Oleh : Dwi Kusuma Wardhani (140110060031)

Aplikasi Teori Renewal dalam Model Penggantian Mesin

Proses RenewalDefinisiSuatu counting process , dikatakan proses renewal jika waktu antar kedatangan saling bebas ( independent ) dan berdistribusi identik dengan distribusi sebarang F(t).

, 0N t t

Bagian I : PendahuluanBagian II : Model deterministik penggantian

mesinBagian III : Model stokastik penggantian mesinBagian IV : Perbandingan kebijaksanaan

Penggantian berdasarkan Waktu dengan

kebijaksanaan Penggantian berdasarkan

KuantitasBagian V : Kesimpulan

Dalam paper ini, diberikan contoh penerapan dari proses renewal dalam pemodelan permasalahan penggantian mesin. Bagian awal dijelaskan tentang model deterministik penggantian mesin untuk menggambarkan konsep dari siklus mesin, kemudian diikuti model stokastik dengan biaya umum. Kemudian akan dibandingkan dua kebijaksanaan penggantian yang popular : kebijaksanaan penggantian berdasarkan kuantitas dan kebijaksanaan penggantian berdasarkan waktu untuk permasalahan penggantian mesin tunggal. Dalam paper ini didapat hasil yang menarik bahwa biaya optimal dari kedua kebijaksanaan sama di bawah asumsi yang berlaku.

Model Deterministik Penggantian MesinSistem mesin terdiri dari mesin tunggal dan

mesin diasumsikan beroperasi secara kontinu. Setiap mesin yang diganti identik. Model hanya mempertimbangkan biaya penggantian dan biaya perawatan. Ketika mesin lama diganti cyle baru dimulai

: Waktu optimal penggantian mesin : Biaya rata-rata perawatan mesin pada

waktu : Biaya perawatan per cycle : Biaya penggantian mesin : Total biaya rata-rata

T

p t

M T

K

( )C T

t

merupakan biaya rata-rata perawatan mesin pada waktu maka biaya perawatan mesin dalam satu cycle adalah jumlah dari biaya perawatan dari awal waktu mesin digunakan sampai mesin tersebut diganti, atau dapat ditulis dengan :

Maka total biaya rata-rata adalah

p t

0

T

M T p t dt

M T

( )

K M TC T

T

t

Proposition 2.1Misalkan fungsi konveks, sehingga

maka nilai optimal T adalah akar persamaan dari

Bukti : ,

p t " 0p t

0

0T

K p t dt Tp T

( )K M T

C TT

2

( ) 1 ( )'( )

p T T K M T K Tp T M TC T

T T

2

4

' 2 ( )"

p T p T T p T T T K Tp T M TC T

T

3 2

4 4 4 4

' 22 2 ( )p T T TM TTK T p T

T T T T

Def

Karena maka sehingga fungsi naik di

Mengakibatkan untuk semuaDef Karena untukMaka turun untuk .

2( ) 2 2H T T p T Tp T M T

0 0H

2 2

4 3

' 2 2 ( ) 2 2 ' 2 ( ) 2"

T p T T K Tp T M T K p T T Tp T M TC T

T T

' 0H T " 0p T

2' "H T T p T

H T T

" 0C T 0T

0

T

R T K p t dt Tp T ' ' ' 0R T p T p T Tp T Tp T 0T

R T 0T

Maka danBerarti memiliki nilai minimum di Dari maka nilai T adalah akar

persamaan :

0 0R K limT

R T

( )C T 0,

' 0C T

0

0T

K p t dt Tp T

0 0 0

'T T T

p t dt Tp T p t p T dt tp t dt

Example 2.1Misalkan dengan , dan

maka optimal waktu penggantian adalah

" 0p t

p t t 2 0

1

1 K

2

'K Tp T M T

C TT

11

2

1

1

TK T

T

20

1 T

K T T T dtT

11

2 2

1 1

1 1 1

K K TT

T T

1

12

'1

K TC T T

T

12

11

1

KT

T

' 0C T

1

20

1

K T

T

1

21

T K

T

1 1KT

1

1KT

Model Stokastik Penggantian MesinMerencanakan penggantian mesin dibawah

ketidakpastian. Sebuah mesin tunggal yang beroperasi kontinu dengan :

( dapat dikatakan biaya penjualan mesin tua senilai dengan c-p(t))

: variabel acak kontinu lifetime : fungsi peluang lifetime yang

diketahui : fungsi distribusi kumulatif

lifetime: biaya penggantian mesin ketika

mesin gagal: biaya penggantian ketika mesin

direncanakan diganti pada waktu t

t

p t

f t

F T

c

Asumsi model : dan

Tujuan : mendapatkan nilai waktu penggantian mesin optimal T sehingga akan meminimumkan biaya rata-rata per unit waktu

Definisikan biaya rata-rata per unit waktu :

0p a limtp t c a

biaya per cycle

panjang cycle( ) E

EC T

E( biaya per cycle) = cP(penggantian gagal) +

p(T) P(penggantian direncanakan)

= c + p(T)

E( biaya per cycle) =

E(panjang cycle) =

0 0

1

1T T

cF T p T F T

c f t dt p T f t dt

0 0

min ,T

T

t T f t dt t f t dt T f t dt

0 0

1 1( )

1T T

T

cF T p T F T cF T p T F TC T

tf t dt T f t dt tf t dt T F T

P X T P X T

Proposition 3.1Tidak ada keuntungan merencanakan penggantian ketika distribusi lifetime adalah distribusi ekponensial yaitudan biaya penggantian memenuhi

Bukti :E(panjang cycle) =

E(biaya per cycle) =

Ekpektasi biaya per unit waktu :

tf t e

" 'p t p t

0

11

Tt t tt e dt Te e

1 t tc e p T e

1

t

t

c c p T eC T

e

Maka

Misalkan

didapat dan sehingga untuk suatuMaka turun, sehingga menandakan

bahwa tidak perlu adapenggantian

2

' ''

1

t t

t

e p T p T p T eC T

e

' ' tG T p T p T p T e

0 0G a

0G T 0T

C T

' " ' 1 0TG T p T p T e

Example 3.2Misalkan dengan

maka didapat dankondisi terpenuhi

tp t c a c e 0

' tp t c a e 2" tp t c a e " 'p t p t

Perbandingan kebijaksanaan Penggantian berdasarkan Waktu dengan kebijaksanaan Penggantian berdasarkan Kuantitas

Kebijaksanaan penggantian berdasarkan kuantitasBerdasarkan kebijaksanaan ini mesin diganti setelah menghasilkan unit barang/produk. Dalam model ini ditentukan jumlah optimal unit barang yang diproduksi.

: Jumlah optimal barang yang diproduksi : Biaya produksi untuk unit barang : Panjang siklus : Laju permintaan

Ekspektasi biaya per unit waktu :

biaya per cycle

panjang cycle( ) E

EC T

QQ

Q

f Q

E T

Q

E( biaya per cycle) = , E(panjang cycle) = E(T)

= 0 = 0 = 0 = 0

(4.1)

K f Q

QE T

2 2

' 1 ''

Q

QQ

K f Q K f QC Q

Q Q

f Q Q K f QdC Q f Q K f QC Q

dQ Q Q

' 0QC Q 2

'Q f Q K f Q

Q

'Q f Q K f Q

'Qf Q K f Q

'Qf Q K f Q

' 0K f Q Qf Q

Jika telah didapat optimal atau maka total biaya optimal adalah

Kebijaksanaan penggantian berdasarkan waktu

Dalam kebijaksanaan ini sebuah mesin diganti setiap periode T. Dalam model ini ditentukan waktu penggantian optimal T setiap siklus produksi

Ekspektasi biaya per unit waktu

E( biaya per cycle) = , E(panjang cycle) = ,

Maka total biaya per unit waktu adalah

Q *Q

*

*

K f Q

Q

biaya per cycle

panjang cycle( ) E

EC T

K f E Q T E Q T

T

K f E Q K f TC T

T T

2 2

' 1 '' TT

f T T K f T Tf T K f TdCC T

dT T T

= 0 = 0

(4.2) Mencari optimal dengan cara mencari akar

persamaan (4.2) Karena persamaan (4.1) memiliki akar yang unik

maka dapat disimpulkan bahwa

Jika telah didapat T optimal atau maka total biaya adalah

2

'0

Tf T K f T

T

' 0TC T

'Tf T K f T

'K f T Tf T

* *Q T

*T

***T

K f T K f QC T

QT

*

* Q

K f QC Q

Q

Example 4.2Misalkan dengan dan , konveks

maka dengan kebijakan berdasarkan kuantitas didapat :

dan sedangkan dengan kebijakan berdasarkan waktu didapat :

dan

1

1

*1T

KC T

f Q Q 0 2

f Q

1

*1

KQ

11

*1Q

KC Q

1

1*

1

KT

KesimpulanKebijaksanaan penggantian berdasarkan

waktu lebih disukai karena :1.Nilai optimal Q tidak bilangan bulat,

pembulatan Q akan mengurangi optimalitas

2.Dengan kebijaksanaan berdasarkan waktu, akan dihasilkan rencana penggantian mesin yang tetap. Maka akan membuat pemesanan mesin lebih cepat sehingga mengurangi biaya pembelian mesin.