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Matemticas para ComputadoraUnidad Temas 1 Lgica matemtica Subtemas 1.1Introduccin al clculo de proposiciones. 1.2 Concepto de argumento y tipos de proposiciones lgicas. 1.3 Conexiones lgicas y jerarquas. 1.3.1 Conjuncin. 1.3.2 Disyuncin 1.3.3 Condicional. 1.3.4 Bicondicional. 1.4 Clculo de predicados. 1.4.1 Definicin. 1.4.2 Variables y particularizaciones. 1.4.3 Cuantificadores y restricciones. 1.5 lgebra declarativa. 1.6 Induccin matemtica. 1.7 Reglas de inferencia. 1.8 Evaluacin de expresiones. 1.9Tautologas y contradicciones. 1.9.1 Equivalencias lgicas y utilizaciones. 1.9.2 Deduccin preposicional. 1.9.3 Demostracin condicional y directa. 1.10 Implicacin Tautolgica. 2.1 Introduccin. 2.2 Propiedades de las relaciones. 2.2.1 Sobre un conjunto. 2.2.2 Reflexivas. 2.2.3 Simtricas y transitivas. 2.3 Cerradura. 2.4 Relaciones de equivalencia. 2.5 Ordenes parciales. 2.6 Diagramas de Hasse. 3.1 Introduccin. 3.1.1 Conceptos bsicos de grafos. 3.1.2 Clasificacin de grafos. 3.2 Representacin de estructura

2

Relaciones.

3

Teora de grafos.

3.3 3.4 3.5 3.6

3.7

3.8

3.9 4 Sistemas numricos

mediante grafos. 3.2.1 Secuencias. 3.2.2 Seleccin (if-then-else). 3.2.3 Mientras (while). 3.2.4 Repetir hasta que (repeatuntil). 3.2.5 Seleccin mltiple (case). Clculo de caminos a partir de una representacin matricial. Espacio de estados. Representacin mediante espacio de estados. Estrategia y algoritmos de bsqueda. 3.6.1 Guiada por datos (forward). 3.6.2 Guiada por objetivos (backtrack). 3.6.3 En profundidad. 3.6.4 En anchura. rboles. 3.7.1 propiedades. 3.7.2 rboles generadores. 3.7.3 rboles generadores minimales 3.7.4 Recorridos. 3.7.5 Ordenamientos. Redes. 3.8.1 Modelos. 3.8.2 Teorema de flujo mxima 3.8.3 Teorema del corte minimal 3.8.4 Pareos. Redes de Petri.

4.1 Representacin de la informacin. 4.1.1 Introduccin. 4.1.2 tipos de sistemas numricos. 4.2 Conversiones. 4.2.1 Decimal a binario, Octal, Hexadecimal 4.2.2 Binario a Decimal, Octal, Hexadecimal. 4.3 lgebra booleana. 4.3.1 Circuitos combinatorios. 4.3.2 Propiedades. 4.3.3 Funciones lgicas.

4.3.4 Aplicaciones.

Unidad 1. Lgica matemtica1.11 Introduccin al clculo de proposiciones.El lenguaje natural es un instrumento de comunicacin humana, que se caracteriza por su gran flexibilidad: es sabido que no siempre es necesario expresar una frase completa o incluso correcta para que sea entendido el mensaje. Adems, el lenguaje natural est lleno de redundancias, ambigedades, etc. Estas caractersticas hacen que la Lgica Formal no est interesada en l. Por el contrario, la lgica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar clculos exactos. Para ello, requiere el diseo de un lenguaje artificial en el cual: - lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado de las frases; - slo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas sintcticas sean aceptados como correctos. Por otra parte, sabemos que las posibilidades de uso del lenguaje son muchas. La lgica, bsicamente, slo se ocupa de aquellos discursos que se caracterizan porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad, esto es, estn formados por enunciados simples de los que podemos decir si son verdaderos o falsos. Adems, la lgica formal es una de las ciencias que estudian el conocimiento. Pero no se ocupa de la actividad de conocer, sino del resultado, lo que llamamos conocimiento, el cual se encuentra normalmente fijado en el lenguaje. El conocimiento puede producirse de dos formas: - Por constatacin de hechos o ideas. - Por deduccin, esto es, a partir de ciertos conocimientos se obtienen otros cuya afirmacin se sigue de los anteriores. En sntesis, la lgica es la disciplina que trata de los mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no vlido un argumento dado. El principal aporte que la lgica hace a las ciencias se refiere a la ordenacin, estructuracin y anlisis de las verdades conocidas. El razonamiento lgico se emplea en matemtica para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin, para verificar si son o no correctos los programas y para demostrar teoremas; en las ciencias fsicas y naturales, para sacar conclusiones de experimentos, y en las

ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente, el razonamiento lgico se usa en forma constante. La lgica formal estudia primeramente la formalizacin del lenguaje natural, y luego los principios de la inferencia vlida. Una inferencia, razonamiento, argumento o deduccin es un tipo de pensamiento que se caracteriza porque en l se produce siempre el paso de una serie de conocimientos (que se llaman premisas) a otro conocimiento nuevo (que llamamos conclusin). La lgica formal se estudia en dos niveles, que dependen de la complejidad a la hora de la simbolizacin: - Lgica de Proposiciones, en el cual el elemento bsico en la formalizacin del lenguaje es la proposicin, asercin o enunciado simple. - Lgica de Predicados, donde los elementos bsicos en la formalizacin del lenguaje son los componentes de la proposicin, es decir, los trminos y los predicados. En cuanto a la definicin de la validez de las frmulas y de los razonamientos, hay dos lneas principales de estudio para cada uno de los niveles citados : - Teora Interpretativa (mtodo semntico): Estudia la validez semntica de frmulas y argumentos en base a la relacin entre significados ("verdadero" o "falso") de sus componentes proposicionales. - Teora de la Demostracin (mtodo axiomtico): Estudia la validez de frmulas, en base a su derivacin a partir de una frmulas vlidas definidas axiomticamente y mediante la aplicacin de reglas vlidas.

1.12 Concepto de argumento y tipos de proposiciones

lgicas.Argumentos e inferencia La principal tarea de la lgica es la de averiguar cmo la verdad de una determinada proposicin est conectada con la verdad de otra. En lgica habitualmente se trabaja con grupos de proposiciones relacionadas. Un argumento es un conjunto de dos o ms proposiciones relacionadas unas con las otras de tal manera que las proposiciones llamadas 'premisas' se supone que dan soporte a la proposicin denominada 'conclusin'. La transicin o movimiento desde las premisas hasta la conclusin, es decir, la conexin lgica entre las premisas y la conclusin, es la inferencia sobre la que descansa el argumento.

Los argumentos Veamos con un ejemplo de argumento que aparece de una u otra manera en todos los libros de introduccin a la lgica: Si Scrates es humano, entonces es mortal (2) Scrates es humano (3) Por lo tanto, Scrates es mortal (1) En este ejemplo las dos primeras proposiciones funcionan como premisas, mientras que la proposicin tercera es la conclusin. Fjate que las palabras "premisa" y "conclusin" se definen aqu slo por medio de la relacin que hay entre ellas dentro de un argumento concreto. Una misma proposicin puede aparecer como conclusin de un argumento en una parte de razonamiento, pero tambin como una de las premisas en otra parte posterior del mismo razonamiento. En nuestro ejemplo, nada impide que nuestra conclusin "Scrates es mortal" puede utilizarse como premisa para otro argumento. La inferencia Hay un cierto nmero de expresiones verbales del lenguaje cotidiano que marcan o indican si una determinada proposicin funciona como premisa o como conclusin (por ejemplo, la expresin "por lo tanto" se suele ir seguida de la conclusin). Sin embargo, el uso de estos marcadores lingsticos no es estrictamente necesario, ya que el contexto puede aclarar la direccin del movimiento desde las premisas hasta la conclusin. Lo que distingue a un argumento de una mera coleccin de proposiciones es la inferencia que se supone que las une. Veamos esta idea con un par de ejemplos. Si yo profiero "Daniela es cirujana y el sol brilla, aunque la catedral de Len es gtica" lo nico que tengo es un conjunto de proposiciones que no tienen ninguna relacin entre ellas en el sentido de que la verdad o falsedad de cada una de ella no tiene que ver con la verdad o falsedad de las dems. Sin embargo, si yo digo: "Daniela es cirujana, por lo que Daniela ha estudiado Medicina, ya que todos los cirujanos han estudiado Medicina", estoy empleando un argumento perfectamente vlido en el que la verdad de la conclusin "Daniela ha estudiado Medicina" se deriva inferencialmente de las premisas "Daniela es cirujana" y "Todos los cirujanos han estudiado Medicina". Identificacin de argumentos Es importante aprender a distinguir a los argumentos de meros grupos de proposiciones que no cumplen con los requisitos necesarios para hablar de argumentos. Recuerda que los argumentos consisten en grupos de proposiciones en los que hay algunos que actan como premisas que, en virtud de la inferencia lgica, justifican otra proposicin que llamamos conclusin. Por el momento

aprenderemos a identificar argumentos, sin pronunciarnos sobre si se trata de buenos o malos argumentos (vlidos o invlidos); esta cuestin la trataremos un poco ms adelante, y constituye el grueso de Aprende Lgica. Para decidir si estamos ante un argumento o no, simplemente apelaremos al sentido comn y a un sencillo anlisis del texto sobre el que hayamos de decidir, centrndonos en los siguientes aspectos: 1. El texto, tiene una conclusin?. Si es as, cul es? 2. El texto ofrece razones que apoyen la conclusin?, es decir, hay premisas? Si es as cules son? 3. El texto presume que hay una relacin inferencial entre premisas y conclusiones? Presuncin de facticidad y presuncin de inferencia Quien presenta un argumento esta formulando (explcita o implcitamente) dos presunciones acerca de dicho argumento. Una es la presuncin de facticidad, es decir, da por sentado (asume) que las premisas que se proporcionan son, de hecho, verdaderas. La segunda presuncin es la presuncin de inferencia, que asume que las premias estn conectadas con la conclusin de tal forma que la fundamentan, que le dan apoyo. De hecho esta relacin inferencial entre premisas y conclusin es el ncleo de la lgica, y nuestro principal objeto de atencin en Aprende Lgica, y la analizaremos de distintas maneras y desde diferentes ngulos. Siempre que tratamos de convencer a alguien de algo argumentando ponemos en juego estas dos presunciones: la de facticidad para reclamar la relevancia real del asunto tratado en las premisas, y la de inferencia para mostrar la conexin entre las premisas y la conclusin. Por tanto, para decidir si estamos ante un argumento o no, debemos identificar se estn presentes de manera adecuada tanto la presuncin de facticidad como la de inferencia. Si no es un argumento, qu es? Un buen mtodo para determinar si una porcin de discurso (hablado o escrito) no es un argumento, es identificar qu es entonces. A continuacin ofrecemos un lista de posibles alternativas cuando no encontramos en una porcin de discurso premisas, conclusin o relacin inferencial lgica entre ambas. (Haz clic en los enlaces de la columna de la derecha para acceder a ejemplos de cada uno de los tipos descritos) Advertencias No se proporcionan razones (no hay Predomina la funcin apelativa y conativa. premisas). Ejemplo de advertencia de

Enunciacin No se proporciona un fundamento slido, real para tal Ejemplo de una creencia u opinin. Aunque puede que exista la creencia creencia u pretensin de que se reconozca tal creencia u opinin

opinin

como verdadera, no hay un desarrollo sistemtico de premisas-inferencia-conclusin en apoyo de lo enunciado.

Ejemplo de Proposiciones Las proposiciones no estn conectadas por relacin proposiciones vagamente inferencial alguna. vagamente relacionadas relacionadas Son simples enumeraciones de hechos, del tipo que aparecen en las noticias de los peridicos. No hay Ejemplo intencin de probar nada, simplemente, se proporciona informe informacin sobre los hechos. Simplemente se ofrecen ejemplos de algo. de

Informes

Ilustracin

Ejemplo de ilustracin

Son enunciados con la estructura "Si... entonces..." Los enunciados condicionales no son argumentos en s mismos, pero los arguementos con frecuencia se Ejemplo de Enunciados componen de varias proposiciones de este tipo. Lo que enunciado condicionales sigue al "si..." se denomina "antecedente" (es decir la condicional condicin), y lo que sigue al "entonces..." es el "consecuente" (es decir lo que sucede cuando se cumple la condicin). Consiste en una aclaracin de por qu algo es el caso. Una explicacin a veces es difcil de distinguir de un argumento porque tambin involucra razones (similares a las premisas). Pero, a diferencia de los argumentos, donde la conclusin es "nueva" informacin, en una explicacin el enunciado que es explicado (el explanandum, la parte que parece la conclusin) es normalmente un hecho comnmente Ejemplo de Explicaciones aceptado. El explanans (los enunciados que sirven para explicacin aclarar, que pueden ser similares a las premisas) es la nueva informacin de una explicacin, mientras que las premisas son los hechos aceptados en los argumentos. En los argumentos se busca fundamentar informacin nueva a partir de informacin ya aceptada, mientras que en las explicaciones se busca aclarar informacin ya bien establecida.

El lenguaje formal de la lgica proposicional est formado por dos elementos: Proposiciones Conectivos lgicos

Proposiciones ( frases declarativas simples o asercin o enunciado) . Una proposicin es la mnima unidad del lenguaje con contenido de informacin sobre la que es posible pronunciarse con un verdadero o con un falso, pero no ambas cosas. Si una proposicin es verdadera, diremos que su valor de verdad es verdadero; si una proposicin es falsa, su valor de verdad es falso. Pueden ser de varios tipos: Proposiciones de accin con sujeto no determinado: "Hace fro", "Llueve". Proposiciones de atribucin de propiedades a sujetos determinados: "Ana es estudiosa". Proposiciones de relacin: "Ana es prima de Eduardo", "Comodoro Rivadavia est entre Trelew y Caleta Olivia". Ejercicio 1. Cules de las siguientes son proposiciones ? De serlo, indicar su valor de verdad. Es Valor de proposicin? verdad. (a) La Tierra es redonda. si verdadero (b) 2 + 3 = 5 si Verdadero (c) Entendi algo hasta ahora ? No Falso (d) x = 3. No Falso (e) Tom un vaso de agua. Si Verdadero (f) La temperatura en la superficie del planeta Si Verdadero Venus es 800F. (g) Maana habr viento. Si falso En matemtica, las letras x, y, z, ... denotan, a menudo, variables que pueden ser reemplazadas por nmeros reales, y estas variables pueden combinarse con las operaciones comunes +, , -, y . Una variable proposicional es una variable que puede ser reemplazada por una proposicin. Usaremos las letras p, q, r, ... para simbolizar a las variables proposicionales. Un enunciado que contenga al menos una variable proposicional se dice una forma o frmula proposicional. Ejemplo 1. Usaremos la notacin p: Llueve. q: Hace fro. para definir a p como la proposicin "Llueve" y q como la proposicin "Hace fro." Cuando no se preste a confusin hablaremos indistintamente de proposicin o forma proposicional. La diferencia entre ellas es que toda proposicin tiene un valor de verdad mientras que una forma proposicional es una expresin cuyo valor de verdad

no puede ser determinado hasta que las variables proposicionales no sean sustituidas por las proposiciones. Conectivos (u operadores lgicos). Los conectivos lgicos son los elementos que permiten construir frases nuevas a partir de las existentes, obteniendo nuevos significados. Las proposiciones compuestas son aquellas que resultan de combinar por medio de conectivos lgicos proposiciones o variables proposicionales. A las proposiciones o variables proposicionales que las componen se las llama operandos. Ejemplo 2. Combinando las proposiciones del Ejemplo 1 con el conectivo y podemos formar la proposicin compuesta p y q: "Llueve y hace fro".

1.13Conexiones lgicas y jerarquas.Existen conectores u operadores lgicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores bsicos son: Negacin Si p es una proposicin, la negacin de p es la proposicin no p, denotada por ~ p (en algunos textos tambin se utiliza p, o bien Expresin en lenguaje natural no p no ocurre que p no es cierto que p es falso que p no es el caso de p etc. TABLA DE VERDAD p V F ~p F V ).

Estrictamente hablando, no no es un conectivo, dado de que no une dos proposiciones, y ~p no es en realidad una proposicin compuesta. Sin embargo, no es una operacin unaria, en el sentido que acta sobre un slo elemento, para la coleccin de proposiciones, y ~p es una proposicin si p lo es.

Ejercicio 2. Dar la negacin de las siguientes proposiciones. (a) p: 1 + 1 = 3. 1+13 (b) q: Yo salgo de casa. No salgo de casa Operador Not (no) Su funcin es negar la proposicin. Esto significa que s alguna proposicin es verdadera y se le aplica el operador not se obtendr su complemento o negacin (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes smbolos: {, , }. Ejemplo. p 1 0 p 0 1La negacin de est lloviendo en este momento (p=1), es no est lloviendo en este momento (p=0)

Adems de los operadores bsicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso. En este momento ya se pueden representar con notacin lgica enunciados ms complejos. Ejemplo Sean las proposiciones: p: Hoy es domingo. q: Tengo que estudiar teoras del aprendizaje. r: Aprobar el curso. El enunciado: Hoy es domingo y tengo que estudiar teoras de aprendizaje o no aprobar el curso. Se puede representar simblicamente de la siguiente manera: p q r Por otro lado con ayuda de estos operadores bsicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinacin de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

1.13.1

Conjuncin.

Si p y q son proposiciones, la conjuncin de p y q es la proposicin compuesta "p y q", denotada por p q. El conectivo y se denota por el smbolo . Expresin en lenguaje natural p y/e q p aunque q p pero q p no obstante q p a pesar de q

etc. Esta es una operacin binaria, pues combina dos objetos, sobre el conjunto de proposiciones. La proposicin compuesta p q es verdadera cuando ambas, p y q, son verdaderas; de lo contrario, es falsa. Los valores de verdad de p q en trminos de los valores de verdad de p y q son proporcionados en la tabla de verdad que aparece a continuacin: TABLA DE VERDAD p V V F F q V F V F p q V F F F

Obsrvese que para dar la tabla de verdad de p q se necesita considerar cuatro casos posibles. Esto se desprende del hecho de que cada una de las proposiciones p y q puede ser verdadera o falsa. Ejercicio 3. Formar la conjuncin de p y q para cada uno de los siguientes casos. (a) p: Llueve. q: Hace Llueve y hay sol sol. (b) p: 1 < 7 q: -1 > -2 1-2 (c) p: Llueve q: 1 < 7 Llueve y 1 R= Lasssie es mortal

Las expresiones P, Q, R, son proposiciones, puesto que todas ellas son enunciados que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F (falsos). Hay que hacer notar, sin embargo, que mediante la aplicacin de reglas de inferencia del Clculo Proposicional, no es posible deducir R a partir de las premisas P y Q anteriores, ya que el Clculo Proposicional no tiene acceso a los elementos comunes que conforman estas proposiciones, como son mamifero, mortal y Lassie, e indispensables para llegar a la conclusin R resultante. Sin embargo, esta misma expresin en Cculo de Predicados, se podra escribir distinguiendo los elementos constitutivos de cada proposicin. Es decir, el Clculo de Predicados se aplica para las mismas proposiciones que pueden ser enunciadas en Clculo Proposicional, con la diferencia que en el primero se tiene acceso a los elementos constitutivos de cada proposicin.

Una de las aplicaciones ms importantes del Clculo de Predicados es la especificacin formal, la cual permite describir lo que el usuario desea que un programa realice. sta es una aplicacin que ha empezado a ser empleada para el desarrollo de al menos las partes crticas de un sistema. De esta manera piezas de cdigo especificadas formalmente, pueden ser verificadas, en principio, matemticamente, incrementando la confiabilidad del sistema completo. Existen varios lenguajes de especificacin formal basados en lgica, como Z o VDM, de los cuales se hablar ms adelante en este curso. En el caso de la especificacin y verificacin formal de programas, las piezas de cdigo son acompaadas por pre y post condiciones, las cuales se escriben como frmulas del Clculo de Predicados. Las pre y postcondiciones deben ser vlidas, antes y despus de que la pieza de cdigo correspondiente se ejecute. Es decir, si la pieza de cdigo satisface su especificacin, entonces se dice que el programa es correcto. Por otra parte, dada una pieza de cdigo y sus pre y postcondiciones, se dice que un algorimo tiene la propiedad de correctividad si se es capaz de decir si dicha pieza de cdigo es o no correcta. El anlisis de la correctividad de algoritmos es una parte fundamental en Ciencias compuationales. Formalmente, es necesario asegurar una definicin precisa de las pre y post condiciones, de manera que se interprete de ellas un solo significado; sto es logrado escribiendo las pre y post condiciones como frmulas del Clculo de Predicados. ste es particularmente til para describir la semntica de los lenguajes de programacin, as como para describir el comportamiento funcional de un programa o una parte de l. En el Clculo de Predicados hay otras diferencias bsicas respecto al Clculo Proposicional, entre las que podemos citar: Se indican postulados sobre objetos individuales: Ejemplo: Juan es alto se puede escribir: ES_ALTO(JUAN) Donde ES_ALTO es un smbolo de predicado y JUAN es una constante. Ntese que el predicado anterior puede ser evaluado como V (verdadero) o F (falso). Se indican postulados relacionando varios objetos. Por ejemplo es posible expresar: Juan es to de Mara

en la forma: ES_TIO(MARIA,JUAN) Donde ES_TIO es un Smbolo de Predicado que tiene como argumentos a las constantes MARA Y JUAN. Obsrvese que el predicado anterior podr ser evaluado como F (falso) o V (verdadero). Se utilizan cuantificadores universales y existenciales. Ejemplo: El argumento anterior sobre Lassie se puede escribir: for_all (x) MAMFERO(x) ==> MORTAL (x) MAMFERO(LASSIE) ===> MORTAL (LASSIE) Una posible interpretacin de este modelo se presenta a continuacin: i)) En este argumento tenemos las siguientes premisas: La primera proposicin seala que todos los elementos x son mamiferos implican que x es mortal. La segunda expresin indica que es conocido que Lassie es un mamfero. ii)) La conclusin de este argumento es: Lassie es mortal iii) El nico conector lgico de esta expresin es el smbolo ==> el cual es como en el caso del Cculo Proposicional, el de implicacin. No obstante en Clculo de Predicados se

pueden utilizar todos los conectores lgicos del Clculo Proposicional. Podramos interpretar este argumento indicando que si las dos premisas son verdaderas, entonces se puede deducir que Lassie es mortal En el Clculo de Predicados se usan varios tipos de smbolos: SMBOLOS DE FUNCIN Ejemplos: mas(x,y) padre(x) SMBOLOS DE PREDICADOS Ejemplos: MAYOR(ms(x,1),x) CONSTANTES. Ejemplos: CASA, MARA SMBOLOS DE VARIABLES. Ejemplos: x,y En Clculo de Predicados, nos referimos a trminos cuando hablamos de constantes, variables o smbolos de funcin, cuyos elementos sabemos de antemano que son trminos. As, por ejemplo, la variable x y la constante 1 son trminos. Dado el smbolo de funcin ms de dos argumentos, las siguientes expresiones tambin son trminos: ms (x,1) ms (ms(x,1),1) El primero de ellos se refiere a la suma x +1, mientras que el segundo a la suma de los trminos correspondientes a x+1 con el trmino 1. Como para el caso del Clculo de Proposiciones, se usan tambin tomos en el Clculo de Predicados, los cuales son enunciados simples (es decir predicados), que estn conformados con smbolos de predicados, con varios trminos como argumentos y que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F (falsos), de

manera que no pueden ser descompuestos en proposiciones ms simples. De esta manera las siguientes expresiones son tomos: MAMFERO(x) MORTAL (LASSIE) ES_TIO(JUAN, JOSE) ES_NIETO(PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI) Es decir, se puede definir trmino de la siguiente manera: DEFINICIN: Si P es un smbolo de predicado de n argumentos y t1,t2, ..., tn son tminos, entonces P(t1,t2,...tn) es un trmino. Ninguna otra expresin puede ser un tmino. En la siguiente lectura trataremos la forma como se convierte formulas del Clculo de Predicados a formas sin cuantificadores, las cuales son ms faciles de manejar. Como veremos, estas formas, llamadas formas normales prenexas permiten un manejo similar al que se hace con el Clculo de Proposiciones. Tipos de proposiciones predicativas A lo largo de toda la tradicin lgica iniciada por Aristteles se han considerado cuatro maneras de emparejar trminos con predicados para obtener proposiciones. Reciben el nombre de categricos. Se distinguen unos de otros por medio de cuatro letras : A (universal afirmativo) : "Todo ... es ..." E (universal negativo) : "Ningn ... es ..." I (existencial afirmativo) : "Algn ... es ..." O (existencial negativo) : "Algn ... no es ..." Las relaciones que hay entre ellas se representan en el siguiente grfico :

1.14.2 1.14.3

Variables y particularizaciones. Cuantificadores y restricciones.

Definicin semntica de cuantificadores Es necesario definir el procedimiento de atribucin de significados a las frmulas cuantificadas a partir de los significados ya conocidos de la frmula para cada elemento del dominio referido. El significado de una frmula cuantificada se obtiene de la siguiente manera : 1 x F(x) es "V" si la frmula F( _ ) es verdadera para cualquier elemento del dominio asignado a x. x F(x) es "F" si la frmula F( _ ) es falsa para algn elemento del dominio asignado a x. 2 x F(x) es "V" si la frmula F( _ ) es verdadera para algn elemento del dominio asignado a x. x F(x) es "F" si la frmula F( _ ) es falsa para cualquier elemento del dominio asignado a x. Interdefinicin entre cuantificadores Una vez conocidos los dos cuantificadores que vamos a manejar, podemos analizar cmo se definen uno en funcin del otro. 1 Universal/Existencial

En lenguaje natural la frase "no todas las personas saben computacin" equivale obviamente a "hay personas que no saben computacin". Luego, en lenguaje predicativo, la frmula " x P(x)" interpretada en el dominio de las personas equivale a " x P(x)". 2 Existencial/Universal Del mismo modo, la oracin "no existe ninguna persona que sepa computacin" es equivalente a "todas las personas no saben computacin". Formalizando esto al lenguaje predicativo, nos encontramos con que las frmulas " x P(x)" y " x P(x)" son equivalentes. As, un cuantificador seguido de una negacin es intercambiable por una negacin seguida del otro cuantificador. Reglas bsicas referentes a cuantificadores El sistema de reglas de inferencia para la lgica proposicional que hemos construido contena seis reglas bsicas suficientes por s solas para resolver los argumentos que pretendamos. Como hemos dicho en varias oportunidades, la lgica de predicados abarca (superndola) a la lgica proposicional. Por tanto, al conjunto de reglas de inferencia definido le aadiremos otras nuevas referentes a los cuantificadores. Especificacin universal (EU) x A(x) A(t) Generalizacin existencial (GE) A(t) . x A(x) Generalizacin universal (GU) A(y) . x A(x) Especificacin existencial (EE) x A(x) ; A(y) B B

Cabe sealar algunos detalles a fin de evitar posibles errores. 1. ESPECIFICACIN UNIVERSAL Esta regla puede aplicarse siempre a cualquier trmino y en cualquier punto de la demostracin, dado que si una frmula es verdad para todo el dominio, tambin lo es para un elemento puntual perteneciente a ese dominio, ya sea constante o variable. 2. GENERALIZACIN EXISTENCIAL Esta regla tambin puede aplicarse a cualquier trmino y en cualquier momento de la demostracin. Si una frmula A( _ ) es verdad para un elemento del dominio, tambin lo es para un subconjunto del dominio de por lo menos un elemento. 3. GENERALIZACIN UNIVERSAL Para poder generalizar una verdad individual a todo un dominio, el elemento del dominio para el cual se conoce dicha verdad ha de ser un elemento cualquiera que en nada especial se diferencia de los dems. Por lo tanto, para nosotros, el elemento en cuestin deber estar representado por una letra de variable, y adems habr que asegurarse que es cualquiera, es decir, que no pertenece a un subconjunto restringido por alguna caracterstica especial. 4. ESPECIFICACIN EXISTENCIAL La aplicacin de esta regla slo ser correcta si el elemento referenciado por "y" es un elemento especialmente escogido para representar la caracterstica x A(x), y eso no ocurrir si el individuo ha aparecido ya en otra premisa auxiliar. Por tanto, cada vez que se realice una nueva especificacin existencial, se deber utilizar una nueva variable, para no incurrir en el error de suponer que entre los dos subconjuntos del dominio a especificar hay elementos comunes. Universal [, para todo...]. -Existencial [ , existe un... tal que...] Conversiones (equivalencias): (x)P(x) ( x)(P(x)) ; ( x)P(x) (x) (P(x)). Descripcin de los cuatro modelos bsicos de enunciados de la lgica clsica: 1) Enunciado Universalmente Afirmativo (A): (x) P(x) [Todos los x son P] 2) Enunciado Universalmente Negativo (E): (x) P(x) [Ningn x es P] 3) Enunciado Particularmente Afirmativo (I): ( x) P(x) [Algn x es P] 4) Enunciado Particularmente Negativo (O): ( x) P(x) [Algn x no es P]

1.15lgebra declarativa.1.16 Induccin matemtica.

En esta ltima seccin analizaremos otra tcnica de demostracin. Supongamos que la proposicin que se va a demostrar puede expresarse en la forma " n n0 [ P(n) ], en donde n0 es algn entero fijo. Lo que queremos demostrar, en otras palabras, es que la proposicin P(n) es verdadera para todos los valores de n mayores o iguales a n0. El siguiente resultado muestra cmo puede hacerse: Supongamos que (a) P(n0) es verdadera, y (b) si P(k) es verdadera para valores de k n0, entonces P(k + 1) debe ser tambin verdadera. Entonces P(n) es verdadera para todos los valores de n n0. A este resultado se le llama principio de induccin matemtica. En consecuencia, para demostrar la verdad de una proposicin " n n0 [ P(n) ] usando el principio de induccin matemtica, se debe comenzar por demostrar directamente que la primera proposicin P(n0) es verdadera. A ste se lo conoce como paso base de la induccin y es, por lo general, muy fcil. Luego se tiene que demostrar que P(k) P(k + 1) es una tautologa para cualquier seleccin de k n0. Como el nico caso en que una implicacin es falsa es si el antecedente fuera verdadero y el consecuente falso, este paso suele hacerse demostrando que, si P(k) fuera verdadera, entonces P(k + 1) tendra que ser tambin verdadera. Ntese que esto no es lo mismo que suponer que P(k) es verdadera para algn valor de k. A esta paso se le llama paso inductivo o paso por induccin, y por lo general se requiere algo de esfuerzo para demostrar que la implicacin es siempre verdadera. Adems, a la proposicin P(k) que se supone verdadera se la llama hiptesis inductiva. Ejemplo 6: Demostraremos por induccin matemtica que para todos los valores de n 1, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2. Denotemos por P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2. Aqu, n0 = 1. 1) Paso base: Probaremos primero que P(1) es verdadera. Para ello basta ver que 1 = 1 (1 + 1)/2, lo cual muestra que P(1) es verdadera.

2) Paso inductivo: Debemos demostrar ahora que para k 1, si P(k) es verdadera, entonces P(k + 1) tambin debe ser verdadera. Suponemos entonces que para algn valor fijo k 1, 1 + 2 + 3 + ... + k = k (k + 1)/2 (hiptesis inductiva) Deseamos demostrar que 1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (k + 1) ((k + 1) + 1)/2. Escribamos entonces el primer miembro de P(k + 1) de la siguiente forma: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k (k + 1)/2 + (k + 1) (por hiptesis inductiva) = (k + 1) (k/2 + 1) = (k + 1) (k + 2)/2 = (k + 1) ((k + 1) + 1)/2. Por lo tanto, P(k + 1) es verdadera. Por el principio de induccin, se sigue que P(n) es verdadera para todos los valores de n 1. El siguiente ejemplo muestra cmo el principio de induccin puede ser til en la programacin de computadoras. Ejemplo 7: Consideremos la siguiente funcin dada en pseudocdigo: FUNCIN CUAD(A) 1. C 0 2. D 0 3. MIENTRAS(D A) a. C C + A b. D D + 1 4. SALIDA(C) FIN DE LA FUNCION CUAD. El nombre de la funcin, CUAD, sugiere que calcula el cuadrado de A. El paso 3b muestra que A debe ser un entero positivo para que el ciclo termine. Unos cuantos tanteos para valores particulares de A proporcionarn evidencia de que la funcin s

efecta esta tarea. Sin embargo, no podemos asegurar de esta forma que la funcin CUAD siempre calcula el cuadrado del entero positivo A sin importar cun grande pueda ser. Se dar entonces una demostracin por induccin matemtica. Para cada n 0, sean Cn y Dn los valores de las variables C y D, respectivamente, despus de pasar por el ciclo MIENTRAS n veces. En particular, C0 y D0 representan los valores de las variables antes de iniciarse el ciclo. Sea P(n) el predicado Cn = A Dn . Se demostrar por induccin que " n 0, P(n) es verdadera. Aqu n0 = 0 . 1) Paso base: P(0) es la proposicin C0 = A D0 , la cual es verdadera ya que C y D valen cero "despus" de que el cero pasa por el ciclo MIENTRAS. 2) Paso inductivo: La hiptesis inductiva es P(k) : Ck = A Dk . Queremos demostrar que P(k + 1) : Ck+1 = A Dk+1 es verdadera. Despus de pasar por el ciclo, C se incrementa por A, y D se incrementa por 1, de manera que Ck+1 = Ck + A y Dk+1 = Dk + 1. As, Ck+1 = Ck + A = A Dk + A (por hip. inductiva) = A (Dk + 1) = A Dk+1 . Por el principio de induccin matemtica, se desprende que mientras ocurra el ciclo, Cn = A Dn. El ciclo debe terminar (Por qu?). Cuando esto ocurra, D = A, de modo que C = A A, o sea, A2, y ste es el valor regresado por la funcin CUAD. Esta tcnica para demostrar que los ciclos y programas hacen lo que se afirma que hacen es una parte importante de la teora de verificacin de algoritmos.

1.17Reglas de inferencia.Los argumentos basados en tautologas representan mtodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o ms tautologas o hiptesis en una demostracin.

Ejemplo 1 Es valido el siguiente argumento?. Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se har rico. Si se hace usted rico, entonces ser feliz. ____________________________________________________ Si usted invierte en el mercado de valores, entonces ser feliz. Sea: p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se har rico. r: Ser feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notacin lgica de la siguiente manera: p q q r ______ p r Ejemplo 2. Es valido el siguiente argumento?. Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. _________________________________________ Los impuestos bajan Solucin: Sea p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva. p q q _____ p El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta ms al alumno y se deber poner mucha atencin para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla. En una demostracin no solamente hay tautologas e hiptesis, tambin existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas lneas vlidas, esta es la parte en donde la mayora de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla

aplicar para resolver un determinado problema. A continuacin se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostracin. 19.Adicin p _______ p q Simplificacin p q ____________ p Silogismo disyuntivo p q p _________ q 23.Conjuncin q _________ p q 24.- Modus pones p pq _________ q 25.- Modus tollens pq q ___________ p

p

20.-

21.-

22.- Silogismo hipottico pq qr ________ pr

1.18Evaluacin de expresiones.1.19 Tautologas y contradicciones.Tautologa, es aquella proposicin (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo tpico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuacin. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 0 1 qp 1 1 0 1 (pq)(qp) 1 1 1 1

Note que en las tautologas para todos los valores de verdad el resultado de la proposicin es siempre 1. Las tautologas son muy importantes en lgica matemtica ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

A continuacin me permito citar una lista de las tautologas ms conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consider..

1.- Doble negacin. a). p''p 2.- Leyes conmutativas. a). (p q)(q p) b). (p q)(q p) c). (pq)(qp) 3.- Leyes asociativas. a). [(p r][p r)] q) (q b. [(p r][p r)] q) (q 4.- Leyes distributivas. a). [p r)][(p (p (q q) r)] b. [p r)][(p (p (q q) r)] 5.- Leyes de idempotencia. a). (p p)p b). (p p)p 6.- Leyes de Morgan a). (p q)'(p' q') b). (p q)'(p' q') c). (p q)(p' q')' b). (p q)(p' q')' 7.- Contrapositiva. a). (pq)(q'p') 8.- Implicacin. a). (pq)(p' q) b). (pq)(p q')' c). (p q)(p'q) d). (p q)(pq')' e). [(pr) (qr)][(p q)r] f). [(pq) (pr)][p(q r)] 9.- Equivalencia a). (pq)[(pq) (qp)]

10.- Adicin. a). p(p q) 11.- Simplificacin. a). (p q)p 12.- Absurdo a). (p0)p' 13.- Modus ponens. a). [p (pq)]q 14.- Modus tollens. a). [(pq) q']p' 15.- Transitividad del a). [(pq) (qr)](pr) 16.- Transitividad del a). [(pq) (qr)](pr) 17.- Mas implicaciones lgicas. a). (pq)[(p r)(q s)] b). (pq)[(p r)(q s)] c). (pq)[(qr)(pr)] 18.- Dilemas constructivos. a). [(pq) (rs)][(p r)(q s)] b). [(pq) (rs)][(p r)(q s)]Contradiccin es aquella proposicin que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p . Como lo muestra su p correspondiente tabla de verdad. p 0 1 Si en el ejemplo anterior p: La puerta es verde. p 1 0 p p 0 0

La proposicin p equivale a decir que La puerta es verde y la puerta no es p verde. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia. Una proposicin compuesta cuyos resultados en sus deferentes lneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

1.19.1

Equivalencias lgicas y utilizaciones.

Equivalencia lgica. Se dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p q. Considero que un buen ejemplo es el que se estableci para ilustrar la tautologa en donde se puede observar que las columnas de (pq) y (qp) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (pq) (qp)

1.19.2

Deduccin preposicional.

Evaluacin semntica de deducciones Por definicin, una deduccin P1, P2, P3, ..., Pn Q es semnticamente correcta si y slo si toda interpretacin que satisface al conjunto de premisas, tambin satisface a la conclusin. Diremos que la formula Q es una consecuencia lgica de un conjunto P de premisas predicativas. Por lo que la evaluacin de una deduccin en un dominio D requerir la evaluacin de todas sus posibles interpretaciones en el dominio D. Demostracin de deducciones Una deduccin o argumento se describe aqu tambin de la manera conocida : P1, P2, P3, ..., Pn Q. La demostracin de la validez de un argumento en un sistema formal consiste en una sucesin finita de frmulas F1 = P1, ..., Fm = Q, todas ellas vlidas tales que :

1. Cada frmula Fi es :a) una de las premisas. b) una frmula vlida del sistema, es decir, es un axioma o un teorema previamente demostrado. c) una frmula deducida de frmulas previas aplicando alguna regla de inferencia.

2. Y la ltima frmula de la sucesin Fm = Q, es precisamente la conclusin delargumento cuya validez se est demostrando. Diremos entonces que Q es consecuencia lgica del conjunto de premisas P1, P2, P3, ..., Pn. Cuando en una demostracin de una deduccin se utiliza la misma variable en frmulas distintas, debe entenderse referida al mismo elemento del dominio para poder aplicar las reglas de inferencia.

1.19.3

Demostracin condicional y directa.

Mtodos de demostracin. Demostracin por el mtodo directo. Supngase que pq es una tautologa, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier nmero de variables propositvas, se dice que q se desprende lgicamente de p. Supngase una implicacin de la forma. (p1 p2 ....... pn) q Es una tautologa. Entonces est implicacin es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lgicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe. p1 p2 . . . pn ___ q Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostracin formal usando el mtodo directo. Significa que s se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn tambin es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera. Prcticamente todos los teoremas matemticos estn compuestos por implicaciones de este tipo. (p1 p2 ....... pn) q Donde la pi son llamadas hiptesis o premisas, y q es llamada conclusin. Demostrar el teorema, es demostrar que la implicacin es una tautologa. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusin) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostracin debe comenzar con las hiptesis, seguidas de las tautologas y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusin. A continuacin se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologas como de las reglas de inferencia. Sean p: Trabajo. q: Ahorro. r: Comprar una casa. s: Podr guardar el coche en mi casa. Analizar el siguiente argumento: "Si trabajo o ahorro, entonces comprar una casa. Si compro una casa, entonces podr guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro". El enunciado anterior se puede representar como: p q r; y r s; entonces s' q'

Equivale tambin a probar el siguiente teorema:

[(p q) r] [r s] [s' q']Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 p2 ...... pn qSe aplica el procedimiento general para demostracin de enunciados vlidos. A continuacin se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologas o reglas de inferencia ya conocidas.

1.2.3.4.5.6.7.-

(p q) r r s q (q p) q (p q) q r q s s' q'

Hiptesis Hiptesis Adicin tautologa 10 3; ley conmutativa, regla 2 4,1; silogismo hipottico, regla 22 5,2; regla 22 6; contrapositiva, regla 7.

El enunciado es vlido aunque la conclusin puede ser falsa o verdadera. Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras lneas son hiptesis, la lnea 3 es una tautologa conocida y de la lnea 4 a 7 se

obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del nmero de la derecha, y las lneas a las cuales se les aplic dicha regla de inferencia por medio de los nmeros de la izquierda. El ejemplo anterior es una demostracin sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el mtodo debe funcionar. Demostracin por contradiccin. El procedimiento de la demostracin por contradiccin es semejante a la que se realiz por el mtodo directo con la diferencia de que las lneas iniciales de dicha demostracin no son nicamente las hiptesis, sino adems se incluye en la demostracin una lnea con la negacin de la conclusin. Por otro lado el objetivo de la demostracin es llegar a una contradiccin. La demostracin del siguiente teorema por el mtodo de contradiccin es como se indica [p (p r) ] [(q s) t ] (p s) t Demostracin 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.p (p r) (q s) t p s t (q s) q s q s q s s p p q r q q q Contradiccin. Hiptesis Hiptesis Hiptesis Negacin de la conclusin 2,4; Modus tollens, regla 25 5; Ley de Morgan, 6 6; Simplificacin, regla 20 6; Ley conmutativa, 2b 8; Simplificacin, regla 20 3; Ley conmutativa, 2 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21 11,1; Modus ponens, regla 24 12; Simplificacin, regla 29 13,7; Conjuncin, regla 23

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negacin de la conclusin. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbologa lgica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostracin por los dos mtodos antes mencionados. La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deber realizar una factorizacin o una aplicacin de una frmula en clculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en fsica.

Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solucin. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro sigui sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

1.20 Implicacin Tautolgica.

Implicacin TautolgicaUna proposicin P se dice que implica tautolgicamente una proposicin Q si y slo si la condicional es una tautologa. Esto quiere decir que para implicar algo tautolgicamente, esta tiene que su condicional tiene que ser cierta, si todos los valores implicados son ciertos y uno solo resulta ser falso entonces ya no sera una tautologa. Tautologa vendra siendo que algo es cierto, independientemente de lo que venga en la expresin, si lo que se quiere demostrar es cierto entonces usaremos la implicacin tautolgica. Sera representado as: Premisas Conclusiones = Tautologa y por lo tanto el razonamiento es cierto Ejemplo:

Es tautologa si... [(Q V R ) & (P R) & Q] P Siempre es cierta. Para hacer estas implicaciones tautolgicas se debe basar en las tablas de verdad que vimos anteriormente y con estas resolveremos las implicaciones tautolgicas con las que llegaremos al resultado, lo nico que tiene la implicacin tautolgica es que no se ven las leyes que se usan ni nada intermedio, solo el resultado, como la calculadora, no muestra los pasos que se siguieron para llegar al resultado.

Unidad 2. Relaciones.2.7 Introduccin.Concepto de relacin. Sean Es decir, R es una relacin de Si R es una relacin y Ejemplo: , decimos que esta relacionada con b. conjuntos. Una relacin de A en B es un subconjunto de .

Sean

. Los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones de A en B.

o o o o oPara el caso especial en que R sea una relacin de con, en A. Destacaremos este hecho en la siguiente definicin. , decimos que, R es una relacin

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030029/lecciones/capitulo3/cap3_2_1.h tm

2.8 Propiedades de las relaciones.2.8.1 Sobre un conjunto.Relaciones entre conjuntos Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e igualdad Definicin: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es unsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos si y solamente si Cuando A es subconjunto de B se dice tambin que, A est contenido en B o que, B contiene a A. . En smbolos tenemos que,

Ejemplo:

o o o o odecir, El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es En el sistema de los nmeros reales se tienen las siguientes

ocontenencias importantes:

Si A no est contenido en, es decir, si hay un elemento que est en A y no est en B, escribimos Ejemplo:

.

o o

El conjunto R de nmeros primos no est contenido en el conjunto M de

nmeros naturales impares. Es decir

oDe acuerdo a la definicin de contenencia, cuando la implicacin es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostracin de las siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos. Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que: (i) (ii) (iii) Demostracin:

ola implicacin

Como

no tiene elementos, la proposicin

es falsa. Por lo tanto es

es verdadera 1. Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposicin es verdadera 2. es verdadera3.

o o

verdadera. Por lo tanto la implicacin

Definicin: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos

elementos,es decir,

Ejemplo:

o o oCuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definicin anterior, debemos probar que i) y ii) .

Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostracin de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos. Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que:

o o oDemostracin: (i) Esto implica que: .

A =A. . .

. . Ejercicio:

o

Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.

Negando la definicin de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5

Es decir,

Ejemplo:

o o oDecimos que A es subconjunto propio de B si .

Utilizamos la notacin

para indicar que A es subconjunto propio de B. Por ejemplo,

.

Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensin En el caso que los conjuntos estn descritos por comprensin, las relaciones de contenencia e igualdad se pueden expresar en trminos de los predicados que definen los conjuntos. Sean,

Como:

Entonces,

Por lo tanto,

Como:

Entonces,

.

En otros trminos,

Por lo tanto,

Ejemplo:

o o o o o

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030029/index.html Relacin en un conjunto. Sea A un conjunto. Una relacin en A es un subconjunto de .Es decir,

Ejemplo:

Sea

. Los siguientes conjuntos son relaciones en A.

o o o oObsrvese que para dos conjuntos cualesquiera Relaciones definidas por comprensin En el estudio de relaciones las ms importantes son aquellas para las cuales las parejas ordenadas que pertenecen a la relacin cumplen una propiedad particular. Por ejemplo, el conjunto de parejas , los conjuntos y son relaciones de A en B.

ordenadas

para las cuales x divide a y define una relacin en

. En este caso la relacin . un predicado en .

corresponde al conjunto de validez del predicado en dos variables: Definicin: 2.1.5 Relacin definida por comprensin. Sea Entonces

Es una relacin binaria en A. En este caso se tiene que: . Ejemplo: Los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones en

o o o o o o o o o o o o o oLa relacin conjunto. es un caso especial de una relacin bien importante la relacin de igualdad en un En las relaciones anteriores

Definicin: 2.1.6 Relacin de igualdad. Sea A un conjunto. La relacin de igualdad en A, denotada por esta definida por,

Por lo tanto, para

En consecuencia, para

Ejemplo:

Sean

.Entonces

o o o

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2.8.2 Reflexivas.Relacin reflexiva. Sea R una relacin en el conjunto A. R es llamada reflexiva si

En consecuencia R no es reflexiva si

Es decir una relacin es reflexiva si y solamente si todo elemento est relacionado consigo mismo. El siguiente ejemplo ilustra el concepto de una relacin reflexiva. Ejemplo 1:

Considere las siguientes relaciones en

.

o o o o o oCuales de estas relaciones son reflexivas? Solucin:

Las relaciones Para cada anteriores:

son reflexivas: ,las parejas de la forma pertenecen a cada una de estas relaciones, es decir,

. Las otras relaciones no son reflexivas. En ellas no estn todas las parejas

En particular, Ejemplo 2:

no pertenece a ninguna de las relaciones

Considere las siguientes relaciones en

.

o o

o o o o o o oCuales de estas relaciones son reflexivas? Solucin:

oPara todo .

es reflexiva:

oPara todo

es reflexiva:

oTodo entero es mltiplo de si mismo

es reflexiva:

o

es reflexiva:

oPor ejemplo

no es reflexiva:

oPor ejemplo

no es reflexiva:

o

no es reflexiva:

Por ejemplo

puesto que para todo

oPara todo

es reflexiva:

oPor ejemplo puesto que existe

no es reflexiva:

tal que,

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2.8.3 Simtricas y transitivas.Relacin simtrica.Sea R una relacin en el conjunto A_ R es llamada simtrica si para cada la siguiente implicacin es verdadera:

En consecuencia R no es simtrica si existen

tales que:

Es decir una relacin es simtrica si y solamente si relacionado con . Ejemplo:

est relacionado con b implica que b est

Cuales de las relaciones del ejemplo 1 son simtricas?

Solucin:

Las relaciones

son simtricas: pertenece a la relacin, entonces tambin pertenece a la

En cada caso se cumple que si relacin.

no son simtricas. Por ejemplo:

Ejemplo: Cuales de las relaciones del ejemplo 2 son simtricas? Solucin:

o o

es simtrica puesto que para todo

,Si

no es simtrica: Por ejemplo

. Es decir,

omltiplo de 6. Es decir,

no es simtrica_ Por ejemplo 6 es mltiplo de 3 y 3no es

o, entonces

es simtrica puesto que para todo

, Si

o oentonces

no es simtrica: Por ejemplo es simtrica puesto que para todo , Si ,

o

es simtrica puesto que para todo

,

o

es simtrica puesto que para todo

,

un entero, m tambin lo es.

en este caso m = - n Obsrvese que como n es

o

es simtrica puesto que para cada .

,

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Se observa que los arcos del grafo son bidireccionales y la matriz es simetrica

Notar que no existen arcos en direccion opuesta en el grafo y que la matriz no puede ser simetrica.

Ejemplo de relacion que no es ni simetrica ni antisimetrica

Relacin antisimtrica Sea R una relacin en el conjunto A. R es llamada antisimtrica si para cada la siguiente implicacin es verdadera:

En consecuencia R no es antisimtrica si existen

tales que:

Es decir, una relacin es antisimtrica si y solamente si no hay elementos est relacionado con b y b est relacionado con . Ejemplo: Cuales de las relaciones del ejemplo 1 son antisimtricas? Solucin:

y b distintos tales que,

son antisimtricas: Para cada una de estas relaciones no hay elementos ambas estn en la relacin. y b con tal que las parejas

no son antisimtricas. Por ejemplo: , y sin embargo .

Ejemplo: Cuales de las relaciones del ejemplo2son antisimtricas? Solucin:

ocon respecto a

es antisimtrica puesto que dos elementos estn relacionados si y solamente si ellos son iguales. es antisimtrica puesto que para todo ,

o

o

no es antisimtrica: .

Por ejemplo, - 5 es mltiplo de 5, 5 es mltiplo de -5 y

Es decir

.

oPor ejemplo,

no es antisimtrica:

. Es decir,

R

oEs imposible que

es antisimtrica:

oPor ejemplo,

no es antisimtrica:

. Es decir,

oPor ejemplo,

no es antisimtrica:

. Es decir,

oPor ejemplo,

no es antisimtrica: .

Es decir,

o

no es antisimtrica:

Por ejemplo:

.

Es decir,

Definicin: 2.2.4 Relacin transitiva. Sea R una relacin en el conjunto A. R es llamada transitiva si para cada la siguiente implicacin es verdadera: . En consecuencia: R no es transitiva si existen tales que:

Es decir, una relacin es transitiva si y solamente si a est relacionado con b y b est relacionado con c. Ejemplo: Cuales de las relaciones del ejemplo 1 son transitivas? Solucin:

o, tambin se cumple que

es transitiva. En todos los casos en que son ciertas:

y

o o o o

o, tambin se cumple que

es transitiva. En todos los casos en que :

y

o o o o o o o o o

o o o o o o o o o oes transitiva ya que no existen tales que:

oPor ejemplo,

no es transitiva:

oPor ejemplo,

no es transitiva:

oPor ejemplo, Ejemplo:

no es transitiva:

.

Cules de las relaciones del ejemplo 2 son transitivas? Solucin:

oSi

es transitiva:

oSi

es transitiva:

oSi

es transitiva: es mltiplo de c

es mltiplo de b y b es mltiplo de c, entonces

o

es transitiva:

es verdadera.

Supongamos que Aplicando la ley distributiva de la

. Es decir, sobre la : .

.

Aplicando la ley distributiva de la

sobre la

: .

Por lo tanto: . En consecuencia:

. De esta forma:

.

oSupongamos que Entonces, .

es transitiva:

Es decir,

Es decir,

Es decir,

Por lo tanto:

En consecuencia:

oPor ejemplo,

no es transitiva:

oPor ejemplo,

no es transitiva:

oPor ejemplo,

no es transitiva:

oPor ejemplo,

no es transitiva:

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Ejercicios:

2.9 Cerradura.

2.10

Relaciones de equivalencia.en es de equivalencia ssi es refleja, simtrica y transitiva.

Recordemos que una relacin Definicin: Dado

llamamos (todos los elementos de

clase de equivalencia de relativa a al conjunto que estn relacionados con ).

Ejemplo: Considere la relacin de congruencia mdulo en ( ). En esta relacin es el conjunto de los pares, es el conjunto de los enteros impares, son los impares, . En este ejemplo existen slo 2 clases de equivalencia distintas: y . Observemos que . Adems . Propiedades: 1. Para cada , . , si , si , entonces , entonces . .

2. Para cada par de elementos 3. Para cada par de elementos Dem: 1. Por la reflexividad de ,

, luego

. , luego , y como es transitiva, y

2. En efecto, si entonces . Pero . La recproca es anloga. 3. Si entonces usando la simetra (para obtener suposicin original. __

, lo que implica que . Es decir, ) y la transitividad, , lo que contradice nuestra

Las dos propiedades anteriores permiten construir una particin de .

Esto es, una familia de subconjuntos de , dos a dos disjuntos, cuya unin es . De manera ms precisa, existe un conjunto de subconjuntos no vacos de , (que ser la particin de ), tal que si entonces (dos a dos disjuntos) y . Esta ltima

unin se entiende como sigue: formado por todos los elementos que pertenecen a alguno de los natural de la unin de dos conjuntos, convnzase!).

, es decir, es el conjunto (y es la generalizacin

La particin que nos interesa construir es la formada por las clases de equivalencia de , es decir,

Este conjunto se llama conjunto cuociente de esto con algunos ejemplos.

, y se suele anotar tambin como

. Veamos

Ejemplo Orgnico 14: A continuacin se presentan dos relaciones, usted deber ingresar dos nmeros y el programa dir si los nmeros ingresados estan o no relacionados. R1 = (N,N,R1), R1 = (a,b) |( k )a b = 5k (congruencia mdulo 5)a =,b =

Cul es la clase de equivalencia de 0 para R1? Ejemplo Orgnico 15: Trabajaremos con la relacin definida en el ejercicio anterior. Primero usted debe demostrar que es una relacin de equivalencia. Luego usted ingresar un nmero y el programa devolver algunos elementos de la clase de equivalencia del nmero ingresado. Luego usted debe postular una frmula para estas clases de equivalencia.a=

b=

Ejemplos: 1. Sea y la relacin en dada por Como ejercicio probar que es de equivalencia. Cul es la clase de equivalencia de . ?

Cul es

?

Se prueba que la particin en clases de equivalencia es

2. Sea y la relacin en tal que . Probar que equivalencia. Determinar la clase de equivalencia de un real cualquiera . Respuesta:

es de

. 3. Sea y a. Probar que una particin del conjunto . Es decir, los no vacos, , y . Definimos en la relacin . es de equivalencia.

b. Calcular las clases de equivalencia de . Respuesta: Slo haremos la parte (b), la otra parte queda de ejercicio. Supongamos luego ,

. De manera anloga se tiene que si . Luego . , entonces y si , entonces

4. Para , encontrar el conjunto cuociente de por la relacin de equivalencia anotamos por (los enteros mdulo ). Respuesta: Anotaremos la clase de equivalencia de de casos triviales:o

, que

como

. Veamos primero un par para cada

Si , sabemos que . Luego

es la igualdad en , y entonces .

o

Si , entonces es directo que , por lo que hay una sola clase de equivalencia: para todos los enteros , y (un conjunto con un solo elemento).

Ahora supondremos que . Esta es la restriccin que generalmente seimpone cuando se usan las congruencias mdulo en la prctica. Haremos uso de la divisin de nmeros enteros, que se puede enunciar como sigue: Si y , entonces existe una nica pareja de enteros , llamados respectivamente cuociente y resto de la divisin de por , tales que , y adems . (La prueba de este resultado no es difcil, y adems demostraremos algo muy similar en el captulo de polinomios, as es que la omitimos.) Si es un entero cualquiera, dividindolo por obtenemos , con . Pero esta ecuacin dice que , es decir, que . De aqu que las clases de equivalencia para son slo . Adems estas clases son distintas entre s, puesto que si , para , entonces . Pero como tambin , entonces la unicidad de la divisin de por entrega . Concluimos entonces que http://im.ideamas.cl/algebra/algebrase21.html , y tiene exactamente elementos.

Ejercicios

2.11

Ordenes parciales.

2.12 Diagramas de Hasse. Diagramas de HasseEs habitual representar grficamente ciertos ordenes usando los llamados diagramas de Hasse. Para ello, cada elemento o punto del orden se representa por un pequeno crculo de tal manera que si a < b, el crculo que representa a a se ubica mas abajo que aquel que representa a b y cuando b cubre a a , se unen ambos crculos con una recta. En el caso de ordenes finitos no muy complejos, se puede hacer un diagrama completo, pero el metodo es ilustrativo incluso para ordenes infinitos. Ver la Figura 1.

Unidad 3. Teora de grafos.3.10 Introduccin. La teora de grafos tiene su origen en el problema de los siete puentes de Knigsberg resuelto por Leonhard Euler. Ms tarde, otros problemas influyeron en el desarrollo de la teora de grafos como el estudio de las redes elctricas, la enumeracin de ismeros de hidrocarburos,...

Hoy en da es rara la disciplina cientfica o humanstica que no utiliza la teora de grafos. Como ejemplos podemos citar la psicologa en dinmica de grupos, la sociologa en los sociogramas, la fsica terica, que usa los diagramas de Feynmann, donde se representan mediante lneas las partculas elementales, el estudio de flujos en redes en programacin lineal e investigacin operativa, los cambios de variable en el clculo diferencial... Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comn, que no precisa conocimientos matemticos. Un grafo se parece a la figura siguiente, y consta de vertices y de aristas que renen algunos de ellos. En la teora de los grafos, slo se queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, slo importan sus extremidades (o cabos); la posicin de los vertices tampoco, y se puede variar para obtener un grafo ms claro, y hasta sus nombres se pueden cambiar. Estos cambios se llaman isomorfismos de grafos. Generalmente, se considera que colocar los vertices en forma de polgono regular da grafos muy lebles. Formalmente: Un grafo es una pareja G = (V, A), donde V es un conjunto de puntos, llamados vertices, y A es un conjunto de pares de vertices, llamadas aristas. Para simplificar, la arista {a,b} se denota ab.

En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }. Una red de autovas que conectan ciudades, una red eltrica, un alcantarillado se pueden modelizar con grafos. En algunos casos es necesario imponer un sentido a las aristas, por ejemplo si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus inevitables direcciones nicas. Las aristas son entonces pares ordenados de vrtices, con (a,b) (b,a), y se define as grafos orientados, como el siguiente:

En este grafo se ha autorizado una arista que tiene sus dos cabos idnticos: es un rizo (o bucle), y aparece tambin una arista sin flecha: significa que la arista se puede recorrer en cualquier sentido: es bidirreccional, y corresponde o dos aristas orientadas. Aqu V = { a, b, c, d, e }, y A = { (a,c), (a,d), (a,e), (b,e), (c,a),(c,c), (d,b) }. Del vertice d slo salen vertices: es una fuente. Del vertice e slo entran vertices: es un agujero, o pozo. Un ciclo es un camino, es decir una sucesin de aristas adyacientes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene adems que recorrer todas los vertices. Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idneo sera recorrer todas las salas una sla vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vertices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas). Se habla tambin de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una nica puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano.

Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro. Hoy en da, no se conocen mtodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano.

Un grafo que no tiene circuito y que conecta a todos los puntos, se llama un rbol:

En un grafo con n vertices, los arboles tienen exactamente n - 1 aristas, y hay nn-2 rboles posibles. Los rboles son grafos que conectan vertices utilizando el menor nmero posible de aristas, de ah su inters concreto. En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un nmero especfico, llamado valuacin, ponderacin o coste segn el contexto, y se obtiene as un grafo valuado. Formalmente, es un grafo con una funcin v: A R+. Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre si por carreteras; su inters previsible ser minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendr como vrtices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuacin ser la distancia entre ellas. Y, de momento, no se conocen mtodos generales para hallar un ciclo de valuacin mnima, pero s para los caminos desde a hasta b, sin ms condicin. Otro problema famoso relativo a los grafos: Cuntos colores son necesarios para dibujar un mapa poltico, con la condicin obvia que dos pases adyacientes no puedan tener el mismo color ? Se supone que los pases son de un solo pedazo, y que el mundo es esfrico o plano. En un mundo en forma de toro; el teorema siguiente no es vlido: Teorema de los cuatro colores: Cuatro colores son siempre suficientes para colorear el un mapa. El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el pas central a y se esfuerza uno en utilizar el menor nmero de colores, entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al pas h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo mtodo.

La forma precisa de cada pas no importa; lo nico relevante es saber cual pas toca cual otro. Estos datos estn incluidos en el grafo donde los vrtices son los pases y las aristas conectan los que justamente son adyacientes. Entonces la cuestin equivale a atribuir a cada vrtice un color distinto del de sus vecinos.

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fcil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio. prueba de ello es que se ha tenido que emplear los ordenadores para acabar la demostracin (se ha hecho un programa que permiti verificar una multitud de casos , lo que ahorr muchsimo tiempo a los matemticos). Fue la primera vez que la comunidad matemtica acept una demostracin asistida por ordenador.

Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibuja tres casas y tres pozos. Los vecinos de las casas tienen todos el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jams. Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces ?

Cualquier disposicin de las casas, los posos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce. Se nota Kn el grafo completo con n vrtices, es decir en el cual cada par de vertices estn conectadas por una arista. Kn,p es el grafo compuesto de un grupo de nvrtices y otro de p, tal que cada vrtice del primer grupo est conectado con cada del segundo, y no hay ms aristas. El juego anterior equivale a descubrir si el grafo K3,3 es planario, es decir si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces. Y la respuesta es no. Establecer qu grafos son planarios no es obvio, y tiene que ver con la topologa.

En la figura, se nota que K4 es planar (con tal de desviar la arista ab al exterior del cuadrado), que K5 no lo es en absoluto, y que K3,2 lo es tambin ( desvos en gris). En un grafo, La distancia entre dos vrtices es el menor nmero de aristas de un recorrido entre ellos. El dimetro, en una figura como en un grafo, es la mayor distancia entre dos puntos de la misma. El dimetro de los Kn es 1, y el

de los Kn,p es 2. Un diametro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad e vrtices o simplemente que no es conexo. Tambin se puede considerar el dimetro promedio, como el promedio de las distancias entre dos vrtices. El mundo de Internet ha puesto de moda esa idea del dimetro: Si descartamos los sitios que no tienen enlaces, y escojamos dos paginas geb al azar: En cuntos cliques o clics se puede pasar de la primera a la segunda ? El resultado es el diametro de la Red, vista como un grafo cuyos vrtices son los sitios, y cuyas aristas son logicamente los enlaces. En el mundo real hay una analoga: tomando al azar dos seres humanos del mundo, En cuntos saltos se puede pasar de uno a otro, con la condicin de slo saltar de una persona a otra cuando ellas se conocen personalmente ? Con esta definicin, se estima que el dimetro de la humanidad es de ... ocho solamente! Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el nmero de sus elementos.

3.10.1

Conceptos bsicos de grafos.

Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vrtices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vrtices, a estos tambin se les llama arcos o ejes del grafo. Un vrtice puede tener 0 o ms aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vrtices. Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restriccin de relacin entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vas frreas, circuitos elctricos, etc. La notacin G = A (V, A) se utiliza comnmente para identificar un grafo. Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vrtices y los caminos que pueda contener el mismo grafo CAMINO.Es una secuencia de vrtices V1, V2, V3, ... , Vn, tal que cada uno de estos V1-&gtV2, V2-&gtV3, V1-&gtV3. LONGITUD DE CAMINO. Es el nmero de arcos en ese camino. CAMINO SIMPLE. Es cuando todos sus vrtices, excepto tal vez el primero y el ltimo son distintos.

CICLO SIMPLE. Es un camino simple de longitud por lo menos de uno que empieza y termina en el mismo vrtice. ARISTAS PARALELAS. Es cuando hay ms de una arista con un vrtice inicial y uno terminal dados. GRAFO CICLICO. Se dice que un grafo es cclico cuando contiene por lo menos un ciclo. GRAFO ACICLICO. Se dice que un grafo es aciclco cuando no contiene ciclos. GRAFO CONEXO. Un grafo G es conexo, si y solo si existe un camino simple en cualesquiera dos nodos de G. GRAFO COMPLETO FUERTEMENTE CONEXO.Un grafo dirigido G es completo si para cada par de nodos (V,W) existe un camino de V a W y de W a V (forzosamente tendrn que cumplirse ambas condiciones), es decir que cada nodo G es adyacente a todos los dems nodos de G. GRAFO UNILATERALMENTE CONEXO.Un grafo G es unilateralmente conexo si para cada par de nodos (V,W) de G hay un camino de V a W o un camino de W a V. GRAFO PESADO ETIQUETADO. Un grafo es pesado cuando sus aristas contienen datos (etiquetas). Una etiqueta puede ser un nombre, costo un valor de cualquier tipo de dato. Tambin a este grafo se le denomina red de actividades, y el nmero asociado al arco se le denomina factor de peso. VERTICE ADYACENTE. Un nodo o vrtice V es adyacente al nodo W si existe un arco de m a n. GRADO DE SALIDA.El grado de salida de un nodo V de un grafo G, es el nmero de arcos o aristas que empiezan en V. GRADO DE ENTRADA.El grado de entrada de un nodo V de un grafo G, es el nmero de aristas que terminan en V. NODO FUENTE.Se le llama as a los nodos que tienen grado de salida positivo y un grado de entrada nulo. NODO SUMIDERO.Se le llama sumidero al nodo que tiene grado de salida nulo y un grado de entrada positivo. Aristas Son las lneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen tambin caminos.

Si la arista carece de direccin se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vrtices que une. Si {a ,b} es una arista, a los vrtices a y b se les llama sus extremos.

Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vrtice. Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vrtice inicial y el final son el mismo. Aristas Cclicas: Arista que parte de un vrtice para entrar en el mismo. Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.

Vrtices Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos grado de un vrtice al nmero de aristas de las que es extremo. Se dice que un vrtice es `par' o `impar' segn lo sea su grado.

Vrtices Adyacentes: si tenemos un par de vrtices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vrtices adyacentes y se dice que U es el vrtice inicial y V el vrtice adyacente. Vrtice Aislado: Es un vrtice de grado cero. Vrtice Terminal: Es un vrtice de grado 1.

Caminos Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesin finita no vaca de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

x e y se llaman los extremos del camino El nmero de aristas del camino se llama la longitud del camino. Si los vrtices no se repiten el camino se dice propio o simple. Si hay un camino no simple entre 2 vrtices, tambin habr un camino simple entre ellos. Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado. Llamaremos ciclo a un circuito simple

Un vrtice a se dice accesible desde el vrtice b si existe un camino entre ellos. Todo vrtice es accesible respecto a si mismo

3.10.2

Clasificacin de grafos.

Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vrtices que representa un arco no est ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco est representado por un par ordenado de vrtices, de forma que y representan dos arcos diferentes. Ejemplos G1 = (V1, A1) V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} G2 = (V2, A2) V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)} G3 = (V3, A3) V3 = {1, 2, 3} A3 = { , , } Grficamente estas tres estructuras de vrtices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:

DGRAFO (GRAFO DIRIGIDO). A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene aristas dirigidas, como en el siguiente caso.

APLICACIONES DE LOS DIGRAFOS Una de las aplicaciones mas importantes es de hallar el camino mas corto hacia un destino, ya sea de una ciudad a otra, de unos departamentos a otros, para el recorrido de rboles, sirve para la representacin de algoritmos, etc. Algunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuacin: Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vrtices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular. Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2regular y el tercero no es regular Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vrtices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vrtices pertenecientes al mismo conjunto Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vrtices. Un grafo completo con n vrtices se denota Kn. A continuacin pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6 Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vrtices. A continuacin ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5 Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vrtices que lo componen no estn conectados, esto es, que son vrtices aislados.

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunvoca (uno a uno), entre sus vrtices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en comn.

Grafos Platnicos: Son los Grafos formados por los vrtices y aristas de los cinco slidos regulares (Slidos Platnicos), a saber, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

GRAFOS EULERIANOS.

Para definir un camino euleriano es importante definir un camino euleriano primero. Un camino euleriano se define de la manera ms sencilla como un camino que contiene todos los arcos del grafo. Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describindolos simplemente como aquel grafo que contiene un camino euleriano. Como ejemplos tenemos las siguientes imgenes: El primer grafo de ellos no contiene caminos eulerianos mientras el segundo contiene al menos uno. GRAFOS CONEXOS. Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vrtice V pertenece al conjunto de vrtices y es alcanzable por algn otro. Otra definicin que dejara esto ms claro sera: un grafo conexo es un grafo no dirigido de modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une.

RBOLES. Un rbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo tambin acclico, pero a su vez es conexo. Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos). BOSQUES DE RBOLES. Los bosques de rboles son un caso similar a los rboles, son acclicos, pero no son conexos. Como ejemplo tenemos la siguiente figura.

RECORRIDO DE UN GRAFO. Recorrer un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estn relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Existen bsicamente dos tcnicas para recorrer un grafo: el recorrido en anchura; y el recorrido en profundidad.

Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que estn a una distancia de un arco del nodo de salida, despus los que estn a dos arcos de distancia, y as sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida. Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar ms. Cuando ya no puede avanzarse ms sobre el camino elegido, se vuelve atrs en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.

3.11

Representacin de estructura mediante grafos.

REPRESENTACIN DE GRAFOS EN PROGRAMAS. Hay tres maneras de representar un grafo en un programa: mediante matrices, mediante listas y mediante matrices dispersas.

Representacin mediante matrices: La forma ms fcil de guardar la informacin de los nodos es mediante la utilizacin de un vector que indexe los nodos, de manera que los arcos entre los nodos se pueden ver como relaciones entre los ndices. Esta relacin entre ndices se puede guardar en una matriz, que llamaremos de adyacencia.

Representacin mediante listas: En las listas de adyacencia lo que haremos ser guardar por cada nodo, adems de la informacin que pueda contener el propio nodo, una lista dinmica con los nodos a los que se puede acceder desde l. La informacin de los nodos se puede guardar en un vector, al igual que antes, o en otra lista dinmica. Representacin mediante matrices dispersas: Para evitar uno de los problemas que tenamos con las listas de adyacencia, que era la dificultad de obtener las relaciones inversas, podemos utilizar las matrices dispersas, que contienen tanta informacin como las matrices de adyacencia, pero, en principio, no ocupan tanta memoria como las matrices, ya que al igual que en las listas de adyacencia, slo representaremos aquellos enlaces que existen en el grafo.

Existen dos formas de mantener un grafo "G" en la memoria de una computadora, una se llama Representacin secuencial de G, la cual se basa en la matriz de adyacencia A; la otra forma, es la llamada Representacin enlazada de G y se basa en listas enlazadas de vecinos. Independientemente de la forma en que se mantenga un grafo G en la memoria de una computadora, el grafo G normalmente se introduce en la computadora por su definicin formal: Un conjunto de nodos y un conjunto de aristas

Representacin secuencial de un grafo:

Considere el grafo siguiente "G": y suponga que los nodos se mantienen en memoria en un array DATOS tal como sigue: DATOS: X, Y, Z, W Para hallar la matriz de adyacencia A del grafo "G", tenemos que tomar en cuenta que los nodos estn normalmente ordenados de acuerdo con la forma en que aparecen en memoria; o sea, asumimos que u 1 = X, u 2 = Y, u 3 = Z, y u 4 = W, la matriz de adyacencia A de G seria la siguiente:

aqu a i j = 1 si hay una arista u i a u j ; si no a i j = 0. As entonces para hallar la matriz de camino P de G mediante las potencias de la matriz de adyacencia A, como G tiene cuatro nodos se calcula

por lo tanto la matriz de caminos P se obtiene ahora haciendo pi j = 1 siempre que haya una entrada positiva en la matriz B4 . as

La matriz de caminos muestra que no hay camino de u 1 a u 2 de hecho, no hay camino de ningn nodo a u 1 por tanto, G no es fuertemente conexo.

Representacin enlazada de un grafo: Un grafo "G" se guarda en memoria como sigue: NODO SIG ADY A 7 1 B 4 2 0 E 6 5 8 D 0 7 C 2 9 3

1

2

3

4

5

6

7

8

PRINCIPIO = 1, NDISP = 5 DEST ENL 2 10 1 ADISP = 8 Para dibujar el respectivo grafo "G", primero debemos buscar todos los vecinos de cada NODO[K] recorriendo su lista de adyacencia que tiene el puntero de adyacencia ADY[J]. Esto da como resultado: A: 2(B) y 6(D) B: 6(D), 4(E) y 7(C) C: 4(E) D: 4(E) E: 6(D) 6 3 2 4 6 3 0 4 6 0 5 7 0 6 4 0 7 4 8 4 0 9 6 0 10

Entonces procedemos a dibujar el diagrama del grafo como sigue: Sea G un grafo dirigido con m nodos. La representacin secuencial de G en la memoria, o sea, la representacin de G por su matriz de adyacencia A, tiene unas cuantas desventajas importantes.

En primer lugar, puede ser difcil insertar y eliminar nodos de G, esto es por que el tamao de A debera ser cambiado y los nodos deberan ser reordenados, as que habra muchos cambios en la matriz A; ms aun, si el numero de aristas es O(m) o O(m log2 m), entonces la matriz A estar desperdiciada (contendr muchos ceros); por tanto, se desperdiciar una gran cantidad de espacio; entonces G normalmente se representa en memoria por una representacin enlazada, tambin llamada estructura de adyacencia.

Considere el grafo G de la figura siguiente y su respectiva tabla de adyacencia, donde se muestra cada nodo de G seguido por la lista de nodos adyacentes, tambin llamados sucesores o vecinos.

Para apreciar aun ms esta situacin, podemos tambin usar un diagrama esquemtico de la representacin enlazada de G en la memoria, especficamente, la representacin enlazada contendr dos listas (o archivos), una lista de nodos NODO y una lista de aristas ARISTA, tal como sigue: Cada elemento de la lista NODO corresponder a un nodo de G y ser un registro de la forma:

NODO

SIG

ADY

Aqu NODO ser el nombre o valor clave del nodo, SIG ser un puntero al siguiente nodo de la lista NODO y ADY ser un puntero al primer elemento de la lista de adyacencia del nodo, que se mantiene en la lista ARISTA; el rea restante indica que puede haber otra informacin en el registro, tal como el grado de entrada GraEnt del nodo, el grado de salida GraSal del nodo, el ESTADO del nodo durante la ejecucin de un algoritmo, etc. Adicional a esto, cada elemento de la lista ARISTA corresponder a una arista de G y ser un registro de la forma: DEST ENL

Donde el campo DEST apuntar a la posicin en la lista NODO del nodo destino o terminal de la arista, el campo ENL enlazar juntas las aristas con el mismo nodo inicial, o sea, los nodos con la misma lista de adyacencia, y el campo restante indica que puede existir otra informacin en el registro correspondiente a la arista, tal como un campo ARIS conteniendo los datos etiquetados de la arista cuando G es un grafo con etiquetas, un campo PESO conteniendo el peso de la arista cuando G es un grafo con peso, etc. Podemos clasificar cada una de las estructuras de control ms comunes en programacin en uno de los siguientes tipos:

Secuencia: Ejecucin sucesiva de una o ms operaciones. Seleccin: Se realiza una u otra operacin, dependiendo de una condicin. Iteracin: Repeticin de una o varias operaciones mientras se cumpla una condicin.

3.11.1Sentencia for

Secuencias.

La forma general de esta sentencia es: for (expresion 1; expresion 2; expresion 3) sentencia;

Figura 3.4: Sentencia for

Inicialmente se ejecuta expresion 1, se hace para inicializar algn parmetro que controla la repeticin del bucle. expresion 2 es una condicin que debe ser cierta para que se ejecute sentencia. expresion 3 se utiliza para modificar el valor del parmetro. El bucle se repite mientras expresion 2 sea cierto. Si sentencia es compuesta se encierra entre { }. Si se omite expresion 2 se asumir el valor permanente de 1 y el bucle se ejecutar de forma indefinida (bucle infinito).

Un ejemplo de uso de esta sentencia es el siguiente fragmento de programa, que calcula la suma de los numeros del 1 al 100: int numero, suma; suma=0; for (numero=1; numeroO then Writeln (`Nmero positivo'); IF n>O then Writeln (`Nmero positivo') ELSE Writeln (`Negativo o cero'); No puede existir un punto y coma inmediatamente antes de una palabra ELSE ya que sera interpretado como final de IF.

3.11.3Sentencia while

Mientras (while).

La forma general de esta sentencia es: while (expresion) sentencia;

Figura 3.5: Sentencia while

sentencia se ejecutar mientras el valor de expresion sea verdadero. Primero se evala expresion Lo normal es que sentencia incluya algn elemento que altere el valor de expresion proporcionando as la condicin de salida del bucle. Si sentencia es compuesta se encierra entre { }.

Un ejemplo de uso de esta sentencia es el siguiente fragmento de programa, que calcula la suma de los numeros del 1 al 100: int suma, limite; suma=1; limite=100; while(limite>0) { suma=suma+limite; limite--; }

3.11.4

Repetir hasta que (repeat-until).

SENTENCIA REPEAT UNTIL Ejecuta las sentencias comprendidas entre las palabras reservadas REPEAT y UNTIL hasta que la expresin o variable sea verdadera. Formato:

REPEAT begin (Sentencia); (Sentencia); ... end;

UNTIL condicin; Caractersticas del bucle REPEAT: Se ejecutan siempre una vez, por lo menos, y la terminacin del bucle se produce cuando el valor de la expresin lgica o condicin de salida es verdadera. Se ejecuta hasta que la expresin es verdadera, es decir, se ejecuta mientras la expresin sea falsa. Ejemplo. El mismo que con la sentencia WHILE. Program escribeenteros; Var N,contador:integer; Begin Write ('Introduzca nmero mximo de enteros: '); Readin (N); Contador:= O; Repeat Contador:=contador+1; Write (contador:5) Until contador = N; Writeln ('Fin de programa. Contador = ',contador) End. Sentencia do-while La forma general de esta sentencia es: do sentencia; while (expresion);

Figura 3.6: Sentencia do-while

sentencia se ejecutar mientras el valor de expresion sea verdadero. sentencia siempre se ejecuta al menos una vez. Si sentencia es compuesta se encierra entre { }.

Para la mayora de las aplicaciones es mejor y ms natural comprobar la condicin antes de ejecutar el bucle, por ello se usa ms la sentencia while. Un ejemplo de uso de esta sentencia es el siguiente fragmento de programa, que pide un nmero igual a 0: int numero = 0; do { printf("Introduce el nmero 0:\n"); scanf("%d", &nu