*APLIKASI INTEGRAL

*7.1 Menghitung Luas Daeraha.Misalkan daerah abf(x)DLuas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar)2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =

*Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva sumbu x, dan x = 2.

2Luas irisanLuas daerah

*b) Misalkan daerahh(x)g(x)abLuas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar)2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =Dh(x)-g(x)

*Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola

Titik potong antara garis dan parabolay=x+4-23x = -2, x = 3Luas irisan

* Sehingga luas daerah :Ctt :Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubahuntuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua ataulebih

*Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,dan y = -x + 2JawabTitik potong 2x = -2, x = 1y=-x+21Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagianLuas irisan ILuas irisan II

*Luas daerah ILuas daerah IISehingga luas daerah

*c). Misalkan daerahh(y)g(y)cdDLuas D = ?Langkah :Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar)2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =h(y)-g(y)

* Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dan Jawab :Titik potong antara garis danparabolay = -2 dan y = 1-21Luas irisan

*Sehingga luas daerah :Ctt :Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih

*7.2 Menghitung volume benda putar7.2.1 Metoda Cakram

a. Daerah diputar terhadap sumbu xabf(x)DBenda putarDaerah D? Volume benda putar

*abf(x)DUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danjari-jari f(x).sehinggaf(x)

*Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x 2Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal SehinggaVolume benda putar

*b. Daerahdiputar terhadap sumbu ycdx=g(y)DDaerah DBenda putar? Volume benda putarcd

*Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. cdx=g(y)DJika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).sehingga

*Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y4Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperolehcakram dengan jari-jari dan tebal Sehingga Volume benda putar

*7.2.2 Metoda Cincina. Daerah diputar terhadap sumbu xh(x)g(x)abDDaerah DBenda putar? Volume benda putar

*h(x)g(x)abDUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).sehinggah(x)g(x)

*Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1 2y=-11DJika irisan diputar terhadap garis y=1Akan diperoleh suatu cincin denganJari-jari dalam 1 dan jari-jari luar SehinggaVolume benda putar :

* 7.2.3 Metoda Kulit TabungDiketahuif(x)abDJika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putarDaerah DBenda putarVolume benda putar ?

*Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya. f(x)abDJika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal xf(x)xsehingga

*Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y 2DxSehingga Volume benda putar

*Catatan :Metoda cakram/cincinIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putarJika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang samaContoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap Garis y = 4b. Garis x = 3

*a. Sumbu putar y = 4(i) Metoda cincin2Dy=4Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =Jari-jari luar =4SehinggaVolume benda putar

*(ii) Metoda kulit tabung2Dy=4yJika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh kulit tabung denganJari-jari = r =Tinggi = h = Tebal = Sehingga Volume benda putar

*b. Sumbu putar x=3(i) Metoda cincin2Dx=3Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan Jari-jari dalam =1Jari-jari luar =3Sehingga Volume benda putar

*(ii) Metoda kulit tabung2Dx=3xJika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung denganTinggi = h =Jari-jari = r =33-x3-xTebal =Sehingga Volume benda putar

*7.3 Panjang KurvaPersamaan parameter kurva dibidangx = f(t)y = g(t)Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebuttitik ujung dari kurva.Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika (1)(i) dankontinu pada [a,b]Kurva tidak berubah sekonyong-konyong(ii)dantidak secara bersamaan nol pada (a,b)

*Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitungpanjang kurvaLangkah1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagianPartisi pada [a,b]Paritisi pada kurva

*2. Hampiri panjang kurva panjang busurpanjang tali busur Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busurDengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat sehingga

*dengan sehingga Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busurDengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

*Ctt:Jika persamaan kurva y=f(x),Jika persamaan kurva x=g(y),

*Contoh : Hitung panjang kurva1. Panjang kurva

*2.antara x =1/3 dan x=7Jawab :

*Soal LatihanA. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh1.2.3. y = x , y = 4x , y = -x +24. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2.

*B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x1.2.3.4.y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /45.

*C. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap : (1) sumbu x(4) sumbu y (2) garis x = -1(5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4D. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1

*E. Hitung panjang kurva berikut1.2.3.4.5.6.