Bab 2 Goodtest or fittest

7/26/2019 Bab 2 Goodtest or fittest

1/13

2 Landasan teori

2.1 Definisi goodness of fit test

Goodness of fit testadalah suatu tes yang digunakan untuk membandingkan distribusi frekuensipengamatan dan pencocokan nilai yang diharapkan atau teori-teori distribusi. Tekniknya adalah

dengan menggunakan tipegoodness of fit test, yakni bahwa tes tersebut dapat digunakan untukmenguji apakah terdapat perbedaan yang cukup signifikan antar banyaknya sampel yang diamatidari objek atau jawaban yang masuk dalam masing-masing kategori dengan banyaknya yangdiharapkan berdasarkan hipotesis nol (H0).

ntuk dapat membandingkan sekelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok frekuensi

yang diharapkan, tentunya kita harus dapat menyatakan frekuensi manakah yang kita harapkan itu.Hipotesis nol (H0) menyatakan proporsi objek yang jatuh dalam masing-masing kategori didalampopulasi yang ditetapkan. !ni berarti, dari hipotesis nolnya kita dapat membuat deduksi apakahfrekuensi yang diamati cukup mendekati frekuensi yang diharapkan atau mempunyaikemungkinan besar untuk terjadi dibawah H0.

ntuk masing-masing kategori, terdapat suatu peluang bahwa suatu hasil pengamatan yang dipilihsecara acak dari populasi yang dihipotesiskan akan masuk kedalam kategori tersebut. "pabilahipotesis nolnya benar, maka kita dapat memperoleh frekuensi harapan (expected frequency) untukmasing-masing kategori. ntuk hipotesis nol, sampel ditarik dari sebuah populasi yang mengikutisuatu distribusi yang telah ditetapkan. #edangkan untuk hipotesis tandingan, sampel bukan berasaldari populasi dengan distribusi yang telah ditetapkan.

$ada uji statistik kita mengharapkan bahwa sampel-sampel acak yang ditarik dari populasi-populasi mencerminkan karakteristik populasi yang bersangkutan. %engan kata lain bila kita telahmenarik sebuah sampel dari suatu populasi yang telah ditetapkan, tentu kita mengharapkan adanya

suatu kecocokan yang erat antar frekuensi-frekuensi teramati dengan frekuensi-frekuensi harapanuntuk setiap kategori yang ada. %engan demikian, jika H 0benar, maka akan ada kecocokan yang

erat antar frekuensi-frekuensi teramati dengan frekuensi-frekuensi harapan.

ntuk dapat membandingkan sekelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok frekuensiyang diharapkan, tentunya kita harus dapat menyatakan frekuensi manakah yang kita harapkan itu.Hipotesis nol (H0) menyatakan proporsi objek yang jatuh dalam masing-masing kategori didalampopulasi yang ditetapkan. !ni berarti, dari hipotesis nolnya kita dapat membuat deduksi apakah

frekuensi yang diamati cukup mendekati frekuensi yang diharapkan atau mempunyaikemungkinan besar untuk terjadi dibawah (H0).

%alamgoodness of fit test ada hal-hal yang harus diperhatikan adalah antara lain&

a) "danya frekuensi obser'asi atau frekuensi yang benar-benar terjadi dalam eksperimen dandilambangkan dengan *.

b) "danya fekuensi yang diarapkan terjadi yang dilambangkan dengan +.

c) %erajat bebas adalah k-.

d) ilai chi-square.

e) umlah sampel yang digunakan harus mencukupi nilai harapan paling sedikt lima.

ntuk masing-masing kategori, terdapat suatu peluang bahwa suatu hasil pengamatan yang dipilihsecara acak dari populasi yang dihipotesiskan akan masuk kedalam kategori tersebut. "pabila

hipotesis nolnya benar, maka kita dapat memperoleh frekuensi harapan (expected frequency) untukmasing-masing kategori. ntuk hipotesis nol, sampel ditarik dari sebuah populasi yang mengikuti


2/13

suatu distribusi yang telah ditetapkan. #edangkan untuk hipotesis tandingan, sampel bukan berasal

dari populasi dengan distribusi yang telah ditetapkan.

$ada uji statistik kita mengharapkan bahwa sampel-sampel acak yang ditarik dari populasi-populasi mencerminkan karakteristik populasi yang bersangkutan. %engan kata lain bila kita telah

menarik sebuah sampel dari suatu populasi yang telah ditetapkan, tentu kita mengharapkan adanyasuatu kecocokan yang erat antar frekuensi-frekuensi teramati dengan frekuensi-frekuensi harapan

untuk setiap kategori yang ada. %engan demikian, jika H 0benar, maka akan ada kecocokan yangerat antar frekuensi-frekuensi teramati dengan frekuensi-frekuensi harapan.

2.2 Chi-square

ji chi-square dibuat oleh /atl $earson (11) yang sering disebut juga dengan pearson chisquareyang bisa digunakan untuk uji kecocokan (goodness of fit test), uji kebebasan (test forindependence), pengujian homogenitas serta pengujian 'arians dan standar de'iasi populasitunggal.

ji chi-square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi obser'asi atauaktual dengan frekuensi harapan atau ekspektasi. 2rekuesi obser'asi adalah nilai yang didapat darihasil percobaan. #edangkan frekuensi harapan adalah nilai yang dapat dihitung secara teoritis.

3eberapa hal yang perlu diketahui berkenan dengan distribusi chi-squareadalah&

a) %istribusi chi-squarememiliki satu parameter yaitu derajat bebas (dn).

b) ilai-nilai chi-squaredimulai dari nol disebelah kiri sampai nilai-nilai positif tak terhinggadisebelah kanan.

c) $robabilitas nilai chi-squaredimulai dari sisi sebelah kanan.

d) 4uas daerah dibawah kur'a normal adalah . ilai dari chi-squarebisa dicari jika kita memilikiinformasi luas daerah disebelah kanan kur'a serta derajat bebas. %erajat bebas adalah k-dimana k adalah jumlah kategori.

ji chi-square disebut juga dengan kai kuadrat. ji chi-squeare adalah salah satu uji statistik non-parametik (distibusi dimana besaran5besaran populasi tidak diketahui) yang cukup sering

digunakan dalam penelitian yang menggunaka dua 'ariable, dimana skala data kedua 'ariableadalah nominal atau untuk menguji perbedaan dua atau lebih proporsi sampel. ji chi-

squarediterapkan pada kasus dimana akan diuji apakah frekuensi yang akan di amati (dataobser'asi) untuk membuktikan atau ada perbedaan secara nyata atau tidak dengan frekuensi yangdiharapkan. Chi-square adalah teknik analisis yang digunakan untuk menentukan perbedaanfrekuensi obser'asi (i) dengan frekuensi ekspektasi atau frekuensi harapan (+i) suatu kategori

tertentu yang dihasilkan. ji ini dapat dilakukan pada data diskrit atau frekuensi.

$engertian chi-6uare atau chi kuadrat lainya adalah sebuah uji hipotesis tentang perbandingan"ntara frekuensi obser'asi dengan frekuensi harapan yang didasarkan oleh hipotesis tertentu padasetiap kasus atau data yang ambil untuk diamati. ji ini sangat bermanfaat dalam melakukananalisis statistic jika kita tidak memiliki informasi tantang populasi atau jika asumsi-asumsi yang

dipersyaratkan untuk penggunaan statistic parametric tidak terpenuhi. 7hi kuadrat biasanya didalam frekuensi obser'asi berlambangkan dengan frekuensi harapan yang didasarkan atashipotesis yang hanya tergantung pada suatu parameter, yaitu derajat kebebasan (df).

7hi kuadrat mempunyai masing5masing nilai derajat kebebasan, yaitu distribusi (kuadrat standardnormal) merupakan distribusi chi kuadrat dengan d.f. 8 , dan nilai 'ariabel tidak bernilai

negati'e. /egunaan dari chi s6uare untuk menguji seberapa baik kesesuaian diantara frekuensiyang teramati dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada sebaran yang akan dihipotesiskan,


3/13

atau juga menguji perbedaan antara dua kelompok pada data dua kategorik untuk dapat menguji

signifikansi asosiasi dua kelompok pada data dua katagorik tersebut.ji chi-s6uare merupakan ujinon parametrisyang paling banyak digunakan. amun perludiketahui syarat-syarat uji ini adalah& frekuensi responden atau sampel yang digunakan besar,sebab ada beberapa syarat di mana chi s6uare dapat digunakan yaitu&

a) Tidak ada cell dengan nilai frekuensi kenyataan atau disebut jugaActual Count (20)

sebesar 0 (ol).

b) "pabila bentuk tabel kontingensi 9 : 9, maka tidak boleh ada cell saja yang memilikifrekuensi harapan atau disebut jugaexpected count (;2h


4/13

%alam pengujian chi-square untuk memutuskan apakah menerima atau menolak H0, yaitu

hipotesis antara dua 'ariabel yang saling bebas. %ua 'ariabel tersebut adalah&

a) 4etaknya terhadap metode-metode penggantian.

b) %aerah geografis.

ji chi-squaredapat juga digunakan untuk memutuskan apakah keterangan-keterangan distribusiseperti binomial, poisson dan normal adaah distribusi yang tepat. ji chi-square memungkinkankita untuk bertanya sejauh mana kita dapat melakukan asumsi yang mendasari keterangan-keterangan distribusi sebekum kita menyimpulkan apakah dstribusi itu tidak terlalu panjang untukdipakai dan apakah ada signifikansi yang berbeda antara pengamatan distribusi frekuensi dan teori

distribusi. %engan cara ini kita dapat kebaikan yang tepat. %ari distribusi ini dapat menentukanapakah kita harus percaya bahwa pengamatan merupakan sampel penutup dari hipotesa mengenaiteori distribusi.

3erikut ini adalah beberapa perbedaan uji chi-squaredan uji kolmogorov-smirnov&

a) ji chi-squaredirancang untuk digunakan dengan data frekuensin, sedangkan uji kolmogorov-smirnov dirancang untuk digunakan dalam data kontiyu.

b) ji kolmogorov-smirnov boleh digunakan baik dalam uji satu sisi maupun dua sisi. ji chi-square tidak membedakan arah ketidaksesuaian yang terjadi antara data teramati dan dataharapan.

c) ji chi-squaremempersyaratkan agar data dikelompokkan data dalam kategori, sementara ujikolmogorov-smirnov tidak demikian. %engan demikian uji kolmogorov-smirnov lebih efisiendalam menggunakan data yang dikelompokkan.

d) ji chi-square tepat bila digunakan dengan data nomiman serta bila distribusi yang

dipotesiskan ini adalah data diskrit.

e) ji chi-squaredilengkapi dengan data suatu prosedur koreksi yang jelas apabila parameter-parameter yang dikehendaki masih harus diduga dari data sampel.

2.2.2Uji chi-square goodness of fit test

ji chi-square goodness of fit test adalah suatu uji untuk menentukan apakah suatu populasimemiliki distribusi teoritik tertentu. ji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antarafrekuensi yang teramati dalam data, contoh dengan frekuensi harapan yang didasarkan padadistribusi yang dihipotesiskan chi-square goodness of fit testantara frekuensi yang teramati dengan

frekuensi harapan didasarkan pada besaran&

X2

hit=(OiE i )

2

Ei

(9.)

%imana& :9adalah suatu nilai bagi peubah acak :9yang distribusi penarikan sampelnya sangatmendekati chi-square.i adalah menyatakan frekuensi teramati (obser'asi).

+i adalah menyatakan frekuensi harapan bagi sel ke satu (ekspektasi).

3ila frekuensi yang teramati sangat dekat dengan frekuensi harapannya, nilai :9akan kecil, hal inimenunjukkan adanya kesesuaian yang baik. 3ila frekuensi yang teramati berbeda cukup besartidak habis dari frekuensi harapannya, nilai :9akan besar, sehingga kesesuaiannya akan buruk.


5/13

/esesuaian yang buruk akan membawa penolakan H0, dengan demikian wilayah kritisnya akan

jatuh. ilai kritis :9diperoleh dari tabel maka wilayah kritisnya adalah :9 F :9.

/riteria keputusan ini tidak digunakan bila ada frekuensi harapan yang kurang dari lima.$ernyataan ini mengakibatkan berkurangnya derajat kebebasan. 3esarnya derajat kebebasan yang

berkaitan dengan distribusi chi-squareyang digunakan di sini tergantung pada dua faktor, yaitu&a) 3anyaknya sel dalam percobaan yang bersangkutan.

b) 3anyaknya besaran yang diperoleh dari data pengamatan yang diperlukan dalam perhitunganfrekuensi harapan.

Gumus yang digunakan dalam uji chi-squaregoodness of fit test&

a) ji chi-square sampel diskrit

Tabel .2.1!Chi-square1 sampel diskrit

k Xi Oi = fi Pi=

e

. x

x !

Ei =

n.Pi x2= (

OiEi )2

E

b) ji chi-square sampel kontinyu

Tabel .2.2!Chi-square1 sampel kontin"u

k

Interval

Oi PiEi =

n.Pi x

2

=

(OiEi )2

ELCB UCB

%imana& / adalah jumlah kelas.$ adalah parameter dari distribusi yang diuji.

i adalah frekuensi obser'asi dari data ke-i.$iadalah probabilitas+iadalah frekuensi ekspektasi atau frekuensi harapan.:9adalah chi-square.

c) ji chi-square 9 sampel diskrit atau kontinyu

Tabel .2.#!Chi-square2 sampel diskrit atau kontin"u

Kelas ke-1 Kelas ke-2 ... Kelas ke-c Baris

N1O11 E11 O12 E12 ... O1c E1c

A1(O11 E11)

2/E11 (O12 E12)2/E12 ... (O1c E1c)

2/E1c

N2O21 E21 O22 E22 ... O2c E2c

A2(O21 E21)

2/E21 (O22 E22)2/E22 ... (O2c E2c)

2/E2c

... ... ... ... ...

nrOr1 Er1 Or2 Er2 ... Orc Erc

Ar(Or1 Er1)

2/Er1 (Or2 Er2)2/Er2 ... (Orc Erc)

2/Erc

Kolom

B1 B2 ... Bc N


6/13

ntuk dapat membandingkan sekelompok frekuensi yang diamati dengan kelompok yang

diharapkan, tentunya kita harus dapat menyatakan frekuensi manakah yang diharapkan itu.Hipotesis nol menyatakan proporsi objek yang jatuh ke dalam masing-masing kategori di dalampopulasi yang ditetapkan. !ni berarti dari hipotesis nolnya kita dapat membuat deduksi berapakahfrekuensi yang diharapkan. Teknik :9menguji apakah frekuensi yang diamati mendekati frekuensi

yang diharapkan sehingga mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi di bawah H0.

$ada distribusisamplingstatistik chi-squaredapat diketahui dengan menggunakan kur'a. %alamhal ini kita menggunakan distribusi T, untuk menggambarkan distribusi chi-square yangmempunyai derajat kebebasan yang berbeda. ika harga derajat kebebasannya kecil maka kur'aakan semakin simetris mendekati kur'a normal. %engan itu kita mencari selisih antara yangdiamati dengan yang diharapkan, mengkuadratkan selisih-selisih tersebut lalu membaginya denganjumlah yang diharapkan lalu menjumlahkan hasil bagi tersebut.

#ering terjadi penelitian yang dijalankan untuk mengetahui banyaknya subjek, objek jawabanrespon yang terdapat dalam berbagai kategori misalnya sekelompok pasien diklasifikasikanmenurut tipe kecenderungan utama dalam hal jawabanorschachmereka dan penyelidik mungkinmembuat ramalan bahwa tipe-tipe tertentu akan lebih sering terdapat dibandingkan dengan tipe-

tipe lainnya.

"da beberapa persoalan yang dapat diselesaikan dengan cara mengambil manfaat dari distribusichi-square, diantaranya seperti&

a) enaksir simpangan baku.

b) enguji homogenitas variansbeberapa populasi.

c) enguji proporsi untuk data multinomial.

d) enguji independen antara dua faktor.

e) enguji kesesuaian antara data hasil pengamatan dengan model distribusi, darimana data itudiduga kembali.

f) enguji model distribusi berdasarkan hasil pengamatan.

2.# Uji kolmogorov-smirnov goodness of fit test

ji kolmogorov-smirnov adalah suatu uji non parametrik untuk perbedaan antar distribusi-distribusi kumulatif, sebuah sampel uji menyangkut penyesuaian antar distribusi kumulatif yangteliti dari nilai-nilai sampel dan fungsi distribusi kontinyu yang spesifik, jadi hal tersebutmerupakan suatugoodness of fit test!

ji dua sampel menyangkut persesuaian antara dua distribusi yang diteliti yang menguji suatuhipotesis apakah dua sampel bebas berasal dari distribusi kontinyu identik dan peka terhadapperbedaan populasi dengan melihat pada lokasi dispersiatauske"ness.

ji sebuah sampel kolmogorov-smirnovsecara umum lebih efisien dibandingkan dengan uji chi-

square untuk goodness of fit testdari sampel dalam jumlah kecil dan dapat digunakan untuksampel yang sangat kecil, dimana didalam uji chi-squaretidak dapat diterapkan. amun harusdiingat bahwa uji chi-square dapat digunakan dalam hubungannya dengan distribusi diskrit,mengingat uji kolmogorov-smirnov tidak dapat digunakan. ji satu sampel didasarkan padaperbedaan absolut maksimum antara nilai-nilai dari distribusi kumulatif sampel acak yangberukuran n dan distribusi secara teoritis yang lebih spesifik.

%alam pengujian satu sampel memperlihatkan perjanjian antar pengamatan distribusi kumulatifdari nilai sampel dan menetapkan distribusi kontinyu, dengan demikian pengujian ini sangat baik.


7/13

#edangkan pada pengujian dua sampel memperlihatkan perjanjian antara dua pengamatan

distribusi kumulatif, hipotesis dua sampel ini menyatakan apakah kedua sampel saling bebas daridistribusi kontinyu yang sama.

ji dua sampel kolmogorov-smirnovdidasarkan pada perbedaan absolutmaksimum antara nilai-

nilai dari dua distribusi kumulatif yang teliti secara prinsip. ji dua sampel sangat mirip dengan ujisatu sampel, nilai-nilai kritis yang diperlukan dapat diperoleh dari tabel-tabel khusus.

ji sampel tunggal kolmogorov-smirnov dapat kita ringkaskan dengan langkah-langkah sebagaiberikut&

a) Tetapkan fungsi kumulatif teoritis berdasarkan distribusisamplingteoritis.

b) Tetapkan H0yang akan diuji.

c) #usunlah skor obser'asi berdasarkan ranking.

d) Hitung proporsi masing-masing frekuensi untuk setiap interval.

e) Hitung proporsi kumulatif frekuensi obser'asi dan obser'asi teoritis.

f) %engan rumus mencari de'iasi maksimum maka dapat ditentukan besarnya de'iasi mengamatiselisih maksimum dari suatu frekuensi kumulatif yang telah dihitung.

g) "pabila sampel lebih besar dari ?=, maka kriteria yang dipergunakan adalah sesuai rumus yang

diberikan pada bagian bawah tabel.

h) 3andingkan besarnya angka yang diperoleh pada de'iasi maksimum dengan angka dalam tabel.

i) /riteria pengambilan keputusan adalah apabila harga de'iasi maksimum lebih kecil dari angkayang didapat dalam tabel maka H0diterima.

Tes satu sampel kolmogorov-smirnovadalah suatugoodness of fit testartinya yang diperlihatkanadalah tingkat kesesuaian antara distribusi serangkaian harga sampel (skor yang obser'asi) dengansuatu distribusi teoritis tertentu. Tes ini menetapkan apakah skor-skor dalam sampel dapat secaramasuk akal dianggap berasal dari suatu populasi dengan teoritis itu.

#ingkatnya tes ini mencakup perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi di bawahdistribusi teoritisnya serta membandingkan distribusi frekuensi itu dengan distribusi frekuensikumulatif hasil obser'asi. %istribusi teoritis tersebut merupakan representatif dari apa yangdiharapkan di bawah H0. Tes ini menetapkan suatu titik dimana kedua distribusi itu diyakinisebagai distribusi yang teoritis dan yang terobser'asi memiliki perbedaan terbesar.

%engan melihat distribusisampling dapat kita ketahui apakah perbedaan yang besar itu mungkin

terjadi hanya karena kebetulan saja artinya distribusisamplingitu menunjukkan apakah perbedaanbesar yang teramati itu mungkin terjadi apabila obser'asi itu benar-benar suatu sampel daridistribusi teoritis itu.

isalkan f0(>) 8 #uatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan yakni

distribusi kumulatif teoritis di bawah H0. "rtinya harga n yang sembarangan besarnya, harga f0(>)adalah sembarangan proporsi kasus yang diharapkan mempunyai skor yang sama atau kurang daripada >.

isalkan #(>) 8 distribusi frekuensi kumulatif yang terobser'asi dari suatu sampel randomdengan buah obser'asi. %imana > adalah sembarangan skor yang mungkin, #(>) 8 kA,

dimana k adalah banyaknya obser'asi yang sama atau kurang dari >.


8/13

%ibawah hipotesis nol bahwa sampel itu telah ditarik dari distribusi teoritis tertentu, maka

diharapkan bahwa untuk setiap harga >, #(>) harus jelas mendekati f0(>) artinya di bawah nol kitaakan mengharapkan selisih antara #(>) dan f0(>) adalah kecil dan ada dalam batas-batas kesalahanrandom. Tes kolmogorov-smirnovmemusatkan perhatian pada penyimpangan terbesar.

Harga f0(>) - #(>) terbesar dinamakan de'iasi maksimum.

%maks8 f0(>) - #(>) (9.9)

%istribusisampling% di bawah H0diketahui tabel + pada lampiran memberikan harga-harga kritistertentu distribusi sampling itu perhatikanlah bahwa signifikan suatu harga % tertentu adalahbergantung pada .

%alam perhitungan tes kolmogorov-smirnovdilakukan langkah-langkah sebagai berikut&

a) Tetapkan fungsi kumulatif teoritis, yakni distribusi kumulatif yang diharapkan di bawah H0.

b) "turlah skor-skor yang diobser'asi dalam suatu distribusi kumulatif dengan memasangkaninterval#(>) dengan intervalf0(>) yang sebanding.

c) ntuk tiap-tiap jenjang pada distribusi kumulatif, kurangilah f0(>) dengan #(>).

d) %engan memakai rumus yang ada, carilah nilai % (de'iasi maksimum).

e) 4ihatlah tabel + untuk menentukan harga kemungkinan dua sisi yang dikaitkan dengan munculnyaharga-harga sebesar harga obser'asi di bawah H0. ika $ sama atau kurang dari I, maka H0ditolak.

Tes dua sampel kolmogorov-smirnovadalah suatu tes apakah dua sampel independen telah dicaridari populasi yang sama (dari populasi yang memiliki distribusi yang sama). Tes dua sisi peka

terhadap segala jenis perbedaan dalam distribusi yang menjadi asal usul kedua sampel ituperbedaan-perbedaan dalam lokasi (harga tengah) kemencengan (ske"ness), pemencaran dan lain-lain.

#eperti tes satu sampel kolmogorov-smirnovtes dua sampel ini memperhatikan kesesuaian antaradua sampel distribusi kumulatif tes satu sampel dan meperhatikan kesesuaian antara distribusi

suatu himpunan harga sampel dengan suatu distribusi teoritis tertentu, tes dua sampel inimemperhatikan kesesuaian antara dua himpunan harga-harga sampel.

ika kedua sampel itu pada kenyataannya memang telah ditarik dari distribusi yang sama, makadistribusi kumulatif kedua sampel tadi dapat diharapkan cukup pendekatan satu dengan yanglainnya karena keduanya menunjukkan de'iasi randomsaja dari pada distribusi populasi itu. ika

kedua distribusi populasi kumulatif kedua sampel itu jauh berbeda pada suatu titik manapun, ini

menunjukkan bahwa sampel-sampel berasal dari populasi yang berbeda. %engan demikian suatude'iasi yang cukup besar antara distribusi kumulatif kedua sampel tersebut adalah fakta untukmenolak H0.

ji kolmogorov-smirnovdapat kita ringkas dalam langkah-langkah sebagai berikut&

a) "sumsi-asumsi

) %ata untuk analisis terdiri dari uji dua sampel acak bebas berukuran m dan n.

9) %ata yang paling tidak diukur menggunakan skala ordinat!

b) Hipotesis-hipotesis$ada dasarnya sama dengan hipotesis pada uji sampel kolmogorov-smirnov.


9/13

c) ji statistikji statistik kolmogorov-smirnovdapat dilihat pada persamaan berikut&

% 8 f0- fe (9.?)

%imana& f0adalah frekuensi kumulati relatif obser'asi

feadalah frekuensi kumulati relatif ekspektasi

d) $engambilan keputusan.

2. $enguji proporsi data multinomial

isalkan sebuah eksperimen menghasilkan perstiwa-peristiwa atau kategori ", "9, J.., "k yang

saling terpisah masing-masing dengan peluang $ 8 $("), J..$9 8 $("9), J..$/ 8 $("/)."kan diuji pasangan hipotesis H0& $i 8 $0, ! 8 ,9, J, /, dengan $i, sebuah harga yang diketahuiHi& $i 8 $i0. %i sini tentu saja K$i 8 Kpi08 .

$engujian yang ditempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak berukuran n yang di

dalamnya ada dari kategori satu ("), 9dari kategori dua ("9), JJ, kdari kategori k ("k).%engan harga $i0 yang diberikan, kita dapat menghitung masing-masing frekuensi yangdiharapkan +8 n.$0,+98 n.$90, JJ +k8 n.$/0,jelas bahwa L 9LJ.L k8 +L +LJ.L +k8n. Harga-harga , 9, J., kmerupakan nilai-nilai yang tampak sebagai hasil pengamatan,sedangkan +, +9, J. +kmerupakan nilai-nilai yang diharapkan terjadi atau nilai-nilai teoritiks

"gar mudah diingat, adanya kategori "i, hasil pengamatan i dan hasil yang diharapkan +i,

sebaiknya disusun dalam daftar sebagai berikut&

Tabel .2.!Tabel %i dan &i

Kategori A1 A2 ...... AkPengamatan O1 O2 ...... OkDiharapkan E1 E2 ...... Ek

ntuk menguji hipotesis di atas, digunakan statistik&

X2=

i=1

k (OiEi )2

Eiatau X

2=i=1

kO

i

2

Ein (9.M)

Ternyata bahwa statistik di atas berdistribusi chi-squaredengan dk 8 (k-). /riteria pengujianadalah tolak H0 jika :

9 F :9(-I)(k-)dengan I 8 taraf nyata untuk pengujian. %alam hal lainnya,

maka H0diterima.

#ebagai hal khusus dari data multinomialadalah data binomialyang didapat apabila banyak kelask89. ika dalam hal ini kedua kategori disebut kategori ! dan kategori !! dengan peluang terjadinyakategori ! dan !! masing-masing (! - !!), maka untuk sebuah sampel acak berukuran n diantaranyadidapat > buah kategori !. /ita lihat bahwa distribusi chi-kuadrat yang digunakan hanya

mempunyai derajat kebebasan satu ini mengakibatkan terlalu sering terjadi penolakan. H 0 yangseharusnya diterima apabila rumus di atas digunakan. #elain daripada itu rumus di atas adalahpengkontinuitasan data diskrit yang dengan sendirinya harus di adakan penyesuaian seperlunya.

#ebagai hal khusus dari data multinomialialah data binomialyang didapat apabila banyak kategorik 8 9. ika dalam hal ini kedua kategori disebut kategori ! dan kategori !! dengan peluang

terjadinya kategori ! dan kategori !! masing-masing N dan (-N), maka untuk sebuah sampel acakberukuran n diantaranya didapat > buah kategori !, didapat dibuat daftar sebagai berikut&

Tabel .2.'!Tabel pengamatan peluang terjadin"a kategori ( dan kategori ((

Kategori I II Jumlah


10/13

Pengamatan x nx !

Diharapkan n."n(1

")!

#tatistik yang digunakan untuk menguji hipotesis H0& N 8 N0melawan H&N O N0ialah&

X2=

(nn .0 )2

n .0(1

0)

(9.P)

dan tolak H0jika :9B :9(-I)()& sedangkan dalam hal lain H0diterima.

/ita lihat bahwa distribusi chi-squareyang digunakan hanya mempunyai satu derajat kebebasan.!ni mengakibatkan terlalu sering terjadinya penolakan H0yang sebenarnya diterima apabila rumus

di atas digunakan. /husus dalam hal ini, yakni dalam hal data binomial dimana digunakandistribusi chi-kuadrat dengan dk 8 . Gumus di atas perlu diperbaiki dengan menggunakan koreksikontinuitas, yaitu harga mutlak > 5 n.N0. ! harus dikurangi dengan setengah. adi rumusnya yangdipakai adalah&

X2=

(1xn . 0 .11 /2)2

n . 0(10)

(9.Q)

2.' $enguji kesamaan poisson

isalkan ada k(kF9) buah distribusi poisson dengan parameter R, R9, JRk. "kan diuji pasanganhipotesis H0& R8 R9 8 J. 8 Rk. H& paling sedikit randa sama dengan tidak berlaku.

%ari setiap populasi diambil sebuah sampel acak, berukuran ndari populasi ke-, n9dari populasike-9 dan seterusnya berukuran nkdari populasi ke-k. ntuk tiap sampel dihitung banyak peristiwayang mengikuti distribusipoisson. ika banyak peristiwa ini dinyatakan dengan >L >9LJ..L >n,maka rata-rata > adalah&

x=x1+x2++xn

k

(9.)

#tatistik yang digunakan untuk menguji hipotesis Hoadalah&

X hit2

=(Xi-X)

2

X

(9.1)dan tolak H0jika :

9B :9(-I)(k-). %alam hal lain H0diterima.

2.) *an"ak independen antar dua faktor

3anyak data hasil pengamatan yang dapat digolongkan ke dalam beberapa faktor, karakteristikatau atribut dengan tiap faktor atau atribut terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori, golongan ataumungkin tingkatan. 3erdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena demikian akan diselidikimengenai hubungan, asosiasi, kaitan antar faktor. ika ternyata tidak terdapat kaitan antara faktor-faktor, biasa dikatakan bahwa faktor-faktor itu bersifat independen atau bebas, tepatnya bebas

statistik. %engan kata lain akan dipelajari apakah terdapat atau tidak suatu kaitan diantara faktor-

faktor itu.


11/13

%alam bagian ini hanya akan dipelajari fenomena yang terdiri dari paling banyak dua faktor, selaindaripada itu disini akan dibahas juga ada tidaknya pengaruh mengenai beberapa taraf atautingkatan suatu faktor terhadap kejadian fenomena.

2.).1 +sosiasi antara dua faktor dalam daftar kontingensi * ,

#ecara umum, untuk menguji independen antara dua faktor dapat dijelaskan sebagai berikut&

isalkan sebuah sampel acak berukuran n telah diambil, dimana tiap pengamatan tunggal didugaterjadi karena adanya dua macam faktor, ialah faktor ! dan faktor !!. 2aktor ! terbagi atas 3 tarafatau tingkatan dan faktor !! terbagi atas / taraf. 3anyak pengamatan yang terjadi karena taraf ke-i

faktor ke-! (! 8 ,9,J.., 3) dan taraf ke-j faktor ke-!! (j 8 ,9,J..,/) akan menyatakan dengan ij.Hasilnya dapat dicatat dalam sebuah daftar kontingensi 3 > /.

Tabel '.2.)!Tabel ontingensi * Untuk /asil 0engamatan Terdiri +tas DuaFaktor

2"/TG !!(/ T"G"2)

umlah

9 /

2"/TG

!

(3T"G"

2)

9 k n09 9 99 9k 90J J J J J J

3 n3 n39 3/ n30

umlah n n9 n/ n

2. Uji kebebasan

ji kebebasan yang dibicarakan pada modul ini adalah uji kebebasan chi-square, yaitu yang dapatpula dipakai untuk menguji hipotesis bahwa dua sampel saling bebas. isalkan ingin ditelitiapakah pandapat penduduk pemilih di negara bagianIllionismengenai perubahan pajak baru tidakada hubungannya dengan tingkat penghasilannya.

$erlu diingat bahwa yang mendasari keputusan mempunyai distribusi yang hanya merupakan

lampiran distribusi chi-square. ilai :9 hitung tergantung pada frekuensi sel dan karena itutermasuk data diskrit. %itribusi chi-squareyang kontinyu terlihat menghampiri distribusi terokdiskrit :9amat dekat, asal saja banyaknya derajat kebebasan lebih besar dari . %alam tabelkemungkinan 9 > 9, yang hanya mengandung derajat kebebasan satu, digunakan suatu koreksiyang disebut koreksi kontinuitas #ates.

3ila frekuensi sel harapan besar, hasil yang dikoreksi dan tidak dikoreksi hamper sama. 3ilafrekuensi harapan antara = dan 0, koreksi #atessebaiknya dipakai. ntuk frekuensi harapankurang dari =. #ebaiknya uji tepat$isher%Ir"inyang dipakai. $embahasan mengenai uji ini dapatdiperoleh dalam &asic Concepts of'robability and Statistics oleh Hodges dan (ehnmann. ji

$isher%Ir"insesungguhnya dapat dihindari dengan memilih ukuran terok yang lebih besar.


12/13


13/13

X hit2

=(Oi-Ei )

2

Ei

(9.)

%an untuk menentukan kriteria pengujian digunakan distribusi chi-kuadrat dengan dk8(k-?) dantaraf I.

Bab 2 Goodtest or fittest

Documents

Transcript of Bab 2 Goodtest or fittest