ASURANSI PENSIUN HARI TUA - repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/2271/2/013114028_Full.pdf ·...

ASURANSI PENSIUN HARI TUA

S K R I P S I

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh :

Maria Kurnia Lestari

NIM : 013114028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


Karya Ini Kupersembahkan untuk : Bunda pelindungku, Bunda Maria

Bapak, Ibu & Kakak-kakakku, serta

Almamaterku tercinta

Keindahan Tak Berpenghujung

Cinta

Yang menjadikan langit sebagai batasnya

Itulah keindahan tak berpenghujung

yang kalian berikan padaku

Dari saat Tuhan memberikan nafas kehidupan

Hingga suka duka yang membuatku tumbuh dewasa

Dalam nama cinta

Penyertaan kalian tiada pernah berakhir

Kini, kutelah berhasil

melewati lagi anak tangga menuju masa depan

Terima Kasih kuucapkan

Semoga setiap langkah yang kupijak

Tuk mencapai puncak impian

Dapat membuat kalian bangga

Hingga Keindahan tak berpenghujung

Selalu terpancar dari senyummu

Yang membuat langkah ini selalu berarti

Teruntuk

Kedua Orang Tuaku

iv


v


ABSTRAK

Perhitungan premi asuransi pensiun hari tua, ditetapkan dengan prinsip equality. Prinsip equality terdapat dalam asuransi jiwa, yaitu nilai tunai premi (iuran) yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan (manfaat) yang akan datang. Perhitungan preminya dipilih salah satu dari tiga pilihan berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa kerja dan rata-rata gaji per tahun untuk

tahun terakhir sebelum pensiun. Secara umum, berdasarkan perhitungan urutan besarnya premi adalah premi berdasarkan masa kerja, premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun untuk tahun terakhir sebelum pensiun, dan premi berdasarkan rata-rata gaji per tahun selama masa kerja.

f

f

vi


ABSTRACT

Premium calculation in old age pension insurance is determined by using equality principle. The principle is found in life insurance, that is present value of future premium (contribution) is the same as present value of future claim (benefit). The premium calculation is taken from one of these three options that is : the working period, the averages of annual salary during working period, and the averages of annual salary for last year before pension. Generally, the amount of premium sequence is as follows : premium based on working period, premium based on the averages of annual salary for last year before pension, and premium based on the averages of annual salary during working period.

f

f

vii


KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karunia-

Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul

Asuransi Pensiun Hari Tua dengan baik.

Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, Jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dan

bimbingan dari beberapa pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak

langsung. Oleh karena itu, dengan tulus penulis ingin menyampaikan rasa terima

kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Ir.Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan Fakultas MIPA sekaligus

dosen pembimbing skripsi yang dengan penuh kesabaran membimbing selama

penulisan.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si.,M.Sc., selaku Ketua Program Studi Matematika,

dosen pembimbing akademik, sekaligus dosen penguji yang telah memberikan

kritik dan saran.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih.,S.Si, M.Si., selaku dosen penguji yang telah

memberikan kritik dan saran.

viii


4. Seluruh staf pengajar Fakultas MIPA yang telah memberikan dukungan

kepada penulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini,

sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.

5. Bapak Z. Tukija dan Ibu E. Linda S.H. yang telah membantu dalam urusan

administrasi.

6. Para karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpustakaan, di

BAAK dan di AUK, atas kerjasama dan bantuan yang telah diberikan kepada

penulis selama ini.

7. Cinta pertama dan terakhirku Bapak dan Ibu, yang telah memberikan doa,

nasehat, semangat, dukungan serta kesabaran menanti kelulusanku.

8. Mbak Wenna, mbak Erma, mas Krisna, mas Bimo (makasih atas

kesabarannya), Song-song, yang telah memberikan semangat dan dukungan

selama kuliah.

9. Mbah putri, Om, Bulik, adik-adik sepupu, yang selalu menanyakan kapan

kelulusanku, keponakan-keponakan (Detha, Fernand, Ella) terima kasih

keluguan dan kelucuannya.

10. Sr. Fidelis ,OP dan Frans Beerens, terima kasih atas segala perhatian dan

dukungannya.

11. Teman seperjuanganku, Indah. Jengkel, marah, sakit, lelah, puyeng, deg-

degan, takut, tangis, nekat, senyum, tawa, lucu, haru, lega, puas dan bahagia

pernah kita rasakan bersama selama penulisan. Yakinlah selalu teman, bahwa

“sesuatu hal akan menjadi indah pada waktunya”.

ix


12. Helen, terima kasih telah menjadi sahabatku selama ini dan Robert Tampa,

terima kasih puisi dan terjemahannya.

13. Teman-teman yang akan selalu kurindukan (Mat’01) antara lain : Andre,

Indah, Tabita, Ariel, Feri, Erika, Wiwit, Agnes, Daniwiati, Vrisca, Upik

(makasih pinjamannya), Ajeng, April, Deta, Fanya (makasih laptopnya), Yuli,

Rita, Ray, Tedy, Alam, Daniel (makasih mo jadi teman curhatku) yang telah

memberikan kebersamaan selama kuliah.

14. Semua pihak yang tidak dapat disebut satu persatu yang telah membantu

dalam penyusunan skripsi dan selama kuliah.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang

bermanfaat bagi penulis.

Yogyakarta,…………………2007

Penulis

Maria Kurnia Lestari

x


DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v

ABSTRAK .................................................................................................... vi

ABSTRACT.................................................................................................. vii

KATA PENGANTAR .................................................................................. viii

DAFTAR ISI................................................................................................. xi

BAB I PENDAHULUAN............................................................................. 1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................ 1

B. Perumusan Masalah....................................................................... 4

C. Pembatasan Masalah...................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan ........................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ......................................................................... 5

F. Metode Penulisan .......................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan .................................................................... 5

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5

A. Tabel Mortalita (Mortality Table) .................................................. 7

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality) .................................... 14

xi


C. Tabel Penyusutan Jamak (Multiple of Decrement Table) ............. 18

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Decrement) ................. 22

E. Tingkat Bunga………………………………………………….... 26

F. Anuitas (Annuity)…………………………………………………. 28

G. Asuransi Jiwa……………………………………………………... 37

1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal………….. 38

a. Asuransi Berjangka…………………………………….. 38

b. Asuransi Seumur Hidup………………………………… 41

2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan………….. 44

BAB III ASURANSI PENSIUN HARI TUA............................................... 47

A. Dana Pensiun ................................................................................. 47

B. Tabel Pelayanan............................................................................. 49

C. Jenis Manfaat Pensiun ................................................................... 51

D. Fungsi Manfaat .............................................................................. 53

BAB IV PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN

HARI TUA.................................................................................................... 61

BAB V KESIMPULAN................................................................................ 66

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 67

LAMPIRAN.................................................................................................. 66

1. Tabel Mortalita Indonesia ........................................................ 68

2. Komutasi .................................................................................. 71

3. Tabel Pelayanan ....................................................................... 74

4. Komutasi .................................................................................. 75

xii


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Keberhasilan pembangunan Nasional telah dirasakan oleh rakyat dengan

meningkatnya kesejahteraan pada umumnya. Tetapi hasil pembangunan juga telah

menimbulkan masalah-masalah sosial lainnya. Salah satunya yaitu masalah

ketidakpastian sosial ekonomi yang dihadapi oleh sebagian besar tenaga kerja

Indonesia. Bagi perseorangan ketidakpastian ini perlu diatasi, karena dapat

mengakibatkan hilangnya penghasilan. Sebab utama dari gangguan penghasilan

ini adalah hari tua, cacat/sakit dan kecelakaan serta kematian. Kondisi kehidupan

yang menurun pada hari tua merupakan masalah utama bagi setiap tenaga kerja,

karena pada saat itu kemampuan untuk memperoleh penghasilan menjadi

menurun/merosot atau hilang sama sekali, tetapi biaya hidup terus diperlukan. Hal

ini dijelaskan dengan menggunakan model Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi (life

–cycle hypothesis of consumption) dari Ando Modigliani (Branson, 1979).

Hipotesa siklus hidup konsumsi menekankan adanya hubungan antara

produktivitas, pendapatan dengan konsumsi. Menurut model ini perjalanan hidup

seseorang (life time) dibagi dalam tiga kurun waktu, yaitu:

(1) masa produktivitas rendah

(2) masa produktivitas tinggi

(3) masa produktivitas menurun.


2

Gambar 1. Hipotesa Siklus Hidup Konsumsi

Kurva konsumsi menunjukkan aliran konsumsi individu yang

berkencenderungan meningkat seiring dengan perjalanan hidup seorang dan tidak

mungkin mengalami penurunan. Sedangkan kurva pendapatan menunjukkan

aliran pendapatan dimana berlaku siklus hidup yang membagi perjalanan hidup

seseorang kedalam tiga periode. Gambar (1) menunjukkan bahwa tahun awal

perjalanan hidup seseorang merupakan periode hutang (net borrower), sebab

meskipun belum ada aliran pendapatan, aliran konsumsi tetap berjalan )( 00 YC > .

Periode antara 1T dan 2T menunjukkan periode produktivitas tinggi, sehingga

aliran pendapatan lebih dari konsumsi ( )CY > . Pada masa ini, individu sudah

dapat melunasi semua hutang pada periode hutang dan kemudian menyisihkan

0C

0Y

A

B

1T 2T0Waktu

3T

kurva konsumsi

kurva pendapatan

Nilai Pendapatan/Konsumsi


3

pendapatannya (net surplus). Pada periode akhir (setelah titik B), masa

produktivitas individu menurun sehingga menyebabkan kemampuan memperoleh

pendapatan juga menurun (net deficit) seiring dengan bertambahnya usia. Titik 2T

dapat dikatakan batas usia pensiun dimana pendapatan sama besarnya dengan

konsumsi. Setelah titik B, individu mengalami masa defisit dimana pendapatannya

lebih kecil dari konsumsinya. Banyak orang yang bersedia menerima penghasilan

yang kecil pada masa aktif bekerja, asalkan mendapatkan cukup jaminan pada hari

tua.

Pengertian pensiun secara umum adalah berakhirnya masa kerja pegawai

karena sesuatu hal (misal : cacat/sakit) atau telah mencapai batas usia tertentu

(usia pensiun). Meskipun masa pensiun hanya akan berlangsung dalam jangka

pendek, tetap dibutuhkan jumlah investasi yang cukup besar. Sedangkan setiap

orang tidak mengetahui apakah dia masih hidup sampai hari tua dan berapa lama

dia dapat bertahan setelah melewati masa pensiun. Demikian juga seseorang tidak

dapat memperkirakan berapa besar dana yang harus diinvestasikan untuk

memenuhi biaya hidup di hari tua. Jika ditangani secara individual maka akan

terjadi kesulitan, karena setiap orang mempunyai keterbatasan pengetahuan

tentang dunia investasi.

Untuk mengatasi masalah tersebut, pihak perusahaan/pemberi kerja

menawarkan kepada pegawainya suatu bentuk simpanan/tabungan sebagai

jaminan di hari tua melalui sebuah Program Pensiun. Pada pelaksanaan program

pensiun, pegawai/peserta program diwajibkan membayar iuran yang berupa

anuitas dari awal masuk menjadi anggota sampai mencapai pensiun, yang


4

kemudian dibayarkan kembali dalam bentuk anuitas dari usia pensiun sampai

seumur hidup. Pembayaran anuitas didasarkan pada masa kerja dan gaji pegawai

yang bersangkutan. Penyetoran iuran harus dilakukan setiap jangka waktu

tertentu, karena dana tersebut harus segera diinvestasikan dan bunganya

diperhitungkan untuk setiap kali penyetoran.

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditulis

dengan beberapa pertanyaan berikut :

1. Bagaimana cara menghitung peluang seorang pegawai keluar dari

kelompok karena pensiun pada saat usia x ?

2. Bagaimana cara menghitung besar premi (iuran) yang harus dibayarkan

peserta program pensiun menurut masa kerja, rata-rata gaji tahunan dan

rata-rata gaji beberapa tahun terakhir sebelum pensiun pada saat usia x ?

3. Bagaimana penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut :

1. Satuan waktu adalah tahunan.

2. Faktor penyebab penyusutan adalah faktor penyebab independent.

3. Tingkat bunga manfaat pensiun adalah 10% .

4. Tabel Pelayanan yang digunakan adalah Service Table by Bowers.


5

D. Tujuan Penulisan

Penulisan ini bertujuan untuk memahami perhitungan iuran yang harus

dibayarkan peserta asuransi pensiun hari tua untuk mendapatkan manfaat pensiun.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat mengetahui

dan memahami dasar perhitungan aktuaria pada asuransi pensiun hari tua .

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah

dengan metode studi literatur/pustaka. Studi literatur dilakukan dengan

mempelajari materi dari buku-buku acuan tanpa ada penemuan baru.

G. Sistematika Penulisan

Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 5 bab dengan urutan

sebagai berikut :

BAB I Pendahuluan

Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam

pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang masalah,

perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan

dan sistematika penulisan.


6

BAB II Landasan Teori

Menjelaskan tentang penyusutan anggota kelompok karena satu dan

lebih dari satu faktor penyebab, antara lain: tabel mortalita, percepatan

mortalita, tabel penyusutan jamak dan percepatan penyusutan jamak, tingkat

bunga, macam-macam anuitas antara lain: anuitas tentu, anuitas seumur hidup

dan anuitas sementara, asuransi jiwa dengan premi tunggal dan premi tahunan.

BAB III Asuransi Pensiun Hari Tua

Menjelaskan tentang perhitungan dasar dari manfaat pensiun, jika

dilihat dari masa kerja, rata-rata gaji tahunan pegawai selama masa kerja dan

rata-rata gaji untuk f tahun terakhir sebelum usia pensiun.

BAB IV Penerapan Perhitungan Premi Asuransi Pensiun Hari Tua

Menjelaskan penerapan perhitungan premi asuransi pensiun hari tua.

BAB V Penutup

Menjelaskan kesimpulan.


7

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Tabel Mortalita (Mortality Table)

Tabel mortalita adalah tabel yang menggambarkan peluang meninggal

seseorang berusia x untuk periode n tahun berikutnya dari sekelompok orang

yang diasuransikan (kelompok pemegang polis asuransi). Perhitungan dilakukan

setiap tahun secara terus-menerus yaitu pada usia x , 1+x , 2+x , …. Sehingga

waktu yang berjalan adalah diskrit. Ada dua jenis kelompok pemegang polis

asuransi, yaitu kelompok terbuka dan kelompok tertutup. Kelompok terbuka

adalah kelompok yang mengalami pengurangan anggota sekaligus penambahan

anggota baru (bayi yang dilahirkan), sedangkan kelompok tertutup adalah

kelompok pemegang polis yang tiap tahunnya mengalami pengurangan anggota

tanpa ada penambahan anggota baru. Secara teori jenis kelompok yang digunakan

adalah kelompok tertutup, karena berkurangnya anggota setiap tahun pada

kelompok tertutup lebih stabil daripada kelompok terbuka yang terus menerima

anggota baru. Sehingga untuk selanjutnya kelompok pemegang polis yang

dimaksud adalah anggota dari kelompok tertutup.

Anggota dari kelompok dianggap mengalami kelahiran yang bersamaan

sebanyak 0l orang. Satu tahun berikutnya telah terjadi kematian sebanyak 0d

orang, sehingga banyak orang yang dapat mencapai usia 1+x adalah 100 ldl =−

orang. Dua tahun berikutnya terjadi kematian sebanyak 1d orang, sehingga


8

banyak orang yang dapat mencapai usia 2+x adalah 211 ldl =− orang. Proses

pengurangan tersebut akan berlangsung terus menerus sampai semua orang

meninggal atau 01 =+wl dengan w adalah usia terakhir dalam kelompok. Proses

tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

1+=− xxx ldl

1+−= xxx lld (2.1)

dengan xl menyatakan banyak orang yang masih hidup pada usia x dan xd

adalah banyaknya orang yang meninggal pada usia x dalam kelompok.

Komponen terpenting dalam penyusunan tabel adalah mencari peluang

seseorang akan meninggal dalam kelompok, yaitu hasil bagi antara banyaknya

anggota kejadian dengan banyaknya anggota ruang sampel. Perhitungan ini

selanjutnya diterapkan untuk menentukan peluang meninggalnya seseorang pada

usia x yang dinyatakan dengan xq .

Misal A adalah himpunan orang yang meninggal pada usia x , dan

( ) =An xd = banyaknya orang yang meninggal pada usia x maka didapat :

x

xx l

dq ≈ (2.2)

x

xxx l

llq 1+−≈

Dengan asumsi bahwa 1=+ xx qp dengan xp menyatakan peluang hidup

seseorang pada usia x , maka dapat dinyatakan bahwa :


9

xx qp −= 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= +

x

xxx l

llp 11

( )

x

xxxx l

lllp 1+−−

=

x

xx l

lp 1+= (2.3)

Pada persamaan (2.2) dan (2.3) peluang dihitung untuk waktu satu tahun

( )1=n , maka persamaan peluang untuk waktu lebih dari satu tahun ( )1>n adalah

x

nxxxn l

llq +−

= (2.4)

dengan xn q menyatakan peluang meninggal seseorang berusia x dalam jangka

waktu n tahun. Jika xn p menyatakan peluang hidup seseorang berusia x dalam

jangka waktu n tahun maka diperoleh :

xnxn qp −= 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= +

x

nxxxn l

llp 1

( )

x

nxxxxn l

lllp +−−

=

x

nxxn l

lp += (2.5)


10

Bila n =1 indeks n disebelah kiri xp dan xq tidak perlu dituliskan, jadi notasi

xx qq =1 dan xx pp =1 .

Sedangkan peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun dan kemudian

meninggal dalam satu tahun berikutnya didefinisikan sebagai berikut :

x

nxxn l

dq +=|

x

nxnxxn l

llq 1| +++ −

=

xnxnxn ppq 1| +−=

Indeks n menyatakan periode (jangka waktu) hidupnya seseorang. Peluang

seseorang saat berusia x akan meninggal dalam jangka waktu n tahun, dapat

terjadi pada tahun pertama, tahun kedua dan seterusnya sampai tahun ke 1−n .

Jika 1=+ xnxn qp maka dapat dinyatakan berikut :

xnxn pq −=1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

x

nx

ll

1

x

nxx

lll +−

=

( ) ( ) ( )

x

nxnxxxxx

lllllll +−++++ −++−+−

= 1211 ....

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= +−++++

x

nxnx

x

xx

x

xx

lll

lll

lll 1211 ....


11

xnxxx qqqq |....|| 121 −++++=

∑−

=

=1

0|

n

txt q

Pada penyusunan tabel mortalita, harapan hidup ikut diperhitungkan.

Harapan hidup adalah perkiraan rata-rata seseorang berusia x akan hidup

mencapai beberapa tahun lagi. Konsep ini tidak lain adalah konsep nilai harapan

(rata-rata) yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai berikut :

Definisi 2.1.

Nilai harapan didefinisikan dengan :

∑∞

=

=0

)(t

tTE ( )tf , untuk t diskrit

Ada dua macam harapan hidup, yaitu harapan hidup ringkas (curtate

expectation of life) dan harapan hidup lengkap (complete expectation of life).

Perhitungan dalam harapan hidup ringkas hanya memperhatikan tahun yang

penuh (tahun lengkap) dialami seseorang berusia x . Dengan kata lain pecahan

tahun tidak ikut dihitung. Sebagai contoh : seseorang lahir pada tanggal 10 Juni

1965, kemudian dia meninggal pada tanggal 15 November 2006. Hal ini berarti

dia meninggal pada usia 41,4 tahun. Nilai 0,4 ini yang dimaksud dengan pecahan

tahun yang pada harapan hidup ringkas dihilangkan. Jadi orang tersebut dianggap

meninggal pada usia 41 tahun. Misal peluang seseorang berusia x dapat bertahan

hidup 0,1,2,…, xw − tahun, masing-masing dinyatakan dengan xq|0 , xq|1 ,


12

xq|2 ,… xxw q|− maka sesuai dengan definisi 2.1, harapan hidup orang tersebut

adalah :

xxwxxxx qxwqqqe |)(....|2|10 2 −−++++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= +++++

x

ww

x

xx

x

xx

lllxw

lll

lll 13221 )(....21

( ) ( ) ( )[ ]13221 )(....211+++++ −−++−+−= wwxxxx

x

llxwlllll

( )13221 )()(....221+++++ −−−++−+−= wwxxxx

x

lxwlxwlllll

( )wxxx

llll

+++= ++ ....121

x

w

x

x

x

x

ll

ll

ll

+++= ++ ....21

xxwxx ppp −+++= ....2

∑−

=

=xw

txt p

1

dengan xe menyatakan harapan hidup ringkas.

Bila dalam harapan hidup ringkas pecahan tahun tidak ikut dihitung, maka

untuk harapan hidup lengkap pecahan tahun ikut dihitung. Jadi pecahan tahun 0,4

pada contoh sebelumnya ikut dihitung. Dengan demikian orang tersebut dianggap

telah meninggal pada usia 41,4 tahun. Sehingga waktu t yang dibutuhkan dari xl

orang untuk menuju tahun-tahun berikutnya tidak selalu bilangan bulat.


13

Definisi 2.2.

Harapan hidup lengkap yang dinyatakan dengan 0xe , didefinisikan dengan :

∫−

+=xw

x

txx l

le

0

0 dt

∫−

=xw

xtx pe0

0 dt (2.6)

Integral diatas dapat dievaluasi dengan pendekatan distribusi seragam

(uniform) yang memberi pernyataan bahwa kematian dalam setahun dapat

dimisalkan terjadi pada pertengahan tahun (Sembiring,1986). Dalam statistika

fungsi distibusi seragam didefinisikan sebagai berikut :

dengan :

∫ −=

β

α αβdxxXE )(

2αβ +

=

Hasil pendekatan tersebut adalah :

∫+=1

0

0dxxee xx

210

+= xx ee

αβ −1

0

βα ≤≤ x

lainnya =)(xf


14

B. Percepatan Mortalita (Forces of Mortality)

Pada tabel mortalita, nilai xl hanya menggambarkan keadaan suatu

kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai

x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa xl adalah fungsi

kontinu. Pada interval usia x sampai 1+x banyak orang yang meninggal ( )xd

adalah 1+− xx ll dan x

xx

x

xx l

llldq 1+−

== . Sedangkan untuk interval usia x

sampai tx Δ+ banyak orang yang meninggal adalah txx ll Δ+− , sehingga

peluang meninggalnya adalah :

x

txxxt l

llq Δ+

Δ

−=

Jika persamaan diatas dibagi dengan tΔ , maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :

x

txxxt

tlll

tq

Δ−

=Δ

Δ+Δ (2.7)

Dengan 0→Δt maka persamaan (2.7) disebut sebagai percepatan mortalita

(forces of mortality) yang didefinisikan berikut :

tqxt

tx Δ= Δ

→Δ 0limμ

x

txx

t tlll

Δ−

= Δ+

→Δ 0lim

tlll

x

xtx

t Δ−

−= Δ+

→Δ

)(lim

0


15

xμ dtdl

lx

x

1−= (2.8)

atau dapat juga dinyatakan dengan :

dtld x

xln

−=μ (2.9)

dtld xx .ln μ−=

Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu :

dtldx

t

x

t ∫∫ −=00

ln μ

] dtlx

tx

t ∫−=0

0ln μ

∫−=−x

tx dtll0

0lnln μ

∫

=−

x

tdtx e

ll

0

0

μ

Sehingga diperoleh berikut :

∫

=−

x

t dt

x ell 0.0

μ

(2.10)

Jika persamaan (2.8) dinyatakan dengan :

xxx dldtl −=μ

maka untuk usia tx + dengan ,...3,2,1=t persamaan diatas menjadi :


16

txtxtx dldtl +++ −=μ (2.11)

atau dapat dinyatakan dengan :

dtdl

l txtxtx

+++ −=μ (2.12)

Jika 1+−= xxx lld maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann

diperoleh

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=− +

+

1

01 dt

dlll txxx dt

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= +

1

0 dtdl

d txx dt (2.13)

Kemudian substitusikan persamaan (2.12) ke (2.13) sehingga diperoleh :

∫ ++=1

0

)( dtld txtxx μ (2.14)

Jika x

xx l

dq = maka didapat :

x

txtx

x l

dtlq

∫ ++

=

1

0

μ

dtpq txxtx +∫= μ1

0 (2.15)

Untuk 1>n persamaan (2.15) menjadi :

dtpq tx

n

xtxn +∫= μ0

Persamaan (2.11) dapat juga dinyatakan dengan :


17

dtdl

ltx

txtx

+

++ −=

1μ

dtpd

pxt

xt

1−=

dtpd xtln

−=

dt

ll

dx

tx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

+ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

+x

txtx l

lddt lnμ

Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu :

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

+

n

x

txn

tx llddt

00

lnμn

x

tx

ll

0

ln ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

x

x

x

nx

ll

ll

lnln +−= +

x

nx

ll +−= ln

dtn

tx∫ +0

μ xn pln−= (2.16)

Sehingga diperoleh :

∫

=+−

n

tx dt

xn ep 0

μ

(2.17)


18

dan

∫

−=+−

n

tx dt

xn eq 01μ

(2.18)

C. Tabel Penyusutan Jamak ( Multiple Decrement Table)

Tabel mortalita merupakan contoh praktek dari tabel penyusutan yang

terjadi karena satu faktor penyebab (kematian) atau disebut juga dengan Tabel

Penyusutan Tunggal (Single Decrement Table). Penyusutan adalah berkurangnya

anggota kelompok karena faktor penyebab. Sedangkan tabel penyusutan yang

terjadi karena lebih dari satu faktor penyebab disebut sebagai Tabel Penyusutan

Jamak ( Multiple Decrement Table).

Faktor penyebab penyusutan ada dua jenis, yaitu : faktor penyebab yang

tidak saling bebas (dependent) dan faktor penyebab yang saling bebas

(independent). Contoh faktor penyebab dependent, misal dari 1000 orang dengan

usia yang sama, pada permulaan tahun 50 orang meninggal dan pada akhir tahun

10 orang menjadi cacat. Dengan demikian, hanya 950 orang yang mempunyai

kesempatan keluar dari kelompok asuransi dengan penyebab menjadi cacat pada

akhir tahun, sedangkan 50 orang yang telah meninggal tidak akan pernah dapat

keluar dari kelompok dengan penyebab menjadi cacat. Contoh faktor penyebab

independent, misal dari 1000 orang dengan usia yang sama, pada permulaan

tahun ada 50 orang meninggal dan 10 orang menjadi cacat. Dengan demikian,

pada permulaan tahun ada 1000 orang mempunyai kesempatan keluar dari

kelompok asuransi dengan penyebab meninggal atau menjadi cacat. Pada


19

asuransi pensiun penyusutan kelompok dihitung pada permulaan tahun, sehingga

menggunakan faktor penyebab independent (Futami, 1993). Konsep ini tidak lain

adalah konsep indepedensi yang dikenal dalam statistika yang definisinya sebagai

berikut :

Definisi 2.3.

Andaikan )1(xd menyatakan banyak orang yang meninggal pada usia x dan

)2(xd menyatakan banyak orang yang menjadi cacat pada usia x . Dua kejadian

)1(xd dan )2(

xd dikatakan independent jika :

( ) ( ) ( ))2()1()2()1(xxxx dPdPddP =∩

Pada keadaan awal kelompok, 0l orang akan mengalami penyusutan

anggota karena lebih dari satu faktor penyebab. Jika penyusutan dari xl orang

terjadi karena faktor penyebab satu maka dinyatakan dengan )1(xd , faktor

penyebab dua dinyatakan dengan )2(xd dan seterusnya sampai faktor penyebab m

yang dinyatakan dengan )(mxd , atau :

( ) ( ) ( ) ∑

=

=+++m

k

kx

mxxx dddd

1

)(21 .....

dengan )(kxd menyatakan banyak orang berusia x yang mengalami penyusutan

karena faktor penyebab ke- k ( )mk ,....,2,1= .


20

Komponen terpenting dalam menyusun tabel adalah Peluang seseorang

keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia x .

Definisi 2.4.

Peluang seseorang keluar dari kelompok karena faktor penyebab ke- k pada usia

x adalah :

)(

)()(

Tx

kxk

x ld

q =

dengan )(Txl menyatakan banyak orang yang tetap menjadi anggota kelompok

pada usia x . Muncul nilai )(Txl yang sama, dapat terjadi karena asumsi

independensi (definisi 2.3).

Jika )()( 1 kx

kx qp −= , maka dapat dinyatakan bahwa :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )(

)()( 1 T

x

kxk

x ld

p

)(

)()()(

Tx

kx

Txk

x ldl

p−

=

dengan )(kxp menyatakan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok

karena faktor penyebab ke- k pada usia x .

Jika )(Txd menyatakan jumlahan dari banyak orang yang keluar dari

kelompok karena faktor penyebab ke- k (untuk mk ,.....,2,1= ) pada usia x , atau :

( )∑

=

=m

k

kx

Tx dd

1

)( (2.19)


21

yang kemudian dengan menggunakan persamaan (2.2) maka diperoleh :

)(

)()(

Tx

TxT

x ld

q =

)(1

)(

)(T

x

m

k

kx

Tx l

dq

∑==

∑=

=m

kT

x

kxT

x ld

q1

)(

)()(

∑=

=m

k

kx

Tx qq

1

)()(

dengan )(Txq menyatakan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua

faktor penyebab pada usia x .

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.3) dapat dicari peluang

seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor penyebab pada usia

x , yaitu :

)(

)()()(

Tx

Tx

TxT

x ldl

p−

=

)(

)(1)(

Tx

TxT

x ll

p +=

Untuk peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua

faktor penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun ( 1>n ) dapat

dinyatakan bahwa:


22

)(

)()(

Tx

TnxT

xn ll

p +=

Sedangkan peluang seseorang keluar dari kelompok karena semua faktor

penyebab pada usia x selama jangka waktu n tahun adalah :

)(Txn q )(

)()(

Tx

Tnx

Tx

lll +−

=

D. Percepatan Penyusutan Jamak (Forces of Multiple Decrement).

Percepatan total penyusutan jamak pada usia x didefinisikan dengan

menggunakan persamaan (2.9) yaitu :

dt

ld TxT

x

)()( ln

−=μ

Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.10) dan (2.14) maka dapat

dinyatakan bahwa :

∫

=−

xT

t dtTT

x ell 0

)(

.)(0

)(μ

dan

dtld Ttx

Ttx

Tx

)(1

0

)()( . ++∫= μ

Dengan menggunakan persamaan (2.15) maka didapat :

dtpq Ttx

Txt

Tx

)(1

0

)()(+∫= μ

Untuk 1>n persamaan di atas menjadi :


23

dtpq Ttx

nT

xtT

xn)(

0

)()(+∫= μ

Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) didapat :

∫=

+−n

Ttx dt

Txn ep 0

)(

)(μ

dan

∫

−=+−

nT

tx dtT

xn eq 0

)(

1)(μ

Tingkat penyusutan karena penyebab ke- k dirumuskan dengan

menggunakan definisi 2.1 yaitu :

)(

)()()(

Tx

ktx

kx

kxt

tlll

tq

Δ−

=Δ

Δ+Δ

Jika 0→Δt maka diperoleh percepatan penyusutan )(kxμ (forces of

decrement) yaitu :

tq k

xt

t

kx Δ

= Δ

→Δ

)(

0

)( limμ

)(

)()(

0lim T

x

ktx

kx

t tlll

Δ−

= Δ+

→Δ

tlll

Tx

kx

ktx

t Δ−

−= Δ+

→Δ )(

)()(

0

)(lim

dtdl

l

kx

Tx

kx

)(

)()( 1

−=μ


24

⇔ )()()( kx

Tx

kx dldtl −=μ

Persamaan di atas terjadi untuk usia x , sedangkan untuk usia tx + adalah :

)()()( ktx

Ttx

ktx dldtl +++ −=μ

atau

dtdl

lk

txTtx

ktx

)()()( +

++ −=μ

Jika diketahui bahwa )(1

)()( kx

kx

kx lld +−= maka didapat :

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

1

0

)()(

dtdl

dk

txkx dt

dtld ktx

Ttx

kx

)(1

0

)()( . ++∫= μ

Kemudian dibagi dengan )(Txl , didapat :

)(

1

0

)()(

)(

)(.

Tx

ktx

Ttx

Tx

kx

l

dtl

ld ∫ ++

=μ

dtllq k

txTx

Ttxk

x)(

1

0)(

)()(

++∫= μ

dtpq ktx

Txt

kx

)(1

0

)()(+∫= μ

Untuk 1>n persamaan di atas menjadi berikut :


25

dtpq ktx

nT

xtk

xn)(

0

)()(+∫= μ

Jika dari persamaan (2.16) diturunkan untuk penyusutan k yaitu :

dtn

ktx∫ +

0

)(μ )(ln kxn p−=

yang kemudian diperoleh :

∫

=+−

nk

tx dtk

xn ep 0

)(

)(μ

dan

∫

−=+−

nk

tx dtk

xn eq 0

)(

1)(μ

Jika ∑=

=m

xk

kx

Tx dd )()(

maka begitu juga untuk ∑=

=m

xk

kx

Tx ll )()(

. Sehingga

hubungan antara )(k

xμ dan )(Txμ adalah :

( )

( )

( )

dtdl

l

Tx

Tx

Tx

1−=μ

( )

( ) ( )

dtdldldl

l

mxxx

Tx

)(21 .....1 +++−=

( )

( ) ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−=

dtdl

dtdl

dtdl

l

mxxx

Tx

......1 21

( ) ( ) ( )mxxx μμμ +++= ....21


26

)(Txμ ∑

=

=m

k

kx

1

)(μ

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa percepatan penyusutan

yang dikarenakan semua penyebab adalah sama dengan jumlahan dari semua

percepatan penyusutan untuk semua m penyebab.

F. Tingkat Bunga

Perhitungan manfaat pensiun sangat dipengaruhi oleh tingkat bunga, karena

saat dana yang telah terkumpul maka akan segera diinvestasikan dalam waktu

tertentu. Waktu investasi diasumsikan sama dengan waktu yang dibutuhkan untuk

banyaknya kali melakukan pembayaran, misalnya n kali (tahun). Dana yang

diinvestasikan tersebut akan dikembangkan oleh dana pensiun semaksimal

mungkin, sehingga diharapkan dapat mencukupi pemenuhan kewajiban yang

harus dibayarkan kepada peserta program saat mencapai usia pensiun. Pendapatan

bunga dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: bunga tunggal dan bunga majemuk.

Bunga tunggal adalah perhitungan bunga yang hanya didasarkan pada

perbandingan pokok dan jangka investasi. Misal besar pokok R , tingkat bunga

tunggal i , jangka investasi n tahun, maka besar bunga inRI ..= dan total pokok

berikut bunganya untuk n tahun adalah sebesar :

IRRn +=

inRRRn ..+=

).1.( inRRn +=


27

Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dengan besar pokok jangka

investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar

bunga yang diperoleh. Misal besar pokok R , tingkat bunga tunggal i , jangka

investasi n tahun. Pada akhir tahun pertama jumlah bunga dan pokoknya adalah

)1.( iR + dan jumlah tersebut merupakan pokok yang baru pada permulaan tahun

ke dua, atau )1.(1 iRR += . Pada akhir tahun kedua besar bunga menjadi

),1(.. 1 iRiRi += jadi pada akhir tahun kedua besar bunga dengan pokoknya

adalah 2111 )1.()1)(1.()1(. iRiiRiRRiR +=++=+=+ atau dapat dinyatakan

dengan 22 )1.( iRR += . Pada permulaan tahun ketiga diperoleh besar pokok yang

baru yaitu 33 )1.( iRR += . Sehingga dengan jalan yang sama total pokok beserta

bunganya pada akhir tahun ke n atau permulaan tahun ke 1+n yang dinyatakan

dengan nR , adalah :

nn iRR )1.( +=

Untuk mencari besar pokok R , diperoleh dengan merubah persamaan di

atas menjadi berikut :

nn iRR −+= )1(

nRR = .nv (2.20)

dengan 1)1( −+= iv


28

G. Anuitas (Annuity)

Anuitas adalah serangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang

dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu. Anuitas terbagi atas dua macam

yaitu : Anuitas Tentu (Certain Annuity) dan Anuitas Hidup (Life Annuity).

Anuitas tentu adalah anuitas yang setiap pembayarannya dilakukan tanpa

syarat (pembayaran pasti). Misal diketahui suatu anuitas tentu dengan n kali

pembayaran sebesar Rp.1 yang dilakukan pada tiap akhir tahun. Maka

pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun pertama, kemudian pembayaran

kedua dilakukan pada akhir tahun kedua, dan seterusnya sampai pada akhir tahun

ke n .

Nilai Rp.1 adalah nilai yang sudah termasuk bunga ( )nR , sedangkan dalam

anuitas yang akan dicari adalah nilai tanpa bunga (nilai tunai( R )). Dengan

menggunakan persamaan (2.20) maka nilai tunai dari pembayaran tahun pertama

adalah: vRR .1= maka vvRpR == .1 ,nilai tunai tahun kedua: 22 .vRR =

maka 22.1 vvRpR == dan seterusnya sampai nilai tunai tahun ke- n :

nn vRR .= maka nn vvRpR == .1 . Sehingga nilai tunai keseluruhan ( A )

adalah jumlahan dari pembayaran tahun pertama sampai tahun ke n . Proses

tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

nvvvA +++= ....2 (2.21)

Pembayaran anuitas dapat dilakukan dengan dua cara yaitu pembayaran

pada awal tahun (anuitas tentu awal) yang dinotasikan sebagai na&& atau


29

pembayaran pada akhir tahun (anuitas tentu akhir) yang dinotasikan sebagai na .

Selisih antara kedua anuitas adalah satu, atau nnaa += 1&& . Pada pemisalan di

atas yaitu A yang dilakukan pada akhir tahun merupakan anuitas tentu akhir

( naA = ) maka persamaan (2.21) menjadi :

nn

vvva +++= ....2 (2.22)

Anuitas di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama adalah v dan

rasio adalah v yang jumlah deretnya adalah:

iv

iv

v

vvvva

nnnn

n−

=−+

−=

−

−=

−−

=1

1)1(1

111

11( )

Sehingga persamaan (2.22) menjadi berikut :

iva

n

n

−=

1 (2.23)

Untuk anuitas tentu awal yang dinyatakan dengan :

12 ....1 −++++= nn

vvva&& (2.24)

Terlihat bahwa nna

va 1

=&& dengan jumlah deretnya adalah :

na&&iv

viv

v

nn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

111

Sehingga persamaan (2.24) menjadi berikut :

iv

van

n

−=

1&& (2.25)


30

Contoh 2.1

Sebuah rumah dibeli dengan uang muka Rp.20.000.000,00 dan cicilan tiap akhir

tahun sebesar Rp. 5.000.000,00 selama 20 tahun ( %5=i ). Berapa harga rumah

bila dibeli secara tunai?

Jawab :

Dengan mempergunakan persamaan (2.23) maka nilai tunai dari cicilan selama 20

tahun, adalah :

Rp. 000.000.5 ,00 20a = Rp.5.000.000,00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− −

05,0)05,01(1 20

= Rp.5.000.000,00 (12,4622)

= Rp.62.311.051,71

Jadi total harga rumah secara tunai adalah:

Rp. 20.000.000,00 + Rp.62.311.051,71 = Rp.82.311.051,71

Anuitas hidup adalah anuitas yang pembayarannya memperhatikan hidup

matinya tertanggung (annuitan) dan pembayaran akan terus berlangsung selama

annuitan masih hidup. Anuitas hidup yang sering digunakan tergantung pada lama

dan waktu pembayaran (awal atau akhir tahun). Anuitas hidup ada dua macam

yaitu: Anuitas Sementara (Berjangka) dan Anuitas Seumur Hidup.

Anuitas sementara adalah pembayaran anuitas yang tidak dilakukan

sepanjang usia tertanggung x , tetapi hanya selama n tahun asal tertanggung

masih hidup. Jika tertanggung yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia

nx + , maka pembayaran dianggap selesai.


31

nxn

xxx lvlvvlAl +++ +++= ....22

1

x

nxn

xx

llvlvvlA +++ +++

=....2

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +++

x

nxn

x

x

x

x

ll

vl

lv

ll

vA ....221

xnn

xx pvpvvpA +++= ....22 (2.26)

Nilai tunai anuitas akhir )(A sementara dinyatakan dengan nxa

:&& dan nilai tunai

anuitas awal sementara dinyatakan dengan nxa

: . Dengan pemikiran yang sama

pada anuitas seumur hidup hanya bedanya pembayarannya dibatasi sampai n

tahun dan 1::1

−+=

nxnxaa&& . Persamaan (2.26) digunakan untuk menentukan nilai

tunai anuitas akhir sementara yaitu :

xt

n

t

tnx

pva ∑=

=1

: (2.27)

dan nilai tunai anuitas awal sementara :

∑−

=

+=1

1: 1

n

txt

tnx pva&&

xt

n

t

tnx pva ∑

−

=

=1

0:&& (2.28)

Cara yang lebih sederhana dalam penghitungan disebut dengan komutasi.

Misal xx

x lvD = dan wxxxx DDDDN ++++= ++ ....21 , maka persamaan

(2.27) dan (2.28) dapat dinyatakan menjadi berikut :


32

x

nxn

xxnx l

lvlvvla +++ +++=

....22

1:

=x

xnx

nxx

xx

x

lvlvlvlv +

++

++

+ +++ ....22

11

=x

nxxx

DDDD +++ +++ ....21

nxa

: =x

nxx

DNN 11 +++ −

(2.29)

dan

1:: 1−

+= nxnx aa&&

=x

nxx

DNN 111 +++ −

+

=x

nxxx

DNND ++ −+ 1

nxa

:&& =

x

nxx

DNN +−

(2.30)

Contoh 2.2

Pada usia 55 tahun, Tono mempunyai dua pilihan yaitu: menerima

Rp.30.000.000,00 dari suatu perusahaan asuransi yang akan membungakannya

dengan tingkat bunga 4% setahun, dan dia akan menerima dengan cara tentu tiap

permulaan tahun selama 30 tahun (anuitas tentu selama 30 tahun) atau

membiarkan uangnya pada perusahaan tersebut dan menerima sejumlah uang

yang sama besarnya tiap permulaan tahun selama 30 tahun bila dia masih hidup

(anuitas hidup). Hitunglah besar penerimaan Tono tersebut setiap tahun dalam

kedua hal. Bila ternyata dia meninggal tepat sebelum mencapai 80 tahun,

berapakah besar uang yang akan diterima Tono ?

Jawab :


33

Misalkan perusahaan membayar tahunan kepada Tono sebesar B rupiah, maka

dengan menggunakan persamaan (2.25) dan Tabel II Lampiran didapat :

(a) Nilai tunai anuitas awal tentu selama 30 tahun :

B 30a&& =Rp.30.000.000,00

B =30

00,000.000.30.a

Rp&&

B =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− −

)04,1)(04,0()04,01(1

00,000.000.30.30

Rp

B =9837,17

00,000.000.30.Rp

B = Rp.1.668.175,937

Bila ternyata dia meninggal sebelum berusia 80 tahun maka pembayaran

masih tersisa 5 kali (5 tahun). Nilai tunai sisa pembayaran ini adalah :

Rp.1.668.175,937 . 5a&& = Rp.1.668.175,937 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− −

)04,1)(04,0()04,01(1( 5

= Rp.7.723.479,804

(b) Dengan menggunakan persamaan (2.30) didapat besar pembayaran tahunan

untuk anuitas hidup awal sementara pada usia 55 tahun untuk jangka waktu

30 tahun adalah :

B 30:55a&& = 00,000.000.30.Rp

30:55

00,000.000.30.a

RpB&&

=


34

B =

55

8555

00,000.000.30.

DNN

Rp−

B = 00,000.000.30.Rp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 8555

55

NND

B = Rp. 2.356.081,41

Sedangkan anuitas seumur hidup adalah anuitas yang pembayarannya

dilakukan sepanjang usia annuitan (jangka waktu n pada anuitas sementara

diganti dengan xw − ). Misal tiap orang dari sebanyak xl menyerahkan sejumlah

A rupiah ke suatu perusahaan. Pada saat seseorang berusia 1+x maka

perusahaan akan membayar sebesar Rp.1, pada saat seseorang berusia 2+x maka

perusahaan akan membayar sebesar Rp.1 dan seterusnya sampai semua orang dari

xl meninggal. Sehingga dana yang terkumpul di perusahaan adalah xAl rupiah.

Nilai tunai pada tahun pertama : vRR .1= maka vlRpR x ).1( 1+= vlx .1+= , nilai

tunai pada tahun kedua : 22 .vRR = maka 2

22

2 ).1( vlvlRpR xx ++ == sampai nilai

tunai pada tahun ke xw − : xwxw vRR −

−= . maka xww vlRpR −= ).1( xw

w vl −= .

Jika semua nilai tunai dijumlahkan maka diperoleh A , yaitu :

wxw

xxx lvlvvllA −++ +++= ..... 2

21

x

wxw

xx

llvlvvl

A−

++ +++=

....22

1


35

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −++

x

wxw

x

x

x

x

ll

vl

lv

ll

vA ....221

xxwxw

xx pvpvvpA −−+++= ....2

2 (2.31)

Nilai A tersebut merupakan anuitas akhir seumur hidup karena pembayaran

dilakukan tiap akhir tahun ( xa ) yang berselisih satu dengan anuitas awal seumur

hidup ( xa&& ) atau 11 −+= xx aa&& . Sehingga persamaan (2.31) disebut nilai tunai

akhir seumur hidup yaitu :

xxwxw

xxx pvpvvpa −−+++= .....2

2

xa ∑−

=

=xw

txt

t pv1

(2.32)

Kemudian untuk nilai tunai awal seumur hidup adalah :

xa&& ∑−−

=

+=1

11

xw

txt

t pv

xxwxw

xxx pvpvvpa 11

22 .....1 −−

−−++++=&&

∑−−

=

=1

0

xw

txt

tx pva&& (2.33)

Misal xx

x lvD = dan wxxxx DDDDN ++++= ++ ....21 , maka persamaan

(2.32) dan (2.33) menjadi berikut :

xxwxw

xxx pvpvvpa −−+++= ....2

2

x

x

x

wxw

xx

vv

llvlvvl⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++=

−++ ....2

21


36

x

xw

wx

xx

x

lvlvlvlv +++

= ++

++ ....2

21

1

=x

wxx

DDDD +++ ++ ....21

xa =x

x

DN 1+

dan

xa&& =x

x

DN 11 ++

=x

xx

DND 1++

xa&& =x

x

DN

(2.34)

Tabel komutasi yang digunakan dalam contoh-contoh berikut adalah Tabel

Komutasi Indonesia 1993 ( %4=i ).

Contoh 2.3

Hitunglah nilai tunai suatu anuitas awal seumur hidup dengan pembayaran

Rp.600.000,00 setahun untuk seseorang pada saat usia 20 tahun dan 60 tahun !

Jawab :

Dengan menggunakan persamaan (2.34) maka :

(i) Nilai tunai pada saat 20=x adalah :

Rp.600.000,00 20a&& = Rp.600.000,00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

20

20

DN

= Rp. 12.972.182,75

(ii) Nilai tunai pada saat 60=x adalah :


37

Rp.600.000,00 60a&& = Rp.600.000,00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

60

60

DN

= Rp. 6.722.394,49

Perhatikan bahwa premi tunggal bersih untuk orang yang berusia 20 tahun, lebih

tinggi (mahal) dibandingkan dengan orang yang berusia 60 tahun, karena hidup

orang yang berusia muda dianggap lebih lama dari orang yang berusia tua,

sehingga orang yang berusia 20 tahun akan menerima anuitas yang lebih besar.

H. ASURANSI JIWA

Pada dasarnya asuransi jiwa merupakan usaha kerjasama (koperasi) dari

sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi suatu

musibah terhadap salah seorang anggotanya. Usaha kerjasama ini dilakukan

melalui suatu perusahaan asuransi. Perusahaan yang besar dengan pemegang

saham yang banyak maka akan mudah mengatasi pembayaran santunan asuransi

(claim) kepada pewaris anggotanya yang meninggal. Setiap orang yang

mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap

suatu kontrak tertulis antara tertanggung dengan perusahaan tersebut. Isi kontrak

adalah besar premi yang harus dibayar tertanggung ke perusahaan beserta jadwal

pembayaran, dan besar claim yang akan diterima tertanggung bila terjadi suatu

musibah. Kontrak tersebut sering disebut sebagai polis asuransi. Besar claim

tergantung atas tiga hal penting, yaitu : peluang meninggal ( xq ), tingkat bunga

( i ), dan biaya operasional.


38

Dana yang sudah terkumpul dari pembayaran premi oleh para pemegang

polis diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu, dan sebagian dari bunga

tersebut merupakan milik para pemegang polis. Setiap perusahaan asuransi tidak

dapat bekerja tanpa biaya operasional, antara lain: biaya pegawai untuk

mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayarkan claim, biaya

untuk membayar pajak, komisi, dan sebagainya. Dalam skripsi ini biaya

operasional tidak ikut dibahas, tetapi hanya memperhatikan peluang meninggal

dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhitungkan faktor biaya

disebut premi bersih (net premi). Premi dapat dibayarkan sekaligus disebut premi

tunggal, dapat juga seumur hidup (premi tahunan seumur hidup), dan dapat juga

selama jangka tertentu (premi tahunan berjangka). Jika pemegang polis meninggal

sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka dianggap pembayaran telah

selesai.

1. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tunggal

a. Asuransi Berjangka

Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana.

Dalam kontrak ini uang santunan asuransi (claim) akan dibayarkan perusahaan

kepada pewaris pemegang polis bila pemegang polis meninggal dalam jangka

waktu tertentu (jangka waktu polis). Untuk perhitungan yang lebih sederhana,

jangka waktu dihitung untuk satu tahun. Tingkat bunga dianggap stabil untuk

setiap tahunnya.

Andaikan ada sebanyak xl orang pemegang polis, menyerahkan premi

tunggal bersih sebesar Z rupiah ke suatu perusahaan asuransi dan tiap akhir tahun


39

akan dibayarkan Rp.1 kepada tiap pewaris dari tertanggung yang meninggal. Jika

ternyata tertanggung mampu hidup mencapai usia 1+x maka claim tidak akan

dibayarkan. Sehingga sekarang dana di perusahaan ada sebanyak xZl rupiah.

Banyaknya yang meninggal dalam interval waktu setahun adalah sebanyak xd ,

maka dana yang dikeluarkan perusahaan pada akhir tahun sebesar Rp.1( xd ) atau

xd rupiah. Bila dana yang terkumpul di perusahaan dikenai bunga, maka dana

yang ada di perusahaan pada akhir tahun pertama ada sebanyak :

)1( iZld xx +=

)1( il

dZ

x

x

+=

x

x

ld

vZ .=

Misalkan 1:nx

A adalah nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih

asuransi sebesar Rp.1 untuk seseorang yang berusia x selama interval waktu n

tahun. Bila seseorang yang berusia x meninggal sebelum usia nx + , maka

kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut

meninggal. Tetapi bila orang tersebut mampu hidup mencapai usia nx + , maka

orang tersebut tidak akan mendapat claim. Bila seseorang yang berusia x

meninggal pada akhir tahun pertama, maka nilai tunainya adalah x

x

ld

v. . Bila

seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun kedua, nilai tunainya


40

adalah x

x

ld

v 12 . + , dan bila seseorang yang berusia x meninggal pada akhir tahun

ke n , maka nilai tunainya adalah x

nxn

ld

v 1. −+ . Sehingga keseluruhan nilai tunainya

adalah :

1:nx

Ax

nxn

x

x

x

x

ld

vl

dv

ld

v 112 ... −++ +++= (2.35)

1:nx

Ax

txn

t

t

ld

v +−

=

+∑=1

0

1 (2.36)

Jika menggunakan simbol komutasi yang didapat dengan cara mengalikan

pembilang dan penyebut dengan xv , maka dari persamaan (2.35) didapat :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= −++

x

x

x

nxn

xxnx v

vl

dvdvvdA 11

21:

...

x

xnx

nxx

xx

x

nx lvdvdvdv

A 1121

1:

... −++

+++ +++

=

Jika xxx Cdv =+1 dan xwxxx MCCCC =++++ ++ ...21 maka :

1:nx

A x

nxxx

DCCC 11 ... −++ +++

=

1:nx

A x

nxx

DMM +−

= (2.37)

Selain dinyatakan dalam simbol komutasi, persamaan (2.36) dapat juga

dinyatakan dalam bentuk anuitas, yaitu :

1:nx

Ax

txn

t

t

ld

v +−

=

+∑=1

0

1


41

1:nx

A xt

n

t

t qv∑−

=

+=1

0

1

Sehingga persamaan (2.36) dapat ditulis menjadi :

xnn

xxnx qvqvvqA1

21: ...

−+++=

Akan dibuktikan bahwa : 1:nx

A nxnx aav :: )( −= &&

Bukti :

1:nx

A )(...)()1( 122

xnxnn

xxx ppvppvpv −++−+−= −

xnn

xnn

xxx pvpvpvpvvpv −++−+−= −1222 ...

)...()...( 22

12

xnn

xxxnn

x pvpvvppvpvv +++−+++= −

)...()...1( 221

xnn

xxxnn

x pvpvvppvvpv +++−+++= −

x

n

t

n

tt

txt

t pvpvv∑ ∑−

= =

−=1

0 1

1:nx

A nxnx aav :: )( −= &&

b. Asuransi Seumur Hidup

Asuransi berjangka relatif sederhana dan murah (preminya rendah). Akan

tetapi bila jangka waktu sudah habis maka tertanggung tidak memperoleh apapun

dari perusahaan asuransi. Bila tertanggung mempunyai keinginan

mengasuransikan dirinya terus menerus maka dia harus membeli polis baru karena

kontraknya sudah selesai. Pembelian polis baru akan memakan biaya yang relatif


42

mahal mengingat usianya yang semakin bertambah tua sehingga peluang

meninggal makin tinggi. Asuransi seumur hidup merupakan solusi tepat untuk

mengatasi situasi tersebut, karena lebih murah dan praktis dibandingkan dengan

asuransi berjangka yang bersambung. Uang santunan asuransi (claim) dalam

asuransi seumur hidup pasti akan dibayar oleh perusahaan tanpa mempedulikan

kapan tertanggung meninggal.

Misalkan xA menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi

seumur hidup sebesar Rp.1 bagi seseorang yang berusia x . Bila seseorang berusia

x meninggal, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp.1 pada akhir tahun

orang tersebut meninggal. Dengan cara yang sama pada asuransi berjangka, maka

nilai tunai seluruh pembayaran tiap tahunnya adalah :

=xA x

wxw

x

x

x

x

ldv

ldv

ldv 112 ... +−+ +++ (2.38)

xt

xw

t

tx qvA ∑

−

=

+=0

1

Komutasinya didapat dari mengalikan persamaan (2.38) dengan x

x

vv

, yaitu :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

+−+

x

x

x

wxw

xxx v

vl

dvdvvdA1

12 ...

=x

xw

wx

xx

x

lvdvdvdv 1

121 ... +

+++ +++

x

wxx

DCCC +++

= + ...1


43

x

xx D

MA = (2.39)

Contoh 2.4.

Tono pada saat berusia 50 tahun, membeli polis asuransi jiwa dengan claim

sebesar Rp.50.000.000,00 ( )%4=i jika :

a) Tono membeli polis asuransi berjangka selama 15 tahun. Dengan

menggunakan persamaan (2.37) maka besar premi yang harus dibayarkan

adalah :

Rp.50.000.000,00 =115:50

A Rp.50.000.000,00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

50

6550

DMM

= Rp.8.773.969,98

b) Tono membeli polis asuransi seumur hidup. Dengan menggunakan persamaan

(2.39) maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :

Rp.50.000.000,00 =50A Rp.50.000.000,00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

50

50

DM

=Rp.21.946.654,15

Selain dengan komutasi, persamaan (2.38) dapat juga dinyatakan dalam

bentuk anuitas.

Akan dibuktikan bahwa : xA xx aav −= )( &&

Bukti :


44

Jika xn q ∑−

=

=1

1

|n

txt q maka persamaan (2.38) dapat dinyatakan dengan :

xxwxw

xxxx qvqvqvvqA |...| 1232

−−−++++=

Selanjutnya diperoleh berikut :

xA ...)()1( 22 +−+−= xxx ppvpv + ( )xxwxxw

xw ppv −−−− −1

xxwxw

xxwxw

xxx pvpvpvpvvpv −−

−−− −++−+−= 12

22 ...

)...()...( 22

12

xxwxw

xxxxwxw

x pvpvvppvpvv −−

−−− +++−+++=

)...()...1( 22

11

22

xxwxw

xxxxwxw

xx pvpvvppvpvvpv −−

−−−− +++−+++=

x

xw

t

xw

tt

txt

t pvpvv ∑ ∑−−

=

−

=

−=1

0 1

xA xx aav −= )( &&

2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan

Jika pembayaran dilakukan secara tahunan, maka perhitungan harus

didasarkan pada prinsip equality, yaitu : Nilai tunai premi yang akan datang =

nilai tunai claim yang akan datang. Alasan perusahaan asuransi memberlakukan

prinsip equality adalah untuk menghindari terjadinya kerugian salah satu pihak.

Jika keseluruhan pembayaran premi lebih besar dari besar claim yang diterima

maka pemegang polis akan merasa rugi, begitu juga sebaliknya.

Misal suatu claim asuransi seumur hidup ( xA ) sebesar Rp.1 dengan premi

tahunan yang dibayarkan tiap awal tahun ( xa&& ). Jika premi tahunan sebesar P ,


45

maka menurut prinsip equality harus dicari nilai P sampai diruas kiri didapatkan

Rp.1 yaitu:

xx ARpaP )1.(. =&&

x

x

aA

P&&

= (2.40)

Contoh 2.5.

Dari contoh 2.4 (b) Tono (50) ternyata merasa keberatan dengan pembayaran

premi tunggal sebesar Rp.21.946.654,15 untuk mendapatkan claim sebesar

Rp.50.000.000,00. Kemudian ia memutuskan untuk membeli polis asuransi

seumur hidup dengan premi tahunan. Dengan menggunakan persamaan (2.40)

maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :

50

15,654.946.21.a

RpP&&

=

50

50

15,654.946.21.

DN

RpP =

=P Rp 1.504.458,84

Asuransi berjangka dengan pembayaran premi tahunan adalah suatu

kontrak asuransi untuk jangka waktu n tahun, dengan pembayaran preminya

sebanyak n kali. Menurut prinsip equality maka didapat :

1::. nxnx AaP =&&


46

nx

nx

aA

P:

1:

&&= (2.41)

Contoh 2.6

Dari contoh 2.4 (a) Tono (50) memutuskan membeli polis asuransi jiwa secara

tahunan dengan jangka waktu 15 tahun. Dengan menggunakan persamaan (2.41)

maka besar premi yang harus dibayarkan, adalah :

=P Rp.21.946.654,15 15:50

115:50

aA&&

=P Rp.21.946.654,15 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

6550

6550

NNMM

=P Rp.362.802,82


47

BAB III

ASURANSI PENSIUN HARI TUA

A. Dana Pensiun

Dana pensiun adalah lembaga perantara keuangan yang menjembatani saat

seseorang mengalami peningkatan penghasilan (usia produktif) dan penurunan

penghasilan (usia tua), sehingga kehidupan di masa tuanya akan terjamin

secara finansial (Wijayanto dkk,2001). Atau dapat dikatakan bahwa dana pensiun

merupakan penyelenggara program pensiun di suatu perusahaan. Sebagai lembaga

perantara keuangan, dana pensiun secara aktif memobilisasi dana para pegawai

melalui pengumpulan iuran pensiun dari anggota, dan melakukan investasi (misal

di pasar keuangan) untuk mengembangkan dana yang terkumpul agar kelak dana

yang dimiliki mencukupi untuk membayar manfaat pensiun masing-masing

anggota.

Ada tiga fungsi dana pensiun yaitu : fungsi tabungan, fungsi asuransi dan

fungsi pensiun. Fungsi tabungan berarti dana pensiun bertugas mengumpulkan

dan mengembangkan dana. Dana yang terkumpul merupakan akumulasi dan iuran

pemberi kerja/perusahaan dan pegawai, yang diberlakukan seperti tabungan.

Fungsi asuransi berarti dana pensiun bertugas membayarkan manfaat pensiun

kepada peserta program baik yang mengalami cacat atau meninggal sebelum atau

sesudah memasuki usia pensiun yang besarnya sesuai dengan yang dijanjikan

dalam peraturan dana pensiun (UU No. 11 tahun 1992). Fungsi pensiun


48

berarti dana pensiun memberi jaminan kelangsungan pendapatan dalam bentuk

pembayaran secara berkala seumur hidup setelah mencapai usia pensiun.

Faktor yang paling menentukan dalam asuransi pensiun hari tua adalah usia

pensiun atau batas usia minimum penerima manfaat pensiun. Usia pensiun di tiap

negara berbeda-beda, hal tersebut menunjukkan bahwa konsepsi hari tua tidak

semudah yang dibayangkan (K.Soentonoe,1982). Dalam survei yang

diselenggarakan ILO (International Labour Organization) terhadap 84 negara

pada tahun 1967 diperoleh distribusi usia pensiun sebagai berikut :

Usia

Usia

Pria Wanita

Jumlah Negara

Pria Wanita

Jumlah Negara

70 70 2 63 60 168 68 1 62 57 267 67 2 60 60 1567 62 1 60 55 1965 65 15 55 55 865 62 1 55 50 365 60 13 50 50 1

Kriteria yang dipergunakan untuk menentukan usia pensiun adalah :

1) Harapan hidup

2) Keadaan fisik tenaga kerja

3) Keadaan kesempatan kerja

4) Biaya penyelenggaraan

5) Struktur keluarga

Usia pensiun normal baik pegawai negeri maupun pegawai swasta adalah 56

tahun, akan tetapi dana pensiun tidak berkeberatan jika pegawai bersangkutan


49

bekerja lebih lama, misal bekerja sampai usia 60 tahun (Peraturan Pensiun No 32 /

tahun 1979).

Penyusutan jumlah pegawai pada suatu perusahaan yang diakibatkan lebih

dari satu faktor penyebab digambarkan melalui sebuah tabel penyusutan jamak

atau yang disebut dengan Tabel Pelayanan (Service Table). Tabel tersebut terbagi

menjadi dua bagian. Bagian pertama memperlihatkan penyusutan kelompok dari

usia masuk kerja (misal 26 tahun) sampai sebelum usia pensiun (misal 55 tahun)

dengan tiga faktor penyebab, yaitu: kematian (mortality), cacat/sakit permanen

(disability) dan keluar secara sukarela (withdrawal). Sedangkan, bagian kedua

memperlihatkan penyusutan kelompok dari usia normal pensiun sampai usia pasti

pensiun (misal 56-60 tahun) dengan dua faktor penyebab, yaitu: kematian dan

pensiun (retirement).

B. Tabel Pelayanan (Services Table).

Secara keseluruhan tabel pelayanan menggambarkan penyusutan anggota

kelompok yang diakibatkan oleh empat faktor penyebab. Jika )(Txd menyatakan

banyak peserta aktif yang berhenti kerja pada usia x karena semua faktor

penyebab, dengan menggunakan persamaan (2.19) didapat :

( ) ( ) ( ) )(4)3(21 Txxxxx ddddd =+++ (3.1)

dengan )1(xd adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena meninggal

pada usia x , )2(xd adalah banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena


50

cacat/sakit pada usia x , )3(xd banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena

keluar sukarela pada usia x , )4(xd banyak peserta aktif yang berhenti kerja karena

telah mencapai usia pensiun pada usia x .

Diketahui bahwa: ( ) ( ) ( )Tx

Tx

Tx dll −=+1 maka dengan menggunakan persamaan

(3.1) banyak peserta aktif untuk satu tahun berikutnya adalah :

( ) )4()3()2(1)()(1 xxxx

Tx

Tx ddddll −−−−=+

dengan peluang seseorang tetap berada dalam kelompok karena semua faktor

penyebab pada usia x , yaitu:

)(

)(1)(

Tx

TxT

x ll

p +=

( )

)(

)4()3()2(1)(

Tx

xxxxT

x

lddddl −−−−

=

( )

)(

)4(

)(

)3(

)(

)2(

)(

1

1 Tx

xT

x

xT

x

xT

x

x

ld

ld

ld

ld

−−−−=

Dan peluang keluar dari kelompok karena semua faktor penyebab pada usia x

adalah :

)(

)()(

Tx

TxT

x ld

q =

Untuk tabel pelayanan bagian pertama, faktor )4(xd tidak ada maka banyak

peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :

( ) )3()2(1)()(1 xxx

Tx

Tx dddll −−−=+

dengan


51

( )

)(

)3(

)(

)2(

)(

1)( 1 T

x

xT

x

xT

x

xTx l

dld

ldp −−−=

Dan

)(

)4()()(

Tx

xT

xTx l

ddq

−=

Untuk tabel pelayanan bagian kedua, )2(xd dan )3(

xd tidak ada maka banyak

peserta untuk satu tahun berikutnya adalah :

( ) )4(1)()(1 xx

Tx

Tx ddll −−=+

dengan

( )

)(

)4(

)(

1)( 1 T

x

xT

x

xTx l

dldp −−=

Dan

)(

)3()2()(

Tx

xxTx l

ddq

+=

C. Jenis Manfaat Pensiun

Manfaat pensiun adalah pembayaran berkala yang dilakukan oleh dana

pensiun kepada peserta program yang telah mencapai usia pensiun dalam jangka

panjang untuk menghadapi risiko hari tua, cacat dan kematian pada saat dan

dengan cara yang ditetapkan dalam Peraturan Dana Pensiun (UU No.11 Th.1992).

Dengan demikian manfaat pensiun tidak hanya menjamin hari tua yaitu kehidupan

setelah mencapai batas usia tertentu, tetapi pensiun juga menjamin jika terjadi

cacat tetap-total sebelum batas usia pensiun atau disebut hari tua prematur


52

(premature old age), dan jika meninggal sebelum batas usia pensiun atau disebut

sebagai kematian prematur (premature death).

Sesuai Peraturan Pensiun, manfaat pensiun bagi peserta program terdiri dari :

1. Manfaat Pensiun Normal (MPN) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang

mulai dibayarkan pada saat peserta mencapai usia pensiun normal.

2. Manfaat Pensiun Dipercepat (MPD) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang

dibayarkan bila peserta pensiun pada usia tertentu sebelum usia pensiun

normal .

3. Manfaat Pensiun Cacat (MPC) adalah manfaat pensiun bagi peserta yang di

bayarkan bila peserta mengalami cacat/sakit permanen.

4. Pensiun Ditunda (PD) adalah hak atas manfaat pensiun bagi peserta yang

berhenti bekerja sebelum mencapai usia pensiun normal yang ditunda

pembayarannya sampai pada saat peserta pensiun sesuai dengan peraturan

dana pensiun.

Hal tersebut mencerminkan salah satu fungsi program pensiun yaitu fungsi

asuransi, fungsi yang memberikan jaminan kepada peserta untuk menutupi resiko

kehilangan pendapatan (Subardi & Dwiarto, 1996).

Program pensiun oleh dana pensiun dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :

Program Pensiun Manfaat Pasti/PPMP (Defined Benefit Plan) dan Program

Pensiun Iuran Pasti/PPIP (Defined Contribution Plan). PPMP adalah program

pensiun yang manfaatnya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun atau program

pensiun lain yang bukan merupakan PPIP. Sedangkan PPIP adalah program

pensiun yang iurannya ditetapkan dalam peraturan Dana Pensiun dan seluruh


53

iuran serta hasil pengembangannya dibukukan pada rekening masing-masing

peserta sebagai manfaat pensiun. Untuk selanjutnya manfaat pensiun dan program

pensiun yang dimaksud adalah MPN dan PPMP, dan manfaat pensiun cukup

disebut dengan manfaat (benefit).

D. Fungsi Manfaat

Manfaat pasti (defined benefit) berarti besar manfaat yang akan datang

(anuitas) sudah ditentukan terlebih dahulu, baru kemudian setiap tahun dilakukan

perhitungan iurannya (contribution). Iuran peserta yang dibayarkan setiap awal

tahun dalam asuransi disebut premi bersih tahunan. Dana pensiun melakukan

perhitungan manfaat pensiun berdasarkan pada prinsip equality, yaitu : nilai tunai

iuran (premi) yang akan datang = nilai tunai manfaat (santunan) yang akan datang.

Ada tiga hal penting yang digunakan untuk menentukan besar manfaat yang akan

datang, yaitu:

1) Masa kerja.

Penentuan besar manfaat tidak ada hubungannya dengan besar gaji

pegawai, namun masa kerja pegawai yang bersangkutan. Misal x adalah usia

pegawai masuk menjadi peserta program pensiun (misal 26 tahun) dan r adalah

usia pensiun peserta program (misal 56 tahun), maka masa kerja pegawai adalah

30=t .

Sesuai prinsip equality nilai kumulatif dari nilai tunai premi yang dibayarkan

yaitu jumlahan nilai tunai iuran dari usia x sampai 1−r harus sama dengan


54

jumlahan nilai tunai manfaat (U ) yang dibagikan kepada peserta program pensiun

selama seumur hidup. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan dengan :

)(

1

0

Ttx

xr

t

tlvP +

−−

=∑ )(. T

rxr

r lvaU −= && (3.3)

Menggunakan persamaan (2.28), maka nilai tunai anuitas awal sementara untuk

semua faktor penyebab adalah :

)(

1

0

)(:

Txt

txr

t

Txrx

pva ∑−−

=−=&&

Untuk komutasinya, digunakan persamaan (2.30) yaitu :

)(::T

xrxa−

&& = )(

)()(

Tx

Tr

Tx

DNN −

Jika persamaan (3.3) dibagi dengan )(Txl maka didapat berikut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

=∑ )(

)(1

0T

x

Ttx

xr

t

t

llvP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

)(

)(

. Tx

Trxr

r llvaU &&

)(1

0

Txt

xr

t

t pvP∑−−

=

)(. Txxr

xrr pvaU −

−= &&

)(:. T

xrxaP−

&& )(.. Txxr

xrr pvaU −

−= && (3.4)

Sehingga preminya adalah :

)(:

)(.T

xrx

Txxr

xrr

apvaUP

−

−−

=&&

&&

Misal )()( Tx

xTx lvD = dan )()(

1)()( ... T

rT

xT

xT

x DDDN +++= + maka :


55

)(:

)(

)(

.

Txrx

Tx

Tr

x

rr

all

vvaU

P−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=&&

&&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

)(

)()(

)(

)(

.

Tx

Tr

Tx

Tx

Tr

r

DNN

DDaU

P&&

)()(

)(..T

rT

x

Trr

NNDaUP−

=&&

(3.5)

Dengan menggunakan persamaan (2.34), jika rx = maka didapat :

)(

)(

Tr

Tr

r DNa =&&

Kemudian disubstitusikan ke persamaan (3.5) maka diperoleh :

)()(

)(.T

rT

x

Tr

NNNU

P−

= (3.6)

2) Rata-rata gaji per tahun selama masa kerja ( )xr − .

Penentuan besar manfaat berkaitan dengan tingkat kenaikan gaji setiap

tahunnya. Hubungan antara usia dengan gaji pegawai merupakan suatu fungsi

yang monoton naik, karena semakin bertambah usia pegawai besar gaji yang

diperoleh semakin meningkat (premi asuransipun ikut meningkat).

Definisi 3.1.


56

Jika xs menyatakan gaji tahunan pada usia x , maka gaji t tahun berikutnya

adalah :

∑=

−++ =t

iixtx sS

11

dengan xrt −= ,...,2,1

Definisi 3.2.

Rata-rata gaji tahunan didefinisikan dengan :

( )xrS tx

−+

Definisi 3.3.

Andaikanβ adalah tingkat manfaat tahunan yang telah ditetapkan perusahaan.

Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji tahunan

dengan β ( )xr − , atau :

( )xrxr

SV tx −

−= + β

)(

txSV += .β

Definisi 3.4.

Gaji pada saat usia pensiun ( r ) adalah rS . Sehingga manfaat yang diperoleh

adalah :


57

β=V rS

Definisi 3.5.

Nilai tunai anuitas hidup awal sementara yang dipengaruhi oleh rata-rata gaji

tahunan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

x

tx

ss

dengan subscript s adalah indeks, didefinisikan dengan :

)(

1

0

)(:

. Txt

txr

t x

txTxrx

s pvs

sa ∑

−−

=

+−=&&

Atau

)(

)(1

0

)(: . T

x

Ttxt

xr

t x

txTxrx

s

llv

ssa +

−−

=

+− ∑=&&

Kemudian ruas kanan persamaan di atas dikalikan dengan x

x

vv

:

x

x

Tx

Ttxt

xr

t x

txTxrx

s

vv

llv

ssa .. )(

)(1

0

)(:

+−−

=

+− ∑=&&

)(

)(1

0

)(: . T

xx

Ttx

txxr

t x

txTxrx

s

lvlv

ssa +

+−−

=

+− ∑=&&

Misal )()( Tx

xTx lvD = dan )()( T

txtxT

tx lvD ++

+ = maka didapat komutasinya, yaitu :

)(

)(1

0

)(:

. Tx

Ttx

xr

t x

txTxrx

s

DD

ss

a +−−

=

+− ∑=&&

Andaikan α adalah tingkat premi tahunan, atau dapat dinyatakan dengan :

xsP .α= (3.7)

Dengan menggunakan persamaan (3.4) maka prinsip equality-nya menjadi :


58

)()(: .. T

xxrxr

rT

xrxs

x pvaVas −−

−= &&&&α

Dengan demikian tingkat preminya adalah :

xrxs

x

Txxr

xrr

aspvaV

−

−−

=:

)(

..

&&

&&α

dan komutasinya yaitu :

∑

−−

=

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=1

0)(

)(

)(

)(

)(

)(

.

.

xr

tT

x

Ttx

x

txx

Tx

Tr

Tr

Tr

DD

sss

DD

DNV

α

∑

−−

=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=1

0

)()(

)(

)(

..11

.

xr

t

TtxtxT

xxx

Tx

Tr

DsDs

s

DNV

α

∑−−

=++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= 1

0

)(

)()(

)(

.

.

xr

t

Ttxtx

TxT

x

Tr

Ds

DDNV

α

∑

−−

=++

= 1

0

)(

)(

.

.xr

t

Ttxtx

Tr

Ds

NVα (3.8)

3. Rata-rata gaji per tahun untuk f tahun terakhir (misal 5 tahun) sebelum

pensiun.

Gaji terakhir pegawai digunakan sebagai penentu (patokan) besar perolehan

manfaat, karena jika menggunakan gaji tahun-tahun sebelumnya yang nilainya


59

lebih kecil, maka akan terjadi ketidakseimbangan iuran dengan manfaat yang akan

datang.

Definisi 3.6.

Rata-rata gaji f tahun terakhir didefinisikan dengan :

f

sxr

fxrttx∑

−−

−−=+

1

Definisi 3.7.

Andaikan γ menyatakan tingkat manfaat tahunan yang ditetapkan oleh

perusahaan. Manfaat didefinisikan sebagai hasil kali antara rata-rata gaji f tahun

terakhir dengan γ ( )xr − , atau :

( )xrsf

Wxr

fxrttx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

−−

−−=+ γ

11

)(1 1 1

xrssf

Wxr

xt

xr

frttxtx −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑ ∑

−−

=

−−

−=++ γ

( )fSS

xrW frr −−−= γ (3.9)

Dengan menggunakan persamaan (3.8) maka besar premi adalah :

xrxs

x

Txxr

xrr

aspvaW

−

−−

=:

)(

..

&&

&&α

dan komutasinya yaitu :


60

∑

−−

=++

= 1

0

)(

)(

.

.xr

t

Ttxtx

Tr

Ds

NWα (3.10)


61

BAB IV

PENERAPAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENSIUN HARI TUA

Seorang pegawai suatu perusahaan, masuk menjadi peserta program pensiun

pada usia 26 tahun. Gaji permulaan tahunnya sebesar Rp. 500.000,00, dengan

asumsi kenaikan gaji 5% setiap tahunannya. Pegawai tersebut diharuskan

membayar iuran setiap tahun (premi tahunan) untuk mendapat manfaat pensiun

sebesar 75% dari gaji tahunannya. Jika pegawai tersebut pensiun di usia 56 tahun.

Akan dicari besar premi tahunan yang harus dibayarkan kepada dana pensiun.

Jika x adalah usia masuk menjadi peserta program pensiun, r adalah usia

pensiun peserta dan xs adalah gaji tahunan pada usia x , maka tabel gajinya

adalah :

x xs 26 50000027 52500028 55125029 57881330 60775331 63814132 67004833 70355034 73872835 77566436 81444737 85517038 89792839 94282540 98996641 103946442 109143743 114600944 120331045 126347546 132664947 1392981


62

48 146263049 153576250 161255051 169317752 177783653 186672854 196006555 2058068

Perhitungan besarnya premi menurut :

1. Masa kerja

Jika diketahui besar manfaat : =U Rp.800.000,00

Dengan menggunakan persamaan (3.6) besarnya premi adalah :

)(56

)(26

)(56.

TT

T

NNNUP−

=

=P Rp. 6.731,34

2. Rata-rata gaji per tahun dengan masa kerja 30 tahun.

Dengan menggunakan definisi 3.4 didapat manfaat :

%75=V x 56S

%75=V x Rp. 33.219.424,00

=V Rp.24.914.568,00

Dengan menggunakan persamaan (3.8) didapat tingkat premi :

∑=

++

= 29

0

)(2626

)(56

.

.

t

Ttt

T

Ds

NVα

=α 0,30


63

Sehingga didapat tabel premi berikut :

x xs Premi

(30% x xs ) 26 500000 149736,72 27 525000 157223,56 28 551250 165084,73 29 578813 173338,97 30 607753 182005,92 31 638141 191106,22 32 670048 200661,53 33 703550 210694,60 34 738728 221229,33 35 775664 232290,80 36 814447 243905,34 37 855170 256100,61 38 897928 268905,64 39 942825 282350,92 40 989966 296468,47 41 1039464 311291,89 42 1091437 326856,48 43 1146009 343199,31 44 1203310 360359,27 45 1263475 378377,24 46 1326649 397296,10 47 1392981 417160,90 48 1462630 438018,95 49 1535762 459919,90 50 1612550 482915,89 51 1693177 507061,69 52 1777836 532414,77 53 1866728 559035,51 54 1960065 586987,28 55 2058068 616336,65

3. Rata-rata gaji per tahun untuk 5 tahun terakhir sebelum pensiun.

Dengan menggunakan persamaan (3.9) didapat manfaat :

=W 0,13 x 30 x Rp.3.722.714,00

=W Rp. 18.613.569,00

Dengan menggunakan persamaan (3.10) didapat tingkat premi :


64

∑=

++

= 29

0

)(2626

)(56

.

.

t

Ttt

T

Ds

NWα

=α 0,22

Sehingga didapat tabel premi berikut :

x xs Premi

(22% x xs ) 26 500000 111867,67 27 525000 117461,06 28 551250 123334,11 29 578813 129500,81 30 607753 135975,86 31 638141 142774,65 32 670048 149913,38 33 703550 157409,05 34 738728 165279,50 35 775664 173543,48 36 814447 182220,65 37 855170 191331,68 38 897928 200898,27 39 942825 210943,18 40 989966 221490,34 41 1039464 232564,86 42 1091437 244193,10 43 1146009 256402,76 44 1203310 269222,89 45 1263475 282684,04 46 1326649 296818,24 47 1392981 311659,15 48 1462630 327242,11 49 1535762 343604,21 50 1612550 360784,43 51 1693177 378823,65 52 1777836 397764,83 53 1866728 417653,07 54 1960065 438535,72 55 2058068 460462,51

Dari ketiga pilihan perhitungan premi tersebut, terlihat bahwa premi yang

paling rendah adalah pilihan pertama dan premi yang paling tinggi adalah pilihan

kedua. Untuk perusahaan asuransi, pilihan kedua sangat menguntungkan, karena


65

premi yang tinggi, tetapi memberatkan pesertanya. Sehingga diambil jalan

tengahnya agar kedua pihak saling menguntungkan, yaitu perhitungan premi

menurut pilihan ketiga.


66

BAB V

KESIMPULAN

Pengertian pensiun hari tua adalah berakhirnya masa kerja seorang pegawai

di tempatnya bekerja, karena telah mencapai usia pensiun. Konsep perhitungan

premi pada asuransi pensiun hari tua tidak terlepas dari konsep asuransi jiwa. Jika

pada asuransi jiwa, seseorang akan mendapat santunan jika dia meninggal, maka

pada asuransi pensiun hari tua, seseorang akan mendapat santunan (manfaat

pensiun) jika dia telah mencapai usia pensiun. Prinsip yang berlaku adalah nilai

tunai premi (iuran) yang akan datang harus sama dengan nilai tunai santunan

(manfaat pensiun) yang akan datang (prinsip equality). Premi dibayarkan secara

berkala selama menjadi peserta aktif program pensiun untuk mendapatkan

santunan yang juga diberikan secara berkala seumur hidup peserta, setelah

mencapai usia pensiun. Perhitungan manfaat pensiun dapat ditentukan oleh salah

satu dari tiga pokok berikut : masa kerja, rata-rata gaji per tahun selama masa

kerja dan rata-rata gaji pertahun untuk f tahun terakhir sebelum pensiun. Dalam

prakteknya, alternatif ketiga lebih banyak menjadi pilihan.


67

DAFTAR PUSTAKA Bowers Jr,N.L.,Gerbers,H.U.,Hickman, J.C., Jones, D.A., Nesbitt,C.J. (1997).

Aktuarial Mathematics, Second Edition, The Society of Actuaries, Schaumbers, Illinois.

Futami, T., terj. Herlianto, G. (1988). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Pertama,

The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan. Futami, T., terj. Herlianto, G. (1993). Matematika Asuransi Jiwa, Edisi Kedua,

The Kyoei Life Insurance.co, LTD, Tokyo, Japan. Kertonegoro,S.(1982). Jaminan Sosial Prinsip dan Pelaksanaannya di Indonesia,

Jakarta. Larson, R.E and Gaumnitz, E.A. (1951). Life Insurance Mathematics, New York

John Wiley and Sons. Inc., London.

Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 1-5. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.

Sembiring, RK. (1986). Asuransi I modul 6-9. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.

Catarya, Indra. (1988). Asuransi II. Jakarta: Karunia Universitas Terbuka Jakarta.

Wijayanto, B, Sopater, S, Sucahyo, U.S., Atmojo, W, Kusjadi, Sunaryo, H,

Suwanto, Suyitno, A. (2001). Memahami Dana Pensiun GKJ dan Persoalannya, Dana Pensiun Gereja-gereja Kristen Jawa, Salatiga.


68

LAMPIRAN

TABEL I

Tabel Mortalita Indonesia 1993

x xl xd xp xq 0 1000000 32230 0,96777 0,03223 1 967770 3523 0,99636 0,00364 2 964247 2526 0,99738 0,00262 3 961721 1933 0,99799 0,00201 4 959788 1632 0,99830 0,00170 5 958156 1514 0,99842 0,00158 6 956642 1473 0,99846 0,00154 7 955169 1375 0,99856 0,00144 8 953794 1249 0,99869 0,00131 9 952545 1086 0,99886 0,00114 10 951459 980 0,99897 0,00103 11 950479 922 0,99903 0,00097 12 949557 912 0,99904 0,00096 13 948645 930 0,99902 0,00098 14 947715 1005 0,99894 0,00106 15 946710 1174 0,99876 0,00124 16 945536 1409 0,99851 0,00149 17 944127 1681 0,99822 0,00178 18 942446 1894 0,99799 0,00201 19 940552 2013 0,99786 0,00214 20 938539 2046 0,99782 0,00218 21 936493 2060 0,99780 0,00220 22 934433 2074 0,99778 0,00222 23 932359 2079 0,99777 0,00223 24 930280 2130 0,99771 0,00229 25 928150 2107 0,99773 0,00227 26 926043 2010 0,99783 0,00217 27 924033 1867 0,99798 0,00202 28 922166 1724 0,99813 0,00187 29 920442 1620 0,99824 0,00176 30 918822 1590 0,99827 0,00173 31 917232 1624 0,99823 0,00177 32 915608 1676 0,99817 0,00183 33 913932 1718 0,99812 0,00188 34 912214 1751 0,99808 0,00192 35 910463 1794 0,99803 0,00197 36 908669 1881 0,99793 0,00207 37 906788 2040 0,99775 0,00225


69

38 904748 2289 0,99747 0,00253 39 902459 2581 0,99714 0,00286 40 899878 2898 0,99678 0,00322 41 896980 3220 0,99641 0,00359 42 893760 3530 0,99605 0,00395 43 890230 3837 0,99569 0,00431 44 886393 4139 0,99533 0,00467 45 882254 4473 0,99493 0,00507 46 877781 4854 0,99447 0,00553 47 872927 5290 0,99394 0,00606 48 867637 5796 0,99332 0,00668 49 861841 6429 0,99254 0,00746 50 855412 7203 0,99158 0,00842 51 848209 8100 0,99045 0,00955 52 840109 9056 0,98922 0,01078 53 831053 9956 0,98802 0,01198 54 821097 10904 0,98672 0,01328 55 810193 11894 0,98532 0,01468 56 798299 12924 0,98381 0,01619 57 785375 13995 0,98218 0,01782 58 771380 15096 0,98043 0,01957 59 756284 16230 0,97854 0,02146 60 740054 17391 0,97650 0,02350 61 722663 18572 0,97430 0,02570 62 704091 19764 0,97193 0,02807 63 684327 20947 0,96939 0,03061 64 663380 22130 0,96664 0,03336 65 641250 23290 0,96368 0,03632 66 617960 24409 0,96050 0,03950 67 593551 25475 0,95708 0,04292 68 568076 26478 0,95339 0,04661 69 541598 27389 0,94943 0,05057 70 514209 28194 0,94517 0,05483 71 486015 28874 0,94059 0,05941 72 457141 29412 0,93566 0,06434 73 427729 29778 0,93038 0,06962 74 397951 29966 0,92470 0,07530 75 367985 29950 0,91861 0,08139 76 338035 29720 0,91208 0,08792 77 308315 29265 0,90508 0,09492 78 279050 28580 0,89758 0,10242 79 250470 27664 0,88955 0,11045 80 222806 26523 0,88096 0,11904 81 196283 25169 0,87177 0,12823 82 171114 23621 0,86196 0,13804 83 147493 21904 0,85149 0,14851 84 125589 20054 0,84032 0,15968 85 105535 18107 0,82843 0,17157


70

86 87428 16107 0,81577 0,18423 87 71321 14099 0,80232 0,19768 88 57222 12128 0,78805 0,21195 89 45094 10240 0,77292 0,22708 90 34854 8473 0,75690 0,24310 91 26381 6860 0,73996 0,26004 92 19521 5424 0,72215 0,27785 93 14097 4182 0,70334 0,29666 94 9915 3137 0,68361 0,31639 95 6778 2285 0,66288 0,33712 96 4493 1612 0,64122 0,35878 97 2881 1099 0,61854 0,38146 98 1782 721 0,59540 0,40460 99 1061 455 0,57116 0,42884 100 606 606 0 1


71

TABEL II

Komutasi ( )%4=i

x

xD xN xC xM 0 1000000 22790952,67296 30990,38462 123424,89719 1 930548,07692 21790952,67296 3257,21154 92434,51258 2 891500,55473 20860404,59604 2245,60480 89177,30104 3 854966,46706 19968904,04131 1652,33650 86931,69624 4 820430,80490 19113937,57425 1341,38504 85279,35974 5 787534,38890 18293506,76935 1196,53619 83937,97470 6 756048,06852 17505972,38044 1119,35894 82741,43851 7 725849,93772 16749924,31192 1004,69903 81622,07957 8 696927,93339 16024074,37420 877,53083 80617,38054 9 669245,48204 15327146,44081 733,66269 79739,84970 10 642771,60851 14657900,95877 636,58931 79006,18702 11 617413,03425 14015129,35026 575,87848 78369,59770 12 593090,50061 13397716,31601 547,72357 77793,71922 13 569731,60394 12804625,81540 537,05183 77245,99566 14 547281,79812 12234894,21146 558,04083 76708,94383 15 525674,45736 11687612,41335 626,80820 76150,90300 16 504829,40081 11161937,95598 723,34290 75524,09481 17 484689,54249 10657108,55518 829,78887 74800,75190 18 465217,84813 10172419,01269 898,97275 73970,96303 19 446425,88122 9707201,16456 918,70692 73071,99028 20 428336,94810 9260775,28333 897,85355 72153,28336 21 410964,59655 8832438,33523 869,22810 71255,42981 22 394289,03781 8421473,73868 841,47642 70386,20171 23 378282,59841 8027184,70087 811,06255 69544,72530 24 362922,20515 7648902,10246 798,99879 68733,66275 25 348164,66001 7285979,89731 759,97221 67934,66396 26 334013,73934 6937815,23730 697,10131 67174,69175 27 320469,95575 6603801,49796 622,60244 66477,59044 28 307521,58578 6283331,54222 552,80304 65854,98800 29 295141,02944 5975809,95644 499,47624 65302,18496 30 283289,97514 5680668,92699 471,37181 64802,70872 31 271922,83506 5397378,95185 462,93409 64331,33691 32 261001,33039 5125456,11679 459,38183 63868,40282 33 250503,43584 4864454,78640 452,78249 63409,02098 34 240415,90582 4613951,35056 443,73049 62956,23849 35 230725,40972 4373535,44473 437,14169 62512,50800 36 221414,21382 4142810,03501 440,71237 62075,36632 37 212457,57015 3921395,82119 459,58228 61634,65395 38 203826,54286 3708938,25105 495,84457 61175,07167 39 195491,21588 3505111,70818 537,59402 60679,22710 40 187434,72893 3309620,49231 580,40543 60141,63308


72

41 179645,29546 3122185,76338 620,09128 59561,22764 42 172115,76975 2942540,46791 653,64375 58941,13637 43 164842,28869 2770424,69817 683,16384 58287,49261 44 157819,03683 2605582,40947 708,59023 57604,32877 45 151040,48365 2447763,37264 736,31778 56895,73855 46 144494,91649 2296722,88899 768,30352 56159,42076 47 138169,11618 2152227,97250 805,11031 55391,11724 48 132049,80910 2014058,85632 848,19313 54586,00693 49 126122,77716 1882009,04722 904,64140 53737,81380 50 120367,25971 1755886,27007 974,57016 52833,17240 51 114763,17956 1635519,01036 1053,78345 51858,60224 52 109295,42766 1520755,83080 1132,84223 50804,81878 53 103958,91513 1411460,40314 1197,52494 49671,97655 54 98762,97038 1307501,48801 1261,10771 48474,45161 55 93703,28689 1208738,51763 1322,69872 47213,34390 56 88776,61559 1115035,23074 1381,96362 45890,64518 57 83980,16676 1026258,61515 1438,92853 44508,68156 58 79311,23182 942278,44839 1492,43309 43069,75303 59 74768,36674 862967,21657 1542,83031 41577,31995 60 70349,83002 788198,84983 1589,61099 40034,48964 61 66054,45633 717849,01982 1632,26865 38444,87864 62 61881,63167 651794,56349 1670,22304 36812,61000 63 57831,34588 589912,93181 1702,11194 35142,38696 64 53904,95141 532081,58594 1729,07710 33440,27502 65 50102,60694 478176,63453 1749,72217 31711,19792 66 46425,86143 428074,02759 1763,25959 29961,47575 67 42876,99178 381648,16616 1769,48596 28198,21616 68 39458,39076 338771,17438 1768,41735 26428,73021 69 36172,34300 299312,78362 1758,90517 24660,31286 70 33022,19387 263140,44062 1740,96326 22901,40769 71 30011,14623 230118,24675 1714,37775 21160,44443 72 27142,49362 200107,10052 1679,15501 19446,06668 73 24419,39656 172964,60690 1634,66370 17766,91167 74 21845,52530 148545,21034 1581,71534 16132,24798 75 19423,59744 126699,68504 1520,06808 14550,53263 76 17156,46792 107276,08760 1450,37959 13030,46455 77 15046,22418 90119,61968 1373,24512 11580,08496 78 13094,27814 75073,39549 1289,52100 10206,83985 79 11301,13105 61979,11736 1200,18400 8917,31885 80 9666,28817 50677,98631 1106,42546 7717,13485 81 8188,08239 41011,69814 1009,56001 6610,70938 82 6863,59614 32823,61575 911,02673 5601,14938 83 5688,58494 25960,01961 812,31211 4690,12265 84 4657,48110 20271,43467 715,10065 3877,81054 85 3763,24657 15613,95357 620,83947 3162,70989 86 2997,66684 11850,70700 531,02399 2541,87042 87 2351,34797 8853,04016 446,94538 2010,84643 88 1813,96613 6501,69219 369,67663 1563,90105


73

89 1374,52158 4687,72605 300,12310 1194,22442 90 1021,53227 3313,20447 238,78296 894,10133 91 743,45961 2291,67221 185,89037 655,31837 92 528,97463 1548,21260 141,32504 469,42799 93 367,30441 1019,23797 104,77318 328,10295 94 248,40414 651,93355 75,56963 223,32977 95 163,28050 403,52942 52,92802 147,76014 96 104,07247 240,24891 35,90303 94,83212 97 64,16665 136,17645 23,53588 58,92909 98 38,16282 72,00980 14,84686 35,39321 99 21,84816 33,84698 9,00902 20,54635 100 11,99882 11,99882 11,53733 11,53733

(Sumber : Futami, 1993)


74

TABEL III

Tabel Pelayanan

x

)(Txl )1(

xd )2(xd )3(

xd )4(xd

26 100000 100 19990 0 0 27 79910 80 14376 0 0 28 65454 72 9858 0 0 29 55524 61 5702 0 0 30 49761 60 3971 0 0 31 45730 64 2693 46 0 32 42927 64 1927 43 0 33 40893 65 1431 45 0 34 39352 71 1181 47 0 35 38053 72 989 49 0 36 36943 78 813 52 0 37 36000 83 720 54 0 38 35143 91 633 56 0 39 34363 96 550 58 0 40 33659 104 505 61 0 41 32989 112 462 66 0 42 32349 123 421 71 0 43 31734 133 413 79 0 44 31109 143 373 87 0 45 30506 156 336 95 0 46 29919 168 299 102 0 47 29350 182 293 112 0 48 28763 198 259 121 0 49 28185 209 251 132 0 50 27593 226 218 143 0 51 27006 240 213 157 0 52 26396 259 182 169 0 53 25786 276 178 183 0 54 25149 297 148 199 0 55 24505 316 120 213 0 56 23856 313 0 0 3552 57 19991 298 0 0 1587 58 18106 284 0 0 2692 59 15130 271 0 0 1350 60 13509 0 0 0 13509


75

TABEL IV

Komutasi ( %10=i )

x

)(Txl )(T

xD )(TxN

26 100000 8368,75712 44455,93839 27 79910 6078,91370 36087,18127 28 65454 4526,10810 30008,26757 29 55524 3490,06374 25482,15947 30 49761 2843,18812 21992,09573 31 45730 2375,09826 19148,90761 32 42927 2026,63156 16773,80935 33 40893 1754,91917 14747,17779 34 39352 1535,10766 12992,25862 35 38053 1349,35062 11457,15095 36 36943 1190,78116 10107,80033 37 36000 1054,79043 8917,01917 38 35143 935,97963 7862,22874 39 34363 831,92182 6926,24912 40 33659 740,72421 6094,32729 41 32989 659,91555 5353,60308 42 32349 588,22565 4693,68753 43 31734 524,53177 4105,46189 44 31109 467,40883 3580,93012 45 30506 416,63909 3113,52129 46 29919 371,43746 2696,88220 47 29350 331,21547 2325,44474 48 28763 295,05337 1994,22927 49 28185 262,81389 1699,17590 50 27593 233,88000 1436,36201 51 27006 208,07424 1202,48201 52 26396 184,86728 994,40777 53 25786 164,16092 809,54050 54 25149 145,53599 645,37957 55 24505 128,90456 499,84358 56 23856 114,07096 370,93902 57 19991 86,89121 256,86806 58 18106 71,53651 169,97685 59 15130 54,33855 98,44034 60 0 44,10179 44,10179

( Sumber : Bowers, 1997)


ASURANSI PENSIUN HARI TUA - repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/2271/2/013114028_Full.pdf ·...

Documents

Transcript of ASURANSI PENSIUN HARI TUA - repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/2271/2/013114028_Full.pdf ·...