Aries Suharso 0422037701 Metode Tertutup

5/8/2018 Aries Suharso 0422037701 Metode Tertutup - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aries-suharso-0422037701-metode-tertutup 1/28

o us s em ersamaano us s em ersamaanNirlanjar/Non LinearNirlanjar/Non Linear

Menggunakan MetodeMenggunakan Metode Tertutup Tertutup

, .Aries Suharso S Si:NIDN 0422037701



PendahuluanPendahuluan

Dalam bidang sains dan rekayasa, kitasering berhadapan dengan persoalanmencari solusi persamaan yang disebutakar persamaan (roots of equation) yang

berbentuk f(x) = 0Persamaan sederhana dapat ditemukan

akar persamaannya denganmenggunakan metode analitik, seperti

Namun, umumnya persamaan yang akandipecahkan berbentuk non linear yangmelibatkan sinus, cosinus, eksponensial,dan lainnya

Persamaan non linear tidak dapatdiselesaikan secara analitik, sehin a

32)( −

= x x f



Persoalan Akar PersamaanPersoalan Akar Persamaan

Te n tu kan n ilai x ya n g m e m e n u h i( ) = = ,p e rsa m a a n f x 0 y a itu n ila i x s

( )se d e m ikia n se h in g g a f s sam a d e n g a n( )n o l 0

,Te rd a p a t d u a je n is m e to d e p e n ca ria n a ka r yaknim etode tertutup dan terbuka



Metode TertutupMetode Tertutup

D iken ald en g an m etod e p en g u ru n g( b ra cke ttin g m e th o d )

M e n caria kar p e rsam aa n d id a la m se lan g[ , ]a b

[ , ]S e la n g a b d ip a stika n b e risim in im a l,satu b u ah aka r se h in g g a m e to d e in i

se la lu b e rh a silm e n e m u ka n a ka r

( )Ite ra sin ya se la lu ko n ve rg e n m e n u ju ke

,a ka r se h in g g a m e to d e in i d ise b u t ju g a m etode konvergen



Metode TertutupMetode Tertutup

Strategi yang digunakan adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang semakin sempit dan karena itu menuju akar sejati

,Dalam sebuah selang mungkin terdapat lebih dari satu akar atau tidak ada sama sekali yang

:ditunjukkan secara grafik

( ) ( ) < ,Jika f a f b 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil



Metode Tertutup ..Metode Tertutup ..

( ) ( ) > ,Jika f a f b 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak

ada sama sekali

:Syarat cukup keberadaan akar persamaan adalah( ) ( ) < ( )jika f a f b 0 dan f x menerus dalam[ , ],selang a b maka paling sedikit terdapat satu

( ) = [ , ]buah akar persamaan f x 0 dalam selang a b



Metode Tertutup ..Metode Tertutup ..

Terdapat dua masalah yang terjadi karena ketidaktepatan

[ , ]pemilihan selang a b , [ , ]Pertama jika dalam selang a b terdapat lebih dari

.satu buah akar Sekali metode tertutup digunakan pada[ , ],selang a b maka hanya satu buah akar yang berhasil

ditemukan

, [ , ] ,Kedua jika selang a b tidak memenuhi syarat cukup( ) ( ) < ,yakni f a f b 0 maka adakalanya akar tidak dapat

( )ditemukan seharusnya ada

,Dua pendekatan solusi yang digunakan antara lain( -pertama membuat grafik fungsi di bidang kartesian X

),Y lalu melihat di mana perpotongannya dengan sumbu X

, -Kedua mencetak nilai fungsi pada titik titik absis yang.berjarak tetap Jika tanda fungsi berubah pada sebuah,selang maka dipastikan terdapat satu buah akar di

dalamnya

Terdapat dua metode klasik yang tergolong ke dalam, ( )metode tertutup yakni metode bagidua bisection dan

-metode regula falsi



Metode BagiduaMetode Bagidua

[ , ]Metode yang selalu membagi dua selang a b pada( = ),nilai x tertentu x c sehingga terdapat dua, [ , ]buah upaselang berukuran sama yaitu selang a c

[ , ]dan selang c b

Selang yang akan digunakan pada tahapan berikutnya

,adalah upaselang yang mengandung akar tergantung

( ) ( ) < ( ) ( ) <pada apakah f a f c 0 atau f c f b 0

Selang baru dibagi lagi menjadi dua dengan cara,sama hingga ukuran selang sudah sangat kecil atau

:memenuhi salah satu kondisi berikut.1 <Lebar selang .2 ( ) = ( ) <f c 0 atau f c epsilon mesin.3 ( ) (( -Galat error hampiran akar cbaru

)/ ) <clama cbaru



Metode Bagidua ...Metode Bagidua ...



Contoh Penggunaan Metode BagiduaContoh Penggunaan Metode Bagidua

( ) =Te m u kan akar p ersam aa n f x e x - 5x 2 [ , ] = . .di dalam selang 0 1 dan 0 00001 e

= .2 71828183



Tabel iterasi pencarian akar f(x) = Tabel iterasi pencarian akar f(x) = ee x x

- 5x - 5x 22

,Jadi akar persamaan yang diperoleh adalah.0 605263

r a c b ( )f a ( )f c ( )f b selang baru Lebar selang

0 .0 000000 .0 500000 .1 000000 .1 000000 .0 398721 - .2 281718 [ , ]c b .0 500000

1 .0 500000 .0 750000 .1 000000 .0 398721 - .0 695500 - .2 281718 [ , ]a c .0 250000

2 .0 500000 .0 625000 .0 750000 .0 398721 - .0 084879 - .0 695500 [ , ]a c .0 125000

3 .0 500000 .0 562500 .0 625000 .0 398721 .0 173023 - .0 084879 [ , ]c b .0 062500

4 .0 562500 .0 593750 .0 625000 .0 173023 .0 048071 - .0 084879 [ , ]c b .0 031250

5 .0 593750 .0 609375 .0 625000 .0 048071 - .0 017408 - .0 084879 [ , ]a c .0 015625

6 .0 593750 .0 601563 .0 609375 .0 048071 .0 015581 - .0 017408 [ , ]c b .0 007813

7 .0 601563 .0 605469 .0 609375 .0 015581 - .0 000851 - .0 017408 [ , ]a c .0 003906

8 .0 601563 .0 603516 .0 605469 .0 015581 .0 007380 - .0 000851 [ , ]c b .0 001953

9 .0 603516 .0 604492 .0 605469 .0 007380 .0 003268 - .0 000851 [ , ]c b .0 000977

10 .0 604492 .0 604980 .0 605469 .0 003268 .0 001210 - .0 000851 [ , ]c b .0 000488

11 .0 604980 .0 605225 .0 605469 .0 001210 .0 000179 - .0 000851 [ , ]c b .0 000244

12 .0 605225 .0 605347 .0 605469 .0 000179 - .0 000336 - .0 000851 [ , ]a c .0 000122

13 .0 605225 .0 605286 .0 605347 .0 000179 - .0 000078 - .0 000336 [ , ]a c .0 000061

14 .0 605225 .0 605255 .0 605286 .0 000179 .0 000051 - .0 000078 [ , ]c b .0 000031

15 .0 605255 .0 605270 .0 605286 .0 000051 - .0 000014 - .0 000078 [ , ]a c .0 000015

16 .0 605255 .0 605263 .0 605270 .0 000051 .0 000018 - .0 000014 [ , ]c b .0 000008



Contoh Program di PascalContoh Program di PascalProgram Bisection;

Uses crt;

label ulang;

var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;

i : integer; ab : char;

begin

ulang :

clrscr;

writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Metode Biseksi');

write( 'Masukan nilai x1 = ' );

readln( x1 );y1 := x1 * x1 * x1 * + x1 * x1 - 3 * x1 -3;

writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4);

repeat

begin

write( 'Masukan nilai x2 = ');

readln(x2);

y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;

write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);

end;

if (y1*y2)<0 then

Writeln(' Syarat Nilai Ok')

else

Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai');

until ( y1 * y2 ) < 0;

I :=2;



Writeln;

writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' & x2= ',x2:0:2);

writeln('--------------------------------------------------------------------------');

writeln('n x f(x) error ');

writeln('--------------------------------------------------------------------------');

repeatbegin

i :=i + 1 ; x3 := ( x1 + x2) / 2;

y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 -3;

if (i mod 10)=0 then readln;

if i<10 then

writeln(' ',i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::')

else writeln(i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::');

if ( y1* y3) <0 then

begin

x2 :=x3;

end else begin

x1 := x3;

end;

end;

until abs( y3 )<1E-07;

writeln('-------------------------------------------------------------------------');

writeln('akar persamaanya = ',x3);

writeln('errornya =',abs( y3 ));

writeln('-------------------------------------------------------------------------');

write('Apakah anda ingin mengulanginya (y/t): ');

readln(ab);

if (ab='y') or (ab='Y') then

goto ulang;end.



Penjelasan ProgramPenjelasan Program

Metode bisection disebut juga metode Pembagian Intervalatau metode yang digunakan untuk mencari akar-akarpersamaan nonlinear melalui proses iterasi denganpersamaan :

Dimana nilai f(Xa) dan nilai f(Xb) harus memenuhi persyaratanf(Xa)*f(Xb)<0

Contoh dan cara penyelesaian:

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah inidengan metode Biseksi:

f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian: Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan

f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan




Langkah 2: mencari nilai x3.

Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative,dan untuk memnentukan nilai x4 harusf(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilaiyang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai

f(x1)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4)= 1.753 + 1.752 - 3(1.75) – 3 = 1.71875 Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan

begitu seterusnya sampai didapatkan nilai errorlebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil



Metode Regula-falsiMetode Regula-falsi

K e le m a h a n m e to d e b a g id u a te rle ta k p a d a lam an ya w aktu u n tu k m en cap ai

konvergen

- (M e to d e re g u la fa lsi d iseb u t ju g a d e n g a n

)m e to d e p o sisi p a lsu m e m p e rb a iki kele m a h a n te rse b u t d e n g a n cara

( ) ( )m e m a n fa a tkan n ila if a d a n f b

D ib e n tu k g a ris lu ru s y a n g

( , ( )) ( ,m e n g h u b u n g k a n titik a f a d a n b( ))f b

Pe rp o to n g a n g a ris lu ru s te rse b u t d e n g a n su m b u X d in ya ta ka n se b a g a i ta ksira n

a ka r ya n g d ip e rb a iki



Metode Regula-falsi ..Metode Regula-falsi ..

,Pada gambar gradien=garis AB

,gradien garis BC:maka



Contoh Penerapan MetodeContoh Penerapan MetodeRegula-falsiRegula-falsi

( ) =Te m u kan akar p ersam aa n f x e x - 5x 2 [ , ] = . .di dalam selang 0 1 dan 0 00001 e

= .2 7182818



Tabel iterasi pencarian akar f(x) = Tabel iterasi pencarian akar f(x) = ee x x --

5x 5x 22r a c b ( )f a ( )f c ( )f b selang baru Lebar selang

0 .0 000000 .0 304718 .1 000000 .1 000000 .0 891976 - .2 281718 [ , ]c b .0 695282

1 .0 304718 .0 500129 .1 000000 .0 891976 .0 398287 - .2 281718 [ , ]c b .0 499871

2 .0 500129 .0 574417 .1 000000 .0 398287 .0 126319 - .2 281718 [ , ]c b .0 425583

3 .0 574417 .0 596742 .1 000000 .0 126319 .0 035686 - .2 281718 [ , ]c b .0 403258

4 .0 596742 .0 602952 .1 000000 .0 035686 .0 009750 - .2 281718 [ , ]c b .0 397048

5 .0 602952 .0 604641 .1 000000 .0 009750 .0 002639 - .2 281718 [ , ]c b .0 395359

6 .0 604641 .0 605098 .1 000000 .0 002639 .0 000713 - .2 281718 [ , ]c b .0 394902

7 .0 605098 .0 605222 .1 000000 .0 000713 .0 000192 - .2 281718 [ , ]c b .0 394778

8 .0 605222 .0 605255 .1 000000 .0 000192 .0 000052 - .2 281718 [ , ]c b .0 394745

9 .0 605255 .0 605264 .1 000000 .0 000052 .0 000014 - .2 281718 [ , ]c b .0 394736

10 .0 605264 .0 605266 .1 000000 .0 000014 .0 000004 - .2 281718 [ , ]c b .0 394734

11 .0 605266 .0 605267 .1 000000 .0 000004 .0 000001 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

12 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000001 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

13 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

14 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

15 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

16 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

17 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

18 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

19 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

20 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 .0 000000 - .2 281718 [ , ]c b .0 394733

21 .0 605267 .0 605267 .1 000000 .0 000000 - .0 000000 - .2 281718 [ , ]a c .0 000000



Stagnant Point pada Metode-Stagnant Point pada Metode-Regula FalsiRegula Falsi

( )Jika kurva fungsi berbentuk cekung konkaf[ , ],di dalam selang a b maka garis potong selalu berada di atas atau di bawah kurva

:Perhatikan gambar berikut



Stagnant Point pada Metode-Stagnant Point pada Metode-Regula FalsiRegula Falsi

, -Pada kondisi paling ekstrim |b ar| tidak.pernah lebih kecil dari Hal ini, ,disebabkan salah satu titik ujung selang

yakni b selalu bernilai tetap untuk setiap( ) = , , , , …lelaran iterasi r 0 1 2 3

Titik ujung selang yang tidak pernah berubah(disebut dengan titik mandek stagnant

), :point di mana - = - = , , , ,|br ar| |b ar| untuk r 0 1 2 3…

,Untuk mengatasi titik mandek kondisi-berhenti pada metode regula falsi harus

ditambahkan dengan memeriksa apakah nilai( )f c sudah sangat kecil sehingga mendekati

nol



Perbaikan Metode Regula-Perbaikan Metode Regula-FalsiFalsi

,Untuk mengatasi kemungkinan titik mandek maka dilakukan perbaikan terhadap metode-regula falsi ( modified false position

) method

Teknik yang digunakan adalah setelah

menentukan selang baru pada setiap akhir,lelaran maka akan ditentukan mana yang

. ,menjadi titik mandek Lalu nilai fungsi pada titik mandek tersebut dibagi dua dan

selanjutnya nilai ini digunakan untuk

lelaran berikutnya Tabel berikut menunjukkan lelaran pada

( ) =persamaan f x e x - 5x 2 di dalam selang[ , ], = . , = .0 1 0 00001 dan e 2 7182818 dengan

-perbaikan metode regula falsi



Tabel Lelaran pada Perbaikan Tabel Lelaran pada PerbaikanMetode Regula-FalsiMetode Regula-Falsi

r a c b ( )f a ( )f c ( )f b

0 .0 000000 .0 304718 .1 000000 .1 000000 .0 891976 - .2 281718

1 .0 304718 .0 609797 .1 000000 .0 891976 - .0 019205 - .1 140859

2 .0 304718 .0 603367 .0 609797 .0 891976 .0 008005 - .0 019205

3 .0 603367 .0 605259 .0 609797 .0 008005 .0 000035 - .0 019205

4 .0 605259 .0 605275 .0 609797 .0 000035 - .0 000035 - .0 009602

5 .0 605259 .0 605267 .0 605275 .0 000035 .0 000000 - .0 000035

= .Hampiran akar x 0 605267



Contoh Program PascalContoh Program Pascalprogram regula_falsi;

uses wincrt;

label ulang;

Var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;

i : integer;

Ab :char;

data1 : real;

begin

ulang:

clrscr;

writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Regula Falsi');

write('Masukan nilai x1 = ');readln(x1);

y1 := x1 * x1 * x1 + x1 * x1 - 3 * x1 - 3;writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4);

repeat

begin

write( 'Masukan nilai x2 = ' ); readln(x2);

y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3;

write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4);

end;

if (y1*y2)<0 then

Writeln(' Syarat Nilai Ok')

else

Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai');

until ( y1 * y2 ) <0;

writeln;

writeln('Penyelesaian persamaan karekteristik dengan metoda regula falsi');

writeln('----------------------------------------------------------------------');

writeln(' n x f(x) error ');

writeln('----------------------------------------------------------------------');



Contoh Program PascalContoh Program Pascalrepeat

begin

i:= i + 1; x3 := ( x2-( y2 / ( y2 - y1))*(x2-x1));

y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 - 3;

if i<10 then

writeln(' ',i,' : ',x3,' : ',y3,' : ',abs(y3),' : ')

else

writeln(i,' : ',x3,' : ',y3,' : ',abs(y3),' : ');

if ( y1 * y3 ) <0 then

begin

x2 := x3 ; y2 := y3 ;end

else

begin

x1 := x3 ; y1 := y3;

end;

end;

until abs( y3 ) < 1E-08;

writeln('----------------------------------------------------------------------');

writeln('Akar persamaannya= ',x3);

writeln('Errornya=' ,abs( y3 ));

writeln('----------------------------------------------------------------------');

writeln('Apakah anda ingin mengulangi (y/t): ');

readln(ab);

if (ab='y') or (ab='Y') then

goto ulang;

end.




Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi

Linear yaitu metode yang digunakan untukmencari akar- akar persamaan nonlinear melaluiproses iterasi dengan persamaan :

Contoh dan cara penyelesaian Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di

bawah ini dengan metode Regula Falsi: f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1)

dan f(x2) dan harus memenuhi hubunganf(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4 f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3 Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian




Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yangdigunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi

dengan persamaan 2.1:

Contoh dan cara penyelesaian

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metodeRegula Falsi:

f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harusmemenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 danx2 = 2.

Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan 2.1:

Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 = -1.3644314869

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilaif(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilaif(x2)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 = -0.247745

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampaididapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungandidapatkan nilai x = 1.7320508074.

dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09




Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan :

Dan f(x3)= 1.571423 + 1.57142 2 - 3(1.57142) – 3 =-1.3644314869

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, danuntuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakanyaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4= 1.705413 + 1.705412 - 3(1.70541) – 3 =-0.247745

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begituseterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecildari 10-7. Maka dari hasil perhitungan

Aries Suharso 0422037701 Metode Tertutup

Documents

Transcript of Aries Suharso 0422037701 Metode Tertutup