(4.27)

dan kemudian bila diintegrasikan dua kali berturut-turut akan menghasilkan :

tKKy 21 (4.28)

dan kalau Persamaan (4.28) ini disubstitusikan ke Persamaan (4.26) diperoleh :

st2

st1 tKKi (4.29)

dimana dalam hal ini : L2Rs

.

Di dalam hal ini kondisi awal juga sama dengan : 0)0(i dan LVo)0(

dtdi

.

Apabila harga-harga ini disubstitusikan ke Persamaan (4.29) akan

diperoleh : 0s

20s

1 0KK0)0(i sehingga diperoleh K1 = 0. dan jika harga K1 ini disubstitusikan ke Persamaan (4.29)

maka diperoleh :

st

2 tKi (4.30)

dan apabila Persamaan (4.30) dideferensialkan satu kali maka didapat :

stst

2 stKdtdi

(4.31)

dan selanjutnya bila kondisi awal LVo)0(

dtdi

, pada t = 0 disubstitusikan ke

Persamaan (4.31) ini akan diperoleh :

0s0s2 .0.sK

LVo)0(

dtdi

83

sehingga diperoleh LVoK 2 , dan apabila harga K2 ini disubstitusikan ke

Persamaan (4.30), maka diperoleh persamaan arus yang mengalir pada rangkaian

untuk kondisi R = CL4

, yaitu :

st.t.

LVoi

(4.32)

dan kalau digambarkan kurvanya adalah :

t

st.t.L

Voi

i

Gambar 4.3 Kurva arus pada rangkaian seri RLC dengan input step pada kondisi R > C

L4

3. Bilamana : R2 < CL4

(keadaan underdamped / kurang teredam)

Pada kondisi ini besaran

CL4R 2

adalah negatif, oleh karena itu akar-akar

persamaan karakteristik dari Persamaan (4.16) bilangan kompleks yang dimisalkan :

)b......(..........jBAs)a......(..........jBAs

2

1

(4.33)

dimana :

L2

RCL4

BdanL2RA

2

(4.34)

oleh karena itu Persamaan (4.18) menjadi :

t)jBA(

2t)jBA(

1 KKi (4.35) atau :

jBt2

jBt1

At KKi (4.36) karena :

84

BtsinjBtcosdanBtsinjBtcos jBtjBt

maka Persamaan (4.36) menjadi :

BtsinjBtcosKBtsinjBtcosKi 21At (4.37)

apabila kondisi awal : i(0+) = 0, untuk t = 0, disubstitusikan ke dalam Persamaan

(4.37) maka akan diperoleh :

0.Bsinj0.BcosK0.Bsinj0.BcosK0)0(i 210.A

atau :

K1 + K2 = 0 (4.38)

Selanjutnya diferensialkan Persamaan (4.37) satu kali dan kemudian substitusikan

LVo)0(

dtdi

kedalamnya untuk t = 0 :

BtcosjBtsinBKBtcosjBtsinBKA

BtsinjBtcosKBtsinjBtcosKA)0(dtdi

21At

21At

(4.39)

kemudian substitusikan kondisi awal LVo)0(

dtdi

untuk t = 0 ke dalam

Persamaan (4.39) di atas, maka diperoleh :

0.Bcosj0.BsinBK0.Bcosj0.BsinBKA

0.Bsinj0.BcosK0.Bsinj0.BcosKAL

Vo)0(dtdi

210A

210A

atau :

2121 KKjBKKAL

Vo

karena menurut Persamaan (4.38) : K1 + K2 = 0, maka :

1BK2jL

Vo

(4.40)

oleh karena itu diperoleh :

BL2jVoKdan

BL2jVoK 21

kemudian substitusikan harga-harga K1 dan K2 ke dalam Persamaan (4.37) sehingga

diperoleh :

BtsinjBtcos

BL2jVoBtsinjBtcos

BL2jVoi At

atau :

85

Btsin

BLVoi At

(4.41)

apabila harga A dan B pada Persamaan (4.34) disubstitusikan ke dalam Persamaan

(4.41) di atas, akan didapat :

tL2

RCL4

sinR

CL4

L2L

Voi

2t

L2R

2

atau :

t.L4

RLC1sin.

4R

CL

.Voi2

2

2

tL2

R

(4.42)

terlihat bahwa dalam keadaan ini arus berosilasi, dan kalau bagian eksponensial

tL2

R dihilangakan, maka arus i murni sinusoidal dengan frekuensi resonansi

(natural angular frequency).

ikdetradian

L4R

LC1

2

2n

(4.43) atau :

ikdetsiklus

L4R

LC1

21

2f 2

2n

n

(4.44)

kalau Persamaan (4.42) digambarkan :

4R

CL

Vo2

4R

CL

Vo2

t

t

86

Gambar 4.4 Kurva arus dari rangkaian seri RLC dengan input unti step pada kondisi R < C

L4

Contoh :

Saklar pada rangkaian di bawah ini ditutup pada saat t = 0, dengan mengabaikan

semua kondisi awal elemen rangkaian, carilah bentuk persamaan arus i.

Jawab :

Bila saklar ditutup, persamaan tegangan pada rangkaian adalah :

Vdti

C1i.R

dtdiL (a)

atau :

LVdti

LC1i.

LR

dtdi

atau :

1,0200dti

)10.100).(1,0(1i.

1,0200

dtdi

6

atau :

2000dti10.10i.2000dtdi 4

kalau dideferensialkan :

0i.10.10

dtdi.2000

tdid 4

2

2

(b)

atau :

0i10.10

dtd.2000

tdd 4

2

2

(c)

misalkan : s

dtd

, maka Persamaan (c) menjadi : 0i10.10s.2000s 42

atau : 010.10s.2000s 42

adapun akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :

87

31,511.2

)10.10(420002000s

42

1

68,19481.2

)10.10(420002000s

42

2

dari rangkaian dapat dilihat :

622

10.11,0.2

200L2

R

dan 5

6 10.1)10.100).(1,0(

1LC1

ternyata : LC1

L2R 2

atau R2 > CL4

, sehingga bentuk umum dari Persamaan (b)

adalah [lihat Persamaan (4.23)] atau :

ts2

ts1

21 .K.Ki

sehingga :

t.68,1948

2t.31,51

1 .K.Ki (d)

karena kondisi awal diabaikan dan sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika,

maka pada t = 0, arus :

i(0+) = 0 (e)

bila Persamaan (e) ini disubstitusikan kedalam Persamaan (d) untuk t = 0, diperoleh :

0.68,1948

20.31,51

1 .K.K

0

)0(i

sehingga diperoleh :

0 = K1 + K2 (f)

dan demikian juga pada C yang tidak bisa berubah dengan seketika, sehingga 0dti

C1

maka kalau harga-harga ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (a) akan diperoleh :

V

0

dtiC1

0

)0(i.R)0(dtdiL

sehingga :

1,0200

LV)0(

dtdi

atau :

88

detAmp /2000)0(

dtdi

(g)

selanjutnya diferensialkan Persamaan (d) satu kali, maka :

t.68,1948

2t.31,51

1 .K.68,1948.K.31,51dtdi

(h)

selanjutnya substitusikan Persamaan (g) ke dalam Persamaan (h) untuk t = 0, maka :

0.68,19482

0.31,511 .K.68,1948.K.31,51

2000

)0(dtdi

atau :

21 K.68,1948K.31,512000 (i)

maka dari Persamaan (h) dan (i) diperoleh :

K1 = 1 dan K2 = -1

Kemudian harga-harga K1 dan K2 ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (d) maka

diperoleh:

.Amp.i t.68,1948t.31,51 inilah bentuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar ditutup.

Contoh :


dengan mengabaikan kondisi awal, pada saat t = 0 saklar ditutup. Carilah bentuk

persamaan arus i pada rangkaian.

Jawab :

Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :

Vdti

C1i.R

dtdiL (a)

89

atau :

LVdti

LC1i.

LR

dtdi

atau :

110dti

)04,0).(1(1i.

110

dtdi

atau :

10dti25i.10dtdi

kalau dideferensialkan satu kali :

0i.25

dtdi.10

tdid

2

2

(b)

atau :

0i25

dtd.10

tdd

2

2

(c)

misalkan : s

dtd

, maka Persamaan (c) menjadi : 0i25s.10s2

atau : 025s.10s2

adapun akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :

52

)25.1(41010s

2

1

dan

52

)25.1(41010s

2

2

terlihat bahwa :

251.2

10L2

R 22

dan 25

)04,0).(1(1

LC1

maka :

LC1

L2R 2

atau R2 = CL4

sehingga bentuk umum penyelesaian Persamaan (b),[lihat Persamaan (4.32)] adalah :

tKKi 21t

dimana : 5

210

L2R

, sehingga :

tKKi 21t5

(d)

karena sifat L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka pada t = 0 arus :

i(0+) = 0 (e)

selanjutnya bila Persamaan (e) disubtitusikan ke dalam Persamaan (d) diperoleh :

90

0

0.KK)0(i 210.5

atau : K1 = 0 (f)

bilamana harga K1 = 0 disubtitusikan ke dalama Persamaan (d), maka diperoleh :

tK.i 2t5 (g)

demikian juga dengan C yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka tegangan pada

C pada t = 0+ :

0dt)0(i

C1

(h)

maka jika harga-harga i(0+) = 0 dan 0dt)0(i

C1

disubstitusikan kedalam Persamaan (a) untuk t = 0, didapat :

00

Vdt)0(iC1)0(i.R)0(

dtdiL

atau didapat :

detAmp /10

LV)0(

dtdi

bila Persamaan (d) dideferensialkan satu kali, maka :

t5

22t5 .KtK.5)0(

dtdi

(i)

kalau harga detAmp /10)0(

dtdi

, di substitusikan ke dalam Persamaan (i) untuk t = 0,

maka diperoleh :

10

.K0.K.5)0(dtdi 0.5

220.5

maka diperoleh K2 = 10, dan kalau harga ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (g),

maka diperoleh persamaan arus pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :

Amp.t10i t5

Contoh :

91


dengan mengabaikan semua kondisi awal, carilah bentuk persamaan arus i pada

rangkaian setelah saklar ditutup pada saat t = 0.

Jawab :

Adapun persamaan tegangan pada rangkaian setelah saklar ditutup adalah :

Vdti

C1i.R

dtdiL (a)

atau :

LVdti

LC1i.

LR

dtdi

atau :

1,0100dti

)10.50).(1,0(1i.

1,050

dtdi

6

atau :

1000dti10.2i.500dtdi 5

dideferensialkan satu kali :

0i.10.2

dtdi.500

tdid 5

2

2

(b)

atau :

0i10.2

dtd.500

tdd 5

2

2

(c)

misalkan : s

dtd

, maka Persamaan (c) menjadi :

0i10.2s.500s 52 atau :

010.2s.500s 52 adapun akar-akar persamaan karakteristik ini adalah :

92

8,370j2502

)10.2(4500500s

52

1

8,370j2502

)10.2(4500500s

52

2

dari rangkaian terlihat :

500.621,0.2

50L2

R 22

dan 000.200

)10.50).(1,0(1

LC1

6

ternyata :

LC1

L2R 2

atau R2 < CL4

sehingga untuk mendapatkan penyelesaian dari Persamaan (b) digunakan bentuk

Persamaan (4.39) dengan :

2501,0.2

50L2

R

dan :

8,3701,0.2

50)10.50).(1,0(

1L2

RLC1

2

6

2

sehingga :

t8,370sinjt8,370cosKt8,370sinjt8,370cosKi 21t250

atau :

t8,370sin)KK(jt8,370cos)KK(i 2121t250

(d) misalkan :

K3 = K1 + K2 dan K4 = j (K1 + K2)

Maka Persamaan (d) menjadi :

t8,370sinKt8,370cosKi 43t250

(e)

kondisi awal elemen diabaikan dan karena sifat dari L yang tidak dapat berubah dengan

seketika, maka pada t = 0, arus :

i(0+) = 0 (f)

demikian juga dengan C yang sifatnya tidak dapat berubah dengan seketika, sehingga

0dtiC1

maka pada saat t = 0+, dari Persamaan (a) didapat :

V

0

dt)0(iC1

0

)0(i.R)0(dtdiL

(g)

93


det

Amp /10001,0

100LV)0(

dtdi

(h)

dan apabila Persamaan (f) disubstitusikan kedalam Persamaan (e) untuk t = 0, diperoleh :

0.8,370sinK0.8,370cosK

0

)0(i 430.250

maka diperoleh :

K3 = 0

Kemudian diferensialkan Persamaan (e) satu kali :

t8,370sin4Kt8,370cos3Kt250.250t8,370cos8,370t8,370sin3K.8,370t250dtdi

atau :

t8,370cos)KK.8,370(t8,370sin)KK.8,370(

dtdi

3443t250

(i)

kemudian substitusikan Persamaan (h) ke Persamaan (i) untuk t = 0 :

0.8,370cos)

0

KK.8,370(0.8,370sin)K

0

K.8,370(

1000

)0(dtdi

34430.250

sehingga :

1000 = 370,8.K4 maka :

7,28,370

1000K 4

kemudian harga-harga K3 dan K4 yang diperoleh disubstitusikan ke dalam Persamaan (e)

sehingga didapat persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar ditutup

adalah :

.Ampt8,370sin.7,2i t250

4.3 Response Rangkaian Paralel RLC Dengan Sumber Searah

Rangkaian di bawah ini memperlihatkan rangkaian paralel RLC dengan sumber

arus searah Io dengan semua kondisi awal elemen pasif diabaikan dan pada saat t = 0

saklar pada rangkaian akan dibuka.

94

Gambar 4.5 Rangkaian paralel RLC dengan sumber searah

Bila saklar terbuka, maka menurut hukum arus Kirchhoff dapat dituliskan :

Iodtv

L1v.G

dtdvC (4.45)

dideferensialkan satu kali :

0

LCv

dtdv

CG

dtvd2

2

(4.46)

atau :

0v.

LC1

dtd

CG

dtd

2

2

(4.47)

bilamana : s

dtd

, maka Persamaan (139) menjadi :

0v.

LC1s

CGs2

(4.48)

Persamaan (4.48) sering disebut sebagai persamaan karakteristik dari rangkaian pada

Gambar 4.5, dan persamaan ini dapat dibentuk menjadi :

(s - s1) (s – s2)v = 0 (4.49)

dengan akar-akar :

LC4G

C21

C2Gs 2

1

LC4G

C21

C2Gs 2

2

misalkan : C2G

dan L

C4GC21 2

, sehingga :

)(s1 dan )(s2

sehingga Persamaan (4.49) menjadi :

0v.)(s)(s terlihat bahwa harga β bisa potitif; nol dan imaginer / negatif,

95

Kemunkinan I :

LC4G2

harga β adalah positif dimana s1 dan s2 nyata.

Dari Persamaan (4.49) yang berbentuk :

(s - s1) (s – s2)v = 0

dimisalkan :

(s – s2)v = u (4.50)

maka Persamaan (4.49) menjadi:

(s - s1) u = 0

karena s

dtd

, maka :

0u.sdtdu

1

atau :

dtsu

du1

kalau di integralkan :

'Kts)u(Ln 1 atau :

ts'K'Kts 11u

karena K'K , maka :

ts1Ku (4.51)

apabila Persamaan (4.51) ini disubstitusikan kedalam Persamaan (4.50), maka didapat :

ts2

1K )vs - (s

karena s

dtd

, maka : ts

21K vs -

dtd

atau :

ts2

1K v.s - dtdv

kalau ruas kiri dan kanan persamaan ini dikalikan dengan faktor integrasi ts2 ,maka

hasilnya:

t)ss(ts

2ts 2122 K .v.s -

dtdv

(4.52)

96

karena : ts

2tsts 222 s).v(d

maka Persamaan (4.52) menjadi : t)ss(ts 212 .K).v(d

kalau diintegralkan :

t)ss(ts 212 .K).v(d atau :

"K.

)ss(K.v t)ss(

21

ts 212

(4.53)

bilamana ruas kiri dan kanan Persamaan (4.53) dikalikan dengan ts2 , maka :

tstst)ss(

21

tsts 222122 ".K..)ss(

K..v

atau :

tsts

21

21 "K.)ss(

Kv

(4.54)

kalau dimisalkan :

)ss(KK

211

dan K2 = K”


ts

2ts

121 .K.Kv (4.55)

ini adalah bentuk umum penyelesaian dari Persamaan (4.45) unutk kondisi LC4G 2

, dimana K1 dan K2 dapat ditentukan dari kondisi awal rangkaian.

Apabila saklar dibuka pada saat t = 0, maka :

v(0+) = 0 (4.56)

hal ini disebabkan tegangan pada terminal kapasitor C tidak dapat berubah dengan

seketika, demikian pula halnya dengan arus yang mengalir pada L pada t = 0, yaitu

0dtvL1

, dengan demikian Persamaan (4.45) untuk t = 0 menjadi :

Io

0

dt)0(vL1

0

)0(v.G)0(dtdvC


97

CIo)0(

dtdv

(4.57)

Selanjutnya apabila Persamaan (4.56) disubtitusikan ke dalam Persamaan (4.55)

untuk t = 0 akan diperoleh :

0.s2

0.s1

21 .K.K

0

)0(v

atau : K1 + K2 = 0 (4.58)

selanjutnya diferensialkan Persamaan (4.55) satu kali :

ts22

ts11

21 .Ks.K.sdtdv

kemudian substitusikan Persamaan (4.57) untuk t = 0 ke dalam persamaan di atas,

sehingga :

0.s22

0.s11

21 .Ks.K.s

CIo

)0(dtdv


2211 KsKsCIo

(4.59)

dari Persamaan (4.58) dan (4.59) diperoleh :

)ss(C

IoK

211

dan )ss(C

IoK

212

bilamana harga K1 dan K2 disubstitusikan kedalam Persamaan (4.55), maka didapat

bentuk persamaan tegangan v pada rangkaian Gambar 4.5 bilamana saklar dibuka pada

t = 0 adalah :

tsts

21

21)ss(

CIo

v

(4.60)

Persamaan (4.60) ini bentuknya sama dengan Persamaan (4.28) untu rangkaian seri RLC

dimana bagian Vo/L digantikan dengan Io/C, demikian juga kurva pada Gambar 4.2,

berlaku pada persamaan (4.60) hanya dengan menggantikan perpotongan kurva dengan

sumbu y digantikan dengan )ss(C/Io

21 seperti kurva berikut ini.

98

)ss(C

IK

21

o

1

)ss(C

IK

21

o

2

ts2

ts1

21 .K.K

ts1

1.K

ts2

2.K

t

Gambar 4.6 Kurva tegangan pada rangkaian paralel RLC dengan input searah pada kondisi L

C42G

Contoh :

Perhatikan rangkaian ini :

dengan mengabaikan semua kondisi awal elemen pasif, maka pada t = 0 saklar dibuka,

carilah bentuk persamaan tegangan v, dan berapa besar tegangan v setelah saklar dibuka

selama 0,1 detik.

Jawab :

Persamaan arus pada rangkaian setelah saklar dibuka adalah :

Iodtv

L1v.G

dtdvC (a)

atau :

10dtv12/11v.

7/11

dtdv1

atau :

10dtv12v.7dtdv

bila dideferensialkan satu kali, maka diperoleh :

99

0v12

dtdv7

dtvd2

2

atau :

0v.12

dtd7

dtd

2

2

misalkan : s

dtd

, maka : 0v.12s7s2

atau : 012s7s2

akar-akar persamaan ini adalah :

312.1.4721

27s 2

1

412.1.4721

27s 2

2

selanjutnya :

49)7(G 22 dan 12

)12/1(1.4

LC4

maka : LC4G 2

, sehingga bentuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah Persamaan (147), yaitu :

ts

2ts

121 .K.Kv (b)

dimana : s1 = -3 dan s2 = -4, sehingga Persamaan (b) menjadi :

t4

2t3

1 .K.Kv (c)

Apabila saklar dibuka pada t = 0, maka :

v(0+) = 0 (d)

hal ini disebabkan oleh karena sifat dari C tidak dapat berubah dengan seketika,

demikian juga karena sifat dari L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka arus

yang mengalir pada L pada t = 0, yaitu :

0dtv

L1

(e)

kalau Persamaan (d) dan (e) disubstitusikan kedalam Persamaan (a) untuk t = 0, maka :

Io

0

dt)0(vL1

0

)0(v.G)0(dtdvC

atau :

100

det/volt10

110

CIo)0(

dtdv

(f)

Selanjutnya apabila Persamaan (d) disubtitusikan ke dalam Persamaan (c) pada t = 0,

akan diperoleh :

0.42

0.31 .K.K

0

)0(v

atau : K1 + K2 = 0 (g) Kemudian bilamana Persamaan (c) diferensialkan satu kali, akan diperoleh :

t42

t31 .K4.K.3

dtdv

dan apabila Persamaan (f) disubstitusikan ke dalam persamaan ini untuk t = 0, maka :

0.42

0.31 .K4.K.3

10

)0(dtdv

atau : -3K1 - 4K2 = 10 (h) dari Persamaan (g) dan (h) diperoleh :

K1 = 10 dan K2 = -10

bilamana harga K1 dan K2 ini disubstitusikan kedalam Persamaan (c), maka didapat

bentuk persamaan tegangan v bilamana saklar dibuka pada t = 0 adalah :

volt10v t4t.3 sedangkan besar tegangan v setelah saklar dibuka selama 0,1 detik adalah :

volt705,010v )1,0(4)1,0.(3det)1,0(

Kemungkinan II :

LC4G2

dimana β adalah nol dan s1 = s2

Adapun akar-akar :

LC4G

C21

C2Gs 2

1

dan L

C4GC21

C2Gs 2

2

dimana :

C2G

dan L

C4GC21 2

101

akan tetapi karena : LC4G 2

, maka : β = 0, sehingga : C2Gss 21

, dengan

demikian Persamaan (4.49) menjadi :

0vss (4.61) kalau dimisalkan : uvs (4.62) maka Persamaan (4.61) menjadi :

0us

karena : s

dtd

, maka persamaan di atas menjadi :

0udtdu

atau :

dtu

du

kalau diintegralkan :

dtu

du

atau : 'Kt)u(Ln

atau : 'Ktu

atau : 'Ktu

dan karena K'K , maka : tKu

dengan demikian Persamaan (4.62) menjadi :

tKvs (4.63)

karena s

dtd

, maka Persamaan (4.63) menjadi : tKv

dtdv

kalau dikalikan dengan faktor integrasi : t , maka persamaan di atas menjadi :

K.v

dtdv tt

(4.64)

karena : ttt .v

dtdv).v(d


102

K).v(d t

bila diintegralkan :

dtK).v(d t

atau : 'KKt.v t

bila dikalikan dengan t , maka :

tt '.K.t.Kv kalau dimisalkan :

K1 = K’ dan K2 = K

maka persamaan di atas menjadi :

t

2t

1 .t.K.Kv (4.65)

dimana C2G

, dan Persamaan (4.65) ini adalah bentuk penyelesaian umum dari

Persamaan (4.45) untuk kondisi LC4G 2

, dimana K1 dan K2 dapat dicari dari kondisi awal rangkaian.

Adapun kondisi awal dari rangkaian seperti pada Persamaan (4.56) yaitu :

0)0(v (4.66)

dan Persamaan (4.57) yaitu :

CIo)0(

dtdv

(4.67)

Selanjutnya apabila Persamaan (4.66) disubtitusikan ke dalam Persamaan (4.65) untuk t

= 0 akan diperoleh :

0.2

0.1 .0.K.K

0

)0(v

atau : K1 = 0 (4.68)

Kemudian diferensialkan Persamaan (4.65) satu kali :

t.2

t.2

t.1 .t.K.K.K.

dtdv

bilamana Persamaan (4.67) dan (4.68) disubstitusikan kedalam persamaan di atas untuk

t = 0, akan diperoleh :

103

0.

20.

20.

1 .0.K.K.

0

K.

CIo

)0(dtdv


CIoK2

(4.69)

selanjutnya bilamana harga K1 dan K2 dari Persamaan (4.68) dan (4.69) disubstitusikan

kedalam Persamaan (4.65), maka diperoleh persamaan tegangan v pada rangkaian

Gambar 4.5, untuk kondisi LC4G 2

sebagai berikut :

to .t.

CI

v (4.70)

dengan : C2G

Adapun kurva dari Persamaan (4.70) ini adalah :

to .t.CIv

Gambar 4.7 Kurva arus pada rangkaian paralel RLC dengan input arus searah pada kondisi L

C42G

Contoh :

Perhatikan rangkaian berikut ini :

dengan mengabaikan semua kondisi awal dari elemen pasif, maka pada saat t = 0 saklar

dibuka, carilah bentuk persamaan tegangan v dan berapa besar v setelah saklar terbuka

selama 0,1 detik.

104

Jawab :

Adapun persamaan arus pada rangkaian setelah saklar dibuka ialah :

Iodtv

L1v.G

dtdvC (a)

atau :

4dtv9/1

1v.6/1

1dtdv1

atau :

4dtv9v.6dtdv

bila dideferensialkan satu kali, maka diperoleh :

0v9dtdv6

dtvd2

2

atau :

0v.9dtd6

dtd

2

2

misalkan : s

dtd

, maka : 0v.9s6s2

atau : 09s6s2

akar-akar persamaan ini adalah :

39.1.4621

26s 2

1

dan

39.1.4621

26s 2

2

terlihat bahwa :

36)6(G 22 dan 36

)9/1(1.4

LC4

maka : LC4G 2

, sehingga bentuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah

Persamaan (4.65), yaitu :

t2

t1 .t.K.Kv

dengan 3

1.2)6(

C2G

, sehingga :

t3

2t3

1 .t.K.Kv (b)

Apabila saklar dibuka pada saat t = 0, maka :

v(0+) = 0 (c)

105

hal ini disebabkan karena sifat dari C yang tidak dapat berubah dengan seketika,

demikian juga halnya dengan L yang tidak dapat berubah dengan seketika, maka arus

yang mengalir pada L pada t = 0 juga nol,sehingga :

0dtv

L1

(d)

kalau Persamaan (d) dan (e) disubstitusikan kedalam Persamaan (a) untuk t = 0, maka

didapat:

Io

0

dt)0(vL1

0

)0(v.G)0(dtdvC

atau :

det/volt4

14

CIo)0(

dtdv

(e)

Selanjutnya apabila Persamaan (c) disubtitusikan ke dalam Persamaan (b) untuk t = 0,

maka diperoleh :

0

.0.K.K)0(v 0.42

0.31

maka diperoleh :

K1 = 0 (f)

Selanjutnya diferensialkan Persamaan (b) satu kali :

t32

t32

t31 .t.K.3.K.K.3

dtdv

kemudian substitusikan Persamaan (e) dan (f) ke dalam persamaan di atas pada t = 0,


0.3

20.3

20.3

1 .K3.K.

0

K.3

4

)0(dtdv

maka diperoleh :

K2 = 4 (g)

Substitusikan harga-harga K1 dan K2 pada Persamaan (f) dan (g) ke dalam Persamaan

(b), sehingga diperoleh bentuk persamaan tegangan v pada rangkaian untuk kondisi

LC4G 2

adalah :

106

volt.t.4v t.3 setelah saklar dibuka selama 0,1 detik, maka besar tegangan V adalah :

volt296,0).1,0.(4v 1,0.3det)1,0(

Kemungkinan III :

LC4G2

harga β adalah negatif dimana s1 dan s2 kompleks

Dalam keadaan ini 2G

LC4

, sedangkan C2G

, maka akar-akar merupakan

bilangan kompleks :

js1 dan js2

selanjutnya akar-akar ini disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.55) sehingga didapat :

tj2

tj1 .K.Kv

atau :

tjt.2

tjt.1 .K.Kv

atau :

tj2

tj1

t. .K.Kv (4.71)

menurut rumus Euler’s bahwa :

tsinjtcostj dan tsinjtcostj


tsinjtcos.Ktsinjtcos.Kv 21t.

(4.72)

menurut Persamaan (4.56) pada t = 0 :

v(0+) = 0 (4.73)

selanjutnya menurut Persamaan (4.57) pada t = 0 :

CIo)0(

dtdv

(4.74)

dan kalau harga ini disubstitusikan kedalam Persamaan (4.72) untuk t = 0, diperoleh :

0.sinj0.cos.K0.sinj0.cos.K

0

)0(v 210.

107

atau : K1 + K2 = 0 (4.75)

Selanjutnya diferensialkan Persamaan (4.72) satu kali :

tcosjtsin.Ktcosjtsin.K

tsinjtcos.Ktsinjtcos.Kdtdv

21t.

21t.

(4.76)

Selanjutnya substitusikan Persamaan (4.74) ke dalam Persamaan (7.76) untuk t = 0,

maka didapat :

0.cosj0.sin.K0.cosj0.sin.K

0.sinj0.cos.K0.sinj0.cos.K

CIo

)0(dtdv

210..

210.

atau :

2121 KKjKK

CIo

(4.77)

kalau Persamaan (4.75) disubstitusikan ke dalam Persamaan (4.77), akan diperoleh :

1K2jCIo

(4.78)

dari Persamaan (4.75) dan (4.77) diperoleh :

C2jIoK1

(4.79)

dan : C2jIoK2

(4.80)

selanjutnya substitusikan Persamaan (4.79) dan (4.80) kedalam Persamaan (4.72) akan

diperoleh :

tsinjtcos.

C2jIotsinjtcos.

C2jIov t.

(4.81) atau :

tsin

CIov t

(4.82)

maka diperoleh persamaan tegangan v pada rangkaian Gambar 4.5, untuk kondisi

LC4G 2

dimana 2G

LC4

, seandainya harga α dan β disubtitusikan ke dalam Persamaan (4.82), akan diperoleh :

108

tGLC4sin

GLC4C

Iov 2

2

tC2

G

atau :

tC2

GLC4

sinG

LC4

C2CIov

2t

C2G

2

atau :

tC2

C4G

LC1C2

sin

4G

LC2

C2CIov

2

2

tC2

G

2

atau :

tC4

GLC1sin

4G

LC

.Iov 2

2

2

tC2

G

(4.83)

terlihat v merupakan osilasi tegangan berbentuk sinus yang amplitudonya tidak konstan

dan menurun secara eksponensial dengan konstanta waktu GC2

dengan frekuensi ayunan ( angular frequency ) :

det/rad

C4G

LC1

2

2

n (4.84)

kalau Persamaan (4.83) digambarkan kurvanya adalah :

4G

LC

.Io2

tC2

G

4G

LC

.Io2

tC2

G

tC2

G

tC2

G

Gambar 4.8 Kurva tegangan pada rangkaian paralel RLC dengan input arus searah pada kondisi L

C42G

Contoh :


109

pada saat t = 0 saklar dibuka, carilah bentuk persamaan tegangan v pada rangkaian.

Jawab :

Adapun persamaan arus pada rangkaian setelah saklar dibuka ialah :

Iodtv

L1v.G

dtdvC (a)

bila Persamaan (a) dideferensialkan satu kali, maka didapat L :

0

Lv

dtdvG

dtvdC 2

2

(b)

dengan mensibtusikan harga-harga C, G dan L maka diperoleh :

0v.2

dtdv2

dtvd2

2

(c)

misalkan : s

dtd

, maka Persamaan (c) menjadi :

0v.2s2s2 (d)

atau :

02s2s2 (e)

adapun akar-akar Persamaan (e) adalah :

1j11.2.4221

22s 2

1

1j11.2.4221

22s 2

2

dari rangkaian terlihat bahwa :

45,0

1G2

2

dan 8

5,01.4

LC4

110

sehingga ternyata bahwa LC4G 2

, maka bentuk umum penyelesaian Persamaan (a)

adalah Persamaan (4.55) dengan mensubstitusikan harga-harga s1 dan s2 ke dalam

Persamaan (4.55) ini akan diperoleh :

t1j12

t1j11 .K.Kv

atau : jt

2jt

1t .K.Kv

karena : tsinjtcostj dan tsinjtcostj

maka :

tsinjtcos.Ktsinjtcos.Kv 21t

atau :

tsin.jKjKtcos.KKv 2121t

bila dimisalkan :

321 K)KK( dan 421 K)jKjK(

maka :

tsin.Ktcos.Kv 43t

(f)

Karena tegangan pada C tidak dapat berubah dengan seketika, maka menurut

Persamaan (4.56), maka v(0+) = 0, dan demikian pula halnya arus pada L tidak dapat

berubah dengan seketika, maka 0dtv

L1

, selanjutnya apabila harga ini

disubstitusikan ke dalam Persamaan (a) untuk t = 0, maka diperoleh :

Io

0

dt)0(vL1

0

)0(v.G)0(dtdvC


det/volt2

12

CIo)0(

dtdv

(g)

Selanjutnya bila harga v(0+) = 0 disubtitusikan ke dalam Persamaan (f) akan diperoleh :

0sin.K0cos.K

0

)0(v 430

111

maka diperoleh : K3 = 0 (h)

apabila harga K3 ini disubstitusikan kedalam Persamaan (f), maka didapat :

tsin.Ktcos.0v 4t

atau :

tsin.K.v 4t (i)

bilamana persamaan (i) dideferensialkan satu kali maka didapat :

tcos.K.tsin.K.dtdv

4t

4t

atau :

tsintcosK.

dtdv

4t

(j)

Apabila Persamaan (g) disubstitusikan ke dalam Persamaan (j) untuk t = 0, diperoleh :

0sin0cosK.

2

)0(dtdv

40

sehingga diperoleh : K4 = 2 (k)

dan bilamana harga-harga K3 dan K4 disubstitusikan kedalam Persamaan (f) maka

diperoleh bentuk persamaan tegangan v bilamana saklar dibuka pada saat t = 0 adalah :

tsin2v t

112

4.4 Soal Latihan

1. Dengan mengabaikan semua kondisi awal, maka carilah bentuk persamaan arus i

setelah saklar ditutup dan cari juga besar arus pada rangkaian setelah saklar ditutup

selema 0,1 detik

2. Rangkaian di bawah ini sudah dalam keadaan steady state maka pada t = 0 saklar

dibuka. Carilah bentuk persamaan v dan i setelah saklar dibuka.

3. Rangkaian di bawah sudah mencapai keadaan steady state, pada saat t = 0 saklar

dibuka, carilah bentuk persamaan v setelah saklar dibuka dan cari juga besar v

setelah saklar dibuka selama 0,2 detik.

4. Perhatikan rangkaian di bawah ini carilah persamaan v pada rangkaian di bawah ini.

BAB 4 PENGANALISAAN RANGKAIAN DENGAN...

Documents

Transcript of BAB 4 PENGANALISAAN RANGKAIAN DENGAN...