Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

51
Bab 1 Preview dari Kalkulus: Fungsi, Limit, dan Fungsi Kontinu Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: 1. menyebutkan konsep‐konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah‐masalah yang memotivasi konsep tersebut; 2. menjelaskan sifat‐sifat bilangan real, pengertian harga mutlak, dan menyelesaikan pertaksamaan tanpa atau dengan melibatkan harga mutlak; 3. menggunakan lambang fungsi serta konsep peubah bebas dan tak bebas untuk mengungkapkan atau memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut; 4. menggambar sketsa grafik fungsi secara manual, dan memvisualisasikan grafik fungsi dengan bantuan TIK; 5. membentuk dan menginterpretasikan fungsi baru hasil operasi aljabar terhadap fungsi‐ fungsi yang diberikan; 6. mengidentifikasi fungsi‐fungsi khusus (linear, polinom, aljabar, rasional, trigonometri) 7. menaksir nilai limit menggunakan grafik fungsi, tabel, atau secara numerik dan mengenali situasi di mana limit tidak ada; 8. menggunakan aturan‐aturan menghitung limit; 9. menggunakan kosep limit untuk menentukan apakah suatu fungsi kontinu. 1.1 Apakah kalkulus itu? Kata Kalkulus berasal dari bahasa latin yang berarti batu. Pada jaman dahulu orang Romawi menggunakan batu untuk berhitung dan aritmetika, sehingga dalam pengertian yang sangat mendasar, arti kata kalkulus adalah bentuk penghitungan. Setelah aljabar yang lebih lanjut dan geometri, kalkulus adalah langkah berikutnya pada matematika yang lebih tinggi. Kalkulus digunakan untuk menyelesaikan masalah‐masalah yang kompleks yang tidak dapat diselesaikan dengan baik menggunakan matematika biasa. Teknik komputasi yang disebut dengan ‘Kalkulus’ berkaitan dengan dua masalah mendasar dalam bidang geometri yang telah diselidiki orang lebih dari 2000 tahun yang lalu, yaitu masalah garis singgung suatu kurva fungsi pada suatu titik dan masalah luas daerah di bawah suatu kurva fungsi. Masalah pertama mengarahkan kita kepada konsep turunan fungsi dan masalah kedua mengarahkan kita kepada konsep integral dari fungsi. Kedua konsep inilah yang

Transcript of Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

Page 1: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

          

Bab 1 Preview dari Kalkulus: Fungsi, Limit, dan Fungsi Kontinu   Tujuan Instruksional Khusus  Mahasiswa mampu: 1. menyebutkan konsep‐konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah‐masalah yang 

memotivasi konsep tersebut; 2. menjelaskan sifat‐sifat bilangan real, pengertian harga mutlak, dan menyelesaikan 

pertaksamaan tanpa atau dengan melibatkan harga mutlak; 3. menggunakan lambang fungsi serta konsep peubah bebas dan tak bebas untuk 

mengungkapkan atau memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut; 

4. menggambar sketsa grafik fungsi secara manual, dan memvisualisasikan grafik fungsi dengan bantuan TIK; 

5. membentuk dan menginterpretasikan fungsi baru hasil operasi aljabar terhadap fungsi‐fungsi yang diberikan; 

6. mengidentifikasi fungsi‐fungsi khusus (linear, polinom, aljabar, rasional, trigonometri) 7. menaksir nilai limit menggunakan grafik fungsi, tabel, atau secara numerik dan mengenali 

situasi di mana limit tidak ada; 8. menggunakan aturan‐aturan menghitung limit; 9. menggunakan kosep limit untuk menentukan apakah suatu fungsi kontinu.  

1.1 Apakah kalkulus itu?  Kata Kalkulus  berasal  dari  bahasa  latin  yang  berarti  batu.  Pada  jaman  dahulu  orang Romawi menggunakan  batu  untuk  berhitung  dan  aritmetika,  sehingga  dalam  pengertian  yang  sangat mendasar, arti kata kalkulus adalah bentuk penghitungan. Setelah aljabar yang  lebih lanjut dan geometri,  kalkulus  adalah  langkah  berikutnya  pada  matematika  yang  lebih  tinggi.  Kalkulus digunakan untuk menyelesaikan masalah‐masalah yang kompleks yang tidak dapat diselesaikan dengan baik menggunakan matematika biasa.   Teknik  komputasi  yang  disebut  dengan  ‘Kalkulus’  berkaitan  dengan  dua  masalah  mendasar dalam  bidang  geometri  yang  telah  diselidiki  orang  lebih  dari  2000  tahun  yang  lalu,  yaitu masalah garis singgung suatu kurva fungsi  pada suatu titik dan masalah luas daerah di bawah suatu  kurva  fungsi.  Masalah  pertama  mengarahkan  kita  kepada  konsep  turunan  fungsi  dan masalah kedua mengarahkan kita kepada konsep integral dari fungsi. Kedua konsep inilah yang 

Page 2: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

2     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

menjadi konsep yang utama dalam kalkulus, sehingga seluruh materi pembelajaran Matematika Dasar mengarah atau berpusat kepada kedua konsep ini.   Yang membedakan  kalkulus  dengan matematika  elementer  yang  telah  dipelajari  sebelumnya seperti  aljabar,  geometri,  dan  trigonometri  adalah  transisi  dari  penerapan  matematika  pada masalah statis dan diskrit ke masalah dinamis dan kontinu. Sebagai perbandingan perhatikan Tabel 1.1.  

Tabel 1.1 Perbandingan permasalahan dalam matematika elementer dengan kalkulus Matematika elementer  Kalkulus 

1. Kemiringan garis 

x

y

 

1. Kemiringan kurva

x

y

 2. Garis singgung dari lingkaran 

 

2. Garis singgung kurva

 3. Luas daerah yang dibatasi oleh segmen garis 

y

a b

 

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 

 4. Perubahan rata‐rata posisi dan kecepatan 4. Perubahan sesaat posisi dan kecepatan 5. Rata‐rata dari sejumlah berhingga bilangan 5. Rata‐rata dari sejumlah tak berhingga 

bilangan  Telah  disebutkan  sebelumnya  bahwa  ada  dua  konsep  yang  sangat mendasar  dalam  kalkulus, yaitu turunan dan integral dari suatu fungsi. Pemahaman kedua konsep ini membutuhkan suatu konsep lain yang tidak kalah penting yaitu limit fungsi.  Limit  adalah  alat  matematika  untuk  mempelajari  kecenderungan  dari  suatu  fungsi  ketika peubah  bebasnya  mendekati  suatu  nilai  tertentu.  Kalkulus  didasarkan  pada  konsep  limit. Konsep limit akan dibahas di subbab 1.8.  Turunan  didefinisikan  sebagai  limit.  Awalnya  turunan  digunakan  untuk  menghitung  tingkat perubahan  atau  kemiringan  dari  garis  singgung  suatu  kurva.  Turunan  juga  dapat  digunakan untuk  menggambar  kurva,  dan  untuk  menghitung  nilai  maksimum  dan  minimum  dari  suatu fungsi. Pengertian  turunan diberikan pada bab 2 dan aplikasi  turunan akan kita pelajari pada Bab 3.  

Page 3: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    3  

Integral  diperoleh dengan mengambil  limit  dari  penjumlahan. Kuantitas‐kuantitas  yang  dapat dihitung  dengan  menggunakan  integral  antara  lain:  luas,  volume,  panjang  kurva,  kerja,  dll. Integral diberikan pada Bab 4‐6.  Selanjutnya  pada  bagian  ini  kita  akan  mencoba  memahami  ketiga  ide  yang  penting  dalam kalkulus ini secara intuitif.  Limit: Paradoks Zeno  Zeno  adalah  salah  seorang  filsuf  Yunani  yang  terkenal  karena  paradoksnya  menyangkut perlombaan lari antara Achilles, seorang pahlawan legendaris Yunani, dengan seekor kura‐kura.  Ketika  awal  perlombaan,  kura‐kura  yang  lambat  diberi  kesempatan  untuk  mengambil  posisi start,  sebut  saja  sejauh  k0,  di  depan  Achilles  (Gambar  1.1).  Apakah  mungkin  Achilles mengalahkan kura‐kura?   

Gambar 1.1  Zeno mengatakan bahwa tepat sebelum Achilles mencapai posisi start kura‐kura (k0), kura‐kura sudah berada di posisi baru (k1). Demikian juga tepat sebelum Achilles mencapai posisi k1, kura‐kura sudah berada di posisi baru (k2). Demikian selanjutnya, sehingga dengan penalaran seperti ini, walau pun  jarak antara Achilles dengan kura‐kura akan semakin kecil, Achilles  tidak akan mampu mengalahkan kura‐kura.  Tentu  saja  dengan  pemikiran  yang  umum  kita  tahu  Achilles  akan  mengalahkan  kura‐kura. Namun yang menjadi pertanyaan adalah apa yang salah dengan penalaran di atas? Yang salah adalah kita berpikir bahwa dibutuhkan waktu yang takhingga untuk menempuh jarak berhingga yang dibagi‐bagi menjadi takberhingga interval.  Mari kita perhatikan barisan posisi‐posisi dari Achilles dan kura‐kura secara berurutan sebagai berikut:  

Achilles: a0, a1, a2, a3, … Kura‐kura: k0, k1, k2, k3, … 

 Masing‐masing  posisi‐posisi  ini  membentuk  barisan  bilangan  a0,  a1,  a2,  a3,  …,  an,  …    untuk Achilles dan k0, k1, k2, k3, …, kn, …  untuk kura‐kura dengan an < kn untuk setiap nilai n. Dengan menggunaakan limit dapat ditunjukkan bahwa kedua barisan ini mempunyai limit, yaitu posisi di mana Achilles melewati kura‐kura.  Contoh 1.1 Gambaran intuitif limit Barisan 

12,23,34,45,56,  

dapat dituliskan dengan suku umum   dengan n = 1, 2, 3, 4, 5, …. Dapatkah anda menebak limit dari barisan ini?  

Page 4: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

4     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Penyelesaian. Misalkan  limit  dari  barisan  itu  kita  sebut  L.  Nilai  L  adalah  nilai  ke  mana     semakin mendekat jika n menjadi sangat besar tanpa batas, dan ditulis 

lim∞ 1

 . Jika n semakin besar maka kita akan memperoleh barisan   

12 ,23 ,34 ,45 ,56 , ,

500501 , ,

10001001 , ,

1000010001 , . 

Kita dapat melihat bahwa barisan ini menuju ke 1.    Pada  bagian  pembahasan  tentang  limit  (Subbab  1.8)  kita  dapat  menunjukkan  bahwa  

lim∞ 1

1.  Turunan: masalah garis singgung  Pengertian  garis  singgung  pada  lingkaran  yaitu  garis  yang memotong  lingkaran  tepat  di  satu titik  (Gambar  1.2a),  tidak  benar  untuk  kurva.  Karena  terdapat  banyak  garis  yang memotong kurva tepat di satu titik (Gambar 1.2b).  

                 

 (a)  (b)

Gambar 1.2  Untuk  mencari  garis  singgung  suatu  kurva  dimulai  dengan  mempertimbangkan  garis  yang menghubungkan dua titik P dan Q pada kurva (Gambar 1.3a). Jika koordinat dari titik P adalah , dan Q adalah  , , maka kemiringan garis PQ adalah 

. Sekarang misalkan Q diambil semakin dekat ke P, dengan perkataan lain h semakin kecil, maka garis PQ akan semakin mendekati garis singgung kurva di P (Gambar 1.3b).  

(a)

 

 (b)

Gambar 1.3  Kita kembali akan menggunakan limit. Ketika garis PQ semakin mendekati garis singgung kurva di P, berarti nilai h semakin kecil dan mendekati 0, sehingga kita akan menggunakan notasi  

Page 5: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1 

untuk Pada di titi

 Integ Kita s

Rumusebelterhasisi, bMisal      Deng

 

Ide  ycontomengdaera 

 Prose 

1. PREVIEW D

k mendefisik

pembahasanik c didefinis

gral: masala

semua menge

us  ini  sudahum  masehi adap  luas pobujur sangkarlkan  L3 menyatL4 menyatL5 menyat Ln menyat

an menggun

yang  sama  juoh,  mencari ggunakan  peah dapat diap

es ini ditunju

(a) 

DARI KALKULU

kan turunan. 

n tentang turikan sebagai

ah luas 

etahui rumu

h  digunakan Archimedesligon.  Perhar, dan seteru

takan luas datakan luas datakan luas da

takan luas da

akan notasi l

uga  digunakaluas  daerah

ersegi  panjanproksimasi d

ukkan pada G

 

US

runan (Bab 2i  

s luas lingka

sejak  sekitas  menunjukktikan poligousnya. 

ari segi tigaari segi empaari segi lima

ari segi n 

limit, maka l

an  untuk meh  pada  Gamng.  Jika  Ln  mdengan  

Gambar 1.5b 

 

2) akan kita p

ran dengan j 

ar  5.000  tahkan  cara  men‐poligon pa

at 

uas lingkara

Gambar 1.4

encari  luas  dmbar  1.5a.  Kmenyatakan  l

dan 1.5c.  

(b) Gambar 1.5

 

pelajari bahw

 

jari‐jari r ada

un  yang  laluemperoleh  ruada Gambar 

n adalah  

daerah  yangita  dapat  mluas  dari  pe

 

 

wa turunan d

alah 

u,  namun  paumus  ini  m1.4, mulai  d

g  dibatasi  olemengaproksimrsegipanjang

dari suatu fu

ada  tahun  20enggunakan dari  segitiga 

 

eh  kurva.  Semasi  luas  deg  ke‐n,  maka

(c)  

ungsi f 

00‐an limit sama 

ebagai engan a  luas 

Page 6: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

6     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Masalah luas ini membawa kita ke suatu proses yang disebut pengintegralan. Pada Bab 4 akan ditunjukkan  bahwa  integral  adalh  limit  dari  suatu  penjumlahan.  Penalaran  yang  sama  juga memungkinkan  kita  untuk  menghitung  berbagai  hal  lain  seperti  volume  benda  atau  ruang tertutup, panjang kurva, kerja yang dibutuhkan untuk suatu tugas, dan lain‐lain.   Latihan 1.1. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 1.5 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New 

Jersey, 2002.   1.2   Pendahuluan: bilangan real dan nilai mutlak  Konsep‐konsep  di  dalam Matematika  Dasar  banyak  berhubungan  dengan  bilangan  real  dan sifat‐sifatnya. Oleh karena  itu pembahasan  selanjutnya  akan diawali  dengan sistem bilangan real. 

1.2.1 Sistem Bilangan Real  Bilangan real adalah bilangan yang dapat diekspresikan sebagai desimal, seperti: 

12

0,5000… 13

0,3333… 

√2 0,4142…  Titik‐titik … menyatakan barisan bilangan dijit desimal terus menerus.  Secara  geometri  bilangan  real  dapat  direpresentaikan  dengan  titik  pada  garis  bilangan  yang disebut garis real.   

 Gambar 1.6

Himpunan  bilangan  real  yang  dilengkapi  dengan  sifat‐sifat  bilangan  disebut  sistem bilangan real. Simbol R digunakan untuk menyatakan sistem bilangan real.   Sifat­sifat Bilangan Real 

Sifat­sifat bilangan real dibagi menjadi:  Sifat aljabar  Sifat urutan  Sifat kelengkapan 

 Sifat aljabar  Sifat‐sifat  aljabar  menyatakan  bahwa  2  bilangan  real  dapat  ditambahkan,  dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan nol) untuk memperoleh bilangan real yang baru.    

Page 7: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    7  

Sifat urutan  Bilangan real yang tidak nol secara rapi terbagi dalam dua himpunan yaitu bilangan positif dan bilangan negatif. Fakta ini memungkinkan kita memperkenalkan relasi urutan < dengan 

x < y ⇔ y – x  positif. Relasi lain yang berhubungan dengan < adalah ≤, yang didefinisikan sebagai  

x ≤ y ⇔ y – x  positif atau nol.  Dengan  mengatakan  x  <  y  berarti  posisi  x  berada  di  sebelah  kiri  y  pada  garis  bilangan  real (Gambar 1.7).  

 Gambar 1.7

Sifat Urutan 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan real, maka tepat satu dari yang berikut ini dipenuhi: 

x < y  atau  x = y   atau  x > y. 2. Transitif. x < y dan y < z ⇒ x < z. 3. Penjumlahan. x < y ⇔ x + z < y + z.  4. Perkalian. Untuk z bilangan positif, x < y ⇒ xz < yz.  Untuk z bilangan negatif, x < y ⇒ xz > yz. 5. Kebalikan. x > 0 ⇒  0 dan x > 0, y > 0, x < y ⇒  . Sifat‐sifat di atas tetap berlaku jika simbol < dan > diganti dengan ≤ dan ≥.  Sifat kelengkapan  Sifat  kelengkapan  sistim  bilangan  real  lebih  sulit  untuk  didefinisikan  secara  tepat.  Secara sederhana  dapat  dikatakan  bahwa  terdapat  cukup  banyak  bilangan‐bilangan  real  untuk ’memenuhi’ garis bilangan real, dalam pengertian tidak ada setitik pun celah di antaranya.  Contoh 1.5. Nyatakanlah  masing­masing pernyataan berikut benar atau salah! 

a. 2 < – 5      b.  2 < 3     c.    

Penyelesaian. a. Pernyataan 2 < ‐ 5 tidak benar karena ‐5 – 2 = ‐7 bukan positif. b. Pernyataan 2 < 3 adalah benar karena 3 – 2 = 1 positif. c. Pernyataan   adalah benar karena 5 < 7.   

 Terdapat 3 himpunan bilangan yang khusus dari bilangan real, yaitu: 

1. Himpunan bilangan asli N, seperti 1, 2, 3, … 2. Himpunan bilangan bulat Z, seperti 0, ±1, ±2, ±3, …  3. Himpunan  bilangan  rasional  Q,  yaitu  bilangan  yang  dapat  dinyatakan  sebagai 

pembagian  ⁄  dengan p dan q adalah bilangan bulat, dan q ≠ 0. Contohnya: ,   ,   , dan   . 

 Bilangan  real  yang  bukan  bilangan  rasional  disebut  bilangan  irasional.  Bilangan  rasional memiliki  seluruh  sifat  aljabar  dan  urutan  dari  bilangan  real,  akan  tetapi  tidak memiliki  sifat kelengkapan  bilangan  real.  Hubungan  antara  himpunan  bilangan  asli,  bulat,  rasional  dan  real diilustrasikan pada Gambar 1.8.   

Page 8: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

8     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Mencari penyelesaian dari suatu persamaan, seperti 5x – 10 = 0 atau x2  –  3x  –  2  =  0  sangat  sering  ditemukan  pada  matematika  tingkat dasar.  Anda  tentu  sudah  mengetahui  bagaimana  cara  mencari penyelesaian dari suatu persamaan seperti itu. Pada kalkulus, masalah yang  ditemukan  lebih  sering  mencari  penyelesaian  dari  suatu ketaksamaan, seperti 5x – 10 ≤ 0 atau x2 – 3x – 2 ≥ 0. Menyelesaikan ketaksamaan adalah mencari himpunan bilangan real yang membuat ketaksamaan  itu  benar.  Berbeda  dengan  penyelesaian  dari  suatu 

persamaan  yang  biasanya  merupakan  satu  bilangan  atau  sejumlah  berhingga  bilangan, penyelesaian dari ketaksamaan biasanya merupakan suatu interval bilangan atau gabungan dari interval bilangan.  Interval Bilangan Real 

Berbagai  jenis  interval  akan  muncul  ketika  kita  mencoba  menyelesaikan  berbagai  masalah dalam  kalkulus.  Karena  itu  anda  perlu  mengetahui  terminologi  dan  notasi  untuk  interval terlebih dahulu (Tabel 1.1).  Ketaksamaan a < x < b sebenarnya merupakan gabungan dari dua ketaksamaan a < x dan x < b, yang menyatakan interval buka yang terdiri dari semua bilangan yang terletak antara a dan b dan tidak termasuk a dan b. Interval ini dinyatakan dengan simbol (a, b). Selanjutnya, ketaksamaan a ≤ x ≤ b menyatakan interval tutup yang menyertakan a dan b.  Interval ini dinyatakan dengan simbol [a, b]. Pada Tabel 1.2 diberikan berbagai variasi yang mungkin dari interval, dan notasinya. 

Tabel 1.2 Berbagai variasi interval Notasi Himpunan 

Notasi Interval 

Grafik 

{x : a < x < b}  (a, b)

{x : a < x ≤ b}  (a, b]

{x : a ≤ x < b}  [a, b)

{x : a ≤ x ≤ b}  [a, b]

{x : x < b}  (‐∞, b) 

{x : x ≤ b}  (‐∞, b] 

{x : x > a}  (a, ∞) 

{x : x ≥ a}  [a, ∞) 

  (‐∞, ∞) 

1.2.2 Menyelesaikan Ketaksamaan  Seperti pada persamaan, prosedur penyelesaian dari ketaksamaan terdiri dari langkah‐langkah transformasi satu langkah pada satu waktu, hingga himpunan penyelesaian terlihat nyata. Kita 

 Gambar 1.8 

Page 9: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    9  

dapat  melakukan  operasi‐operasi  tertentu  pada  kedua  sisi  ketaksamaan  tanpa  mengubah himpunan penyelesaiannya. Secara khusus,  1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua sisi dari ketaksamaan.  2. Kita dapat mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua sisi dari ketaksamaan. 3. Kita dapat mengalikan bilangan negatif  yang sama pada kedua sisi dari ketaksamaan, akan 

tetapi kita harus mengubah tanda ketaksamaan.  Contoh 1.2  Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan  

a. 5x – 3 ≤ 3x – 7.        b. 5x – 3 > 3x – 7.    Penyelesaian. 

a. 5x – 3 ≤ 3x – 7 5x  ≤ 3x – 4    (menambahkan 3) 2x  ≤  – 4    (menambahkan –3x) x  ≤  – 2     (mengalikan dengan ½ ) Himpunan penyelesaian adalah {x : x  ≤  – 2} atau (‐∞,– 2] 

 b. 5x – 3 > 3x – 7. 

Himpunan  penyelesaian  dari  b  adalah  himpunan  bilangan  real  yang  tidak  termasuk dalam himpunan penyelesaian dari a, yaitu {x : x  > – 2} atau (–2, ∞).   

 Himpunan penyelesaian ini juga dapat ditunjukkan dalam grafik pada Gambar 1.9. Pada Gambar tersebut diberikan kurva dari y1 = 5x – 3 dan y2 =3x – 7. Penyelesaian dari 5x – 3 ≤ 3x – 7 adalah nilai‐nilai x ketika kurva y1 berada di bawah atau sama dengan kurva y2 (yang diberi tanda pada sumbu  x  pada  Gambar  1.9a).  Sedangkan  penyelesaian  dari  b  adalah  yang  sebaliknya  (yang diberi tanda pada sumbu x (Gambar 1.9b).  

(a) (b)

Gambar 1.9 Contoh 1.3  Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan (x – 1)2 < 4.  Penyelesaian. (x – 1)2 < 4 x2 –  2x + 1 < 4      (mengkuadratkan) x2 –  2x – 3 < 0      (menambahkan –4)     (x + 1) (x – 3) < 0    (memfaktorkan)  Dapat  kita  lihat  bahwa  ‐1  dan  3  adalah  merupakan  titik‐titik pemisah  yang  membagi  garis bilangan real menjadi 3 interval yaitu (‐∞, ‐1), (1, 3), dan (3, ∞). Pada setiap interval ini (x + 1) (x – 3) mempunyai tepat satu tanda yaitu selalu positif atau selalu negatif. Untuk mengetahuinya, 

Page 10: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

10     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

kita  dapat  menggunakan  titik  uji,  yaitu  sembarang  bilangan  yang  berada  pada  interval, milsalkan  ‐2,  0,  dan  4.  Hasilnya  terlihat  pada  Gambar  1.10  Dapat  disimpulkan  himpunan penyelesaian dari ketaksamaan di atas adalah {x : 1 < x  <  3} atau (1, 3).   

 (a) (b)

Gambar 1.10

Selain menggunakan titik uji, kita juga dapat menggunakan tabel (Tabel 1.3).  Tabel 1.2 Tanda +/- dari interval

Dari  tabel  diperoleh  hasil  yang  sama,  yaitu penyelesaiannya adalah  1, 3 .    

Contoh 1.4 Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan  .  Penyelesaian. 

2  

2 0      (menambahkan –2) 

0    (menyamakan penyebut) 

0        Titik‐titik pemisah adalah –10 dan –4, dengan x ≠ –4  (pembagian dengan 0). Dengan menguji pada garis bilangan (Gambar 1.11a) diperoleh penyelesaian adalah {x : –10  ≤ x  ≤  –4} atau [–10, –4). Penyelesaian ini dapat dilihat pada grafik Gambar 1.11b.      

(a) (b)

Gambar 1.11

  Tanda Interval     ∞,   –   –    + ( 1, 3 )  +   –   –  ,∞   +  +  + 

Page 11: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    11  

Contoh 1.5 Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan (x – 1) (x + 2) (x – 5)2 > 0.   Penyelesaian. Titik‐titik  pemisah  adalah  1,  ‐2,  dan  5,  dan  dengan menguji  pada  garis  bilagan (Gambar 1.12a) diperoleh penyelesaian {x :   x < ‐2 ∪   x < 1} atau (‐∞, ‐2) ∪ (1, ∞). Hal ini juga ditunjukkan pada grafik (Gambar 1.12b)     

(a)

(b)

Gambar 1.12

TIK.  Penyelesaian  dari  ketaksamaan  dapat  dicari  dengan  menggunakan  perangkat lunak Maple, menggunakan perintah solve. Perintahnya adalah:  >solve(eqn, var) dengan eqn - persamaan atau ketaksamaan yang ingin dicari penyelesaiannya. var - peubah terhadap apa kita ingin menyelesaikan persamaan tersebut/ketaksamaan tersebut.  

1.2.3 Nilai Mutlak 

Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, sehingga anda perlu  memiliki  keterampilan  yang  berhubungan  dengan  nilai mutlak.  Nilai  mutlak  dari  suatu  bilangan  real  x  didefinisikan sebagai: 

| | jika  0jika  0 

Sebagai  contoh  |2|  =  2  dan  |‐5|  =  ‐(‐5)  =  5.  Adalah  tidak  benar  mengatakan  bahwa  |‐x|  =  x (mengapa?).  Adalah  benar  bahwa  |x|  selalu  non‐positif  dan  |‐x|  =  |x|.  Nilai  mutlak  dapat dipandang sebagai jarak tidak berarah. Nilai |x| adalah jarak antara x dengan titik asal, dan |x – a| adalah jarak antara x dengan a (Gambar 1.13). 

Sifat­sifat nilai mutlak yang penting  

1. |ab| = |a||b|2. | |

| | 3. |a + b| ≤ |a| + |b|    (Ketaksamaan segitiga) 4. |a ‐ b| ≥ |a| ‐ |b| 

Ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak5. |x| < a    jika dan hanya jika ‐ a < x < a  6. |x| > a    jika dan hanya jika x > a atau x < ‐a 

Nilai mutlak dan kuadrat7. |x|2 = x2 dan |x| = √  8. |x| < |y| ⇔ x2 < y2 

 

Gambar 1.13

Page 12: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

12     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Contoh 1.6  Carilah penyelesaian dari persamaan/ketaksamaan 

a. |2x – 5| = 9 b. |2x – 5| < 9 c. |2x – 5| > 9 

 Penyelesaian. a. Jika |2x – 5| = 9 maka terdapat 2 kemungkinan yaitu 2x – 5 = 9 atau 2x – 5 = ‐ 9 

1. 2x – 5 = 9 2x = 14 maka x = 7. 

 2. 2x – 5 = – 9 2x = –4 maka x = –2. 

Jadi penyelesaian dari persamaan |2x – 5| = 9 adalah x = 7 atau x = –2.  b. |2x – 5| < 9 

‐9 < 2x – 5 < 9    (sifat 5) ‐4 < 2x < 14    (menambahkan 5) 

  ‐2 < x < 7      (mengalikan dengan ½ ) Jadi penyelesaian dari |2x – 5| < 9 adalah {x : ‐2 < x < 7} atau (‐2, 7).  

c. |2x – 5| > 9 2x – 5 < ‐9  atau   2x – 5 > 9    (sifat 6) 2x < ‐4  atau   2x > 14     (menambahkan 5) x < ‐2  atau   x > 7      (mengalikan dengan ½ ) Jadi  penyelesaian dari  |2x  –  5|  >  9  adalah  {x  :  x  <  ‐2  atau  x  >  7}  atau  dapat  ditulis  dalam 

bentuk interval (‐∞, ‐2) atau (7, ∞).   

Perhatikan  bahwa  gabungan  dari  himpunan  penyelesaian  dari  a,  b,  dan  c  adalah  himpunan bilangan real secara keseluruhan. Hal ini dapat diilustrasikan dengan grafik pada Gambar 1.14  

 Gambar 1.14

Contoh 1.7 Carilah penyelesaian dari |5 –  | > 1.  Penyelesaian. 

|5 –  | > 1 

5 –  1 atau 5 –   > 1    (sifat 6) 

 –   6 0 atau 4 –    > 0     

0 atau  0  

0 atau  0  

Titik‐ titik pemisah adalah  , 0,   .  

Page 13: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    13  

Dengan mengambil titik penguji diperoleh himpunan penyelesaian dari |5 –  | > 1 adalah    

{x : x < 0, 0 < x <  , atau x >  } (Gambar 1.15)     

(a)

(b)

Gambar 1.15

Contoh 1.8 Carilah penyelesaian dari |x – 1| < 2|x – 3|.  Penyelesaian. 

|x – 1| < 2|x – 3| (x – 1)2 < (2x – 6)2 x2 – 2x + 1 < 4x2 – 24x + 36 3x2 – 22x + 35 > 0 (3x – 7)(x – 5) > 0 

Titik‐titik pemisah adalah  , 5.  Dengan mengambil titik‐titik penguji 0, 3, 6 diperoleh himpunan 

penyelesaian dari  |x – 1| < 2|x – 3| adalah {x :   atau x > 5}(Gambar 1.16).    

(a) (b)

Gambar 1.16  Contoh 1.9 Jika ε  adalah suatu bilangan positif, carilah bilangan positif δ  sehingga |x – 2| < δ ⇒ |7x – 14| < ε.  Penyelesaian. |7x – 14| < ε   ⇔ |7(x – 2)| < ε     ⇔ 7| (x – 2)| < ε     ⇔ |(x – 2)| < ε/7. Jadi kita dapat mengambil δ = ε/7 sehingga |x – 2| < δ ⇒ |x – 2| < ε/7  ⇒ |7x – 14| < ε.     

Page 14: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

14     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Catatan: Notasi akar Untuk setiap bilangan real positif a, persamaan   mempunyai dua akar real yaitu √  dan √  atau  kadang  ditulis  dengan  √ .  Namun  untuk  a  ≥  0,  simbol √  menyatakan  akar 

positif  dari  a.  Persamaan  4    mempunyai  dua  akar  yaitu  2 ,  tetapi  √4 merepresentasikan hanya satu bilangan, yaitu 2.   TIK. Penyelesaian dari persamaan atau ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak  juga dapat dicari dengan menggunakan perangkat lunak Maple, menggunakan perintah solve seperti pada persamaan atau ketaksamaan tanpa nilai mutlak. Pada Maple fungsi yang mengembalikan nilai mulak dari x dinyatakan dengan >abs(x);  Latihan 1.2. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 1.1 dan 1.4 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004. • Subbab 0.1 dan 0.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.  1.3    Fungsi dan pemodelan matematika   Umumnya  penerapan  kalkulus  melibatkan  penggunaan  bilangan  real  atau  peubah  yang menggambarkan perubahan kuantitas. Salah satu kunci untuk menganalisa suatu situasi secara matematik adalah pengenalan akan hubungan‐hubungan antara peubah yang menggambarkan situasi  yang  sedang  dianalisa.  Sebagai  contoh,  dalam  kehidupan  sehari‐hari  kita  mengetahui bahwa suhu air mendidih  tergantung dari ketinggian  tempat dari  permukaan  laut. Bunga dari deposito  tergantung  dari  lamanya waktu  deposito.  Pada  setiap  kasus  di  atas  nilai  dari  suatu peubah,  kita  sebut y,  tergantung pada peubah  yang  lain,  kita  sebut  x. Dalam hal  tersebut  kita katakan y adalah fungsi dari x. Bagaimanakah definisi fungsi secara matematis? 

1.3.1 Pengertian Fungsi  Fungsi merupakan  salah  satu  konsep  yang  paling mendasar  dalam matematika  dan memiliki peran yang sangat penting dalam kalkulus.  Definisi  1.1  Suatu  fungsi  f  adalah  suatu  aturan  korespondensi  yang mengasosiasikan  untuk setiap obyek x pada himpunan pertama, disebut daerah asal, tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan semua nilai yang diperoleh secara demikian disebut jangkauan dari fungsi.  Ilustasi dari definisi ini diberikan pada Gambar 1.17  

Fungsi  dapat  dipikirkan  sebagai  mesin  yang  mengambil masukan x dan menghasilkan keluaran f(x) (Gambar 1.18).  

 Gambar 1.18 

Definisi ini tidak memberi batasan terhadap himpunan daerah  Gambar 1.17 

Page 15: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    15  

asal  dan  jangkauan.    Himpunan  daerah  asal  dan  jangkauan  dapat  berupa  himpunan  apa  saja selama  dapat  dibuat  aturan  yang  menghubungkan  tepat  satu  anggota  himpunan  jangkauan untuk setiap anggota himpunan daerah asal. Sebagai contoh jika daerah asal adalah himpunan orang dan jangkauan adalah himpunan usia, maka hubungan usia dari seseorang adalah fungsi, karena setiap orang memiliki tepat satu usia pada suatu waktu. Demikian juga jika daerah asal adalah himpunan mahasiswa dan jangkauan adalah himpunan nomor pokok mahasiswa, maka hubungan  nomor  pokok  dari  seorang  mahasiswa  adalah  fungsi,  karena  setiap  mahasiswa memiliki tepat satu nomor pokok mahasiswa.  Fungsi  dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk,  yaitu  secara verbal dengan kata‐kata, diagram, skema,  tabel, himpunan pasangan terurut setiap anggota daerah asal dan  jangkauan, persamaan matematika, dan grafik.   Sebagai  contoh  fungsi  f  memetakan  bilangan  bulat  positif  yang  kurang  dari  lima  ke  bilangan kuadratnya,  merupakan  representasi  verbal  dari  fungsi  yang  secara  diagram  diberikan  pada Gambar  1.19a,  skema  diberikan  pada  Gambar  1.19b,  tabel  diberikan  pada  Tabel  1.4  dalam pasangan terurut ditulis sebagai, 

1, 1 , 2, 4 , 3, 9 , 4, 16 , secara persamaan matematika ditulis sebagai, 

,      | 5 . dan secara grafik diberikan pada Gambar 1.20.   

 (a) 

 (b) 

Gambar 1.19  

Tabel 1.3    

      

x  1  2  3  4f(x)  1  4  9  16

 Gambar 1.20 

Dalam  kalkulus,  umumnya  fungsi  yang  kita  bicarakan  adalah  fungsi  yang  daerah  asal  dan jangkauannya  adalah  bilangan  real  atau  himpunan  bagian  dari  bilangan  real,  dan  itulah  yang akan kita bahas lebih lanjut.  Suatu huruf f atau F digunakan sebagai nama fungsi, sehingga f(x) dibaca sebagai ‘f dari x’ atau ‘f pada x’ dan menyatakan nilai yang diberikan f kepada x. Jadi jika  2, maka 

2 2 2 2 4 2 

2.  Jika fungsi f dinyatakan sebagai 

Page 16: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

16     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

, maka peubah x disebut peubah bebas, karena x dapat diberi sembarang nilai dari daerah asal. Peubah  y disebut peubah terikat, karena nilainya tergantung pada nilai x.  Contoh 1.10 Diberikan fungsi f yang didefinisikan oleh  3 1 Carilah:  

a. f(2)  b. f(x) + f(2)  c. f(­x)           d. – f(x)      e. f(x+2)  f.  , 0.  Penyelesaian. 

a. Substitusikan 2 ke x pada persamaan f untuk mendapatkan 2   2 3 2 1 4 6 1 1 

b. 2   3 1 1 3  c. Substitusikan –x ke x pada persamaan f untuk mendapatkan 

  3 1 3 1 d. 3 1 3 1 e. Substitusikan x+2 ke x pada persamaan f untuk mendapatkan 

2   2 3 2 1 4 4 3 6 1 1 f.  

2 3 3 1 3 1 

2 3 

2 3 

2 3  

Perlu diperhatikan bahwa pada contoh ini  2 2  dan  .    Tidak  semua  persamaan  yang  melibatkan  peubah  bebas x  dan  peubah  terikat  y  merupakan fungsi, seperti diberikan pada contoh berikut.  Contoh 1.11 Periksa apakah persamaan  4 merupakan fungsi.  Penyelesaian. Salah satu cara untuk mengetahui apakah persamaan tersebut merupakan fungsi atau tidak, adalah dengan mencari penyelesaian persamaan tersebut terhadap y 

4  4  

Untuk  setiap  nilai  x  antara  ‐2  sampai  2,  terdapat  dua  nilai  untuk  y.  Artinya  persamaan 4 tidak mendefinisikan fungsi.     

 Seperti  telah  dijelaskan  dalam  definisi,  fungsi  merupakan  aturan  korespondensi  yang melibatkan dua himpunan, yaitu daerah asal dan jangkauan. Daerah asal adalah himpunan nilai‐nilai yang telah ditentukan untuk peubah bebas x, sedangkan jangkauan adalah himpunan nilai‐nilai peubah terikat y ketika peubah bebas x diberi nilai dari daerah asal yang telah ditentukan.   Seringkali daerah asal dan  jangkauan dari suatu  fungsi  f  tidak diberikan secara eksplisit, yang diberikan  hanyalah  persamaan  yang mendefinikan  fungsi  f  tersebut.  Dalam  kasus  seperti  ini, daerah  asal  f  adalah  himpunan  bilangan  real  terbesar  yang  mungkin  sehingga  nilai  f(x)  juga merupakan bilangan real (Gambar 1.21). 

Page 17: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    17  

 Gambar 1.21 

Contoh 1.12 Carilah daerah asal dari fungsi­fungsi berikut: a. 5      b.       c.  √4  

 Penyelesaian. 

a. Fungsi  f meminta kita memangkatkan suatu bilangan dan menambahkan  lima  ke hasil pemangkatan tersebut.  Operasi ini selalu dapat kita lakukan untuk setiap bilangan real. Karena itu daerah asal dari f adalah himpunan bilangan real. 

b. Kita  harus  mengeluarkan  2  dari  daerah  asal,  karena  ketika  x =  2,  terjadi  pembagian dengan nol pada g(x). Sehingga daerah asal dari g adalah  : 2 .  

c. Karena penarikan akar untuk bilangan negatif  tidak menghasilkan bilangan real, maka kita harus menghindarinya.   Dalam hal  ini kita harus mengambil   4 0, sehingga daerah asal dari h adalah  : 2 2  atau dalam notasi interval [2, 2].   

 Eksplorasi.  Cobalah cari daerah asal dari berbagai  fungsi  yang dapat  anda  temukan di buku‐buku  referensi  yang  diberikan.  Simpulkanlah  ciri‐ciri  bilangan  yang  harus  dikeluarkan  dari daerah asal. 

1.3.2 Pemodelan Matematika  Dalam mempelajari masalah‐masalah terapan, seringkali kita perlu mendefinisikan fungsi yang menggambarkan situasi geometris atau fisik dari masalah. Pendefinisian fungsi  ini merupakan bagian dari pemodelan matematika. Umumnya pemodelan masalah aplikasi secara matematika dapat kita lakukan dalam 3 langkah:  Gambarkan  diagram  yang  mengilustrasikan  masalah  (jika  memungkinkan)  dan  lengkapi dengan data‐data yang diketahui  Definisikan peubah yang terlibat. Modelkan fungsi yang menghubungkan peubah‐peubah yang ada.  Contoh 1.13 Keliling suatu segitiga sama sisi adalah k. Nyatakan luas segitiga tersebut dalam k.  Penyelesaian.  Gambarkan  diagram  yang  mengilustrasikan  masalah.  Ilustrasi  dari  masalah  diberikan  pada Gambar 1.22.  

Definisikan peubah yang terlibat. Misalkan s menyatakan sisi segitiga  t menyatakan tinggi segitiga L menyatakan luas segitiga  Modelkan  fungsi  yang  menghubungkan  peubah‐peubah  yang  ada. Karena segitiga itu sama sisi dan kelilingnya k, maka  . 

   Gambar 1.22 

Page 18: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

18     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

4 2√3

6 √3. 

12

12 3 6 √

336√

3 .       Contoh  1.14  Jumlah  dari  dua  bilangan  real  adalah  100. Nyatakanlah  bilangan  kedua  dalam bilangan pertama.  Penyelesaian. Gambarkan  diagram  yang  mengilustrasikan  masalah.  Dalam  kasus  ini  kita  tidak  perlu menggambarkan ilustrasi dari masalah.  Definisikan peubah. Misalkan  

x menyatakan bilangan pertama dan  y menyatakan bilangan kedua 

 Modelkan.  100 atau  100 .    Contoh  1.15  Anda  ingin  membangun  kandang  berbentuk  persegi  panjang  untuk  binatang peliharaan anda. Untuk menghemat biaya, anda akan menggunakan dinding yang ada  sebagai salah  satu  sisi  dari  kandang.  Biaya  untuk membangun  sisi  kandang  (dengan  tinggi  tertentu) adalah Rp.50.000,­ per meter dan untuk memperbaharui cat dinding yang ada dibutuhkan biaya Rp.15.000,­ per meter.   Jika anda mempunyai uang Rp.400.000,­ untuk membangun kandang  itu, carilah ukuran kandang dengan luas maksimum yang dapat dibangun.  Penyelesaian. Gambarkan. Ilustrasi dari masalah diberikan pada Gambar 1.23  Definisikan peubah. Misalkan  

 Gambar 1.23 

 

 x menyatakan sisi yang sejajar dengan dinding yang ada  y menyatakan sisi yang lain L menyatakan luas kandang tersebut  Modelkan  fungsi  yang  menghubungkan  peubah‐peubah  yang ada. Luas kandang   Dari gambar dan informasi biaya diperoleh hubungan 

50.000 50.000 50.000 15.000 400.000 atau 

100.000 65.000 400.000 400 65

100  Sehingga 

400 65100

400 65100 .         

Nilai L yang akan dimaksimumkan. Sampai tahap ini kita baru membuat model matematika dari masalah. Cara mencari nilai x agar L maksimum akan dipelajari pada Bab 3 nanti.     

Page 19: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    19  

TIK. Pada Maple fungsi f yang memetakan x ke f(x) didefinisikan dengan > f:= x‐>f(x); Dengan pendefinisian ini, jika kita mengevaluasi > f(2); Akan memberikan nilai f(x) untuk x = 2.  Latihan 1.3. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.1dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, 

Jakarta, 2004. • Subbab 1.2 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New 

Jersey, 2002. • Subbab 0.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education 

International, New Jersey, 2007.   1.4    Fungsi dan grafiknya  Pada  subab  sebelumnya  telah  disinggung  bahwa  salah  satu  cara  merepresentasikan  fungsi adalah  dengan  grafik.  Pada  subbab  1.2  kita  juga  telah  menggunakan  grafik  untuk mengilustrasikan  penyelesaian  dari  suatu  persamaan  dan  ketaksamaan.  Pada  pendidikan sebelumnya,  anda  juga  telah  mempelajari  grafik  fungsi.  Grafik  dapat  digunakan  untuk merepresentasikan fungsi jika daerah asal dan jangkauannya merupakan himpunan bagian dari himpunan  bilangan  real.  Pada  bagian  ini  kita  akan  mempelajari  kembali  cara  menggambar grafik dari suatu fungsi. Grafik dari fungsi f(x) adalah grafik dari persamaan y = f(x).  Langkah­langkah menggambar grafik fungsi:

Tentukan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan.  Plot titik‐titik tersebut pada sistem koordinat. Hubungkan titik‐titik tersebut dengan kurva mulus.  Contoh 1.16  Gambarkan grafik fungsi  2 3.  Penyelesaian. Tiga  langkah dalam menggambar  grafik  fungsi  f(x)  diberikan pada Gambar  1.24     

2 3 x  y ‐3  ‐3 ‐2  ‐1 ‐1  1 0  3 1  5 2  7 3  9 

 

Tentukan beberapa titik  Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut dengan kurva mulus 

Gambar 1.24 

 

Page 20: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

20     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 

Fungsi  seperti  f  pada  contoh  1.16  disebut  fungsi  linear.  Gafiknya berbentuk garis. Bentuk umum dari fungsi linear adalah 

 dengan m dan c adalah bilangan real dan m menyatakan kemiringan dari  garis.  Jika  c =  0  maka  grafik  melalui  titik  pusat  (0,  0).  Pada Gambar 1.25 diberikan grafik dari fungsi   untuk berbagai nilai m.  

   

Contoh 1.17  Gambarkan grafik fungsi  .  Penyelesaian. Tiga langkah dalam menggambar grafik fungsi g(x) diberikan pada Gambar 1.26.   

  

x  y ‐3  9 ‐2  4 ‐1  1 0  0 1  1 2  4 3  9 

   Tentukan beberapa 

titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut 

dengan kurva mulus Gambar 1.26 

 Fungsi  seperti  g  pada  contoh  1.17  disebut  fungsi kuadratik.  Gafiknya  berbentuk  parabola.  Bentuk  umum dari fungsi kuadratik adalah  

  dengan a, b, dan c adalah bilangan real dan  0. Jika a > 0  maka parabola terbuka ke atas, dan jika  0 parabola terbuka ke bawah. Pada Gambar 1.27 diberikan grafik dari fungsi   untuk berbagai nilai a.  

 Menentukan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan dapat dilakukan secara sembarang  dengan  menentukan  nilai  x  terlebih  dahulu  dan  kemudian  mencari  nilai  y  yang bersesuaian.  Namun  dengan  pemilihan  sembarang  titik  seperti  ini,  jika  salah  pilih,  bisa  jadi grafik  yang  kita  peroleh  tidak  merepresentasikan  bagian  yang  menarik  dari  fungsi  yang grafiknya  sedang  kita  gambar.  Bahkan  grafik  bisa  sama  sekali  tidak  merepresentasikan fungsinya. Misalnya, jika kita menentukan nilai x yang positif saja atau negatif saja pada Contoh 1.17,  bisa  jadi  kita  akan  menggambar  garis  lurus  untuk  merepresentasikan  fungsi  tersebut.   Karena  itu,  penentuan  beberapa  titik  yang  memenuhi  persamaan  ini  dapat  dimulai  dengan mencari  perpotongan  grafik  dengan  garis  sumbu,  dan  titik  perpotongan  ini  juga  dapat mengarahkan kita untuk memilih titik yang lain.  

 Gambar 1.27 

Gambar 1.25

Page 21: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    21  

 Contoh 1.18  Gambarkan grafik fungsi  .  Penyelesaian. Pertama‐tama kita akan mencari perpotongan persamaan   dengan dengan garis sumbu. Perpotongan dengan sumbu‐x, berarti  0 dan  0 0 diperoleh titik (0, 0).  Perpotongan  dengan  sumbu‐y,  berarti  0 dan  diperoleh  titik  yang  sama,  yaitu  (0,  0).  Tiga langkah dalam menggambar grafik fungsi h(x) diberikan pada Gambar 1.28.   

 x  y ‐3  ‐27 ‐2  ‐8 ‐1  ‐1 0  0 1  1 2  8 3  27 

 

Tentukan beberapa titik 

Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebutdengan kurva mulus 

Gambar 1.28 

Dari  Gambar  1.27  terlihat  bahwa  grafik  dari  fungsi     simetris  tehadap  sumbu‐y  dan dari  Gambar  1.28  terlihat  bahwa  grafik  fungsi   simetris  terhadap  titik  pusat  (0,  0). Memeriksa  kesimetrisan  grafik  fungsi  dapat  membantu  dalam  menggambar  grafik  fungsi. Kesimetrisan dapat diketahui dengan memeriksa apakah  fungsi merupakan  fungsi genap atau ganjil.  Misalkan   suatu fungsi. Jika   untuk setiap x pada daerah asal  , maka grafik   simetris  terhadap  sumbu‐y.  Fungsi  yang  demikian  disebut  fungsi genap.  Jika   untuk  setiap  x  pada  daerah  asal  , maka  grafik   simetris  terhadap  titik  asal.  Fungsi  yang demikian disebut fungsi ganjil. Fungsi   adalah contoh fungsi genap (Gambar 1.29a) dan 

 adalah  contoh  fungsi ganjil  (Gambar 1.29b). Fungsi yang  tidak  genap atau ganjil,  tidak simetris  terhadap  sumbu‐y  atau  titik  pusat.  Contohnya  adalah  fungsi  2 3 pada contoh. 1.16.  

 

   

 (a)    (b) 

Gambar 1.29 Selain melakukan langkah‐langkah di atas, untuk menggambar grafik fungsi kadang‐kadang kita juga perlu memperhatikan ciri‐ciri dasar dari fungsi.  Contoh 1.19  Gambarlah grafik fungsi  .   

Page 22: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

22     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Penyelesaian. Sebelum melakukan ketiga langkah di atas, kita lebih dahulu memperhatikan ciri‐ciri dari fungsi f. Jika x bernilai positif dan sangat besar, maka g(x) bernilai positif dan sangat kecil. Jika x bernilai positif dan dekat ke 0, maka g(x) bernilai positif dan sangat besar. Jika x bernilai negatif dan bilangannya sangat besar, maka g(x) bernilai negatif dan sangat kecil. Jika x bernilai negatif dan dekat ke 0, maka g(x) bernilai negatif dan sangat besar.  Kita juga dapat memeriksa kesimetrian fungsi g. 

1 1 

 Karena   adalah  fungsi  ganjil,  maka  grafik  fungsi  tersebut  simetris  terhadap  titik  asal. Sehingga ketika menentukan beberapa titik pada kurva, kita cukup menentukan titik‐titik untuk x  positif  atau  negatif  saja,  karena  ketika  grafik  fungsi  pada  satu  sisi  dari  sumbu‐y  diketahui, maka grafik  fungsi pada sisi sumbu‐y yang  lain merupakan pencerminan terhadap titik pusat. Tiga langkah dalam menggambar fungsi     diberikan pada Gambar 1.30      

 x  y 1  1 2  ½ 3  1/3 4  1/4 

 

 Tentukan 

beberapa titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut 

dengan kurva mulus Gambar 1.30 

Sifat dasar dari suatu fungsi nantinya dapat kita periksa menggunakan konsep limit yang akan dibahas pada subbab 1.8.  Pergeseran grafik fungsi  

Jika  kita  menggeser  grafik  suatu  fungsi  secara  vertikal  atau horizontal, perubahan apakah yang terjadi pada persamaan fungsi tersebut?  Perhatikan  Gambar  1.31  yang  menggambarkan  grafik fungsi‐fungsi    ,  2 ,  4 , 

2, dan  4. Perhatikan bahwa penambahan konstanta  2  dan  4  ke  sisi  kanan  persamaan  , menghasilkan  grafik  yang  identik  dengan  grafik  f(x)  tetapi bergeser  ke  atas  sejauh  2  dan  4  satuan.  Demikian  juga  dengan pengurangan 2 dan 4 pada  f(x)   menghasilkan grafik yang identik dengan grafik f(x) tetapi bergeser ke bawah sejauh 2 dan 4 satuan. 

 Kemudian perhatikan Gambar 1.31 yang memberikan grafik fungsi‐fungsi   ,  

 Gambar 1.31 

Page 23: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    23  

2 ,  4 ,  2 ,  dan 4 .  Perhatikan  bahwa  penggantian  x 

menjadi x‐2 dan x‐4 pada f(x), menghasilkan grafik yang identik  dengan  grafik  f(x)  tetapi  bergeser  ke  kanan sejauh  2  dan  4  satuan.  Demikian  juga  penggantian  x menjadi  x+2  dan  x+4  pada  f(x)  menghasilkan  grafik yang  identik  dengan  grafik  f(x)  tetapi  bergeser  ke  kiri sejauh 2 dan 4 satuan.   

Secara umum aturan pergeseran grafik fungsi adalah sebagai berikut:  Pergeseran vertikal 

 Menggeser grafik sejauh k unit ke atas jika k > 0 dan ke bawah jika k < 0. 

Pergeseran horisontal  

Menggeser grafik sejauh h unit ke kiri jika h > 0 dan ke kanan jika h < 0. 

 Gambar 1.33 memberikan ilustrasi dari pergeseran grafik fungsi ini,  

 (a) 

 (b) 

 (c) 

 Gambar 1.33 

Cara menggambar grafik fungsi seperti yang telah dijelaskan pada bagian ini, dapat diterapkan untuk menggambar grafik dari sembarang persamaan  .   Pada  sub  bab  1.3.1  telah  dijelaskan  bahwa  tidak  setiap  persamaan  berbentuk   merupakan fungsi.   

Cara  lain  untuk  memeriksa  apakah  suatu  persamaan  merupakan  fungsi atau  bukan  dapat  dilakukan  dengan  melakukan  uji  garis  vertikal  pada grafik  persamaan  yang  diberikan.  Perhatikan  grafik  dari  persamaan 

4 (Gambar 1.34a). Jika kita membuat garis vertikal l memotong grafik persamaan (Gambar 1.34b), terlihat bahwa garis l memotong grafik dua kali. Artinya terdapat 2 nilai y untuk suatu nilai x. Hal ini tidak sesuai dengan  definisi  fungsi,  sehingga  kita  katakan  4  tidak mendefinisikan  fungsi  (sama dengan kesimpulan yang kita peroleh pada subbab 1.2).  Untuk  sembarang  persamaan  yang  grafiknya  diberikan,  kita  dapat melakukan uji garis vertikal untuk memeriksa apakah persamaan tersebut mendefinisikan fungsi atau bukan. Jika sembarang garis vertikal yang kita ambil  memotong  grafik  tepat  di  satu  titik,  artinya  untuk  setiap  nilai  x terdapat  tepat  satu  nilai  y,  maka  persamaan  tersebut  mendefinisikan suatu  fungsi  (Gambar 1.33a).  Sebaiknya,  jika  terdapat  satu  garis  vertikal 

Gambar 1.32 

 (a) 

 (b) 

Gambar 1.34 

Page 24: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

24     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

saja yang memotong grafik di  lebih dari satu  titik, artinya  terdapat nilai x yang menghasilkan dua  nilai  yang  berbeda  atau  lebih  untuk  y,  maka  persamaan  itu  tidak  mendefinisikan  fungsi (Gambar 1.33b dan c).  Pada Gambar 1.33d terlihat ada x yang tidak menghasilkan  nilai y. Titik x seperti ini tidak termasuk dalam daerah asal dari fungsi. 

 (a)  (b)  (c)  (d) 

Gambar 1.35 

TIK. Grafik dari suatu fungsi satu peubah dapat digambar menggunakan Maple dengan perintah plot yang sintaksnya sebagai berikut: >plot(f, h, v, …) dengan f – fungsi‐fungsi yang grafiknya akan digambar h –  jangkauan horisontal (misal: x =  ‐2..2 artinya grafik akan di plot untuk x antara ‐2 sampai 2) v – jangkauan vertikal …  ‐  opsional,  artinya  bisa  ada  atau  tidak.  Opsional  ini  dapat  diisi  dengan  perintah‐perintah yang mengatur warna grafik, jenis grafik, tebal tipisnya grafik, dll.   Untuk  fungsi  yang  tidak  dapat  dinyatakan  secara  eksplisit,  misalnya  x  =  2  atau  4, digunakan perintah implicitplot, dengan sintaks sebagai berikut: >implicitplot(expr1, x=a..b, y=c..d, options) dengan expr1 – persamaan dalam x dan y yang grafiknya akan diplot a, b, c, d – konstanta options – opsional, seperti yang dijelakan pada plot.  Latihan 1.4. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi: • Subbab 2.1dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, 

Jakarta, 2004. • Subbab 1.2 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New 

Jersey, 2002. • Subbab  0.4  dan  0.5  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.   1.5    Fungsi­fungsi yang penting  Terdapat  fungsi‐fungsi yang diberi nama secara khusus, karena sering digunakan atau karena memiliki ciri khas tertentu. Fungsi‐fungsi itu antara lain,  1. Fungsi konstan  , untuk suatu konstanta k. 

Fungsi ini menghasilkan k untuk setiap nilai x pada daerah asal. Misalnya  2 (Gambar 1.36). 

Page 25: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    25  

Gambar 1.36 

 2. Fungsi identitas  . 

Fungsi ini menghasilkan x untuk setiap nilai x pada daerah asal (Gambar 1.37).  

3. Fungsi  linear  ,  untuk  konstanta  m  dan  c,  0.  Fungsi  ini  mengandung  x berderajat satu. Misalnya  2 5 dan  7 .  

4. Fungsi  kuadratik  ,  untuk  konstanta  a,  b,  dan  c,  0 .  Misalnya 4 ,  2 6, atau  7 10. 

 5. Fungsi  polinomial  berderajat n,  ,  untuk  konstanta 

, 0,1,2, , dan  0.  Misalnya  3 4 12 adalah  fungsi  polinomial berderajat 12. 

 6. Fungsi  rasional  adalah  fungsi  pembagian  polinomial  dengan  polinomial.  Misalnya 

.  7. Fungsi nilai mutlak  | |, dengan  

| | jika  0jika  0. 

Pada Gambar 1.38 diberikan grafik dari fungsi nilai mutlak.  

 

 

Gambar 1.37   Gambar 1.38  Gambar 1. 39 

8. Fungsi bilangan bulat terbesar  , dengan   menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x (Gambar 1.39).  

9. Fungsi piecewise 

,   ,   

,   

 , dengan   dan    0,1,2,  

merupakan konstanta, ‐∞, atau ∞.  

 

Page 26: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

26     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 Fungsi  ini  mendefinisikan  aturan  korespondensi  yang berbeda  untuk  paling  sedikit  dua  interval  yang  tidak beririsan pada daerah asal. Misalnya  

1 , ∞ 11 , 1 ∞  

 mendefinisikan  1 untuk x kurang atau sama dengan 1 dan  1 untuk x lebih  dari  1  (Gambar  1.40).  Fungsi  piecewise  sangat  berguna  untuk  memodelkan  situasi tertentu, seperti memodelkan biaya pembelian barang yang harga satuannya berbeda untuk jumlah pembelian tertentu. Misalkan harga suatu jenis zat kimia adalah Rp.50.000,‐ per liter untuk pembelian kurang dari seratus liter  dan Rp.48.000,‐ per liter untuk pemberlian lebih dari 100 liter, maka fungsi harga zat kimia akan dimodelkan menjadi ,  

50.000 , 0 10048.000 , 100 ∞

  

TIK. Pada Maple fungsi piecewise dapat didefinisikan dengan perintah piecewise, yaitu: > piecewise(cond_1, f_1, cond_2, f_2, ..., cond_n, f_n, f_otherwise) dengan f_i – ekspresi‐ekpresi cond_i – relasi yang memberikan kondisi dimana f_i berlaku/didefinisikan  f_otherwise ‐ (opsional) expresi default, ekspresi yang benar jika kondisi‐kondisi lain yang telah didefinisikan tidak ada yang tepenuhi  Latihan 1.5. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi: • Subbab 1.3 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New 

Jersey, 2002.   1.6    Aljabar fungsi   Operasi fungsi  Suatu fungsi baru dapat dibangun dari berbagai fungsi‐fungsi bernilai real yang diberikan pada subbab  sebelumnya.  Seperti  pada  bilangan,  satu  bilangan  yang  baru  dapat  diperoleh  dengan melakukan  operasi  ajabar  terhadap  satu  atau  dua  bilangan  yang  lain,  demikian  juga  dengan fungsi. Suatu fungsi yang baru dapat diperoleh dengan menerapkan operasi aljabar pada fungsi yang  lain.  Operasi  yang  dapat  dilakukan  adalah  perkalian  dengan  konstanta,  penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.  Misalkan   2  dan  2, maka    5 5  2 5  10,     2 2 ,     2 2  4,     2 2 2 2  4,        .   

 Gambar 1.40 

Page 27: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    27  

Pada  contoh di  atas,  daerah  asal  f  sama dengan  daerah  asal g  yaitu  ‐∞<x<∞,  sehingga daerah asal kf,  f+g,  f–g,  dan  f.g  sama dengan daerah asal  f  atau  g,  yaitu  –∞<x<∞.  Sedangkan  daerah  asal  f/g  adalah  2 untuk menghindari pembagian dengan 0. Jika daerah asal fungsi‐fungsi yang  dioperasikan  berbeda,  maka  daerah  asal  fungsi  hasil  operasi fungsi  adalah  irisan  dari  daerah  asal  fungsi‐fungsi  semula  (Gambar  1.41). 

 Contoh  1.20  Diberikan  √1    dengan  daerah  asal  1 dan  √1    dengan daerah asal  1. Carilah  formula untuk 2f,  f+g,  f–g,  f.g,  f/g, dan  f4 serta daerah asal masing­masing.  Penyelesaian. 

Formula  Daerah asal  Keterangan 

2 2√1   1 Daerah asal f  

√1 √1 1 1 Irisan  1 dengan  1 √1 √1 1 1 Irisan  1 dengan  1

. √1 √1 1 1 1 Irisan  1 dengan  1 

√1√1

 1 1 Karena g(–1) = 0 

√1    = 1   1 Daerah asal f 

 Komposisi fungsi  

Selain  menerapkan  operasi  aljabar  terhadap  fungsi,  fungsi‐fungsi  yang lebih  kompleks  juga  dapat  dibangun  dengan  komposisi  fungsi.  Jika  kita memikirkan  fungsi  seperti  mesin  yang  mengambil  suatu  masukan  dan mengeluarkan  suatu  keluaran,  maka  komposisi  fungsi  dapat  dipandang sebagai  rangkaian  dari  dua mesin  dimana  keluaran  dari  mesin  pertama menjadi masukan ke mesin kedua (Gambar 1.42).   

Jika  f    bekerja  pada  x  untuk  menghasikan  f(x)  dan  g  bekerja  pada  f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka kita telah mengkomposisikan g dengan 

f.  Definisi  1.2 Komposisi dari dua fungsi g dan f adalah fungsi   yang didefinisikan dengan 

 untuk semua x pada daerah asal f sedemikian sehingga   berada pada daerah asal g.  Contoh 1.21 Diberikan  √  dan  4 , maka 

4 √ 4  untuk  0, dan 

4  untuk | | 2.        Pada contoh di atas terlihat  

. Hal ini berlaku secara umum, yaitu komposisi f dengan g belum tentu sama dengan komposisi g dengan f. Dengan perkataan lain, operasi komposisi fungsi tidak komutatif.      

  Gambar 1.41

 Gambar 1.42 

Page 28: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

28     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Contoh 1.22 Diberikan  √ 9 dan  , carilah  5 .  Penyelesaian. 

5 5 5 9 44

4 2 8.        Latihan 1.6. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, 

Jakarta, 2004. • Subbab  0.6  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson  Education 

International, New Jersey, 2007.  1.7    Fungsi trigonometri  

Banyak sistem fisis yang memiliki sifat dasar bergetar seperti pergerakan pendulum, fibrasi dari senar gitar yang dipetik, pergantian arus listrik, dan naik  turunnya  gelombang.  Magnitude  pada  getaran  ini  paling  baik dideskripsikan  dengan  sinus  dan  kosinus  dari  fungsi  trigonometri.  Lebih jauh  lagi,  laju  getaran  juga  dapat  direpresentasikan  dengan  turunan  dari fungsi  trigonometri  ini.  Karena  itu,  pada  bagian  ini  kita  akan  melihat kembali  fungsi  trigonometri  dengan  sifat‐sifatnya,  khususnya  yang 

berhubungan dengan kalkulus.  Pada  trignometri,  sudut  biasanya  diukur  dengan  derajat  atau  radian;  pada  kalkulus  sudut biasanya diukur dengan  radian.  Satu  radian  adalah  sudut  pusat  lingkaran berjari‐jari  r,  yang menghadap busur dengan panjang r (Gambar 1.43).  

Untuk sembarang busur pada lingkaran, jika panjang busur lingkaran adalah s (Gambar 1.44)  maka besar sudut  

 radian.  Untuk lingkaran berjari‐jari r, panjang busur keliling lingkaran adalah 2πr,  sehingga besar sudut pusat satu lingkaran penuh adalah  

22 . 

Kita  tahu  bahwa  sudut  pusat  dari  suatu  lingkaran  adalah  360°,  sehingga  kita  memperoleh hubungan antara radian dengan derajat yaitu 

2 360° atau  180°.  Anda mungkin  sudah  pernah melihat  definisi  fungsi  trigonometri  berdasarkan  segi  tiga  siku‐siku. Ringkasan dari definisi  fungsi  sinus, kosinus, dan  tangen berdasarkan segi  tiga siku‐siku (Gambar 1.45) adalah sebagai berikut:   

 Gambar 1.43 

 Gambar 1.44 

Page 29: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    29  

 Gambar 1.45 

1. sin  

2. cos  3. tan  

 Secara lebih umum, fungsi trigonometri dapat didefinisikan berdasarkan lingkaran  satuan,  yaitu  lingkaran  dengan  titik  pusat  di  titik  (0,  0)  dan jari‐jari  1.  Persamaan  lingkaran  tersebut  adalah  x2  +  y2  =  1.  Misalkan lingkaran satuan ini disebut dengan lingkaran C.  Misalkan titik A adalah titik (1, 0) dan t sembarang bilangan real positif. Pasti terdapat tepat satu titik  ,  di  C    yang  kalau  diukur  pada  busur  AP  dengan  arah berlawanan  jarum  jam,  mempunyai  panjang  t  (Gambar  1.46).  Dengan demikian kita dapat mendefinisikan fungsi sinus dan kosinus, yaitu 

sin    dan   cos   Sifat­sifat sinus dan kosinus  Dengan memperhatikan lingkaran satuan yang didefinisikan di atas, secara langsung kita dapat menemukan beberapa sifat sinus dan kosinus.  1. Karena nilai t merupakan sembarang bilangan real, maka daerah asal dari sinus dan kosinus 

adalah himpunan bilangan real R.  

2. Karena x dan y selalu berada antara ‐1 dan 1, maka nilai sinus dan kosinus juga berada pada interval [‐1, 1]. 

 3. Karena  keliling  lingkaran  satuan  adalah 2 ,  maka  nilai  t  dan  2  menunjukkan  titik 

,  yang sama , sehingga sin 2 sin    dan   cos  2 cos  

 4. Titik P1 dan P2 yang berkorespondensi dengan  t dan –t adalah simetris  terhadap sumbu x, 

artinya absis dari  P1 dan P2 adalah sama (Gambar 1.47), dan ordinatnya berbeda tanda. Akibatnya kita dapatkan  

sin sin    dan   cos  cos   

Dengan  kata  lain,  sinus  adalah  fungsi  genap  sedangkan  kosinus  adalah fungsi ganjil. 

 5. Titik yang berkorespondensi dengan t dan   simetris terhadap garis y = x, artinya antara 

absis dan ordinat saling bertukar tempat (Gambar 1.48), sehingga  

sin cos    dan   cos  sin     

  

6. Karena x dan y berada pada lingkaran, artinya memenuhi persamaan x2 + y2 = 1, maka kita mendapatkan identitas yang sangat terkenal 

sin cos 1. 

 Gambar 1.46

Gambar 1.47

Gambar 1.48

Page 30: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

30     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 Grafik sinus dan kosinus  Untuk  menggambar  grafik  dari  fungsi  sinus  dan  kosinus,  kita  dapat  mengikuti  3  langkan menggambar grafik pada subbab 1.4.  Tentukan  beberapa  titik.  Sinus  dan  kosinus  dari  0,  ,  dan   radian  dengan  mudah  dapat 

langsung  diperoleh  dari  lingkaran  satuan.  Untuk  beberapa  sudut  yang lain,  nilai  sinus  dan  kosinus  dapat  diperoleh  dengan  argumentasi geometri. Misalnya untuk   maka  t merupakan  setengah perjalanan dari  (1,  0)  ke  (0,  1),  dan  pada  saat  itu  sin cos  (Gambar 1.49). Menggunakan Phytagoras diperoleh   

1 sin 4 sin 4 2 sin 4   

Sehingga sin √2 √ . Demikian  juga cos  √ . Dengan  cara  yang  sama  dapat  diperoleh tabel titik‐titik pada Gambar 1.50. 

   t  sin    cos   0  0  1 /   1/2  √3/2 /   √2/2  √2/2 /   √3/2  1/2 /   1  0 /   √3/2  ‐ 1/2 /   √2/2  √2/2 /   1/2  √3/2   0  ‐1 

 

 Tentukan beberapa 

titik Plot titik‐titik tersebut Hubungkan titik‐titik tersebut 

dengan kurva mulus Gambar 1.50 

 

  

Gambar 1.51  Plot  titik  dan grafik diberikan pada Gambar 1.50. Grafik  sinus  dan kosinus untuk daerah asal yang  lebih  luas  diberikan  pada  Gambar  1.51.  Dari  grafik  fungsi  sinus  dan  kosinus  ini  dapat disimpulkan beberapa hal: 

1. Sinus dan kosinus bernilai antara ‐1 dan 1. 

Gambar 1.49

Page 31: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    31  

2. Keduanya berulang pada setiap interval 2  yang berurutan 3. Grafik dari  sin  simetris terhadap titik asal, dan grafik dari  cos  simetris 

terhadap sumbu‐y. 4. Grafik dari sin t sama dengan cos t, hanya bergeser sejauh   . 

Contoh 1.23 Gambarlah grafik fungsi  2 .  

 t  sin  0  sin 2.0 0 /   sin 2. /8 √2/2 /   sin 2. /4 1/   sin 2.3 /8 √2/2 /   sin 2. /2 0/   sin 2.5 /8 √2/2/   sin 2.3 /4 1 /   sin 2.7 /8 √2/2  sin 2. 0 /   sin 2.9 /8 √2/2 

   Tentukan beberapa titik Plot dan Hubungkan titik‐titik 

tersebut Gambar 1.52 

 Periode dan amplitudo  Suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif p sehingga 

 untuk setiap bilangan real x pada daerah asal. Bilangan positif p yang terkecil disebut periode dari  f.    Sinus  dan  kosinus  adalah  fungsi  yang  periodik  dengan  periode   2 .  Fungsi sin   mempunyai periode 2 /  karena  

sin2

sin 2 sin . Periode dari fungsi  cos   juga 2 / .  Amplitudo  suatu  fungsi  periodik  adalah  setengah  dari  selisih  nilai  maksimum  dan  nilai minimum  fungsi  tersebut.  Karena  jangkauan  fungsi  sinus  dan  kosinus  adalah  [‐1,  1],  maka amplitudonya adalah 1.  Fungsi trigonometri yang lain  Selain sinus dan kosinus, didefinisikan juga 4 fungsi trigonometri yang lain, yaitu: 

tansincos           cot

cossin             sec

1cos           csc

1sin  

Karena ke‐4 fungsi ini didefinisikan atas sinus dan kosinus, maka sifat‐sifat ke‐4 fungsi ini juga dapat diperoleh dari sifat‐sifat fungsi sinus dan kosinus.  Dalam mempelajari kalkulus lebih lanjut, indentitas‐identitas trigonometri pada Tabel 1.5 akan diperlukan. 

Tabel 1.4 Identitas Trigonometri Identitas  Trigonometri

Identitas Genap – Ganjil  sin sin  cos cos  

Identitas Kofungsisin

2cos  

Page 32: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

32     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

tan tan   cos2

sin  

tan2

cot  

Identitas Phytagoras sin cos 1 1 tan sec  1 cot csc  

Identitas Penjumlahan Sudutsin sin cos cos sin  cos cos cos sin sin  

tantan tan1 tan tan

 

Identitas Sudut Berganda sin 2 2 sin cos  cos 2 cos sin  

           2 cos 1            1 2 sin  

Identitas Setengah Sudut

sin2

1 cos2

 

cos2

1 cos2

 

Identitas Penjumlahan 

sin sin 2 sin2

cos2

 

cos cos 2 cos2

cos2

 

Identitas Perkalian

sin sin12cos cos  

cos cos12cos cos  

sin cos12 sin sin  

 TIK. Pada Maple fungsi‐fungsi trigonometri sudah didefinisikan. Misalnya untuk menghitung cos    digunakan perintah > cos(Pi/5);  Latihan 1.7. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.3 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, 

Jakarta, 2004. • Subbab 0.7 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education 

International, New Jersey, 2007.   

   

Page 33: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    33  

1.8    Limit Fungsi  Apa yang telah kita bahas sampai saat ini disebut prekalkulus, bukan kalkulus. Pada bagian ini kita  akan  masuk  ke  konsep  yang  sangat  mendasar  dalam  kalkulus  yaitu  limit.  Menguasai konsep‐konsep dan keterampilan yang telah dibahas, akan sangat membantu anda mempelajari kalkulus.   

1.8.1 Pengertian Limit Fungsi                  

Untuk  memberi  gambaran  ide  tentang  limit,  kita akan memulai  dari  sesuatu  yang  sangat  sederhana. Misalkan  kita  ingin  mengetahui  luas  dari  persegi seperti pada Gambar 1.51. Luas persegi dapat dicari dengan  terlebih dahulu mengukur panjang sisi dari persegi  tersebut.  Jika  panjang  sisi  persegi  telah diketahui, maka kita dapat menghitung luas persegi dengan  menggunakan  rumus  menghitung  luas. 

Misalkan jika panjang sisi persegi adalah 3, maka luas persegi adalah 9.   Bagaimana  jika  panjang  sisi  persegi  mendekati  3,  apakah  luasnya  juga mendekati  9?  Perhatikan Tabel  1.6.  yang menunjukkan nilai‐nilai  luas  persegi  ketika  panjang sisinya mendekati 3. Terlihat bahwa jika panjang sisi mendekati 3, maka luas persegi mendekati 9. Atau,  jika kita  ingin membuat  luas persegi mendekati 9, maka kita harus membuat panjang sisi persegi mendekati 3.  

Kemudian  perhatikan  fungsi  3.  Nilai  f(1)  =  4,  namun bagaimanakah perilaku  f(x)  ketika x mendekati  1? Dari  Tabel  1.7  kita tahu  bahwa  f(x)  akan  mendekati  4  ketika  x  mendekati  1.  Secara matematika ditulis, 

lim 3 4 Mungkin  anda mulai  berfikir,  apa  bedanya mengatakan  nilai  f(1)  =  4 dengan mengatakan f(x) mendekati 4 ketika x mendekati 1? Perhatikan 3  grafik  fungsi  pada  Gambar  1.54.      Nilai  ketiga  fungsi  ini  adalah  4 ketika  x  =  1,  namun  jika  kita  perhatikan  perilaku  fungsi  ketika  x mendekati  1  sangat  jauh  berbeda.  Gambar  1.54c  memberi  informasi kepada  kita  bahwa  nilai  fungsi  di  x =  1  berbeda  dengan  nilai  limit  f ketika  1.   

Gambar 1.54     

Tabel 1.5 Sisi  Luas 2,9  8,41 2,99  8,94012,999  8,994001 2,9999  8,99940001↓  ↓ 3  ?↑  ↑ 3,0001  9,000600013,001  9,006001 3,01  9,06013,1  9,61 

 Gambar 1.53

Tabel 1.6

x  f(x) 0,9  3,81 0,99  3,9801 0,999  3,998001 0,9999  3,99980001 ↓  ↓ 1  ? ↑  ↑ 1,0001  4,00020001 1,001  4,002001 1,01  4,0201 1,1  4,21 

Page 34: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

34     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 

Sekarang perhatikan fungsi  . Kita tahu bahwa f tidak terdefinisi di x = 1, namun berapakah nilai g(x) ketika x mendekati 1? Untuk mengetahuinya maka kembali  kita membuat  tabel  yang memberikan nilai‐nilai g(x) ketika  x mendekati 1 (Tabel 1.8). Dari tabel terlihat bahwa ketika x mendekati 1 maka g(x)  akan mendekati  2.  Grafik  dari  fungsi g(x)  diberikan  pada Gambar  1.55. Secara matematisditulis,  

lim11 2 

Dengan  pendekatan  aljabar,  kita  juga  dapat menunjukkan limit ini.   

lim11

lim1 1

lim 1 1 1 2. 

 Perhatikan bahwa  1 selama  1. Ketika kita mengatakan x mendekati 1 artinya  1.  Menurut anda mana yang lebih informatif mengatakan f(x) tidak terdefinisi untuk x = 1 atau f(x) akan mendekati 2 ketika x mendekati 1?   Dari pembahasan hingga saat ini kita dapat memberikan pengertian intuitif dari limit.  Definisi 1.3  Pengertian intuitif limit Untuk mengatakan   berarti  ketika  x  dekat  tetapi  berbeda  dengan  c maka  f(x) dekat dengan L.  Definisi ini tidak memberi persyaratan apa‐apa untuk c. Fungsi f bisa saja tidak terdefinisi di c. Konsep limit berkaitan dengan perilaku fungsi ketika x dekat dengan c, dan bukan ketika x = c.  Sepanjang  pembahasan  limit  hingga  saat  ini,  kita  selalu menggunakan  istilah mendekati.  Apa sebenarnya arti mendekati itu? Kapan suatu nilai kita katakan mendekati nilai lain? Hal ini akan dibahas kemudian ketika kita mempelajari pengetian tepat dari limit.  Contoh 1.24 Carilah  2 3.  Penyelesaian. Ketika  x  mendekati  5  maka 2 3 mendekati 2⋅5 3 7. Kita  tulis lim 23 7.    Contoh 1.25 Carilah  .  

Tabel 1.7

x  g(x) 

0,9  1,9 

0,99  1,99 

0,999  1,999 

0,9999  1,9999 

↓  ↓ 1  ? 

↑  ↑ 1,0001  2,0001 

1,001  2,001 

1,01  2,01 

1,1  2,1 

Gambar 1.55

Tabel 1.8 x  f(x) 

1,9  4,9 1,99  4,99 1,999  4,999 1,9999  4,9999 

↓  ↓ 

Page 35: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    35  

Penyelesaian. Perhatikan  bahwa  nilai  6 / 2  tidak  terdefinisi  di  x  =  2, sehingga  untuk  mengetahui  apa  yang  terjadi  ketika  x  mendekati  2,  kita  dapat menggunakan  kalkulator  atau  program  spreadsheet  untuk  membuat  tabel  seperti Tabel 1.9 dan menyimpulkan bahwa lim 4. Namun pendekatan yang lebih baik dapat diperoleh dengan aljabar.  

lim6

2lim

2 32

lim   3 2 3 5.       

 Perlu ditekankan kembali bahwa  1 untuk  2.  Jika  2 maka     dan     

juga, dan kita tahu  bahwa     tidak terdefinisi.   Contoh 1.26 Carilah  .  Penyelesaian. Untuk  masalah  ini  tidak  ada  cara  aljabar  yang  dapat  kita  lakukan.  Karena  itu dengan  kalkulator  atau  program  spreadsheet  kita  mencoba  membuat  tabel  nilai‐nilai    ketika x mendekati 0 (Tabel 1.10). Dari tabel kita lihat bahwa 

limsin

1.       Grafik dari    diberikan pada Gambar 1.56.  Setelah kita mempelajari limit lebih jauh, nanti kita dapat menunjukkan limit ini dengan cara yang lebih tepat.  

Tabel 1. 9 x  sin

 1  0,841471

0,1  0,998334 0,01  0,999983 

↓  ↓ 0  ?↑  ↑ 

‐0,01  0,999983 ‐0,1  0,998334 ‐1  0,841471

 

 Gambar 1.56 

 Contoh 1.27 Carilah    

 Penyelesaian.  Grafik  dari   diberikan  pada  Gambar  1.57. Telihat bahwa ketika 3 didekati dari nilai‐nilai x < 3, maka   dekat ke 2, sedangkan ketika 3 didekat dari nilai‐nilai x > 3, maka   dekat ke  3.  Bagaimana  pun  cara  kita  mendekati  3,  kita  tidak  dapat menemukan satu nilai yang sama di sini. Dalam hal ini kita katakan lim  tidak ada.      

Contoh 1.28 Carilah  .  

1  ? ↑  ↑ 

2,0001  5,0001 2,001  5,001 2,01  5,01 2,1  5,1 

 Gambar 1.57

Page 36: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

36     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Penyelesaian.  Dengan  menggunakan  kalkulator  atau  program spreadsheet  kita  dapat  memperoleh  Tabel  1.11.  Namun,  ternyata kita tidak dapat menyimpulkan apa‐apa dari tabel ini.   Dengan menggunakan kalkulator grafik atau perangkat lunak yang dapat  menggambar  grafik,  kita  dapat  memperoleh  grafik  dari 

sin   untuk interval [‐1, 1] seperti pada Gambar 1.58a. Jika kita memperkecil  interval menjafi  [‐0.1,  0.1]  diperoleh  Gambar  1.58b. Dengan  memperkecil  interval  kembali  menjadi  [‐0,01,  0,01] diperoleh  Gambar  1.58c.  Kita  melihat  terlalu  banyak  goyangan turun naik nilai sin   ketika x mendekati 0. Maka dalam hal ini kita 

juga megatakan bahwa lim sin   tidak ada.      

(a)

(b) (c) Gambar 1.58 

Sampai saat ini kita mencari lim  dengan cara mengevaluasi nilai f(x) ketika x mendekati c.  Untuk  fungsi  yang  kompleks,  hal  itu  akan  sangat  melelahkan.  Teorema  berikut  akan membantu mempermudah mengevaluasi limit untuk fungsi yang lebih kompleks.   Teorema 1.1 Teorema limit utama 

Misalkan n adalah bilangan positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi‐fungsi yang mempunyai limit di c, maka 1.  ,   adalah konstanta2.   

3.  ,    adalah konstanta 4. 

5. 

6.  . .7. 

 , asalkan  0  

8.  , n bilangan bulat 9.  , asalkan 0 jika n genap. 

Tabel 1.10   sin

/   1 /   0 /   ‐1 /   0 /   1 /   0 /   ‐1 /   0 /   1 /   0 /   ‐1 /   0 

   0  ? 

Page 37: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    37  

Contoh 1.29 Carilah  .  Penyelesaian.  Karena  lim 8 ,  lim 3 1 ,  lim 4 ,  lim 2 ,  dan lim 6 6 maka 

lim3

68 1

4 2 623 .       

 Untuk fungsi polinomial dan fungsi rasional, teorema berikut juga mempermudah menghitung limit.  Teorema 1.2 Substitusi Jika f adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional maka 

, asalkan f(c) terdefinisi.  Teorema ini mengijinkan kita menghitung limit fungsi polinomial dan fungsi rasional dengan langsung mensubstitusikan nilai c ke x, selama penyebut dari fungsi rasional tidak menjadi 0.  Contoh 1.30 Carilah  .  Penyelesaian. 

lim5

2 63 5

3 2 3 689      

 Contoh. 1.31 Carilah  .  Penyelesaian.  Kita  tidak  dapat  menggunakan  teorema  subtitusi  karena  dengan mensubstitusikan  2  ke  x membuat  penyebut  (x‐2) menjadi  nol.  Yang  dapat  dilakukan  adalah penyederhanaan secara aljabar.   

lim5 62 lim

2 32 lim 3 2 3 1.       

 Contoh 1.32 Carilah  √

√. 

 Penyelesaian. Dengan alasan yang sama dengan pada contoh 1.31, di  sini  juga kita  tidak dapat menggunakan teorema subtitusi. Yang dapat diakukan adalah manipulasi secara aljabar dengan mengalikan suku yang sekawan dengan  √1 1  yaitu  √1 1 .  

lim√1 1

√  lim

√1 1 √1 x 1√ √1 x 1

 

  lim

√ √1 x 1 

lim√

√1 x 102

0     

 Teorema 1. Teorema Apit (Squeeze atau sandwich) Misalkan  f,  g,  dan  h  adalah  fungsi­fungsi  yang memenuhi   untuk  semua  x dekat c, kecuali mungkin pada x = c. Jika   , maka  .  

Page 38: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

38     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Ilustrasi teorema ini dapat dilihat pada Gambar 1.59.  

 Gambar 1.59 

Contoh 1.33 Carilah lim   dengan menggunakan Teorema Apit. 

 Penyelesaian. 

Kita  ketahui  bahwa  1 sin 1  untuk  setiap  x.  Jika ketaksamaan ini kita kalikan dengan   , kita mendapatkan  

sin1

.  Dengan  mengambil   dan  ,  kita  terapkan teorema  apit.  Karena  lim lim 0 ,  maka teorema apit memberikan lim sin 0 (Gambar 1.60).    

       

 Limit satu sisi  

Ketika  fungsi melompat  seperti  fungsi   yang melompat  di  setiap titik bilangan bulat (Contoh 1.27), limit fungsi tidak ada pada setiap titik  lompatan. Namun kita  tetap dapat menyelidiki perilaku  fungsi sebelum  dan  sesudah  lompatan.  Hal  ini  mengarahkan  kita  untuk mengenalkan limit satu sisi.   Simbol   berati x mendekati c dari nilai‐nilai yang  lebih besar dari c. Jika dilihat pada garis bilangan, x mendekati c dari sisi kanan. Sedangkan  simbol   berati  x mendekati  c  dari  nilai‐nilai  yang lebih kecil dari c. Jika dilihat pada garis bilangan, x mendekati c dari 

sisi kiri.  Definisi 1.4 Limit kiri dan kanan Dikatakan   apabila ketika x mendekati c dari kiri, maka f(x) mendekati L. Dikatakan   apabila ketika x mendekati c dari kanan, maka f(x) mendekati L.  Sehingga dalam kasus lim , lim 3 dan lim 2 (Gambar 1.61).  

 Gambar 1.60

Gambar 1.61 

Page 39: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    39  

Berhubungan dengan limit kiri dan limit kanan, teorema berikut akan sangat mudah dipahami.  Teorema 1.4   jika dan hanya jika   dan  .  Contoh. 1.34 Carilah  | |

.  Penyelesaian. Untuk x < 0 nilai | |  sehingga 

lim lim 1 1. Untuk  0 nilai | |  sehingga 

lim lim 1 1. 

Karena lim | | lim | | maka lim | | tidak ada (Gambar 1.62).        

 Gambar 1.62

  

Contoh 1.35 Diberikan 4 5, 06 , 0 22, 2

. Carilah  limit  f(x) untuk x mendekati 0 dan 

untuk x mendekati 2.  Penyelesaian. Pertama‐tama kita cari limit f(x) untuk x mendekati 0. Karena definisi f(x) berbeda untuk x di kiri dan di kanan 0 maka kita mencari limit kiri dan kanan.   

lim lim 4 5 5. lim lim 6 6. 

 Karena lim lim  maka lim  tidak ada.  Kemudian untuk x mendekati 2. Dengan alasan yang sama dengan pada x mendekati 0, kita juga mencari limit kiri dan kanan  

lim lim 6 2. lim lim 2 2. 

 Karena lim lim 2 maka lim 2.    Untuk  memperoleh  pemahaman  yang  lebih  baik  tentang  limit,  perhatikan  Gambar  1.63. lim  tidak ada karena lompatan, dan lim  tidak ada karena goyangan.  

Page 40: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

40     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 Gambar 1.63 

Contoh 1.36 Berat W dari suatu benda bergantung pada jarak benda (d) tersebut ke pusat bumi. Jika d kurang dari jari – jari bumi R, maka W sebanding dengan d; dan jika d lebih dari atau sama dengan R maka W berbanding terbalik dengan d2.  Jika berat dari suatu benda pada permukaan bumi adalah W0, carilah bentuk fungsi W dalam d dan gambarkan grafiknya.  Penyelesaian. Jika  ; maka  ; dengan suatu konstanta k dan ketika  ,  / , dengan suatu konstanta l sehingga,  

,   0

,            

 Konstanta k dan l diesebut konstanta pembanding.  

Karena  berat  suatu  benda  adalah  W0  pada  permukaan bumi  yaitu  ketika  ,  hal  ini  mengakibatkan  /,  sehingga  .  Sekarang,  untuk  mencari  nilai  k. 

Jika  kita  menggerakkan  benda  tersebut  dari  bawah permukaan  bumi  sampai  ke  permukaan,  berat  benda tersebut akan bertambah perlahan – lahan. Beratnya akan mendekati W0  ketika  di  permukaan  bumi.  Dengan  kata lain, limit W ketika   akan sama dengan W0; jadi, 

lim       . Oleh karena itu,  

,   0

,                                                      

 Grafik fungsi ini diberikan pada Gambar 1.64.     

 Gambar 1.64

Page 41: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    41  

Limit takhingga  

Limit  suatu  fungsi  tidak  selalu  ada. Hal  itu  bisa  terjadi  karena  limit  kiri  tidak sama dengan  limit  kanan  (Contoh 1.27),  atau bisa  juga karena  terlalu banyak goyangan (Contoh 1.28). Tidak adanya limit fungsi bisa juga karena nilai fungsi yang  terlalu  besar.  Sebagai  contoh  perhatikan     yang  tidak 

terdefinisi di x = 3. Apakah lim  ada? Untuk mencarinya, kita membuat tabel nilai‐nilai f(x) ketika x mendekati 3 (Tabel 1.12)  Dari  tabel  terlihat,  ketika  x  semakin  dekat  dengan  3 maka  nilai  f(x)  semakin besar, bahkan kita dapat membuat nilai f(x) sebesar apa pun dengan mengambil x semakin dekat ke 3. Dalam kasus ini kita katakan 

lim13 ∞.

 Grafik  dari   diberikan  pada  Gambar  1.65  Kita katakan  bahwa  x  =  3  adalah  asimtot  vertikal  dari  grafik tersebut. 

     

 Contoh 1.37 Carilah    jika ada.  

Penyelesaian. Dalam  kasus  ini  kita memperhatikan  limit  kiri  dan kanan ketika x mendekati 1. Kita dapat menemukan bahwa  

lim11

∞       dan 

lim11 ∞ 

 Terlihat  bahwa   tidak mempunyai  limit  untuk  x  mendekati  1, tetapi  mendekati  nilai  negatif  yang  sangat  besar  untuk  x 

mendekati  dari  kiri  1  dan   mendekati  nilai  positif  yang  sangat  besar  untuk  x mendekati  dari kanan 1 (Gambar 1.66). Kita katakan bahwa x = 1 adalah asimtot vertikal dari  .    Eksplorasi. Carilah limit dari fungsi‐fungsi rasional untuk x mendekati titik‐titik yang membuat penyebutnya  bernilai  0.  Dapatkah  anda  menemukan  fungsi  yang  memiliki  lebih  dari  satu asimtot vertikal?  Limit di takhingga  Dalam  berbagai  situasi  kita  juga  perlu memperhatikan  limit  dari  suatu  fungsi  ketika  peubah bebas  mendekati  nilai  yang  sangat  besar,  positif  maupun  negatif.  Sebagai  contoh,  jika memungkinkan carilah nilai yang didekati fungsi   ketika x menjadi semakin besar. 

Tabel 1.11 x  f(x) 

2,9  10 2,99  100 

2,999  1000 2,9999  10000 

↓  ↓ 3  ? ↑  ↑ 

3,0001  10000 3,001  1000 3,01  100 3,1  10 

Gambar 1.65

 Gambar 1.66

Page 42: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

42     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

Grafik   untuk 0 200 (Gambar  1.67)  mengindikasikan  bahwa   akan  semakin mendekati 2 untuk nilai x yang besar. Untuk meyakinkan hal ini, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan   untuk memperoleh 

 

4 22 5

4 2

2 5  

Ketika  x  semakin  besar,  maka   dan   semakin mendekati  0,  sehingga   akan  mendekati  2.  Dalam notasi limit kita tuliskan  

lim∞

4 22 5

2.  Dan  kita  katakan  juga  bahwa  2  adalah  asimtot 

horizontal dari  .  

Contoh. 1.38  Carilah  ∞ . 

Penyelesaian. lim ∞ lim ∞ 5.          

Grafik diberikan pada Gambar 1.68.  

Contoh. 1.39 Carilah  ∞ . 

Penyelesaian.  lim ∞ lim ∞ 0.      

 

Contoh 1.40 Carilah  ∞ . Penyelesaian. 

lim∞

3 2lim

3 2

1 1 ∞.      

Eksplorasi. Perhatikan kembali contoh 1.37 ‐ 1.40. Dapatkah anda menyimpulkan kapan nilai limit  ∞ bernilai 0, suatu bilangan bukan 0, atau ∞. Periksalah kebenaran kesimpulan anda dengan  mengerjakan  soal‐soal  limit  di  takhingga  yang  ada  pada  buku‐buku  referensi  yang diberikan.  Limit yang melibatkan fungsi trigonometri  Teorema 1.5. Limit untuk fungsi trigonometri  1.  lim sin sin  

2.  lim cos cos  

3.  lim tan tan  

4.  lim cot cot  

5.  lim sec sec  

6.  lim csc csc  

 Gambar 1.67

 Gambar 1.68

Page 43: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    43  

Contoh 1.41 Carilah lim cos  dan lim sin π . 

Penyelesaian. lim cos cos 0 1 dan  lim sin π sin π sin 1.       Teorema 1.6 Limit trigonometri khusus 

limsin

lim1 cos

0  Contoh 1.42 Carilah 

a.    

b.  

c.  

 Penyelesaian. 

a. lim lim 5 5 lim 5. 

b. lim lim 0. 

c. lim lim· ·

2.   

 TIK.  Kita dapat menggunakan Maple untuk mencari limit fungsi di suatu titik dengan perintah > limit(f, x=a, dir) dengan f – ekspresi yang limitnya ingin dicari  x   –  nama peubah a   –  suatu ekspresi aljabar, bisa titik, bisa juga infinity atau – infinity dir   –  (opsional) merupakan arah, bisa left atau right  

1.8.2 Pengertian Limit Fungsi Secara Matematis  Pada  subbab  sebelumnya  kita  sudah  mencoba  memahami  dan  mencari  limit  fungsi  secara intuitif. Dalam definisi intuitif limit, kita menggunakan istilah semakin ‘dekat’ atau ‘mendekati’. Jika x mendekati c maka  f(x) mendekati L. Apa  sebenarnya yang dimaksud dengan  x  ‘dekat’  c atau x ‘mendekati’ c? Bagaimanakah ukuran dari dekat itu? Pada bagian ini kita akan membahas pengertian yang tepat dari limit, secara matematis. 

 

 Diberikan sembarang  0 kita dapat menemukan suatu  0 sehingga

Page 44: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

44     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 

 0 | |   | |

Gambar 1.69 

Pada subbab 1.2 kita telah mempelajari bahwa nilai mutlak digunakan untuk menyatakan jarak, karena  jarak  selalu  positif.  Jarak  antara  x  dangan  c  dinyatakan  dengan | | .  Untuk mengatakan x dekat dengan c berarti | | bernilai kecil, hampir sama dengan 0, tetapi tidak sama dengan 0.  Ingat kembali  limit x mendekati c berarti x  semakin mendekati c  tetapi  . Kita akan mengikuti  tradisi menggunakan huruf  latin  ε  (dibaca:  epsilon) dan δ  (dibaca: delta) untuk  menyatakan  bilangan  real  positif  yang  kecil.  Sehingga  f(x)  dekat  dengan  L  secara matematis  dinyatakan  dengan | | ,  yang  berarti  .  Dan  untuk  x dekat dengan c  tetapi tidak sama dengan c secara matematis dinyatakan dengan 0 | |, yang berarti   dan  .  Definisi 1.5 Pengertian tepat dari limit Fungsi  f(x) mempunyai  limit L untuk x mendekati c  jika diberikan  sembarang  0, kita dapat menemukan suatu  0 sehingga | |  apabila 0 | | ; artinya,  

0 | | | | .  Gambar 1.69  memberikan ilustrasi dari definisi ini.  Perlu  ditegaskan  bahwa  bilangan  real   diberikan  terlebih  dahulu  (karena  yang  diasumsikan adalah  f(x)  mempunyai  limit  L),  kemudian  dihasilkan  ,  yang  biasanya  bergantung  pada  . Proses  limit  ini  dapat  diilustrasikan  sebagai  kontes  antara  si  ‘yakin’  yang  mengklaim lim  namun ditolak oleh si ‘peragu’. Si ‘peragu’ memberikan sembarang nilai positif  ,  maka  si  ‘yakin’  harus  menemukan   dan  menunjukkan 0 | | | | . Logikanya,  si  ‘peragu’  akan  memilih   yang  kecil,  agar  si  ‘yakin’  tidak  menemukan   yang memenuhi persyaratan. Kapankah si ‘yakin’ menang? Dan kapan si ‘peragu’ yang menang?  Contoh 1.43  Si ‘yakin’ menang Tunjukkan bahwa  3 1 5  Penyelesaian.  Dimulai  dengan  si  ‘peragu’  memberikan  nilai  ,  maka  si  ‘yakin’  harus  dapat menemukan   yang menjamin 

0 | 2| | 3 1 5|  Karena yang diberikan adalah  , si ‘yakin’ mulai dari sisi kanan tanda panah 

| 3 1 5| |3 6| 3| 2|    yang menghasilkan 

| 2| 3 . 

Page 45: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    45  

Sehingga  si  ‘yakin’  mendapatkan   dan  dapat menunjukkan   

0 | 2|3  | 3 1 5|  

 Dengan demikian terbukti bahwa lim 3 1 5.   Ilustrasi dari penyelesaian  ini diberikan pada Gambar 1.70. Perlu dipahami bahwa si ‘peragu’ dapat memilih  sembarang  bilangan  real  yang  kecil.  Seandainya  dia memilih  0.01 maka  si  ‘yakin’  akan  memberikan 

. 0.0033.    Seandainya  dia  memilih  0.0003 maka  si  ‘yakin’  akan  memberikan 

. 0.0001. Dan seterusnya, yang berarti si ‘yakin’ menang.   

 Contoh 1.44  Si ‘peragu’ menang 

 Tentukan apakah  6  Penyelesaian.  Untuk setiap nilai   yang diberikan oleh si ‘peragu’, si ‘yakin’ harus dapat memberikan nilai    sehingga 

0 | 2|       2 3 2

26 . 

 Seperti pada contoh sebelumnya, si ‘yakin’ memulai dari sisi kanan dan memperoleh,  

2 3 22

62 3 2 6 12

2 9 102

 

2 5 22

 

|2 5|.  Diperoleh ekspresi  |2 5|.  Si ‘yakin’ tidak dapat membuat |2 5| dalam bentuk | 2| yang dapat menghubungkan   dengan  , dan tidak dapat menunjukkan pernyataan  

0 | 2|       2 3 2

26  

benar.      Bagaimana kita memahami  ini? Misalkan  si  ‘peragu’ memilih  1,5 (nilai   yang  tidak  begitu kecil). Maka si ‘yakin’ harus menemukan nilai   sedemikian sehingga untuk setiap x yang berada pada    [2‐ ,  2+ ],  maka  nilai   harus  berada  pada  [6‐1,5,  6+1,5].  Hal  ini  ditunjukan  pada Gambar.1.71. Akan  tetapi,  jika  si  ‘peragu’ memilih  0,5 (masih  tidak begitu kecil),  si  ‘yakin’ dikalahkan, karena dia tidak dapat menemukan nilai   yang menjamin  

0 | 2|       2 3 2

2 6  

(Gambar 1.71). Dalam hal ini disimpulkan bahwa lim 6.      

Gambar 1. 70

Page 46: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

46     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 

   (a)  (b) (c)

Gambar 1.71  Latihan 1.8. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.4 ‐ 2.8 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004. • Subbab 2.1 – 2.3 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, 

New Jersey, 2002. • Subbab 1.1 – 1.5 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education 

International, New Jersey, 2007.   

1.9    Kekontinuan  Kita  telah mengetahui  bahwa  limit  dari  suatu  fungsi  di  suatu  titik  kadang  sama  dengan  nilai fungsi  di  titik  itu  dan  kadang  tidak,  seperti  yang  diilustrasikan  dalam  Gambar  1.72.  Pada Gambar  1.72a  dan  b   lim ,  sedangkan  pada  Gambar  1.72c   lim .  Dalam kondisi seperti Gambar 1.72c, kita sebut f(x) kontinu di c.   

 (a)  (b) (c) 

Gambar 1.72 

 Definisi 1.6 Kontinuitas pada titik Misalkan  f  terdefinisi pada  interval  terbuka yang mengandung c. Kita katakan  f kontinu pada c jika 

.  

Page 47: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    47  

 Definisi ini mensyaratkan 3 hal: 

1. lim  ada 2.  ada, artinya c berada pada daerah asal dari f 3. lim  

Jika salah satu dari kondisi ini tidak dipenuhi, maka kita katakan f tidak kontinu di c. Sehingga fungsi pada Gambar 1.72a dan 1.72b tidak kontinu (diskontinu) di c, sedangkan pada Gambar 1.72c fungsi kontinu di c.   Contoh 1.45 Fungsi f(x)= 2x+2 kontinu pada titik x = 2 karena  2 2 2 · 2 2 62 .       

 Contoh 1.46 Periksalah titik diskontinu dari fungsi­fungsi berikut 

a.      b.        c.   

 Penyelesaian. 

a.   Fungsi  f(x)  tidak  terdefinisi  di  x  =  2  karena  menyebabkan penyebut 0, sehingga    tidak kontinu di x = 2. Akan tetapi 

lim42 lim

2 22 4. 

Kediskontinuan seperti ini dapat dihapus (Gambar 1.73).   

 b.    

Fungsi  f(x)  tidak  terdefinisi  di  x  =  2  karena  menyebabkan penyebut  0,  sehingga   tidak  kontinu  di  x  =  2. Untuk  mengetahui  lebih  jauh,  kita  periksa  limit  2 dari f(x) 

lim ∞ dan lim ∞ 

sehingga lim ∞. Kediskontinuan seperti ini dapat dihapus (Gambar 1.74).  

c.    Fungsi  f(x)  tidak  terdefinisi  di  x  =  2  karena  menyebabkan penyebut  0,  sehingga   tidak  kontinu  di  x  =  2. Kemudian kita periksa limit f(x) untuk  2.  

lim| 4|

2lim

2 22

4  dan  

lim| 4|

2lim

2 22

4  

sehingga lim  tidak ada. Kediskontinuan  seperti  ini  tidak  dapat  dihapus  (Gambar 

1.75).       

Gambar 1.73

Gambar 1. 74

Gambar 1.75

Page 48: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

48     BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS  

 Suatu titik diskontinu dari suatu fungsi dapat dihapus jika kita dapat mendefinisikan ulang nilai fungsi  di  c  dan  membuat  f  menjadi  kontinu  di  c.  Jika  hal  ini  tidak  dimungkinkan,  maka kediskontinuan  tidak dapat dihapus. Misalnya untuk contoh 1.46a,  f dapat didefinisikan ulang menjadi fungsi yang kontinu dengan 

42 , 2

4 2. 

Perhatikan bahwa pada pendefinisian ulang ini kita membuat  2 4   lim  .  Teorema 1.7 Kontinuitas di bawah operasi fungsi Jika f dan g merupakan fungsi­fungsi yang kontinu pada titik x = c maka fungsi­fungsi   · ,  ,      · ,    asalkan  0,  ,   asalkan  0 jika n genap, juga kontinu pada titik x = c. 

 Bukti. Bukti dari teorema ini diperoleh langsung dari sifat limit (Teorema 1.1). Sebagai contoh kita buktikan  untuk  . Misalnya f dan g kontinu di c maka  

lim lim lim lim .  Yang kita peroleh adalah kenyataan bahwa f+g kontinu di c.       Contoh 1.47 Carilah semua titik kediskontinuan dari fungsi   dan golongkan apakah titik kediskontinuan itu dapat atau tidak dapat dihapus.  Penyelesaian. Fungsi  f(x)  tidak  terdefinisi di x = 0 dan x = 1 karena menyebabkan penyebut 0, sehingga    tidak kontinu di x = 0 dan 1.   lim   lim   · lim   1 1 1. 

  lim ∞ dan lim ∞. 

sehingga lim  tidak ada.  Kediskontinuan  f(x)  di  x  =  0  dapat  dihapus  dengan mendefinisikan  1 1,  sedangkan  di kediskontinuan di x = 1 tidak dapat dihapus.        Pada  subbab 1.3  kita  sudah mengetahui  bahwa  selain  operasi  aljabar,  pada  fungsi  juga dapat dilakukan operasi komposisi. Operasi ini mempertahankan kekontinuan.  Teorema 1.8 Teorema limit komposit Jika   dan f kontinu di L, maka 

. Secara khusus, jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c) maka   juga kontinu di c.  Teorema 1.9 Kekontinuan pada interval Fungsi  f(x)  disebut  kontinu  kanan  di  c  jika   dan  kontinu  kiri  di  c  jika 

. Kita katakan f kontinu di interval terbuka (a, b) jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut. Kita katakan f kontinu di interval tutup [a, b] jika f kontinu di setiap titik pada interval buka (a, b), kontinu kiri di a, dan kontinu kanan di b.  Secara intuitif, jika f kontinu pada interval [a, b] berarti tidak ada lompatan pada grafik  f di [a, b]. Ide ini memberikan teorema berikut. 

Page 49: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus

BAB 1. PREVIEW DARI KALKULUS    49  

  Teorema 1.10 Teorema nilai antara Misalkan  f  fungsi yang terdefinisi pada  [a, b] dan y0 adalah suatu bilangan dengan 

. Jika  f kontinu pada [a, b], maka pasti ada paling sedikit satu c dengan   sehingga . 

 Bukti dari teorema ini dapat dilihat dalam buku‐buku kalkulus yang lebih lanjut. Gambar 1.76a memberikan ilustrasi teorema nilai antara. Ketika kita mengambil   dengan   maka kita menemukan satu   dengan   dimana  . Dan ketika kita   mengambil  dengan   maka  kita  menemukan  tiga  nilai  , ,  dengan 

 dimana  .   Gambar  1.76b  adalah  ilustrasi  teorema  nilai  antara  tidak  dipenuhi  karena  fungsi   pada Gambar 1.76b tidak kontinu, sehingga ketika kita mengambil   dengan   maka kita tidak dapat menemukan satu   dengan   dimana  .  

 (a)    (b) 

Gambar 1.76 Contoh 1.48 Tunjukkan bahwa  3 0 mempunyai akar real.  Penyelesaian.  Fungsi  3 kontinu  di  setiap  .  Dengan  observasi  kita  tahu bahwa f(‐1) = ‐3 dan f(3) =3, yang berarti f(‐1) < 0 < f(3). Teorema nilai antara menjamin bahwa ada c dengan ‐1 < c < 3 sehingga f(c) = 0. Artinya  3 0 mempunyai akar real.  Latihan 1.9. Buku Latihan  Bahan pendalaman materi : • Subbab 2.9 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, 

Jakarta, 2004. • Subbab 2.4 dari Calculus, C.H. Edwards, D.E. Penney, Pearson Education International, New 

Jersey, 2002. • Subbab  1.6  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson  Education 

International, New Jersey, 2007. 

Page 50: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus
Page 51: Bab 1 MatDas A1 Preview Kalkulus