1

BENTUK KONVERS DARI TEOREMA-TEOREMA RING ISOMORFISME

Imam Mufid

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim

Jl Gajayana no. 50 Malang

Email:mmhupphidd@gmail.com

Abstraks

Ring adalah Struktur aljabar yang memiliki dua operasi biner. Ring dikatakan Ring

Isomorfisme karena ada fungsi dari R ke R atau dari R ke K yang bersifat surjektif dan

injektif serta bersifat homomorfisme. Terdapat beberapa akibat dari hubungan

Isomorfisme tersebut. Jika salah satu Ring mempunyai sifat tertentu maka Ring yang lain

juga akan memiliki sifat yang sama dengan Ring tersebut. Ring yang berbeda tetapi

miliki esensi yang sama, secara intuisi Ring yang memiliki esensi yang sama akan

mengacu pada konsep Isomorfisma.

Kata kunci : Aljabar, Abstrak, Ring, Isomorfisme

Pendahuluan

Struktur aljabar yang dikenal juga dengan istilah Teori Grup, pada dasarnya materi yang

dibahas di dalamnya adalah himpunan dan opersi yang berlaku pada himpunan tersebut. Suatu

himpunan yang tidak kosong dan memiliki satu opersi biner dan memenuhi syarat-syarat tertentu

dinamakan Grup. Sedangkan suatu himpunan yang tidak kosong dan memiliki dua opersi biner

dan memenuhi syarat-syarat tertentu dinamakan Ring.

Misal (R , , ) adalah Ring, R adalah himpunan yang tidak kosong, adalah operasi

pertama dan adalah operasi keduanya. (R , , ) dikatakan sebagai Ring jika dan hanya jika

(R , ) adalah grup abelian, operasi tertutup di R, operasi bersifat assosiatif di R, dan operasi

bersifat distributif terhadap operasi * di R baik distribusi kiri maupun distribusi kanan.

Pernyataan ini sesuai dengan Isnarto (2005:5) yang menyatakan bahwa, “Suatu himpunan R

dengan dua opersi (yang disimbolkan dengan + dan . ) dinamakan Ring apabila : (R,+)

merupakan grup abelian, (R, . ) bersifat tertutup dan asosoatif, (R,+, . ) bersifat distributif kiri

yaitu a.(b+c) = a.b + a.c dan distributif kanan yaitu (a+b).c = a.c + b.c, untuk setiap a,b,c anggota

R”.

(R1, , ) dan (R2, , ) didalam artikel ini telah diasumsikan sebagai Ring. Terdapat fungsi

f dari R1 → R2. Misal f adalah fungsi onto dan satu-satu yang memenuhi sifat :

2

a, b R1 berlaku (i) f (a b) = f(a) f(b) dan (ii) f (a b) = f(a) f(b)

Maka fungsi f tersebut disebut sebagai fungsi Isomorfisme. Ring Isomorfisme memiliki beberapa

sifat-sifat, yaitu :

1) Jika R1 adalah Komutatif maka R2 adalah juga Komutatif.

2) Jika R1 memiliki Elemen Satuan (RS) maka R2 juga memiliki Elemen Satuan (RS).

3) Jika R1 adalah Tanpa Pembagi Nol maka R2 juga Tanpa Pembagi Nol.

4) Jika R1 adalah Integral Domain maka R2 juga Integral Domain.

5) Jika R1 adalah Skew Field maka R2 juga Skew Field.

6) Jika R1 adalah Field maka R2 juga Field.

Dari keenam sifat yang dimiliki oleh Ring Isomorfisme, R1 yang menjadi syarat dan R2

yang menjadi akibat dari kondisi R1. Bagaimana jika seandainya R2 yang memenuhi kondisinya

dan R1 menjadi akibatnya? Apakah sifat dari Ring Isomorfisme masih terpenuhi? Hal ini

merupakan pernyataan bentuk konvers dari sifat-sifat Ring Isomorfisme.

Pembuktian Teorema dan Bentuk Konversnya

1) Teorema I

Teorema pertama menyebutkan jika R1 adalah Komutatif maka R2 adalah juga Komutatif.

Suatu Ring dikatakan Komutatif jika operasi kedua bersifat komutatif. Isnarto (2005:7),

menyatakan “… (R, +, . ) disebut Ring Komutatif apabila a . b = b . a , untuk setiap a,b anggota

R”. Bukti dari teorema pertama yang berbunyi, misal f: R1 → R2 Isomorfisme, jika R1 Ring

Komutatif maka R2 Komutatif yaitu :

a, b R1 berlaku a b = b a maka f(a) f(b) = f(b) f(a)

f(a) f(b) = f(a b) ………… karena f homomorfisme.

= f(b a) ………… R1 Komutatif

= f(b) f(a) ………… karena f homomorfisme.

Karena f(a) f(b) = f(b) f(a) maka R2 komutatif.

Selanjutnya akan dibuktikan jika R2 yang diketahui bersifat komutatif, misalkan f: R1 →

R2 Isomorfisme, apakah R1 juga bersifat Komutatif?

f(a), f(b) R2 berlaku f(a) f(b) = f(b) f(a) maka a b = b a

f(a b) = f(a) f(b) ………… karena f homomorfisme.

= f(b) f(a) ………… R1 Komutatif.

= f(b a) ………… karena f homomorfisme.

3

Karena f(a b) = f(b a) maka dapat disimpulkan a b = b a, sehingga R1 Komutatif .

Berdasarkan pembuktian di atas dapat disimpulkan bentuk konvers dari teorema pertama yaitu

misal f: R1 → R2 jika R2 Komutatif maka R1 Komutatif. Pembuktian diatas telah menunjukkan

bentuk konvers dari teorema pertama juga terbukti, yaitu misalkan f: R1 → R2 Isomorfisme jika

R2 Komutatif maka R1 Komutatif.

2) Teorema II

Teorema pertama dapat dibuktikan secara terbalik atau dalam bentuk konversnya,

bagaimana dengan teorema yang kedua dan yang seterusnya? Teorema yang kedua berbunyi

“misal f: R1 → R2 Isomorfisme, jika R1 Ring Satuan maka R2 Ring Satuan”. Ring Satuan itu

sendiri adalah Ring yang anggotanya mempunyai identitas terhadap operasi kedua. Menurut

Isnarto(2005:7) “Misal (R,+, . ), R dinamakan Ring dengan Elemen Satuan apabila terdapat I

R Sehingga I.R=R.I…”. Supaya mudah dipahami dalam artikel ini I didefinisikan sebagai

identitas operasi pertama dan i didefinisikan sebagai identitas operasi kedua. Bukti dari teorema

kedua ini adalah sebagai berikut :

Diketahui bahwa R1 Ring Satuan dan f : R1 → R2 adalah Isomorfisme.

Misal i = identitas/Elemen Satuan di R1 terhadap operasi maka berlaku a i = i a = a; a

R1 , sehingga a i = a

f(a i) = f(a)

f(a) f(i) = f(a) ………… karena f homomorfisme.

Jadi, f(i) adalah Elemen Satuan kanan di R2,

begitu pula i a = a

f(i a) = f(a)

f(i) f(a) = f(a) ………… karena f homomorfisme.

Berarti f(i) adalah Elemen Satuan kiri di R2.

Sehingga f(i) adalah Elemen Satuan di R2 terhadap operasi yang berkibat R2 adalah Ring

dengan Elemen Satuan (RS).

Kemudian jika diketahui R2 Ring Satuan dan f: R1 → R2 adalah Isomorfisme.

Misal f(i) adalah identitas R2 terhadap operasi pertama.

Berlaku f(i) f(a) = f(a)

f(i a) = f(a) ………… karena f homomorfisme.

4

i a = a ………… karena kanselasi.

Berarti i merupakan identitas kiri R1 terhadap operasi kedua .

Begitu pula f(a) f(i) = f(a)

f(a i) = f(a) ………… karena f homomorfisme.

a i = a ………… karena kanselasi.

Berarti i adalah identitas kanan R1 terhadap operasi kedua .

Karena R1 mempunyai identitas kiri dan identitas kanan terhapat operasi kedua

akibatnya R1 adalah Ring Satuan. Terbukti jika R2 Ring Satuan maka R1 juga Ring Satuan. Ini

merupakan bentuk konvers dari teorema kedua.

3) Teorema III

Pembagi Nol adalah setiap elemen dari unsur R misalkan a,b dengan a≠I dan b≠I

a b = I, dimana adalah operasi kedua dari R. Misal I1 = identitas R1 terhadap operasi , dan I2

= identitas R2 terhapat operasi . Karena f adalah fungsi injektif/satu-satu dan surjektif/onto

berlaku x, y R2 maka a, b R1 sedemikian hingga x = f(a) dan y = f(b).

Karena R1 Tanpa Pembagi Nol berarti a I1 dan b I1 maka a b I1

Sehingga a I1 berakibat f(a) f(I1) ………… karena f onto dan 1-1

juga b I1 berakibat f(b) f(I1) ………… karena f onto dan 1-1

sehingga a b I1

f(a b) f(I1)

f(a) f(b) f(I1) ………… karena f homomorfisme

Berakibat f(a) f(I1) dan f(b) f(I1) maka f(a) f(b) f(I1) berarti R2 adalah Ring Tanpa

Pembagi Nol.

Misal I1 = identitas R1 terhadap operasi , dan I2 = identitas R2 terhapat operasi . Karena

f adalah fungsi satu-satu dan onto berlaku bahwa x, y R2 maka a, b R1 sedemikian

hingga x = f(a) dan y = f(b)

Karena R2 Tanpa Pembagi Nol berarti a I2 dan b I2 maka a b I2 , bentuk lain dari

dari pernyataan ini adalah bentuk kontraposisinya yaitu karena R2 Tanpa Pembagi Nol berarti a

b = I2 maka a = I2 atau b = I2. Pembuktian bentuk konvers teorema ketiga digunakan bentuk

kontraposisi dari perngertian Tanpa Pembagi Nol.

5

f(a) f(b) = f(I2)

f(a b) = f(I2) …………………….. f homorfisme

a b = I2

Berakibat a b = I2 sehingga a = I2 atau b =I2 berarti R1 adalah Ring Tanpa Pembagi Nol. Dapat

disimpulkan bahwa bentuk konvers dari teorema ketiga juga terbukti.

4) Teorema IV

Menurut Fadli (2010:99), “Ring Komutatif dengan Elemen Satuan pada operasi kedua

yang tidak memiliki pembagi nol disebut Integral Domain….”. Berdasarkan teorema sebelumnya

telah ditunjukkan jika R2 adalah Komutatif, memiliki Elemen Satuan dan Tanpa Pembagi Nol

maka R1 juga Komutatif, memiliki Elemen Satuan dan Tanpa Pembagi Nol. Ini berarti R2 adalah

Integral Domain maka R1 juga Integral Domain. Terbukti bahwa bentuk konvers dari teorema

keempat juga berlaku.

5) Teorema V

Isnarto(2005:8) Menyatakan, Ring yang memiliki Elemen Satuan terhadap operasi kedua

serta setiap unser kecuali identitas operasi pertama memiliki invers terhadap opersi kedua

dinamakan Skew Field. Dari pengertian di atas untuk membuktikan bahwa Skew Field cukup

dengan menunjukkan setiap unsur kecuali identitas operasi pertama memiliki invers terhadap

operasi kedua. Karena pada teorema kedua telah dibuktikan bahwa R1 adalah Ring Satuan.

Misal (R1, , ) dan (R2, , ) adalah Ring.

Misal f: R1 R2 adalah Isomorfisme.

Jika (R1, , ) adalah Skew Field, maka akan ditunjukkan bahwa (R2, , ) juga Skew Field.

Teorema sebelumnya telah membuktikan bahwa R2 adalah Ring yang memiliki Elemen

Satuan (Ring Satuan) karena R1 adalah Ring Satuan. Selanjutnya cukup ditunjukkan di R2,

bahwa setiap unsur f(a) R2 dengan f(a) ≠ f(I) maka f(a) punya invers terhadap operasi .

Karena R1 adalah Skew Field berarti a R1 dengan a ≠ I1 a-1

R1 sehingga a a-1

= a-1

a

= i1 (i1 = identitas operasi ).

Karena f adalah fungsi satu-satu dan onto maka pasti ada f(a) R2 untuk setiap a R1,

akibatnya f(a) ≠ f(I1) untuk setiap a ≠ I1.

Selanjutnya akan ditunjukkan f(i1) adalah elemen identitas di R2 terhadap operasi sebagai

berikut :

6

Karena a i1 = a maka f(a i1) = f(a)

f(a) f(i1) = f(a) …….. f homomorfisme

begitu pula i1 a = a maka f(i1 a) = f(a)

f(i1) f(a) = f(a) …….. f homomorfisme

diperoleh bahwa f(i1) adalah elemen identitas di R2 terhadap operasi .

Kemudian a a-1

= i1 maka f(a a-1

) = f(i1)

f(a) f(a-1

) = f(i1)

sehingga (f(a))-1

= f(a-1

)

begitu pula a-1

a = i1 maka f(a-1

a) = f(i1)

f(a-1

) f(a) = f(i1)

sehingga (f(a))-1

= f(a-1

)

Jadi, f(a) R2 dengan f(a) ≠ f(I1) f(a-1

) R2 sehingga f(a) f(a-1

) = f(a-1

) f(a) = f(i1)

maka berakibat R2 adalah Skew Field.

Selanjutnya akan ditunjukkan bentuk konvers dari teorema V Misal (R1, , ) dan (R2, ,

) adalah Ring. f: R1 R2 adalah Isomorfisme.

Jika (R2, , ) adalah Skew Field, maka akan ditunjukkan bahwa (R1, , ) juga Skew Field.

Bentuk konvers dari teorema II telah terbukti, bahwa R1 adalah Ring yang memiliki Elemen

Satuan (Ring Satuan) karena R2 adalah Ring Satuan. Seperti halnya pada pembuktian teorema V

cukup ditunjukkan di R1, bahwa setiap unsur a R1 dengan a ≠ I1 maka a punya invers terhadap

operasi .

Karena R2 adalah Skew Field berarti f(a) R2 dengan f(a) ≠ I2 f(a-1

)

R2 sehingga f(a)

f(a-1

) = f(a-1

) f(a) = i2 (i2 = identitas operasi ).

Karena f adalah fungsi satu-satu dan onto maka pasti ada f(a) R2 untuk setiap a R1,

akibatnya a ≠ I1 untuk setiap f(a) ≠ I2.

Selanjutnya akan ditunjukkan f(i1) adalah elemen identitas di R2 terhadap operasi sebagai

berikut :

Karena f(a) f(i1) = f(a)

maka f(a i1) = f(a) …….. f homomorfisme

a i1 = a

begitu pula f(i1) f(a) = f(a)

7

maka f(i1 a) = f(a) …….. f homomorfisme

i1 a = a

Diperoleh f(i1) adalah elemen identitas di R2 terhadap operasi . Kemudian f(a) f(a-1

) = f(i1)

maka f(a a-1

) = f(i1)

a a-1

= i1

sehingga a-1

adalah invers kanan dari a.

begitu pula f(a-1

) f(a) = f(i1)

maka f(a-1

a) = f(i1)

a-1

a = i1

sehingga a-1

adalah invers kiri dari a. Jadi, a R1 dengan a ≠ I1 a-1

R1 sehingga a a-1

= a-1

a = i1 maka berakibat R1 adalah Skew Field. Pembuktian yang kedua merupakan

pembuktian bentuk konvers dari teorema V.

6) Teorema VI

Teorema VI menyebutkan jika (R1, , ) adalah Field, maka akan (R2, , ) juga Field.

Fadli (2010:103) menyebutkan pengertian Field sebagai berikut :

Field adalah suatu Ring yang unsur – unsur bukan nolnya membentuk Grup

Komutatif /Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah Ring

Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian. Dari definisi

tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi

biner (R, + , . ) dikatakan suatu Field bila : (1). (R,+) merupakan Grup Komutatif.

(2).(R-0, . ) merupakan Grup Komutatif. (3). Distribusi perkalian terhadap

penjumlahan. Jadi untuk menunjukkan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita

buktikan Ring itu Komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap

perkalian. Atau kita tunjukkan R merupakan suatu Grup komutatif terhadap

penjumlahan dan perkalian serta distribusi perkalian terhadap penjumlahan.

Pembuktian sebelumnya telah ditunjukkan R1 adalah Ring Komutatif dengan Elemen Satuan

karena R2 adalah Ring Komutatif dengan Elemen Satuan. Dengan berdasar Pembuktian pada

teorema V diatas maka telah terbukti R1 adalah Field jika R2 adalah Field.

8

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diatas dapat dibuat teorema baru dari teorema – teorema pada

Ring Isomorfisme yang lebih komplek yaitu :

Misal f : R1 → R2 Isomorfisme.

1) Jika salah satu dari R adalah Ring Komutatif maka yang lain juga Ring Komutatif.

2) Jika salah satu dari R adalah Ring Satuan maka yang lain juga Ring Satuan.

3) Jika salah satu dari R adalah Ring Tanpa Pembagi Nol maka yang lain juga Ring Tanpa

Pembagi Nol.

4) Jika salah satu dari R adalah Integral Domain maka yang lain juga Integral Domain.

5) Jika salah satu dari R adalah Skew Field maka yang lain juga Skew Field.

6) Jika salah satu dari R adalah Field maka yang lain juga Field.

9

Daftar Pustaka

Dummit, S. David, Foote, R, 1991, Abstract Algebra, Hall,inc:University of Vermont

Fadli, 2010, bahan Ajar Struktur Aljabar: Ringi(Gelanggang), (Online),

(http://fadlibae.files.wordpress.com/2010/06/ring.pdf, diakses 9 April 2013)

Hengky I. Wahyu, 2012, Strukur Aljabar, (Modul Perkuliahan)

Isnarto, 2005 Pengantar Struktur Aljabar 2, UNNES Press:Semarang

Raisinghania,M.D. 1980, Modern Algebra, S. Cahnd Company LTD.: New Delhi

Setawan, Adi, 2011, Aljabar Abstraks: Teori Grup & Teori Ring, Universitas Kristen Satya

Kencana: Salatiga