APLIKASI JARAK TERDEKAT PADA AGEN BUS PARIWISATADisusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pemodelan Matematika Dosen Pengampu : Tuharto, M.si

Oleh :

Epri Kurniawan 06305144031 Program Study Matematika FAKULTAS MATEMATIKA dan ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2008/2009 LATAR BELAKANG MASALAHMenentukan jarak terdekat untuk dapat sampai ketempat tujuan. Hal inilah yang selalu ada dibenak kita saat ingin berperergian kesuatu tempat yang diinginkan. Misalnya saja sebuah Perusahaan Bus Pariwisata yang berada di kota

A ingin mengantarkan para pelanggannya untuk dapat berlibur disalah satu tempat rekreasi di kota J. Pada kenyataannya bus tersebut harus melalui kota B, C, D, E, F, G, H, dan Kota I pastinya setiap jarak antar kota tersebut berbeda. Jika perusahaan harus turun langsung ke kehidupan nyata atau dengan kata lain perusahaan tersebut menggunakan Model Langsung maka nantinya akan banyak kerugian-kerugian dari pada keuntungannya. Kerugiannya adalah banyaknya biaya yang dikeluarkan untuk dapat menentukan jarak terdekatnya, kerugiannya yang lain adalah waktu dan tenaga yang digunakan akan cukup banyak untuk dapat menentukan jarak terdekatnya. Sedangkan keuntungannya hampir tidak begitu tampak karena banyaknya kekurangan, hanya saja keuntungannya pada saat terjun secara langsung kita dapat tahu secara pasti. Karena dipandang banyaknya kerugian jika menggunakan Model Langsung, maka perusahaan mencoba menggunakan Model Analog yaitu model yang biasanya meminjam sistem lain yang bersifat sama dengan objek. Jika menggunakan Model Analog perusahan tersebut diuntungkan salah satunya perusahan tersebut tidak turun secara langsung ke kehidupan nyata akan tetapi perusahaan tersebut hanya dapat mengamati dan mengkalkulasi, sedangkan kerugiannya adalah kurang valiednya hasil yang didapat jika menggunakan model ini karena tidak semua objek mempunyai sifat yang sama. Diatas telah dibahas tentang kerugian dan keuntungan menggunakan Model Langsung dan Model Analog, karena kedua model tersebut kurang meyakinkan maka dari itu di pilih Model Matematika untuk menentukan jarak yang terdekat, karena model ini dianggap paling tepat untuk menentukan jarak terdekat, dengan cara menganalisa dan mengkalkulasi secara teliti kita dapat menentukan jarak terdekatnya tanpa harus turun secara langsung kekehidupan nyata. Dalam menentukan jarak terdekat dengan menggunakan Program Dinamik, dalam program ini pemecahannya melalui tahapan-tahapn yang lebih kecil dan berurutan. Setiap tahapan disebut juga sebagai titik keputusan yang dibuat pada satu tahap dan mempengaruhi keputusan-keputusan pada tahap berikutnya. MODEL NYATA

Dalam program dinamik pemecahan masalahnya dilakukan dengan menyelesaikan pertahap pada setiap tahapan-tahapan, pada setiap tahapan terdapat kondisi awal dan kondisi akhir dimana pada tahapan tersebut dibuat status terakhir pada tahapan tergantung keadaan status awal dan keputusan yang dibuat pada tahapan yang bersangkutan, status terakhir pada suatu tahapan merupakan input bagi tahapan berikutnya. Variabel Keputusan dan Hasil merupakan Keputusan yang dibuat pada setiap tahapan merupakan keputusan yang berorientasi kepada return yang diakibatkannya. Fungsi transisi menjelaskan secara pasti bagaimana tahapan-tahapan saling berhubungan, fungsi ini berbentuk fungsi hubungan antara status pada setiap tahapan yang berurutan. Secara umum fungsi tansisi tersebut adalah selisih kondisi awal dengan keptusan yang dibuat sama dengan kondisi terakhir. Optimasi Tahapan merupakan penetuan keputusan optimal pada setiap tahap dari berbagai kemungkinan nilai status inputnya. Pada berbagai program komputer biasanya menggunakan fungsi rekursif dimana nilai sebuah variabel pada fungsi itu merupakan nilai kumulatif dari nilai variabel tersebut pada tahap sebelumnya, dengan fungsi umumnya adalah jumlahan retrun yang terakhir dengan retrun optimal pada tahap sebelumnya nilai input status akhir dan keputusan pada tahap terakhir. Prosedur optimasi diawali dari tahap akhir menuju tahap awal. Karakteristik program dinamis adalah : a. Persoalan dapat dipisah menjadi beberapa tahap, dimana setiap tahap membutuhkan keputusan kebijakan yang standar dan saling berhubungan. b. Setiap tahapan memiliki sejumlah status. c. Setiap keputusan kebijakan yang dibuat pada suatu tahap, status pada tahap tersebut ditransformasi ke dalam status yang berkaitan pada tahap berikutnya. hubungan antara status pada tahap yang berurutan bisa bersifat deterministik atau probabilistik. d. Solusi pada program dinamik berprinsip kepada optimalisasi. e. Keputusan pada tahapan berikutnya bersifat independen terhadap keputusan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan program dinamik, dimulai dari solusi awal pada suatu tahap dan secara berurutan menuju tahap berikutnya dengan proses yang terbalik

f. Solusi optimal yang dihasilkan pada setiap tahap berprinsip kepada hubungan dalam bentuk fungsi rekursif. Secara umum bentuk fungsi rekursifnya adalah maksimal atau minimal akibat dari desition variable sama dengan hasil optimal dari keputusan tahapan terakhir.

MODEL MATEMATIKADari Model Nyata diatas kita dapatkan beberapa rumus dengan melakukan pemisalan sebagai berikut : Kondisi Awal tersebut adalah Sn Kondisi Akhir tersebut adalah Sn-1 Keputusan pada setiap tahap tersebut adalah Dn Keputusan terakhir pada setiap tahap tersebut adalh Dn-1 Retrun yang diakibatkan oleh keputusan pada setiap tahap tersebut adalah Rn Retrun pada setiap tahap dari nilai status input tersebut adalah fn Hasil optimal dari keputusan pada setiap tahapan tersebt adalah f*n Decsion Variabel tersebut adalah Xn Dari model nyata diatas kita dapatkan rumus umum dari fungsi transisi yaitu sebagai berikut :

Sn-1 = Sn DnSedangkan fungsi rekursifnya adalah

fn(Sn, Dn) = Rn + f*n-1(Sn-1, Dn-1)Solusi Optimal yang dihasilkan pada setiap tahap secara umum berbentuk sebagai berikut :

f*n(Sn) = max/min {fn(Sn, Xn)} EVALUASI MODELSebuah Bus Pariwisata ingin mengantarkan penumpang dari kota A ke

kota J untuk berlibur dikota J. dari Kota A ke Kota J dapat ditempuh dengan melalui kota B, C, D, E, F, G, H, dan I.. panjang jalan yang menghubungkan kotakota tersebut tersaji dalam data dibawah ini (dalam satuan Km): Jarak dari Kota A ke Kota B, C, dan D Jarak dari Kota B ke Kota E, F, dan G Jarak dari Kota C ke Kota E, F, dan G Jarak dari Kota D ke Kota E, F, dan G Jarak dari Kota E ke Kota H dan I Jarak dari Kota F ke Kota H dan I Jarak dari Kota G ke Kota H dan I Jarak dari Kota H ke Kota J Jarak dari Kota I ke Kota J = 3, 5, dan 2 = 6, 9 dan 4 = 2, 7, dan 3 = 5, 9 dan 4 = 3 dan 7 = 2 dan 5 = 7 dan 3 =6 =8

Dari data tersebut diatas rute manakah yang harus dipilih oleh Agen Bus Pariwisata tersebut sihingga jarak yang ditempuh oleh Bus tersebut adalah jarak yang paling dekat?

PenyelesaianDiketahui dari data diatas dapat kita gambarkan sebuah yang menghubungkan tiap-tiap kota sebagai berikut :

Angka setiap

pada garis

penghubung merupakan jarak. Dari gambar rute tersebut, maka persoalan ni dapat dibagi menjadi empat tahap (nomer tahap dimulai dari kota tujuan ke kota asal). Sehingga rute tersebut menjadi : diatasn

Setelah didapat tahapan-tahapan seperti diatas maka barulah dilakukan perhitungan sebagai berikut : Tahap 1 X1 S1 H I Tahap 2 X2 S2 E F G Tahap 3 X3 S3 B C D Tahap 4 X4 S4 A f4(S4,X4) = Cs4,x4 + f3* (S3) B C D 3 + 15= 18 5 + 11 = 16 2 + 14 = 16 f4* (S4) 16 X4* C dan D f3(S3,X3) = Cs3,x3 + f2* (S2) E F G 6+9= 2+9= 15 5+9= 11 14 9+8= 7+8= 17 9+8= 15 17 4 + 11 = 15 3 + 11 = 14 4 + 11 = 15 f3* (S3) 15 11 14 X3* E dan G E E f2(S2,X2) = Cs2,x2 + f1* H I (S1) 3+6=9 7+8= 2+6=8 5+7= 15 7 + 6 = 13 3+8= 12 11 f1* (S2) 9 8 11 X2* H H I f1(S1,X1) = Cs1,x1 10 6 8 f1* (S1) 6 8 X1* J J

Pembacaan table-tabel ini untuk menentukan tingkat optimal dari tahap 4 tahap 3 tahap 2 tahap 1 Rute optimal dengan jarak terdekat adalah : A C E H J, dengan total jarak = 5 + 2 + 3 + 6 = 16 ( Satuan Km), atau A D E H J, dengan total jarak = 2 + 5 + 3 + 6 = 16. ( Satuan Km) Jadi jarak terdekat yang harus ditempuh oleh agen bus pariwisata tersebut adalah 16 Km, dengan melalui kota A, C, E, H, dan J atau dengan melalui kota A, D, E, H, dan J

DAFTAR PUSTAKA Tuharto. 2001. Pengantar Model Matematika. Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta Imam Karamul. Makalah Penelitian Operasional. Program Dinamik Caturyati.2008. Penelitian Operasional, Program Dinamik. Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta

Nama : Epri Kurniawan N I M : 06305144031 Prody : Matematika NR 2006

APRESIASI DIRI

Untuk dapat menyelesaikan sebuah Model Matematika diperlukan tingkat ketelitian yang sangat tinggi, sehinggga dibutuhkan pemikiran yang benar-benar fokus dan dan benar-benar jeli, selain itu dalam pembuatan model matematika juga dibutuhkan kesabaran dan konsentrasi serta penalaran terhadap suatu masalah yang akan dimodelkan. Pada kesempatan kali ini maslah yang diangkat pada makalah ini adalah masalah pencarian jalur terpendek yang nantinya akan dilalui oleh agen bus tersebut. Selama pembuatan makalah ini banyak hambatan serta kesulitan yang menghambat penyelesaian makalah ini, tetapi banyak juga pengalaman yang saya dapatkan selama saya menyelesaikan makalah ini. Pengalaman yang saya dapatkan antara lain memberikan gambaran kepada saya tentang pembuatan skripsi yang nantinya juga memerlukan pemahaman akan materi yang akan dijadikan sebagai bahan yang akan dikaji dalam skipsi nantinya. Sedangkan berbagai hambatan yang saya alami tersebut berasal dari diri saya sendiri antara lain sebagi berikut : a. Kurangnya pengalokasian waktu untuk dapat menyelesaikan makalah pemodelan ini. b. Pemahaman yang kurang, hal ini merupakan salah satu masalah yang timbul disaat menyelesaikan makalah pemodelan ini. c. Terpecahnya konsentrasi hal tersebut terjadi karena banyaknya tugas dan hal tersebut terjadi karena kurangnya pengalokasian waktu untuk dapat menyelesaikan makalah pemodelan ini. Walaupun banyaknya hambatan yang dialami dalam pembuatan makalah pemodelan ini, usaha, semangat, serta doalah yang menghantarkan sehingga saya dapat menyelesaikan makalah pemodelan ini, dengan melakukan konsultasi kepada dosen pengampu, bertanya kepada teman-teman dan memahani serta mendalami materi yang akan disusun menjadi sebuah makalah pemodelan hal inilah yang memberikan motivasi sehingga terselesainya makalah pemodelan ini. Puji syukur, alhamdulillah, pada akhirnya saya dapat menyelesaikan penyusunan model matematika untuk masalah pencarian jarak terdekat pada agen bus pariwisatam dengan tepat waktu. Meskipun hasilnya sangat jauh dari sempurna dan belum bisa model yang saya buat tersebuat adalah model yang baik

dan. Tetapi saya berharap makalah ini dapat memberi manfaat, antara lain: a. Sebagai penambahan wawasan tentang pentingya matematika dalah kehidupan nyata. b. Sebagai ajuan untuk dapat menentukan jarak terdekat disaat kita akan berpergian. c. Dapat dijadikan sebagai bahan acuan bagi perusahaan agen bus pariwisata dalam penentuan jarak terdekat yang akan dilalui, sehinga nantinya diharapkan akan membantu dalam meminimalisir dana yang dugunakan. Tak lupa saya sampaikan terima kasih kepada bapak Tuharto, M.Si atas bimbingannya dalam menyusun model matematika ini. Saya sampaikan pula terima kasih kepada teman-teman yang telah memberi kritik dan saran. Karena bimbingan, kritik dan saran sangat bermanfaat untuk membantu saya berpikir dinamis serta terstuktur dan sebagai acuan awal dalam penyusunan tugas mata kuliah yang lain serta sebagi acuan dan gambaran dalam pembuatan tugas akhir nantinya.