Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

10
Artikel Mekanika Feni Fitriyani/M0213034 Lagrangian Di SMA, kita mengenal tentang Mekanika Newtonian. Mekanika Newtonian adalah salah satu alat untuk menganalisis gerak suatu sistem. Mekanika Newtonian menghubungkan suatu besaran vektor yang bernama Gaya untuk menganalisis perubahan momentum. Mekanika Newtonian menggunakan 3 Hukum untuk menganalisis gerak sistem. Namun, seringkali (karena gaya adalah besaran vektor) kita kesulitan dalam menggambar arah gaya tersebut, apalagi jika sistemnya rumit dan banyak anak sistemnya. Mekanika Newtonian menjadi rawan kesalahan. Untuk mempermudah analisis, seseorang bernama Joseph Louis Lagrange membuat suatu metode analisis yang menghubungkan perubahan momentum dengan konservasi energi mekanik yang dimiliki sistem. Ada beberapa kondisi dimana kita dapat menggunakan Mekanika Lagrangian (lama), yaitu sistem yang kita amati hanya boleh dipengaruhi oleh gaya konservatif (berarti mempunyai energi potensial). Seperti di Mekanika Newtonian, setelah menggunakan Mekanika Lagrangian, kita akan mendapatkan beberapa set persamaan differensial yang akan digunakan untuk menganalisis gerak sistem tersebut. Mekanika Lagrangian yang lama, digunakan untuk sistem yang dipengaruhi gaya konservatif saja. Namun kemudian Rayleigh mengusulkan memperluas konsepnya supaya bisa menganalisis gaya disipatif juga (misalnya gaya gesek). http://www.forumsains.com/fisika/mekanika-lagrangian/ Untuk dapat membuat perbandingan antara mekanika Newtonian dan mekanika Lagrangian dengan baik, maka perlu

Transcript of Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

Page 1: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

Artikel Mekanika Feni Fitriyani/M0213034

Lagrangian

Di SMA, kita mengenal tentang Mekanika Newtonian. Mekanika Newtonian adalah

salah satu alat untuk menganalisis gerak suatu sistem. Mekanika Newtonian menghubungkan

suatu besaran vektor yang bernama Gaya untuk menganalisis perubahan momentum.

Mekanika Newtonian menggunakan 3 Hukum untuk menganalisis gerak sistem. Namun,

seringkali (karena gaya adalah besaran vektor) kita kesulitan dalam menggambar arah gaya

tersebut, apalagi jika sistemnya rumit dan banyak anak sistemnya. Mekanika Newtonian

menjadi rawan kesalahan. Untuk mempermudah analisis, seseorang bernama Joseph Louis

Lagrange membuat suatu metode analisis yang menghubungkan perubahan momentum

dengan konservasi energi mekanik yang dimiliki sistem. Ada beberapa kondisi dimana kita

dapat menggunakan Mekanika Lagrangian (lama), yaitu sistem yang kita amati hanya boleh

dipengaruhi oleh gaya konservatif (berarti mempunyai energi potensial). Seperti di Mekanika

Newtonian, setelah menggunakan Mekanika Lagrangian, kita akan mendapatkan beberapa set

persamaan differensial yang akan digunakan untuk menganalisis gerak sistem tersebut.

Mekanika Lagrangian yang lama, digunakan untuk sistem yang dipengaruhi gaya konservatif

saja. Namun kemudian Rayleigh mengusulkan memperluas konsepnya supaya bisa

menganalisis gaya disipatif juga (misalnya gaya gesek).

http://www.forumsains.com/fisika/mekanika-lagrangian/

Untuk dapat membuat perbandingan antara mekanika Newtonian dan mekanika

Lagrangian dengan baik, maka perlu dilakukan telisik secara mendasar terhadap cara pandang

keduanya. Perbandingan yang baik tidak dapat dicapai hanya dengan menyajikan contoh-

contoh penyelesaian atas kasus fisis yang sama yang coba diselesaikan dengan cara ala

Newton dan ala Lagrange. Cara pandang keduanya perlu diungkap sebab cara pandang inilah

yang menuntun bagaimana sebuah fenomena fisis seharusnya dipandang dan akhirnya dengan

cara bagaimana harus diselesaikan. Cara pandang ini oleh Thomas S. Kuhn disebut sebagai

paradigma (Kuhn, 2002). Upaya telisik akan dimulai dari objek kajian fisika.

Secara sederhana, pandangan Newton dapat diringkas, bahwa alam semesta terdiri dari

partikel-partikel benda. Antar partikel-partikel ini terjadi interaksi melalui apa ayang disebut

sebagai kekuatan antarpartikel atau gaya. Adanya kekuatan partikel ini akhirnya menciptakan

hukum gerak.

Page 2: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

Dalam kaitannya dengan artikel ini, maka hukum gerak tersebut merupakan hukum kedua

Newton, yakni

∑ F=m dvdt

=ma

dengan F adalah gaya, m adalah massa partikel benda dan a adalah percepatan sistem.

Pada dasarnya, hampir semua interaksi dalam mekanika klasik dapat disederhanakan dan

diselesaikan dengan persamaan ini. Oleh karena itu, salah satu ciri khas mekanika Newtonian

selain reduksionis adalah adanya gaya-gaya yang bekerja dalam sistem tersebut. Pandangan

Newton bahwa sebuah sistem fisis dapat diselesaikan persamaan geraknya dengan melakukan

reduksi sebagai titik-titik materi kemudian dikembangkan oleh Bernoulli melalui konsep

usaha maya dan d'Alembert yang terkenal sebagai asas d'Alembert. Dalam pandangan ini,

sistem fisis tidak dipandang sebagai sistem titik-titik materi lagi, tetapi sebagai sistem

mekanik, yakni sistem dimana gerakan bagian-bagiannya saling berkaitan, tak bebas satu

sama lain. Upaya yang dilakukan oleh Lagrange bersandar pada hasil kerja Bernoulli dan

d'Alembert. Untuk menyelesaikan sistem fisis yang dipandang sebagai sistem mekanik ini,

Lagrange tetap menggunakan hukum kedua Newton sebagai pijakan awal, kemudian

dilakukan perumuman sampai didapat persamaan Lagrange L = T - V. Berdasarkan

persamaan tersebut dapat dikenali dengan mudah bahwa mekanika Lagrange memiliki

beberapa ciri yakni tidak lagi mengindahkan gaya-gaya yang bekerja dalam sistem mekanik,

hanya berkepentingan dengan besaran skalar tenaga (kinetik dan potensial), memandang

sistem mekanik sebagai satu kesatuan sehingga untuk menyelesaikannya tidak dipecah

menjadi kepingan-kepingan kecil seperti dalam mekanika Newtonian. Karena itu, cara

pandang Lagrangian merupakan cara pandang yang holistik terhadap suatu sistem mekanik.

http://rachmadresmi.blogspot.com/2010/01/paradigma-mekanika-newtonian-vs.html

Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrangeuntuk

menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang digunakan untuk mencari

persamaan defferensial gerak dari sebuah sistem yaitu sebagai berikut:

1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.

2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut besertaturunannya terhadap

waktu.

Page 3: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya

atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk.

Berikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya:

1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral

pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.

Misalkan koordinat polar (r,Ѳ) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat

Cartesian (r,Ѳ) dapat dihubungkan melalui:

x=r cosθ x=r sin θ

Energi kinetik partikel dapat ditulis

Energi potensial oleh gaya sentral

V= −k

(x2+ y2 )1/2=−kr

Persamaan Lagrange untuk sistem ini yaitu

Dari persamaan Lagrange:

ddt

∂T∂ qk

= ∂T∂qk

− ∂V∂ qk

Substitusi q1 = r dan q2 = , diperoleh:

Page 4: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

Dari kedua persamaan di atas diperoleh:

Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :

Jadi :

Dari persamaan Lagrange :

atau :

Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi

persamaan di atas menghasilkan

= konstan

Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum

sudut J, merupakan tetapan gerak.

Page 5: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

http://www.slideshare.net/7779/persamaan-lagrange-dan-hamilton

Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat

rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:

F i=mi x i (1)

dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan

pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi

kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam

koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang

mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan

T=∑

i=1

k

[ 12mi( x1

2+ y i2+ zi

2 ] (2)

atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut

T=∑

i=1

3 N12mi x i

2

(3)

Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung

waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan

x i=x i( q1 , q2 ,. . ., qn , t ) (4)

dan selanjutnya

x i=∑

∂ x i∂ qk

qk+∂ xi∂ t (5)

Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N

dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n

menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat

melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu,

atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait

hubungan antara xi dan qk, sehingga xi/t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan

fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan qk

Page 6: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

Dari persamaan

∂ x i∂ qk

=∂ xi∂ qk (6)

Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan x i dan diferensialkan terhadap t, akan

diperoleh:

ddt ( x i ∂ x i∂ qk )= ddt ( x i

∂ xi∂qk )

= x i

∂ x i∂qk

+ x i∂ x i∂ qk (7)

atau

ddt ( ∂

∂ qk

xi2

2 )= x i ∂ x i∂qk+ ∂

∂qk( x i22 )

(8)

Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan mi x i=F i , kita dapat peroleh

ddt

∂∂ qk

(mi x i22 )=F i ∂ xi∂ qk+ ∂

∂ qk(mi x i22 )

(9)

Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :

ddt

∂T∂ qk

=∑i (Fi ∂ x i∂ qk )+ ∂T

∂qk (10)

Dari definisi gaya rampatan kita peroleh

ddt

∂T∂ qk

=Qk+∂T∂qk (11)

Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan

dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak.Dalam kasus gerakannya adalah

konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

Page 7: Artikel Mekanika Lagrangian Feni Fitriyani/M0213034

ddt

∂T∂ qk

= ∂T∂qk

− ∂V∂ qk (12)

Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan

fungsi Lagrangian L yakni

L = T - V (13)

Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena

V = V(qk) dan ∂V /∂ qk=0 , kita peroleh

∂L∂ qk

= ∂T∂ qk dan

∂L∂qk

= ∂T∂ qk

− ∂V∂qk (14)

Persamaan Lagrange dapat ditulis

ddt

∂L∂ qk

= ∂L∂qk (15)

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui

fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak

konservatif, misalkan nilainya adalah Qk'

, maka kita dapat menuliskan

Qk=Qk

' − ∂V∂ qk (16)

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan

persamaan diferensial gerak dalam bentuk

ddt

∂L∂ qk

=Qk' + ∂L

∂qk (17)

(18)

Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan.