Bab 1 Pendahuluan

5/13/2018 Bab 1 Pendahuluan - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-pendahuluan-55a823b5752de 1/13

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1. UMUM

Metode Numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan

permasalahan-permasalahan yg diformulasikan secara matematik dengan

cara operasi hitungan (arithmetic).

Dilakukan operasi hitungan dalam jumlah yg banyak & berulang-ulang.

Dgn bantuan komputer maka metode numerik menjadi sangat handal.

Mampu menyelesaikan suatu sistem persamaan yg besar, tidak

linier, dan kompleks yg tidak bisa diselesaikan secara analitis.

Pada mulanya dikembangkan oleh ahli matematika. Penggunaannya sangat

luas, a.l : gerak air dan polutan pada saluran, sungai, laut.

: aliran udara

: perambatan panas, dsb.

Fenomena alam tsb telah banyak disederhanakan [mengabaikan faktor yg

tidak terlalu berpengaruh], namun tetap tidak bisa diselesaikan secara analitik.

1.2. KESALAHAN [ ERROR ]

Penyelesaian secara numerik hanya memberikan nilai

perkiraan yg mendekati nilai eksak (yg benar) dari metode analitik.

Pendahuluan – Analisis Numerik 1



Berarti ada kesalahan terhadap nilai eksak. Ada 3 macam kesalahan :

bawaan, pembulatan, dan pemotongan.

Kesalahan bawaan : kesalahan dari nilai data [ sewaktu menyalin

data, membaca skala, dsb ]

Kesalahan pembulatan : karena tidak diperhitungkannya

beberapa angka terakhir dari suatu bilangan.

Contoh : 3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14

Kesalahan pemotongan : karena tidak dilakukannya hitungan

sesuai dgn prosedur matematika yg benar.

Contoh : Proses tak terhingga diganti dengan proses hingga.

Suatu fungsi dapat dapat dipresentasikan dalam deret tak terhingga

sebagai berikut :

...........!5!4!3!2

1

5432 x x x x

xe x

+++++=

Nilai eksak ex didapat jika semua suku deret tsb diperhitungkan.

1.3. KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan, dan kesalahan :

p = p* + Ee

Keterangan : p = nilai eksak

P* = nilai perkiraan

Ee = kesalahan thd nilai eksak [Error to exact]




Kesalahan adalah perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan

Ee = p – p* (1.1)

Disebut sebagai kesalahan absolut.

Besarnya tingkat kesalahan dinyatakan dalam kesalahan relatif

[perbandingan antara kesalahan yg terjadi thd nilai eksak]

p

E ee =ε (1.2)

Pada metode numerik kita tidak tahu nilai eksaknya, maka kesalahan relatif

dinyatakan sbg kesalahan thd perkiraan terbaik dari nilai eksak.

%100* x

pa

ε ε = (1.3)

Indeks a menyatakan kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan

[approximate value].

Pada metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteratif [perkiraan

sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya]. Kesalahan relatif

menjadi:

%1001

*

*

1

* x p

p pn

nn

a +

+

−=ε (1.4)

Keterangan : =n p*

nilai perkiraan pada iterasi ke n

=+1

*

n p nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1




1.4. DERET TAYLOR

1.4.1.Persamaan deret Taylor

Deret Taylor mrpk dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode

numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di xi dan semua turunan f terhadap x

diketahui pada titik tersebut,

Maka dengan Deret Taylor dapat dinyatakan nilaif pada titik

xi +1yang

terletak pada jarak ∆x dari titik xi.

n

n

i

n

iiii Rn

x x f

x x f

x x f x f x f +

∆++

∆+

∆+=

+

!)(.....

!2)(

!1)()()(

2"'

1 (1.5)

Keterangan :

f(xi) = fungsi di titik xi

f(xi + 1) = fungsi di titik xi+1

f’, f”, f”’,f n = turunan pertama, kedua, ketiga,..…, ke n dari fungsi

∆x = jarak antara xi dan xi+1

Rn = kesalahan pemotongan

! = operator faktorial

Persamaan (1.5) yg mempunyai suku sebanyak tak terhingga akan

memberikan perkiraan nilai suatu fungsi sesuai dgn penyelesaian analitiknya.




Dalam persamaan (1.5) kesalahan pemotongan Rn diberikan oleh bentuk

berikut ini :

....)!2(

)()!1(

)(2

2

1

1 ++

∆++

∆=

+

+

+

+

n x x f

n x x f Rn

n

in

n

in (1.6)

1.Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Apabila hanya diperhitungkan satu suku pertama dari ruas kanan , maka

persamaan (1.5) dapat ditulis dalam bentuk :

)()( 1 xi f x f i ≈+(1.7)

Persamaan ini benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu yg konstan.

2.Memperhitungkan dua suku pertama (order 1)

Bentuknya dapat ditulis sebagai berikut :

!1)(')()( 1

x x f x f x f iii∆+≈

+(1.8)

Merupakan suatu garis lurus (naik atau turun).

3.Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2)

Bentuk deret Taylornya :

!2)(''

!1)(')()(

2

1

x x f

x x f x f x f iiii

∆+

∆+=

+(1.9)




Gambar 1.1. Perkiraan suatu fungsi dengan deret Taylor

1.4.2. Kesalahan pemotongan [ truncation error ]

Deret Taylor memberi perkiraan suatu fungsi dengan benar jika semua suku

deret tsb diperhitungkan.

Dalam praktek, hanya beberapa suku pertama saja yg diperhitungkan.

Truncation error , Rn :

( )1+∆=

n

n xO R


Order 1

i+1x

Order 2

Order 0

f(x)

i

y



Indeks n berarti deret yg diperhitungkan sampai pd suku ke n

Indeks n + 1 berarti kesalahan pemotongan mempunyai order n +

1.

Kesalahan pemotongan akan kecil jika :

1. Interval ∆x adalah kecil

2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor

Pada perkiraan order satu, besarnya kesalahan pemotongan adalah :

( ) ( ) ( ) ..........!3!2

3,,,

2,,2

+∆

+∆

=∆x

x f x

x f xO ii(1.10)

1.4.3. Diferensial Numerik

Digunakan utk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu

menjadi bentuk diskret.

Banyak digunakan utk menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk tersebut

dapat diturunkan berdasarkan deret Taylor.

Deret Taylor dapat ditulis dalam bentuk :

)()(')()( 2

1 xO x x f x f x f iii ∆+∆+=+

(1.11)

atau :

)()()(

)(' 1 xO x

x f x f x f

x

f iii ∆−

∆

−==

∂

∂+

(1.12)




Seperti yang ditunjukkan dalam gambar 1.2 dan persamaan (1.12) , diferensil

pertama fungsi f terhadap x di titik xi atau turunan pertama dari f di titik xi

didekati oleh kemiringan garis yang melalui titik B

(xi,f(xi)) dan titik C (xi+1, f(xi+1)).

Gambar 1.2. Perkiraan garis singgung suatu fungsi


AB

C

f(x)

mund

Garis singgu

Terp

maju

y

i - 1 i i +1



Bentuk diferensial persamaan (1.12) disebut diferensial maju order satu..

Disebut diferensial maju karena menggunakan data pd titik xi dan xi +1

untuk memperhitungkan diferensial. Jika data yg digunakan adalah di titik xi

dan xi-1 maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi :

.....!3

)('''!2

)(''!1

)(')()(32

1 +∆

−∆

+∆

−=−

x x f

x x f

x x f x f x f iiiii

(1.13)

atau :

)()(')()( 2

1 xO x x f x f x f iii ∆+∆−=−

(1.14)

)()()(

)(' 1 xO x

x f x f x f

x

f iii ∆+

∆

−==

∂

∂−

(1.15)

Bila data yg digunakan untuk memperkirakn diferensial suatu fungsi adalah

pada titik xi -1 dan xi+1 maka perkiraannya disebut diferensial terpusat. Jika

persamaan (1.6) dikurangi persamaan (1.13) di dapat :

.....!3

)(''')('2)()(3

11 +∆

+∆=−−+

x x f x x f x f x f iiii

atau :

.....6

)('''2

)()()('

2

11 x x f

x

x f x f x f

x

f i

iii

∆−

∆

−==

∂

∂−+




atau :

..........)(2

)()()(' 211

−∆+

∆

−==

∂

∂ −+ xO x

x f x f x f

x

f iii (1.16)

Pada diferensial terpusat, kesalahan pemotongan beroder ∆x2. Sedangkan

pada diferensial maju & diferensial mundur berorder ∆x..

Untuk interval ∆x kecil, nilai kesalahan pemotongan berorder 2 atau [∆x2]

adalah lebih kecil dari order 1 atau [∆x].

Perkiraan diferensial terpusat lebih teliti dibanding diferensial maju &

diferensial mundur. [ Perhatikan : kemiringan garis AC dan garis

singgung fungsi di titik xi].

Jika persamaan (1.6) dijumlahkan dgn persamaan (1.13) didapat:

..............!4)(''''2!2)(''2)(2)()(

42

11+

∆+

∆+=+

−+

x

x f

x

x f x f x f x f iiiii

atau :

........12

)('''')()(2)(

)(''2

2

11−

∆−

∆

+−=

−+x

x f x

x f x f x f x f i

iii

i

atau :

( )2

2

11

2

2

)()(2)()('' xO x

x f x f x f x f x f iii

i ∆−∆

+−==∂∂ −+ (1.17)




Kesimpulan : bentuk diferensial [biasa maupun parsiil] dapat diubah ke

dalam bentuk diferensial numerik [beda hingga].

Suatu fungsi f yg mempunyai variabel bebas x dan t misalnya, turunan

pertama & kedua dari f terhadap x dan t :

Turunan f terhadap x :

x

x f x f

x

x f x f

x

x f x f x f

x

f iiiiiii

∆

−≈

∆

−≈

∆

−≈=

∂

∂−+−+

2

)()()()()()()(' 1111

(1.18)

2

11

2

2 )()(2)()(''

x

x f x f x f x f

x

f iiii

∆

+−≈=

∂

∂−+ (1.19)

Turunan f terhadap t :

t

t f t f t f

t

f nnn

∆

−≈=

∂

∂+

)()()(' 1

(1.20)

2

11

2

2)()(2)(

)(''

t

t f t f t f t f

t

f nnnn

∆

+−≈=

∂

∂−+ (1.21)




Gambar 1.3 adalah kisi hitungan yg digunakan utk memperkirakan diferensial

parsiil fungsi f terhadap x dan t .


i - 1 i i + 1

∆x ∆x

x

t

n + 1

n

n - 1

∆t

∆t



Gambar 1.3. Kisi Hitungan


Bab 1 Pendahuluan

Documents

Transcript of Bab 1 Pendahuluan