Aturan Rantai Aturan Rantai Turunan Berarah Turunan Implisit Aturan Rantai Ingat !!!! Teorema di kalkulus I: Jika g mempunyai turunan di Xn dan fmempunyaiturunandiU=g(x), maka : ) ( ' )]. ( [ ')] )( [(x g x g fdxx g f d=Aturan Rantai Teorema di kalkulus I: Aturan rantai dapat dinyatakan dengan notasi Leibniz, yaitu : dxdududydxdy. =Ingat !!!! Aturan Rantai 1 dtdyyzdtdxxzdtdzcc+ cc=-Teorema Aturan Rantai I Jika fungsi x=x(t) dan y=y(t) terdiferensialkan diD t edanfungsi z=f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)=(x(t),y(t)) fD e , makafungsi z=g(t)=f(x(t),y(t)) juga terdiferensialkan di tdengan aturan : Dimana ????????????,???????????? dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)). Aturan Rantai 1 2 peubah AturanrantaiIdapatditampilkandalambentukdiagrampohon berikut

???????????? x t ???????????? z2 peubah ????????????

???????????? yt

dtdyyzdtdxxzdtdz. .cc+cc=

Aturan Rantai 1 3 peubah -Aturan Rantai I Untuk Tiga PeubahJika fungsi x=x(t),y=y(t), danz=z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsiw=f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t))Df maka w sebagai fungsi dari t.w=g(t)=f(x(t),y(t),z(t))terdiferensialkan di t D denganaturan : dtdzzwdtdyywdtdxxwdtdwcc+ cc+ cc=

Aturan Rantai 1 3 peubah Dalam betuk diagram pohon digambarkan : ???????????? x t ???????????? ???????????? wy t3 peubah ????????????

???????????? zt

dtdzzwdtdyywdtdxxwdtdwcc+ cc+ cc=

Contoh Aturan Rantai 1 Penyelesaian :

Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh : =(3x2y)(2)+(x3)(2t) =3(x) 2(y)(2)+(x) 3 (2t)=3(2t)2(t2)2+(2t)32t =3(4t2)2t2 +(8t3)2t =24t4+16t4 =40t.

2 =dtdxtdtdy2 =dtdyyzdtdxxzdtdz. .cc+cc=Contoh :Andaikanz=x3y,dimanax=2t dany=t2tentukan!dtdzAturan Rantai 2 Jikausuatufungsidarixdanyyangterdiferensialdan terdefinisikanolehu = f (x,y), sedangkanx = f (r,s) , y = g (r,s) dan Maka u suatu fungsi dari r dan s sehinggarysxrxcccccc, ,sycc dansemuanya ada ryyurxxurucccc+cccc=cc ........(A) syyusxxusucccc+cccc=cc..(B) Aturan Rantai 2 Dalam bentuk diagram pohon digambarkan :

???????????? r x ???????????? ???????????? s u

????????????

????????????r y ????????????s xuccryyurxxurucccc+cccc=ccsyyusxxusucccc+cccc=ccContoh Aturan Rantai 2 Contoh :Jika , ??? =???2 + ???2 + ???2 + ?????? dimana ??? = ??????, ??? = ??? ???, dan ??? = ??? + 2??? tentukan ????????????! Jawab : ????????????=????????????????????????+????????????????????????+???????????????????????? =(2x+y)(s)+(2y+x)(-1)+(2z)(2) = [2(x)+(y)](s)+[2(y)+(x)](-1)+(2z)(2) =(2st+s-t)(s)+(2s-2t+st)(-1)+(2s+4t)(2) = 2???2??? + ???22?????? +2??? +10???.

Aturan Rantai 3 ) ( ' )) ( ( ' ) ( )' ( X F X F G X F G = MisalkanF:D n,daerahdim dan G: E p,EdaerahdinsehinggaF(D)E .Jika fungsi Fterdiferensialkan di X Ddan fungsi G terdiferensialkandiF(X)D,makafungsi komposisiGFterdiferensialkandiXdengan aturan : dimana ??? ?????? = ????????????, ????????? = ???????????? ????????? ?????? = ?????????. Turunan Berarah DEFINISI TURUNAN BERARAH TURUNAN BERARAH SECARA GEOMETRI LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM TURUNAN BERARAH DAN BIDANG SINGGUNG PERMUKAANTURUNAN BERARAH SEPANJANG KURVA TURUNAN BERARAH DARI FUNGSI SKALAR TURUNAN BERARAH DARI FUNGAI SKALAR DENGAN GRADIENTurunan Berarah hy x f hu y hu x fy xufh) , ( ) , (lim ) , (2 10 + +=cc

Bila limit ini ada. Definisi :Misalkan fungsi z=f(x,y) terdefinisi pada daerah 2R D_ dan U=(u,v) suatu vektor satuan diR2. Turunanberarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan u ditulis) , ( ), , ( y xuzy xufcccc, Du(x,y)atauDu(x,y) didefinisikan sebagai Turunan Berarah secara geometri j u j k a a+hu T A A+hu b b+hu S:z=f(x,y) Z X Y Turunan Berarah secara geometri T A+huA C gs Turunan Berarah secara geometri aa+hu A+hu b B+hv u D Y X Turunan Berarah Cara menghitung turunan berarahTurunan berarah dari fungsi z=f(x,y) di titik (x,y) pada suatu daerahDdalamarahvektorsatuanu=(u,v)dapatdihitungdengansalahsatu cara berikut :1. Misal, g(t)=(x+tu,y+tv), maka) 0 ( '0) 0 ( ) (lim ) , (0ghg h gy xufh==cc, bila limit ini ada. 2. Dalamkasusfungsifterdefinisikandititik(x,y 2R D_ e,aturanrantai dengan r=r(t)=x+tv dan s=s(t)=y+tv memberikang(t)=????????????????????????+????????????????????????=??????????????? +??????????????? karena untuk t=0 berlaku r=x dan s=y, maka . ) , ( ) 0 ( ' ) , ( v y x f vyfuxfg y xufV =cc+cc= =cc Turunan Berarah TeoremaMenghitung Turunan Berarah dengan Vektor GradienDiketahuifungsiz=f(x,y)terdiferensialkandititik(x,y)pada daerah 2R D_ maka turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor satuan v di titik (x,y) :????????????(???, ???)= ?????????, ??????

dimana?????????, ??? = ?????????, ?????? +?????????, ??? ???. Contoh Turunan Berarah Tentukan turunan berarah fungsi f(x,y)=2???2??? +3???2dalam arh vector satuanysng membentuk sudut???6dengan sumbu xpositif di titik (x,y) b dan di titik (1,-1). Jawab : Vektor satuan u dapat ditulis sebagai ??? = cos???6, ????????? ???6 = 123,12 =123??? +12??? CaPer: Misalkan ?????? = ??? ??? +123???, ??? +12??? = 2(??? +123???)2??? +12??? +3(??? +12???)2 Contoh Turunan Berarah Disini diperoleh?????? = 2 ??? +123???2

12 +2??? +12??? 2??? +123??? 123+6 ??? +12??? (12) = ??? +123???2+23??? +123??? ??? +12??? +3 ??? +12??? Jadi turunan berarah dari fungsi f aalah ???????????????, ??? = ???0 = ???2+23?????? +3??? Sehingga turunan berarah dari fungsi f di (1,-1) adalah ????????????1, 1 = 2 23. Contoh Turunan Berarah CaLO : Turunan parsial pertama dayi fungsi f terhadap peubah x dan y adalah?????????, ??? = 4?????? dan ?????????, ??? = 2???2+6???. Berdasarkan TeoremaMenghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien makaDiperoleh turunan parsial pertama dayi fungsi f terhadap peubah x dan y adalah???????????????, ???= ?????????, ??? ??? = 4??????, 2???2+6???. 123,12 = ???2+23?????? +3???. Sehingga turunan berarah dari fungsi f di( 1,-2) adalah ????????????1, 1 = 2 23. Turunan Berarah ) , ( : y x f z S =S c b a e ) , , (Syaratterdapatnyabidangsinggungpada permukaandi titik adalahfungsifterdiferensialkansecarakontinu pada suatu daerah D yang memuat (a,b).Syaratinijugamengakibatkanterdapatturunan berarahdititik(a,b,c)untuksebarangvektor satuan u. Laju Perubahan maksimum o o cos ) ( cos ) ( ) ( . ) ( V = V = V =ccX f X f u X f u Xuf sudut antara u dan f (X) ) ( XufccJadi dimaksimalkan pada = 0 dan diminimumkan pada = Darirumusgeometrihasilkalititikkitadapat menuliskan ) ( XufccFungsiberubahpalingcepatyaknipada arah di manaterbesar.) , ( : y x f z S = S c b a e ) , , (Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaandi titik adalah fungsi fterdiferensialkan secara kontinupada suatu daerah D yang memuat (a,b).Syarat ini juga mengakibatkan terdapat turunanberarah di titik (a,b,c) untuk sebarang vektor satuan u. Turunan Berarah dan Bidang Singgung pada Permukaan ) , ( y x f z =29 _ D29 _ C) ( AufccFungsi terdefinisi pada daerah yang memuat titik A. Turunan berarah dari fungsi fsepanjang kurvadalam arah vektor singgung satuannya. Berdasarkan definisi di atas turunan berarah dari fungsi fsepanjang kurva C yang melalui A adalah,di mana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A Turunan Berarah Sepanjang Suatu Kurva ) , , ( z y x f U =39 e D) , , (3 2 1u u u u =39) , , ( z y xufcchz y x f hu z hu y hu x fz y xufh) , , ( ) , , (lim ) , , (3 2 10 + + +=ccFungsi tiga peubahterdefinisi pada daerah dan vektor satuan di Turunan berarah dari fungsi fdalam arah vektor u, ditulis,didefinisikan sebagai: . Bila limit ini ada. Turunan Berarah dan Fungsi Skalar Lainnya Turunan Berarah dari Fungsi Skalar dengan Vektor Gradien dan ) (X f w = ) ,..., , (2 1 mx x x X =mD 9 _) ,..., , (2 1 mu u u u =m9D X eJika fungsi skalar, terdiferensialkan di titik X pada daerahvektor satuan di, maka turunan berarah dari fungsi fdi titikdalam arah vektor satuan uadalah: u X f Xuf). ( ) ( V =cc11) ( e X f fnixi== V,. TURUNAN IMPLISIT Eksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit Satu Peubah Eksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit m Peubah Vektor Normal Dan Bidang Singgungpada PermukaanEksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit Satu Peubah ) , () , () ( 'y x Fy x Fdxdyx fyx = =0 ) , ( = y x FSehingga rumus untuk turunan fungsi fterhadap peubah xyaitu 0 ) , ( = y x F menyatakan y sebagai fungsi implisit dari x, ) (x f y =0 )) ( , ( = x f x F, maka diperoleh bentukyang berarti bahwa terdapat suatu selang terbuka I yang memuat x sehingga syarat untuk fungsi dipenuhi pada selang ini. Bila fungsinya dituliskan sebagaiEksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit m Peubah ) , ,..., (1y x x F um=1 +9 _mD), , ,..., (1b a am, 0 ) , ,..., (1= b a a Fm. 0 ) , ,..., (1= b a a Fm yMisalkan fungsi kontinu pada daerahyang memuat Jika (ii)Fkontinu pada D, y peubah ke-(m+1), (i) (iii) ( ) 0 , , ) , ( ) , ,.., (1> e + = k h D k b k b h a a R Rm9 e ) ,.., (1 mx x ) , ( k b k b y + e0 ) , ,..., (1= y x x FmMaka terdapat balok. Sehingga terdapat tepat satuyang memenuhi persamaaan . 1. Kasus ) , ( y x f z =,) , () , () , (y x Fy x Fy x fzxx =0 ) , , ( = z y x F,) , () , () , (y x Fy x Fy x fzyy =0 ) , , ( = z y x F danEksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit m Peubah 2. Kasus ) , ( z x f y =0 ) , ( = z x FyJadi untuk berlaku ),,( ),,( ),( ),,( ),,( ),( zyxF zyxF yxf zyxF zyxF zxf y z z y x x = = Eksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit m Peubah ) , , () , , () , (z y x Fz y x Fy x fxyy =) , , () , , () , , (z y x Fz y x Fz y x fxzz =Jadi untuk Berlaku: dan 0 ) , , ( = z y x Fx3. Kasus ) , ( z y f x =Eksistensi dan Rumus TurunanFungsi Implisit m Peubah Vektor Normal Dan Bidang Singgungpada Permukaan0 ) , , ( : = z y x F S) , , ( z y x f z =) , , ( 1 , , ) , , (1 00 1) , ( 1 0) , ( 0 1 c b aFFFFc b aF FF Fk j ib a fb a fk j iNzyzxz yz xyx bs||.|

\|= = =Vektor normal pada bidang singgung di titik (a,b,c) pada permukaanyang memuat secara implisit fungsiadalah: bsN) , , )( , , ( c b a F F Fz y x0 ) , , ( : = z y x F S) , , ( c b a F NbsV =Vektor normal lain yang merupakan kelipatan dariadalahdi titik (a,b,c) dapat diambil) , , ( c b a A =0 ) , , ( : = z y x F S) , , ( c b a F 0 ) ( = A X0 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , ( = + + c z c b a F b y c b a F a x c b a Fz y x persamaan bidang singgung di titik pada permukaan adalah,

atau dalam bentuk komponennya sebagai berikut::

Vektor Normal Dan Bidang Singgungpada Permukaan