Kuliah Metode Elemen Hingga Prof Dr Ing Johannes Tarigan 1

Bab I:

Pendahuluan

Tahun 1800 s/d 1900 an perkembangan ilmu struktur di bidang Teknik Sipil sangatlah

pesat. Sangkin pesatnya tahun tersebut dapat disebut tahun keemasan, dimana banyak

teori yang muncul a.l. oleh Cremona, Maxwell, Castigliano, Coulumb, Navier, Ritter,

Gerber, Mohr, Culmann, Cross, Takabeya, Kani, dll. Teori yang dihasilkan umumnya

adalah penyelesaian dengan analitis yang dapat diselesaikan dengan eksak maupun

dengan pendekatan (lihat gambar 1.1).

Setelah tahun 1940 adalah babak baru dalam bidang analisa struktur dikarenakan pada

tahun tersebut penyelesaian dalam bidang analisa struktur adalah dengan munculnya teori

numerik yakni penyelesaian dengan matrix. Beberapa penyelesaian dengan numerik

adalah metode finite difference, finite element method, boundary element method. Yang

popular diantara metode numeric dalam bidang Teknik Sipil adalah finite element method

atau disebut juga metode elemen hingga, dikarenakan dapat lebih mudah meyelesaikan

problem-problem seperti rangka, portal, pelat, balok tinggi dan shell. Dan pada buku ini

akan diturunkan khusus Metode elemen hingga.

Keuntungan dari metode elemen hingga adalah bahwa apa yang tidak dapat diselesaikan

dengan penyelesaian analitis dapat dipecahkan dengan metode ini, sebagai contoh

konstruksi yang mempunyai geometris yang kompleks, beban yang kompleks dan

persyaratan material yang kompleks.

Secara umum dalam metode elemen hingga dikenal dengan tiga tipe struktur yakni sbb:

1. berdimensi satu seperti pada batang 2. berdimensi dua 3. berdimensi tiga

Berdimensi satu artinya struktur yang tampang elemennya yakni b

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 2

panjangnya. Struktur ini adalah seperti rangka, portal, seperti pada gambar 1.2.

Umumnya dalam Teknik Sipil elemen inilah yang paling banyak dipakai.

Selanjutnya pengertian berdimensi dua adalah suatu struktur dimana tampang dimana

h

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 3

tebalnya tidak begitu jauh perbedaannya seperti pile cap ataupun pondasi turbin. Contoh

berdimensi tida dapat dilihat di gambar 1.4. Type ini dipakai pada konstruksi khusus

pondasi, dam, dll.

1.2 Sekilas perkembangan MEH

Perkembangan metode elemen hingga sampai sekarang sangat pesat. Untuk itu ada

baiknya disampaikan perkembangan metode elemen hingga dari awal hingga saat ini sbb:

1941 Hernnikoff menggunakan metode ini dalam bidang ilmu teknik struktur.

1943 Mc Henry menggunakan metode ini pada perhitungan tegangan untuk struktur yang berdimensi satu (one-dimensional).

1943 Courant, mengunakan dengan solusi penyelesaian tegangan dengan suatu variational form.

1947 Levy menggunakan metode gaya

1953 Levy mengembangan metode kekakuan

1956 Turner, Clough, Martin dan Topp, mereka memperkenalkan matrix kekakuan pada elemen rangka (truss) dan balok (beam element).

1960 Clough memperkenalkan elemen segiempat dan segitiga

1961 Melos, menyajikan matrix kekakuan untuk elemen segi empat.

1963 Gastron dan Strome memperkenalkan elemen axissimetri.

1964 Argirys memperkenalkan elemen dengan tiga dimensional.

1965 Archer memperkenalkan metode elemen hingga pada analisa dinamik

1965 Clogh, Rashid, Wilson memperkenalkan axissimetri element.

1977 Lyness, Owen, Zienkiewicz mmeperkenalkan aplikasi metode elemen hingga pada magnetig field.

1976 Belytscho memperkenalkan non linier dynamic behavior.

x

y

z

P

Gambar 1.4: berdimendi tiga

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 4

Setelah tahun 1976 perkembangan sangat pesat apa lagi kemudian dipakai komputer untuk

memudahkan menyelesaikan problemnya.

1.3 Metode elemen hingga dalam struktur

Secara umum dalam perhitungan mekanika ada dua cara yakni :

1. Metode Gaya (Force Methode) 2. Metode Perpindahan (Displacement Methode)

Pada metode Gaya, yang dihitung terlebih dahulu adalah gaya, baru dengan gaya dapat

dihitung perpindahannya. Contoh perhitungan dengan metode gaya adalah Cross,

Clayperon, Unit Load Methode atau metode lainnya.

Sedangkan metode perpindahan adalah metode yang mengahsilkan perpindahan terlebih

dahulu baru kemudian dengan perpindahan dapat dihitung gaya yang terjadi. Metode

perpindahan ini dikenal dalam metode kekakuan dan metode elemen hingga.

Dalam perkembangan software dasarnya adalah metode kekakuan atau metode elemen

hingga. Beda metode kekakuan dengan metode elemen hingga adalah dalam mengerjakan

matrix kekakuannya. Pada metode kekakuan dalam mencari kekakauannya dimulai dari

metode konvesional, sedangkan dengan metode elemen hingga dasar perhitungan

kekakuannya adalah dari teori energi.

Pada metode kekakuan hanya dapat dilakukan pada elemen yang berdimensi satu (one

dimensional), sedangkan metode elemen hingga dapat diterapkan pada elemen batang atau

elemen yang berdimensi satu (one dimensional) , berdimensi dua(two dimensional)

maupun berdimensi tiga (three dimensional).

Dalam analisa metode elemen hingga didasarkan atas 4 (empat) dasar pemikiran sbb:

1. Keseimbangan : Gaya yang bekerja yakni gaya luar harus seimbang dengan gaya dalam.

2. Kompatibilitas : Akibat deformasi yang terjadi maka bagian-bagian dari elemen yang saling bertetangga tidak boleh bercerai-berai.

3. Sifat Bahan : Hubungan antara gaya dalam dan perubahan bentuk ditentukan dengan hubungan gaya dan perubahan bentuk.

4. Interpretasi hasil : Dari hasil output dapat dikaji apakah perhitungan sudah benar atau belum.

1.4. Langkah-langkah umum dalam Metode Elemen Hingga.

Pada metode elemen hingga maka ada langkah-langkah yang diikuti agar tahapan

perhitungan menjadi sistematis. Adapun langkah-langkahnya adalah :

Langkah I:

Deskritisasi dan pemelihan tipe elemen. Dibawah ini diberikan contoh-contoh tipe elemen

sbb:

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 5

Elemen batang atau elemen yang berdimensi satu. Elemen ini disebut juga simple line element ditunjukkan di gambar 1.5, dimana pada elemen

tersebut secara umum ada dua simpul yakni 1 dan 2. Titik 1 adalah awal

dan titik 2 adalah akhir. Perpindahan dititik 1 dan dititik 2, bisa bebeberapa

alternatif akan dibahas pada bab-bab berikut ini yang mana akan

didefinikan pada truss, spring, plane frame, space truss, space frame dan

grid.

Elemen dua dimensional atau disebut juga simple two-dimensional element. Contoh elemen ini ditunjukkan di gambar 1.6 a yang disebut juga

elemen segitiga, kemudian di gambar 1.6 b yakni elemen segi empat.

Elemen tiga dimensi atau Simple three-dimensional element dimana bisa elemen segitiga atau segi empat seperti gambar 1.7. dengan koordinat

kartesian atau gambar 1.8 dengan koordinat polar.

x

y y

x

1 2

3

1 2

3 4

a)

)

b)

x

x

1 2

Gambar 1.6 : elemen dua dimensi

Gambar 1.5 : elemen batang

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 6

Elemen axi simetri atau Simple axisymmetri element.

Langkah 2:

Pemilihan fungsi perpindahan (shape function)

Langkah 3:

Tetapkan regangan/perpindahan dalam hubungannya dengan tegangan dan regangan.

Langkah 4:

Tetapkan matrix kekakuan

Direct stiffness methode /Metode kekakuan

Work or energy method ( metode ritz)

Methods of weighted residuals (metode Galerkin)

1

2

3

3

1 2

3

4

5 6

7 8

Gambar 1.7 : Elemen tiga dimensi

Gambar 1.8: Elemen axi simetris

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 7

Langkah 5:

Tetapkan persamaan konstruksi secara global dengan syarat batas yang berlaku. (boundary

condition)

Langkah 6:

Selesaikan derajat kebebasan yang tidak diketahui (metode Gauss)

Langkah 7:

Selesaikan elemen strain dan stess.

Langkah 8 :

Interpretasi hasil.

1.5 Aplikasi metode elemen hingga

Aplikasi metode elemen hingga dapat digunakan pada analisa struktur ataupun non

struktur. Pada analisa struktur digunakan dalam tipe struktur:

truss, spring, frame, grid dan stress analysis.

Tekuk

Dynamika struktur

Sedangkan pada non struktur metode elemen hingga digunakan pada :

Heat transfer

Fluid flow

Distribution of electric or magnetic potensial

Biomechanical enginnering problem

Pada buku ini yang dibahas hanyalah metode elemen hingga pada elemen struktur.

1.6 Keunggulan dari metode elemen hingga

Dibanding dengan analisa biasa metode elemen hingga mempunyai keunggulan sbb :

1. Geometris yang irregular dihitung dengan mudah 2. Dapat menyelesaikan kondisi beban yang variasi dengan mudah 3. Memodelkan yang mempunyai material yang berbeda. 4. Dapat menyelesaikan persamaan pada elemen yang tidak terbatas dan juga jenis

dari syarat batas.

5. Dapat dibuat menjadi elemen-elemen yang paling kecil jika diperlukan 6. Setelah dibuat model maka sangat gampang diselesaikan dan mudah 7. Dapat menyelesaikan problem dinamik 8. Dapat menyelesaikan non linear material.

Pada buku ini yang dibahas hanyalah elemen satu dimensi saja yakni sbb:

a. Elemen truss (rangka bidang) b. Elemen spring c. Elemen beam (balok)

Prof Dr Ing Johannes Tarigan Sem A 2014-2015 hal 8

d. Elemen plane frame (portal bidang) e. Elemen grid (balok silang)

Dalam program perhitungan dapat digunakan M_exell, yakni dalam perhitungan Invers

Matrix ataupun perkalian matrix.