NAMA : ZULFADILLAH

NIM : 1208102010033

MK : TERMODINAMIKA

10.2 Distribusi Kesetimbangan

Kita telah melihat bahwa dalam hal gas ideal, banyak keadaan kuantum yang bersesuaian

dengan tingkat energy yang sama dan bahwa degenerasi masing masing tingkatan jauh lebih

besar daripada banyaknya partikel yang bisa didapatkan pada salah satu tingkatan pada suatu

waktu. Perincian bahwa pada saat tertentu terdapat

Ni partikel pada tingkat energy E1 dengen degenerasi g1

Ni partikel pada tingkat energy E1 dengen degenerasi g1

. . .

. . .

. . .

Ni partikel pada tingkat energy E1 dengen degenerasi g1

. . .

. . .

. . .

Dalam suatu wadah bervolume V bila gas terdiri atas N partikel dan energy U adalah suatu

pemerian keadaan makro gas. Banyakanya cara keadaan makro ini dapat tercapai, Ω, adalah

perkalian dari semua suku yang sejenis dengan persamaaan (10.3), atau

Kuantitas Ω disebut peluang termodinamik suatu keadaan makro tertentu, nama lain untuk

kuantitas ini adalah banyaknya makro- keadaan dan banyakanya kompleksi. Apapun namanya,

semakin besar Ω, semakin besar pula peluang untuk menemukan sistem N partikel dalam

keadaan ini. Di andaikan bahwa, jika V,N, dan U dipertahankan tetap, keadaan setimbang gas

akan bersesuaian dengan keadaan-makro dengan Ω maksimum. Karena itu untuk mencari

populasi kesetimbangan dari tingkat energy, kita mencari harga masing-masing N yang

menyebabkan Ω, atau lebih sederhana lagi Ln Ω, suatu maksimum.

Karena Ln Ω mengandung faktorial bilangan besar, lebih baik dipakai hampiran stirling yang

bisa diturunkan dalam cara berikut ini : logaritma alamiah dari X faktorial ialah

Jika kita gambarkan tangga pada suatu diagram seperti yang diperlihatkan dalam gambar, dengan

bilangan bulat dirajah sepanjang sumbu X dan Ln x sepanjang sumbun y, luas dibawah setiap

potongan garis mendatar itu sama dengan logaritma alamiah, karena setiap panjang perpotongan

garis = 1, luas dibawah gambar tangga dari x = 1 ke x = x sama dengan Ln (X!). bila X besar,

kita bisa mengganti tangga itu dengan kurva malar seperti yang ditunjukkan dengan ririt (garis

terputus-putus) dalam gambar; jadi hampiran untuk x besar,

Dengan integrasi parsial didapatkan

Jadi, jika kita abaikan 1 terhadap X

Rumus ini adalah hampiran stirling.

Dengan memakai hampiran stirling dalam persamaan , kita dapatkan

Bila kita buat memakai kenyataan bahwa. Persoalan kita sekarang ialah membuat Ln Ω

maksimum dengan persyaratan

Sebelum meneruskan memecahkan persoalan ini dengan metode pengali Lagrange, kita perlu

ingat bahwa ɛ dan g adalah tetap. Semua perubahnya hanyalah populasi tingkat energy, dan

jumlahan N tetap.

Karena dN = 0, defferensial Ln Ω ialah

Dengan menentukan Ln Ω sama dengan nol dan dengan mengambil differensial dan persamaan,

kita dapatkan

Dengan mengalikan persamaan kedua dengan Ln A dan yang ketiga dengan –β, dengan Ln A

dan –β merupakan pengali Lagrange(lihat lampiran B), kita dapatkan

Jika kita tambahkan persamaan ini, koefisien masing-masing dN bisa disamakan dengan nol.

Dengan mengambil suku ke-I,

Karena itu, populasi tingkat energy pada kesetimbangan terlihat sebanding dengan degenerasi

dari tingkat itu dan berubah secara eksponen dengan energy dari tingkat itu.

Langkah berikutnya adalah menentukan peranan fisis pengali Lagrange A dan β.