Bab 3-Kuantum Recovered)

Bab 3 Perumusan Umum Mekanika KuantumAda dua pendekatan umum yang dilakukan di dalam fisika. Pertama pendekatan fenomenologis yang diikuti perumusan diferensial integral biasa dan lainnya pendekatan formal matematis sejak awal. Pada bab ini disajikan perumusan formal dan berbagai konsekuensi dari mekanika kuantum yang berangkat dari pernyataan formal. 3.1. Postulat-Postulat Dasar Mekanika Kuantum a. Representasi Keadaan Postulat 1a. Keadaan (state) dari sistem (mekanika) kuantum dideskripsikan atau direpresentasikan oleh fungsi gelombang, .

Fungsi gelombang mengandung semua informasi keadaan sistem setiap saat dan tidak (dapat) diukur secara langsung. Postulat 1b. Prinsip Superposisi, merupakan dua fungsi gelombang yang

menggambarkan dua keadaan dari suatu sistem maka untuk setiap kombinasi linier , dan konstanta, terdapat suatu keadaan yang lain dari sistem.

Prinsip superposisi ini membawa pada konsep ruang vektor. Kumpulan semua fungsi gelombang dari suatu sistem membentuk ruang vektor linier kompleks berdimensi tak hingga. Berkaitan dengan ruang vektor linier tersebut didefinisikan perkalian skalar (scalar product) antara dua fungsi gelombang dan

berikut: (3.1)

Definisi di atas memberikan hubungan lebih lanjut sebagai berikut: (3.2a) (3.2b) (3.2c) Dengan c merupakan konstanta kompleks, dan (3.2d) Sama dengan nol jika dan hanya jika b. Representasi Variabel Dinamis Postulat 2. Setiap variabel dinamis( ) BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

direpresentasikan oleh operator linier

.

1

Operator tersebut bekerja pada fungsi-fungsi dari sistem, dan mengubahnya menjadi fungsi gelombang yang lain, Operator A disebut operator linier, jika bekerja pada fungsi gelombang , hubungan: (3.3a) { Dengan c, Contoh 3.1 Selidiki liniearitas operator A yang didefinisikan sebagai berikut: , dan } adalah kosntanta-konstanta (bilangan kompleks). (3.3b)

dan memenuhi

Pennyelesaian: a. Operator A didefiniskan menurut

Maka untuk c,

,

, kosntanta berlaku

{ atau

()

}

Jadi operator A bukan operator linier karena ada satu sifat atau definisi operator linier yang tidak dipenuhi.

Maka untuk c,

,

, konstanta berlaku:

2

BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

{

}

{ { } {

} }

Jadi A adalah operator linier (karena kedua sifat dipenuhi)

Di dalam mekanika kuantum, variabel-variabel dinamis pada umumnya tidak komut. Misalkan A dan B adalah dua variabel dinamis, umumnya berlaku: ABBA atau (3.4b) Selanjutnya, didefiniskan hubungan komutasi atau komutator antara A dan B. AB-BA=[A,B] Sebagai contoh perhatikan cara memperoleh komutator antara x dan p., ( ) ( ) -

(3.4a)

(3.5)

{

}

[

]

(3.6)

Hubungan komutasi antara x dan p ini dikenal sebagai kuantisasi pertama. Secara umum, untuk* +

dan

dengan i, j=1,2,3 berlaku (3.7) dan adalah fungsi delta

Dengan Kronecker yang didefinisikan sebagai:{

(3.8)

3


dengan demikian

Definisi komutator (3.5) memberikan hubungan komutasi bagi tiga operator A, B dan C, yaitu:[ ]

[ dan dengan cara serupa[ ] [ ]

]

[ [

] ]

(3.9a)

(3.9b)

Contoh 3.2: Hitung komutator: a. [ b. [] ]

Penyelesaian: a.[ ] [ ]

, maka [ [[ ] [

] [ ]]

[ ]

]

Memperhatikan pangkat dari x, didapat juga:

Karena itu,[ ] {[ ] } BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

[ [[ ] [

] ]]

atau secara umum, , dengan m n

Untuk m = n,[ ] [ ]

b. Dengan cara serupa[ ] [ ] [ ] [

,]

4

[

]

Evaluasi lebih lanjut memberikan[ ]

Postulat 3. Nilai rata-rata dari pengkuruan variabel dinamis A yang dilakukan pada sistem yang mempunyai keadaan

diberikan oleh: (3.10)

Besaran ( ) disebut sebagai harga ekspetasi, nilai harap atau nilai duga dari variabel dinamis A. Untuk

yang tidak dapat ternormalisasi,

Mempertimbangkan kenyataan fisis, maka hanya variabel dinamis berharga ekspektasi riil yang diukur secara langsung atau teramati (observabel). Dengan kata lain jika A observabel, diperlukan batasan atau

(3.12)

c. Evolusi Sistem dan Tetapan Gerak Postulat 4. Keadaan bervariasi terhadap waktu menurut persamaan Schrodinger

Postulat ini dan persamaan (3.10) memberikan evolusi terhadap waktu bagi harga ekspektasi [ ]

Dari persamaan (3.14) ini tampak bahwa jika A tidak bergantung waktu secara eksplisit dan komut terhadap H,[ ] BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

maka

yang berarti bahwa tidak bergantung waktu. Dengan kata lain observabel A merupakan kuantitas kekal dan biasa disebut sebgai tetapan gerak. Contoh 3.3 Turunkan pers. (3.14)

5

Penyelesaian: Dari pers.(3.10) diperoleh

(

)

(

)

Selanjutnya gunakan pers.(3.13),diperoleh( )

dan ( )

Maka

[ (terbukti). ]

Contoh 3.4 Mengingat sifat nonkomut dari dua observabel A dan B, maka secara umum berlakuBAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Perlihatkan dengan 2 contoh eksplisit untuk (i) A dan B komut dan (ii) A dan B tidak komut. Penyelesaian: (i) Misal,* +

,B=

, dengan komutator (3.7)

maka( ) ( )( )

( (

) )

6

(ii)( )

Bila A = x, B =( )( )

menggunakan komutator (3.6), diperoleh

Dari dua contoh (i) dan (ii) di depan dapat disimpulkan bahwa jika A dan B komut. Sedangkan jika (

jika dan hanya

,maka)

dengan adalah operator momentum sudut

(3.16)

(3.17)

Uraikan pers.(3.16) sebagai latihan dan melemaskan tangan. Contoh 3.5 Perlihatkan bahwa komponen z dari momentum sudut Lz sistem partikel bebas merupakan tetapan gerak. Penyelesaian: Dari Pers. ( 3.17)

= Sebagaimana pers. (2.64a) atau (2.6), Hamiltonian partikel bebas diberikan oleh: ( dengan demikianBAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum [ ] * ( )+

)

[ Karena*

] , uraian lebih lanjut memberikan,+

tidak bergantung x dan y maka komut dengan+ * + *

([ Gunakan komutator (3.9), didapatkan* + * + [ ]

]

[

])

([

]

*

+)

[

]

[

]

7

[

]

[

]

[

]

*

+

*

+

*

+

*

+

*

+

*

+

([

]

[

])

dengan demikian* +

Karena itu[ ]= 0

Karena

komut dengan hamiltonian partikel bebas dan tidak bergantung waktu secara dari partikel bebas merupakan tetapan gerak atau

eksplisit maka momentum sudut kuantitas kekal.

3.2 OPERATOR DAN MASALAH EIGEN 3.2.1 Operaator Hermite Untuk operator linier sebarang, didefinisikan nilai harap (3.18) BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Karena itu ( (3.19) )

Operator sekawan hermite dari A ditulis A*, didefinisikan sebagai:

Sedangkan, suatu operator A dikatakan operator Hermitian jika: A* = A(3.20)

8

Contoh 3.6 Untuk dua operator A dan B perlihatkan bahwa (3.20) Penyelesaian: Misalkan AB=C maka dari definisi (3.18) didapatkan

Masih dari definisi (3.18), uraian per operator memberikan

Dari dua hasil di atas, jelas bahwa

3.2.2 Masalah Nilai Eigen dan Degenerasi Jika operator A bekerja pada fungsi dan berlaku (3.21) dengan a adalah bilangan dan suatu fungsi maka masing-masing dikatakan sebagai nilai

eigen dan fungsi eigen dari operator A. Sedangkan pers.(3.21) disebut persamaan eigen. Selanjutnya jika hanya ada satu fungsi eigen untuk setiap nilai eigen,BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

(3.22a) yaitu a b dan maka sistem bersangkutan dikatakan non-degenerasi. Sedangkan jika

ada lebih dari satu fungsi eigen untuk satu nilai eigen tertentu

(3.22a) Walau maka sistem yang bersangkutan dikatakan mengalami degenarisasi atau

singkatnya sistem terdegenerasi. Jika dan merupakan fungsi eigen degenarisasi, sebagaiamana (3.22b), maka

kombinasi linearnya juga merupakan fungsi eigen.

9

(3.22c) Karena itu terdapat tak hingga fungsi eigen untuk setiap nilai eigen degenerasi. Himpunan dari semua fungsi eigen degenerate membangun satu ruang vektor. Jika ada n fungsi eigen bebas linier yang mempunyai nilai eigen sama a, maka kombinasi liniernya.

Juga mempunyai nilai eigen a dan

dikatakan membentuk basis yang membangun

ruang vektor. Bilangan n disebut tingkat degenerasi (degree of degeneracy) dari nilai eigen a dan nilai eigen dikatakan tergenerasi lipat-n (n-fold degenerate).

3.2.3 nilai dan fungsi eigen operator hermitian Dari definisi sekawan hermite, operator hermite dan perkalian skalar dapat diperoleh bahwa: i. Nilai eigen dari operator hermitian adalah riil ii. Dua fungsi eigen dari operator hermitian dengan dua nilai eigen berbeda akan ortogonal. Dua fungsi eigen dan dikatakn ortogonal jika produk skalarnya memenuhi: (3.23) Dengan c adalah bilangan riil. Bukti dari dua pernyataan dari operator hermite di atas adalah sebagai berikut. Misal dan adalah dua fungsi eiegen dari operator hermite H

, maka i. Dari definisi operator sekawan hermite (3.18) dan operator H (3.19)

atau

Dari persamaan eigen di atas didapatkan,

1 0


( )

Mengingat pertidaksamaan (3.2d), secara umum ( )

Maka

atau

Jadi nilai eigen b riil.

ii. Sekali lagi menggunakan pers.(3.18)( )

dan dari dua persamaan eigen untuk( ( ) )

serta nilai eigen riil dari H, maka

atau Karena a b untuk m n maka

Karena itu berlaku

Yang berarti bahwa

ortogonal

3.2.4 Kelengkapan dan Normalisasi Fungsi Eigen Fungsi eigen (suatu sistem) dari operator Hermite himpunan lengkap (complete set) jika fungsi sebarang diekspansi: { } dikatakan membentuk

dari sistem bersangkutan dapat

1 1


Suku pertama ekspansi berlaku bagi nilai eigen diskrit, sedangkan suku kedua bila kontinyu Jika semua nilai eigen dari A diskrit, maka untuk

ternormalisasi berlaku

( | |

) (

)

Jadi koefisien memenuhi persyaratan| |

dengan cara yang sama, untuk semua nilai eigen kontinyu | Secara umum, jika| |

| dapat diekspansi seperti pers. (3.24), maka| | BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Jadi, nomalisasi dapat dilakukan dengan membuat jumlah seluruh modulus dari koefisien ekspansi sama dengan satu.

3.2.5 Interpretasi Fisis Perhatikan ungkapan ekspektasi dari A dalam keadaan , dengan spektrum diskrit

1 2

( | |

) (

)

Jadi, harga ekspektasi adalah rata-rata bobot nilai eigen

dari A. adalah || . Dengan demikian,

Hasil pengukuran A adalah salah satu dari nilai-nilai eigennya, dan kemungkinan mendapatkan nilai tertentu jika sistem dalam keadaan

arti fisis dari nilai-nilai eigen (dari) suatu observabel merupakan hasil yang mungkin dari pengukuran observabel tersebut. Sedangkan fungsi eigen keadaan yang mana observabel A mempunyai nilai tertentu (dari A) mempresentasikan satu .

3.2.6 Fungsi Gelombang dalam Ruang Momentum Fungsi Gelombang yang telah kita bahas merupakan fungsi gelombang dalam ruang koordinat. Berikut ini diuraikan representasi momentum bagi fungsi gelombang yaitu ungkapan fungsi gelombang dalam ruang (variabel) momentum. Kaitan antara fungsi gelombang dalam ruang koordinat dalam ruang momentum diberikan oleh transformasi Fourier (2.3) dengan


. pasangan transformasi Fouriernya diberikan oleh:

untuk kasus satu dimensi tak bergantung waktu, dan dengan

1 3

Selanjutnya definisi harga ekspektasi, didapatkan

Sedangkan produk skalar

{ { {

} }

}

sendiri memberikan hasil sesuai teorema Parseval,

Hasil (3.27) dan (3.28) mengisyaratkan bahwa

dapat diinterpretasikan sebagai| merupakan kerapatan

fungsi gelombang di dalam ruang momentum dengan | probabilitas untuk mendapatkan partikel bermomentum p.

Dengan demikian, dari hasil (3.27) tampak bahwa operator momentum ruang momentum diberikan oleh:

dalam

Selanjutnya, dari (hukum) kuantisasi pertama (3.6),[ ]

Didapatkan observabel x dalam ruang momentum, yaitu:

Secara umum, operator f(x) di dalam ruang momentum diberikan oleh: ( )

Perumusan di atas dapat diperluas ke dalan kasus tiga dimensi. Contoh 3.5: Fungsi gelombang suatu saat dari partikel yang bergerak sepanjang sumbu x berbentuk:

1 4


{ Tentukan: a. C jika ternormalisasi

| | | |

b. Fungsi gelombang momentum c. Rapat probabilitas dan grafiknya d. Harga rata-rata momentum dengan (i) Fungsi gelombang ruang koordinat (ii) Fungsi gelombang ruang momentum Penyelesaian: a. ternormalisasi, Jadi Sehingga { b. Fungsi gelombang BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

| | | | , dari pers.(3.2d)

){ }

(

c. Rapat probabilitas | | . ( ) ( ) /

1 5

Grafiknya

Gambar 3.1 Probabilitas dalam ruang momentum d. Nilai duga { }

( )

3.3 PRINSIP KETIDAKTENTUAN HEISENBERG 3.3.1 Hubungan Umum Harga ekpektasi adalah rata-rata dari beberapa pengukuran, dan pengukuran individual akan menyimpang (deviate) dari harga rata-rata tersebut. Standar deviasi yang didefinisikan sebagai akar kuadrat dari rata-rata kuadrat deviasi, { } dalam

dapat dianggap sebagai ukuran penyebaran dari nilai terukur. Penyebaran pengukuran A ini disebut ketidaktentuan (uncertaintis) di dalam pengukuran A. Sekarang dimisalkan ada dua observabel A dan B, dan dituliskan

1 6


( )

Pertanyaannya, dapatkah diperoleh keadaan yang membuat

dan

keduanya nol

atau A dan B keduanya mempunyai nilai presisi? Untuk menjawab pertanyaan ini, tuliskan kuantitas

dan ajoint-nya: dengan

adalah parameter riil. Dari sifat operator sekawan Hermitenya didapatkan

atau uraiannya ] [ ] [ ]

mengingat[

Ruas kiri pers.(3.34b) mempunyai harga minimum jika derivative terhadap mempunyai harga nol. Hal ini terjadi jika [ [

] ]

Untuk harga ini, pers.(3.34b) menjadi

atauBAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum [ ]

Menggunakan ungkapan (3.32) didapat[ ]

Ungkapan (3.35) merupakan ungkapan umum dari prinsip ketidak tentuan untuk pasangan observabel A dan B. Sebagai contoh, A dan B adalah pasangan sekawan kanonik x dan p, dengan[ ]

maka

1 7

atau

Sebagaimana telah diperoleh pada bab terdahulu. Dibanding pers.(1.31) yang diperoleh dengan pendekatan semikualitatif, pers.(3.36) merupakan bentuk yang lebih mendasar dari prinsip ketidaktentuan Heisenberg. Contoh 3.7: Perhatikan kembali partikel yang terperangkap di dalam kotak satu dimensi sepanjang L. fungsi gelombang keadaan dasar, keadaan tereksitasi pertama dan keadaan tereksitasi kedua berturut-turut diberikan sebagai berikut: ( )

(

)

(

)

Hitung: a. untuk setiap keadaan tersebut di atas. , dan selalu dipenuhi. b. dan

c. periksa apakah hubungan Penyelesaian:

Uraikan lebih lanjut dari persamaan (3.32) dan

memberikan:BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Karena itu, untuk menghitung

perlu dihitung, dan terlebih dahulu.

a. Mengingat gambar 2.4b (terlampir), tampak bahwa kemungkinan untuk mendapatkan partikel di sebelah kanan dan di sebelah kiri adalah sama. Karena itu, rata-rata posisi untuk semua tingkat keadaan secara kualitatif adalah 1/2 . para pembaca sekalian silahka membuktikan secara kualitatif. Sedangkan

Integral terakhir dihitung menggunakan integral parsal dan didapatkan

1 8

(

)

(

)|

(

)|

( ( )

)|

Subtitusi kembali ke dalam { }

didapatkan:

Selanjutnya subsitusi ke dalam deviasi (3.37) di dapatkan;

Rinciannya, untuk Untuk Untuk b. Untuk deviasi momentum ( ) BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

(

)

(

)

1 9

(

)

{

(

)}|

Jadi, untuk

,

, dan

berturut-turut diberikan oleh

Sedagkan, mengingat alasan kualitatif jawaba a, yaitu kemungkinan partikel bergerak ke kanan sama dengan kemungkinan partikel bergerak ke kiri maka rata-rata momentum adalah nol untuk semua tinglat keadaan. Coba perhatikan. Karena itu

c. Gunakan solusi a dan b BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Tampak bahwa besaran di dalam tanda akar Sehingga Untuk semua tingkat keadaan n.

1 untuk semua n

3.3.2 Observabel Komut Untuk kasus dua observabel A, B komut, maka ruas kanan (3.35) nol, sehingga dan

bisa nol. Dengan kata lain, terdapat keadaan dengan A, B mempunyai nilai presisi dan terdapat fungsi eigen serempak (simultaneously) dari A dan B. Tinjau fungsi eigen dari A.

Jika A dan B komut, AB = BA, maka

2 0

atau

Jadi,

dan

merupakan fungsi eigen dari A dengan nilai eigen sama,a. tetapi jika harus konstanta kali .

nondegenerasi, maka

Hal ini berarti

juga fungsi eigen dari B dengan nilai eigen b. karena itu .

,

merupakan fungsi eigen serempak dari A dan B, dan biasa ditulis

Tetapi apa yang terjadi jika nilai eigennya degenerasi? Dari pers.(3.38b), tampak bahwa juga fungsi eigen dari A. Meskipun demikian, selalu mungkin dipilih sejumlah r

fungsi eigen (r merupakan tingkat degenerasi dari nilai eigen a) yang kombinasi liniernya merupakan fungsi eiegen dari B. Artinya, selalu bisa dipilih sekumpulan lengkap dari fungsi eigen serempak untuk pasangan observabel komut A dan B.

3.4 PARTIKEL IDENTIK 3.4.1 Sistem Interaktif Misalkan ada dua sistem yang masing-masing mempunyai sekumpulan variabel dinamisnya sendiri. Dua sistem tersebut bisa berupa satu elektron dan satu atom, atau dua atom dan seterusnya. Keadaan sistem tersebut dilabel dengan simbol 1 dan 2, dan setiap observabel 1 akan komut dengan setiap observabel 2 karena mereka merupakan dua sistem yang berbeda. Hamiltonian sistem gabungan ditulis H(1,2), misal Hamiltonian ini dapat disusun sebagai H1(1) jumlah dari Hamiltonian subsistem pertama dari subsistem kedua H2(2), Gabungan dua subsistem ini merupakan dua sistem bebas atau dua sistem tak berinteraksi, keduanya tidak saling mempengaruhi. Jika u(1), v(2) masing-masing fungsi eigen dari H1(1) dan H2(2).BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

H(1,2) = H1(1) + H2(2)

(3.40)

maka ( )

dengan energi eigen

2 1

Dengan demikian, fungsi eigen dari sistem gabungan yang terdiri dari dua subsistem tak berinteraksi adalah perkalian dari masing-masing fungsi eigen subsistem individual, sedangkan nilai eigennya adalah jumlah masing-masing nilai iegen individual. Jika kedua sistem tersebut berinteraksi maka H(1,2) tidak dapat diuraikan seperti pers.(3.40) melainkan:

Dengan

sebagai bagian atau Hamiltonian interaksi dan

bagian

Hamiltonian bebas. Fungsi eigen sistem tidak lagi perkalian u(1)v(2).

3.4.2 Sistem Partikel Identik Dua partikel dikatakan identik jika tidak ada efek ketika kedua partikel tersebut dipertukarkan. Lebih tepatnya, semua kuantitas teramati harus tidak berubah jika posisi, momentum, dan variabel dinamis lainnya seperti spin dari partikel pertama (secara kolektif ditulis 1) dipertukarkan dengan variabel dinamis dari partikel kedua (ditulis 2), yaitu (3.44) Berkaitan dengan sistem partikel identik ini, didefinisikan operator pertukaran (exchange operator) P yang bekerja pada fungsi gelombang sebagai berikut: (3.45) Operator pertukaran P mempertukarkan partikel (1) dan partikel (2). Jika merupakan fungsi eigen dari Hamiltonian (3.44), (3.46)BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Maka penerapan P pada persmaan eigen tersebut memberikan:

Jadi, P dan H komut [ ]

Karena itu, P mempresentasikan suatu kuantitas kekal. Dari definisi (3.45) didapat,

2 2

Sehingga (3.49) Bentuk ini memberikan nilai eigen 1. Selanjutnya, untuk menghindari kerancuan simbol, sebagai fungsi eigen dari P ambil dengan ,

Jika . seperti telah disebutkan di depan nilai eigen =1 atau =-1 . berkaitan dengan dan yang meneuhi hubungan:

Maka

nilai eigen ini, ambil

Definisi (3.45) dan pers.(3.51) memberikan fungsi eigen

yang disebut fungsi eigen simetri (terhadap pertukaran partikel). Sedangkan

disebut fungsi eigen antisimetri. Fungsi yang memenuhi dua sifat di atas adalah { { } }

Sebagai ilustrasi, perhatikan operasi berikut { { { } }BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

{

} }

Hasil atau ungkapan bahwa P merupakan tetapan gerak mempunyai arti bahwa keadaan simetri setiap saat akan selalu simetri, dan keadaan antisimetri akan senantiasa tetap

2 3

antisimetri. Kesimetrian ini merupakan hukum alam dan menjadi karakteristik dari partikelpartikel. hukum simetri-antisimetri dirumuskan oleh Pauli dan menyatakan: 1) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin tengahan (1/2, 3/2, 5/2,...)digambarkan oleh fungsi gelombang antisimetri. Partikel-partikel ini disebut fermion dan memenuhi statistik Fermi-Dirac. 2) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin bulat (0,1,2,...) digambarkan oleh fungsi gelombang simetri. Partikel-partikel ini disebut boson dan memenuhi statistik BoseEinstein. Hukum untuk dua partikel identik tersebut dapat diperluas untuk sistem N partkel. Sebagai misal. Perhatikan fungsi gelombang sistem tiga partikel, jika partikelnya fermion, { }

Sedangkan untuk boson, { }

Jika ketiga partikel tersebut tidak berinteraksi satu dengan lainnya, maka dituliskan sebagai perkalian fungsi eigen individual

dapat

dan seterusnya; dengan u(1) adalah keadaan u untuk partikel 1, dan seterusnya. Menggunakan ungkapan (3.55), fungsi gelombang antisimetri (3.54a) dapat dituliskan sebagai: | |BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Sedangkan fungsi gelombang simetri (3.54b) dapat diperoleh melalui determinan (3.56) dengan mengganti semua tanda minus menjadi tanda plus. Perluasannya untuk N partikel, dapat diperoleh dengan mengambil N fungsi eigen untuk N partikel, gelombang antisimetri yang berarti partikel ke-j mempunyai/menempati keadaan ke-i. Fungsi , diberikan oleh determinan, | | | |

2 4

Determinan (3.57) ini disebut determinan Slater. Jelas, dari determinan ini terdapat sedikitnya dua keadaan individual maka lenyap. Artinya, tidak boleh ada dua

partikel (atau lebih) yang menempati keadaan sama; hal inilah yang dikenal sebagai prinsip larangan Pauli (exclusion principle of Paulli) untuk fermion. Seperti dalam kasus tiga partikel, fungsi gelombang simetri untuk boson diperoleh dari ekspansi determinan Slater dengan mengganti semua tanda minus dengan plus. Konsekwensi penggantian tanda ini adalah jika bisa menempati satu keadaan yang sama. Berikut ini kita lihat konsekwensi penting dari prinsip larangan Pauli terhadap tingkat energi sistem boson dan sistem fermion. Misalkan ada N partikel identik di dalam kubus dan potensial berukuran L3, menurut uraian pada subbab 2.3.4, didapatkan energi eigen untuk setiap partikel. , tidak nol. Artinya, dua atau lebih partikel boson

dan fungsi eigennya ( ) ( ) ( ) ( )

Energi keadaan dasar bagi sistem dengan partikel-partikel identik bososn atau fermion mempunyai perbedaan yang sangat menyolok. Pertama, bila partikel-partikel tersebut adalah boson. Karena satu keadaan boleh ditempati oleh lebih dari satu boson maka dalam keadaan dasar semua boson menempati keadaan dengan energi terndah yaitu adalah . energi masing-masing partikel bosonBAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Karena itu, energi total sistem yang terdiri dari N boson identik tidak lain adalah N kali energi partikel individual

Kedua, bila N partikel tersebut adalah fermion misalnya elektron. Karena elektron mempunya spin-up dan spin-down maka setiap titik ( ) diisi oleh dua elektron. Dalam

kondisi keadaan dasar, elektron mengisi keadaan-keadaan dengan energi paling rendah yang mungkin. Energi tertinggi yang ditempati oleh elektron-N dalam keadaan dasar dikenal

2 5

sebagai Fermi. Mengingat setiap titik kisi bisa ditempati oleh dua elektron maka jumlah elektron di dalam seperdelapan bola berjejari n adalah: { ( ( } ) )

atau, energi Fermi sistem diberikan oleh: ( dengan )

merupakan kerapatan partikel per satuan volume. Energi total sistem merupakan jumlah seluruh energi yang mungkin,

N merupakan jumlah partikel pada titik-titik kisi di dalam seperdelapan bola berjejari R ( atau ( )BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

)

Sehingga energi total sistem elektron adalah: ( )

atau, dalam ungkapan energi Fermi, , ( ) -

2 6

Contoh 3.8: Dua elektron tak berinteraksi berada dalam kotak potensial satu dimensi sepanjang L. Jika kedua spin elektron tersebut sama, tentukan: a. Fungsi gelombang keadaan dasar, dan b. Energi keadaan dasar sistem dua elektron tersebut. Penyelesaian: a. Karena spin kedua elektron sama maka keadaan dasar mungkin satu elektron di dan elektron lainnya di ( ) , dengan

(

)

(

)

(

)

dan fungsi gelombang keadaan dasar anti simetrinya: { { ( ) ( ) | | } ( ) ( )}BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

b. Energi keadaan dasarnya:

Contoh 3.9 Ulangi scontoh soal, jika kedua partikelnya adlaah boson. Penyelesaian: a. Keadaan dasar sistem ini adalah keadaan dengan kedua partikel boson berada di tingkat paling bawah . ( )

2 7

(

) .

Ingat, secara umum posisi kedua boson berbeda, Jadi, ( b. Energinya, ) ( )

Ilustrasi keadaan dua partikel dalam keadaan dasar

Gambar.3.2. Keadaan dasar sistem dua (a) fermion berspin sama (b) boson

Contoh 3.10BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Lima belas elektron dengan spin-up dan spin-down yang tidak saling berinteraksi berada pada permukaan potensial dua dimensi L x L. Dinding tepi permukaan berpotensial tidak berhingga, sedangkan potensial di dalam adalah nol. Sistem dalam keadaan dasar.

2 8

Tentukan: a. Semua tingkat energi yang ditempati elektron b. Energi fermi sistem Penyelesaian: a. Serupa dengan kotak potensial pada pasal 2.3.4 maka tingkat energi setiap elektron bermassa di dalam kotak

Keadaan eigennya setiap elektron ( ) ( )

Dalam keadaan dasar elektron-elektron menata diri dengan menempati keadaan dengan tingkat energi paling rendah. Karena elektron mempunyai dua spin berbeda maka setiap tingkat dapat ditempati oleh dua elektron. Dengan demikian, energi kelima belas elektron tersebut. Bilangan Kuantum m 1 1 2 2 1 3 3 2 n 1 2 1 2 3 1 2 3 Keadaan Eigen Energi 2 5 5 8 10 10 13 13 Jumlah Elektron 2 2 2 2 2BAB 2 Perumusan Umum Mekanika Kuantum

2 2 1

Jumlah elektron pada dua keadaan terakhir dapat dipertukarkan. Energi total sistem dalam keadaan ternedah adalah jumlah seluruh energi di atas, yaitu b. Energi Fermi adalah energi elektron terluar, yaitu .

2 9

Bab 3-Kuantum Recovered)

Documents

Transcript of Bab 3-Kuantum Recovered)