BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR

2.1 PENGANTAR LOGIKA PREDIKAT

2.1.1 PENDAHULUAN

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, dapat ditarik satu kesimpulan bahwa titik berat logika adalah pada pembuktian validitas suatu argumen logika proposisional dengan berbagai teknik yang relevan, yaitu menggunakan tabel kebenaran sebagai dasar pembuktian dan juga menggunakan hukum-hukum logika. Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataan-pernyataan yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Akan tetapi logika proposisional saja ternyata belum mampu menangani argumen-argumen yang berisi pernyataan-pernyataan yang rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Sebagai contoh perhatikan argumen berikut ini :

Contoh 2.1 :1. Semua gajah mempunyai belalai.2. Dumbo seekor gajah.3. Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai.

Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakan argumen tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikuti premis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara membuktikannya?. Tentunya memakai logika proposisional.

2.1.2 ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT

Validitas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh diatas. Perhatikan contoh argumen berikut :

Contoh 2.2 : 1. Semua mahasiswa pasti pandai.2. Badu seorang mahasiswa.3. Dengan demikian, Badu pandai.

Secara nalar, kebanyakan orang akan menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :

A=Semua mahasiswa pasti pandai.B=Badu seorang mahasiswa.C=Badu pasti pandai.

Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :

AB―――∴ C

Dalam bentuk ekspresi logika : (A∧B) ⇒ C

Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat digunakan untuk membuktikan validitas argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara ketiga proposisi yang digunakan di atas. Atau tidak mungkin suatu kesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yang berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.Kalau argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional, maka klaimatnya harus diperbaiki. Misalnya seperti berikut :

Contoh 2.3:1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.2. Badu seorang mahasiswa.3. Dengan demikian, ia pasti pandai.

Jika dirubah dalam bentuk ekspresi logika

1. B ⇒ C premis 12. B premis 23. C kesimpulan

Atau dapat juga ditulis [(B⇒C)∧B]⇒C

Dalam logika proposisional, ekspresi logika di atas sudah benar karena kesimpulan diambil dari premis-premis.

Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaitu Badu, bukan semua mahasiswa.

Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek, misalnya orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan pernyataan-pernyataan pada contoh argumen berikut ini :

Contoh 2.4:1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.2. Dewi seorang mahasiswa.3. Dengan demikian, ia pasti pandai.

Siapakah “ia” yang berada pada kesimpulan? Apakah Badu atau Dewi?.

Kalau premis 1 diubah menjadi, “ Jika Dewi seorang mahasiswa, maka pasti ia pandai”, maka pernyataan tersebut sudah pasti tepat. Akan tetapi argumen tersebut menunjuk kepada dua orang mahasiswa yaitu Badu dan Dewi sehingga kata “ia” sebagai kata ganti tunggal tidak bisa berperan dengan tepat karena bisa berarti “Badu”, bisa juga berarti “Dewi”.

Jadi suatu argumen yang sangat kuat logikanya, memang ada yag tidak dapat ditangani oleh logika proposisional. Oleh karena itu logika

proposisional dikembangkan menjadi logika predikat (predicate logic) atau kalkulus predikat (predicate calculus).

Untuk mrncari kesamaan antara pernyataan-pernyataan dalam argumen pada logika predikat, diperlukan sesuatu yang mampu menghubungkannya. Pada contoh yang terakhir, penghubung antara Badu dan Dewi adalah keduanya mahasiswa. Selain mengidentifikasikan individu-individunya, yaitu Badu dan Dewi, juga akan dicari predikatnya. Ini merupakan langkah awal logika predikat sebelum membuktikan validitasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk menjelaskan properti, yakni hubungan antara individu-individu. Lihat contoh yang sederhana berikut

Contoh 2.5 :Badu dan Dewi berpacaran

Dalam logika proposisional akan dipecah menjadi dua pernyataan, yaitu “Badu berpacaran” dan “Dewi berpacaran”. Kedua pernyataan tersebut akan menjadi aneh karen maksud kalimatnya bukan seperti itu. Di sini tidak diketahui dengan siapa Badu atau Dewi berpacaran. Padahal pada pernyataan awal jelas bahwa Badu berpacaran dengan Dewi atau Dewi berpacaran dengan Badu.Dengan logika predikat, kata “berpacaran” pada contoh diatas merupakan predikat, sedangkan individu-individunya yang berupa entitas yang dihubungkan dengan predikat tersebut, yaitu Badu dan Dewi, disebut term. Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda (noun) pada bahasa inggris.

Sebagai pelengkap term dan predikat, orang menggunakan kuantor (quantifier), sedangkan prosesnya disebut pengkuantoran (quantification).Kuantor mengindikasikan seberapa banyak perulangan pada pernyataan tertentu yang bernilai benar, khususnya kuantor universal (universal quantifier) yang menginikasikan suatu pernyataan selalu bernilai benar. Kuantor lainnya adalah kuantor eksistensial (Existensial quantifier) yang mengindikasikan bahwa suatu pernyataan kadang-kadang bernilai benar atau mungkin juga salah . pada pernyataan “Semua mahasiswa pasti pandai” maka kata “semua” secara universal semuanya selalu bernilai benar.

Dari uraian di atas, maka hubungan antara logika predikat dengan logika proposisional menjadi jelas, bahwa logika predikat sebenarnya menjadikan logika proposisional menjadi bersifat universal atau umum. Dengan demikian, selain term, predikat dan kuantor, logika predikat juga memiliki proposisi-proposisi dan perangkai-perangkai sebagai bagian dari pembahasan dan proses manipulasinya.

Satu bagian yang penting dari logika dari logika predikat adalah fungsi proposisional (propositional function) atau cukup disebut fungsi saja. Fungsi berperan penting sewaktu menggunakan persamaan-persamaan karena ia bertugas persis seperti variabel proposisional karena fungsi tersebutlah yang dirangkai dengan perangkai-perangkai logika, dan kemudian membentuk ekspresi logika, dari yang rumit sampai yang

sederhana dan digunakan sebagai bahan untuk dimanipulasi secara matematis.

Bagi para ahli di bidang ilmu komputer, logika predikat berperan penting dengan beberapa alasan. Pertama, logika predikat memberi alasan logis yang mendasari bahasa pemrograman logika, misalnya PROLOG dan LISP. Kedua, logika predikat mampu mendorong pengembangan kebutuhan aplikasi komputer. Ketiga, logika predikat mampu berperan di bagian pembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepat mengetahui kondisi program yang menghasilkan keluaran yang benar.

Contoh-contoh argumen yang menggunakan logika predikat masih cukup banyak, misalnya dua contoh berikut ini :

Contoh 2.6 :

1. Setiap kucing mempunyai ekor.2. Tom adalah seekor kucing.3. Dengan demikian, Tom memiliki ekor

Atau :

1. Setiap lelaki hidup abadi.2. Socrates adalah seorang lelaki.3. Dengan demikian, Socrates hidup abadi.

Argumen juga bisa lebih panjang karena memiliki lebih dari 2 premis, tetapi tetap dengan satu kesimpulan. Lihat contoh argumen berikut :

Contoh 2.7:

1. Badu menyukai Siti.2. Pria yang menyukai Siti pasti menyukai Dewi.3. Badu hanya menyukai wanita cantik.4. Dengan demikian, Dewi adalah wanita cantik.

Jelas bahwa kesimpulan pada pernyataan ke-4 adalah logis karena jelas berasal dari premis-premisnya, tetapi jika dibuktikan melalui logika proposisional akan terjadi kesulitan karena kesimpulan bukan diambil utuh dari premisnya, tetapi merupakan gabungan dari beberapa premis. Di sinilah logika predikat akan berperan.

Banyak argumen logis yang tidak bisa diselesaikan pembuktian validitasnya dengan logika proposisional. Untuk itu, kemudian dikembangkan logika predikat untuk mengatasi masalah tersebut.

Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856) dengan doktrinnya yang dinamakan “Quantification Theory”. Oleh karena itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang ditambah dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.

2.2 KALIMAT BERKUANTOR

Perhatikan ketiga kalimat berikut :a) Semarang ibukota jawa tengahb) X adalah binatang berkaki empat, X={kuda, burung, ular, singa}

Jika diperhatikan pada kedua kalimat diatas, kalimat (a) adalah sebuah kalimat pernyataan dengan nilai kebenaran T. Kalimat (b) belum dapat ditentukan nilai kebenarannya sebelum variabel x –nyadiganti dengan salah satu himpunan dari x, karena itu kalimat (b) disebut kalimat terbuka. Jika x diganti dengan “Kuda” atau “Singa”, maka kalimat terbuka (b) menjadi benar. Tetapi jika diganti dengan “Burung” atau “Ular”, maka kalimatnya menjadi salah.Apa yang terjadi jika terhdap suatu kalimat terbuka ditambahkan kata-kata seperti : “untuk semua/ setiap x…..”, Beberapa/Terdapat/Ada x…….. Untuk kalimat (b) maka kalimatnya menjadi :

1) Untuk semua/setiap x, x adalah binatang berkaki empat.2) Terdapat binatang x, dimana x adalah binatang berkaki empat.

Kata-kata semua…….., setiap………, beberapa…….., terdapat…….., ada…….. seperti adi atas disebut dengan kalimat berkuantor (Quantifier). Kuantor tersebut menunjukkan atau berkait dengan banyaknya pengganti peubah x sehingga didapatkan suatu pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja. Seperti yang telah diuaraikan pada argumen pada logika predikat, kuantor ada dua jenis yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

KUANTOR UNIVERSAL (UNIVERSAL QUANTIFIER).

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :

“Semua gajah mempunyai belalai”

Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :

G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi

(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.

Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”, “each people”, dan lain-lainnya.

Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka penulisan yang lengkap adalah :

(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.

Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :

(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.

Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal :

Perhatikan pernyataan berikut ini :

“Semua mahasiswa harus rajin belajar”

Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :

1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu

“Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”.

Selanjutnya akan ditulis :

mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)

2. Berilah kuantor universal di depannya

(∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))

3. Ubahlah menjadi suatu fungsi

(Ax)(M(x) ⇒ B(x))

Contoh 2.8 :

1. ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.• Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk

tumbuh

Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)• (∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))• (∀x)(T(x) ⇒ A(x))

2. ”Semua artis adalah cantik”.• Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).• (∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))• (∀x)(A(x) ⇒ C(x))

3. Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatuA={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi

A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

SOAL LATIHAN 1

1. Misal Px : x adalah planet seperti bumi Qx : x mendukung kehidupan

Terjemahkan pernyataan kuantor universal berikut ke dalam bahasa sehari-hari.a) ∀x(Px ⇒ Qx)b) ∀x(Px) ∨ ∀x(Qx)c) ∀x(Px ∨ ¬Qx)d) ∀x(Px) ∨ ∀x(¬Qx)

2. Misal Rx : x adalah bilangan integerUbahlah ke dalam pernyataan berkuantor universala) Kuadarat dari setiap bilangan integer negatif adalah positifb) Tidak semua bilangan integer positifc) Tidak ada bilangan integer positif yang negatifd) Semua bilangan integer adalah positif atau tidak ada bilangan e) integer yang positif

KUANTOR EKSISTENSIAL (EXISTENSIAL QUANTIFIER)

Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term –term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat

meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individu-individualnya.Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan kata-kata lain yang sama artinya.

Perhatikan kalimat berikut ini :

” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”

Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :

1. Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu :“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.Selanjutnya akan ditulis : Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x)

2. Berilah kuantor eksisitensial di depannya.(∃x) (Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))

3. Ubahlah menjadi suatu fungsi.(∃x)(P(x) ∧ B(x))

Contoh 2.9:

1. “Beberapa orang rajin beribadah”.Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:• ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.• (∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))• (∃x)(O(x) ∧ I(x))

2. “Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.• “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.• (∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))• (∃x)(B(x) ∧ ¬K(x))

3. Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x2=x”. (∃x ∈ B)(x2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x2=x.Misal x= -1, maka (-1)2=1 Tidak memenuhi X= 1, maka (1)2=1 MemenuhiKarena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

MEMPREDIKATKAN SATU DAN N-ARITAS OBJEK

Contoh berikut merupakan pernyataan untuk semakin memahami cara menulis simbol dengan logika predikat. Perhatikan dengan sekssms bsgsimsns huruf besar menggantikan predikat dan huruf kecil menggantikan variabel (objek).

Contoh 2.10:1. Badu seorang mahasiswa. M(b)2. Jika Badu rajin belajar, maka ia akan lulus. B(b) ⇒ L(b)3. Semua rumput berwarna hijau. (∀y)(R(y) ⇒ H(y))

Tidak selalu harus menggunakan huruf kecil x untuk variabel yang umum, tetapi yang penting adalah konsisten. Jadi untuk contoh no.3 tidak boleh ditulis (∀y)(R(y) ⇒ H(x))

Contoh 2.11:1. Semua orang harus bekerja. (∀x)(O(x) ⇒ B(x))2. Beberapa mahasiswa lupus sarjana. (∃x)(M(x) ∧ L(x))3. Ada sesuatu yang hilang di desa Sidomakmur. (∃x)(S(x) ∧ H(x))

Dari berbagai contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa :• Jika pernyataan memakai kuantor universal (∀), maka digunakan

perangkai implikasi (⇒), yaitu “Jika semua......maka.....”• Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (∃), maka digunakan

perangkai konjungsi (∧), yaitu “Ada...yang...dan....”.

Conoth-contoh diatas berhubungan dengan predikat unary atau relasi satu tempat (objek hanya satu), dan tentu saja penulisan simbol harus ampu menunjukkan predikat n-ary yaitu relasi dimana objeknya sebanyak n buah. Lihat contoh berikut :

Contoh 2.12:1. Setiap orang mencintai Jogjakarta. (∀x) C(x,J)2. Setiap bilangan genap dapat dibagi 2. (∀x)(G(x) ⇒ B(x,2))3. Tak ada bilangan prima di antara 23 dan 29. (∃x)(P(x) ∧ A(x,23,29))4. Badu mengenal seua benda. (∀x) K(b,x)

KUANTOR GANDA

Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut :

“Setiap orang mencintai Jogjakarta”

Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat

(∀x) C(x,j)

Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bisa berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi

mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, misal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saj domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut :

(∀y)(O(y) ⇒ C(y,j))Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.

Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangay mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.

Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan contoh berikut ini :

“Setiap orang dicintai oleh seseorang”Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut

(∀x)(∃y) C(y,x)

Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”

X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis :

(∀x)(O(x) ⇒ (∃x)(O(y) ∧ C(y,x)))

Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan.

(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “ Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”

Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :

“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y<x”

Pernyataan di atas dapat ditulis :(∃x)(∀y)(y<x)

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary. Lihat contoh berikut :Contoh 2.13:H(x) : x hidupM(x) : x mati(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati”Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya.

Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)

Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal. ¬[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ¬P(x,y)¬[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ¬P(x,y)

Contoh 2.14:Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :1. (∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat

(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :¬[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y

2. Ada toko buah yang menjual segala jenis buahDapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya ¬[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual yDibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.

Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda

Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”

Langkah-langkahnya :1. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).

K(x,y) : x kenal y2. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi

(∀y) K(x,y)

3. Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi

(∃x)(∀y) K(x,y)

SOAL LATIHAN 21. Ubahlah pernyataan berikut ke dalam logika predikat kemudian

negasikana. Setiap orang memiliki seseorang yang menjadi ibunya.b. Semua orang menghormati Presiden SBY.c. Ada mahasiswa TI yang tidak lulus logika informatika.d. Setiap orang dicintai oleh seseorang.e. Ada programmer yang menguasai semua bahasa pemrograman.

2. Misalkan B(x,y) adalah pernyataan “x mengikuti matakuliah y”, dan semsta pembicaraan untuk x adalah semua mahasiswa di matakuliah tersebut, sedangkan y adalah semua matakuliah ilmu komputer. Ubahlah ekspresi dengan kuantor-kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia.a. (∃x)(∃y) B(x,y)b. (∃x)(∀y) B(x,y)c. (∀x)(∃y) B(x,y)d. (∃y)(∀x) B(x,y)e. (∀y)(∃x) B(x,y)f. (∀x)(∀y) B(x,y)

3. Misalkan W(x,y) adalah pernyataan “x berwisata ke y”, dan semesta pembicaraan untuk x adalah semua mahasiswa di STMIK NH, sedangkan y adalah semua objek wisata di Indonesia. Ubahlah kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia.a) W(Badu, Borobudur)b) (∃x) W(x, Kuta)c) (∃y) W(Dito,y)d) (∃y) (W(Dewi,y) ∧ W(Siti,y))

4. Misalkan A(x) adalah pernyataan “x berbicara bahasa Inggris” dan B(x) adalah pernyataan “x menguasai bahasa pemrograman Borland Delphi”. Ubahlah pernyataan berikut ke dalam simbol kuantor kemudian negasikan.a. Ada mahasiswa di STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris dan

menguasai Delphi.b. Ada mahasiswa di STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris tetapi

tidak meguasai Delphi.c. Semua mahasiswa di STMIK dapat berbicara bhs Inggris sekaligus

menguasai Delphi.d. Tidak ada mahasiswa STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris dan

menguasai Delphi.

5. Jika diketahui semesta pembicaraannnya adalah (1,2,3). Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut :a. (∃x)(∀y) x2<y+1

b. (∀x)(∃y) x2+y2<12c. (∀x)(∀y) x2+y2<12

6. Negasikan pernyataan berikuta. (∀x)(∃y)(p(x,y) ∨ q(x,y))b. (∃x)(∀y)(p(x,y) ⇒ q(x,y))c. (∃y)(∃x)(p(x) ∧ ¬q(x))