Bab 1 Fungsi

BAB 1

FUNGSI

Tujuan Pembelajaran Umum :Setelah mempelajari topik ini, Anda diharapkan dapat memahami fungsi melalui konsep, sifat-sifat dan penerapannya pada persoalan teknik .

Tujuan Pembelajaran khususs :Setelah Anda mempelajari topik ini, Anda diharapkan

1) Mengetahui konsep dasar fungsi ;2) Mampu menentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi ;3) Mampu menentukan penjumlahan dan pengurangan fungsi ;4) Mampu menentukan perkalian dan pembagian fungsi;5) Mampu menentukan komposisi fungsi ;6) Mampu menentukan invers fungsi7) Mampu menerapkan fungsi dalam menyelesaikan persoalan teknik;8) Mampu membuat sketsa grafik fungsi ;9) Mengetahui konsep dasar fungsi trogonometri ;10) Mampu menyelesaikan persamaan trigonometri ;11) Mampu membuat sketsa grafik fungsi trigonometri ;12) Mampu menentukan trigonometri dari jumlah dan selisih sudut;13) Mampu menentukan penjumlahan dan perkalian fungsi trigonometri;14) Mampu menerapkan fungsi trigonometri dalam menyelesaikan persoalan teknik;

1.1 Fungsi

Dalam masalah teknik sering dijumpai, hukum-hukum atau hasil pengamatan dinyatakan dalam bentuk fungsi . Berikut dibahas contoh-contoh fungsi yang dibentuk dari masalah teknik

Contoh 1.Hukum Ohm menyatakan bahwa potensial listrik pada suatu rangkaian melalui hambatatan , adalah berbanding lurus dengan besar arus dan besar hambatan, Apabila potensial listrik dinyatakan dengan V, arus I , dan hambatan R , pernyataan tersebut dituliskan

V = I R (1)

Berikut merupakan bentuk fungsi yang dibuat dari suatu pengamatan.

Matematika Terapan 1 nuntuk Teknik Elektronika 1

Contoh 2.Dari pengamatan disimpulkan bahwa jika suatu benda dicelupkan ke dalam medium dengan suhu berbeda, suhu berubah dengan laju perubahan waktu, di setiap waktu berbanding lurus dengan perbedaan suhu benda dan suhu medium pada waktu tersebut.Kita nyatakan suhu benda pada waktu t, T, dan suhu medium T0, dan laju perubahan suhu benda terhadap perubahan waktu t, v(t). Dengan demikian, pernyataan tersebut dituliskan

k : konstanta (2)

Definisi 1: Fungsi adalah pasangan terurut (x,y) yang tidak memiliki pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama.

Fungsi yang dinyatakan dalam y = f(x), adalah fungsi yang menghubungkan setiap variabel bebas x real dengan satu variabel tak bebas y real .Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal (Domain) fungsi yaitu :

Df = x y = f(x) terdefinisi dan himpunan semua nilai y yang dihasilkan dinamakan daerah hasil (Range) fungsi.

Rf = y y = f(x) , x Df

Contoh 3. Apabila f(x) = x2 – 2x + 7 , hitung f(1), f(2), dan , f(x+h)Penyelesaian

f(1) = 1 – 2 + 7 = 6f(2) = 4 – 4 + 7 = 7f(x+h) = (x+h)2 – 2(x+h) + 7 = x2 + (2h-2)x + h2 -2h + 7

Contoh 4. Tentukan daerah asal a) f(x) = b) f(x) = Penyelesaian a. Karena Bilangan di dalam akar tidak boleh negatif,

( x – 1 ) 0 x 1Jadi

Df = x x 1 b. (x2 – 3x + 2) 0 (x – 2)(x – 1 ) 0 x 1 atau x 2 Jadi

Df = x x 1 atau x 2

Contoh 5. Tentukan daerah hasil f(x) = Penyelesaian Karena untuk setiap x Df , minimum f(x) = 0 dan f(x) membesar tanpa batas untuk x yang membesar ,

Rf = y y 0

Contoh 6.


Arus listrik yang melalui suatu rangkaian Resisitor (R), Induktor (L) , dangan beda potensial E0 dinyatakan dengan fungsi

I(t) = ( 1 – ) (3)

Tentukan daerah hasil fungsi tersebut, dan jika diketahui Eo = 100 volt dan R = 100 , berapakah L yang harus dipilih agar I naik dari 0 hingga 25% dari arus akhirnya dalam waktu 10-4 detikPenyelesaian

Untuk t = 0 I(0) = ( 1 – ) = 0

dan untuk t yang membesar, mendekati 0, jadi I mendekati

Dengan demikian daerah hasil fungsi tersebut adalah I 0 I

Dari daerah hasil arus akhirnya akan mendekati ,

Pada waktu t = 10-4 detik I = 25% , dengan menyubstitusikan ke persamaan 3 di

dapat

25% = ( 1 – )

= 0,75

= ln 0,75

L = = 0,0347 H

Operasi Fungsi

Definisi 2:Apabila f dan g masing-masing merupakan fungsi,a) Jumlah dua fungsi adalah fungsi , (f + g) (x) = f(x) + g(x)b) Pengurangan dua fungsi adalah fungsi , (f - g) (x) = f(x) - g(x)c) Perkalian dua fungsi adalah fungsi , (f.g)(x) = f(x).g(x)

d) Pembagian dua fungsi adalah fungsi, (x) =

Daerah asal operasi a s.d. d adalah DfDg

Contoh 7.

Jika f(x) = dan g(x) =


tentukan (f + g)(x) , (f - g)(x) , (f.g)(x), (x) dan daerah asalnya

Penyelesainan Karena penyebut dari pecahan tidak boleh nol, Df = x x -2 dan x 2 dan Dg =x x 1

(f + g) (x) = + =

(f - g) (x) = - =

(f.g)(x) = =

(x) = / =

Daerah asalnya adalah DfDg = x x -2 , x 2 dan x 1

Definisi 3:Diberikan dua fungsi f dan g, fungsi komposisi yang dinyatakan fog ,didefinisikan oleh

(fog)(x) = f(g(x))dan daerah asal fog adalah himpunan semua nilai x di daerah asal g(x) sehingga g(x) di daerah asal f(x).

Contoh 8.

Diketahui f(x) = dan g(x) = x2 – 4x + 2

Tentukan fog(x) serta daerah asalnya Penyelesaian

fog(x) = =

Karena Df = x 0, maka agar g(x) di Df g(x) 0 x2 – 4x + 2 0 x Real

Jadi , D fog(x) = x x Real

Definisi 3: Apabila y = f(x) dapat dituliskan x = f(y), f(y) dikatakan invers dari f(x) ditulis f -1(y)=x.

Teorema f -1of(x) = fof -1(x) = x

Contoh 9.

Carilah f -1(x), jika f(x) =

Penyeleaian

y =

ax+b = cxy + dy


(a-cy)x = dy – b

x = = f -1(y)

jadi f -1(x) =

Contoh 10. Total muatan pada suatu rangkaian listrik pada setiap waktu t detik diberikan oleh

= Coulom .

Tentukan t ketika q dalam satuan Coulom, adalah 2,5, dan 5.

Penyelesaian

q = t = q - q t t + q t = q t =

Jadi, untuk q = 2 t = = detik

untuk q = 3 t = = detik

untuk q = 5 t = = detik

Grafik Fungsi

Definisi 4:Apabila y = f(x) suatu fungsi, grafik fungsi f adalah himpunan titik-titik di bidang datar sehingga (x,y) merupakan pasangan terurut dari y = f(x) . Untuk membuat sketsa grafik fungsi y = f(x), substitusikan nilai- nilai x Df ke persamaan fungsinya. Tidak perlu menyubstitusi semua nilai x Df . Ambil nilai-nilai x yang dapat mewakili semua x Df

Contoh 7.Sketsa grafik y = x2 – 1Penyelesaian Nilai nilai x Df yang diambil dan bersesuaian dengan satu nilai y ,dinyatakan dalam tabel berikut

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 15 8 3 0 -1 0 3 8 15

dan sketsa grafiknya


Contoh 8

Sketsa grafik y =

Penyelesaian nilai nilai x Df yang bersesuaian dengan satu nilai y dinyatakan dalam tabel berikut

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 0,8 0,75 0,6 0,5 0 Tidak terdefinisi 2 1,5 1,3

dan sketsa grafiknya


Latihan 1.1 1. Untuk f(x) = x3 – 4x + 2 , tentukan a) f(-x) = .. b) f(x-2) = … c) f( ) = …2. Diketahui f(x) = , tentukan f(x2 -6x +8) – f(x2-1)3. Carilah f -1(x) pada fungsi-fungsi berikut ini

a. f(x) = 2x -3

b. f(x) =

c. f(x) = d. f(x) = x2 – 2x + 3

4. Diketahui fog(x) = x2 -1 jika f(x) = 4x + 2 maka g(x) = …5. Diketahui fog(x) = x2 + 3 , apabila g(x) = x – 4 , maka f(x) = …6. Untuk f(x +2) = x2 + 1 ,tentukan f(x – 1) = …

7. Jika f(x) = dan g(x) = x2 untuk x 0, maka (fog)-1(2) = …

8. Sketsa grafik fungsi y = f(x) dengan

a) y = x2 – 4x + 3 b) y = c) y =

9. Suatu rangkaian arus bolak - balik memiliki peiode 0,02 detik dan voltase

10. maksimum 45 volt ketika t = 0 voltase adalah -25 volt. Tentukan bentuk fungsi dari voltase


11. Arus litrik pada setiap waktu t dalam rangkaian RL , I(t) = (1 - ), Eo = 100

volt dan R = 50 Ω , tentukan L agar arus naik 30% dari arus akhirnya, dalam waktu 10-2 detik.

1.2 Trigonometri

Trigonometri didefinisikan sebagai perbandingan segitiga siku-siku, Ada tiga besaran , yang masing-masing dinamakan sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan) kemudian bentuk kebalikan sinus , cosinus dan tangen, yang masing-masing dituliskan cosecan (csc) , secan (sec) dan cotangen (ctg), yang lengkapnya didefinisikan berikut

Definisi 1 Diketahui segitiga ABC , yang siku-siku di B dan panjang AB = c , BC = b , dan AC = b (Gambar 1.2.1).

sin = , cos = , dan tan =

selanjutnya bentuk-bentuk kebalikan

csc = = , sec = = , dan ctg =

Matematika Terapan 1 nuntuk Teknik Elektronika

C

BA c

ab

Gambar 1.2.1

8

untuk sudut dikudran II , III dan IV dinyatakan dalam dalam gambar 1.2.2

Dengan menggunakan gambar 1.2.2, nilai-nilai sinus, cosinus , dan tangen adalah

Sudut Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV

+ + - -+ - - ++ - + -

Tabel 1.2.1

Nilai trigonometri suatu sudut ditentukan oleh tabel trigonometri atau alat bantu kalkulator.


bb

b b

kuadran Ia

-a

c-c

kuadran II

kuadran III kuadran IV

Gambar 1.2.2

9

Tabel 1.2.2 adalah nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

sin cos tan csc sec ctg

0 0 1 0 tidak terdefinisi 1 tidak

terdefinisi

30 2

45 1 1

60 2

90 1 0 tidak terdefinisi 1 tidak

terdefinisi 0

180 0 -1 0 tidak terdefinisi -1 tidak

terdefinisi

270 -1 0 0 -1 tidak terdefinisi 0

360 0 1 0 tidak terdefinisi 1 tidak

terdefinisiTabel 1.2.2

Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada gambar 1.2.1, dapat diturunkan tiga sifat + = (1)

apabila persamaan 1 dibagi dengan , didapat

+ = 1 (2)

dari definisi 1, persamaan 2 dituliskan + = 1 (3)

dan apabila persamaan 1 dibagi dengan

+ 1 = (4)

dari definisi 1, persamaan 4 menjadi + 1 = (5)

selanjutnya jika persamaan 1 dibagi dengan

1+ = (6)

dari definisi 1, persamaan 6 menjadi

1 + = (7)

Dari persamaan 3 , 5 dan 7 didapat hubungan = 1 - = 1 - = - 1 = - 1


Hubungan tersebut tidak hanya berlaku untuk sudut diantara 0o sampai dengan 90o tetapi juga berlaku untuk sembarang sudut

Contoh 1Selesaikanlah persamaan trigonometri berikut untuk setiap nilai sudut pada interval 00 x 360

a) 3sin x – 2 = 0b) 7 – 6 cos x = 9c) 2 tan x – 4 = 0

Penyelesaian

a) sin x =

Dengan menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator , didapatkan hasil

x = = 41,8102o

dan dengan menggunakan tabel 1.2.1, nilai lainya dikuadran IIx = 180 – 41,8102 = 138, 1898o

b) cos x =

x = = -109,471

karena x positif, bentuk positif sudut tersebut adalah x = 360 – 109,471 = 250,529

dan dengan menggunakan tabel 1.2.1, nilai lainya dikuadran IIx = 180 – (250, 529 – 180 ) = 360 – 250,529 = 109,529

c) tan x = 2x = = 63,4349

dan dengan menggunakan tabel 1.2.1, nilai lainya dikuadran IIIx = 180 + 63,4349 = 243,4349

Teerema 1. Trigonometri Jumlah Sudut

a. sin( + ) = sin cos + cos sin b. sin( - ) = sin cos - cos sin c. cos( + ) = cos cos - sin sin d. cos( - ) = cos cos + sin sin

e. tan( + ) =

f. tan ( - ) =

Contoh 2Tentukan

a) cos 2 t cos 3 t – sin 2 t sin 3 tb) sin x cos 4x + cos x sin 4xc) cos 3x cos 4x + sin 3x sin 4x

Dari teorema1, dapat diturunkan sifat-sifat berikutsin (-x) = sin( 0 –x ) = sin 0 cos x - cos 0 sin x


dari tabel 1.2.1, didapatsin (-x) = - sin x (8)

Dengan cara yang sama dapat duturunkan cos(-x) = cos(x) (9)

dan tan(-x) = - tan (x) (10)

Contoh 3Hitunglah sin (-27o ) , cos (-127o ) , tan (-305o)Penyelesaian Dengan menerapkan persamaan 8, diperoleh hasil

sin (-27o ) = - sin (27) = 0,45399dan dari persamaan 9, diperoleh hasil

cos (-127o ) = cos (127o) = -0,6018

Contoh 4Tentukan

a) cos 2 t cos 3 t – sin 2 t sin 3 tb) sin x cos 4x + cos x sin 4xc) cos 3x cos 4x + sin 3x sin 4x

Penyelesaian Dari teorema 1a) cos 2 t cos 3 t – sin 2 t sin 3 t = sin (2 t - 3 t) = sin( - t)

Dari persamaan 8, didapat sin( - t) = - sin( t)

b) sin x cos 4x + cos x sin 4x = sin (x + 4x) = sin 5xc) cos 3x cos 4x + sin 3x sin 4x = cos (3x - 4x) = cos –x

= cos x

Trigonometri untuk sudut dengan penambah kelipatan 360o untuk sinus dan cosinus serta 180 untuk tangen , dapat ditentukan dengan menerapkan teorema 1.Untuk nillai k = 0, 1 ,2 , 3, ....sin ( + k 360) = sin cos k360 + cos sin k360

sin ( + k 360) = sin (11)dengan cara yang sama

cos ( + k 360) = cos (12)dan

tan ( + k 180) = tan (13)

Contoh 5Selesaikanlah persamaan trigonometri berikut untuk setiap nilai sudut pada interval 00 x 360

a) 3sin 2x – 2 = 0b) 7 – 6 cos 3x = 9

Penyelesaian


a) sin 2x =

2x = = 41,8102o, dan 2x = 138,189

Dengan menerapkan persamaan 112x = 41,8102o + k360 , dan 2x = 138,189 + k360 2x = 41,8102o + k360 , dan 2x = 138,189 + k360 x =20.9051 + k180 , dan x = 69.0945 + k180

dengan menyubstitukan nilai-nilai k = 0 , 1 , 2 , ... didapat

k 0 1 2x 20,9051 dan 69,0945 200.9051dan 249,0945 -

Untuk k = 2, x tidak perlu ditentukan, karena nilai x yang dicari terletak pada inteval 00 x 360

b) cos 3x =

3x =

3x = 109,529+ k360 , dan 3x = 250,529+ k360 x =36,5096 + k120 , dan x = 83,5097 + k120

dengan menyubstitukan nilai-nilai k = 0 , 1 , 2 , ... didapat

k 0 1 2x 36,5096 dan 83,5097 156,5096 dan 203,5097 276,5096d an 323,5097

Teorema 2 Penjumlahan Trigonometri

a. sin + sin = 2 sin cos

b. sin - sin = 2 cos sin

c. cos + cos = 2 cos cos

d. cos - cos = - 2 sin sin

Contoh 6tentukan a. sin 5x + sin 3xb. sin 5x + sin 7xc. cos 6x – cos 8xPenyelesaian Dengan menerapkan teorema 2, diperoleh

a. sin 5x + sin 3x = 2 sin cos = 2 sin 4x sin x


b. cos 5x + cos 7x = 2 cos cos = -2 cos 6x cos x

c. cos 6x – cos 8x = - 2 sin sin = 2 sin 7x sin x

Teorema 3 Penjumlahan sinus dan cosinus dengan sudut yang sama dapat dinyatakan dalam bentuk sinus

A cos x + B sin x = k sin ( x + )

dengan k = , dan = tan -1

A B Kuadran Sudut

+ + I+ - II_ _ III- + IV

Tabel 1.2.3

Contoh 7.Tentukan penjumlahan trigonometri berikuta. sin 2x + cos 2x b. –sin 3x + cos 3xc. -2 cos 2x + 2 sin 2xPenyelesaian a. Dengan menerapkan teorema 3 dan tabel 1.2.3

k = = , dan = tan -1 = 45o

sehingga sin 2x + cos 2x = sin (2x + 45o)

b. k = = , dan = tan -1 = 135o

maka sin 3x + cos 3x = sin (3x + 135o)

c. k = = 4 , dan = tan -1 = 300o

sehingga-2 cos 2x + 2 sin 2x = 4 sin (3x + 300o)

Dari persamaan 11, diperoleh sin (3x + 300o) = sin (3x – 60 +360) = sin ( 3x – 60 )

sehingga penjumlahan tersebut dapat juga dituliskan -2 cos 2x + 2 sin 2x = 4 sin ( 3x – 60 )

Teorema 4 Perkalian Trigonometri


a. sin sin = - ( cos - cos )

b. sin cos = ( sin + sin )

c. cos sin = ( sin - sin )

d. cos cos = ( cos + cos )

Contoh 8Nyatakan perkalian berikut ke bentuk penjumlahan sin 5t cos 2ta. sin 5t sin 3t b. sin 4t cos 7t c. cos 3t cos 2t Penyelesaian

a. sin 5t sin 3t = - ( cos - cos ) = - ( cos - cos )

b. sin 4t cos 7t = ( sin + sin ) = ( sin - sin )

c. cos 3t cos 2t = ( cos + cos ) = ( cos + cos )

Latihan 1.2Selesaikan Persamaan berikut ini, dengan 0 x 3600

1. sin x = 0 2. cos x = ½ 3. sin2x = 1 4. cos2x = 0 5. sec x = 2 6. sin3x=½3 7. cos2x = ½ 8. sin3x= -½ 9. cos6x=-1 10. cos5x = 0

Sederhanakan penjumlahan trigonometri berikut ini11. cos t cos 3 t – sin t sin 312. sin 3x cos 4x + cos3 x sin 4x13. cos 2x cos 4x - sin 2x sin 4x 14. sin (-x)cos 4x + cos x sin 4x

Nyatakan ke bentuk perkalian 15. cos 3 t – cos t 16. sin 3x + sin 4x17. cos 2x + cos 4x 18. sin x - cos 2x

Tentukan penjumlahan trigonometri berikut19. cos 3 t – sin 3 t 20. cos 3x + 2 sin 3x21. cos 4x - cos 4x 22. sin 2x - cos 2x

Nyatakan perkalian berikut ke bentuk penjumlahan


23. sin 3 t sin 3 t 24. cos 3x 2 sin 3x25. cos 4x cos x 26. sin 2x cos 4x

1.3 Fungsi TrigonometriDaerah asal dan hasil fungsi yang didefinisikan pada pasal 1.1 adalah bilangan real. Apabila trigonometri akan dinyatakan dalam fungsi trigonometri, terlebih dahulu ukuran sudutnya dirubah ke bentuk radian, sehingga daerah asal fungsi sinus dan cosinus adalah himpunan bilangan real. Karena fungsi sinus dan cosinus memiliki nilai terbesar 1 dan terkecil -1, daerah hasilnya y -1 y 1

Definisi . Misalkan sudut o adalah sudut yang dibentuk oleh OA dan OB, yang panjangnya masing- masing 1, gambar 1.3.1

Apabila s adalah panjang busur lingkaran OA diputar ke OB, ukuran sudut radian dari sudut dalam derajat adalah

= sSuatu sudut yang dibentuk satu putaran lengkap oleh OA berlawanan arah jarum jam memiliki ukuran 360o, dan ukuran radian adalah keliling lingkaran 2 ( = 3,14159) , sehingga

360o = 2 rad1800 = rad

Dengan demikian, didapat hubungan

1o = rad , dan 1 rad =


s

o

1

B

AO

Gambar 1.3.1

16

Contoh 1Nyatakan sudut – sudut berikut ke bentuk radian a) 125o , b) 24,125o

Penyelesaian

a) 125o = 125o = 0,694 rad

b) 24,125 = 24,125 = 0,1340 rad

Contoh 2Nyatakan sudut – sudut berikut ke bentuk derajat a) 1,25 , b) 4,2Penyelesaian

c) 1,25 = 1,25 = 71,6137o

d) 24,125 = 24,125 = 240,642o

1.4 Grafik Fungsi Trigonometri Grafik fungsi f(x) = sin x, f(x) = cos x , dan f(x) = tan x dapat digambar dengan membuat tabel nilai-nilai fungsi tersebut untuk x terletak pada [0 , 2π], dengan bantuan kalkulator didapat

f(x) = sin x

x 0 π π π π π π π π π π π 2π

Sin x 0 0,5 0,87 1 0,87 0,5 0 -0,5 -0,87 -1 -0,87 -0,5 0


Gambar 1.3.2

f(x) = cos x


cos x 1 0,87 0,50 0 -0,5 -0,87 -1 -0,5 -0,87 0 0,50 0,87 1

Gambar 1.3.3

f(x) = tan x


cos x 0 0,58 1,73 ∞ -1,73 -0,58 0 0,58 1,73 ∞ -0,58 0,87 1

Gambar 1.3.4

Dari gambar 1.3.2, 1.3.3, dan 1.3.4


Grafik sinus dan cosinus berosilasi diantara puncak -1 sampai dengan 1 Kurva cosinus memiliki bentuk yang sama dengan kurva sinus setelah digeser ½

π Kurva sinus dan cosinus kontinu, sedangkan tangen tidak kontinu dan

mengalami pengulangan setiap Cara lain menggambarkan fungsi sinus adalah dengan menggunakan lingkaran satuan ( Lingkaran dengan jari-jari satu satuan), dalam contoh ini lingkaran dibagi kedalam 12 bagian dengan tiap bagian 30o, perhatikan sudut pusat 30o dengan komponen vertikalnya adalah AB dan komponen horizontalnya adalah OA

sin 30o = maka AB = sin 30o

f(x) = sin x

Gambar 1.3.5

Komponen vertikal AB dapat diproyeksikan menjadi A’B’ yang merupakan nilai dari f(30o) pada grafik f(x) = sin x, apabila semua AB diproyeksikan pada grafik maka diperoleh grafik fungsi sinus pada [0 , 360o].

Selanjutnya untuk fungsi f(x) = cos x komponen vertikalnya adalah AB sebagaimana tampak pada gambar ..... Komponen vertikal AB dapat diproyeksikan menjadi A’B’ yang merupakan nilai dari f(30o) pada grafik f(x) = cos x, apabila semua AB diproyeksikan pada grafik maka diperoleh grafik fungsi cosinus pada [0 , 360o].

cos 30o = maka AB = cos 30o

Grafik fungsi cosinus sama dengan grafik sinus digeser 90o ( ½ π) kekanan.


90o

30o0o

330o

180o 360o

B’

A’30o

B

180o 360o

B’

A’30o

B

A

B

A

Gambar 1.3.6

Fungsi Periodik

Suatu fungsi f(x) dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan riil T > 0 sehinggaf(x + T) = f(x) (1)

untuk semua x dan x + T di daerah asal f(x). Bilangan T ini dinamakan periode f(x).Grafik fungsi periodik (Gambar 1.3.4) memperlihatkan bentuk pengulangan pada setiap nilai x + T. Periodenya dapat diperlebar menjadi 2T, 3T, 4T, dan seterusnya.

Apabila fungsi periodik mempunyai periode terkecil T = k > 0, nilai k ini dinamakan periode dasar dari f(x).

Contoh 3. Tentukan periode dasar dari f(x) = sin x

Penyelesaian

Misalnya periode f(x) adalah T, dengan mengganti x oleh x + T diperolehf(x + T) = sin (x + T) = sin x

Menurut rumus sinus jumlah sudut diperolehsin x cos T + cos x sin T = sin x

dan persamaan terakhir dipenuhi apabilacos T = 1 (14)sin T = 0 (15)

Dari cos T = 1 diperolehT = 2, 4, 6, 8, …………

Dari sin T = 0 diperoleh


T

2T 3T

4T

Gambar 1.3.4 Grafik fungsi periodik

20

180o

T = , 2, 3, 4, ………….sehingga nilai T yang memenuhi persamaan (14) dan (15) adalah

T = 2, 4, 6, 8, …………Karena nilai T paling kecil adalah 2, periode dasarnya 2.Selanjutnya, dengan cara yang sama, fungsi cos x dan tan x berperiodik dengan periode masing-masing 2 dan .

Contoh 4. Tentukan periode dasar dari fungsia) f(x) = sin axb) f(x) = cos ax

Penyelesaiana. Misalnya periode dasar sin ax adalah T,

f(x + T) = sin a(x + T) = sin (ax + aT) = sin axkarena sin (ax + aT) = sin ax, diperoleh

aT = 2 sehingga T =

b. Dengan cara yang sama, periode dasar dari cos ax adalah

Teorema . Apabila f(x) dan g(x) berperiodik dengan periode T, maka fungsi f(x) + g(x), juga berperiodik dengan periode T.

Contoh 5. Tentukan periode dasar dari sin x + sin 2x

Penyelesaian

Periode dasar dari sin x adalah 2, selanjutnya memiliki periodeT = 2, 4, 6, ………….

Periode dasar dari sin 2x adalah = , kemudian memiliki periode

T = , 2, 3, 4, …………Menurut teorema 1, periode sin x + sin 2x adalah

T = 2, 4, 6, ………..Dengan demikian, periode dasarnya adalah 2.

Masalah teknik yang berkaitan dengan periode, frekuensi, dan nilai maksimum, biasanya berbentuk fungsi trigonometri. fungsi trigonometri yang berbentuk f(t) = A sin ( t – α ) atau f(t) = A cos ( t – α )memiliki nilai maksimum dan minimum - , sedangkan periodanya dari contoh 4 pasal 1.3 , adalah

T =


dan frequensi f = =

Contoh 6Suatu rangkaian listrik memiliki potensial v berbentuk sinus dengan harga maksimumnya 42 volt dan frekuensi 60 Hz , tentukan bentuk fungsi potensila tersebut

Penyelesaian A = 42 volt

f = = 2f = 2 60 = 120

dengan menyubstitusikan ke persamaan 3, didapat bentuk fungsi v = 42 sin 120 t

Contoh 7 Potensial listrik pada setiap waktu adalah fungsi yang berbentuk

v = 70 sin (100 t + 0,380 ) volta) hitung besar voltase ketika t = 0 , b) waktu t ketika volltase maksimumPenyelesaian a) v(0) = 70 sin( 0,380) = 26,2891

Contoh 8Voltase suatu rangakaian listrik dinyatakan dalam fungsi

v = 50 sin 100t + 30 cos 100tTentukan voltase maksimum dan frequensi

Penyelesaian Dengan menerapkan teorema 3, pada pasal 1.2 , didapat

v = 50 sin 100t + 30 cos 100t = sin (100t + )= 58,305 sin(100t + )

Dari persamaan 3 ,

maksimum v = 58,305 dan frequensi f = = = 50 Hz

Latihan 1.3

Tentukan perioda, frequensi,dan sketsa grafik fungsi berikut ini 1. sin 3x 2. tan ½ x 3. cos2 2x 4. cos x + sin x5. sinx + sin 2x 6. cosx + cos 4x 7. sin3x + cos2x 8. sin ½ x + cosx

Sketsa grafik fungsi berikut pada selang 0 x 3600

9. sin x 10. tan x 11. cos x 12. sin 2x 13. cos ½ x14. sin 3x 15. cos 4x 16. sin 1/3 x 17. cos ¼ x 18. cotg ½ x

1. Bentuk fungsi voltase dari suatu rangkaian AC diberikan oleh v = 73 sin ( 250t + 0,25 ) , a) hitung besar voltase ketika t = 5 detik


b) tentukan bilamanakah voltase maksimum

2. Arus bolak-balik pada setiap waktu t, diberikan oleh i1= 300 sin(10t - ) dan i2 =

800sin(10t + ).

Tentukan i1 + i2 dan carilah nilai maksimum dan frekuensi.3. Dua buah beda potensial V1 = 4 cos(t) dan V2 = -3 sin(t) merupakan input dari

suatu rangkainan analog. Tentukan output dari rangkaian tersebut, apabila output-nya adalah jumlah kedua potensial tersebut.

Rangkuman

Fungsi yang dinyatakan dalam y = f(x), adalah fungsi yang menghubungkan setiap variabel bebas x Real dengan satu variabel tak bebas y Real.

Operasi fungsiApabila f dan g fungsi , berlaku a) (f + g) (x) = f(x) + g(x)b) (f - g) (x) = f(x) - g(x)c) (f.g)(x) = f(x).g(x)

d) (x) =

e) (fog)(x) = f(g(x))

Trigonometri didefinisikan sebagai perbandingan segitiga siku-siku, yang memiliki sifat - sifat

= 1 - = 1 - = - 1 = - 1

Sifat-sifat yang berkaitan dengan operasi-operasi trigonometri


1. sin( + ) = sin cos + cos sin 2. sin( - ) = sin cos - cos sin 3. cos( + ) = cos cos - sin sin 4. cos( - ) = cos cos + sin sin

5. tan( + ) =

6. tan ( - ) =

7. sin + sin = 2 sin cos

8. sin - sin = 2 cos sin

9. cos + cos = 2 cos cos

10. cos - cos = - 2 sin sin

11. sin sin = - ( cos - cos )

12. sin cos = ( sin + sin )

13. cos sin = ( sin - sin )

14. cos cos = ( cos + cos )

15. A cos x + B sin x = k sin ( x + )

Fungsi Periodik Fungsi periodik memiliki banyak penerapan dalam rangkaian listrik. Fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi persamaan

f( x + T ) = f( x ) , dimana T : perioda

Penerapan fungsi Hukum-hukum yang mengendalikan masalah teknik atau hasil pengamatan ,dinyatakan dalam bentuk fungsi . Masalah teknik ,yang berkaitan dengan periode, frekuensi, dan nilai maksimum , biasanya berbentuk fungsi trigonometri.


Bab 1 Fungsi

Documents

Transcript of Bab 1 Fungsi