BAB 2

KINEMATIKA GELOMBANG

Alam semesta ini dipenuhi berbagai jenis gelombang baik yang termasuk gelombang

mekanik maupun elektromgnetik. Contohnya, gelombang gempa (seismik), gelombang

permukaan air, gelombang bunyi, gelombang elektromagnetik diantaranya gelombang TV,

gelombang radio, gelombang mikro, cahaya tampak, ultra violet, dan sinar X. Selain itu

juga ada gelombang gempa bumi dan gelombang otak yang kesemuanya hanya sebagian

kecil dari contoh-contoh gelombang yang ada di permukaan bumi.

Perbedaan antara gelombang dan getaran adalah bahwa gelombang merupakan

getaran yang merambat melalui medium tertentu, atau gelombang bergerak dalam ruangan,

sedangkan getaran tidak merambat atau terlokalisasi. Sebagai contoh adalah gelombang

bunyi di udara yang berasal dari getaran pita suara manusia. Suara manusia terjadi karena

adanya getaran pita suara di tenggorokan. Tetapi gelombang bunyi dihasilkan oleh getaran

pita suara yang merambat melalui udara (merupakan medium bagi gelombang bunyi). Oleh

karena itu jika kita berbicara tentang gelombang harus membahas juga tentang medium

bagi gelombang tersebut.

Untuk getaran, variabel waktu (t) merupakan satu-satunya variabel bebas, artinya jika

ditetapkan suatu harga t, maka akan diperoleh nilai sesaat pada besaran getaran. Untuk

gelombang, selain variabel waktu (t), kita mempunyai variabel bebas lain, yaitu koordinat

x.

Dalam bab kinematika gelombang ini kita akan mempelajari tentang terjadinya

gelombang, persamaan gelombang, gelombang sinusoidal, dan nonsinusoidal serta

superposisi gelombang. Sebelum mempelajari bab ini sebaiknya kita sudah memahami

lebih dahulu segala sesuatu yang berkaitan dengan getaran.

2.1. Terjadinya Gelombang Transversal

Jika sebuah massa digantungkan pada suatu pegas kemudian pegas tersebut ditarik

atau ditekan dan kemudian dilepaskan, maka akan terjadi getaran. Apabila gesekan

diabaikan, maka sistem pegas massa ini akan terus bergetar. Jika sebuah tali yang ringan

36

diikatkan pada massa, maka tali akan ikut bergetar bersama massa. Pada saat yang

bersamaan terbentuk pola gelombang yang merambat sepanjang tali, dengan periode

tertentu.

Gambar 2.1 berikut menunjukkan keadaan tali pada saat t = 0 sampai dengan t = T

(satu periode), atau ketika getaran yang merambat tersebut difoto pada saat-saat tertentu,

sebuah titik bergerak naik turun pada tali walaupun gelombang tali bergerak dari kiri ke

kanan.

t = 0

a b c d e f g

t = T/4

t = T/2

t = 3T/4

t = T

Gambar 2.1. Gelombang mekanik pada tali oleh sistem pegas massa

37

Gelombang yang merambat pada tali yang disebabkan oleh getaran massa pada

Gambar 2.1 merupakan salah satu contoh dari gelombang mekanik. Pada Gambar 2.1.

tampak bahwa semua titik dalam medium tali bergerak naik turun, dan gelombang tali

merambat dari kiri ke kanan. Pada saat t = 0, semua titik masih dalam keadaan setimbang.

Pada saat t = T/4, titik a bergerak keatas, sedangkan titik yang lain masih diam. Pada t =

T/2, titik a sudah turun dan berada dalam posisi setimbang, titik b berada di posisi atas,

sedangkan titik yang lain masih diam. Pada t = 3T/4, titik a berada di posisi bawah, titik b

kembali pada posisi setimbang dan titik c berada di atas, sedangkan titik yang lain masih

diam. Pada saat t = T (satu periode), titik a kembali pada kedudukan setimbang, titik b

berada di bawah, titik c berada pada posisi setimbang dan titik d sedang berada pada posisi

atas, sedangkan titik yang lain masih diam. Demikian seterusnya, gerakan semua titik

dalam medium tali dari waktu ke waktu berikutnya.

Dapat kita lihat, bahwa pada saat t = T (satu periode), maka gelombang sudah

menempuh jarak sepanjang satu panjang gelombang ( ) atau sama dengan panjang satu

bukit gelombang ditambah satu lembah gelombang. Dengan kata lain, panjang gelombang

adalah jarak yang ditempuh oleh gelombang selama satu periode.

Jika cepat rambat gelombang atau jarak yang ditempuh oleh gelombang tiap satuan

waktu dinyatakan dengan cw , maka hubungan antara cw, dan T adalah

(2.1)

Frekuensi gelombang adalah jumlah gelombang yang melewati sebuah titik tiap

satuan waktu. Karena , maka

(2.2)

Contoh gelombang yang telah dibahas di depan adalah gelombang sinusoidal

(gelombang harmonis). Jika sumber getar berupa sinusoidal, maka gelombang yang

dihasilkan juga berbentuk sinusoidal. Seandainya kita memegang tali kemudian

menghentakkannya, maka bentuk gelombang yang terjadi adalah pulsa. Namun pulsa juga

merambat sama halnya dengan perambatan gelombang sinusoidal seperti Gambar 2.2

berikut ini.

cw

38

Gambar 2.2 Perambatan gelombang pulsa

Sesungguhnya yang kita saksikan dalam kehidupan sehari-hari jauh dari keadaan

gelombang sinusoidal sederhana. Gelombang-gelombang tersebut memiliki struktur yang

cukup rumit. Suara manusia dapat dengan mudah disaksikan di osiloskop dengan

mendekatkan mikrofon ke tenggorokan. Maka tampak pada osiloskop bentuk gelombang

yang cukup rumit yang hampir tidak mendekati gelombang sinusoidal.

Tidaklah penting seberapa rumit bentuk gelombang, tetapi tetap ada jalan keluar

untuk mendekati bentuk gelombang-gelombang tersebut ke dalam bentuk gelombang-

gelombang sinusoidal. Prosedur ini disebut dengan analisis fourier yang akan kita pelajari

dalam bab ini juga. Oleh karena itu kita dapat mendiskusikan gelombang dalam bentuk

fungsi sinusiodal sederhana, cosinus atau sinus.

2.2. Gelombang Sinusoidal atau Gelombang Harmonis

Jika sebuah gelombang sinusiodal dengan amplitudo A meter, frekuensi υ hertz,

dan panjang panjang gelombang meter merambat ke arah sumbu x positif dengan

kecepatan cw m/s, maka gerakan semua titik di sepanjang gelombang mempunyai

simpangan y yang dapat dinyatakan dengan

(t = 0) (2.3)

yang merupakan bentuk periodik dengan jarak tempuh . Hasil pemotretan selanjutnya saat

t = , yaitu saat seluruh bentuk gelombang telah berpindah ke arah x positif sejauh cw

meter. Jika fungsi f (x) berubah kedudukan ke arah sumbu x positif sejauh a diberikan oleh

persamaan f (x-a), maka persamaan yang menggambarkan bentuk gelombang saat t =

diberikan oleh :

39

(2.4)

Saat t = 2 (pemotretan ketiga), persamaan bentuk gelombangnya adalah :

(2.5)

dan seterusnya, sehingga kita dapat dengan mudah membuat persamaan untuk kasus

sembarang waktu t, dan sembarang posisi x dengan persamaan

(2.6)

Jadi dapat kita lihat, bahwa simpangan merupakan fungsi f (x,t) dan dapat ditulis:

f (x,t) = (2.7)

dengan dinamakan sudut phase gelombang. Untuk selanjutnya, kita

perkenalkan suatu besaran yang didefinisikan sebagai , yang disebut bilangan

gelombang, yang menyatakan banyaknya gelombang tiap satuan panjang. Satuan bilangan

gelombang adalah 1/m atau m-1. Dengan demikian persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai

f(x,t) =

Pada umumnya persamaan gelombang sinus ditulis sebagai berikut

atau (2.8)

adalah konstanta phase, yaitu sudut phase gelombang pada x = 0 dan t = 0

40

cw

t = 0 x

t = x cw

t = 2 2 cw x

Gambar 2.3. Hasil pemotretan gelombang pada saat t = 0, dan pada saat gelombang sudah berpindah sejauh cw dan sejauh 2cw

Sampai pada persamaan (2.8) kita masih membatasai diri pada persoalan

gelombang tali. Gelombang semacam ini baik sekali digunakan sebagai contoh penjalaran

gelombang dan sifat gelombang satu dimensi, sebab medium yang digunakan, yaitu tali,

dapat dianggap mempunyai dimensi satu. Jadi tali dianggap hanya mempunyai panjang

saja dan gelombang hanya dapat menjalar disepanjang tali, sehingga hanya ada satu

dimensi arah penjalaran. Dengan mempelajari sifat gelombang pada tali, kita dapat

mempelajari banyak sifat gelombang yang lain.

Contoh 2.1

Cepat rambat gelombang dalam tali adalah 20 m/s. Penggetar yang mempunyai

frekuensi 15 hertz dikaitkan dengan ujung tali tersebut. Carilah dari gelombang

yang muncul dalam tali. Jika amplitudonya 2,0 cm tentukan persamaan gelombang

tali tersebut !

Penyelesaian

41

Persamaan gelombang secara umum adalah

y = A sin (kx - t)

Panjang gelombang dapat ditentukan

Sehingga persamaan gelombang yang merambat pada tali adalah

y = 0,02 sin (4,83 x – 94,25 t) meter

Gelombang dua dimensi

Gelombang pada permukaan air merupakan suatu contoh gelombang dua dimensi,

karena medium gelombang ini yaitu permukaan air, mempunyai dimensi dua, yaitu

panjang dan lebar. Gelombang periodik pada permukaan air dapat berupa gelombang

lingkaran atau gelombang lurus. Sebuah gelombang disebut gelombang lingkaran jika

muka gelombang berbentuk lingkaran dan disebut gelombang lurus jika muka gelombang

berbentuk garis lurus.

Gambar 2.4. Gelombang lurus sinus menjalar pada arah

Dalam medium berdimensi dua, vektor kecepatan gelombang dinyatakan dengan

vektor . Bilangan gelombang juga harus dinyatakan dengan vektor yang memenuhi

42

x

k

Y’

Muka gelombang

X’y

P

Q

x

hubungan , dengan sebagai frekuensi gelombang. Jadi

arah sinar gelombang dapat dinyatakan oleh vektor gelombang . Pada Gambar 2.4. sudut

phase gelombang di titik P sama dengan sudut phase gelombang di titik Q, karena kedua

titik ini terletak pada muka gelombang yang sama. Sudut phase di titik Q adalah

dan sudut phase di titik P adalah

Selanjutnya, suatu gelombang lurus atau gelombang datar dapat kita nyatakan dengan

fungsi gelombang

(2.9)

dengan adalah vektor bilangan gelombang yang mempunyai besar dan mempunyai

arah sama dengan arah rambat gelombang.

Contoh 2.2

Suatu gelombang yang menjalar pada permukaan air mempunyai persamaan

dengan dan . Tentukan

panjang gelombangnya. Tentukan pula besar sudut phase dan simpangannya pada

dan pada saat t = 10 detik

Penyelesaian

Panjang gelombang dapat ditentukan dengan persamaan

atau

= 20 cm

Sudut phase gelombang di dan pada saat t = 10 detik, adalah

43

rad

Simpangannya adalah

2.3. Persamaan Diferensial Gelombang

Sudah dijelaskan di awal bahwa gelombang merupakan gejala perambatan

gangguan dengan sumber gangguan berupa sistem getaran. Telah kita ketahui pula bahwa

sistem getaran mempunyai fungsi yang bergantung kepada waktu, yaitu f(t), dan

persamaan diferensial getaran mempunyai bentuk

Untuk persamaan gelombang haruslah ada tambahan variabel dari perambatan (dimensi

ruang), sehingga persamaan gelombang dapat dinyatakan seperti persamaan (2.8).

Untuk = 0, maka persamaan gelombang mempunyai bentuk

(2.10)

persamaan tersebut adalah periodik untuk koordinat ruang x dan waktu t, sehingga

persamaan diferensialnya berisi dan yang dapat dituliskan sebagai berikut

44

Jika (2.11)

Persamaan (2.11) berlaku secara umum untuk segala macam gelombang bebas satu

dimensi, baik gelombang transversal maupun longitudinal. Persamaan ini juga tidak

bergantung pada jenis medium.

Jika dinamakan diferensial parsial dan dapat dituliskan

sebagai , maka

Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk gelombang satu dimensi

(2.12)

atau (2.13)

Persamaan (2.12) disebut dengan persamaan gelombang dalam bentuk diferensial, yang

mempunyai solusi

tanda (-) artinya gelombang merambat ke kanan, dan (+) menyatakan arah rambatnya ke

kiri. Fungsi f(x - cwt) tidak selalu mempunyai bentuk sinusiodal, tetapi dapat mempunyai

beberapa bentuk, misalnya pulsa, segitiga, bujursangkar dan sebagainya, atau yang disebut

dengan gelombang nonsinusiodal. Sebagai contoh, marilah kita lihat persamaan gelombang

yang dinyatakan dengan

45

dengan A = amplitudo dan a = lebar pulsa. Pada t = 0

Fungsi ini mempunyai bentuk pulsa eksponensial yang merambat kearah positif dengan

cepat rambat cw, setelah t detik, pulsa menempuh jarak cw t seperti pada Gambar 2.5.

f(x,t)

A Cω t

t =0 Cω t t

Cω t

x

Gambar 2.5. Gelombang pulsa eksponensial dilihat pada saat yang berbeda

Meskipun persamaan (2.12) diturunkan untuk kasus khusus gelombang satu

dimensi yaitu f (x,t) yang merambat dalam arah x, tetapi bentuk persamaannya berlaku

secara umum. Untuk gelombang tiga dimensi f (r,t) dalam koordinat Cartesius, persamaan

gelombangnya adalah

(2.13a)

dengan operator del (nabla)

(2.13b)

Persamaan (2.13a) mengungkapkan persamaan gelombang datar, yaitu muka

gelombangnya (tempat kedudukan titik-titik yang berphase sama berupa bidang datar).

Untuk gelombang bola, dengan transformasi ke koordinat bola, persamaan (2.13a)

menjadi

(2.13c)

46

Untuk tempat yang jauh dari sumber r >>, gelombang bola dapat dipandang sebagai

gelombang datar, karena jari-jari muka gelombang mendekati tak hingga, sehingga muka

gelombangnya mendekati bidang datar.

Contoh 2.3

Jelaskan manakah di antara fungsi-fungsi berikut ini yang mengungkapkan secara

nyata sebuah gelombang merambat dan berapakah kecepatannya

a.

b.

Penyelesaian

Suatu fungsi akan merupakan fungsi gelombang merambat jika memenuhi

persamaan gelombang umum (Persamaan 2.12). Untuk itu marilah kita lihat apakah fungsi

yang tertulis dalam soal a dan b memenuhi persamaan (2.12)

a.

(2.14)

(2.15)

Dari persamaan (2.14) dan (2.15) maka dapat disimpulkan bahwa

47

, dengan mengingat persamaan (2.12), maka fungsi tersebut adalah

menyatakan persamaan gelombang merambat, dengan kecepatan rambatnya sebesar

.

b.

(2.16)

(2.17)

Dari persamaan (2.16) dan (2.17), dapat disimpulkan bahwa

sehingga fungsi bukan persamaan

gelombang merambat

2.4. Superposisi Gelombang

Kita telah mengetahui bahwa jika suatu gelombang merambat melalui suatu titik,

maka gelombang itu akan menimbulkan gangguan di titik tersebut. Gangguan ini dapat

berupa besaran vektor dan dapat pula berupa besaran skalar. Gangguan yang berupa

besaran vektor, misalnya kuat medan listrik dan magnet pada gelombang elektromagnetik

serta simpangan elemen dawai pada gelombang transversal dalam dawai tegang. Gangguan

skalar misalnya perubahan tekanan pada gelombang bunyi. Semua gangguan tersebut

bergantung kepada posisi titik yang kita tinjau dan juga tergantung pada waktu (saat

terjadinya gangguan).

Pada bagian ini kita akan membahas apa yang terjadi jika kita mempunyai dua atau

lebih gelombang yang sejenis melalui suatu titik atau melalui deretan titik-titik dalam

48

ruang atau yang melalui suatu daerah dalam ruang. Sebagai contoh dua gelombang bunyi

yang sama-sama berada di udara.

Prinsip superposisi yaitu sifat yang menyatakan bahwa resultan gangguan di setiap

titik dalam suatu medium adalah jumlah aljabar dari masing-masing gelombang yang

membentuknya. Untuk pembahasan berikut ini kita batasi pada gelombang sinus.

2.4.1. Superposisi dua gelombang sinus yang memiliki amplitudo sama tapi frekuensi

berbeda

Kita bahas terlebih dulu dua gelombang sinus yang mempunyai amplitudo sama,

tetapi mempunyai frekuensi berbeda yaitu dan ,yang keduanya merambat dalam arah

positif. Dua gelombang tersebut mempunyai bilangan gelombang yang berbeda yaitu k1

dan k2. Persamaan dua gelombang tersebut adalah

, dan

Hasil penjumlahan dua gelombang adalah

(2.18)

Ingat bahwa

(2.19)

maka

(2.20)

Jika dan mempunyai harga yang persis sama, demikian juga k1 dan k2, maka

persamaan gelombang resultan adalah

(2.21)

Dalam persamaan (2.21) tampak bahwa gelombang resultan mempunyai amplitudo dua

kali amplitudo gelombang asal.

Layangan

49

Jika dan mempunyai harga yang berselisih sedikit, demikian juga k1 dan k2,

sehingga dapat dinyatakan bahwa

dengan berharga kecil (2.22)

demikian juga

dengan berharga kecil (2.23)

maka persamaan gelombang resultan adalah

(2.24)

Karena

Dan

Dari persamaan (2.24) dapat dilihat bahwa gelombang resultan merupakan gelombang

harmonis, yang mempunyai amplitudo

(2.25)

Amplitudo ini juga berbentuk gelombang yang merambat dengan kecepatan

(2.26)

amplitudo gelombang berbentuk amplop atau group gelombang, sehingga disebut

gelombang group. Kecepatan gelombang group dinyatakan dengan

(2.27)

dengan panjang gelombangnya adalah

(2.28)

Dari persamaan (2.24) kecepatan gelombang harmonis disebut kecepatan phase

(2.29)

dan panjang gelombangnya adalah

(2.30)

50

Jika kita gambarkan masing-masing gelombang dan superposisinya ini, seperti

Gambar 2.6. Pada gambar tampak bahwa hasil superposisi kedua gelombang berupa

gelombang group (amplop) dengan kecepatan gelombangnya disebut kecepatan group.

Gambar 2.6. Hasil superposisi dua gelombang dengan perbedaan frekuensi yang kecil

Jika kita memotret gelombang resultan yang dinyatakan dalam persamaan (2.24)

atau kita potret gelombang tersebut pada saat t = 0, maka

(2.31)

Karena k<< k maka panjang gelombang yang berkaitan dengan adalah

, dengan demikian > karena dan adalah panjang gelombang

layangan.

Periode layangan = (2.32)

Dan frekuensi layangan adalah = (2.33)

Contoh terjadinya layangan adalah jika dua sumber gelombang bunyi yang masing-masing

mempunyai frekuensi dengan beda sedikit, misal 567 Hz dan 570 Hz yang dibunyikan

bersama-sama, maka akan kita dengar bunyi layangan dengan frekuensi 7 layangan per

detik.

Contoh 2.4

Dua buah gelombang sinusiodal mempunyai persamaan

dan . Tentukan

a. persamaan gelombang resultannya

51

b. frekuensi layangan

c. panjang gelombang layangan

Penyelesaian

a. Persamaan gelombang resultannya adalah

b, Frekuensi layangan adalah

c. Panjang gelombang layangan =

Gelombang dispersif dan nondispersif

Gelombang yang diungkapkan dengan persamaan (2.13) mempunyai cepat rambat

yang konstan. Grafik frekuensi sudut sebagai fungsi bilangan gelombang k

ditunjukkan pada Gambar 2.7. Hubungan antara dan k disebut dengan hubungan

dispersif. Gelombang dengan kecepatan konstan, tak bergantung frekuensi disebut dengan

gelombang nondispersif.

Gambar 2.7. Hubungan dan k untuk gelombang nondispersif

52

k

Slope =

Selama merambat, gelombang nondispersif mempunyai pola yang tetap. Bila gelombang

berupa pulsa, maka pulsa akan merambat tanpa mengalami deformasi, seperti ditunjukkan

pada Gambar 2.8.

Cw t

x

Gambar 2.8. Pola gelombang nondispersif

Jika kecepatan rambat gelombang tergantung pada frekuensi gelombang, maka

gelombang tersebut dinamakan gelombang dispersif. Pada gelombang dispersif, hubungan

antara frekuensi dengan panjang gelombang k tidak linier. Kecepatan gelombang

dispersif dinyatakan dengan . Gambar 2.9 menggambarkan hubungan antara

frekuensi dan panjang gelombang k dalam gelombang dispersif.

k

Gambar 2.9. Dalam gelombang dispersif, kecepatan group tidak sama

dengan kecepatan phase

Dalam medium dispersif, pulsa yang merambat mengalami perubahan bentuk,

semakin lama, tinggi pulsa makin pendek dan lebar pulsa makin besar, seperti ditunjukkan

pada Gambar 2.10. Untuk gelombang mekanik, hampir semua medium bersifat dispersif,

misal gelombang yang merambat pada tali, maka semakin lama, tinggi pulsa makin rendah

dan akhirnya hilang sama sekali. Sedangkan contoh untuk gelombang nondispersif adalah

gelombang elektromagnet yang merambat dalam hampa.

Hubungan kecepatan group dan kecepatan gelombang (kecepatan phase) adalah

maka

53

Q

groupkecepatandk

d

Sedangkan

(2.34)

Karena maka , sehingga persamaan (2.34) dapat dituliskan

(2.35)

Berarti kecepatan group tergantung pada panjang gelombang medium. Medium yang

mempunyai sifat seperti ini disebut medium dispersif. Pada gelombang dispersif, kecepatan

group tidak sama dengan kecepatan phase atau

(2.36)

CP t

P CP ≠ CA

CA t

P’

A A’

x

Gambar 2.10. Dalam medium dispersif, pulsa yang merambat mengalami perubahan bentuk.

Contoh 2.5.

Suatu gelombang mempunyai hubungan -k (hubungan dispersif) yang

dinyatakan dengan .

a. Selidikilah apakah gelombang tersebut dispersif atau nondispersif

b. Carilah kecepatan phase dan kecepatan group pada k = 100 rad/m

Penyelesaian

a. Kecepatan phase gelombang = = 1000 – 3x 10-2 k2

54

Kecepatan group =

Karena kecepatan phase kecepatan group, maka gelombang tersebut bersifat

dispersif.

b. Pada saat k = 100 rad/m, kecepatan phase gelombang adalah = 700 rad/m

kecepatan group gelombang adalah = 100 rad/m

2.4.2. Superposisi dua gelombang yang mempunyai frekuensi dan amplitudo sama,

tetapi phase berbeda

Misal dua gelombang tersebut mempunyai persamaan masing-masing adalah

dan

Hasil superposisi kedua gelombang tersebut adalah

(2.37)

Gelombang resultan adalah gelombang harmonis, yang mempunyai frekuensi sama dengan

frekuensi gelombang penyusun, tetapi mempunyai amplitudo sebesar

(2.38)

Jika << , maka besarnya amplitudo hampir sama dengan 2A, dan jika ,

maka besarnya amplitudo mendekati harga nol.

Jika = 0, maka besar amplitudo sama dengan 2A, dalam hal ini jika dua

gelombang yang bersuperposisi mempunyai phase sama, dikatakan bahwa dua

gelombang tersebut saling konstruktif.

Jika , maka besarnya amplitudo sama dengan nol, atau dalam hal ini dua

gelombang yang bersuperposisi mempunyai phase yang berlawanan dan hasilnya

adalah nol, dikatakan bahwa dua gelombang tersebut saling destruktif

55

Y = Y1 + Y2

Y2

Y1

(a)

Y2

Y = Y1 + Y2

(b)

Y1

Gambar 2.11. Superposisi dua gelombang a. Superposisi konstruktif, b. Superposisi destruktif

2.4.3. Superposisi dua gelombang harmonis dengan frekuensi sama, tetapi amplitudo

dan phase awal berbeda.

Jika kedua gelombang mempunyai amplitudo a1 dan a2, serta memiliki frekuensi

yang sama maka persamaan dua gelombang tersebut masing-masing dapat dituliskan

y1 = a1 sin (kx - t - 1)

y2 = a2 sin (kx - t - 2 )

Hasil superposisi dari dua gelombang dapat ditentukan dengan dua cara :

Cara aljabar

Dengan penjumlahan aljabar, gelombang resultan dapat dituliskan

y = a1 sin (kx - t - 1) + a2 sin (kx - t - 2) (2.39)

= a1 sin (X - 1) + a2 sin (X - 2)

= a1 sin X cos 1 – a1 cos X sin 1 + a2 sin X cos 2 – a2 cos X sin 2

= ( a1 cos 1 + a2 cos 2 ) sin X - ( a1 sin 1 + a2 sin 2 ) cos X

............(2.40)

Karena a1, a2, 1 dan 2 konstan, sehingga dapat dituliskan bahwa

56

a1 cos 1 + a2 cos 2 = A cos (2.41)

a1 sin 1 + a2 sin 2 = A sin (2.42)

Jika persamaan (2.41) dan (2.42) dikuadratkan kemudian dijumlahkan, maka hasilnya

dapat dituliskan

A2 ( cos2 + sin2 ) = a12 ( cos2 1 + sin2 1 ) + a2

2 ( cos2 2 + sin2 2 )

+ 2 a1 a2 ( cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2 ) (2.43)

Atau A2 = a12 + a2

2 + 2 a1 a2 cos ( 1 - 2 ) (2.44)

dengan 1 - 2 adalah beda phase kedua gelombang.

Jika persamaan (2.42) dibagi dengan persamaan (2.41), maka diperoleh

tn = (2.45)

Sehingga persamaan gelombang resultan dapat dituliskan

y = A cos sin X – A sin cos X

y = A sin ( X - )

atau y = A sin (kx - t - ) (2.46)

Cara fasor

Misal kita mempunyai dua fungsi gelombang yang dinyatakan dengan

dan

Hasil superposisi kedua gelombang ini dapat dinyatakan dengan fungsi gelombang

(2.47)

Untuk menyelesaikan hal ini, tiap suku pada persamaan (2.47) kita pandang sebagai suatu

vektor. Untuk gelombang pertama

, kita pandang sebagai vektor

yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan amplitudo gelombang dan membuat

sudut dengan sumbu x. Jadi arah vektor ini dinyatakan oleh sudut

phasenya, terutama tetapan phasenya, oleh karena itu disebut fasor.

571

y

x

1y

Arah acuan

a1

Gambar 2.13. vektor

Dengan menggunakan fasor, superposisi kedua gelombang pada persamaan (2.47)

merupakan jumlah fasor

a1

a2

1 2

xGambar 2.14. penjumlahan fasor

Dari diagram pada Gambar 2.14 dapat dilihat bahwa

AR2 = a1

2 + a22 + 2 a1 a2 cos ( 1 - 2 ) (2.49)

Dengan 1 - 2 adalah beda phase kedua gelombang

= (2.50)

Sehingga persamaan gelombang resultan dapat dituliskan

(2.51)

Contoh 2.6

Dua buah gelombang, masing-masing dinyatakan dengan fungsi gelombang

dan

Tentukan fungsi gelombang superposisinya !

Penyelesaian

58

AR

R0

Fungsi gelombang superposisi adalah

Amplitudo gelombang resultan dapat ditentukan dengan :

Tetapan phasenya dapat ditentukan dengan

Jadi fungsi gelombang superposisi adalah

2.4.4. Analisis Fourier

Telah diketahui bahwa getaran garpu tala adalah contoh dari getaran harmonis

tunggal sederhana. Jika kita mendengar suatu nada, kita katakan bahwa gelombang bunyi

yang berasal dari garpu tala masuk ke telinga kita. Seperti halnya garpu tala, udara yang

dilewati gelombang bunyi bergetar secara harmonis, yaitu dengan naik turunnya tekanan

udara yang dilewati gelombang bunyi tersebut. Gelombang bunyi yang berasal dari garpu

tala tersebut adalah gelombang sinusoidal murni dengan frekuensi tertentu.

Bila beberapa nada murni kita dengar secara serentak, gelombang resultan tidak

lagi merupakan fungsi sinus tunggal, tetapi jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Misal

gelombang radio yang dipancarkan oleh statsion pemancar bukan gelombang sinus murni,

tetapi merupakan gabungan dari beberapa gelombang sinus. Metode untuk mempelajari hal

ini dikenal dengan analisis Fourier. Contoh penjumlahan fungsi-fungsi harmonis

(2.52)

59

1 sin x

0 π 2π x

- 1

1 sin x + 1/3 sin 3x

0 π 2π x

- 1

1 sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x

0 π 2π x

- 1

1 sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x

0 π 2π x

- 1

Gambar 2.16. penjumlahan fungsi-fungsi harmonis menghasilkan fungsi nonharmonis (tetapi masih periodik)

Bila f(t) suatu fungsi periodik sembarang dengan periode T, maka

(2.53)

t (waktu)

60

T T T

Gambar 2.17. Fungsi periodik bentuk sembarang dengan periode T

Karena dan dengan n bilangan bulat merupakan fungsi periodik,

maka suatu fungsi periodik dapat kita tuliskan

(2.54)

an dan bn adalah koefisien yang belum diketahui yang besarnya harus dicari untuk

menentukan fungsi f(t). Selanjutnya dengan menganggap , maka persamaan (2.54)

dapat ditulis sebagai

(2.55)

dan periode fungsi menjadi 2 . Untuk menentukan an dan bn, marilah kita ingat kembali

bahwa

Hal ini dapat dibuktikan dengan mudah, jika kita mengingat

.

61

Persamaan (2.55) dikalikan dengan cos nx, kemudian diintegralkan dengan interval 0

sampai 2 , maka diperoleh

(n = 1, 2, 3, ……..) (2.56)

Untuk menentukan bn, Persamaan (2.55) kita kalikan dengan sin nx, dan

mengintegralkannya, sehingga kita peroleh

(n = 1, 2, 3, ……..) (2.57)

Sedangkan koefisien ao dapat ditentukan dengan

(2.58)

Jadi ao adalah harga rata-rata dari fungsi f(x)…

Contoh 2.7

Tentukan deret Fourier untuk gelombang bujursangkar yang tampak seperti gambar

di bawah ini.

f (x)

+1

0 π 2π 3π 4π 5π x

- 1

Penyelesaian

Fungsi f(x) pada persoalan ini berbentuk fungsi ganjil (tidak simetri disekitar titik

nol), sehingga ao = 0, dan juga an = 0

62

untuk n ganjil

= 0, untuk n genap

Dengan demikian : , , ,……….

Maka rentetan gelombang bujursangkar dapat dituliskan dalam ekspansi Fourier, sebagai

SOAL-SOAL

2.1. Jelaskan mana di antara fungsi-fungsi berikut ini yang menyatakan sebuah gelombang

berjalan dan berapakah kecepatannya

a. Y = A sin (x2 -2xt + t2)

b. Y = A exp (x – 3t)

c. Y = A sin2(x – 2t)

2.2. Gelombang pada seutas tali dinyatakan oleh (x,t) = 10 sin (10x - 4t) dalam SI.

Tentukan:

a. Kecepatan rambat gelombang v, , k, , T

b. Kecepatan berosilasi maksimum

c. Pergeseran kedudukan titik x = 0 dan x = 1/5 m pada t = nT/8, n = 0.1,2,..8 detik

dan beda phase osilasi tersebut

d. Bentuk gelombang pada t = 0 dan t = 0,5 s (gambarkan pergeseran phasenya)

63

2.3. Sebuah titik A yang bergetar harmonis menghasilkan gelombang transversal berjalan

dengan cepat rambat 60 m/s. Frekuensi getaran 10 Hz dan amplitudo 2 cm. Jika titik

A memulai gerakannya ke arah atas, hitunglah phase, simpangan, arah gerak titik B

pada gelombang itu. Titik B berada 5 m dari A, pada saat A telah bergetar ¾ s.

2.4. Sepotong tali AB yang sangat panjang ditegangkan. Ujung A digetarkan transversal

dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 5 cm. Cepat rambat gelombang yang terjadi 1,8

m/s. Berapakah simpangan titik P yang berjarak 1 m dari A, setelah A digetarkan

selama 2 s.

2.5. Suatu gelombang pada permukaan air diketahui mempunyai persamaan

dengan

sedangkan . Tentukan simpangan gelombang pada

dan pada saat t=10 s. Tentukan berapa panjang gelombangnya.

2.6. Suatu gelombang lurus pada permukaan air menjalar dengan arah membuat sudut

sebesar 30 o terhadap sumbu x. Bila diketahui frekuensi getar sumber 60 Hz dan

panjang gelombangnya 2 cm, sedang pada posisi dan pada saat t =0, simpangan

gelombang sama dengan nol, saat itu medium sedang bergerak ke bawah. Bila

amplitudo gelombang 0,5 cm. Tentukan fungsi gelombang tersebut, dan tentukan pula

simpangan gelombang pada posisi pada saat t = 2 s.

2.7. Suatu gelombang mempunyai hubungan dispersif -k yang diberikan oleh persamaan

= 103k – 3 . 10-5 k3 rad/s

a. Plot grafik terhadap k untuk 0 k 3 . 103 rad/m

b. Tunjukkan apakah gelombang tersebut terdispersi atau tidak

c. Tentukan kecepatan grup dan kecepatan phase pada k = 103 rad/m

2.8. Dua gelombang merambat dalam satu garis yang sama dengan persamaan

y1 = 25 sin (kx - t - /4) dan y2 = 15 sin (kx - t - /6) dalam SI. Tentukan

a. Superposisi antara y1 dan y2

b. Amplitudo resultannya

c. Sudut phase awal

2.9. Tentukan persamaan gelombang resultan dari perpaduan 2 gelombang yang

mempunyai persamaan y1 = 6 sin (kx - t-45o) dan y2 = 6 cos (kx - t+60o)

64

2.10. Tentukan deret Fourier untuk fungsi yang mempunyai bentuk gigi gergaji seperti

gambar berikut ini

f (x)

+ 1

- 3π - 2π - π 0 π 2π 3π 4π x

DAFTAR PUSTAKA

Crawford,F.S.,1968. Waves. New York:McGraw-hill Book Comp[any

Hirose, K and K.E Longren , 1985. Introduction to Wave Phenomena. Singapore: John

Wiley and Sons.

Jenkins and White. 1988. Fundamentals of Optics. Tokyo : McGraw-Hill International

Book Company

M.O. Tjia, 1994. Gelombang. Jakarta: Dabara Publisher

Pain, H.J. 1989 . The Physics of Vibrations and Waves.. Singapore: McGraw-Hill

Publishing Company.

Sutrisno. 1984. Fisika Dasar : Gelombang Dan Optik. Bandung : Penerbit ITB

Zahara Muslim. 1998. Gelombang dan Optika. Jakarta : Departemen Pendidikan Dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan Pendidikan Tinggi

65