BEAM OPTICS

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS JEMBER

Sinar Optik3.1 Sinar GaussianA. Amplitudo KompleksB. Sifat-sifatC. Banyaknya berkas Sinar3.2 TRANSMISI MELALUI KOMPONEN OPTIKA. Transmisi melalui Lensa TipisB. Pembentuk Berkas SinarC. Refleksi dari Cermin Berbentuk BolaD. Transmisi Melalui Sistem Optik Sebarang3.3 SINAR HERMITE-GAUSSIAN3.4 SINAR LAGUERRE-GAUSSIAN DAN BESSEL

Dapatkah cahaya terkungkung secara ruang (spatially) dan dilewatkan dalam ruang bebas tanpa penyebaran secara angular? Meskipun sifat alami gelombang cahaya kemungkinan menghalangi perjalanan ideal, cahaya dapat, pada kenyataannya, dibatasi dalam bentuk berkas sinar yang datang sedekat mungkin ke terlokasisi secara ruang dan gelombang tidak menyimpang.Dua perbedaan besar pada sudut dan pengungkungan ruang adalah gelombang datar dan gelombang sferis. Muka gelombang normal (sinar) pada sebuah gelombang datar bersamaan dengan arah gerakan gelombang sehingga ada sebaran sudut, tetapi energi meluas dengan leluasa ke semua ruang. Gelombang sferis, sebaliknya, berasal dari satu spasial titik, tapi memiliki muka gelombang normal (sinar) yang menyimpang di semua arah sudut.Gelombang yang muka gelombang normal membuat sudut-sudut kecil dengan sumbu yang disebut dengan gelombang paraksial. Mereka harus memenuhi persamaan paraksial Helmholtz, yang diperoleh di bagian 2.2 C. Sinar Gaussian ialah solusi penting persamaan ini yang menunjukkan karakteristik sinar optik, sebagai bukti oleh fitur berikut. Daya optik pada prinsipnya terkonsentrasi dalam silinder kecil yang mengelilingi sumbu berkas sinar. Distribusi intensitas dalam setiap bidang yang melintang ialah simetris lingkar Fungsi Gaussian yang berpusat di sekitar sumbu berkas sinar. Lebar fungsi ini adalah minimum di waist berkas sinar dan secara bertahap menjadi lebih besar sebagai jarak dari waist meningkat di kedua arah. Muka gelombang sekitar planar dekat beam waist, secara bertahap kurva sebagai jarak dari waist meningkat, dan akhirnya menjadi bulat kira-kira jauh dari waist. Perbedaan sudut dari muka gelombang normal mengasumsikan nilai minimum yang diijinkan oleh persamaan gelombang untuk sebuah lebar berkas sinar yang diberikan. Muka gelombang normal adalah seperti pensil tipis pada sinar. Di bawah kondisi ideal, cahaya dari banyak jenis laser mengambil bentuk berkas sinar Gaussian.

Bab iniEkspresi untuk amplitudo kompleks berkas sinar Gaussian ditetapkan dalam bagian 3.1 dan pembahasan rinci pada sifat fisik (intensitas, daya, lebar sinar, sinar divergensi, fokus kedalaman, dan fase) disediakan di dalamnya. Pembentukan sinar Gaussian (memusatkan, menyampaikan, mengumpulkan, dan memperluas) dengan menggunakan berbagai komponen optik adalah subjek pada bagian 3.2. Di bagian 3.3 kami memperkenalkan sebuah kelompok yang lebih umum pada sinar optikyang disebut dengan sinar Hermite-Gaussian, sinar sederhana Gaussian adalah anggota. Akhirnya, dalam bagian 3.4, Sinar Laguerre-Gaussian dan Bessel dibahas.

3.1 SINAR GAUSSIANA. Amplitudo komplekKonsep gelombang paraksial telah diperkenalkan pada bagian 2.2C. sebuah gelombang paraksial merupakan gelombang datar berjalan sejauh dengan arah (dengan bilangan gelombang dan panjang gelombang ), dimodulasi dengan envelope kompleks yang akan pelan-pelan berubah fungsi posisi (lihat gambar 2.2-5), jadi amplitudo kompleknya ialah

envelope ialah diambil kira-kira konstan sampai disekitar ukuran , jadi gelombang disekitar itu ditegakkan sifat bidang gelombang tetapi menunjukkan muka gelombang normal yaitu sinar paraksial.Yang lain dari itu amplitudo kompleks memenuhi persamaan Hemholtz, , envelope kompleks harus sesuai dengan persamaaan Hemholtz paraksial (2.2-23)

Dimana yang di transverse dari operator Laplacian. Solusi sederhana untuk persamaan bidang paraksial Hemholtz untuk gelombang paraboidal (lihat Latihan 2.2-2) yang mana

Dimana adalah konstan. Gelombang paraboidal merupakan taksiran dari gelombang sferis ketika dan lebih kecil daripada (lihat bagian 2.2B).Solusi lain untuk persamaan paraksial Hemholtz memimpin ke arah sinar Gaussian. Hal ini diperoleh dari gelombang paraboloidal dengan menggunakan transformasi sederhana. Sejak envelope kompleks pada gelombang paraboloidal (3.1-3) adalah sebuah solusi pada persamaan paraksial Hemholtz (3.1-2), jadi sama sebuah versi menggeser pada persamaan itu. Dengan menggantikan dimana adalah sebuah konstanta :

Hal ini mewakili sebuah pusat gelombang paraboloidal tentang titik sebagai ganti tentang , persamaan (3.1-4) sisa dari sebuah solusi (3.1-2) genap ketika adalah kompleks, tetapi solusi diperoleh secara dramatis perbedaan sifat. Pada keterangan yang lain, ketika semata-mata bilangan imajiner, dapat dikatakan dimana adalah real, (3.1-4) bidang envelope kompleks pada Gaussian Beam

Kuantitas disebut sebagai q-parameter pada sinar dan parameter diketahui sebagai jarak Rayleigh.Untuk memisahkan amplitudo dan fasa pada envelope kompleks ini, kita tulis fungsi kompleks pada formula ini adalah yang sebenarnya dan sebagian imajiner dengan melukiskan dua fungsi real yang baru, dan , yang sedemikian itu

Hal ini akan menunjukkan setelah itu dan adalah ukuran pada lebar berkas sinar dan jari-jari pembulatan muka gelombang, berturut-turut. Pernyataan untuk dan sebagai fungsi pada dan merupakan penyajian di (3.1-8) dan (3.1-9). Mensubtitusikan (3.1-6) ke (3.1-5) dan menggunakan (3.1-1) mengarah secara langsung sebuah pernyataan untuk amplitudo kompleks pada Berkas Sinar Gaussian :

Sebuah konstanta baru telah memberikan definisi untuk waktu yang tepat.Pernyataa untuk amplitudo kompleks pada Sinar Gaussian yang disajikan merupakan pusat dari bab ini. Hal ini diuraikan dengan dua parameter independen, dan , yang mana keduanya adalah determinan dari kondisi batas. Semua parameter yang lain berhubungan pada dan panjang gelombang dengan (3.1-8) ke (3.1-11). Manfaat dari parameter ini akan menjadi jelas berakibat.

B. PropertiesPersamaan (3.1-7) to (3.1-11) akan digunakan untuk determinan sifat pada Sinar Gaussian.IntensitasIntensitas optis adalah sebuah fungsi aksial dan posisi radial, dan , berturut-turut

Dimana , berapapun nilainya intensitasnya adalah fungsi Gaussian pada jarak radial karenanya disebut Sinar Gaussian. Fungsi Gaussian mempunyai puncak diatas sumbu , pada , dan berkurang secara monoton sebagai kenaikan . Lebar berkas sinar pada kenaikan distribusi Gaussian dengan jarak poros ke poros di ilustrasika pada gambar 3.1-1.Pada sumbu berkas sinar intensitasnya pada (3.1-12) diturunkan ke

Gambar 3.1-1 intensitas sinar dinormalisasi sebagai fungsi dari jarak radial di berbeda jarak aksial: (a) ; (b) ; (c)

Yang mempunyai nilai maksimum pada dan berkurang secara berangsur-angsur dengan kenaikan , mencapai setengah nilai puncak pada (Fig. 3.1-2). Ketika , sehingga intensitas berkurang dengan jarak sesuai dengan hukum balikan kuadrat, untuk gelombang sferis dan paraboloidal. Secara keseluruhan, Pusat berkas sinar merupakan lokasi pada intensitas terbesar: . Gambar 3.1-2 intensitas sinar dinormalisasi pada poin sumbu sinar sebagai fungsi jarak sepanjang sumbu sinar, .

DayaTotal daya optik yang dibawa oleh berkas sinar adalah integral dari intensitas optik atas setiap bidang melintang (katakanlah di posisi ),

Yang mana hasilnya

Daya berkas sinar adalah setengah intensitas puncak dikalikan dengan luas berkas sinar. Hasil independen dari , seperti yang diharapkan. Karena berkas sinar optik sering digambarkan dengan daya , sangat berguna untuk mengekspresikan dalam terminologi melalui (3.1-15), dimana (3.1-12) dapat ditulis ulang dalam bentuk

Rasio pada daya dibawa dalam sebuah radius lingkaran di garis melintang total daya, pada posisi , ialah

Daya yang terdapat didalam sebuah radius lingkaran ialah sekitar dari total daya. Sekitar yang terkandung dalam radius lingkaran dari daya yaitu .

Lebar Berkas sinarDi setiap bidang yang melintang, intensitas sinar mengasumsikan nilai puncak pada sumbu balok, dan menurun oleh faktor pada jarak radial . Karena 86% pada daya ialah melanjutkan dalam radius lingkaran , kami menganggap sebagai radius (atau lebar sinar). Lebar RMS distribusi intensitas, di sisi lain, adalah (Lihat Lampiran A, bagian A.2, untuk definisi berbeda pada lebar). Bantuan lebar sinar pada ialah diatur oleh (3.1-8),

Ini mengasumsikan nilai minimum, , pada bidang . Ini adalah beam waist dan diketahui sebagai jari-jari waist. Diameter waist disebut juga ukuran bintik. Lebar sinar meningkat secara monoton dengan , dan mengasumsikan nilai di (gambar 3.1-3).

Gambar 3.1-3 lebar sinar mengasumsikan nilai minimum pada beam waist (z = 0), mencapai di , dan meningkat secara linear dengan untuk besar.

Penyebaran BerkasUntuk suku pertama pada (3.1-18) dapat diabaikan, yang mengakibatkan hubungan linear

Seperti yang diilustrasikan pada gambar 3.1-3, berkas sinar kemudian menyimpang sebagai sebuah kerucut setengah-sudut

dimana kita telah menggunakan (3.1-11). Sekitar 86% dari daya berkas sinar yang terbatas dalam kerucut ini, seperti yang ditunjukkan setelah (3.1-17).Menulis ulang (3.1-20) dalam terminologi ukuran bintik, perbedaan sudut pada berkas sinar menjadi

Perbedaan sudut berbanding lurus dengan panjang gelombang dan berbanding terbalik dengan ukuran bintik . Menekan ukuran bintik (diameter beam waist) oleh karena itu mengarah ke perbedaan berkas sinar yang meningkat. Hal ini Jelas bahwa sangat berhubungan dengan arah berkas sinar yaitu tersusun dengan menggunakan panjang gelombang yang pendek dan tebal beam waist.Kedalaman FokusKarena sinar memiliki lebar minimal di , seperti yang ditunjukkan dalam gambar 3.1-3, yang mencapai pusat terbaik pada bidang . Di dalam arah, berkas sinar berangsur-angsur menjadi "kurang fokus." Jarak poros ke poros di mana lebar sinar tidak lebih besar dari sebuah faktor kali yaitu nilai minimal, sehingga luasnya ialah dalam sebuah faktor minimal 2, yang dikenal sebagai kedalaman fokus atau parameter confocal (Gambar 3.1-4). Hal itu jelas dari (3.1-18) dan (3.1-11) bahwa kedalaman fokus adalah dua kali jarak Rayleigh:

Gambar 3.1-4 kedalaman fokus seberkas Sinar Gaussian.

Kedalaman fokus ialah berbanding lurus dengan luas berkas sinar pada beam waist, , dan berbanding terbalik dengan panjang gelombang . Sebuah berkas sinar memusat ke subuah ukuran bintik kecil sehingga memiliki kedalaman fokus yang pendek; dengan demikian bidang fokus membutuhkan peningkatan yang tepat. Ukuran bintik kecil dan kedalaman panjang fokus dapat secara bersamaan tercapai hanya untuk panjang gelombang pendek. Sebagai contoh, pada nm (umumnya panjang gelombang garis laser He-Ne), sebuah ukuran bintik cm sesuai dengan kedalaman fokus km. Sebuah ukuran yang jauh lebih kecil dari ukuran bintik pada sesuai dengan kedalaman fokus yang lebih pendek dari 1 mm.

FaseFase Berkas sinar Gaussian adalah, dari (3.1-7),

Pada sumbu berkas sinar fasa terdiri dari dua komponen:

Pertama, , adalah fase pada bidang gelombang. Kedua mewakili perlambatan fase yang diberikan oleh (3.1-10), yang berkisar dari di untuk pada , yang diilustrasikan pada gambar 3.1-5. Perlambatan fase ini berkaitan dengan penundaan kelebihan muka gelombang yang berhubungan dengan bidang gelombang atau gelombang sferis (Lihat juga gambar 3.1-8). Total akumulasi kelebihan perlambatan seperti perjalanan gelombang dari sampai adalah . Fenomena ini dikenal sebagai efek Gouy.

Gambar 3.1-5 fungsi mewakili perlambatan fase pada berkas sinar Gaussian relatif ke sebuah bidang gelombang yang sama pada titik-titik sumbu berkas sinar.

Muka GelombangKomponen ketiga pada (3.1-23) ini sebagai penyebab untuk pembelokan muka gelombang. Hal ini mewakili penyimpangan dari fase pada titik-titik sumbu-off di bidang melintang tertentu di titik aksial. Permukaan fase konstan memenuhi . Karena dan ialah relatif lambat dengan bervariasi fungsi, mereka secara efektif konstan pada poin dalam lebar sinar pada muka gelombang masing-masing. Oleh karena itu kita dapat menulis , dimana dan . ini adalah persamaan paraboloidal permukaan dengan radius kelengkungan . Dengan demikian, , diplot pada gambar 3.1-6, adalah jari-jari kelengkungan muka gelombang di posisi sepanjang sumbu berka sinar. Seperti yang diilustrasikan pada gambar 3.1-6, jari-jari kelengkungan tidak terbatas pada , sehingga muka gelombang ialah planar, sebagai contoh, mereka tidak memiliki kelengkungan. Radius menurun ke nilai minimum di , dimana muka gelombang memiliki kelengkungan terbesar (Gambar 3.1-7). Jari-jari kelengkungan kemudian meningkat sebagai meningkat lebih lanjut sampai untuk . Muka gelombang yang kemudian kira-kira sama pada sebuah gelombang sferis. Pola muka gelombang sama untuk negatif, kecuali untuk perubahan dalam tanda (Gambar. 3.1-8). Kami telah memakai konvensi bahwa muka gelombang divergen memiliki radius kelengkungan positif sedangkan muka gelombang konvergen memiliki radius kelengkungan negatif.

Gambar 3.1-6 radius kelengkungan muka gelombang pada sinar Gaussian sebagai fungsi posisi sepanjang sumbu berkas sinar. Garis putus-putus adalah jari-jari kelengkungan sebuah gelombang sferis.

Gambar 3.1-7 Muka gelombang berkas Gaussian.

Gambar 3.1-8 Muka gelombang pada (a) sebuah gelombang bidang seragam; (b) gelombang bulat (sferis); (c) berkas sinar Gaussian. Pada titik-titik dekat pusat berkas sinar, sinar Gaussian menyerupai gelombang bidang. Pada umumnya z berkas sinar berperilaku seperti gelombang bulat (sferis) kecuali bahwa fase memperlambat dengan (seperempat dari jarak antara dua muka gelombang yang berdekatan).

Parameter yang dibutuhkan untuk menandai seberkas sinar GaussianDengan asumsi bahwa gelombang telah diketahui, berapa banyak parameter yang diperlukan untuk menggambarkan gelombang bidang, gelombang bulat (sferis) dan sinar Gaussian? Gelombang bidang sepenuhnya ditentukan oleh amplitudo kompleks dan arah. Gelombang bulat (sferis) ditentukan oleh amplitudo yang kompleks dan lokasi asal-usulnya. Sinar Gaussian, sebaliknya, memerlukan lebih banyak parameter untuk karakterisasi yaitu puncak amplitudo [ditentukan oleh pada (3.1-7)], arah (sumbu berkas sinar), lokasi waist dan satu parameter tambahan, seperti radius waist atau jarak Rayleigh . Dengan demikian, jika sinar puncak amplitudo dan sumbu yang diketahui, dua parameter tambahan diperlukan untuk spesifikasi yang lengkap.Jika -parameter kompleks, , diketahui, jarak ke beam waist dan jarak Rayleigh mudah diidentifikasi sebagai bagian daripadanya yang nyata dan khayalan. Sebagai contoh, jika adalah cm pada titik tertentu pada sumbu berkas sinar, kami menyimpulkan bahwa beam waist terletak di jarak cm ke kiri dari titik itu dan bahwa kedalaman fokus adalah cm. Radius waist kemudian dapat ditentukan melalui (3.1-11). Jumlah ini karena itu cukup untuk mencirikan berkas sinar Gaussian pada puncak amplitudo dan sumbu berkas sinar yang diketahui. Mengingat di satu titik, tanggungan liniar pada membolehkan hal itu akan ditentukan pada semua titik: jika dan , maka . menggunakan contoh yang diberikan di atas dengan seketika, di cm itu jelas bahwa .Jika lebar sinar W(z) dan jari-jari kelengkungan yang diketahui di titik sebarang pada sumbu berkas sinar, berkas sinar dapat sepenuhnya diidentifikasi yang diselesaikan dengan (3.1-8), (3.1-9), dan (3.1-11) untuk , dan . Selain itu, berkas sinar dapat diidentifikasi dengan menentukan dari dan yang menggunakan (3.1-6).

Ringkasan: Sifat-sifat sinar Gaussian di lokasi khusus Di lokasi . Pada jarak aksial dari beam waist, gelombang memiliki sifat sebagai berikut: Intensitas pada sumbu berkas sinar ialah intensitas puncak. Lebar berkas sinar adalah faktor dari lebih besar dari pada lebar pada beam waist, dan luas berkas sinar lebih besar dari pada faktor dari 2. Fase pada sumbu berkas sinar memperlambat dengan sudut relatif ke fase gelombang bidang. Jari-jari kelengkungan muka geombang mencapai nilai minimum, , sehingga muka gelombang memiliki kelengkungan terbesar. Dekat pusat berkas sinar. Di lokasi untuk dan , kuantitas , sehingga intensitas sinar, yang proporsional pada kuadrat dari jumlah ini, sekitar konstan. Juga, dan n , sehingga tahap , berdasarkan (3.1-11) ketika Sinar Gaussian mungkin diperkirakan dekat dengan pusat berkas sinar dengan gelombang bidang. Jauh dari beam waist. Di lokasi-lokasi radius waist yang melintang (