Asep1 2016.1

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SANTARÉM - Celpa - Subestação Muiraquitã.

ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS

DE POTÊNCIA

NOTAS DE AULA - 9º PERÍODO

Autor: Professor Paulo Rogério Pinheiro Nazareth

Aluno(a): ............................................................................................................................

2

2

TÓPICOS

I- CONSIDERAÇÕES GERAIS EM SEP ........................................................................................ 03

II-CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................................... 08

III-GRANDEZAS EM “PU”............................................................................................................... 29

IV-REPRESENTAÇÃO DE SEP’s .................................................................................................... 33

V-ESTUDOS DE CURTO-CIRUITOD EM SEP’s ........................................................................... 38

VI-IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA DOS COMPONENTES DO SEP ........................................ 51

VII-FALTAS ASSIMÉTRICAS EM SEP ........................................................................................... 54

VIII-COMPARAÇÃO DOS NÍVEIS DE CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICOS EM FUNÇÃO DO

CURTO-CICUITO TRIFÁSICO ....................................................................................................... 58

IX-CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ATRAVEZ DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA ZBUS ....... 60

3

3

ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ( SEP )

I- CONSIDERAÇÕES GERAIS EM SEP.

I.1- Introdução.

Engenharia de SEP é o ramo da engenharia que lida com a tecnologia de geração, transmissão e

distribuição de energia elétrica.

O engenheiro de um SEP deverá saber planejar, projetar e operar com um SEP. Esta tecnologia

compreende o estudo de vários tópicos tais como: Análise, Planejamento, Dinâmica de Geração,

Proteção, Estabilidade, Confiabilidade, Sobretensões, Operação Econômica, Distribuição de SEP, etc.

I.2- Objetivo.

Gerar energia elétrica suficiente nos locais mais adequados, transmitir essa energia em grosso até o centro

de carga e então distribuí-la aos consumidores individuais de forma e qualidade adequadas e ao mais

baixo preço econômico e ecológico.

Os SEP são projetados para atender certas exigências, tais como:

a)Confiabilidade de suprimento; b) Economia ( técnica e ecológica );

c)Qualidade de suprimento ( V = cte e f = cte ).

I.3- Classificação das Tensões.

NÍVEL TENSÕES NOMINAIS DISPONÍVEIS CLASSE DE TENSÃO

Baixa Tensão

110 ...... 127 V

220 ...... 230 V

380 V

415 ...... 480 V

660 V

1 kV

Média Tensão

2,4 kV; 3,3 kV; 4,16 kV; 6,6 kV; 7,2 kV

11 kV; 13,2 kV; 13,8 kV

20 kV; 23,2 kV; 24,2 kV

36,2 kV

7,2 kV

15 kV

24 kV

36 kV

Alta Tensão

66 kV; 69 kV

138 kV

230 kV

69 kV

138 kV

230 kV

Extra Alta

Tensão

345 kV

450 kV ..... 550 kV

550 kV ..... 750 kV

345 kV

550 kV

750 kV

I.4- Estrutura do SEP.

O SEP opera em diversos níveis de tensão separados por transformadores.

a) Nível de distribuição

V220/V380;V127/V220Secundária

kV5,34;kV8,13imáriaPr

b) Nível de subtransmissão - 22 kV a 69 kV ou 138 kV

c) Nível de transmissão - 138 kV; 230 kV

4

4

- EAT: 345 kV; 450 kV; 550kV; 750 kV

I.5- Estado de um SEP.

Basicamente um SEP pode operar em dois estados:

- SEP em regime permanente;

- SEP fora do regime permanente (regime transitório).

I.5.1- SEP em regime permanente.

Neste caso são comuns os seguintes tipos de estudos:

1- Fluxo de Potência (Load Flow).

Os estudos de fluxo de potência são realizados, principalmente para fins de planejamento e operação. O

estudo do fluxo de potência nos fornece a condição de tensão em todas as barras em módulo e ângulo de

fase, bem como o fluxo de potência ativa (P) e reativa (Q) em todas as linhas do sistema.

Com as informações obtidas do estudo de fluxo de potência, pode-se pesquisar:

→ Modificação da configuração do sistema, ou seja, Novas LT’s? Rearranjo das existentes?

→ Modificações das características do sistema, ou seja, Mudar o condutor? Mudar a V do sistema?

→ Emergências no sistema, tais como Perdas de LT’s, e Geradores.

→ Otimização da operação do sistema quanto à distribuição de cargas do sistema, minimização de

perdas, utilização de Trafo com e sem taps variáveis em carga (LTC).

2- Operação Econômica do Sistema.

Uma determinada carga pode ser alimentada por diferentes alternativas, dependendo dos despachos de

geração das usinas, do perfil de tensão V do sistema e da configuração de linhas de transmissão (LT’s) do

sistema.

Portanto, é necessário decidir a estratégia operacional ótima do sistema levando-se em conta:

→Despacho de geração mais econômico.

→Critérios de custos (operacionais de combustíveis).

→Critério de perdas nas linhas de transmissão, para diferentes configurações e diferentes despachos

de geração.

3- Controle do Sistema.

Controle f x P (Carga x Frequência)

Controle V x Q (Tensão x Reativos)

I.5.2- SEP fora do regime permanente ( regime transitório ).

Durante o funcionamento de um SEP poderão ocorrer diversos fenômenos transitórios devido a:

5

5

1- Variações momentâneas ou permanentes do sistema, provocado por:

→ descargas atmosféricas; → manobras do circuito; → desligamento de geradores;

→ desligamento de cargas; → ocorrência de curtos-circuitos.

2- Variação de alguma grandeza eletromecânica do sistema.

Consequentemente vão surgir oscilações de potência, tensão e corrente do sistema.

As OSCILAÇÕES DE POTÊNCIA poderão tirar o sistema de sincronismo.

As ELEVADAS TENSÕES E CORRENTES poderão danificar os equipamentos.

Os transitórios são classificados de acordo com a sua velocidade e duração em:

Transitórios Ultrarrápidos ou classe A, que constitui o chamado ESTUDO DE

SOBRETENSÕES.

São caracterizados por fenômenos de pontos de tensão, causados por:

Descarga atmosférica nas LT’s Operações de manobra (switching operations)

São de natureza elétrica provocando ondas eletromagnéticas que se propagam pela linha à velocidade da

luz. O elemento que controla ou elimina estes transitórios são os para-raios do sistema. A duração deste

transitório pode chegar até 5 ms após a ocorrência, provocando perigosas sobretensões. A finalidade do

Estudo de Sobretensões é de fornecer elementos para estabelecer um esquema e proteção contra

sobretensões e determinar o nível básico de isolamento (NBI) dos equipamentos do SEP.

Transitórios Medianamente Rápidos ou classe B, que constitui o chamado ESTUDO DE

CURTOS-CIRCUITOS.

São caracterizados por fenômenos de curto-circuito, causados por falhas de isolamento de LT ou

equipamentos após surtos de tensão ou contatos acidentais entre fases, fase e terra, ou causas mecânicas

diversas.

São também de natureza elétrica e são determinadas basicamente pelo acoplamento magnético entre os

enrolamentos dos geradores. Quanto à duração, nos primeiros 10 ciclos do curto-circuito, na prática são

de importância maior, porém os estudos se prolongam até 100 ms após a ocorrência do curto-circuito.

1,2 50 μseg

100%

50%

Tensão - V

70 a 250 300 μseg

100%

50%

Tensão - V

6

6

Os curtos-circuitos acarretam um colapso total ou parcial da tensão do sistema e as correntes podem

alcançar valores maiores que as limitações técnicas dos equipamentos e LT’s.

Os elementos responsáveis por controlar ou eliminar tais transitórios são os relés e disjuntores,

religamento automático.

A finalidade do Estudo de Curto-circuito é de determinar presumidamente as correntes e tensões de

falta para selecionar os disjuntores do sistema e escolher o sistema de proteção por relés que deverão

sentir o defeito e iniciar o chaveamento seletivo para minimizar os problemas técnicos dos

equipamentos e as oscilações mecânicas dos motores.

Transitórios Lentos ou classe C, que constitui o chamado ESTUDO DE ESTABILIDADE.

São fenômenos de estabilidade transitória e dinâmica, causados por curto-circuito que ocorre num ponto

vital do sistema não eliminado com sucesso e/ou a tempo. São de natureza eletromecânica, envolvendo as

oscilações mecânicas dos rotores das máquinas síncronas. Sua duração vai de fração de segundo a um

minuto ou mais. As oscilações do rotor podem tirar máquinas de sincronismo e provocar o colapso total

ou parcial do sistema.

Estes transitórios podem ser controlados ou eliminados pela eficiência do sistema de proteção que deve

eliminar o defeito.

A finalidade do estudo de estabilidade é estabelecer estratégias de operação que minimizem os efeitos das

ocorrências usando outros tipos de proteção ou outros tipos de relés, chaveamento no sistema de LT’s

e/ou Geradores, e rejeição de cargas.

QUADRO RESUMO DE ESTUDO E ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

REGIME PERMANENTE SENOIDAL (60 Hz)

REGIME DINÂMICO

(0,1 Hz a 100 Hz)

REGIME TRANSITÓRIO

(1 Hz a 100 MHz)

Análise no domínio da

FREQUÊNCIA

Análise no domínio do TEMPO e

APROXIMAÇÕES

Análise no domínio do TEMPO e/ou da

FREQUÊNCIA

Curto-circuito;

Fluxo de Carga;

Estabilidade Estática.

⇒ Estabilidade Transitória.

Transitórios Eletromecânicos

Faltas

1 Hz

a

10 kHz

Manobras

100 Hz

a

100 kHz

Sobretensões

Atmosféricas

100 kHz

a

1 MHz

Corona

1 MHz

a 100 MHz

7

7

II-CONCEITOS BÁSICOS.

II.1-Representação de Tensão e Corrente.

A forma de onda de tensão nos barramentos de um SEP pode ser assumida como sendo puramente

senoidal e de frequência constante.

- As correntes e tensões senoidais são representadas na forma fasorial e com letras maiúsculas, como

por exemplo, V; I.

- IeV → Módulos de V e I respectivamente.

- Os valores instantâneos de corrente e tensão serão designados por letras minúsculas. Ex.: v(t) ou v;

i(t) ou i

- Quando uma tensão gerada (força eletromotriz) está especificada, usa-se a letra E em vez de V para

enfatizar o fato de uma genérica diferença de potencial entre dois pontos está sendo considerada.

- Se uma tensão ou corrente são expressas em função do tempo, tais como:

v(t) = 141,4cos (wt + 30º) e i(t) = 7,07coswt, teremos:

Vmáx=141,4 V; Imax=7,07 A

Vrms = Vef = )CAsvoltímetronoslido(V100=2

4,141=V=

2

Vmáx

)CAosamperímetrnoslido(A5=2

07,7=I=

2

I=I=I

máx

efrms

-Expressando como fasores, fica:

)A(0j+5=IouAº05=I

);V(50j+6,86=VouVº30100=V

∠

∠

-A potência média dissipada em um resistor é .2RI

II.2-Notação com subscrito único.

Considere o circuito CA a seguir com fem Eg e impedância de carga ZL.

II.3-Notação com subscrito duplo.

Observando o mesmo circuito anterior, podemos destacar:

IL = Iab → sentido positivo da corrente de a → b.

Iab = - Iba = 180baI

180babaab VVV

Aabab ZIV

-

ZL

Eg

Zg

ZA IL

Vt VL

b

o n

a

LbLbtata

Lggt

A

LtL

VVevvVVevv

setemreferênciadeneonósosSendo

IZEVZ

VVI

;

:,

;

8

8

Da 2ª Lei de Kirchhoff (LKT), temos que:

A

bnaoabbnaoAab

bnAabao

bnaboa

Z

VVIVVZI

VZIV

VVV

0

0

II.4- Sistema de Transmissão de Energia Elétrica

Os sistemas de transmissão de energia elétrica são projetados para atender a certos critérios mínimos, tais

como:

a) Capacidade de transmissão de energia;

b) Qualidade de transmissão;

c) Confiabilidade;

d) Economia.

II.4.1- Características básicas da energia elétrica

Inicialmente, devemos ressaltar que, por várias razões, é conveniente na maior parte das ocasiões dar

atenção, não à energia w em si, mas a sua taxa de variação com o tempo, ou a potência p, onde:

dt

dwp

(Watts)

Nota: Usaremos letras minúsculas para indicar funções do tempo ou valores instantâneos.

Explicitando a energia w da equação anterior, fica:

t

t0

pdtw (Ws ou J)

Observe que w dependerá do instante inicial t0, arbitrariamente escolhido, o que não ocorre com a

potência.

No SI, a unidade de energia elétrica é o wattsegundo (Ws) e a de potência elétrica o watt (W). Essas

unidades são muito pequenas, sendo preferível usar o quilowatt (kW), o megawatt (MW) e o gigawatt

(GW) para potência elétrica e o kWh para a energia elétrica.

II.4.2- Fórmula fundamental da potência – Energia eletromagnética

Toda tecnologia aplicada na ESEE se baseia no fato de que é possível transformar as formas primitivas de

energia disponíveis na natureza, em energia elétrica, transmiti-la ao consumidor em potencial e então,

finalmente, novamente transformá-la em outras e variadas formas para sua utilização.

Essas transformações não são simples.

Por exemplo, consideremos a energia química armazenada no carvão. O carvão pulverizado é misturado

com o ar na câmara de combustão da caldeira, onde a energia química é liberada sob a forma de energia

térmica, ou calor. Numa sequência de trocadores de calor, a energia térmica é transmitida para outro

9

9

meio, a água, que absorve e muda de fase, transformando-se em vapor. Este, passando por uma turbina,

perde parte de sua energia térmica, sob a forma de energia mecânica. Por fim, no gerador elétrico, a

energia mecânica se transforma em energia elétrica.

Praticamente, quase toda energia elétrica produzida atualmente é a partir de geradores rotativos

(máquinas girantes), nos quais a transformação de energia é de mecânica para elétrica. Grandes esforços

estão sendo empreendidos na pesquisa de métodos de conversão direta de energia (CDE). A principal

característica de todas as técnicas de CDE é que se tenta eliminar a etapa mecânica intermediária,

procurando obter energia elétrica diretamente, ou de energia térmica, ou da solar, ou da energia química.

Iremos tratar as características da energia já na forma elétrica, não nos importando como ela chegou a

essa forma. Supomos inicialmente de que dispomos de um equipamento, designado por gerador, que

possui no mínimo dois terminais de saída, dos quais podemos retirar uma corrente i, estável, num

potencial v, estável, entre esses terminais. Faremos a suposição inicial de que v e i sejam quase estáticos,

isto é, que suas variações sejam relativamente lentas.

A expressão fundamental da potência agora informa que o gerador fornece energia numa taxa:

p = vi (Watts)

Considerem nas figuras os protótipos mais simples de um sistema de transmissão, sendo um elétrico e o

outro mecânico para efeito de comparação:

No caso elétrico, o processo mostrado é realizado por um mecanismo de “bombeamento de carga”. A

corrente representa o fluxo de carga por unidade de tempo e o gerador “bombeia” essa carga, sendo capaz

de manter um fluxo i contra a pressão, ou potencial v.

Fazendo uma analogia com o sistema de transmissão de potência hidráulica, temos:

Aos condutores elétricos correspondem linhas de pressão hidráulica conduzindo um fluido

incompressível; a bomba hidráulica, que corresponde ao gerador, faz com que o fluido circule com uma

vazão i m³/s e mantem uma diferença de pressão de ν N/m². Se a área de secção das linhas for de A m², a

velocidade do fluido será i/A m/s, e a força total sentida pelo pistão do motor será Aν N.

Gerador Fluxo de energia

Carga

Corrente i

Diferença de potencial v Elétrico

Bomba Motor

Vazão i

Diferença de pressão v Hidráulico

10

10

Como, Potência mecânica = força x velocidade, podemos utilizá-la para obtermos a seguinte expressão

para a potência mecânica transmitida por esse sistema, ou seja:

Pmec = Aν.i/A = νi, ou seja,

Pmec = νi (Watts)

Cuja equação é idêntica a p = vi (Watts)

Na realidade, existem diferenças entre os dois sistemas mostrados anteriormente.

Por exemplo, não há dúvida de que, no sistema hidráulico, a transferência de energia entre a bomba e o

motor ocorre no interior das linhas de pressão. Não temos essa garantia no sistema de transmissão

elétrico. Embora a equação de p enfatize a corrente, que sem dúvida localiza-se no interior dos

condutores, o enfoque dado pela Física situa o fluxo de energia fora dos condutores, no campo

eletromagnético que os circunda. Portanto, deveremos designar a energia transmitida por energia

eletromagnética wem.

Não devemos, é claro, esperar que a energia esteja uniformemente distribuída no espaço externo aos

condutores, e sim que apresente uma densidade volumétrica que aumentará na mesma proporção que a

intensidade dos vetores de campo. O fenômeno dessa transmissão de energia é descrito de maneira

compacta pelo vetor de Poynting P, dado pela expressão:

P = E x H (W/m²)

Onde na expressão temos para os vetores:

E = intensidade de campo elétrico, V/m;

H = intensidade de campo magnético, A/m.

O vetor P definido na equação anterior, é obtido pelo produto vetorial entre E e H, e sua direção é

perpendicular ao plano que contem E e H.

O valor de P é dado por:

senHEP , onde α é o ângulo entre E e H.

A interpretação da equação do vetor de Poynting é que a energia eletromagnética movimenta-se ou

irradia-se numa direção e num sentido coincidentes com os de P. A quantidade de energia que penetra na

unidade de área (perpendicular à direção da radiação), por unidade de tempo, é dado pelo módulo |P|.

Na figura a seguir temos os dois condutores do sistema simples de transmissão elétrica, com seus campos

elétricos e magnéticos:

11

11

II.4.3- Formas Adicionais de Energia Elétrica

Além da energia eletromagnética, na ESEE nos interessam três outras formas de energia:

1- Energia de campo elétrico, we;

2- Energia de campo magnético, wm;

3- Energia ôhmica, ou dissipada, wΩ.

- Energia de campo elétrico (we)

Esta forma de energia existe em todos os lugares do espaço onde esteja presente um campo elétrico. Por

exemplo, entre as placas de um capacitor ou em torno dos condutores de uma linha de transmissão. Ela é

encontrada em densidades de volume, que podem ser calculadas por:

³m/WsD.E2

1

)vol(d

dwou³m/WsE

2

1

)vol(d

dw e2

0e

Sendo:

- E = intensidade de campo elétrico, V/m;

-

90 10

36

1 constante dielétrica para o vácuo,

- = constante dielétrica relativa para o meio em questão;

- D = εε0E = densidade de fluxo elétrico, Vs/m².

Exemplo 1.

Considere o capacitor simples de placas representado na figura:

d

Campo

elétrico E

Área A

H

E

P

Obs.:

- As linhas de campo magnético são círculos não

concêntricos.

- As linhas de campo elétrico são segmentos de

círculo e ortogonais às de campo magnético.

- Estando E e H ambos localizados num plano

perpendicular aos condutores, P será paralelo aos

condutores e dirigido para a carga.

12

12

O capacitor está carregado com uma tensão v volts. Desprezar o efeito de espraiamento, e assim

considera-se que o campo elétrico é constante entre as placas. Assuma um dielétrico linear com uma

constante dielétrica ε e obtenha a energia de campo elétrico do capacitor (we).

Sendo d

vE =>

2

0e

d

v

2

1

)vol(d

dw

O volume compreendido entre as placas será o produto Ad.

Trabalhando apenas com meios isotrópicos e lineares, temos:

20

2

0

2

0e vd

A

2

1Ad

d

v

2

1volume

d

v

2

1w

20e v

d

A

2

1w

; Sabe-se que a capacitância

d

AC 0 , então,

JoulesouWsCv2

1w

2e

- Energia de campo magnético (wm)

Em qualquer lugar do espaço onde esteja presente um campo magnético, a energia de campo magnético é

encontrada. Sua densidade de volume é dada por:

³m/WsH.B2

1

)vol(d

dwou³m/WsH

2

1

)vol(d

dw m2

0m

Sendo:

- H = intensidade de campo magnético, A/m;

- 70 10.4 permeabilidade magnética no vácuo;

- = permeabilidade magnética relativa para o meio em questão;

- B = μμ0H = densidade de fluxo magnético em Wb/m².

Exemplo 2.

Para um elemento de circuito (bobina) que tenha um comprimento a, uma área A, uma indutância L e

conduza uma corrente i, obter a expressão da energia de campo magnético Wm.

³m/WsH2

1

)vol(d

dw 2

0m

Em meios isotrópicos e lineares temos:

volumeH2

1W

2

0m

Sabe-se que Φ = L.i, ou Φ = B.A

13

13

Logo, B.A = L.i => A

LiB

Sendo a

iH A/m, vem;

22

0

2

0m Li2

1A.a

a

i

A

Li

2

1A.a.H.B

2

1A.aH

2

1volumeH

2

1W

JoulesouWsLi2

1W

2m

Obs.: A fórmula da energia de campo magnético para um sistema de bobinas magneticamente acopladas

conterá termos adicionais devidos à mútua indutância M. Por exemplo, para um sistema de duas bobinas

com correntes i1 e i2, teremos:

21

2

22

2

11m iMiiL2

1iL

2

1W

- Energia ôhmica ou dissipada (wΩ)

Essa forma de energia é dissipada sob a forma de calor sempre que uma corrente elétrica flui num meio

resistivo. A taxa de variação com o tempo, dessa dissipação de energia será, por unidade de volume,

definido:

)m/W(E.I)vol(d

dwou³)m/W(I

)vol(d

dw

)vol(d

dp 32

, onde:

- ρ = resistividade específica do meio em questão (Ω.m);

- I = vetor densidade de corrente (A/m²);

- E = ρI = vetor tensão (V/m).

Exemplo 3.

Num condutor de comprimento a m e área de seção de A m² conduzindo uma corrente total de i A (de

densidade uniforme de corrente I), obter a dissipação total de energia no volume.

2

22

iA

aaA

A

ivolIp

; sendo ,

A

aR tem-se que:

Watts²Rip

Nota: Em muitos casos essa dissipação de calor representa uma forma útil de energia, como, por

exemplo, no forno elétrico, nos aquecedores elétricos, etc. No entanto, na maioria dos casos, a energia

ôhmica deve ser considerada uma perda de energia, como no caso de um sistema de transmissão.

14

14

Exemplo 4.

Considere o sistema de transmissão na figura a seguir:

Deseja-se transmitir certa quantidade de potência (ptr). Devido à resistência da linha R, essa transmissão

está associada a uma inevitável perda de potência (pperda). Obter a relação entre a perda de potência e a

potência transmitida. Interprete o resultado.

pperda = Ri², ptr = vi, onde i = ptr/v

2

tr

tr

perda

2

2

tr

2

trperda

v

pR

p

pou,

v

pR

v

pRp

Da relação obtida, podemos concluir que para diminuir as perdas pela resistência, devemos transmitir

potência ou energia em alta tensão.

II.5-Potência em circuitos monofásicos CA.

A teoria fundamental da transmissão de energia descreve o deslocamento de energia em termos da

iteração de campos elétricos e magnéticos. Porém, o engenheiro de sistemas de potência está, na maioria

das vezes, preocupado com a descrição da taxa de variação da energia com respeito ao tempo (a qual é

a definição de potência) em termos de tensão e corrente. A unidade de potência é o Watt. A potência em

Watt absorvida pela carga a qualquer instante é o produto da queda de tensão através da carga em volts e

a corrente instantânea na carga em ampères. Se os terminais da carga estão indicados por a e n, e se a

tensão e a corrente são expressas por,

),wtcos(IiewtcosVv maxanmaxan

a potência instantânea é:

)wtcos(wtcosIVivp maxmaxanan

O ângulo θ na equação da potência é positivo para corrente atrasada da tensão e negativo para corrente

adiantada da tensão. Um valor positivo de p expressa a taxa pela qual a energia está sendo absorvida pela

parte do sistema, entre os pontos a e n. A potência instantânea é obviamente positiva quando ambas, van e

ian, são positivas, mas tornar-se-ão negativas quando van e ian estiverem opostas em sinal.

Gerador Fluxo de energia

Carga

Corrente i

Diferença de potencial v

15

15

A figura a seguir mostra a corrente, a tensão e a potência em função do tempo.

A potência positiva calculada por vanian resulta quando a corrente está fluindo na direção da queda de

tensão e é a taxa de transferência de energia para a carga. Inversamente, potência negativa calculada por

vanian resulta quando a corrente está fluindo na direção de um crescimento da tensão e significa que uma

energia está sendo transferida da carga para o sistema no qual a carga está ligada.

Se van e ian estão em fase, como no caso de carga puramente resistiva, a potência instantânea nunca ficará

negativa. Se a corrente e a tensão estão defasadas de 90°, como num elemento ideal de circuito puramente

indutivo ou capacitivo, a potência instantânea terá semiciclos positivos e negativos iguais e seu valor

médio será zero.

Usando identidades trigonométricas na equação de p, ela fica reduzida a:

wtsensenIV

)wtcos(cosIV

p maxmaxmaxmax 22

212

Interpretando a expressão de p acima, destaca-se:

a) O termo 2

maxmaxIV pode ser substituído pelo produto do valor rms da tensão e corrente, ou seja:

.I.VIVIV maxmaxmaxmax

222

Logo, wtsensenI.V)wtcos(cosI.Vp 221 , sendo;

cosI.VP é a potência ativa ou real,

senI.VQ é a potência reativa.

Onde p pode ser reescrita, como:

wt2Qsen)wt2cos1(Pp

b) O primeiro termo que contem cosθ é sempre positivo e tem um valor médio de 2

maxmaxIVP , ou

em valores rms tem-se .cosI.VP

P significa fisicamente a potência média ou potência útil, dada em Watts, que está sendo transmitida. Seu

valor depende muito do fator de potência.

p=vanian

ian

van

0

P

16

16

c) O cosseno do ângulo de fase θ entre a tensão e a corrente é chamado fator de potência. Um circuito

indutivo tem um fator de potência em atraso e um circuito capacitivo tem um fator de potência adiantado.

d) O termo wtcosI.V 2 ou wt2cosP , sendo senoidal possui valor nulo em um período.

e) O termo wtsen.senI.V 2 ou wt2Qsen , é alternadamente positivo e negativo e tem um valor

médio igual a zero e incapaz de realizar um trabalho útil. Esta componente da potência instantânea p é

chamada potência reativa instantânea e expressa o fluxo de energia alternativamente na direção da carga

e para fora da carga. O valor máximo desta potência pulsante, designada por Q, é chamado potência

reativa ou volt-ampère reativo.

Logo, ,senIV

Q maxmax 2

ou valores rms senI.VQ .

A tabela abaixo mostra resumidamente as potências ativas e reativas para as cargas mais comumente

encontradas.

V I

R V I

P > 0 ϴ = 0º Q = 0

L V I

V

I ϴ = 90º P = 0 Q > 0

C V I

V

I

ϴ = - 90º P = 0 Q < 0

V

I R

C

C V I

R

ou

V

I

-90 < ϴ < 0º P > 0 Q < 0

0º < ϴ < 90º P > 0 Q > 0 V

I R

L

L V I

R

ou

V

I

Tipo de carga Relação fasorial Fase Potência absorvida pela carga

P Q

17

17

Exemplo 1.

Considere o circuito RL série como tipo de carga na tabela anterior. A tensão vale senwtV2v

volts. Adote ϴ o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão.

Determine:

a) A corrente i; b) cosϴ e senϴ; c) As potências, ativa e reativa;

d) A energia de campo magnético armazenada na bobina;

e) Relacionar a potência reativa à energia de campo magnético armazenada na bobina.

a) Z = R +jWL = 22

)WL(R ; R

WLtg

1

I2

)WL(R

0V2

Z

0V2I

22

.Amp)wt(senI2i

b) 2222

)WL(R

WLsen;

)WL(R

Rcos;

R

WLtg

c) Watts)WL(R

RVP

)WL(R

R

)WL(R

VVPcosIVP

22

2

2222

VAr)WL(R

WLVQ

)WL(R

WL

)WL(R

VVQsenIVQ

22

2

2222

d)

2

22

2m )wt(sen

)WL(R

V2L

2

1Li

2

1w

e)

2

22

m )wt(sen)WL(R

V2L

2

1

dt

d

dt

dw

)wtcos()wt(sen)WL(R

VWL2

dt

dw22

2

m

)]wt(2[sen2

1

)WL(R

VWL2

dt

dw22

2

m

)]wt(2[Qsendt

dw m

Nota: A taxa de variação com o tempo da energia de campo magnético varia harmonicamente com a

frequência de 2W, possui valor médio nulo e um valor máximo exatamente igual a Q.

18

18

Exemplo 2.

Determine as potências pL, pc absorvidas pela bobina e pelo capacitor respectivamente, na associação em

paralelo, no circuito da figura. Calcule também a potência p.

Da equação, wtsensenI.V)wtcos(cosI.Vp 221 , temos:

wt2senIVwt2sensenI.Vp ccc

wt2senIVwt2sensenI.Vp LLL

Essas potências estão defasadas de 180º.

cLLcLc IIwt2senVwt2senIVwt2senIVppp

Note que as três potências Lc pep,p , são puramente reativas.

Obs.: Se o circuito for posto em ressonância as correntes, Ic e IL serão iguais, e assim a potência de linha

p, será igual a zero. Fisicamente isso significa que a energia oscila entre a bobina e o capacitor. Num

dado instante a bobina está com o máximo de energia de campo magnético armazenada e o capacitor

totalmente descarregado. Meio ciclo de tensão depois, o capacitor está totalmente carregado e a bobina

sem nenhuma energia armazenada.

II.6- Tensão e Corrente em Circuitos Trifásicos Equilibrados.

Sistemas elétricos de potência são alimentados por geradores trifásicos. Usualmente, os geradores

alimentam cargas trifásicas equilibradas, o que significa cargas com impedâncias idênticas nas três fases.

Cargas com iluminação e pequenos motores são, obviamente, monofásicas, mas sistemas de distribuição

são projetados tal que todas as fases sejam essencialmente equilibradas.

A figura a seguir indica um gerador em conexão Y com o neutro marcado o e alimentando uma carga

equilibrada Y com o neutro marcado n.

Egc

Zgc

ZL

In

b o

a

n

c

Egb

Ega

Zgb

Zga

ZL

ZL

Ian

Icn

Ibn

L C V

pL pc

IC IL

p

I

19

19

No gerador as fems Ega, Egb e Egc são iguais em módulo e deslocado uma da outra de 120°, ou seja, no

sistema trifásico, a diferença de fase entre as tensões induzidas nas três bobinas igualmente espaçadas é

de 120°.

Considere a figura a seguir:

Na sequência ABC, a tensão na bobina A atinge um máximo em primeiro lugar, seguida pela bobina B, e

depois pela bobina C.

Esta sequência pode ser vista pelo diagrama de fasores, considerada positiva o sentido anti-horário, e o

traçado das tensões instantâneas, como mostram as seguintes figuras:

A inversão nas bobinas B e C resulta na sequência CBA ou sequência negativa, como segue:

A ligação dos terminais A’, B’ e C’, resulta num alternador ligado em Y (estrela), ao passo que a ligação

de A em B’, de B em C’ e de C em A’, resulta num alternador ligado em (delta ou triângulo),

representadas a seguir:

N S

B

B’

A’

A C’

C

B A

t

C

120

240

C’

C

B’

A

B

A’

B A

t

C

120

240

A

A’

B

B’

C’

C

20

20

1ª) Na ligação em estrela, as correntes de linha e de fase são iguais e a tensão de linha é 3 a tensão de

fase. FASELINHAFASELINHA V.3VeII

2ª) Na ligação triângulo, as tensões de linha e de fase são iguais, e a corrente de linha é 3 a corrente de

fase, ou seja; FLFL I.3IeVV

OBS.: Seja qual for a ligação, as três linhas A, B e C constituem um sistema trifásico de tensão. O ponto

neutro da ligação em estrela fornece o quarto condutor do sistema trifásico a quatro condutores.

- TENSÕES DO SISTEMA TRIFÁSICO -

BC’

AB’ A

CA’

B

C

A A

C

A’B’C’=N

B B

C

VLINHA VFASE

150)3/V(V

30)3/V(V

90)3/V(V

120VV

0VV

240VV

LCN

LBN

LAN

LCA

LBC

LAB

150)3/V(V

30)3/V(V

90)3/V(V

240VV

0VV

120VV

LCN

LBN

LAN

LCA

LBC

LAB

A

C B

N

Seqüência ABC

C

A

B

N

Seqüência CBA

21

21

- CARGAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS -

EXEMPLOS:

1º) Um sistema ABC trifásico a três condutores, 110 volts, alimenta uma carga em triângulo, constituída

por três impedâncias iguais de 455 . Determinar as correntes de linha IA, IB e IC e traçar o diagrama

de fasores.

2°) Um sistema CBA trifásico a quatro condutores, 208 volts, alimenta uma carga em estrela, constituída

por impedâncias de .3020 Calcular as correntes de linha e traçar o diagrama de fasores.

- ESTRUTURA PASSIVA EM DELTA (Δ) OU ESTRELA (Y)

1 - TRANSFORMAÇÃO Δ Y:

2 - TRANSFORMAÇÃO Y Δ :

OBS.: No caso de ZA = ZB = ZC = ZΔ , e Z1 = Z2 = Z3 = ZY, temos:

Δ → Y: 3

ZZ,sejaou

3

Z

Z3

Z

ZZZ

Z.ZZ Y

2

Y

Y→Δ: YYY

2Y

Y

YYYYYY Z3Z,sejaouZ3Z

Z3

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZ

CBA

CA3

CBA

CB2

CBA

BA1

ZZZ

Z.ZZ

ZZZ

Z.ZZ

ZZZ

Z.ZZ

ZA

ZB

ZC

Z3

Z1 Z2

1

323121C

3

323121B

2

323121A

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZ

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZ

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZ

ZA

ZB

ZC

Z3

Z1 Z2

22

22

II.7- Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados.

Sendo a corrente a mesma nas impedâncias de fase das cargas equilibradas em estrela ou em triângulo, a

potência de fase é igual a um terço da potência total.

II.7.1- Potência em cargas equilibradas ligadas em triângulo.


II.7.2- Potência em cargas equilibradas ligadas em estrela.


OBS.: Como as equações para potência ativa PT são idênticas para as duas cargas equilibradas (Y ou Δ), a

potência em qualquer carga trifásica equilibrada é dada por cosIV3 LL , onde θ é o ângulo da

impedância de carga ou ângulo da impedância equivalente, na hipótese de serem várias cargas

equilibradas, alimentadas pelo mesmo sistema.

O volt ampères totais ST (potência aparente total) e a potência reativa total QT são relacionados a seguir:

LLT IV3S ; senIV3Q LLT

Assim, para uma carga trifásica equilibrada, a potência aparente, a potência ativa e a potência reativa são

dadas por:

LLT IV3S ; cosIV3P LLT ; senIV3Q LLT

A tensão na impedância ZΔ é a tensão de linha e a corrente é

a corrente de fase IF. O ângulo entre a tensão e a corrente é o

ângulo da impedância. Logo, a potência na fase é:

PF = VL.IF.cosθ

E a potência total é:

PT =3 VL.IF.cosθ

Nas cargas equilibradas em triângulo, FL I3I , vem:

cosIV3P LLT

A tensão na impedância ZY é a tensão de fase e a corrente é

a corrente de linha IL. O ângulo entre a tensão e a corrente é

o ângulo da impedância. Logo, a potência na fase é:

PF = VF.IL.cosθ

E a potência total é:

PT =3 VF.IL.cosθ

Nas cargas equilibradas em estrela, FL V3V , vem:

cosIV3P LLT

ZΔ

PF VL

ZY PF VF

23

23

II.8- Potência Complexa (S)

Sejam os triângulos de potências a seguir:

Os três lados ‘S’, ‘P’ e ‘Q’ do triângulo de potências podem ser obtidos do produto VI*, cujo resultado é

um número complexo, chamado potência complexa ‘S’. A sua parte real é igual a potência média ‘P’ e a

sua parte imaginária é igual a potência reativa ‘Q’.

Seja ,IIeVV então,

IV*VIS = VI

Logo, senjVIcosVIS , ou jQPS

O módulo de S é a potência aparente, ou seja:

22QPS , Unidade Volt-Ampere (VA)

Resumindo, temos:

Potência média ou ativa VIReR

VcosVIP R

2

, (Watts)

Potência reativa VIImX

VXIVIsenQ X

22 , (Var)

Potência aparente VIdeabsolutoValor

Z

VZIVIS

22

, (VA)

ângulo de deslocamento entre a corrente e a tensão.

Podemos ainda expressar a potência complexa por duas formas, usando as relações:

YVIeZIV

Então, 2

IZZIIVIS

Ou, 2

VYVVYVIS

A importância prática da potência aparente é na designação de valores nominais de geradores e

transformadores.

S

Q

P

S

P

Q

θ

θ

Circuito capacitivo Circuito indutivo

24

24

III–GRANDEZAS “ POR UNIDADE (pu) “

III.1- Introdução.

Na análise de redes de potência é necessário representar-se as grandezas elétricas envolvidas (tensões,

correntes, impedâncias, etc.) em “por unidade“. Uma grandeza em “pu“ é dada pela relação entre o seu

valor atual (em V, A, , etc.) e um valor como base (também em V, A, , etc.).

Logo,

Base

ElétricaGrandeza)pu(Valor

III.2- Principais vantagens da utilização de valores em pu:

a) Facilidade de comparação de valores;

b) Eliminação no diagrama de níveis de tensão diferentes;

c) Menor erro de aproximação (trabalha-se com números próximos à unidade);

d) Menor chance de confusão entre valores de “fase” e de “linha”;

e) Valores típicos de impedâncias para equipamentos.

III.3- Tabela das grandezas envolvidas na análise de redes de potência

GRANDEZA ELÉTRICA SÍMBOLO DIMENSÃO UNIDADE

Corrente I [ I ] Ampères

Tensão V [ V ] Volt

Potência Complexa S = P + jQ [ VI ] Volt-ampère

Impedância Z [ V/I ] Ohm

Ângulo de fase , , - Radiano

Tempo t [ T ] Segundo

Nos estudos em regime permanente o parâmetro tempo não é considerado. Nesta tabela verificamos que o

ângulo de fase não tem dimensão e as quatro grandezas restantes são relacionadas como segue:

I

VZ

*I.VS

Assim uma escolha arbitrária de duas bases (em geral S e V) automaticamente fixará as outras duas (I e

Z).

III.4- Formulário para circuitos monofásicos.

Normalmente são escolhidas ou fornecidas a Potência Base e a Tensão Base. Desta forma tem-se:

25

25

Potência Base: Sb [VA]; Sb [MVA]; MVAb

Tensão Base: Vb [V]; Vb [KV]; KVb

A determinação das outras bases se processa da seguinte forma:

Corrente Base:

b

bb

b

bb

b

bb

KV

MVAKI

]KV[V

]MVA[S]KA[I;

]V[V

]VA[S]A[I

Impedância Base:

b

bb

b

bb

b

b

b

bb

MVA

KVZ

MVAS

KVVZ

VAS

VV

AI

VVZ

2

22

][

][

][][;

][

][

][

][][

III.5- Formulário para circuitos trifásicos.

Para circuitos trifásicos são válidas as seguintes equações em módulo:

3

2

1

2

13 333

3

S

V

S

V

I

VZ

IVIVSS

VV

NN

N

N

Usualmente é fornecida a Potência Base Trifásica (Sb3) e a Tensão Base de Linha (Vb).

Potência Base Trifásica: Sb3 [VA]; Sb3 [MVA]; MVAb3 .

Tensão Base de Linha: Vb [V]; Vb [KV]; KVb .

No entanto pode-se utilizar a Potência Base por Fase (1) e a Tensão Base de Fase (N). Portanto,

Potência base por Fase: Sb1 [VA]; Sb1 [MVA]; MVAb1

Tensão Base de Fase: VbN; VbN [KV]; KVbN

Os valores base por fase se relacionam com os valores base trifásicos por:

3

VV

3

SS

bNb

3b1b

A determinação dos outros valores de base é dada como segue:

26

26

Corrente Base

b

3bb

b

3bb

Nb

1bb

Nb

1bb

KV3

MVAKI

]KV[V3

]MVA[S]KA[I

KV

MVAKI

]KV[V

]MVA[S]KA[I

Impedância Base

3b

2b

b3b

2b

b

1b

2Nb

b1b

2Nb

b

MVA

KV][Z

]MVA[S

]KV[V][Z

MVA

KV][Z

]MVA[S

]KV[V][Z

III.6- Mudança de Base.

2

bN

bA

bA

bN)pu(A)pu(N

V

V

S

SZZ

III.7- Aplicações.

1ª- No estudo de um dado sistema elétrico, definimos os seguintes valores-base: Vb=20kV e Sb=2MVA.

Exprimir em por unidade as seguintes tensões, correntes, potências e impedâncias:

a) V = 12 kV b) V = (13,3 + j6,0) kV c) I = (513 + j203) A d) S = 9,3 MVA

e) S = (200 + j300) (kW; kVAr) f) Z = (80 + j40) Ω

2ª- A impedância percentual de um transformador de força de 1000 kVA – 13.800/13.200/12.600 –

380/220 V é de 4,5% referida ao tape de 13.200 V. Calcular esta impedância em pu no tape de tensão

mais elevada. Os valores nominais do trafo são 1000 kVA e 13.800 volts.

3ª) A reatância de um gerador, designada por X, é dada como sendo 0,25 pu baseado nos dados de placa

do gerador de 18 kV, 500 MVA. A base para cálculo é 20 kV, 100 MVA. Encontre X na nova base.

4ª) Um gerador (que pode ser representado por uma F.E.M. em série com uma reatância indutiva) é

especificado nominalmente 500 MVA, 22 kV. Seus enrolamentos conectados em Y têm uma reatância de

1,1 pu. Obtenha o valor ôhmico da reatância dos enrolamentos.

27

27

IV- REPRESENTAÇÃO DE SEP’s

IV.1- Diagrama Unifilar

É usado para representar os elementos associados de um sistema elétrico de potência (SEP).

Símbolos utilizados:

Exemplo. Considere o diagrama a seguir:

No diagrama, estão representados, dois geradores, um aterrado através de um reator e o outro através de

um resistor, onde são interligados a uma barra e, através de um transformador elevador (T1), a uma linha

de transmissão (LT). Um terceiro gerador, aterrado através de um reator, é ligado a uma barra e, através

de um transformador elevador (T2), à extremidade oposta da linha de transmissão (LT). Uma carga é

1

2

3 T1 T2

2

Carga A Carga B

LT

Armadura de máquina girante.

Transformador de potência de dois enrolamentos.

Fusível.

Transformador de corrente.

ou Transformador de potencial.

Disjuntor de potência.

Disjuntor a ar ou em caixa moldada.

Conexão em delta, trifásica a três fios.

Conexão em estrela, trifásica com neutro não aterrado.

Conexão em estrela, trifásica com neutro aterrado.

A Amperímetro.

V Voltímetro.

Transformador de potência de três enrolamentos.

28

28

ligada a cada barra. No diagrama, às vezes, são fornecidas informações sobre as cargas, as potências e

tensões nominais dos geradores e transformadores, e reatâncias dos diferentes componentes do circuito.

IV.2- Diagrama de Impedância e Reatância

O diagrama unifilar mostrado no exemplo anterior pode ser representado por uma única fase em relação à

terra e cada dispositivo pelo seu circuito equivalente constituído por impedâncias:

Considerações a respeito do diagrama de impedâncias:

1ª) Como a corrente de magnetização é desprezível comparada com a corrente de plena carga, o

ramo paralelo é omitido.

2ª) No cálculo de faltas (curtos-circuitos) a resistência é geralmente omitida.

3ª) Para as linhas de transmissão o modelo vai depender do comprimento da linha. Como vamos

trabalhar com linhas curtas (até 80 km), usaremos somente o ramo série.

Baseado nas considerações anteriores obtém-se o diagrama de reatância do exemplo considerado

anteriormente, como segue:

Exemplo: Dado o diagrama unifilar abaixo, representá-lo num diagrama de reatâncias em “pu”.

1

2

3

T1

T3 LT

T2

G1

G2

G3

13,8 kV 138KV

138kV

E2 E3 E1

XT2 XLT XT1

XG3 XG2

XG1

A Trafo 1 Linha de

transmissão Trafo 2 B

E1 E2

Geradores

1 e 2 Gerador

3

E3

29

29

Dados: G1: 100 MVA, j0,2 pu ; G2: 50 MVA , j0,2 pu ; G3: 50 MVA , j1,0 pu ; 6,6KV

T1=T2: 75 MVA, j0,1 pu ; T3: 50 MVA , j0,1 pu ; XLT = 0,8 Ω/mi , L = 50 mi.

IV.3- Aplicações

1- O diagrama unifilar de um sistema sem carga está representado abaixo. São mostradas no diagrama as

reatâncias das duas seções da linha de transmissão. Os geradores e transformadores apresentam as

seguintes características:

- Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, X’’= 0,2 pu;

- Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X’’= 0,2 pu;

- Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X’’= 0,2 pu;

- Transformador T1: 25 MVA, 220Y/13,8 kV, X = 10 %;

- Transformador T2: Unidades monofásicas, sendo cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X=10% ;

- Transformador T3: 35 MVA, 220Y/20Y kV, X = 10%.

Esquematize o diagrama de reatâncias em pu.

2- Considere o diagrama a seguir:

Dados:

G1: 50 MVA; X=j1,00 pu G2: 100 MVA; X=j1,5 pu G3: 75 MVA; X=j1,25 pu

T1: 150 MVA; XT1=10% T2: 100 MVA; XT2=10% T3: 25 MVA; XT3=10%

LT’s: Duas linhas de Transmissão em paralelo de reatância de 0,12 ohms/fase.km;

Comprimento das LT’s: 200 km.

Desenhar o diagrama de reatâncias em “pu“;

T3

3

2

T2

2 1

T1 j80

j100

1

2

T1

Carga A

3 T2

2

Carga B

LT’s

T3

2 34,5 kV

345 kV

69 kV

13,8 kV

G1

G2

G3

30

30

3- Dado o diagrama abaixo, desenhar o diagrama de reatâncias em “pu“.

Dados: G2=G1: 6,6 kV; 100 MVA; j0,15 pu G3: 13,8 kV; 150 MVA; j0,20 pu

T1=150 MVA; 6,6kV/138kV; X=10% T2=200 MVA; 13,8kV/138kV; X=12%

T3=75 MVA; 138kV/34,5kV; X=10% T4=75MVA; 6,6kV/69kV; X=10%

T5= 50MVA; 69kV/34,5kV; X=10%

LT’s de 138kV: X=0,0325 ohms/km ; 80 km;

LT de 69kV: X=0,0435 ohms/km ; 30 km.

1

2

Carga A

Carga B

T1 3 T2

2 LT’s

T3

2 T5 T4 LT

31

31

V– ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITOS EM SEP’s

V.1- Introdução.

Um sistema elétrico de potência, quando projetado, é dimensionado para proporcionar um grau de

confiabilidade compatível com a importância das cargas que alimenta. Assim, é natural que os critérios de

projeto de um sistema de transmissão em EHV, que alimenta grandes blocos de carga, sejam bem

diferentes dos critérios de um ramal de distribuição primária. De qualquer forma, independentemente do

fato de a confiabilidade ser variável com a classe de tensão e de concessionária para concessionária, na

maior parte do tempo o sistema opera em condições normais, com todos os componentes em serviço.

Aleatoriamente, no entanto, os sistemas são submetidos a esforços provenientes de elevadas correntes de

defeito (curtos-circuitos), cujo cálculo é o nosso principal objetivo.

A queda de raios, a poluição nas áreas industriais e orla marítima, queimadas em regiões rurais, falha

mecânica nas cadeias de isoladores são algumas das causas da deterioração da isolação. Após a primeira

descarga, que provoca a ionização do meio, podemos ter o início do chamado “arco de potência“, e o

estabelecimento de uma elevada corrente de defeito, alimentado pela própria tensão de frequência

industrial.

Os resultados de um estudo de curto-circuito, que são as correntes e tensões de falta, fornecem os

subsídios para estudos que definam as características e os ajustes da proteção, bem como as

características que devam possuir os equipamentos para suportar os esforços dinâmicos das correntes de

curtos-circuitos.

V.2- Curtos-circuitos Simétricos

V.2.1- Introdução

Considere a parte um sistema de transmissão mostrado na figura a seguir, e admita que ocorra um curto-

circuito simétrico na barra de carga 3.

Ao resto do

sistema Ao resto do

sistema

O curto

ocorre aqui

CB

1

CB

2 3

2 1

L1 L2

I’sc

c I’’sc

c

32

32

A tensão na barra V3 anterior à falta, medindo cerca de 100% , ou seja, 1,0 pu cairá instantaneamente a

zero. As partes do sistema à esquerda e à direita, que supomos conter fontes ativas, irão imediatamente

começar a alimentar a falta com as correntes de falta I’sc e I’’sc por meio das barras 1 e 2. O valor dessas

correntes será determinado pela força dessas barras e pela impedância das linhas L1 e L2. Em geral tais

correntes atingirão valores muitas vezes superiores às correntes normais das linhas, e os disjuntores CB1

e CB2 serão comandados para abrir, por intermédio dos sensores (relés de proteção), a fim de isolar a

barra com falta.

V.2.2- Conceito de Capacidade de Curto-circuito (SCC)

As tensões nas barras 1 e 2 e em todas as outras barras do sistema cairão durante a ocorrência do curto-

circuito. O valor dessa queda de tensão é uma indicação da força do sistema. Necessitamos medir essa

força, bem como a severidade da influência dos curtos. Ambos os objetivos são conseguidos por uma

grandeza designada por capacidade de curto-circuito (algumas vezes chamada de nível de falta) para

barra em questão.

A capacidade de curto-circuito (SCC), de uma barra do sistema é definida como o produto da tensão

anterior à falta (tensão de pré-falta) pela corrente após a falta (corrente pós-falta). Assim a SCC virá em

pu volt-ampères, se a tensão e a corrente forem dadas em pu.

MVApuIVSCC faltapósfaltapré

Se a tensão for medida em KV entre linhas e a corrente em KA por fase, a SCC será dada em MVA

trifásicos.

Logo;

MVAIV3SCC faltapósfaltapré

Nota: Sendo a tensão de pré-falta cerca de 1,0 pu, então podemos escrever a seguinte relação

aproximada: MVApuISCC faltapós .

Exemplo: Considere o circuito a seguir:

Ao resto do

sistema Ao resto do

sistema

O curto

ocorre aqui

CB

1

CB

2 3

2 1

L1 L2

I’sc

c I’’sc

c

33

33

Com os disjuntores CB1 e CB2 abertos, o sistema divide-se em duas partes. Nessa configuração, as barras

1 e 2 têm os seguintes MVA de curto-circuito: MVApu0,8SCC1 e MVApu0,5SCC2 . As

impedâncias das linhas L1 e L2 são 0,3 pu cada uma. Se agora fecharmos os dois disjuntores, como isso

afetará as capacidades de curto-circuito das barras 1 e 2, e qual será a força da barra 3? Admitimos que

todas as impedâncias sejam puramente reativas.

Circuito equivalente do sistema com o curto-circuito na barra 3.

V.3- Componentes Simétricas

V.3.1- Introdução.

A resolução de redes trifásicas equilibradas (isto é, com impedâncias iguais nas três fases) submetidas a

excitações balanceadas simétricas (isto é, com tensões de fase iguais em módulo, defasada de 120° uma

das outras) é bastante facilitada pela simetria existente. Assim, é suficiente considerar apenas uma das

fases dos circuitos componentes, proceder ao cálculo das grandezas correspondentes a esta fase, e a seguir

as demais grandezas poderão ser imediatamente obtidas bastando realizar rotações de fase convenientes.

Em se perdendo a simetria (seja por desequilíbrio na rede ou assimetria na excitação), o cálculo já teria

que envolver as três fases do sistema simultaneamente, aumentando em muito o trabalho necessário. Em

1918, em um artigo clássico da teoria de circuitos e sistemas, o Dr. C. L. Fortescue desenvolveu a

ferramenta necessária para simplificar o problema de cálculo de sistemas desequilibrados. O método

baseia-se na decomposição de um conjunto de grandezas trifásicas em três outros conjuntos convenientes

(denominados sequências), de forma a se recair no problema de análise de circuitos equilibrados.

V.3.2- Teorema De Fortescue

Um conjunto de n fasores não balanceados pode ser representado por um conjunto de n fasores de

sequência zero mais n-1 conjuntos de fasores balanceados da seguinte forma:

Sejam:

Va , Vb , Vc , ....... , Vn => conjunto de n fasores não balanceados, que podemos representá-los por:

Barra 3

Barra 2 Barra 1

E1 = 1,0 pu E2 = 1,0 pu

L1 L2

34

34

Va0 , Vb0 , Vc0 , ....... , Vn0 => conjunto de n fasores de sequência zero (defasados de 0.θc em fase)

Va1 , Vb1 , Vc1 , ....... , Vn1 => conjunto de n fasores de sequência 1 ou positiva (defasados de 1.θc)

Va2 , Vb2 , Vc2 , ....... , Vn2 => conjunto de n fasores de sequência 2 (defasados de 2.θc)

Va3 , Vb3 , Vc3 , ....... , Vn3 => conjunto de n fasores de sequência 3 (defasados de 3.θc)

. . . . .

. . . . .

Va(n-1), Vb(n-1), Vc(n-1), ... , Vn(n-1) => conjunto de n fasores de sequência (n-1) ou negativa (defasados

de (n-1).θc)

Onde θc é o ângulo característico do sistema, sendo dado por 2π/n, ou seja;

n

2C

,

Então,

Va = Va0 + Va1 + Va2 + Va3 + .... + Va(n-1)

Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + Vb3 + .... + Vb(n-1)

Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + Vc3 + .... + Vc(n-1)

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + Vn3 + .... + Vn(n-1)

Exemplo: Representação de um sistema tetrafásico desequilibrado em componentes simétricos.

Teremos para θC = 9024

22ourad

n

W VA

VB

VD

VC

Conjunto de quatro

fasores desbalanceados

0.θC

VB0 VC0 VA0 VD0

Conjunto de quatro

fasores de seqüência zero

1.C

W

VD1

VC1

VB1

VA1

Conjunto de quatro fasores

de seqüência 1 ou positiva

Faso

res

não

bala

nce

ad

os

Seq

uên

cia z

ero

Sq

uên

cia

p

osi

tiva

Seq

uên

cia

neg

ati

va

n fasores n2 fasores

35

35

Escrevendo os fasores VA, VB, VC e VD em função das componentes simétricas, vem:

VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3

VB = VB0 + VB1 + VB2 + VB3

VC = VC0 + VC1 + VC2 + VC3

VD = VD0 + VD1 + VD2 + VD3

Nota-se que são 16 variáveis a serem determinadas. Porém, podemos escrever os fasores VB, VC e VD em

função das componentes simétricas de VA, reduzindo-se o número de variáveis a calcular de 16 para 04,

utilizando-se um operador a = 1 θC , que causa uma rotação de θC ou seja de 90°, no sentido positivo ou

anti-horário para o nosso exemplo, como segue:

VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3

VB = VA0 + a3.VA1 + a

2.VA2 + a .VA3 ou

VC = VA0 + a2.VA1 + VA2 + a

2.VA3

VD = VA0 + a .VA1 + a2.VA2 + a

3.VA3

Obs.: O sinal – (negativo) gira o fasor no sentido horário.

Escrevendo as equações acima na forma matricial, fica:

3A

2A

1A

0A

123

22

321

D

C

B

A

V

V

V

V

.

aaa1

a1a1

aaa1

1111

V

V

V

V

, onde

E explicitando as componentes simétricas, teremos:

, onde

VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3

VB = VA0 + a-1

.VA1 + a-2

.VA2 + a-3

.VA3

VC = VA0 + a-2

.VA1 + VA2 + a-2

.VA3

VD = VA0 + a-3

.VA1 + a-2

.VA2 + a-1

.VA3

3.C

VD3

VC3

VB3

VA3

W

Conjunto de quatro fasores

de seqüência 3 ou negativa Conjunto de quatro

fasores de seqüência 2

VD2

VC2

VB2

VA2

2.C

W

D

C

B

A

23

22

32

3A

2A

1A

0A

V

V

V

V

.

aaa1

a1a1

aaa1

1111

4

1

V

V

V

V

123

22

321

aaa1

a1a1

aaa1

1111

É a Matriz de Transformação de

Fortescue.

aaa1

a1a1

aaa1

1111

4

1

23

22

32

É a Matriz Inversa de

Transformação de Fortescue.

36

36

V.3.3- Estudo das componentes simétricas para sistemas trifásicos (n = 3)

Sejam VA, VB e VC as três tensões desbalanceadas de um sistema elétrico trifásico, representados a seguir:

Que pode ser decomposto em três sistemas equilibrados de sequências zero, positiva e negativa,

mostrados a seguir, sendo o ângulo característico, portanto

120ourad3

2C .

Logo,

VA = VA0 + VA1 + VA2

VB = VB0 + VB1 + VB2

VC = VC0 + VC1 + VC2

Aplicando o Operador a = 1 120° e escrevendo as componentes simétricas das fases B e C em função

da fase A, tem-se:

VA = VA0 + VA1 + VA2

VB = VA0 + a-1

.VA1 + a-2

.VA2 , sendo

VC = VA0 + a-2

.VA1 + a-1

.VA2

Que na forma matricial vem:

2A

1A

0A

12

21

C

B

A

V

V

V

.

aa1

aa1

111

V

V

V

ou

2A

1A

0A

2

2

C

B

A

V

V

V

.

aa1

aa1

111

V

V

V

Chamando de

2

2

12

21

aa1

aa1

111

Tou

aa1

aa1

111

T , a Matriz de Transformação de Fortescue,

Pode-se mostrar que esta admite inversa, mostrada a seguir:

aa1

aa1

111

3

1T

2

21 , que nos permite calcular as componentes simétricas em função dos fasores

desbalanceados conhecidos, como segue:

VA

VC

VB

W

VA0 VB0 VC0

W VC1

VB1

VA1

W

VC2

VB2

VA2

W

VA

VC

VB

W

VB1 = a-1.VA1 ou a2.VA1 VB2 = a-2.VA2 ou a . VA2 VC1 = a-2.VA1 ou a . VA1 VC2 = a-1.VA2 ou a2.VA2

37

37

C

B

A

2

2

2A

1A

0A

V

V

V

.

aa1

aa1

111

3

1

V

V

V

, ou

Aplicações:

1-Dada as tensões 90380Ve90380V,0120V CBA , decompô-la em componentes

simétricas.

2-Dadas as componentes simétricas 60100Ie0220I,30100I 210 , determine a sequência

real.

3-Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para uma carga conectada em

triângulo por meio da linha A é de 10 A. Tomando a corrente da linha A como referência e considerando

que a linha C está aberta, achar os componentes simétricos das correntes de linha.

V.4- Estudo dos curtos-circuitos assimétricos

V.4.1- Sistemas trifásicos assimétricos.

Um sistema trifásico é chamado assimétrico por natureza, quando um ou mais de seus componentes,

excetuado as cargas, apresentam assimetria permanente. Tal assimetria pode ser originada por:

a) Impedâncias desiguais nos enrolamentos dos geradores;

b) Falta de transposição dos condutores;

c) Indução mútua entre condutores em paralelo;

d) Ligações assimétricas de transformadores (delta aberto, Scott, etc.)

Um sistema simétrico pode ser assimétrico acidentalmente e temporariamente quando, na operação do

mesmo, a simetria é alterada devido a:

a) Cargas desequilibradas;

b) Defeitos que introduzem assimetria no sistema (por exemplo, um curto-circuito entre uma fase

e terra ou entre duas fases, interrupção de uma fase, etc.)

V.4.2- Redes de sequência de geradores em vazio

Considere um gerador em vazio, aterrado através de um reator, representado na figura a seguir:

VA0 = 1/3 ( VA + VB + VC ) VA1 = 1/3 ( VA + a .VB + a2.VC )

VA2 = 1/3 ( VA + a2.VB + a .VC )

a

c b

Ic

Ib

Ia

Ec

Eb

Ea

Zn In

Zgb

Zga

Zgc

38

38

Quando ocorre uma falta (não indicado na figura) nos terminais do gerador, as correntes Ia, Ib e Ic

circulam nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é designada

por In. Uma ou duas correntes de linha podem ser nulas, porém as correntes podem ser decompostas em

seus componentes simétricos independentemente do quanto estejam desequilibradas.

Rede de sequência positiva para a fase ‘a’

Rede de sequência negativa para a fase ‘a’

Rede de sequência zero para a fase ‘a’

Ic1

Ib1

Ia1

c

a

Z1

Ec b

Ea

Z1 Z1

Eb

Va1 = Ea – Ia1.Z1

Ia1

Va1

Ea

Z1

Barra de referência

a

b Z2

a

Z2

c Z2

Ic2

Ib2

Ia2

Va2 = – Ia2.Z2

Ia2

Va2

Z2


a

Ia0 →

Ib0 = Ia0 →

Ic0 = Ia0 →

b

a

Zg0

c

Zn

Zg0 Zg0

Ic0

Ib0

Ia0

Va0 = – Ia0(3Zn + Zg0)

Va0 = – Ia0.Z0

Ia0

Va0

Zg0


a

3Zn

Z0

39

39

Obs.: Qualquer que seja o tipo de falta assimétrica que ocorra nos terminais de um gerador pode-se

escrever e aplicar as seguintes equações para as redes de sequência:

, que na forma matricial, fica =>

2a

1a

0a

2

1

0

a

2a

1a

0a

I

I

I

.

Z00

0Z0

00Z

0

E

0

V

V

V

.

V.5- Falta entre fase e terra em um gerador em vazio.

Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta fase-terra simples na fase a, sendo

o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância:

Condições de falta => Va = 0 , Ib = 0 e Ic = 0

Nestas condições, as componentes simétricas das correntes são dadas por:

0

0

I

.

aa1

aa1

111

3

1

I

I

I a

2

2

2a

1a

0a

, o que implica em Ia0 = Ia1 = Ia2 = Ia/3

Substituindo nas equações das redes de sequência as componentes das correntes de sequência zero e

negativas em função de Ia1, vem:

1a

1a

1a

2

1

0

a

2a

1a

0a

I

I

I

.

Z00

0Z0

00Z

0

E

0

V

V

V

Onde, Va0 = - Ia1.Z0 ; Va1 = Ea – Ia1.Z1 ; Va2 = - Ia1.Z2

Somando membro a membro, fica:

Va0 + Va1 + Va2 = - Ia1.Z0 + Ea – Ia1.Z1 – Ia1. Z2

Ic

Ib

Ia a

Zga

Ec

c b

Eb

Ea Zn Ia = In

Zgb Zgc

Va0= - Ia0.Z0

Va1= Ea – Ia1.Z1

Va2= - Ia2.Z2

40

40

0 = Ea – Ia1(Z1 + Z2 + Z0) => 021

a1a

ZZZ

EI

, onde 1aa I3I

Exemplo1 : Um gerador de polos salientes sem amortecedores tem os valores nominais de placa de 20

MVA, 13,8 KV e uma reatância subtransitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de sequência

negativa e zero são, respectivamente, de 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado.

Determine a corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitória quando

ocorre uma falta fase-terra simples nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com

tensão nominal. Despreze as resistências.

V.6- Falta linha-linha em um gerador em vazio.

Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta linha-linha ou entre fases (b e c)

sem aterramento, sendo o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância:

Condições de falta => Vb = Vc , Ia = 0 e Ib = - Ic

Nestas condições, as componentes simétricas das tensões são dadas por:

b

b

a

2

2

2a

1a

0a

V

V

V

.

aa1

aa1

111

3

1

V

V

V

, o que implica em Va1 = Va2 .

Com Ib = - Ic e Ia = 0 , as componentes simétricas de corrente são dadas por:

c

c

a

2

2

2a

1a

0a

I

I

I

.

aa1

aa1

111

3

1

I

I

I

, o que resulta Ia0 = 0 e Ia2 = - Ia1

Ic

Ib

Ia

a

Zga

c

Ec b

Eb

Ea

Zn In = 0

Zgb Zgc

41

41

Nota: Com uma conexão entre o neutro do gerador e a terra, Z0 será finito e assim Va0 = 0 desde

que Ia0 = 0.

Substituindo nas equações das redes de sequência as condições das componentes de corrente e de tensão,

anteriormente estabelecidas, vem:

1a

1a

2

1

0

a

1a

1a

I

I

0

.

Z00

0Z0

00Z

0

E

0

V

V

0

Onde, Va0 = 0; Va1 = Ea – Ia1.Z1 ; Va1 = Ia1.Z2

Como Va1 = Va2 => Ea – Ia1.Z1 = Ia1.Z2 , que explicitando Ia1, fica:

211

ZZ

EI a

a





ocorre uma falta linha-linha nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com tensão

nominal. Despreze as resistências.

V.7- Falta entre duas fases e terra em um gerador em vazio.

Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta entre duas fases e terra (b e c),

sendo o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância:

Condições de falta => Vb = 0 ; Vc = 0 ; Ia = 0

Ic

Ib

Ia a

c

Ec b

Eb

Ea

Zgb

Zga

Zgc

Zn In

Ib + Ic = In

42

42

Com Vb = 0 e Vc = 0, as componentes simétricas da tensão são dadas por :

0

0

V

.

aa1

aa1

111

3

1

V

V

V a

2

2

2a

1a

0a

, onde Va0 = Va1 = Va2 = Va/3.

Sabe-se que Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = 0

E que Va0 = Va1 =>

0

11

00

Z

ZI

Z

EI aa

a , e Va2 = Va1 =>

2

11

22

Z

ZI

Z

EI aa

a ,

0

11

0 Z

ZI

Z

E aa + 1aI

2

11

2 Z

ZI

Z

E aa = 0 =>

02

021

11

ZZ

ZZZ

Ia





ocorre uma falta linha-linha-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com

tensão nominal. Despreze as resistências.

43

43

VI- IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA DOS COMPONENTES DO SEP

VI.1-Transformadores de dois enrolamentos.

São obtidas através dos ensaios de curto-circuito e circuito a vazio.

- Sequência positiva e negativa:

Logo, X1 = X2 = Xdisp (Núcleo envolvido )

Sequência zero

Caso A: Permissão de fluxo de I0 => X0 = X1 = X2

Caso B: Não permissão do fluxo de I0.

No caso A, a ligação de X0 no diagrama (sistema) depende da ligação dos enrolamentos do

transformador. Vejamos como efetuar a ligação de X0 no diagrama de sequência zero.

1º-Colocar uma chave h e uma chave V em cada enrolamento do transformador em questão, conforme a

seguir:

2º-Se I0 puder circular entre as fases e um neutro (ou terra) fecha-se a chave h, ou seja, se o enrolamento

for,

3º-Se I0 circular dentro do enrolamento fecha-se a chave V, ou seja, se o enrolamento for .

Exemplo: Montar o diagrama de sequência Zero para os transformadores a seguir:

a) b) c) d)

Xmagnetização

Xdispersão h

V

h

V

Ref.

Xmagnetização 200 Xdispersão

Normalmente, a Xmagnetização é

desprezível, pois circula pouca

corrente.

Xmagnetização

Xdispersão

Xdispersão = X1 = X2

OBS.: Para núcleo envolvente

considera-se a Xmagnetização

44

44

VI.2- Reatâncias de sequência para máquinas síncronas

O gerador síncrono é o único componente do sistema elétrico que apresentam três reatâncias distintas,

cujos valores obedecem à inequação:

SX'X"X , onde, X’’ é a reatância subtransitória, X’ é a reatância transitória e XS é a

reatância síncrona ou reatância de eixo direto.

Considere a figura abaixo que representa a parte superior da envoltória das correntes de curto-circuito:

Trecho “bc” => período subtransitório;

Trecho “cd” => período transitório;

Trecho “de” => período de regime permanente.

VI.2.1- Reatância Subtransitória (X”)

É definida supondo o período subtransitório em regime permanente, tendo como corrente o valor inicial

I”MAX, onde:

"I

E"X , sendo

2

"I"I MAX

VI.2.2- Reatância Transitória (X’)

É definida supondo o período transitório em regime permanente, tendo como corrente o valor inicial

(I’MAX ) da envoltória, caso o gerador não tenha o enrolamento amortecedor:

'I

E'X , sendo

2

'I'I MAX

VI.2.3- Reatância Síncrona ( XS )

Define-se esta reatância como a de regime permanente.

I

EXS , sendo

2

II MAX

'I → valor eficaz da corrente de curto-circuito do período transitório

em regime permanente.

I → valor eficaz da corrente de curto-circuito em regime permanente.

E → valor eficaz da tensão de fase a neutro nos terminais do gerador,

antes do curto-circuito.

"I → valor eficaz da corrente de curto-circuito do período

subtransitório em regime permanente.

t

i(t) I”MAX b

IMAXRP f

I’MAX a e d

c Amplitude da corrente

em regime permanente

Extrapolação da envoltória

da corrente transitória

Envoltória da corrente

45

45

Notas: 1ª-A duração do período subtransitório d"T é de 0,02 a 0,05s )s,"T( med 030 .

2ª-A duração do período transitório d'T é de 0,5 a 1,8s (Turbo geradores) com

s,'T med 31 , e de 0,7 a 2,5s (Geradores de polos salientes) com s,'T med 61 .

VI.3-Linhas de transmissão

Para as linhas de transmissão, existem técnicas para calcular as impedâncias de sequência.

X1 = X2; X0 X1 => X0 > X1, sendo [X0 (2 a 4 vezes)X1]

46

46

VII- FALTAS ASSIMÉTRICAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA (SEP)

VII.1- Introdução

Para a dedução das equações para as componentes simétricas de correntes e tensões em um ponto do SEP

durante uma falta, designaremos por Ia, Ib e Ic as correntes que saem do sistema originalmente

equilibrado para a falta, respectivamente, das fases a, b e c.

Veja a figura:

As tensões de falta no local da falta serão designadas por Va, Vb e Vc. A tensão de fase da fase A antes da

ocorrência da falta, no local de falta, será chamada Vpf, que é uma tensão de pré-falta.

Considere o diagrama unifilar de um sistema de potência equilibrado com três máquinas síncronas:

Este sistema é suficientemente geral para que as equações deduzidas a partir dele sejam aplicáveis a

qualquer sistema equilibrado, independentemente de sua complexidade. O ponto P no diagrama indica o

local de ocorrência da falta.

Uma vez identificado o tipo de falta, devemos traçar as redes de sequência positiva, negativa e zero, e

representar os circuitos equivalentes de Thévenin visto do ponto de falta e a barra de referência, como

segue:

Ib

Ic

A

B

C

Ia

1

2

3 LT P

T

1 T2

Ia1

Vpf

E3

E1

E2

P

Rede de seqüência positiva

P

Vpf Va1

Z1

Ia1

Equivalente de Thévenin da

rede de seqüência positiva

47

47

As equações matriciais para as componentes simétricas das tensões na falta são as mesmas escritas para o

gerador em vazio, porém com Vpf no lugar de Ea, ou seja:

2a

1a

0a

2

1

0

fp

2a

1a

0a

I

I

I

.

Z00

0Z0

00Z

0

V

0

V

V

V

Como exemplo, considere os seguintes dados para o sistema elétrico anterior dado:

G1 = G2: 30 MVA, 18 kV, X” = 20% ; G3: 50 MVA, 13,8 kV, X” = 20% ;

T1: 70 MVA, 18/138 kV, X = 10%; T2: 50 MVA, 13,8/138 kV, X = 10% ;

XLT = j100 .

Calcule a corrente de curto-circuito trifásica e de fase-terra no ponto P.

VII.2- Falta fase-terra em um sistema de potência

Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-terra na fase

A:

Rede de seqüência negativa.

Ia2 P


rede de sequência negativa.

P

Va2

Ia2

Z2

Rede de sequência zero.

Ia0 P


rede de seqüência zero.

P

Va0

Z0

Ia0

A Ia

Ib B

Ic

C

48

48

As relações existentes na falta são Ib = 0, Ic = 0 e Va = 0. Nota-se que estas relações são as mesmas

aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para o gerador em

vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja:

Ia1 = Ia2 = Ia0 =

3

Ia , onde

0211

ZZZ

VI

pfa

Estas equações ratificam que as três redes de sequência devam ser conectadas em série através do ponto

de falta, de modo a simular uma falta fase-terra simples.

VII.3- Falta linha-linha em um sistema de potência

Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-fase, nas

fases B e C:

As relações existentes na falta, são Vb = Vc, Ia = 0 e Ib = - Ic. Nota-se que estas relações são as mesmas

aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para a falta entre

fases de um gerador em vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja:

Va1 = Va2, onde

211

ZZ

VI

pfa

Estas equações ratificam que as redes de sequência positiva e negativa devam ser conectadas em paralelo

no ponto de falta, de modo a simular uma falta fase-fase.

VII.4- Falta entre duas fases e terra em um sistema de potência

Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-fase-terra,

nas fases B e C:

Ic C

Ib B

A Ia

Ic C

Ib B

A Ia

In

49

49

As relações existentes na falta são Vb = Vc = 0 e Ia = 0. Nota-se que estas relações são as mesmas

aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para a falta entre

fases e terra em um gerador a vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja:

Va1 = Va2 = Va0, onde 02021

1ZZ/ZZZ

VI

pfa

Estas equações ratificam que a rede de sequência positiva deva ser conectada em série com o paralelo das

redes de sequência negativa e zero no ponto de falta, de modo a simular uma falta fase-fase-terra.

50

50

VIII- COMPARAÇÃO DOS NÍVEIS DE CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICOS EM FUNÇÃO

DO CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO.

Consideremos as seguintes relações:

1ª) Curto-circuito simétrico (Trifásico) => )I(C,B,A

3sc

1

C,B,A3sc

Z

EI

2ª) Curto-circuito assimétrico (Fase-Terra) => )I(A

T1sc

021

AT1sc

ZZZ

E3I

3ª) Curto-circuito assimétrico (Dupla fase) => )I(B

2sc

21

2B2sc

ZZ

E)aa(I

4ª) Curto-circuito assimétrico (Dupla Fase-Terra) => )I(B

T2sc

aKa

Z

ZK

K1

II

2

0

1

B3scB

T2sc ; onde

01

0

ZZ

ZK

VIII.1- Comparação entre o curto fase-terra e o trifásico

Fazendo 21 ZZ , vem:

1

0

A3sc

1

0

1

01

AT1sc

Z

Z2

I3

Z

Z2

Z

E3

ZZ2

E3I

Onde,

1

0

A3scA

T1sc

Z

Z2

I.3I

1º Caso : Para 01 ZZ => A

3scA

T1sc II

2º Caso : Para 10 ZZ => A

3scA

T1sc II ; que é o caso mais comum devido a presença de

transformadores delta – estrela aterrado.

51

51

VIII.2- Comparação entre o curto dupla fase e o trifásico

Fazendo 21 ZZ , vem: 2

I.903

Z2

E.aaI

B3sc

1

2B2sc

,

Onde, 1

I.866,0jI

B3scB

2sc

=> B

3scB

2sc II

VIII.3- Comparação entre o curto dupla fase-terra e o trifásico

Fazendo 21 ZZ e considerando os diagramas de sequências a seguir, tem-se:

Do qual podemos escrever as seguintes equações:

01

011T2sc

ZZ

Z.ZIV => 13sc Z.I

K1

KV

1

2T2sc

Z

VI =>

3sc

2T2sc I

K1

KI

0

0T2sc

Z

VI =>

0

13sc

0T2sc

Z

ZI

K1

KI

K1

II

3sc1T2sc

Sabendo que 2

T2sc1

T2sc20

T2scB

T2sc IaIaII , e substituindo cada componente de

sequência da corrente, anteriormente explicitadas em função da corrente de curto-circuito trifásica, temos:

aKa

Z

ZK

K1

II

2

0

1

B3scB

T2sc ; onde

01

0

ZZ

ZK

1Z

E

1

T2scI

1Z

V

2

T2scI

0Z

0T2scI

52

52

1º Caso : Para 01 ZZ => 3scB

T2sc II

2º Caso : Para 0Z0 => 3scB

T2sc I3I

Conclusão: Quanto menor a impedância de sequência zero, maior a tendência de o defeito Dupla Fase-

Terra drenar a maior corrente, e ser o defeito mais severo no caso.

53

53

IX- CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ATRAVÉS DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA - BUSZ

IX.1- Obtenção da Matriz BUSZ

A matriz BUSZ contém as impedâncias no ponto de cada nó com relação a um nó de referência escolhido

arbitrariamente. A impedância no ponto de um nó é a impedância equivalente entre ele e a referência. A

matriz BUSZ contém também a impedância de transferência entre cada barra do sistema e cada outra

barra, com relação ao nó de referência. As impedâncias de transferência são determinadas calculando-se

as tensões que existiriam em cada uma das outras barras do sistema, com relação a referência, quando

uma barra em particular recebe uma injeção de corrente de uma unidade ( 1,0 pu ). Só existirá BUSZ se o

sistema estiver ligado para a terra.

Considere o sistema caracterizado pela seguinte equação:

BUSI

1NxBUSZ

NxNBUSV

1Nx

.

ou

N

2

1

NN2N1N

N22221

N11211

N

2

1

I

.

.

.

I

I

Z..ZZ

.....

.....

.....

Z..ZZ

Z..ZZ

V

.

.

.

V

V

Supondo conhecido ,e BUSBUS IV

temos:

BUSBUS IV .ZBUS

Suponhamos, agora, uma variação de corrente na barra “q”, representada por ,Iq ou;

0

.

I

.

0

I qBUS

.iaçõesvarassóEstudoIZV

IZV0

IZVZ

IZZV

)I(ZV

,Logo

BUSBUSBUS

BUSBUSBUS

BUSBUSBUSBUSBUSBUS

BUSBUSBUSBUSBUSBUS

BUSBUSBUSBUSBUS

IV

IV

IV

54

54

Escalarmente vem:

0

.

I

.

0

0

Z.Z.ZZ

......

Z.Z.ZZ

......

Z.Z.ZZ

Z.Z.ZZ

V

.

V

.

V

V

q

NNNq2N1N

qNqq2q1q

N2q22221

N1q11211

N

q

2

1

qNqN

qqqq

qq22

qq11

I.ZV

.

I.ZV

.

I.ZV

I.ZV

Os elementos da matriz traduzem o conceito de impedância de transferência.

j

iij

jiji

I

VZ

N,...,i;I.ZV 21

Exemplo:

Dada a configuração abaixo, determinar ZBUS.

a) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 1, temos:

pu0,1I1

∆V1 = Z11.∆I1 = j1.1 = j1 => Z11 = j1 pu

∆V2 = Z21.∆I1 = j1.0 + j1.1 = j1 => Z21 = j1 pu

∆V3 = Z31.∆I1 = j1.0 + j1.1 = j1 => Z31 = j1 pu

Expressa a variação de tensão entre a barra i e a barra de referência

(terra), por unidade de corrente na barra j.

j1

j1

j1

3

2 1

j1

j1

j1

j1

3

2 1

j1

1,0 pu

∆V3

∆V2

∆V1

I3-2=0 I3-1=0

I2-1=0

I1=1,0

55

55

b) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 2, temos:

pu0,1I2

∆V1 = Z12.∆I2 = j1.1 = j1 => Z12 = j1 pu

∆V2 = Z22.∆I2 = j1.2/3 + j1.1 = j5/3 => Z22 = j5/3 pu

∆V3 = Z32.∆I2 = j1.1/3 + j1.1 = j4/3 => Z32 = j4/3 pu

c) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 3, temos:

pu0,1I3

∆V1 = Z13.∆I3 = j1.1 = j1 => Z13 = j1 pu

∆V2 = Z23.∆I3 = j1.1/3 + j1.1 = j4/3 => Z23 = j4/3 pu

∆V3 = Z33.∆I3 = j1.2/3 + j1.1 = j5/3 => Z33 = j5/3 pu

Portanto,

3/53/41

3/43/51

111

jZBUS

IX.2- Cálculo de curto-circuito utilizando BUSZ

Considere um curto-circuito em uma barra genérica “q” do sistema representado pela corrente – Iq

entrando no sistema. Esta corrente provoca variação de tensão em todas as outras barras.

j1

j1

j1

3

2 1

j1

∆V3

∆V2

I3-2= 1/3

I3-1= 1/3

I2-1= 2/3

I1=1,0

1,0 pu ∆V1

1,0 pu

3

j1

j1

j1

2 1

j1

∆V3

∆V2

I3-2= 1/3

I3-1= 2/3

I2-1= 1/3

I1=1,0

∆V1

56

56

0

.

I

.

0

0

Z.Z.ZZ

......

Z.Z.ZZ

......

Z.Z.ZZ

Z.Z.ZZ

V

.

V

.

V

V

q

NNNq2N1N

qNqq2q1q

N2q22221

N1q11211

N

q

2

1

Temos então que:

ANTES

qq

ANTES

i

PÓS

ii

V0V

VVV

Supondo que antes do curto, Vi = VNOMINAL = 1 pu, temos:

0

.

I

.

0

0

Z.Z.ZZ

......

Z.Z.ZZ

......

Z.Z.ZZ

Z.Z.ZZ

1V

.

10

.

1V

1V

q

NNNq2N1N

qNqq2q1q

N2q22221

N1q11211

PÓS

N

PÓS

2

PÓS

1

qqq IZ1

qq

qZ

1I

Temos ainda que:

qKq

PÓS

K

qq2

PÓS

2

qq1

PÓS

1

I.Z1V

.

.

I.Z1V

I.Z1V

Seja a configuração a seguir:

;

qqlm

lqmq

lm

qq

mqqq

qq

lqqq

lm

PÓSm

PÓSl

lmZ.z

ZZ

z

Z

ZZ

Z

ZZ

z

VVi

qqlm

lqmqlm

Z.z

ZZi

qq

KqqKq

PÓS

KZ

1.Z1I.Z1V

Logo:

qq

KqqqPÓS

KZ

ZZV

m l zlm

PÓS

mV ilm PÓS

lV zlm é o z da linha e não o da matriz ZBUS

Onde, i = 1, 2, 3, ..... , N, sendo i ≠ q

57

57

Exemplos:

1º-Considerando a matriz impedância nodal abaixo, pede-se:

600,0450,0400,0300,0

450,0450,0400,0300,0

400,0400,0355,0245,0

300,0300,0245,0355,0

jZBUS

Determinar:

a) A corrente de curto-circuito trifásica na barra 3;

b) A corrente de curto-circuito fase-fase na barra 1;

c) Para um curto-circuito trifásico na barra 4, a corrente na linha 1 – 2 (sabe-se que a linha 1 – 2 apresenta

impedância de j1 pu);

d) Para um curto-circuito trifásico na barra 4, a corrente na linha 1 – 3 (sabe-se que a linha 1 – 3 apresenta

impedância de j1 pu);

e) Para um curto-circuito trifásico na barra 1, a tensão nas barras 3 e 4.

2º-Considerando o circuito de sequência zero abaixo, obter a matriz BUS,0Z .

Os dados estão em pu. Trabalhe o resultado com quatro casas decimais.

Resultado:

1180,00140,00220,0

0140,00220,00060,0

0220,00060,00380,0

jZ BUS,0

1 2 3 4

J 0,050

2 1

3

J 0,050

J 0,025

J 0,025

J 0,20 J 0,20

J 0,20

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