BAB 2Fungsi Persamaan, dan

Pertidaksamaan KuadratStandar Kompetensi:

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta

pertidaksamaan kuadrat

Kompetensi Dasar:

Memahami konsep fungsi

Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat

Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan

pertidaksamaan kuadrat

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi

kuadrat dan penafsirannya.

Fungsi

A. Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.

a

bc

p

rq

f

A B

B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil

Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A B), maka:

i. himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,

ii. himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,

iii. himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunana A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

C. Beberapa Macam Fungsi Khusus1.Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam sebuah daerah asalnya.

f : x f(x) = kdengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.

2.Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.

3.Fungsi Linear

Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

4.Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c R, a 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.

Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola.

5.Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1 dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan

1 x 1 =x, jika x ≥ 0

x, jika x < 0

Definisi

D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Definisi

Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi kepada B (surjektif) jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau W = B.

Fungsi f ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau W B.

f

1.Fungsi Surjektif

123

4

g

ab

c

A B

f

123

4

abcd

A B

2. Fungsi Injektif

1

2

3

a

b

c

f

A B

2

1

3

a

b

c

g

A B

Definisi

Fungsi f : A B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 A dengan a1 a2 berlaku f(a ) f(a ).

1

Definisi

Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

3. Fungsi Bijektif

2

1

0 a

b

c 2

1

0 a

b

c

A B A B

fg

Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.

Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x.

Contoh:

y = f(x) = -2x + 4

1

2

3

4

-1

- 2

- 3

- 4

1 2 3 4 5 6

Y

X0

(0, 4)

(2, 0)

(4, -4)

y = f(x) = 2x + 4

Fungsi Linear

Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh

dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.

f(x) = ax2 + bx + c

Fungsi Kuadrat

Contoh:• f(x) = x² - 1• f(x) = 2x² - 6x• f(x) = x² - 4x + 3• f(x) = -3x² + 4x – 3

a. Titik Potong dengan Sumbu X

X X X

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

XXX

Jika b2 4ac 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. Jika b2 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit. Jika b2 4ac 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.

Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0.

Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0.

Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.

Y Y Y

XX X000

b. Titik Potong dengan Sumbu Y

XXX

YYY

0 0 0

Mari kita tinjau persamaan parabola berikut

y = ax2 + bx + c

y = a (x2 + x)+ c

y = a (x2 + x + ) + c

y = a (x + )2

baba

b2

4a2b2

4a2

b2a

b2 4ac4a

2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri

1. Parabola y = ax2 + bx + c, dengan a,b, c R dan a 0, mempunyai titik

puncak atau titik balik

2. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka

ke atas. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola

ke bawah.

3. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah

(b2

4a 4ac)b

2a’

x = b2a

Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah 1

Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.Langkah 2

Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.

Langkah 3

Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

Membentuk Fungsi Kuadrata. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x1, 0) dan B

(x2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu.

y = f(x) = a (x x2)(x x2)

c. Grafik fungsi kuadrat melalui titi puncak atau titik balik P (xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu.

y = f(x) = a (x xp)2 + y

y = f(x) = ax2 + bx + c

d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik A (x1 , y1), B (x2, y2), C (x3, y3).

b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A ( x , 0), serta melalui sebuah titik tertentu.

y = f(x) = a (x x1)2

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Definisi

Misalkan a, b, c R dan a 0, maka persamaan yang berbentuk

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

ax2 + bx + c = 0

Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,

- a adalah koefisien dari x2

- b adalah koefisien dari x

- c adalah suku tetapan

Akar-Akar Persamaan KuadratUntuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat dengan cara:

a. memfaktorkan

b. melengkapkan kuadrat sempurna,

c. menggunakan rumus kuadrat, dan

d. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat

Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a 0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh

2a 4acb2 b x

1=b2 4ac b 2a

=2

xatau

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c dengan nilai diskriminan D = b2 4ac,

1. Jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang

berlainan.

2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama

(akar kembar), real, dan rasional.3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau

kedua akarnya tidak real (imajiner).

a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya

irasional.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan KuadratAkar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a 0) ditentukan dengan rumus kuadrat:

2a 4acb2 b x

1=b2 4ac b 2a

=2xatau

Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; dengan a 0,Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus:

1x

aba

cdan == x2

+1

x x2

·

Menyusun Persamaan Kuadrat

Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya

a.Memakai Faktorapabila x dan x merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:

1 2

0))(( 21 xxxx

0)()( 21212 xxxxxx

b.Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarpersamaan dapat dinyatakan dalam bentuk

02 a

cx

a

bx

Pertidaksamaan KuadratBentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam, yaitu:

1. ax2 + bx + c < 0

2. ax2 + bx + c ≤ 0

3. ax2 + bx + c 0

4. ax2 + bx + c ≥ 0

dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a 0.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu:

a) Sketsa grafik fungsi kuadrat

b) Garis bilangan

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah 1Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax2 + bx + c

1 2 3 4 5

1

2

3

4

0

1

2

y = x2 4x + 3 Y

X

y 0

y = 0

y < 0

Langkah 2

Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada Langkah 1, kita dapat menetapkan

selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0,

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c 0, atau ax2 + bx + c ≥ 0.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 4x + 3 < 0

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

x2 4x + 3 = 0

(x 1)(x 3) = 0

x = 1 atau x = 3

31

31 20 4

+ +

nilai-nilai uji

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = xl1 < x < 3}