BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Flow Chart atau Diagram Alir

Diagram alir adalah diagram yang menggambarkan aliran proses dari

suatu sistem. Diagram alir juga dapat menggambarkan suatu algoritma

pemrograman.

Simbol-simbol utama yang digunakan dalam diagram alir, khususnya

dalam penggambaran algoritma pemrograman:

Penjelasan:

1. Terminal: menyatakan awal atau akhir dari suatu proses.

2. Proses: menggambarkan proses atau aktifitas yang dilakukan, atau suatu

proses kalkulasi.

Terminal

Proses

Pertanyaan/Keputusan

Input / Output (pada layar)

Output (dalam bentuk file)

7

3. Pertanyaan/keputusan: menggambarkan suatu pertanyaan dengan jawaban

‘Ya’ atau ‘Tidak’.

4. Input/Output: menggambarkan input data dari luar sistem dan output pada

layar.

5. Output: menggambarkan hasil yang ditampilkan dalam bentuk file.

2.2 State Transition Diagram (STD)

State Transition Diagram (STD) merupakan suatu modelling tool yang

menggambarkan sifat ketergantungan pada waktu dari suatu sistem.

Pada mulanya STD hanya digunakan untuk menggambarkan suatu sistem

yang memiliki sifat real-time, seperti process control, telephone switching

system, high-speed data acquisition system, millitary command and control

system, dan lainnya.

Notasi yang digunakan pada STD adalah:

State

Perubahan state

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyusun suatu STD, yaitu:

1. State awal (initial state) hanya boleh ada satu.

2. State akhir (final state) boleh ada lebih dari satu.

Untuk melengkapi STD diperlukan dua hal lagi, yaitu:

1. Kondisi (condition) adalah suatu event pada lingkungan eksternal yang dapat

dideteksi oleh sistem. Misalnya, sebuah interupsi, sinyal, atau data. Hal ini

8

menyebabkan perubahan terhadap state dari state menunggu X ke state

menunggu Y atau memindahkan aktivitas X ke aktivitas Y.

2. Aksi (action) adalah yang dilakukan oleh sistem bila terjadi perubahan state

atau merupakan reaksi terhadap kondisi. Aksi akan menghasilkan output,

pesan tampilan pada layar, menghasilkan kalkulasi, dan lain-lain.

2.3 Persamaan Integral Volterra

Persamaan integral adalah persamaan dengan fungsi yang tak diketahui

muncul di bawah tanda integral. Salah satu bentuk persamaan integral adalah:

∫Ω

+= dttytxKxgxy )(),()()( λ (2.1)

dengan:

y(x) = fungsi yang tak diketahui dan terdefinisi pada Ω

K(x,t) disebut Kernel persamaan integral, adalah fungsi yang diketahui dan

terdefinisi pada Ω x Ω.

g(x) = fungsi yang diketahui pada Ω

λ = suatu parameter.

Persamaan integral dengan bentuk (2.1) di atas adalah persaman integral

linier yang tak homogen. Dalam hal g(x) = 0, bentuk persamaan integral (2.1) di

atas disebut persamaan integral homogen, yaitu:

∫Ω

= dttytxKxy )(),()( λ (2.2)

Salah satu bentuk persamaan integal nonlinier adalah:

9

∫Ω

+= dttytxKxgxy ))(;,()()( λ (2.3)

Pada persamaan integral (2.1) dan (2.3) di atas, Ω merupakan daerah

definisi yang berbentuk selang. Bila persamaan integral berbentuk:

∫+=b

a

dttytxKxgxy ))(;,()()( λ (2.4)

maka persamaan integral (2.4) disebut persamaan integral Fredholm nonlinier.

Bila batas atas dari selang itu berbentuk peubah, maka persamaan integral itu

disebut persamaan integral Volterra, yaitu:

∫+=x

a

dttytxKxgxy ))(;,()()( λ (2.5)

Persamaan integral (2.5) dikatakan persamaan integral Volterra jenis II

yang nonlinier, sedangkan persamaan integral Volterra jenis I yang nonlinier

berbentuk:

∫=x

a

dttytxKxy ))(;,()( λ (2.6)

Karena persamaan integral Volterra jenis I adalah hal khusus dari persamaan

integral Volterra jenis II, maka pembahasan dalam tulisan ini terutama ditujukan

pada persamaan integral Volterra jenis II yang nonlinier, yaitu persamaan

integral dengan bentuk seperti pada (2.5), yang untuk selanjutnya disebut

persamaan integral Volterra nonlinier saja.

Syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh persamaan integral Volterra (2.5)

adalah:

− g(x) fungsi yang ditentukan pada interval a ≤ x ≤ b

10

− K(x,t) fungsi yang ditentukan pada interval a ≤ t ≤ x ≤ b. Dalam hal x < t

maka K(x,t) = 0

Selain syarat-syarat di atas, pembahasan persamaan integral Volterra ini

mengenai persamaan integral dengan Kernel K(x,t) dan f(x) yang memenuhi:

∫ ∫ ∞<b

a

b

a

dtdxtxK 2),(

∫ ∞<b

a

dxxf 2)(

2.4 Konvergensi dan Ketunggalan Solusi

2.4.1 Persamaan Integral Volterra Linier

Bentuk umum persamaan integral Volterra linier adalah:

∫+=x

dttytxKxgxy0

)(),()()( λ (2.7)

dengan :

y(x) adalah fungsi yang tidak diketahui

K(x,t) adalah Kernel persamaan integral, fungsi yang diketahui dan terdefinisi

pada a≤y≤x≤b, termasuk kelas L2.

g(x) fungsi terdefinisi dan kontinu pada a ≤ x ≤ b termasuk kelas L2.

λ suatu parameter.

Persamaan integral (2.7) bila diselesaikan menggunakan metode Picard,

dengan memberikan nilai awal y0(x) = g(x) akan menghasilkan:

∫+=x

dttgtxKxgxy0

1 )(),()()( λ

11

∫+=x

dttytxKxgxy0

12 )(),()()( λ (2.8)

∫ −+=x

nn dttytxKxgxy0

1 )(),()()( λ (2.9)

Persamaan (2.8) dapat pula dituliskan sebagai:

∫ ∫++=x x

dtdzzgzxKtgtxKxgxy0 0

2 )(),()(),()()( λλ

∫ ∫ ∫++=x x x

dtdzzgzxKtxKdttgtxKxgxy0 0 0

22 )(),(),()(),()()( λλ (2.10)

Sehingga bentuk umum (2.9) akan menjadi:

∑ ∫=

+=n

i

x

ii

n dttgtxKxgxy1 0

)(),()()( λ (2.11)

untuk : K1(x,t) = K(x,t)

∫ −=x

ii dzzxKtxKtxK0

1 ),(),(),(

Dari (2.11) akan diperoleh:

∑∫∫−

=

++=1

1 00

)(),()(),()()(n

i

x

ii

x

nn

n dttgtxKdttgtxKxgxy λλ

∑∫−

=− +=

1

1 01 )(),()()(

n

i

x

ii

n dttgtxKxgxy λ

∫=− −

x

nn

nn dttgtxKxyxy0

1 )(),()()( λ (2.12)

Bila kita tuliskan:

12

∫=x

nn dttgtxKxU0

)(),()(

∫ −=x

nn dttUtxKxU0

1 )(),()( (2.13)

maka (2.12) akan menjadi:

yn(x) – yn-1(x) = λn Un(x) (2.14)

Untuk U0(x) = g(x), dapat dituliskan:

∑=

=n

ii

in xUxy

0

)()( λ (2.15)

Dari (2.13) diperoleh:

∫=x

dttgtxKxU0

1 )(),()(

∫∫=zx

dttgtzKdzzxKxU00

2 )(),(),()( (2.16)

Dengan menukar urutan pengintegralannya akan diperoleh:

∫∫=xx

dztzKzxKdttgxU00

2 ),(),()()(

atau:

∫=x

dttgtxKxU0

22 )(),()( (2.17)

dengan:

∫=x

dztzKzxKtxK0

2 ),(),(),(

Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat diperoleh bentuk umumnya:

13

∫=x

nn dttgtxKxU0

)(),()( (n = 1, 2, ...) (2.18)

dengan kernelnya:

∫=+

x

nn dztzKzxKtxK0

1 ),(),(),( (n = 1, 2, ...) (2.19)

Dari (2.19) dapat juga ditentukan:

∫=+

x

tsrn dztzKzxKtxK ),(),(),(1 (r = 1, 2, ..., n ; s = n – r + 1) (2.20)

Dengan menggunakan persamaan (2.18) maka persamaan (2.15) dapat

dituliskan:

∫ ∑=

+=x n

ii

in dttgtxKxgxy

0 1)()),(()()( λ (2.21)

Sehingga ada jawab untuk persamaan integral (2.7) yang berbentuk:

∫−=x

dttgtxHxgxy0

)();,()()( λλ (2.22)

dengan resolvent-kernel H(x,t ; λ) diberikan oleh:

∑∞

=+−=

11 ),();,(

ii

i txKtxH λλ (2.23)

Tinjau kembali persamaan integral Volterra:

∫+=x

dttytxKxgxy0

)(),()()( λ (2.24)

dengan kernel K(x,t) dan fungsi g(x) masing-masing termasuk kelas L2 dan

0≤x≤h.

14

Teorema 2.4.1.1

Persamaan integral (2.24) mempunyai satu dan hanya satu solusi yang

termasuk kelas L2, dan berbentuk:

∫−=x

dttgtxHxgxy0

)();,()()( λλ (2.25)

dengan resolvent kernel H diberikan oleh:

∑∞

=+=−

11 ),();,(

ii

i txKtxH λλ (2.26)

yang konvergen dan juga memenuhi persamaan integral:

∫=+x

t

dztzHtxKtxHtxK );,(),();,(),( λλ

∫=x

t

dztzKzxH ),();,( λ (2.27)

Bukti:

Dengan menggunakan ketaksamaan Schwarz akan diperoleh:

),(22 txK =

2

),(),(⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∫x

t

dxtzKzxK

≤ ∫∫x

t

x

t

dztzKdzzxK ),(),( 22

≤ ∫∫hh

dztzKdzzxK0

2

0

2 ),(),(

= )()( 22 tBxA

),(23 txK ≤ ∫∫

x

t

x

t

dztzKdzzxK ),(),( 22

2

15

≤ ∫∫x

t

h

dztBzAdzzxK )()(),( 22

0

2

= ∫x

t

dzzAtBxA )()()( 222

),(24 txK ≤ ∫∫

x

t

x

t

dztzKdzzxK ),(),( 23

2

≤ ∫∫∫z

t

x

t

h

duuAdztBzAdzzxK )()()(),( 222

0

2

= ∫∫z

t

x

t

duuAdzzAtBxA )()()()( 2222

Bentuk umumnya:

),()()(),( 2222 txFtBxAtxK nn ≤+ (n = 1, 2, 3, ...) (2.28)

Untuk: ∫ −=x

tnn dztzFzAtxF ),()(),( 1

2 (n = 1, 2, 3, ...) (2.29)

∫=x

t

dzzAtxF )(),( 21

Sehingga dapat kita tentukan:

),(!

1),( 1 txFn

txF nn = (n = 1, 2, 3, ...) (2.30)

Hal ini dapat dibuktikan dengan induksi:

Benar untuk F1, karena:

),(),(11),( 1

11 txFtxFtxFn ==

16

Andaikan benar untuk Fn-1, sehingga berlaku:

),()!1(

1),( 111 txF

ntxF n

n−

− −=

Akan ditinjau untuk Fn:

∫ −=x

tnn dztzFzAtxF ),()(),( 1

2

∫ −

−=

x

t

n dztzFzAn

),()()!1(

1 11

2

∫∂

−= −

x

t

n dzdz

tzFtzFn

),(),()!1(

1 111

xz

tz

n tzFnn

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−= ),(1

)!1(1

1

),(!

1),( 1 txFn

txF nn =∴ (terbukti) (2.31)

Kernel K(x,t) termasuk kelas L2, sehingga A(x) juga termasuk kelas L2 dan

berlaku:

2

0

21 )(),(0 NdzzAtxF

h

≤≤≤ ∫

Juga berlaku:

nn N

ntxF 2

!1),(0 ≤≤ (2.32)

Dengan mensubstitusikan (2.32) ke dalam (2.28) akan diperoleh:

!)()(),(2 n

NtBxAtxKn

n ≤+ (n = 0, 1, 2, ...) (2.33)

17

Bila kita substitusikan (2.33) ke dalam resolvent Kernel H pada (2.26), akan

diperoleh suatu majoran:

( )∑∞

=

=0 !

)()(),(n

n

nN

tBxAtxMλ

λ

A(x) dan B(t) merupakan suatu konstanta, sehingga majoran dari resolvent kernel

akan konvergen untuk n → ∞. Akibatnya resolvent kernel h juga konvergen.

Berikut akan ditunjukkan ketunggalan solusinya menggunakan bantuan

persamaan (2.27).

Misalkan y0(x) adalah solusi persamaan integral (2.24) dan termasuk kelas L2,

sehingga berlaku:

∫−=x

dttgtxHxgxy0

0 )();,()()( λλ

Bila pada kedua ruas ditambahkan suatu fungsi yang termasuk kelas L2 juga,

sehingga bentuknya menjadi:

∫∫∫ −−=−xxx

dttytxKdttgtxHxgdttytxKxy0

000

00 )(),()();,()()(),()( λλλλ

∫∫∫∫ +−−=zxxx

dttgtzHdzzxKdttgtxKdttgtxHxg00

2

00

)();,(),()(),()();,()( λλλλλ

∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−=x x

t

dttgdztzHzxKtxHtxKxg0

)();,(),();,(),()( λλλλ

)(xg=

atau

∫+=x

dttytxKxgxy0

00 )(),()()( λ (terbukti)

18

2.4.2 Persamaan Integral Volterra Nonlinier

Kita tinjau kembali bentuk umum persamaan integral Volterra nonlinier

dengan mengambil nilai λ=1 :

∫+=x

dttytxKxgxy0

))(;,()()( λ (2.34)

dengan g(x) danK(x,t ; y(t)) memenuhi syarat seperti pada persamaan integral

Volterra linier.

Teori persamaan integral Volterra nonlinier ini sebenarnya telah ada

sebelum teori persamaan integral Volterra liniernya. Persamaan integral nonlinier

berasal dari penyelesaian suatu persamaan diferensial yang berbentuk:

),( yxKdxdy

= dengan y(x0) = y0

Persamaan diferensial di atas ditransformasikan menjadi persamaan

integral Volterra nonlinier:

∫+=x

x

dttytKyxy0

))(,()( 0 (2.35)

dengan y0(x) = y0.

Dengan metode Picard, penyelesaiannya akan menjadi:

∫ −+=x

xnn dttytKyxy

0

))(,()( 10

dengan y0(x) = y0.

Persamaan integral Volterra di atas dapat diperluas menjadi lebih umum

lagi:

19

∫+=x

dttytxKxgxy0

))(;,()()( (2.36)

dengan g(x) dan K(x,t ; y(t)) memenuhi syarat-syarat tertentu.

Pada pembahasan selanjutnya akan ditetapkan fungsi-fungsi g(x) dan

K(x,t ; y(t)) termasuk pada fungsi L2 dan memenuhi kondisi Lipschitz, yaitu

memenuhi:

(i) )()(),())(;,())(;,( 2121 tytytxatytxKtytxK −≤−

(ii) )())(;,(0

xndttytxKx

≤∫

Pada (i) dan (ii) di atas a(x,t) dan n(x) masing-masing termasuk fungsi L2.

Teorema 2.4.2.1

Persamaan integral Volterra nonlinier (2.36) mempunyai solusi y(x) yang

termasuk kelas L2, yang konvergen.

Bukti:

Dari syarat di atas, diketahui a(x,y) dan n(x) termasuk kelas L2, sehingga

memenuhi sifat:

(untuk A2 dan N2 masing-masing konstanta positif)

∫∫ ≤xh

Adttxadx0

22

0

),( (0 ≤ t ≤ x ≤ h) (2.37)

∫ ≤h

Ndttn0

22 )(

Dimisalkan: ∫ =x

xBdttxa0

22 )(),(

20

Sehingga persamaan (2.37) akan menjadi:

∫ ≤h

AdxxB0

22 )(

Seperti pada pembuktian persamaan integral Volterra linier, akan

dibuktikan solusi persamaan integral nonlinier adalah limit dari barisan-barisan

fungsi-fungsi yn dengan fungsi awal:

y0(x) = g(x)

Kemudian:

∫ −+=x

nn dttytxKxgxy0

1 ))(;,()()( (n = 1, 2, ...) (2.38)

Dari (2.37) akan diperoleh:

)())(;,()()(0

001 xndttytxKxyxyx

≤=− ∫

Secara umum akan diperoleh:

∫ −+ −≤−x

nnnn dttytxKtytxKxyxy0

11 ))(;,())(;,()()(

∫ −−≤x

nn dttytytxa0

1 )()(),( (n = 1, 2, ...) (2.39)

Dengan menggunakan ketaksamaan Schwarz dari (2.39) akan diperoleh:

∫∫ −+ −≤−x

nn

x

nn dttytydttxaxyxy0

21

0

221 )()(),()()(

∫ −−≤x

nn dttytyxB0

21

2 )()()(

Dari ketaksamaan di atas, diperoleh:

21

)()()( 2201 xnxyxy ≤−

∫ −≤−x

dttytyxBxyxy0

201

2212 )()()()()(

22

0

22 )()()( NxBdttnxBx

≤≤ ∫

∫≤−x

dtNtBxBxyxy0

222223 )()()()(

∫≤x

dttBxBN0

222 )()(

∫∫≤−tx

dzzBdttBxBNxyxy0

2

0

222234 )()()()()(

Dengan menggunakan sifat seperti pada pembuktian persamaan integral linier,

yaitu sifat (2.30) akan diperoleh bentuk ketaksamaan secara umum:

nx

nn dttBn

xBNxyxy⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤− ∫++0

222212 )(

!1)()()(

!

)(2

22

nAxBN

n

≤ ( n = 0, 1, ...)

atau:

!)()()( 12 n

AxBNxyxyn

nn ≤− ++ (2.40)

Sekarang tentukan:

y(x) = y1(x)+y2(x)-y1(x)+y3(x)-y2(x)+...+yn(x)-yn-1(x)+... (2.41)

22

Dengan menggunakan (2.40) akan diperoleh:

...!2

)()()()()(2

1 ++++≤AxBNAxBNxBNxyxy

∑∞

=

+≤0

1 !)()(

n

n

nAxBNxy (2.42)

Bila diperhatikan majoran dari (2.42) yaitu:

∑∞

=0 !)(

n

n

nAxBN

maka y(x) akan konvergen mutlak dan konvergen seragam untuk nilai B(x)

terhingga.

Untuk membuktikan limit fungsi y(x) adalah solusi persamaan integral (2.36)

dimisalkan dahulu:

y(x) = yn(x) + Rn(x) (2.43)

Rn(x) disini termasuk fungsi L2, dan juga memenuhi:

∑∞

+=

≤1 !

)()(nm

m

n mAxBNxR (2.44)

(2.44) mengakibatkan:

∫ =∞→

h

nndxxRLim

0

2 0)(

Dari persamaan (2.38) dan (2.43) akan diperoleh:

)())(;,()()(0

1 xRdttytxKxgxy n

x

n ++= ∫ −

Kedua ruas kita tambahkan dengan: ∫x

dttytxK0

))(;,(

23

∫∫ −+=−− −

x

nn

x

dttytxKtytxKxRdttytxKxgxy0

10

))(;,())(;,()())(;,()()(

(2.45)

Akibatnya:

2

01

22

0

)(),(2)(2))(;,()()(⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−− ∫∫ −

x

nn

x

dttRtxaxRdttytxKxgxy (2.46)

Dengan menggunakan ketaksamaan Schwarz:

∫∫ −− ≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ x

n

x

n dttRxBdttRtxa0

122

2

01 )()()(),(

∫ −≤h

n dttRxB0

122 )()( (2.47)

Dengan mensubstitusikan (2.47) ke dalam (2.46) akan diperoleh:

∫∫∫ ∫ −+≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−h

n

h

n

h x

dttRAdxxRdxdttytxKxgxy0

122

0

2

0

2

0

)(2)(2))(;,()()( (2.48)

Jika n→∞ akan terlihat ruas kanan akan bernilai nol, sehingga:

∫∫∫ ∫ −+≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−h

n

h

n

h x

dttRAdxxRdxdttytxKxgxy0

122

0

2

0

2

0

)(2)(2))(;,()()(

0))(;,()()(0

2

0

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∫ ∫h x

dxdttytxKxgxy

atau:

∫+=x

dttytxKxgxy0

))(;,()()( (terbukti)

Teorema 2.4.2.2

Persamaan integral Volterra nonlinier (2.36) hanya mempunyai satu

solusi yang termasuk kelas L2.

24

Bukti:

Misalkan ada 2 solusi yaitu y(x) dan y*(x) yang memenuhi persamaan

(2.36) dan masing-masing berada pada kelas L2, sehingga akan dipenuhi:

∫+=x

dttytxKxgxy0

))(;,()()(

∫+=x

dttytxKxgxy0

** ))(;,()()(

∫ −=−∴x

dttytxKtytxKxyxy0

** ))(;,())(;,()()( (2.49)

Dengan menggunakan ketaksamaan Schwarz, dari (2.49) akan diperoleh:

2

0

*2* ))(;,())(;,()()(⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−≤− ∫x

dttytxKtytxKxyxy

2

0

* )()(),(⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−≤ ∫x

dttytytxa

∫∫ −≤xx

dttytydttxa0

2*

0

2 )()(),(

∫ −≤x

dttytyxB0

2*2 )()()( (2.50)

Misal: 2

0

2* )()( kdttytyh

=−∫ 0 ≤ x ≤ h

Bila disubstitusikan secara berturut-turut pada (2.50) akan diperoleh:

)()()( 222* xBktyty ≤−

∫≤−x

dttBxBktyty0

2222* )()()()(

25

∫∫≤−tx

dzzBdttBxBktyty0

2

0

2222* )()()()()(

Dengan menggunakan sifat seperti pada (2.30) akan diperoleh bentuk umum:

!

)(!

1)()(2

2

0

22

0

2*

nAkdttB

nkdttyty

nnxx

≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤− ∫∫

Untuk n→∞ ruas kanan akan menjadi nol, sehingga:

0)()(0

2* =−∫x

dttyty

y(t) – y*(t) = 0

atau: y(t) = y*(t)

Jadi telah terbukti bahwa solusi dari persamaan integral (2.36) adalah tunggal.

2.5 Metode-Metode Penyelesaian

2.5.1 Metode Iterasi

Metode iterasi ialah suatu metode yang menggunakan cara dengan

mengubah-ubah taksiran awal, dengan harapan hampiran solusi diperoleh dengan

galat yang sekecil mungkin.

Dalam menyelesaikan perhitungan nilai integral disini dipergunakan

metode trapesium, karena metode ini relatif sederhana dan galat yang dihasilkan

hanya memerlukan turunan pertama dari fungsi yang akan dihitung integralnya.

Salah satu prinsip yang diperlukan dalam perhitungan integral adalah fungsi

26

tersebut dapat dihampiri secara polinom. Oleh karenanya, metode trapesium

tidak memerlukan polinom derajat tinggi untuk hampiran fungsinya.

2.5.2 Metode Volterra-Runge-Kutta

Metode Volterra-Runge-Kutta adalah suatu metode Runge-Kutta yang

diterapkan pemakaiannya pada persamaan integral Volterra nonlinier.

Tinjau kembali persamaan integral Volterra nonlinier:

∫+=x

a

dttytxKxgxy ))(;,()()( (2.51)

Untuk:

x ∈ I : [a,b]

K kontinu pada S x Rn, S=(x,s)|a ≤ s ≤ x ≤ b

Sekarang kita tetapkan:

xn = a + n.h n = 0, 1, ..., N

h = (b-a)/N

yn = y(xn)

Tetapkan juga:

∫+=nx

an dttytxKxgxF ))(;,()()( x ≥ xn , n = 0, 1, ..., N-1 (2.52)

Misalkan F*n(x) nilai hampiran untuk Fn(x). Metode Runge-Kutta untuk (2.51)

pada tingkat-m adalah:

∑=

++++=m

j

njjnijnijinn

ni YhcxhdxKahhTxFY

1

)(*)( );,()(

∑=

++ ++++==m

i

niinininn

nmn YhcxhexKbhhxFYy

1

)(*)(11 );,()( (2.53)

27

Bentuk (2.53) di atas dikatakan bentuk umum metode Volterra-Runge-

Kutta. Nilai parameter-parameter Ti, aij, dij, bi, dan ei tergantung dari tingkat-m

dan tipe metode Volterra-Runge-Kutta yang dipakainya.

Pada (2.53) akan selalu diasumsikan :

∑=

=m

jiji ac

1

( i = 1, 2, ..., m) (2.54)

Metode Volterra-Runge-Kutta di atas dibagi atas 2 tipe khusus, yaitu:

1. Tipe Pouzet (metode PRK)

Pada tipe ini berlaku:

dij = ci (i,j = 1, 2, ..., m)

ei = 1 dan Ti = ci

Bentuk umum PRK akan menjadi:

∑=

++++=m

j

njjninijinn

ni YhcxhcxKahhcxFY

1

)(*)( );,()( (i = 1, 2, ..., m)

∑=

++ ++++==m

i

niinninn

nmn YhcxhxKbhhxFYy

1

)(*)(11 );,()( (2.55)

Agar kernel K pada (2.55) berada dalam S x Rh, maka ditetapkan:

ci ≥ cj jika aij ≠ 0 (2.56)

Kondisi (2.56) dapat dipenuhi jika:

c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ cm ≤ 1

Kondisi (2.56) dikatakan juga kondisi kernel.

2. Tipe Bel’tyukov (metode BRK)

Pada tipe ini berlaku:

28

dij = ej (i,j = 1, 2, ..., m)

Ti = ci (i,j = 1, 2, ..., m)

Bentuk umum tipe BRK akan menjadi:

∑=

++++=m

j

njjnjnijinn

ni YhcxhexKahhcxFY

1

)(*)( );,()( (i = 1, 2, ..., m)

∑=

++ ++++==m

i

niinininn

nmn YhcxhexKbhhxFYy

1

)(*)(11 );,()( (2.57)

Kondisi Kernel pada metode ini adalah: ei ≥ cj

Bila diperhatikan ternyata metode-metode dari (2.53) dapat dituliskan

dalam bentuk (2.57). Dari kedua tipe di atas parameter-parameter ci, ei, aij, bi

(i,j = 1, 2, .., m) tergantung pada tingkat m-nya.

Cara menghitung parameter pada tingkat-m dengan metode BRK

adalah:

Orde 1: (i) 11

=∑=

m

iib

Orde 2: (ii) 11

=∑=

m

iiieb

(iii) 21

1

=∑=

m

iiicb

Orde 3: (iv) 11

2 =∑=

m

iiieb

(v) 21

1

=∑=

m

iiii ceb

(vi) 31

1

2 =∑=

m

iiicb

29

(vii) 31

1 1

=∑ ∑= =

m

i

m

jjiji eab

(viii) 61

1 1=∑ ∑

= =

m

i

m

jjiji cab

Adapun orde dari metode BRK ini tak mungkin lebih besar dari

tingkat m-nya dan juga metode Volterra-Runge-Kutta ini cukup konvergen.

2.6 Teorema-Teorema Penunjang

2.6.1 Teorema Ketaksamaan Schwarz untuk Integral

Jika fungsi f & g masing-masing terintegral kuadrat dan f.g∈L2 [a,b]

maka berlaku:

2

)()(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫b

a

dxxgxf ∫ ∫≤b

a

b

a

dxxgdxxf )()( 22 (2.58)

Bukti:

Untuk setiap x Є [a,b] berlaku:

|f(x)| - |g(x)| 2 ≥ 0

|f(x)|2 + |g(x)|2 ≥ 2|f(x)||g(x)|

atau |f(x) . g(x)| ≤ ½ [f(x)]2 + [g(x)]2 ( a ≤ x ≤ b )

Untuk setiap r ∈ R, kita dapat menuliskan:

∫ ≥+b

a

grf 0)( 2

atau:

∫ ∫ ∫ ≥++b

a

b

a

b

a

gfgrfr 02 222 (2.59)

30

Dari (2.59) dapat kita tuliskan:

r2A + rB + C ≥ 0 (2.60)

untuk: A = [ ]∫b

a

dxxf 2)(

B = ∫b

a

dxxgxf )()(2 (2.61)

C = [ ]∫b

a

dxxg 2)(

Kasus-kasus:

(i) Jika A=0, maka [f(x)]2 = 0 untuk setiap x ∈ [a,b], sehingga f(x) = 0 untuk

setiap x ∈ [a,b]. Pada kasus ini kedua sisi pertaksamaan (2.58) bernilai nol.

(ii) Jika A≠0.

Pada kasus ini dari (2.60), r dapat ditentukan dari:

ABr

2−=

sehingga diperoleh:

0.2

.4 2

2

≥+− CBA

BAA

B

atau:

B2 – 4AC ≤ 0

B2 ≤ 4AC

Jika disubstitusikan pada (2.61) akan diperoleh:

[ ] [ ]∫ ∫∫ ≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf 222

)()(4)()(4

atau:

31

∫∫∫ ≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22

2

(terbukti)

2.6.2 Teorema Picard untuk Persamaan Diferensial

Banyak ditemukan masalah dalam bentuk persamaan diferensial:

),( yxfdxdy

= (2.62)

dengan kondisi awal: y(x0) = y0 (2.63)

untuk f fungsi bernilai real dan f ∈ R2.

Misalkan U fungsi jawaban yang daerah definisinya [x0-δ , x0+δ]

sehingga berlaku:

U(x0) = y0

U’(x) = f(x,U(x)) ( |x- x0| ≤ δ ) (2.64)

Persamaan (2.64) setara dengan:

∫+=0

))(,()( 0

x

x

dttUtfyxU ( |x- x0| ≤ δ ) (2.65)

Keujudan solusi pada masalah (2.62) dan (2.63) setara dengan keujudan

solusi pada masalah (2.65) untuk δ tertentu.