II

MOMEN INERSIA s1. Pendahuluan

Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Data momen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok, kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.1. merupakan bidang datar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA merupakan suatu luasan/elemen kecil.

y

A

x dA

r

y

x

O

Gambar 2.1. Potongan Penampang

Secara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut:

Momen Inersia terhadap sumbu x:

Ix = y2 dA

(2.1)

Momen Inersia terhadap sumbu y:

Iy = x2 dA

(2.2)

Momen Inersia kutub:

Ip = r2 dA

(2.3)

Momen Inersia Perkalian (Product of Inertia):

Ixy = xy dA

(2.4)

Momen inersia pada Persamaan 2.1, Persamaan 2.2, dan Persamaan 2.3 selalu bertanda positip, sedangkan momen inersia perkalian pada Persamaan 2.4 dapat bertanda negatip.

Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen inersia bidang tunggal, sedangkan secara umum banyak bidang/penampang merupakan gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L adalah gabungan dari dua penampang segi empat. Untuk menyelesaikan momen inersia pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari Persamaan 2.1, 2.2, 2.3, dan 2.4. yang disebut dengan Teori Sumbu Sejajar.

2. Teori Sumbu Sejajar

x yo

dA

x x

r y

xo

A O x r O = titik berat luasan A

y

y

Gambar 2.2. Penampang dengan Sumbu Transformasi

Momen inersia terhadap sumbu x:

Ix =

Ix =

Ix =

Sumbu xo melalui titik berat bidang A, maka , sehingga:

Ix = Ixo + Ay2

(2.5)

Momen inersia terhadap sumbu y:

Iy =

Iy =

Iy =

Sumbu yo melalui titik berat bidang A, maka , sehingga:

Iy = Iyo + Ax2

(2.6)

Momen inersia polar:

Ip =

Ip =

Ip =

Sumbu xo dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka = 0 dan = 0

Sehingga:

Ip = Ipo + Ar2

(2.7)

Momen inersia perkalian:

Ixy =

Ixy =

Sumbu xo dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka = 0 dan = 0

Sehingga:

Ixy = Ixyo + Axy

(2.8)

3. Contoh-Contoh

Contoh 2.1

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dy

y

h x

b

Penyelesaian:

dA = bdy

Ix = y2dA

Ixo = y2bdy

Ixo = b

Ixo = b

Ixo =

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iyo, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh

Iyo =

Momen Inersia polar, Ipo = = = (bh3 + b3h)

Menghitung momen inersia perkalian Ixy:

y

dy

h y

x

b

Ixy =

Ixy =

Ixy =

Ixy =

Ixy = b2h2Untuk menghitung Ixyo gunakan rumus 2.8.

Ixy = Ixyo + Axy

b2h2 = Ixyo + bh.b.h

Ixyo = 0

Maka Momen Inersia perkalian segi empat Ixyo = 0

Contoh 2.2

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dA

dy

y

h

x

b

b

Penyelesaian:

dA = bdy

b: b = h: (h-y)

b =

dA = dy

Ix = y2dA

Ixo =

EMBED Equation.3 dy

Ixo = dy

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iy, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh

Iyo =

Momen Inersia polar, Ipo = = = (bh3 + b3h)

y

dA

h

h

x

x dx

b

h: h = (b-x) : b

h =

Ixy =

Ixy =

Ixy =

Ixy = dx

Ixy =

Ixy =

Ixy =

Ixy =

Ixy = Ixyo + Axy

= Ixyo +

Ixyo =

Momen Inersia perkalian segitiga pada gambar diatas, Ixyo =

Contoh 2.3

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

d( dA

( d( ( x

Penyelesaian:

dA = (d( d(

Ix =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo = (r4Momen inersia penampang lingkaran terhadap sumbu yang melalui pusat lingkaran akan bernilai sama yaitu (r4.

Sehingga Iyo = (r4

Ipo = Ixo + Iyo

Ipo = (r4 + (r4

Ipo = (r4Apabila sumbu x atau sumbu y merupakan sumbu simetri penampang maka Ixy = 0

Dengan demikian untuk penampang lingkaran Ixyo = 0

Contoh 2.4

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang setengah lingkaran dengan jari-jari r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

d( dA

( d( ( x

Penyelesaian:

Momen inersia penampang setengah lingkaran terhadap sumbu x, prinsipnya sama dengan momen inersia lingkaran penuh terhadap sumbu x. Kalau pada lingkaran penuh batas-batas sudutnya dari ( = 0 sampai ( = 2(, namun pada penampang setengah lingkaran batas-batas sudutnya dari ( = 0 sampai ( = (.

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Selanjutnya dengan Persamaan 2.5. dapat dihitung Ixo sebagai berikut:

Ix = Ixo + Ay2

= Ixo +

Ixo = -

Ixo = -

Ixo =

Momen inersia terhadap sumbu y:

Iy =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Ipo = Ixo + Iyo

Ipo = + (r4

Ipo =

Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka Ixyo = 0

Rangkuman momen inersia penampang sederhana (umum) yang telah dibahas diatas dapat dilihat pada Tabel 2.1. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan momen inersia penampang gabungan (komposit).

Tabel 2.1. Momen Inersia Bidang Datar Penampang Umum

segiempat

Y

h x

O

BIx =

Iy =

Ip =

Ixy = 0

segitiga

y

b/3

h

h/3

O x

b

Ix =

Iy =

Ip =

Ixy =

lingkaran y

D = 2r x

O

Ix =

Iy =

Ip =

Ixy = 0

setengah lingkaran Y

4r/3( O y

2 r

Ix =

Iy =

Ip =

Ixy = 0

4. Contoh soal penampang komposit

Contoh 2.5.

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang baja siku terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

12,7 mm

152 mm

12,7 mm

102 mm

Penyelesaian

1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.4.

2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut:

y

12,7 mm

1

152 mm x

O 12,7 mm

50,22 mm

2

102 mm

25,22 mm

3. Bagi penampang menjadi bidang 1 dan bidang 2 seperti pada gambar

4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut:

Ix = Ixo + Ay2

Ix =

Ix = 3716663,467 + 1282960,055 + 15243,383 + 2182681,908 = 7197548,813 mm45. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut:

Iy = Iyo + Ax2

Iy =

Iy = 25946,185 + 687370,848 + 753662,404 + 1170783,602 = 2637763,093 mm4

6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut:

Ip = Ix + Iy

Ip = 7197548,813 + 2637763,093 = 9835311,906 mm4

7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut:

Menghitung momen inersia perkalian, perhatikan tanda jarak, jarak dapat bertanda negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. Hal ini berbeda dengan perhitungan Ix dan Iy yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positip.

Ixy = Ixyo + Axy

Ixy = 0 + 12,7. 152. [-(25,22- 6,35).(76- 50,22)]

+ 0 + 89,3.12.7.(57,35-25,22)[-(50,22-6,35)]

= - 939078,985 - 1598576,925

= - 2537655,91 mm4

Contoh 2.6.

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang tergambar terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

25 mm

225 mm

25 mm 150 mm 25 mm

Penyelesaian

1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.5.

2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut:

y

1 25 mm

99,04

x

2 2

225 mm

150,96

25 mm 150 mm 25 mm

3. Bagi penampang menjadi 3 bagian yaitu bidang1 dan 2 bagian bidang 2 seperti pada gambar

4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut:

Ix = Ixo + Ay2

Ix1 =

= 37706274,67 mm4

Ix2 =

= 64101618,00 mm4 +

Ix= 101807892,67 mm45. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut:

Iy = Iyo + Ax2

Iy1 =

= 16666666,67 mm4

Iy2 =

= 86718750,00 mm4

Iy= 103385416,67 mm4

6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut:

Ip = Ix + Iy

Ip = 101807892,67 + 103385416,67 = 205193309,34 mm4

7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut:

Ixy = Ixyo + Axy

Ixy1 = 0 + 0 = 0

Ixy2 = 25.225.(- 87,5)(- 38,46) + 25.225.(87,5)(- 38,46) = 0

Ixy = Ixy1 + Ixy2 = 0

Momen inersia perkalian akan bernilai 0 apabila salah satu sumbu yang melalui titik berat penampang adalah sumbu simetri.

Contoh 2.7.

Penampang seperti tergambar dibawah, O adalah titik berat penampang. Hitung a supaya Ix = Iy y

10 mm

x 200 mm

O

10 mm

120 10 a 10 120 mm

Penyelesaian

Ix = 4(.120.103 + 120. 10. 1052 ) + 2. .10. 2203Ix = 52960000 + 17746666,67 = 70706666,67 mm4

Iy = 4[.10.1203 + 10.120 (70 + a)2] + 2..103.220 + 2.10.220 (5+a)2Iy = 4[1440000 + 1200 (4900 + 70a + 0,25 a2)] + 36666,67 + 4400 (25 +5a + 0,25 a2)

Iy = 5760000 + 23520000 + 336000a + 1200 a2 + 36666,67 + 110000 + 22000a + 1100a2Iy = 2300 a2 + 358000a + 29426666,67

Ix = Iy70706666,67 = 2300 a2 + 358000a + 29426666,67

2300 a2 + 358000a 41280000 = 0

a2 + 155,65 a 17947,83 = 0

a12 =

a1 = = 77,105 mm

Maka nilai a = 77,105 mm

Soal-soal:

1. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang trapezium berikut ini:

50 mm

120 mm

90 mm

2. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran berikut ini

60 mm

60 mm

120 mm

3. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang berikut ini

10 mm 80 mm 10 mm

120 mm

5. Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

Sumbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen inersia, I maksimum dan I minimum pada suatu penampang. Pada komponen struktur yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka kecenderungannya batang akan tertekuk terhadap sumbu dengan momen inersia yang paling lemah (minimum). Dengan demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.

y

y

y sin ( x dA

x

y cos ( y

y x

( x cos (

x sin ( ( x

Gambar 2.3. Sumbu Utama

Sumbu x dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu x dan dan sumbu y dengan sudut putar sebesar (. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut:

x = x cos ( + y sin (

y = y cos ( - x sin (Ix =

Ix =

Ix = Ix cos2( + Iy sin2( - 2 Ixy sin( cos(Iy =

Iy =

Iy = Iy cos2( + Ix sin2( + 2 Ixy sin( cos(Ixy =

Ixy = (x cos ( + y sin ()(y cos ( - x sin () dA

Ixy = (Ix Iy) sin ( cos ( + Ixy (cos2( - sin2()

Catatan:

sin 2( = 2 sin( cos(

cos 2( = cos2( - sin2(

cos2( = +cos 2(

sin2( = -cos 2(Ix = Ix (+cos 2() + Iy (-cos 2() - Ixy sin2(Ix = Ix + Ix cos 2( + Iy - Iy cos 2( - Ixy sin2(Ix =

(2.9)

Dengan cara yang sama dapat ditentukan Iy dan Ixy sebagai berikut:

Iy =

(2.10)

Ixy =

(2.11)

Dari Persamaan 2.9.

Ix -

(2.12)

Persamaan 2.11 dan Persamaan 2.12 masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan sehingga diperoleh:

(2.13)

Persamaan 2.13 adalah persamaan lingkaran dengan bentuk (x-a)2 + y2 = r2 Ixy

r

Ix

O N C M

a

Gambar 2.4. Lingkaran dengan Salib Sumbu Ix dan Sumbu Ixy

Dari Gambar 2.4. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersia minimum

Imaks = OM = OC +CM

Imin = ON = OC CM

Sehingga:

Pada saat terjadi Imaks dan Imin maka Ixy = 0, sehingga dari Persamaan 2.11 diperoleh:

Contoh 2.8.

Penampang seperti tergambar,

1. Tentukan Ix, Iy, Ixy terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

2. Tentukan sumbu utama dan momen inersia utama

y

10 mm

x 100 mm

10 mm

60 mm 10 mm 60 mm

Penyelesaian:

Ix = .60.103 + 60.10.552 + .10.1203 + 120.10. 02 + .60.103 + 60.10.(-55)2Ix = 5,08.106 mm4Iy = .10.603 + 60.10.(-35)2 + .120.103 + 120.10.02 + .10.603 + 10.60.352

Iy = 1,84. 106 mm4Ixy = 60.10.(55)(-35) + 120.10.(0)(0) + 60.10.(-55)(35)

Ixy = -2,31. 106 mm4Momen inersia utama:

Imaks = 6,281. 106 mm4

Imin = 0,639. 106 mm4Sumbu Utama

( = 27,48( (berlawanan jarum jam)

sumbu min y

sumbu maks

27,48( x

_1219865837.unknown

_1219888845.unknown

_1219949923.unknown

_1220076278.unknown

_1220247679.unknown

_1220250795.unknown

_1220253217.unknown

_1220332942.unknown

_1220333610.unknown

_1220333796.unknown

_1220328821.unknown

_1220325560.unknown

_1220325947.unknown

_1220326021.unknown

_1220325793.unknown

_1220325439.unknown

_1220251606.unknown

_1220251892.unknown

_1220251434.unknown

_1220248079.unknown

_1220249988.unknown

_1220250045.unknown

_1220248501.unknown

_1220249958.unknown

_1220247770.unknown

_1220209922.unknown

_1220247167.unknown

_1220247245.unknown

_1220210140.unknown

_1220208240.unknown

_1220208782.unknown

_1220208104.unknown

_1220074710.unknown

_1220075192.unknown

_1220076167.unknown

_1220074895.unknown

_1219950098.unknown

_1219955604.unknown

_1219949992.unknown

_1219949176.unknown

_1219949561.unknown

_1219949620.unknown

_1219949753.unknown

_1219949582.unknown

_1219949261.unknown

_1219949318.unknown

_1219942713.unknown

_1219942856.unknown

_1219943293.unknown

_1219943393.unknown

_1219942808.unknown

_1219942613.unknown

_1219942662.unknown

_1219889667.unknown

_1219886419.unknown

_1219887302.unknown

_1219887758.unknown

_1219888164.unknown

_1219886454.unknown

_1219886511.unknown

_1219886653.unknown

_1219886440.unknown

_1219866841.unknown

_1219886180.unknown

_1219886380.unknown

_1219867161.unknown

_1219865995.unknown

_1219866547.unknown

_1219865906.unknown

_1219728595.unknown

_1219733621.unknown

_1219863174.unknown

_1219865125.unknown

_1219862702.unknown

_1219862971.unknown

_1219862393.unknown

_1219732093.unknown

_1219733517.unknown

_1219733620.unknown

_1219733495.unknown

_1219731166.unknown

_1219731317.unknown

_1219728693.unknown

_1219696338.unknown

_1219726257.unknown

_1219728393.unknown

_1219728436.unknown

_1219726372.unknown

_1219725374.unknown

_1219725650.unknown

_1219725710.unknown

_1219724209.unknown

_1219724977.unknown

_1219696412.unknown

_1219558020.unknown

_1219688030.unknown

_1219695053.unknown

_1219696075.unknown

_1219696226.unknown

_1219695422.unknown

_1219689826.unknown

_1219694778.unknown

_1219694897.unknown

_1219690780.unknown

_1219690880.unknown

_1219691068.unknown

_1219690089.unknown

_1219688739.unknown

_1219689384.unknown

_1219688284.unknown

_1219686485.unknown

_1219687470.unknown

_1219687701.unknown

_1219687314.unknown

_1219686405.unknown

_1219556564.unknown

_1219556953.unknown

_1219557742.unknown

_1219557980.unknown

_1219557593.unknown

_1219556700.unknown

_1219555788.unknown

_1219522153.unknown

_1219555525.unknown

_1219347658.unknown