BAB 2

KOORDINAT

2.1 GARIS DAN LINGKARAN

Tentu kalian sering melihat bnda-benda yang berbentuk lingkaran. Uang logam

dan pizza adalah beberapa contoh bentuk lingkaran. Dalam bidang transportasi, bentuk

lingkaran ternyata sangat bermanfaat untuk menjalankan kendaraan. Coba kalian

perhatikan bentuk ban mobil. Bentuk ban mobil adalah lingkaran.

Lalu, apa lingkaran itu? Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang berjarak sama

terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama disebut jari-jari sedangkan titik tertentu

dinamakan pusat lingkaran. Pada bab ini kita akan membahas tentang garis dan

lingkaran seperti posisi dua lingkaran, posisi garis terhadap lingkaran dan perpotongan

garis dan lingkaran.

Sebelumnya kita akan mengulas kembali kemiringan untuk menentukan persamaaan

garis, persamaan lingkaran dan pengetahuan dasar yang banyak digunakan adalah

rumus jarak antara dua titik. Bentuk-bentuk geometri seperti lingkaran digambarkan

dengan menggunakan sistem koordinat cartes. Mari kita ingat kembali koordinat cartes.

Kita membayangkan sepasang garis tegak lurus yaitu sumbu x dan sumbu y yang saling

berpotongan di titik O disebut titik asal . kita asumsikan bahwa arah positif pada sumbu

x adalah ke kanan dan arah positif pada sumbu y-adalah atas.

2.1.1 Garis dan Persamaan Garis

Garis adalah himpunan titik-titik yang tak kosong dan mengandung paling

sedikit dua titik.

Berdasarkan gambar diatas terlihat ada dua ruas garis yang sama:

AB, naik garis 𝐵𝐶 dan menembus 𝐴𝐶

A’B’, naik garis 𝐵′𝐶′ dan menembus 𝐴′𝐶′

Sudut α sama karena AC dan A’C’ adalah sejajar

Sudut β sama karena BC dan B’C’ adalah sejajar

Sudut C dan C’ keduanya sudut kanan

Dengan demikian segitiga ABC dan segitiga A’B’C’ sama. Sehingga,

𝐵𝐶

𝐴𝐶 =

𝐵′𝐶′

𝐴′𝐶′ Kemiringannya konstan

Kemiringan dapat ditentukan dengan membandingkan perubahan jarak tegak (nilai y)

terhadap perubahan jarak mendatar (nilai x).

Misal dibuat garis miring yang melintasi sumbu y di titik Q dimana y=c adalah a. Jika

P=(x,y) dititik lain. Maka kenaikan dari titik Q ke titik P adalah y-c. Yang mendatar

adalah x (Gambar 3).

Kemiringan = a = 𝑦−𝑐

𝑥

ax = y - c

persamaan ini dinamakan Persamaan Garis.

2.1.2 Jarak

Misalkan P1 = (x1,y1) dan P2 = (x2,y2) adalah dua titik R2.

Maka koordinatnya adalah segitiga siku-siku. Sehingga 𝑃1𝑃2 adalah panjang sisi

miringnya.

Berdasarkan Teorema Phytagoras:

y=ax+c

𝑷𝟏𝑷𝟐 𝟐 = 𝑿𝟐 − 𝑿𝟏

𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐

𝑷𝟏𝑷𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐

2.1.3 Persamaan Lingkaran

Rumus jarak mengarah langsung ke persamaan lingkaran, sebagai

berikut.

Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan pusat di titik O(0,0) dan jari-jari r.

Titik P adalah sebuah titik pada lingkaran.

Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan 𝑂𝑃 = r.

𝑂𝑃 = 𝑟

𝑥 − 0 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑟

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusat pada titik

P = (a, b). Titik Q(x,y) adalah sebuah titik pada lingkaran.( Gambar 6).

Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan 𝑄𝑃 = r.

𝑄𝑃 = 𝑟

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟

𝒙 − 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝒓𝟐 *

Sehingga persamaan (*) dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dengan

jari-jari r.

Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r mempunyai persamaan 𝒙 − 𝒂 𝟐 +

𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝒓𝟐. Persamaan tersebut dapat kita nyatakan dengan:

𝒙 − 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝒓𝟐

𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2

𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0

Disederhanakan menjadi Persamaan Umum Lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Misalkan dua titik P1 = (a1,b1) dan P2=(a2,b2). Selanjutnya titik P=(x,y) merupakan

jarak yang sama dari P1 dan P2 jika 𝑷𝑷𝟏 = 𝑷𝑷𝟐 , sehingga persamaannya.

𝒙 − 𝒂𝟏 𝟐 + 𝒚 − 𝒃𝟏 𝟐 = 𝒙 − 𝒂𝟐 𝟐 + 𝒚 − 𝒃𝟐 𝟐

𝒙 − 𝒂𝟏 𝟐 + 𝒚 − 𝒃𝟏

𝟐 = 𝒙 − 𝒂𝟐 𝟐 + 𝒚 − 𝒃𝟐

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟏𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝟏𝒚 + 𝒃𝟏

𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝟐𝒚 + 𝒃𝟐

𝟐

Akan menghasilkan Persamaan Linear,

𝟐 𝒂𝟏 − 𝒂𝟐 𝒙 + 𝟐 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 𝒚 + 𝒃𝟏𝟐 − 𝒃𝟐

𝟐 = 𝟎

2.1.4 Perpotongan Garis dan Lingkaran

Garis dan lingkaran di definisikan dengan persamaan. Kita merinci secara aljabar

kesetaraan garis lurus dan batas operasi:

Menggambar garis yang melewati titik-titik sesuai dengan persamaan garis melalui

titik (x1,y1) dan (x2,y2). Kemiringan antara dua titik adalah 𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏 harus sama dengan

𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1 antara titik (x,y) dan titik (x1,y1) sehingga persamaannya

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑦 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥1 (𝑦2 − 𝑦1)

𝑦2 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 − 𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2 = 0

Menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari yang diberikan sesuai

dengan mencari persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r.

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

Menemukan titik baru sebagai perpotongan gambar garis sebelumnya dan lingkaran

sesuai untuk menemukan titik solusi dari:

Sepasang persamaan garis

Sepasang persamaaan lingkaran

Persamaan garis dan persamaan lingkaran

2.1.5 Posisi Dua Lingkaran

Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran diperlihatkan pada gambar 2.6

dibawah:

Pada gambar 2.6 (a), lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang

berlainan.

Pada gambar 2.6 (b) i, lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di dalam. 2.6 (b) ii

lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di luar

Pada gambar 2.6 (c) ), lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun

bersinggungan

Sebagai contoh, menentukan perpotongan dua lingkaran

𝑥 − 𝑎1 2 + 𝑦 − 𝑏1

2 = 𝑟2...............(1)

𝑥 − 𝑎2 2 + 𝑦 − 𝑏2

2 = 𝑟2...............(2)

𝑥2 − 2𝑎1𝑥 + 𝑎12 + 𝑦2 − 2𝑏1𝑦 + 𝑏1

2 − 𝑟12 = 0

𝑥2 − 2𝑎2𝑥 + 𝑎22 + 𝑦2 − 2𝑏2𝑦 + 𝑏2

2 − 𝑟22 = 0

Dengan mengurangkan pers.(2) dengan pers.(1) sehingga di dapat persamaan linear:

2 𝑎1 − 𝑎2 𝑥 + 2 𝑏2 − 𝑏1 𝑦 + 𝑟22 − 𝑟1

2 = 0

2.1.6 Posisi Garis terhadap Lingkaran

Dari tinjauan geometri bidang, posisi atau kedudukan garis g terhadap lingkaran

L ada 3 macam:

Pada gambar 2.6 a, garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan yaitu

titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) (D > 0)

Pada gambar 2.6 b, garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan garis

g menyinggung lingkaran di titik A(x1,y1) (D = 0)

Pada gambar 2.6 c, garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

(D<0)

Perpotongan Garis Dan Lingkaran

Persamaan garis : y = mx + n ........................................(1)

Persamaan lingkaran : x 2+ y

2 = r

2 ........................................(2)

Subtitusikan pers.(1) ke pers.(2), diperoleh

𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 2 = 𝑟2

𝑥2 + 𝑚2𝑛2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟2 = 0

1 + 𝑚2 𝑥2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟2 = 0

Diperoleh diskriminan D = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝐷 = 2𝑚𝑛 2 − 4 1 + 𝑚2 𝑛2 − 𝑟2

Sehingga ada 3 kemungkinan garis dan lingkaran seperti diatas.

Kuasa suatu titik terhadap suatu lingkaran

Misal titik dan berada di luar lingkaran, kuasanya:

TP = pusat lingkaran

r = jari-jari lingkaran

K = kuasa titik

Jika K>0 maka T di luar lingkaran

K=0 maka T pada lingkaran

K<0 maka T di dalam lingkaran

Contoh Soal:

Diketahui persamaan x2 + y

2 = 9 dan titik P (5,1)

Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y

2 = 9 adalah :

K = 25 + 1 – 9 = 17

K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran

Menurut definisi (2) K = PQ2

Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17

Garis kuasa

Adalah tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya terhadap dua lingkaran adalah sama.

Misal,

Maka garis kuasa ke dua lingkaran tersebut:

Titik Kuasa

Adalah suatu titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap beberapa lingkaran.

Misal,

Persamaan titik kuasa:

Contoh Soal

1. Diberikan titik 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , misal P(x,y) adalah titik pada garis yang

melalui P1 dan P2, dengan persamaan kemiringan tunjukkan bahwa x dan y

memenuhi persamaan.

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1, 𝑥2 ≠ 𝑥1

2. Mempertimbangkan segitiga, kita ambil titik O = (0,0), titik P = (𝑥1, 0) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥1 >

0 dan titik Q = (𝑥2 , 𝑦2), tunjukkan bahwa

𝑂𝑃 = 𝑥1 , 𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22, 𝑂𝑄 = 𝑥2

2 + 𝑦22

Selanjutnya tunjukkan bahwa

𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 2 − 𝑂𝑄 2 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22 − 𝑥2 − 𝑥1

3. Temukan perpotongan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 1 dan 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 4

4. Periksa jawaban latihan no 2 dengan sketsa dua lingkaran

Pembahasan:

1. Titik 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , dan P(x,y) melalui titik P1 dan P2.

Misal a = 𝑃1𝑃2 dan b = 𝑃𝑃1

Karenasegitiga 𝑃1𝑂𝑃2 𝑑𝑎𝑛 𝑃1𝑄𝑃 kemiringannya konstan maka,

𝑃1𝑃2 = 𝑃𝑃1

𝑂𝑃2

𝑂𝑃1 =

𝑃𝑄

𝑃1𝑄 ↔

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1 (terbukti)

2. O = (0,0), titik P = (𝑥1, 0) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥1 > 0 dan titik Q = (𝑥2, 𝑦2),

𝑂𝑃 = 𝑥1 − 0 2 + 0 − 0 2 = 𝑥1

𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 0 2 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22

𝑂𝑄 = 𝑥2 − 0 2 + 𝑦2 − 0 2 = 𝑂𝑄 = 𝑥22 + 𝑦2

2

𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 2 − 𝑂𝑄 2 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22 − 𝑥2 − 𝑥1

𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 2 − 𝑂𝑄 2 = 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22

2

− 𝑥22 + 𝑦2

2 2

= 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2

2 + 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2

2 − (𝑥22 + 𝑦2

2)

= 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2

2+𝑥22 − 2𝑥2𝑥1 + 𝑥1

2 + 𝑦22 − (𝑥2

2 +

𝑦22)

= 2𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2

2 − 2𝑥2𝑥1

=2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22 − 𝑥2 − 𝑥1

Sehingga,

𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 2 − 𝑂𝑄 2 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦22 − 𝑥2 − 𝑥1 (terbukti)

3. 𝐿1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 = 1

L2 ≡ 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 4

𝐿1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 − 1=0

L2 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0

2𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0

𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

𝑥 = −2𝑦 + 1

Subtitusi 𝑥 = −2𝑦 + 1 ke 𝑥2 + 𝑦2 − 1=0, diperoleh:

(−2𝑦 + 1)2 + 𝑦2 − 1=0

4𝑦2 − 4𝑦 + 1 + 𝑦2 − 1 = 0

5𝑦2 − 4𝑦 = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat5𝑦2 − 4𝑦 = 0 adalah:

D = (-4)2- 4(5)(0)

D = 16> 0

Karena D > 0 maka lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang berlainan.

Dari 5𝑦2 − 4𝑦 = 0 , diperoleh:

𝑦 5𝑦 − 4 = 0

↔ 𝑦1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦2 =4

5

Subtitusi ke y = -2y + 1

Untuk 𝑦1 = 0, diperoleh y = - 2(0) + 1 = 1

Untuk 𝑦2 =4

5, diperoleh y = - 2(

4

5) + 1 = -

3

5

Jadi koordinat titik potongnya adalah (1,0) dan (−3

5,

4

5)