BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini dijelaskan landasan teori dari transformasi wavelet khususnya

Daubechies yang akan dipergunakan dalam pembuatan aplikasi untuk peramalan curah

hujan. Untuk membantu dalam merancang user interface dan arus kontrol dari aplikasi

yang akan dihasilkan, maka terlebih dahulu dijelaskan landasaran teori perancangan

State Transition Diagram .

2.1. Sinyal

2.1.1. Pengertian Frekuensi

Kebanyakan dari sinyal dalam prakteknya, adalah sinyal domain-waktu dalam

format mentahnya. Berarti, apapun sinyal yang diukur adalah fungsi waktu, dimana

ketika kita memplot salah satu sumbu dengan variabel waktu (variabel independen)

maka variabel lainnya (variabel dependen) biasanya adalah amplitudo. Ketika kita

memplot sinyal domain-waktu, kita mendapatkan representasi waktu-amplitudo dari

sinyal.

Seringkali informasi yang penting tersembunyi di dalam frekuensi sinyal.

Spektrum frekuensi sinyal pada dasarnya adalah komponen frekuensi (spektral

frekuensi) sinyal yang menunjukkan frekuensi apa yang muncul.

Frekuensi menunjukkan tingkat perubahan. Jika suatu variabel sering berubah,

maka disebut berfrekuensi tinggi. Namun jika tidak sering berubah, maka disebut

7

berfrekuensi rendah. Jika variabel tersebut tidak berubah sama sekali, maka disebut tidak

mempunyai frekuensi (nol frekuensi).

Frekuensi diukur dalam satuan cycle/detik atau Hertz (Hz). Gambar berikut

menunjukkan contoh gelombang sinus berfrekuensi 3 Hz, 10 Hz dan 50 Hz.

Gambar 2.1 Sinyal gelombang sinus frekuensi 3 Hz

Gambar 2.2 Sinyal gelombang sinus frekuensi 10 Hz

Gambar 2.3 Sinyal gelombang sinus frekuensi 50 Hz

8

2.1.2. Transformasi Fourier

Untuk mengukur frekuensi ataupun mendapatkan isi frekuensi sinyal, digunakan

transformasi Fourier. Ketika transformasi Fourier sebuah sinyal domain-waktu diambil,

maka didapat representasi frekuensi-amplitudo sinyal berupa plot frekuensi di salah satu

sumbu dan amplitudo di sumbu yang lain. Sumbu frekuensi bermula dari nilai nol naik

hingga tak hingga. Untuk setiap frekuensi, kita punya nilai amplitudo. Contoh

transformasi Fourier dari sinyal frekuensi 50 Hz ditunjukkan oleh gambar berikut.

Gambar 2.4 Transformasi Fourier dari sinyal frekuensi 50Hz

Transformasi Fourier adalah transformasi yang reversible, dimana dari sinyal

asal dapat dibentuk sinyal hasil transformasinya dan sebaliknya, dari sinyal hasil

transformasi dapat dibentuk sinyal asalnya. Akan tetapi, tidak ada informasi frekuensi

yang tersedia dalam sinyal domain-waktu dan tidak ada informasi waktu yang tersedia

dalam sinyal Transformasi Fourier.

Dari sinyal transformasi Fourier tersebut, didapatkan informasi frekuensi dari

sinyal, yang menginformasikan berapa banyak tiap-tiap frekuensi yang muncul dalam

sinyal, tapi tidak menginformasikan waktu kemunculan komponen frekuensi tersebut.

Akan tetapi informasi ini tidak diperlukan jika sinyal tersebut stationer.

9

2.1.3. Sinyal Stationer

Sinyal stationer adalah sinyal yang isi frekuensinya tidak berubah dari waktu ke

waktu. Dengan demikian, informasi mengenai waktu kemunculan komponen frekuensi

tidak diperlukan, karena semua komponen frekuensi muncul di setiap waktu. Contoh :

sinyal x(t) = cos(2*∏*10*t) + cos(2*∏*25*t) + cos(2*∏*50*t) + cos(2*∏*100*t)

adalah sinyal stationer karena memiliki frekuensi 10, 25, 50 dan 100 Hz di setiap waktu.

Gambar 2.5 Sinyal x(t) = cos(2*∏*10*t) + cos(2*∏*25*t) + cos(2*∏*50*t) + cos(2*∏*100*t)

Transformasi Fourier dari sinyal tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar 2.6 Transformasi Fourier sinyal

x(t) = cos(2*∏*10*t) + cos(2*∏*25*t) + cos(2*∏*50*t) + cos(2*∏*100*t)

10

Pada Gambar 2.6 terdapat 4 buah komponen spektrum yang sesuai dengan

frekuensi 10, 25, 50 dan 100 Hz.

2.1.4. Sinyal Non-Stationer

Bertolak belakang dengan sinyal pada Gambar 2.5, gambar berikut adalah

contoh sinyal non-stationer, dimana frekuensinya berubah-ubah secara konstan dalam

waktu. Sinyal ini dikenal dengan nama sinyal chirp.

Gambar 2.7 Sinyal non-stationer

Berikut adalah contoh sebuah sinyal non-stationer dengan 4 komponen frekuensi

yang berbeda pada 4 interval waktu yang berbeda pula. Interval 0 – 300 ms memiliki

sinusoid 100 Hz, interval 300 – 600 ms memiliki sinusoid 50 Hz, interval 600 – 800 ms

memiliki sinusoid 25 Hz dan interval 800 – 1000 ms memiliki sinusoid 10 Hz.

11

Gambar 2.8 Sinyal non-stationer dengan 4 komponen frekuensi

Transformasi Fourier dari sinyal tersebut ditampilkan dalam gambar berikut.

Gambar 2.9 Transformasi Fourier sinyal non-stationer

12

Amplitudo dari komponen frekuensi yang lebih tinggi punya nilai yang lebih

besar daripada komponen frekuensi rendah, karena frekuensi tinggi berlangsung lebih

lama ( dalam waktu 300 ms) daripada frekuensi rendah ( dalam waktu 200 ms ).

Jika kita perhatikan Gambar 2.5, maka semua komponen frekuensi ( frekuensi

10 Hz, 25 Hz, 50 Hz dan 100 Hz ) muncul pada semua periode sinyal. Namun jika

perhatikan Gambar 2.8, komponen frekuensi tinggi muncul pada interval pertama dan

komponen frekuensi rendah muncul pada interval terakhir. Pada Gambar 2.7,

komponen frekuensi juga berubah dari frekuensi rendah ke frekuensi tinggi. Pada sinyal

non-stationer, komponen-komponen frekuensi tidak muncul di semua periode sinyal.

Gambar 2.6 dan Gambar 2.9 adalah hasil transformasi Fourier dari Gambar

2.5 dan Gambar 2.8. Kedua gambar tersebut menunjukkan kemiripan dalam 4

komponen spektrum tepat pada frekuensi yang sama, yaitu 10 Hz, 25 Hz, 50 Hz dan 100

Hz meskipun kedua sinyal asal tidaklah sama . Hal ini menunjukkan kelemahan dari

transformasi Fourier yang tidak bisa memberikan informasi mengenai waktu

kemunculan komponen frekuensi (komponen spektrum), hanya memberikan informasi

mengenai nilai komponen spektrum yang muncul.

Ketika lokalisasi waktu diperlukan, maka harus digunakan transformasi yang

menghasilkan representasi waktu-frekuensi. Transformasi Wavelet adalah salah satu

transformasi yang dapat menyediakan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan

dan juga memberikan representasi waktu-frekuensi dari sinyal.

13

2.2. Wavelet

Wave didefinisikan sebagai sebuah fungsi waktu yang bergerak (oscillating),

seperti kurva sinus. Wave mengembangkan sinyal ataupun fungsi dalam bentuk kurva

sinus yang telah terbukti sangat berguna untuk dalam matematika, ilmu pengetahuan,

tehnik mesin terutama untuk fenomena periodik atau stationer. Wavelet adalah sebuah

wave kecil, yang dimana energinya terkonsentrasi dalam waktu untuk menyediakan alat

bantu analisis fenomena kesementaraan, non-stationer atau perubahan waktu.

Karakteristik wave bergerak masih tetap dimiliki, namun juga dapat mensimulasikan

analisis waktu-frekuensi dengan dasar matematika yang fleksibel.

Hal ini diilustrasikan dalam Gambar 2.10 dimana wave (kurva sinus) bergerak

dengan amplitudo sama pada -∞ ≤ t ≤ ∞ dan maka dari itu memiliki energi yang tak

berhingga, dengan wavelet yang memiliki energi berhingga terkonsentrasi pada suatu

titik.

Gambar 2.10 Sebuah wave dan wavelet

Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p1)

Sebuah sinyal atau fungsi f(t) dapat dianalisa, dijelaskan atau diproses jika

dinyatakan dalam dekomposisi linier dengan

∑=l

ll tatf )()( ψ

14

dimana l adalah index bilangan untuk penjumlahan finite (berhingga) atau infinite (tak

berhingga, al adalah expansion coefficient dan )(tlψ adalah fungsi himpunan dari t yang

dinamakan expansion set. Jika expansion set tersebut unik, maka set tersebut dinamakan

basis. Jika basis tersebut orthogonal, dimana :

,0)()()(),( lkdttttt lklk ≠== ∫ ψψψψ

maka koefisien-koefisien tersebut dapat dihitung dengan inner product

∫== .)()()(),( dtttfttfa kkk ψψ

Untuk ekspansi wavelet, sistem dengan dua parameter dikembangkan sehingga

menjadi

∑∑=k j

kjkj tatf )()( ,, ψ (2.1)

dimana j maupun k adalah index bilangan dan )(, tkjψ adalah wavelet expansion function

yang biasanya membentuk basis orthogonal.

Expansion coefficients aj,k dinamakan transformasi wavelet diskrit/discrete

wavelet transform (DWT) dari f(t) dan f(t) pada persamaan (2.1) adalah invers transform.

2.2.1. Sistem Wavelet

Terdapat beberapa sistem wavelet yang dapat dipergunakan, namun semuanya

memiliki tiga karakteristik umum sebagai berikut :

a. Sistem wavelet adalah himpunan dari building blocks untuk membangun atau

merepresentasikan sinyal atau fungsi.

15

b. Transformasi wavelet melokalisasi waktu-frekuensi dari sinyal. Ini berarti

kebanyakan energi sinyal direpresentasikan dengan baik oleh beberapa

expansion coefficients, aj,k.

c. Perhitungan koefisien dari sinyal dapat dilakukan secara efisien. Kebanyakan

transformasi wavelet (himpunan dari expansion coefficients) memiliki

kompleksitas operasional O(N), dimana banyak perkalian bilangan desimal

dan penjumlahan bertambah secara linier seiring pertambahan panjang sinyal.

Namun, transformasi wavelet lainnya memiliki kompleksitas O(N log (N)).

Terdapat tiga karakteristik tambahan (Sweldens, 1996; Daubechies, 1992)

transformasi wavelet yang lebih spesifik :

a. Sistem wavelet didapatkan dari sebuah scaling function atau wavelet function

dengan scaling dan translasi sederhana. Parameterisasi dua dimensi

didapatkan dari sebuah fungsi (sering dinamakan generating wavelet atau

mother wavelet) ψ(t) :

Zkjktt jjkj ∈−= ,)2(2)( 2/

, ψψ (2.2)

Dimana Z adalah himpunan semua bilangan bulat dan faktor 2/2 j menjaga

konstanta normal independen dari skala j.

b. Hampir semua sistem wavelet memenuhi kondisi multiresolusi. Ini berarti

bahwa jika himpunan sinyal dapat direpresentasikan dengan penjumlahan

bobot dari φ(t-k) maka himpunan sinyal yang lebih luas dapat

direpresentasikan dengan penjumlahan bobot dari φ(2t-k). Atau, jika

transformasi sinyal dasar dan transalasi dilakukan setengah kali lebarnya,

16

maka hasilnya akan tepat merepresentasikan kelas sinyal yang lebih besar

atau bahkan memberikan perkiraan yang lebih baik dari sinyal apapun.

c. Koefisien resolusi bawah dapat dikalkulasikan dari koefisien resolusi atas

dengan algoritma menyerupai struktur pohon yang dinamakan filter bank.

Hal ini memungkinkan kalkulasi yang sangat efisien dari expansion

coefficients (yang juga dikenal dengan transformasi wavelet diskrit) dan

menghubungkan transformasi wavelet dengan pemrosesan sinyal.

Operasi translasi dan scaling adalah dasar untuk banyak proses pembangkitan

sinyal dan praktik sinyal, dan penggunaannya adalah salah satu alasan mengapa wavelet

merupakan fungsi transformasi yang efisien. Gambar 2.11 memperlihatkan representasi

grafis translasi dan scaling sebuah mother wavelet dengan persamaan (2.2).

Gambar 2.11 Translasi dan scaling wavelet ψD4 Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p4)

17

Seiring perubahan nilai k, lokasi wavelet bergerak sepanjang sumbu horizontal,

sehingga memungkinkan transformasi tersebut secara eksplisit merepresentasikan lokasi

suatu kejadian dalam waktu atau ruang. Seiring perubahan nilai j, bentuk wavelet

berubah dalam skala, sehingga memungkinkan representasi dari detil atau resolusi.

Selain mother wavelet, fungsi basis lainnya yang diperlukan dalam membentuk

sistem wavelet adalah scaling function )(tϕ . Dengan mengkombinasikan scaling

function dan wavelet function, maka sinyal yang lebih besar dapat direpresentasikan

dengan :

∑ ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

=

−+−=k k j

jkjk ktdktctf

0, ).2()()( ψϕ (2.3)

Transformasi wavelet terbukti efisien dan efektif dalam menganalisa banyak

sinyal, dikarenakan :

a. Ukuran dari expansion coefficients wavelet aj,k pada persamaan (2.1) atau dj,k

pada persamaan (2.3) turun secara drastis untuk nilai j dan k pada sinyal-

sinyal luas. Karakteristik ini dinamakan unconditional basis sehingga wavelet

sangat efektif untuk kompresi sinyal dan gambar, denoising dan deteksi.

b. Ekspansi wavelet memungkinkan deskripsi lokal yang lebih akurat, mudah

diintepretasikan dan pemisahan karakteristik komponen sinyal.

c. Wavelet dapat disesuaikan dan beradaptasi. Kita dapat memilih jenis wavelet

yang sesuai tergantung sinyal dan aplikasi yang dikembangkan.

d. Wavelet yang dihasilkan dan perhitungan dari transformasi wavelet diskrit

dapat dioperasikan dengan komputer digital, tanpa operasi turunan ataupun

integral namun hanya melibatkan operasi perkalian dan pertambahan.

18

2.2.2. Scaling Function

Permasalahan utama dari sistem wavelet adalah merancang fungsi-fungsi dasar

untuk sistem wavelet. Perancangan fungsi dasar ini didasarkan pada konsep

multiresolution. Konsep resolusi awalnya dirancang untuk merepresentasikan sinyal

dimana sebuah event pada sinyal dipecah kedalam bentuk detil-detil yang lebih rinci,

namun berkembang sehingga dapat merepresentasikan sinyal dimana dibutuhkan

deskripsi waktu-frekuensi atau waktu-skala bahkan ketika konsep resolusi tidak

diperlukan.

Didefinisikan himpunan scaling function dari translasi scaling function dasar

2)()( LZkkttk ∈∈−= ϕϕϕ .

Subhimpunan dari L2(R) hasil perentangan fungsi tersebut didefinisikan sebagai

)}({0 tSpanv kk

ϕ=

untuk semua bilangan k mulai dari -∞ sampai dengan +∞. Ini berarti

∑ ∈=k

kk vtftiapuntuktatf 0)()()( ϕ

Ukuran dari subhimpunan dapat diperluas dengan mengubah skala waktu dari scaling

function. Kelompok fungsi 2 dimensi dihasilkan dari scaling function dasar melalui

scaling dan transalasi

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ϕϕ

dimana perentangan (span over) k adalah

)}({)}2({ , tSpantSpanv kjk

jk

kj ϕϕ ==

untuk semua bilangan Zk∈ .Ini berarti jika jvtf ∈)( , maka dapat dinyatakan dalam

19

∑ +=k

jk ktatf ).2()( ϕ

Untuk j > 0, perentangan tersebut dapat menjadi lebih lebar karena

)(, tkjϕ menjadi lebih sempit dan ditranslasikan dalam langkah-langkah yang lebih kecil.

Untuk j < 0, )(, tkjϕ menjadi lebih lebar dan ditranslasikan dalam langkah-langkah yang

lebih besar. Maka, scaling function yang diperlebar ini dapat merepresentasikan hanya

informasi bentuk kasar dan ruang yang diperluas menjadi lebih kecil.

Untuk lebih menjelaskan konsep skala dan resolusi, dirumuskan persyaratan

dasar dari multiresolution analysis (Mallat, 1989) yaitu a nesting of the spanned spaces

sebagai

221012 ...... Lvvvvv ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ −−

atau

Zjsemuauntukvv jj ∈⊂ +1

dimana

{ } .,0 2Lvv == ∞∞−

Ruang yang mengandung resolusi sinyal tinggi juga akan mengandung resolusi rendah.

Karena definisi dari vj, ruang-ruang tersebut harus memenuhi persyaratan scaling

1)2()( +∈⇔∈ jj vtfvtf

yang memastikan anggota-anggota dalam ruang hanyalah anggota-anggota ruang

berikutnya dengan nilai skala tertentu.

20

Gambar 2.12 Perentangan ruang vektor nested dengan scaling function Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p13)

Nesting perentangan )2( ktj −ϕ , dinyatakan dengan vj seperti terlihat pada

persamaan di atas diilustrasikan dalam Gambar 2.12 diperoleh dengan syarat bahwa

1)( vt ∈ϕ , yang berarti jika )(tϕ terkandung dalam 1v , maka )(tϕ juga terkandung

dalam 1v , himpunan yang diperluas dengan )2( tϕ . Ini berarti )(tϕ dapat dinyatakan

dengan penjumlahan berbobot )2( tϕ

∑ ∈−=n

Znntnht ),2(2)()( ϕϕ (2.4)

dimana koefisien )(nh adalah deret bilangan riil yang dinamakan scaling function

coefficients atau scaling filter atau scaling vector dan 2 mempertahankan norm dari

scaling function dengan nilai skala 2.

Persamaan berulang (recursive) ini adalah dasar bagi teori scaling function.

Persamaan tersebut dikenal juga dengan nama yang berbeda untuk menjelaskan

interpretasi ataupun sudut pandang yang berbeda, yaitu persamaan refinement,

persamaan multiresolution analysis (MRA) atau persamaan dilation.

21

Daubechies scaling function ditunjukkan seperti pada Gambar 2.13 dan

persamaan (2.4) terpenuhi untuk koefisien ,2433)1(,

2431)0( +

=+

= hh

.2431)3(,

2433)2( −

=−

= hh

Gambar 2.13 Daubechies scaling function, N=4

Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p13)

2.2.3. Wavelet Function

Fitur penting dari sinyal dapat dijelaskan atau diparameterisasi lebih baik, bukan

dengan penggunaan )(, tkjϕ dan menambah nilai j untuk meningkatkan ukuran dari

subruang diperluas oleh scaling function, tetapi melalui himpunan fungsi )(, tkjψ yang

memperlebar selisih antar ruang hasil perentangan scaling function pada berbagai nilai

skala. Himpunan fungsi tersebut dinamakan wavelet function.

Ada beberapa keuntungan mensyaratkan bahwa scaling function dan wavelet

function harus orthogonal. Fungsi basis orthogonal memungkinkan untuk mempermudah

kalkulasi expansion coefficients dan penerapan teorema Parseval yang memungkinkan

partisi dari energi sinyal dalam domain transformasi wavelet.

22

Jika scaling function dan wavelet function membentuk basis orthogonal, terdapat

teorema Parseval yang menghubungkan energi sinyal )(tg dengan energi dalam setiap

komponen dan koefisien waveletnya. Maka dari itu (Donoho, 1993) perentangan wavelet

dari sinyal memiliki nilai yang turun dengan cepat sehingga sinyal dapat

direpresentasikan secara efektif oleh sejumlah kecil dari perentangan wavelet tersebut.

Komplemen orthogonal jV dalam 1+jV dinyatakan sebagai jW . Ini berarti

bahwa semua anggota jV orthogonal terhadap semua anggota jW . Kita syaratkan

∫ == 0)()()(),( ,,,, dttttt ljkjljkj ψϕψϕ

untuk semua .,, Zlkj ∈

Hubungan antar subhimpunan yang berbeda-beda disajikan sebagai berikut.

Diformulasikan nesting himpunan-himpunan yang diperluas

221 ... LVVVo ⊂⊂⊂⊂ .

Didefinisikan subhimpunan perentangan wavelet 0W

001 WVV ⊕=

yang dapat dijabarkan lebih lanjut

.1002 WWVV ⊕⊕=

Maka dapat ditulis

...1002 ⊕⊕⊕= WWVL (2.5)

dimana 0V adalah himpunan perentangan awal oleh scaling function )( kt −ϕ . Gambar

2.14 memperlihatkan nesting himpunan scaling function jV untuk berbagai skala j dan

bagaimana himpunan wavelet adalah disjoint differences (kecuali untuk anggota nol)

atau komplemen orthogonal.

23

Gambar 2.14 Himpunan vektor scaling function dan wavelet function

Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p15)

Karena wavelet ini berada dalam himpunan yang diperluas oleh scaling function

yang lebih kecil berikutnya, 10 VW ⊂ , maka dapat direpresentasikan dengan

penjumlahan berbobot dari scaling function )2( tϕ hasil translasi, dengan

∑ ∈−=n

Znntnht ),2(2)()( 1 ϕψ (2.6)

untuk beberapa himpunan koefisien ).(1 nh Dari persyaratan bahwa wavelet

merentangkan selisih atau himpunan komplemen orthogonal dan orthogonalitas bilangan

mentranslasi wavelet (atau scaling function), maka koefisien wavelet berhubungan

dengan koefisien scaling function yaitu

).1()1()(1 nhnh n −−= (2.7)

Fungsi yang dihasilkan oleh persamaan (2.5) memberikan bentuk dasar atau

mother wavelet )(tψ untuk kelompok expansion functions dari bentuk

)2(2)( 2/, ktt jjkj −= ψψ

dimana j2 adalah skala t ( j adalah log2 dari skala), kj−2 adalah translasi dalam t, dan

2/2 j mempertahankan norm 2L dari wavelet pada skala-skala yang berbeda.

24

Wavelet Daubechies yang berhubungan dengan scaling function pada Gambar

2.14 diperlihatkan pada Gambar 2.15. Koefisien dalam persamaan (2.6) adalah

2431)3(,

2433)2(,

2433)1(,

2431)0( 1111

+−=

+=

−−=

−= hhhh yang memenuhi

persamaan (2.7).

Gambar 2.15 Wavelet Daubechies, N=4

Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p16)

Telah dirancang himpunan fungsi )(tkϕ dan )(, tkjψ yang dapat merentang

semua ).(2 RL Berdasarkan ...1002 ⊕⊕⊕= WWVL , setiap fungsi )()( 2 RLtg ∈ dapat

ditulis

∑ ∑ ∑∞

−∞=

∞

=

∞

−∞=

+=k j k

kjk tkjdtkctg0

, )(),()()()( ψϕ (2.8)

sebagai serangkaian perentangan melalui scaling function dan wavelet function.

Dalam perentangan tersebut, penjumlahan pertama menghasilkan sebuah fungsi

beresolusi rendah atau perkiraan kasar dari ).(tg Untuk setiap kenaikan nilai index j

dalam penjumlahan kedua, resolusi yang lebih tinggi atau lebih baik ditambahkan,

sehingga menambah tingkat detil.

25

Jika bentuk fungsi perentangan adalah basis orthonormal atau tight frame, maka

koefisien tersebut dapat dihitung dengan inner product yaitu

∫=== dtttgttgkckc kk )()()(),()()( 0 ϕϕ

dan

∫=== .)()()(),(),()( ,, dtttgttgkjdkd kjkjj ψψ

Koefisien ),( kjd kadang ditulis sebagai )(kd j untuk menegaskan perbedaan

translasi waktu index k dan parameter skala j. Koefisien )(kc kadang ditulis sebagai

)(kc j atau ),( kjc jika skala awal umum yang dipergunakan selain j = 0 untuk batas

bawah penjumlahan fungsi pada persamaan (2.8).

2.2.4. Filter Banks

Dalam banyak aplikasi, tidak perlu untuk terlibat langsung dengan scaling

function ataupun wavelet function. Hanya koefisien )(),( 1 nhnh dalam persamaan (2.4)

dan (2.6), serta )(),( kdkc j dalam persamaan (2.8) yang perlu diperhatikan, dan

koefisien-koefisien tersebut dapat ditampilkan masing-masing sebagai filter digital dan

sinyal digital (Gopinath et al., 1992; Vaidyanathan, 1992).

Agar dapat langsung menggunakan koefisien transformasi wavelet, harus

diperoleh hubungan antara expansion coefficients pada skala yang lebih rendah dengan

skala yang lebih tinggi. Dimulai dengan persamaan recursive dasar

∑ −=n

ntnht )2(2)()( ϕϕ (2.9)

dengan asumsi terdapat solusi yang unik, dilakukan scaling dan translasi variabel waktu

untuk menghasilkan

26

∑ ∑ −−=−−=− +

n

j

n

jj nktnhnktnhkt )22(2)())2(2(2)()2( 1ϕϕϕ

dimana, setelah mengubah variabel nkm +=2 , menjadi

∑ −−=− +

m

jj mtkmhkt ).2(2)2()2( 1ϕϕ

Jika kita notasikan jv sebagai

{ })2(2 2/ ktSpanv jj

kj −= ϕ

kemudian

∑ −=⇒∈ ++++

k

jjjj ktkctfvtf )2(2)()()( 12/)1(

11 ϕ

dapat dinyatakan pada skala 1+j hanya dengan scaling function dan tanpa wavelet.

Pada suatu skala resolusi rendah, wavelet diperlukan untuk detil yang tidak tersedia pada

skala j. Terdapat

∑ ∑ −+−=k k

jjj

jjj ktkdktkctf )2(2)()2(2)()( 2/2/ ψϕ

dimana syarat 2/2 j mempertahankan unity norm dari fungsi basis pada skala yang

berbeda-beda. Jika )(, tkjϕ dan )(, tkjψ adalah orthonormal, koefisien skala level j

diperoleh lewat inner product

dtkttfttfkc jjkjj ∫ −== )2(2)()(),()( 2/

, ϕϕ

dimana dengan mengganti persamaan (2.9) dan menukar penjumlahan dan integralnya,

dapat dituliskan sebagai

∑ ∫ −−= ++

m

jjj dtmttfkmhkc )2(2)()2()( 12/)1( ϕ

akan tetapi integral dari inner product dengan scaling function pada skala 1+j

menghasilkan

27

).()2()( 1 mckmhkc jm

j +∑ −= (2.10)

Hubungan yang sesuai dengan koefisien wavelet adalah

).()2()( 11 mckmhkd jm

j +∑ −= (2.11)

2.2.5. Filtering dan Down-Sampling atau Decimating

Dalam ilmu pemrosesan sinyal digital, filtering (penyaringan) sederet bilangan

(sinyal input) diperoleh dengan mengoperasikannya dengan himpunan angka yang lain

yang dinamakan filter coefficients (koefisien filter), taps, weights, atau impulse

response. Untuk deret input )(nx dan koefisien filter ),(nh deret output )(ny diperoleh

dari

∑−

=

−=1

0)()()(

N

kknxkhny

Jika jumlah koefisien filter N adalah finite (berhingga), filter tersebut dinamakan fitler

Finite Impulse Response (FIR). Jika jumlahnya infinite (tidak berhingga), maka

dinamakan Infinite Impulse Filter (IIR). Masalah perancangan yang dihadapi adalah

memilih )(nh sehingga didapatkan efek yang diharapkan, antara lain untuk

menghilangkan noise atau memisahkan sinyal (Oppenheim et al., 1989; Parks et al.,

1987).

Dua operasi dasar dalam filter multirate adalah down-sampler dan up-sampler.

Down-sampler menerima sinyal )(nx sebagai input dan menghasilkan output

)2()( nxny = seperti pada Gambar 2.16.

28

Gambar 2.16 Down-sampler atau decimator

Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p33)

Pada down-sampling, terdapat kemungkinan kehilangan informasi karena

setengah dari data dibuang. Akibat yang ditimbulkan, dalam domain frekuensi

(transformasi Fourier) dinamakan aliasing yang menyatakan bahwa hasil dari

kehilangan informasi ini adalah pencampuran dari komponen frekuensi (Oppenheim et

al.,1989; Parks et al.,1987). Hanya jika sinyal awalnya band-limited (setengah dari

koefisien Fouriernya adalah nol) maka tidak ada kehilangan informasi yang disebabkan

oleh down-sampling.

Persamaan (2.10) dan persamaan (2.11) membahas down-sampling dan filtering

digital. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa scaling coefficients dan wavelet

coefficients pada tingkat skala yang berbeda dapat diperoleh dengan mengoperasikan

expansion coefficients pada skala j dengan koefisien recursive invers-waktu )( nh − dan

)(1 nh kemudian melakukan down-sampling atau decimating untuk menghasilkan

expansion coefficients pada skala 1−j berikutnya. Atau dapat dikatakan juga bahwa

koefisien pada skala j difilter oleh dua filter digital FIR dengan koefisien )( nh − dan

)(1 nh setelah down-sampling memberikan expansion coefficients dan wavelet kasar

berikutnya.

Implementasi kedua persamaan )(kc j dan )(kd j diatas digambarkan pada

Gambar 2.17 dimana tanda 2↓ menunjukkan down-sampling bernilai 2 dan gambar

kotak lainnya menunjukkan filtering FIR atau pengoperasian dengan )( nh − dan ).(1 nh

29

Untuk mempermudah penulisan, digunakan )(nh dan )(0 nh untuk menunjukkan

koefisien scaling function untuk persamaan perentangan (2.9).

Gambar 2.17 Analysis bank dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p33)

Filter FIR yang diimplementasikan dengan )( nh − adalah lowpass filter dan yang

diimplementasikan dengan )(1 nh − adalah highpass filter. Jumlah data yang diproses

oleh sistem ini menjadi ganda dengan penggunaan 2 filter, kemudian dibagi dua dengan

penggunaan decimation kembali ke jumlah asal. Ini berarti ada kemungkinan bahwa

tidak ada informasi yang hilang dan memungkinkan untuk mengembalikan sinyal asal

dengan lengkap. Aliasing yang terjadi di upper bank dapat dibatalkan dengan sinyal dari

lower bank. Inilah gagasan dibalik perfect reconstruction dari teori filter bank

(Vaidyanathan, 1992; Fliege, 1994).

Gambar 2.18 menunjukkan pemisahan, filtering dan decimation yang dapat

diulang pada scaling coefficients untuk menghasilkan struktur dua skala. Mengulangi

langkah-langkah ini pada scaling coefficients dinamakan melakukan iterasi filter bank.

Meng-iterasi filter bank sekali lagi menghasilkan struktur tiga tingkat seperti pada

Gambar 2.19.

30

Gambar 2.18 Analysis tree dua tingkat dengan dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p34)

Gambar 2.19 Analysis tree tiga tingkat dengan tiga band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p35)

Reaksi frekuensi dari filter digital adalah transformasi Fourier waktu-diskrit dari

reaksi (koefisien) impulse ),(nh yaitu

∑∞

−∞=

=n

nienhH .)()( ωω

Besar dari fungsi kompleks ini memberikan ratio dari output terhadap input dari filter

untuk sampel kurva sinus pada frekuensi ω dalam satuan radian per detik.

Tingkat pertama dari dua bank membagi spektrum dari )(1 kc j+ menjadi lowpass

dan highpass band, menghasilkan scaling coefficients dan koefisien wavelet pada skala

yang lebih rendah )(kc j dan ).(kd j Tingkat kedua kemudian membagi lowpass band

menjadi lowpass band dan highpass band lainnya yang lebih rendah. Tingkat pertama

membagi spektrum menjadi dua bagian yang sama. Tingkat kedua membagi setengah

spektrum yang lebih rendah menjadi seperempat dan seterusnya. Maka dihasilkan

31

himpunan nilai logaritmik dari bandwidth seperti pada Gambar 2.20. Konsep ini

dinamakan filter Constant-Q dalam peristilahan filter bank karena ratio dari lebar band

terhadap pusat frekuensi band selalu konstan.

Gambar 2.20 Band frekuensi untuk analysis tree

Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p35)

2.2.6. Filtering dan Up-Sampling atau Stretching

Rekonstruksi sinyal asal dengan koefisien skala dapat dilakukan dengan

kombinasi dari scaling function dan koefisien wavelet pada resolusi yang lebih kasar.

Hal ini dimungkinkan mengingat sinyal dalam scaling function 1+j himpunan

.)( 1+∈ jvtf Fungsi ini dapat ditulis dalam bentuk scaling function sebagai

∑ −= +++

k

jjj ktkctf )2(2)()( 12/)1(

1 ϕ (2.12)

atau dalam bentuk skala berikutnya (yang membutuhkan wavelet) sebagai

∑ ∑ −+−=k k

jjj

jjj ktkdktkctf ).2(2)()2(2)()( 2/2/ ψϕ (2.13)

Substitusi persamaan (2.9) dan persamaan (2.6) ke dalam persamaan (2.13)

menghasilkan

∑ ∑ +−−= ++

k

jj

nj nktnhkctf )22(2)()()( 12/)1( ϕ

∑ ∑ −−++

k

jj

nj nktnhkd ).22(2)()( 12/)1(

1 ψ

32

Karena semua fungsi tersebut orthonormal, melakukan perkalian persamaan (2.12) dan

fungsi diatas dengan )'2( 1 ktj −+ϕ dan integral menghasilkan koefisien

∑ ∑ −+−=+m m

jjj mkhmdmkhmckc ).2()()2()()( 11 (2.14)

Untuk perpaduan dalam filter bank, terdapat deret up-sampling atau stretching

pertama, diikuti filtering. Berarti input kedalam filter memiliki nilai nol yang disisipkan

diantara tiap syarat-syarat awal. Atau dapat ditulis juga

0)12()()2( =+= nydannxny

dimana sinyal input direntangkan mencapai 2 kali panjang awal dan nilai nol disisipkan.

Up-sampling atau stretching dapat dilakukan dengan nilai faktor selain dua, dan kedua

persamaan diatas dapat saja memiliki nilai )(nx dan 0 terbalik.Jelas bahwa up-sampling

tidak menyebabkan kehilangan informasi.

Persamaan (2.14) melakukan up-sampling terhadap deret koefisien skala j yaitu

),(kc j yang berarti menggandakan panjangnya dengan mensisipkan nilai nol diantara

tiap term, kemudian mengoperasikannya dengan scaling coefficients ).(nh Hal yang

sama dilakukan pada deret wavelet coefficients skala j dan hasilnya dijumlahkan untuk

menghasilkan scaling function coefficient .1+j Struktur ini diperlihatkan pada Gambar

2.21 dimana )()(0 nhng = dan ).()( 11 nhng = Kombinasi proses ini dapat diteruskan pada

level-level manapun dengan menggabungkan koefisien skala wavelet yang sesuai. Hasil

two-scale tree diperlihatkan pada Gambar 2.22.

33

Gambar 2.21 Synthesis bank dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p37)

Gambar 2.22 Synthesistree dua tingkat untuk dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(1998,p37)

2.2.7. Transformasi Forward dan Inverse Wavelet

Proses forward dan inverse dari transformasi wavelet dapat diterapkan

menggunakan sejumlah up-sampler, down-sampler dan filter banks dua band yang

berulang (recursive).

Koefisien lowpass-filter kh diasosiasikan dengan scaling function. Output dari

tiap lowpass-filter adalah )(kc j atau komponen approksimasi dari sinyal awal untuk

level dari tree tersebut. Koefisien highpass-filter kg diasosiasikan dengan wavelet

function dimana .)1( 1 kk

k hg −−= Output dari tiap highpass-filter adalah )(kd j atau

komponen detil dari sinyal asal. Nilai )(1 kc j+ dari level sebelumnya dipergunakan untuk

menghasilkan nilai )(kc j dan )(kd j baru untuk level tree berikutnya.

34

Gambar 2.23 Transformasi wavelet forward

Transformasi wavelet inverse melakukan operasi yang berkebalikan dari

transformasi wavelet forward. Expansion coefficients digabungkan untuk

merekonstruksi sinyal asal. Nilai koefisien )(kc j dan )(kd j yang sama dalam

transformasi forward dipergunakan, namun dengan cara yang berkebalikan. Proses ini

berlangsung menuruni cabang dari tree dan menggabungkan sinyal approksimasi dan

detil menjadi sinyal approksimasi dengan level detil yang lebih tinggi.

Sinyal akan diinterpolasi dimana nilai nol disisipkan diantara tiap sampel

approksimasi dan detil dan sinyal kemudian dilewatkan pada lowpass-filter dan

highpass-filter. Nilai nol tersebut kemudian digantikan dengan nilai perkiraan yang

didapatkan dari convolution. Output dari filter kemudian dijumlahkan untuk membentuk

koefisien approksimasi untuk resolusi level berikutnya yang lebih tinggi. Himpunan

koefisien approksimasi akhir pada level tree paling atas dari proses transformasi invers

ini adalah rekonstruksi dari titik-titik data sinyal asal.

35

Gambar 2.24 Transformasi wavelet invers

2.2.8. Basis, Basis Orthogonal dan Basis Biorthogonal

Dalam mempelajari sistem wavelet, istilah basis, basis orthogonal, basis

biorthogonal, frame dan tight frame diperlukan dan penting untuk dipahami.

Himpunan vektor atau fungsi )(tf k yang merentang himpunan vektor F (atau F

adalah perentangan dari himpunan tersebut) jika untuk setiap anggota himpunan tersebut

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier anggota himpunan itu. Berarti, jika terdapat

himpunan fungsi finite atau infinite ),(tf k kita nyatakan { } FfSpan kk = sebagai

himpunan vektor dengan semua angota dari himpunan tersebut memiliki bentuk

∑=k

kk tfatg )()( (2.15)

dimana Zk∈ dan ., Rat ∈ Inner product biasanya ditunjukkan oleh himpunan ini dan

dinyatakan dengan .)(),( tgtf Norm didefinisikan dan ditunjukkan dengan

., fff =

Himpunan (set) )(tf k adalah set basis atau basis untuk himpunan F jika

himpunan dari { }ka dalam persamaan (2.15) adalah unik untuk .)( Ftg ∈ Himpunan

36

dinamakan basis orthogonal jika 0)(),( =tftf lk untuk semua .lk ≠ Jika berada dalam

himpunan Euclidean tiga dimensi, vektor basis orthogonal adalah vektor koordinat yang

memiliki sudut 900 terhadap satu sama lain. Dinamakan basis orthonormal jika

)()(),( lktftf lk −=δ dan juga selain bersifat orthogonal, vektor basis dinormalisasi

terhadap unity norm : 1)( =tf k untuk semua nilai k.

Dari definisi diatas, jelas jika terdapat basis orthonormal, setiap anggota dalam

himpunan vektor, ,)( Ftg ∈ persamaan ∑=k

kk tfatg )()( dapat ditulis sebagai

∑=k

kk tftftgtg )()(),()( (2.16)

dan dengan melakukan inner product )(tf k pada kedua sisi persamaan (2.15)

didapatkan

)(),( tftga kk = (2.17)

dimana inner product dari sinyal )(tg dengan vektor basis )(tf k menghasilkan

koefisien ka yang cocok.

Persamaan perentangan atau representasi ini sangat berharga karena

menunjukkan bahwa persamaan (2.16) adalah operator identitas dalam pengertian bahwa

inner product yang dioperasikan pada )(tg menghasilkan himpunan koefisien (yang

ketika digunakan untuk mengkombinasikan vektor basis secara linier) menghasilkan

kembali sinyal asal ).(tg Dasar dari teorema Parseval yang menyatakan bahwa norm

atau energi dapat dipartisi terhadap expansion coefficients .ka Maka dari itu,

interpretasi, penyimpanan, transmisi, perkiraan, kompresi dan manipulasi koefisien

37

tersebut sangat berguna. Jelas bahwa persamaan (2.10) adalah bentuk untuk semua tipe

metode Fourier.

Disamping keuntungan basis orthonormal, ada kasus-kasus dimana permasalahan

sistem basis tidak sesuai jika dibuat orthogonal. Untuk kasus-kasus ini masih dapat

dipergunakan persamaan (2.6) dan juga serupa dengan persamaan (2.16) dengan

menggunakan dual basis set )(~ tf k yang anggotanya tidak orthogonal satu sama lain, tapi

terhadap anggota yang berhubungan dari set perentangan

).()(~),( kltftf kl −=δ

Karena jenis orthogonalitas ini membutuhkan dua set vektor, expansion set dan dual set,

sistem ini dinamakan biorthogonal. Menerapkan rumus diatas dengan perentangan pada

persamaan (2.15) menghasilkan

).()(~),()( tftftgtg kk

k∑= (2.18)

Meski sistem orthogonal lebih rumit, tidak hanya himpunan perentangan asal tapi juga

menemukan, menghitung dan menyimpan vektor dual set bersifat umum dan dapat

menghasilkan himpunan perentangan yang jauh lebih besar. Namun, jika vektor

basisnya memiliki korelasi yang kuat, sistem biorthogonal dapat menghasilkan masalah-

masalah numerik yang lebih besar.

Perhitungan expansion coefficent dengan inner product pada persamaan (2.17)

dinamakan bagian analysis dari keseluruhan proses dan perhitungan sinyal dari koefisien

dan vektor perentangan pada persamaan (2.15) dinamakan bagian synthesis. Dalam

dimensi yang finite, operasi analysis dan synthesis berbentuk perkalian matriks-vektor

sederhana.

38

2.2.9. Frame dan Tight Frame

Sementara persyaratan bagi himpunan fungsi menjadi basis orthonormal sudah

cukup untuk representasi dalam persamaan (2.16) dan persyaratan dari himpunan (set)

untuk menjadi basis sudah terpenuhi untuk persamaan (2.18), keduanya tidak

diperlukan. Agar dapat menjadi basis, diperlukan keunikan dari koefisien atau dapat juga

dikatakan himpunan tersebut harus independen, yaitu tidak ada anggota yang merupakan

kombinasi linier dari anggota lainnya.

Jika himpunan fungsi atau vektor dependen namun tetap memungkinkan

perentangan seperti tertera pada persamaan (2.18) maka dinamakan frame. Jadi, frame

adalah spanning set. Istilah frame muncul dari definisi yang mensyaratkan batas

berhingga pada loncatan yang tidak sama rata (Dauechies, 1992; Young, 1980) dari

inner product.

Jika diharapkan bahwa koefisien perentangan sinyal dapat merepresentasikan

sinyal dengan baik, koefisien-koefisien ini harus punya sifat-sifat tertentu. Koefisien ini

paling baik ditetapkan dalam syarat energi dan batas energi. Untuk basis orthogonal,

koefisien ini mengambil bentuk teorema Parseval. Untuk menjadi frame dalam

himpunan sinyal, himpunan perentangan )(tkϕ harus memenuhi

222 , gBggAk

k ≤≤∑ ϕ (2.19)

untuk beberapa 0 < A dan B < ∞ dan untuk semua sinyal )(tg dalam himpunan.

Membagi persamaan tersebut dengan 2g menunjukkan bahwa A dan B dibatasi oleh

energi yang dinormalisasi dari inner product. A dan B membatasi koefisien normalisasi

energi. Jika BA= maka himpunan perentangannya dinamakan tight frame. Maka

39

∑=k

k ggA22 ,ϕ (2.20)

yang merupakan generalisasi teorema Parseval untuk tight frame. Jika ,1==BA tight

frame berubah menjadi basis orthogonal. Dari hal ini, dapat ditunjukkan bahwa untuk

tight frame (Daubechies, 1992)

)()(),()( 1 ttgtAtg kk

k ϕϕ∑−=

yang adalah sama dengan perentangan menggunakan basis orthonormal kecuali untuk

syarat 1−A yaitu ukuran redundansi dalam himpunan perentangan.

Jika himpunan perentangan adalah bukan tight frame, tidak ada teorema Parseval

yang ketat dan energi dalam domain transformasi tidak dapat dipartisi dengan tepat.

Namun, semakin kecil selisih nilai A dan B, semakin baik perkiraan partisi yang dapat

dilakukan. Jika ,BA= dihasilkan tight frame dan partisi dapat dilakukan secara tepat

dengan persamaan (2.20). Daubechies (Daubechies, 1992) membuktikan bahwa semakin

ketat batasan frame dalam persamaan (2.19), maka analysis dan synthesis sistem akan

lebih baik. Atau, jika nilai A mendekati nol dan/atau nilai B memiliki selisih yang sangat

besar dibandingkan nilai A, akan terjadi masalah dalam perhitungan analysis-synthesis.

Frame adalah versi over-complete dari himpunan basis dan tight frame adalah

versi over-complete dari himpunan basis orthogonal. Jika digunakan frame yang tidak

termasuk basis ataupun tight frame, himpunan dual frame dapat dispesifikasikan

sehingga analysis dan synthesis dapat dilakukan juga sama seperti untuk basis non-

orthogonal. Jika tight frame yang dipergunakan, perhitungan yang dilakukan mirip

dengan perhitungan untuk basis non-orthogonal.

40

2.2.10. Jenis-Jenis Wavelet

Secara umum, transformasi wavelet dapat dikategorikan menjadi transformasi

wavelet diskrit (Discrete Wavelet Transform atau DWT) dan transformasi wavelet

kontinu (Continuous Wavelet Transform atau CWT). DWT adalah transformasi wavelet

yang paling sering digunakan karena selain lebih mudah diimplementasi, DWT juga

memiliki waktu komputasi yang lebih pendek dibandingkan CWT.

Ada sejumlah fungsi basis yang dapat dipergunakan sebagai mother wavelet

dalam transformasi wavelet. Karena mother wavelet menghasilkan semua fungsi wavelet

yang dipergunakan dalam transformasi lewat translasi dan scaling, mother wavelet

menentukan karakteristik dari transformasi wavelet yang dihasilkan. Maka dari itu, detil

dari aplikasi yang dikembangkan harus diperhatikan agar mother wavelet yang dipilih

dapat mengefektifkan penggunaan transformasi wavelet.

Gambar 2.25 Jenis-jenis wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c)Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat

41

Gambar 2.23 memberikan gambaran dari fungsi wavelet yang umum

dipergunakan. Wavelet Haar adalah wavelet yang tertua dan paling sederhana. Wavelet

Daubechies adalah yang paling sering dipergunakan. Wavelet-wavelet tersebut mewakili

dasar dari pemrosesan sinyal dengan wavelet dan banyak dipergunakan dalam aplikasi.

Dinamakan juga wavelet Maxflat karena respon frekuensinya memiliki nilai flatness

maksimum pada frekuensi 0 dan π. Sifat ini sangat diharapkan pada beberapa aplikasi.

Wavelet Haar, Daubechies, Symlets dan Coiflets disusun oleh wavelet orthogonal.

Bersama dengan wavelet Meyer, wavelet-wavelet tersebut mampu melakukan perfect

reconstruction. Wavelet Meyer, Morlet dan Mexican Hat memiliki bentuk simetri.

2.2.11. Transformasi Wavelet Daubechies D4

Transformasi wavelet Daubechies ditemukan oleh matematikawan Ingrid

Daubechies. Transformasi Daubechies D4 memiliki empat koefisien lowpass-filter

(dinotasikan dengan kh ) dan empat koefisien highpass-filter (dinotasikan dengan kg ).

Koefisien lowpass-filter adalah :

2431

2433

2433

2431

3

2

1

0

−=

−=

+=

+=

h

h

h

h

Setiap langkah transformasi wavelet mengaplikasikan koefisien lowpass-filter pada data

input. Jika himpunan data awal memiliki N jumlah data, maka scaling function akan

diaplikasikan dalam transformasi wavelet untuk menghitung 2/N data yang dihaluskan.

42

Kemudian nilai-nilai data yang dihaluskan tersebut disimpan dalam bagian bawah dari

setengah vektor input elemen N.

Koefisien highpass-filter adalah :

03

12

21

30

hghg

hghg

−==−=

=

Setiap langkah transformasi wavelet juga mengaplikasikan highpass-filter pada data

input. Jika himpunan data awal memiliki N jumlah data, koefisien highpass-filter akan

diaplikasikan untuk menghitung 2/N selisih (mewakili perubahan nilai dalam data).

Nilai hasil perhitungan tersebut akan disimpan dalam bagian atas dari setengah vektor

input elemen N.

Scaling function dan wavelet function dihitung dengan menggunakan inner

product antara koefisien lowpass-filter dan highpass-filter dengan empat nilai data.

Persamaan untuk menghitung scaling function Daubechies D4 adalah :

3322110 +++ +++= iiiii shshshshc

dan persamaan untuk menghitung wavelet function Daubechies D4 adalah :

3322110 +++ +++= iiiii sgsgsgsgd

dimana si adalah data sinyal input dengan index i.

Setiap iterasi dalam transformasi wavelet menghitung nilai scaling function dan nilai

wavelet function. Index i di-increment sebanyak 2 dalam tiap iterasi dan nilai scaling

function dan wavelet yang baru dhitung.

Pada transformasi forward, dengan himpunan data finite, index i akan di-

increament hingga mencapai nilai N-2. Data yang pertama dari sinyal dinotasikan

43

dengan index 0. Pada iterasi yang terakhir, inner product akan dihitung dari nilai data

sinyal ke N-2, N-1, N dan N+1. Hal ini menjadi masalah karena tidak ada data sinyal asal

dengan index N dan N+1. Hal ini ditunjukkan pada transformasi matriks berikut :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7

6

5

4

3

2

1

0

3

3

2

2

10

10

3210

3210

32

32

10

10

3210

3210

0000

0000000000000000

000000000000

0000

ssssssss

gh

gh

gghhgggghhhh

gghh

gghhgggghhhh

Masalah yang sama juga terjadi pada transformasi invers, dimana dua nilai

pertama invers dhitung dari data sinyal ke -2, -1, 0 dan 1. Hal ini ditunjukkan pada

matriks dibawah :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

3

3

2

2

1

1

1

0

1

0

33

22

1133

0022

11

00

33

22

1133

0022

00

00

0000

00000000

00000000

000000000000

i

i

i

i

i

i

i

i

cacacaca

gg

hh

ghghghghghgh

ghgh

ghghghghghgh

Untuk mengatasi masalah ini, ada 3 solusi yang dapat diterapkan :

a. Memperlakukan data seolah-olah data tersebut adalah periodik. Data tak

tersedia yang berada di awal diisi dengan pengulangan dari data yang berada

di akhir (untuk transformasi forward) dan data kosong yang berada di akhir

diisi dengan pengulangan dari data yang berada di awal (untuk transformasi

invers).

44

b. Memperlakukan data seolah-olah direfleksikan pada kedua ujung himpunan

data tersebut (pencerminan/mirroring).

c. Menerapkan orthogonalisasi Gram-Schmidt untuk menghitung scaling

function dan wavelet khusus pada ujung awal dan akhir dari himpunan data.

2.2.12. Peramalan Dengan Autoregressive

Setelah didapatkan scaling coefficients dan wavelet coefficients dari transformasi

forward, maka dilakukan prediksi terhadap koefisien-koefisien tersebut dan nilai data

hasil peramalan diperoleh melalui transformasi invers koefisien-koefisien tersebut.

Metode peramalan yang akan digunakan adalah model autoregressive (AR) untuk

prediksi linier forward dari anggota Nnxn ...,,2,1, = dan 0=nx untuk Nnn >< ,1

∑=

−=p

kknkn xax

1

ˆ

dimana nx̂ adalah prediksi dari ,nx ka adalah koefisien filter prediksi, N banyak data

dan p adalah order dari model AR.

Algoritma prediksi yang mempergunakan DWT, langkah-langkahnya adalah :

a. Mengambil elemen data input pNnxn += ,...,2,1, .

b. Menghitung nilai DWT dari data input dalam interval finite dan menentukan

scaling function coefficients dan wavelet function coefficients..

c. Melakukan transformasi forward prediksi linier dari scaling coefficients dan

wavelet coefficients untuk setiap level skala dengan rumus :

∑=

−=p

k

jknk

jk cac

1

ˆ

45

mjuntukdadp

k

jknk

jk ...,,2,1,ˆ

1==∑

=−

dimana koefisien ka adalah filter prediksi yang diperoleh dari model AR.

d. Memperoleh data yang diprediksi dengan melakukan transformasi invers

terhadap koefisien hasil prediksi.

2.3. Alat Bantu Rancang – State Transition Diagram (STD)

State Transition Diagram digunakan untuk menggambarkan urutan dan variasi

layar yang muncul ketika menjalankan program. Dalam State Transition Diagram,

digunakan dua notasi, yaitu :

a. State, yaitu kotak persegi panjang untuk mewakili tampilan layar dari bagian

program tertentu.

b. Anak panah berarah untuk mewakili arus kontrol dan kejadian yang memicu

sehingga layar menjadi aktif atau menerima fokus. Arah dari panah

menunjukkan urutan layar yang muncul.

Untuk menggambarkan setiap arah kontrol digunakan sebuah panah yang

berbeda dengan labelnya masing-masing karena aksi yang berbeda memicu

Kondisi

Aksi

46

arus kontrol asal dan arus kontrol pada layar tujuan yang berbeda. Kondisi

merupakan suatu event yang dapat dideteksi oleh sistem, misalnya sinyal,

interupsi atau data. Aksi adalah hal yang dilakukan oleh sistem jika terjadi

perubahan state.