APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUK ESTIMASI · PDF filetiga jenis teknik popular dalam teknik...
Transcript of APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUK ESTIMASI · PDF filetiga jenis teknik popular dalam teknik...
APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUKESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL
PROPOSAL DISERTASI
diajukan untuk memenuhi syarat kelulusan
Mata Kuliah EI7096:Penyusunan Proposal
Institut Teknologi Bandung
Oleh
Koredianto Usman
NIM : 33213002
(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2014
ABSTRAK
APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUK ESTIMASIARAH KEDATANGAN SINYAL
Oleh
Koredianto Usman
NIM : 33213002
Proposal ini berisi tentang rencana penelitian penggunaanteknik compressivesensinguntuk pengurangan sinyal pada skema estimasi arah kedatangan sinyal.Algoritma penentuan arah sinyal klasik secara umum terdiridari dua skema besaryaitu skema yang berbasis maximum likelihood (Delay and Sumdan Capon)dan skema berbasissub-space(MUSIC dan ESPRIT). Pada perkembangannya,algoritma yang berbasissub-spacememperoleh perhatian yang besar di kalanganpeneliti karena kemampuan mendeteksi beberapa sumber sekaligus dengan resolusipemisahan yang tinggi. Meski memiliki keunggulan ini, algoritma estimasi arahkedatangan berbasissub-spacememiliki permasalahan komputasi berat yang antaralain disebabkan karena proses perhitungan matriks kovariansi, analisiseigendanexhaustive searchpada arah kedatangan. Evolusi dan modifikasi pada algoritmaberbasissub-spaceumumnya berupa modifikasi pada penyederhanaan komputasipada sisi penyederhaan dan transformasi nilai eigen dari kompleks ke real.Modifikasi ini kemudian dituangkan dalam algoritma baru seperti Root-MUSIC,Unitary MUSIC, Beamspace-MUSIC, Unitary ESPRIT, dan Beamspace ESPRIT.Perkembangan pada bidangcompressive sensingmembuka arah yang berbedadalam penyederhanaan skema yaitu dengan cara pengurangan sampel. Terdapattiga jenis teknik popular dalam teknikcompressive sensinguntuk estimasi arahkedatangan sinyal, yaitu teknik sparsitas waktu, sparsitas spasial, dan sparsitassudut. Teknik sparsitas sudut menjadi fokus dalam penelitian ini karena teknikini dapat mengestimasi arah kedatangan sinyal dengan satu sampel saja. Meskidemikian, masih terdapat kekurangan dari skema ini, yaitu sensitif terhadapnoise. Perbaikan yang diusulkan adalah memperluas algoritma iniagar dapatmengakomodasimulti-snapsampel. Hasil simulasi awal menunjukkan perbaikanakurasi estimasi pada lingkungan dengan SNR kurang dari 5 dB.Pengembanganlainnya adalah penanganan hasil estimasi yang jauh menyimpang (outliers) untukmeningkatkan akurasi lebih tinggi lagi.
Kata kunci : direction of arrival estimation, compressive sensing, convexoptimization
i
APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUK ESTIMASIARAH KEDATANGAN SINYAL
Oleh
Koredianto Usman
NIM : 33213002
(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui
Tim Pembimbing
Tanggal 13 Mei 2014
Ketua Anggota
(Prof. Dr. Andriyan Bayu Suksmono) (Prof. Dr. Hendra Gunawan)
NIP : 196607051996031002 NIP : 196412291988021001
ii
DAFTAR ISI
ABSTRAK i
DAFTAR ISI ii
I PENDAHULUAN 1
I.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Kontribusi dan Dampak Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II KAJIAN LITERATUR 6
II.1 Estimasi Arah Kedatangan Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1.1 Model Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1.2 Algoritma Klasik Estimasi arah Kedatangan . . . . . . . .. 8
II.2 Compressive Sensing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.2.1 Terminologi PadaCompressive Sensing. . . . . . . . . . . 16
II.2.2 Model Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.3 Compressive SensingPada Estimasi Arah Kedatangan . . . . . . . . 21
III METODOLOGI 23
III.1 Persiapan Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III.2 Persiapan Lingkungan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
III.3 Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III.4 Analisis Perfomansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.5 Skema yang ditinjau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV TIMELINE RENCANA PENELITIAN 31
V SIMULASI PENDAHULUAN 33
V.1 Simulasi dalam lingkungan berderau . . . . . . . . . . . . . . . . .33
i
V.2 Simulasi perbandingan dengan algoritma klasik . . . . . . .. . . . 34
V.3 Simulasi skema yang diusulkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ii
BAB I PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Estimasi arah kedatangan sinyal merupakan salah satu tugasyang dikerjakan radar
di samping dua tugas lainnya yaitu estimasi jarak dan kecepatan objek. Dengan
demikian teknik estimasi arah kedatangan memiliki usia setua usia radar. Estimasi
arah kedatangan memfokuskan diri pada tugas menentukan sudut kedatangan
sinyal. Pada sistem yang lebih maju, estimasi arah kedatangan sinyal disyaratkan
untuk mampu mendeteksi arah kedatangan beberapa sumber sekaligus.
Pada perkembangannya, radar mula-mula dikembangkan pada kapal laut untuk
keperluan mendeteksi objek penghalang di depan kapal termasuk keberadaan kapal
lain yang ada di sekitar. Pada masa Perang Dunia I dan II, radar berkembang sangat
pesat untuk kebutuhan pertahanan. Setelah Perang Dunia II,perkembangan radar
diarahkan untuk memenuhi kebutuhan sipil seperti kelengkapan sistim monitor
udara di bandara.
Memasuki era digital, teknik pengolahan sinyal berubah dari analog menjadi digital.
Pada masa ini berkembang teknik estimasi arah kedatangan yang maju yang
membuka jalan bagi berbagai perkembangan teknologi radar canggih pada masa
kini. Beberapa aplikasi terbaru di bidang ini adalahsistem ground penetrating
radar (GPR) danthrough the wall radar(TTWR). Ground penetrating radar
adalah sistem radar yang digunakan untuk mendeteksi benda di bawah permukaan
tanah, sedangkanthrough the wall radaradalah teknik radar yang digunakan untuk
mendeteksi benda atau manusia yang berada di balik dinding.
Teknik estimasi arah kedatangan termasuk salah satu aplikasi dariarray processing
yang memiliki sejarah yan cukup panjang. Sebagai contoh, Capon mengusulkan
skema estimasi arah kedatangan sinyal pada publikasinya tahun 1969 [1]. Usulan
dari Capon ini selanjutnya menjadi popular sebagai algoritma Capon atau
Minimum Variance Distortionless Respons(MVDR). Di sisi lain Applebaum
[2] mengusulkan skemadelay and sum(DAS) pada tahun 1976. Algoritma ini,
karena kesederhanaannya, yang banyak diadopsi untuk keperluan implementasi
di lapangan. Perkembangan algoritma memasuk era baru dengan usulkannya
penggunaan teknikeigen analysisantara lain pada algoritm MUSIC pada tahun
1986 [3]. Skema berbasiseigen analysisini menarik perhatian banyak peneliti
karena kemampuannya mendeteksi beberapa sinyal datang sekaligus dengan
1
resolusi yang tinggi.
Meski memiliki resolusi yang tinggi, algoritma MUSIC memiliki kekurangan
utama pada beratnya proses komputasi. Permasalahan komputasi terletak pada
eigen analysisdari matriks kovariansi kompleks sertaexhaustive searchpada
semua sudut kedatangan. Permasalahan ini membuat para peneliti lain berupaya
untuk memodifikasi algoritma MUSIC ini untuk menghindari proses perhitungan
eigen analysis. Alternatif lainnya adalah melakukan transformasi matriks
kovariansi kompleks menjadi matriks kovariansi riil, sehingga eigen analysis
dapat dilakukan pada lingkungan bilangan riil yang lebih cepat dibandingkan
dengan lingkungan bilangan kompleks. Skema modifikasi dengan transformasi ini
menghasilkan algoritma varian dari MUSIC yang disebut dengan Unitary-MUSIC
[4]. Transformasi yang mengubah matrik kovariansi dari kompleks menjadi riil ini
dipelopori oleh Anna Lee dalam tulisannya tentangcentro-hermitian matrix[5].
Penggunaannya untuk keperluan penyederhaan matrik kovariansi kompleks telah
dilakukan oleh Huarng, penelitibeamforminglainnya dari Taiwan [6]. Modifikasi
lain yang dilakukan adalah melakukan proyeksi matriks kovariansi pada dimensi
yang lebih kecil. Skema ini kemudian menghasilkan algoritma varian lainnya yaitu
Root-MUSIC [7].
Roy et al. [8] melakukan pendekatan berbeda dalam upaya mengurangi
kompleksitas komputasi, bukan pada upaya untuk menyederhanakan perhitungan
eigen analysis, tapi pada sudut pandang bahwa susunan linier dapat dibagi dalam
dua sub-array identik dengan yang satu adalah pergeseran linier dari yanglain.
Dengan cara pandang ini, Roy et al. menghindari proses perhitunganexhaustive
searchyang terdapat pada algoritma MUSIC. Algoritma ini terkenal dengan nama
ESPRIT (Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariant Techniques).
Peneliti lain mengkombinasikan algoritma ESPRIT ini denganupaya pengurangan
perhitunganeigen analysisseperti halnya algoritma MUSIC, sehingga muncul
varian baru dari ESPRIT yaitu Unitary ESPRIT [9] dan Beam ESPRIT [10].
Perkembangan baru di bidangcompressive sensingmemungkinkan skema
mengurangi sampel sinyal dariN menjadi k (k«N) dengan asumsi sinyal
yang disampling bersifatsparse. Dipelopori oleh Donoho [11], Candes [12],
dan Baraniuk [13], teknikcompressive sensingmembuka kemungkinan baru
pada penyederhanaan perhitungan skema estimasi arah kedatangan sinyal yaitu
pengurangan jumlah sampel sinyal. Upaya awal telah dilakukan oleh beberapa
peneliti untuk menggabungkan teknikcompressive sensinguntuk skema estimasi
arah kedatangan seperti pada [14], [15], [16], [17], [18].
2
Di antara penelitian tersebut, skema yang diajukan oleh Goronitsky dan Rao [14]
banyak menarik perhatian dari peneliti lain. Dengan asumsibahwa sinyal yang
datang memiliki sifatsparsedalam arah kedatangan, Goronitsky dan Rao berhasil
mengunakan satu sampel sinyal saja untuk mengestimasi arahkedatangan sinyal.
Meski memiliki sifat yang menjanjikan ini, skema Goronitsky dan Rao memiliki
kekurangan pada sensitifitas padanoise. Perbaikan dari kekurangan ini merupakan
fokus dari penelitian yang diajukan ini.
I.2 Rumusan Masalah
Arah baru dari penyederhanaan komputasi dari skema estimasi arah kedatangan
sinyal dilakukan dengan pengurangan sampel menggunakan teknik compressive
sensing[11], [12]. Penelitian di bidang ini antara lain adalah dengan algoritma
FOCUSS [14],time-spatialCS [16], dancompressiveMUSIC [18]. Meskipun
teknik compressive sensingini tampak menjanjikan, namun terdapat permasalahan
inherentterhadap sampel yang sedikit yaitu ketahanan terhadapnoiseyang rendah
[19]. Pada lingkungan dengannoise yang tinggi, seperti redaman sinyal akibat
hujan atau sinyal melewati penghalang alam seperti hutan, akurasi estimasi arah
kedatangan menurun secara signifikan. Penurunan ini berdampak pada kesalahan
penentuan arah kedatangan sinyal. Perbaikan yang diusulkan pada penelitian ini
adalah penggunaan skemamulti-snap samplinguntuk mengkompensasi pengaruh
noisetersebut. Teknikmulti-snap samplingini lebih lanjut dapat ditingkatkan lagi
akurasinya dengan teknikoutliers removal. Teknikoutliers removalmengacu pada
pembuangan hasil estimasi yang jauh menyimpang dari nilai rata-rata hasil estimasi.
I.3 Tujuan
Tujuan utama dari penelitian ini adalah mencapai skemacompressive sensing
berbasis sparsitas sudut kedatangan dengan tingkat ketahanan terhadapnoiseyang
tinggi. Skemacompressive sensingini bekerja untuk membantu algoritma estimasi
arah kedatangan sinyal. Penggabungan keduanya diharapkandapat menghasilkan
teknik estimasi arah kedatangan dengan sampel sedikit. Sampel yang sedikit ini
berguna pada lingkungan saluran telekomunikasi dengan kecepatan yang terbatas.
Untuk mencapai tujuan utama ini, maka diperlukan beberapa tujuan antara, yaitu:
3
1. memahami dan mensimulasikan skema-skema klasik dari estimasi arah
kedatangan sinyal,
2. memahami dan mensimulasikan teknik-teknikcompressive sensing,
3. memahami dan mensimulasikan penggabungan teknikcompressive sensing
dengan skema estimasi arah kedatangan sinyal,
4. memahami dan mensimulasikan pengaruhnoisedalam penggabungan teknik
compressive sensingdan skema estimasi arah kedatangan sinyal tersebut,
5. memperbaiki, memodifikasi, mengusulkan teknikcompressive sensingbaru
agar penerapannya pada skema estimasi arah kedatangan sinyal menghasilkan
skema yang tahan terhadapnoise,
6. membandingkan kinerja skema yang dihasilkan dengan skema estimasi arah
kedatangan klasik.
I.4 Kontribusi dan Dampak Penelitian
Penelitian penerapan teknikcompressive sensingpada skema estimasi arah
kedatangan sinyal dimaksudkan untuk mengurangi jumlah sampel yang diperlukan
untuk menentukan arah kedatangan sinyal. Dengan jumlah sampel yang sedikit,
maka sistem radar yang bekerja pada jaringan terdistribusiakan semakin
mudah diimplementasikan. Jumlah sampel yang sedikit juga memungkinkan
untuk menempatkan unit-unit radar pemantau di daerah dengan terpencil dengan
bandwidth komunikasi yang sangat terbatas. Kontribusi penelitian ini dapat
dituliskan dalam poin-poin berikut:
1. memodifikasi skema yang ada agar dapat bekerja pada lingkungan dengan
noisetinggi,
2. memperluas skema yang ada dari teknik satu sampel menjadimulti-sampel
(multi snap),
3. memperluas kajian dan pengembangan dari skemacompressive sensingyang
ada,
4. menemukan teknik-teknik baru di bidangcompressive sensing.
4
Adapun penelitian ini diharapkan memberikan dampak antaralain:
1. membuka peluang pengimplementasian skema estimasi arahkedatangan
sinyal dengan jumlah sampel yang sangat sedikit,
2. membuka peluang sistem radar dengan topologi tersebar, dengan unit jauh
yang hanya bertugas mengumpulkan sedikit data sehingga menghemat energi
dan sumber daya,
3. membuka peluang sistem radar yang dapat bekerja denganbandwidthsempit
yang biasanya terdapat di daerah-daerah terpencil.
4. membuka ruang penelitian dan aplikasi lain daricompressive sensingdengan
jumlah sampel sangat sedikit serta bekerja cukup baik pada lingkungan
dengannoisetinggi.
5
BAB II KAJIAN LITERATUR
Pada bagian kajian literatur ini, akan dibahas tiga macam kajian literatur yaitu kajian
literatur tentang algoritma estimasi arah kedatangan sinyal, kajian literatur tentang
compressive sensing, dan kajian tentang penerapan teknikcompressive sensing
untuk aplikasi estimasi arah kedatangan sinyal. Pada setiap bagian, akan dibahas
literatur-literatur dari setiap skema serta literatur-literatur terkait lainnya. Sebelum
pembahasan tentang kajian literatur tersebut dilakukan, landasan teori serta model
matematisnya diperkenalkan terlebih dahulu.
II.1 Estimasi Arah Kedatangan Sinyal
II.1.1 Model Matematika
Skema estimasi arah kedatangan sinyal diturunkan dari model matematik
dilanjutkan dengan penyederhanaan-penyederhaannya. Untuk keperluan pemodelan
ini, ditinjau susunanarray antena yang berupa elemen antena isotropis yang disusun
secara linier dengan jarak konstan (Gambar II.1). Susunan antena ini disebut dengan
Uniform Linear Array(ULA). Dengan asumsi bahwa sinyal datang pada jarak yang
yang relatif jauh maka berkas sinyal yang datang pada susunan antena tersebut dapat
dianggap sejajar.
a1
a2
a3
aM
d
d
Gambar II.1: Contoh Susunan ULA
Dengan menganggap sinyal paling atas sebagai referensi, maka perbedaan jarak
tempuh gelombang dari antena yang atas dengan antena yang tepat bawah adalah
6
sebesar:
∆ = d · sin θ (II.1)
d
d
θ
l1
l2
l3
lM
∆
2∆
(M − 1)∆
Gambar II.2: Sistem ULA dengan satu sumber datang pada sudutθ.
Perbedaan jarak ini menyebabkan keterlambatan fasa sebesar:
ψ =2 · π
λ· d · sin θ (II.2)
Dengan menotasikan sinyal sumber sebagais(n) dan sinyal yang datang pada
antena berturut-turut sebagaix1(n), x2(n) dan x3(n) , maka persamaan vektor
sinyal datangx(n) dapat ditulis dalam vektor menjadi:
x(n) =
1
e−j · 2π
λ· d · sin(θ)
e−j · 2π
λ· (N−1) · d · sin(θ)
· s(n) (II.3)
Persamaan di atas disingkat menjadi:
x(n) = a(θ) · s(n) (II.4)
Dengana(θ) disebut sebagaisteering-vector. Jika jumlah antena digeneralisasi
7
menjadi M, makasteering-vectora(θ) dapat ditulis sebagai:
a(θ) =
1
e−j · 2π
λ· d · sin(θ)
...
e−j · 2π
λ· (N−1) · d · sin(θ)
(II.5)
Pada kondisi terdapat beberapa sumber yang datang(k), maka persamaan sinyal
sumber juga dapat digeneralisasi menjadi:
s(n) =(s1(n) s2(n) · · · sk(n)
)T
(II.6)
II.1.2 Algoritma Klasik Estimasi arah Kedatangan
Algoritma estimasi arah kedatangan sinyal yang dijadikan referensi pada penelitian
ini adalah empat macam algoritma estimasi arah kedatangan klasik yang populer:
Algoritma Delay-and-Sum(DAS), algoritma Minimum Variance Distortionless
Response(MVDR), algoritma Multiple Signal Classification(MUSIC), dan
algoritma Estimation of Signal Parameters via Rotational InvarianceTechnique
(ESPRIT). Bagian selanjutnya akan mendiskusikan detail darimasing-masing
algoritma tersebut.
Algoritma DAS
Algoritma estimasi arah kedatangan dengan metode delay-and-sum ini termasuk
algoritma klasik dan menjadi acuan bagi perkembangan skemaestimasi arah
kedatangan. Metode ini dimodelkan pertama kali oleh SidneyP. Applebaum [2].
Veen [20] memformulasikan kembali skema DAS dalam kajiannya tentangversatile
adaptive beamformer. Struktur dari algoritma DAS dapat dilihat pada Gambar II.3.
Pada Gambar II.3, pada setiap cabang sinyal terimaxi(n), terdapatM buah tap
delay dengan bobotw1, sampaiwM . Setelah melalui masing-masing bobot ini,
maka sinyal akan melewati delay D. Pada skema DAS, estimasi arah kedatangan
dilakukan denganscanningsemua bobot yang mungkin dengan arahscanning
pada rentang sudut tertentu, tipikalnya adalah dari−90 sampai90 derajat. Proses
scanningsecara praktikal dilakukan dengan men-set nilai bobotw sama dengan
steering vectorseperti Persamaan II.4. Spektrum amplitudo sebagai fungsisudut
8
D
w1
x1
xM
wM
D
Σy
Gambar II.3: Skema DAS, diadaptasi dari [21]
scanningdapat dituliskan sebagai:
P (w) =M∑
i=1
wi · xi(n) (II.7)
Arah kedatangan sinyal diestimasi sebagaiθ̂ pada nilaiw yang menyebabkanP (w)
bernilai maksimum.
θ̂→
maxP (w) P (w) =M∑
i=1
wi · xi(n) (II.8)
Nilai x(n) adalah vektor sinyal terima seperti yang dinyatakan pada Persamaan II.4.
Skema delay and sumini memiliki keuntungan dalam hal kesederhanaan.
Kesederhanan ini tergambar pada skema di penerima yang hanya terdiri dari
prosesdelay dan sum. Alasan kesederhanaan juga yang menyebabkan skema
delay and sumsering menjadi pilihan implementasi untuk berbagai aplikasi,
baik radio [21] maupun audio [22]. Walau pun memiliki keuntungan pada sisi
kesederhanaannya, algoritma ini memiliki kelemahan. Kelemahan ini antara lain
adalah rendahnya kemampuan resolusi sinyal. Resolusi rendah berimplikasi bahwa
algoritma tidak dapat mendeteksi adanya dua sinyal yang memiliki arah kedatangan
yang berdekatan. Kelemahan lainnya adalah sensitifitas sinyal terhadapnoisedan
interferensi [23].
Algoritma MVDR
Skema klasik lain yang sangat popular adalah algoritma MVDR.Algoritma ini
dipelopori oleh Capon [1]. Capon menawarkan skema estimasi arah kedatangan
yang berbeda dibandingkan dengan skema DAS. Skema ini menggunakan ensembel
9
dari matriks kovariansi yang disusun dari vektor sinyal terima. Vektor sinyal terima
x(n) dikumpulkan seperti Persamaan II.4. Matriks kovariansi dari sinyal terima
dihitung dengan persamaan:
Rxx =x(n) · xH(n)
N(II.9)
Algoritma Capon dapat dituliskan sebagai berikut:
1. hitung matriks kovariansiRxx dari vektor sinyal datangx(n)
2. Hitung invers dari matrix kovariansiRxx (R−1xx )
3. bangkitkansteering vektora(θ) seperti Persamaan II.5 untuk suatu sudutθ.
4. Hitung spektrum sinyalP (θ) untuk setiap nilaiθ dari 0 sampai360 derajat
dengan persamaan (exhaustive search).
5. Tentukan arah kedatangan sinyal dengan mengambil nilaiθ sehinggaP (θ)
bernilai maksimal.
Dari sisi performa, para peneliti menemukan dua kekuranganutama dari algoritma
Capon yaitu komputasi yang berat dan rentan terhadap interferensi darijammer
yang berkorelasi dengan sinyal. Komputasi yang berat dikontribusi oleh tiga
hal yaitu perhitungan matriks kovariansi (langkah 1), perhitungan invers matriks
kovariansi (langkah 2), danexhaustive search(langkah 4). Perhitungan matriks
kovariansi memiliki kompleksitas O(n2). Kompleksitas perhitungan inversi matrik
memiliki komputasi yang berat [24]. Ada pun pengaruh interferensi terhadap
algoritma Capon diteliti oleh Zoltowski [25]. Pada paper tersebut, Zoltowski
menunjukkan sensitifitas dari algoritma MVDR Beamforming pada kasusmultiple
interference. Performa sistem menurun dengan drastis pada kondisi interferensi
tersebut.
Algoritma MUSIC
Algoritma MUSIC diusulkan oleh Ralph O. Schmidt [3]. Walau pun diterbitkan
di IEEE transactionstahun 1986, skema dasarnya ini telah dipublikasikan oleh
Schmidt pada beberapa lebih awal (1977-1979) di beberapa publikasi. Algoritma
MUSIC adalah salah satu algoritmabreakthrough di bidang beamforming.
Algoritma ini termasuk yang paling banyak diteliti dan dikembangkan oleh para
10
peneliti selama beberapa dekade. Keberhasilan algoritma ini dalam mendeteksi
beberapa sumber sekaligus dengan resolusi yang sangat tinggi menjadi daya tarik
utama dari algoritma ini. Algoritma MUSIC termasuk pelopordalam penggunaan
eigen-analysissehingga sering disebuteigen-assisted based algorithm. Basis dari
algoritma ini adalah proses dekomposisi matriks kovariansi ke dalam vektoreigen
dan nilai eigen. Proses dekomposisi ini dapat dinyatakan dengan persamaan:
Rxx = U ·Σ ·UH (II.10)
Dimensi dari matrikRxx,Σ, danU adalahM xM , denganM adalah jumlah antena
dalamarray. MatriksΣ adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal berisi nilai
eigen.
Σ =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · λM
= diag(λ1 λ2 · · · λM
)(II.11)
Pada Persamaan II.11 di atas, terdapatR buah nilai eigen dominan (R ≤< M )
yang berkorespondensi denganR sumber sinyal yang datang [3]. Sisa nilai eigen
(M-R) menyatakan nilai eigen tak dominan. Jika nilai eigen pada matrikΣ diurutkan
dari yang terbesar ke yang terkecil, maka matrikU dapat dipartisi secara kolom
menjadiUs danUn. Oleh karena nilai eigen dominan dan tak dominan berturut-turut
berkorespondensi dengan sinyal dannoise, makaUs danUn berturut-turut disebut
signal subspacedannoise subspace.
U =(Us Un
)(II.12)
Selanjutnya, oleh karena setiap kolom dalam matrikU adalah salingorthonormal,
maka inner-product dari setiap kolom padaUs dan Un bernilai nol. Dengan
mengingat bahwasteering vectorpada arah kedatangan aktual adalah kombinasi
linear kolom vektor padaUs, maka
a(θ)H ·Un · a(θ) = 0 (II.13)
Dengan memanfaatkan Persamaan II.13, maka Schmidt mengusulkan spektrum
11
MUSIC sebagai:
P (θ) =1
a(θ)H ·Un · a(θ)(II.14)
Denganθ dihitung pada semua sudut yang dipindai. Arah kedatangan ditunjukkan
pada nilaiθ yang memaksimalkanP (θ).
Algoritma MUSIC, dengan teori yang dijelaskan di atas, dirangkum dalam
langkah-langkah berikut:
1. hitung matriks kovariansiRxx dari vektor sinyal datangx(n)
2. hitung dekomposisi eigen dariRxx seperti Persamaan II.10
3. bangkitkansteering vektora(θ) seperti Persamaan II.5 untuk suatu sudutθ.
4. hitung spektrum sinyalP (θ) seperti Persamaan II.14 untuk setiap nilaiθ dari
0 sampai360 derajat (exhaustive search).
5. tentukan arah kedatangan sinyal dengan mengambil nilaiθ sehinggaP (θ)
bernilai maksimal.
Analisis performa algoritma MUSIC telah banyak dilakukan oleh para peneliti
(Kaveh dan Barabell [26]; Stoica and Nehorai [27]). Kaveh danBarabell
melakukan pengujian performa algoritma MUSIC dengan parameter kemampuan
resolusi MUSIC dengan dua sinyal datang pada lingkungan yang memiliki
noise. Hasil simulasi menunjukkan bahwa MUSIC memiliki performayang
buruk pada lingkungan dengannoise tinggi. Stoica dan Nehorai melakukan
pengujian performansi algoritma MUSIC dengan menghitung jaraknya dengan
batas minimum yang dapat dicapai dari suatu nilai estimasi yaitu Cramer-Rao
Bound (CRB). Penelitiannya menunjukkan bahwa algoritma MUSIC memiliki
performa yang hampir berimpit dengan untuk SNR yang tinggi.
Kekurangannya utama dari algoritma MUSIC adalah proses perhitungan yang
berat. Kompleksitas perhitungan ini disebabkan oleh tiga proses pada algoritma
MUSIC yaitu perhitungan matrik kovariansi, eigen-analysis, dan exhaustive search.
Keterbatasan ini menyebabkan algoritma MUSIC sangat jarang diterapkan pada
aplikasirealtime([24], [24]). Algoritma turunan MUSIC pada umumnya ditujukan
untuk mengurangi perhitungan eigen-analysis. Algoritma turunan ini antara lain
adalah Root-MUSIC [4], Beamspace Root-MUSIC [28] dan Unitary Root-MUSIC
[7].
12
Algoritma ESPRIT
Skema ESPRIT diperkenalkan oleh Roy, Paulraj, dan Kailath [8]. Skema ini
mengambil pendekatan berbeda jika dibandingkan dengan algoritmaDAS, MVDR,
danMUSIC. Jika algoritmaDAS, MVDR, danMUSIC melakukan prosesscanning
sudut pada semua kemungkinan(exhaustive search), maka algoritma ESPRIT tidak
melakukan hal tersebut, melainkan memanfaatkan struktur yang disebut dengan
rotational invariantdari susunan ULA. Strukturrotational invariantadalah struktur
pembagianarray antenna menjadi 2sub-array, sedemikian rupa sehingga salah satu
sub-arrayadalah versi tergeser spasial dari sub-array lainnya.
Gambar III.4 memperlihatkan contoh susunan ULA dan pengelompokannya ke
dalam duasub-array yang memenuhi sifat sifat ini. Gambar (a), (b), dan (c)
menunjukkan pembagianarray antena menjadisub-array J1 dan J2. Kedua
sub-arrayadalah identik, dengan yang satu adalah pergeseran linier dari yang lain.
(a) (b) (c)
J1
J2
J1
J2
J1
J2
Gambar II.4: Pembagian array 4 antena menjadi duasub-array yang bersifatrational invariant. (a) dan (b) menunjukkan duasub-array dengan dua antenasedangkan (c) menunjukkan tiga antena dalamsub-array.
Sinyal yang diterima padasub-array 1adalah sama dengan sinyal yang diterima
dari sub-array 2 dengan perbedaan pada selisih waktu kedatangan. Dengan
memanfaatkan selisih waktu kedatangan ini, Roy et al. pada [8] berhasil
merumuskan algoritma untuk memperoleh arah kedatangan sinyal. Pembagian
array utuh menjadi duasub-arrayini dapat dinyatakan denganselection vectorJ .
Sebagai contohselection vectorJ1 danJ2 pada Gambar III.4.(a) berturut-turut dapat
dinyatakan dengan:
J1 =
1 0 0 0
0 1 0 0
(II.15)
13
J2 =
0 0 1 0
0 0 0 1
(II.16)
Seperti halnya algoritma MUSIC, algoritma ESPRIT memanfaatkan analisiseigen
dari matrik kovariansi. Pembagian nilaieigen menjadi komponen dominan dan
komponen tak dominan yang berkorespondensi dengansignal subspaceUs dan
noise subspaceUn. Lebih lanjut, algoritma ESPRIT menghitungsignal subspace
pada masing-masingsub-array. Signal subspace sub-array 1dan sub-array 2
berturut-turut dihitung dengan
Us1 = J1 ·Us (II.17)
Us2 = J2 ·Us. (II.18)
Urutan estimasi arah kedatangan sinyal dengan algoritma ESPRIT dapat dirangkum
dalam langkah-langkah berikut (langkah 1 dan adalah sama dengan langkah pada
algoritma MUSIC):
1. hitung matriks kovariansiRxx dari vektor sinyal datangx(n)
2. hitung dekomposisi eigen dariRxx seperti untuk menghasilkan matrikΣ dan
U
3. partisi matrikU menjadiUs danUn sesuai dengan nilai eigen dominan dan
tak dominan.
4. Tetapkanselection vectorJ1 danJ2
5. Hitung sinyalsubspacedarisub-arrayJ1 danJ2 (Persamaan II.17 dan II.18)
6. hitung matrikrotational invariant
Ψ = U+s1 ·Us2 = (UH
s1 ·Us1)−1 ·UH
s1 ·Us2. (II.19)
7. lakukan dekomposisi pada matrikΨ dan tentukan nilai eigen dominan
8. estimasi sudut kedatangan dengan kedatangan dihitung dengan persamaan:
θi = tan−1
(im(λi)
re(λi)
)(II.20)
14
Variabelλi menyatakan nilaieigendominan ke-i dari matrikΨ, sedangkan
operatorim(.) dan re(.) berturut-turut menyatakan bagianimaginer dan
real dari bilangan kompleks
Modifikasi dan perbaikan algoritma ESPRIT banyak dilakukan oleh para peneliti.
Sebagian besar modifikasi tersebut ditujukan untuk mengurangi atau menghindari
perhitungan eigen analysisyang biasanya melibatkan perhitungan bilangan
kompleks dalam dimensi yang besar, lainnya berupaya untuk menyederhanakan
perhitungan yang melibatkan bilangan komplek. Xu [10] mengusulkan skema
Beamspace ESPRIT yang berfokus pada upaya penyederhanaaneigen analysis.
Huarng [6] memanfaatkan hasil penelitian Lee [5] tentang matrik centro-hermitian,
mengajukan transformasiunitary untuk mengubah nilai kompleks menjadi nilai
riil. Hasil ini menginspirasi Martin Haardt untuk melakukan upaya penyederhanaan
perhitungan bilangan kompleks dengan transformasi unitary. Hasil modifikasi ini
diberi nama Unitary ESPRIT [9].
II.2 Compressive Sensing
Dalam dunia digital, diperlukan langkah digitalisasi untuk mengubah sinyal analog
menjadi sinyal digital. Proses utama adalah langkah digitalisasi adalahsampling.
Prosessamplingadalah proses mencuplik sinyal analog secara periodik dengan
suatu interval tertentu. Perioda antar sampel telah diteliti orang dan dituangkan
dalam berbagai paper. Teori sampling klasik dipelopori oleh Harry Nyquist [29].
Teori ini kemudian dikembangkan pula oleh Claude Shannon yang terkenal dalam
paper klasiknya [30]. Teorema sampling Nyquist-Shannon ini menyatakan bahwa
frekuensi sampling minimum harus memenuhi:
FSM = 2 · fmax (II.21)
Pada Persamaan II.21,FSM adalah frekuensi sampling minimum, danfmax adalah
frekuensi maksimum yang dibawa oleh sinyal informasi. Sebagai contoh, sinyal
analog yang berasal dari suara manusia, memiliki frekuensimaksimum 3.400 Hz.
Dengan demikian frekuensi sampling minimum yang diperlukan untuk digitalisasi
adalah 6.800 sampel / detik.
Terdapat dua permasalahan yang dihadapi oleh teori sampling klasik, yaitu jumlah
sampel yang banyak dan redudansi yang tinggi untuk sinyal tertentu. Jumlah sampel
15
yang banyak terjadi karena sinyal secara periodik harus di-sampling. Sebagai
contoh, untuk suara manusia di atas, dalam satu detik terdapat 6.800 sampel.
Dengan demikian dalam satu menit terdapat 60 x 6.800 sampel atau 408.000
sampel. Permasalahan redudansi terjadi jika sinyal yang disampling memiliki pola
teratur.Sebagai contoh sinyal sinusoidal dengan frekuensi 1 MHz, memerlukan
frekuensi sampling 2 juta sampel per detik. Di sisi lain, mensampling sinyal
sinusoidal 1 menit tidak memberikan informasi tambahan dibandingkan dengan
mensampling sinyal sinusoidal 1 detik.
Permasalahan teorisampling klasik ini, khususnya permasalahan kedua, yang
melahirkan teori sampling baru yang disebutcompressive samplingatau
compressive sensing. Compressive Sensingmengambil asumsi bahwa sinyal yang
disampling bersifatsparse. Sparseatausparsitypada sinyal menunjukkan bahwa
sinyal hanya memiliki sedikit komponen signifikan. Sisa komponen adalah nol.
Sebagai contoh dari sinyalsparseadalah sinyal yang memiliki sangat sedikit
nilai tak nol dan sisanya bernilai nol. Contoh lain adalah sinyal sinusoidal dan
sinyal periodik (sinyal gergaji, sinyal persegi periodik,dan sebagainya). Teori
compressive sensingdimulai dengan asumsi sparsitas sinyal ini. Publikasi pionir
di bidang ini antara lain adalah David L Donoho [11] dan Emmanuel Candes
[12]. Sedangkan aspek teknis dan aplikasi banyak diteliti dan dikembangkan oleh
Candes dan Richard Baraniuk [13]. Mengingat penelitiancompressive sensing
tersebar di berbagai bidang, beberapa peneliti merangkum perkembangan dan
potensi compressive sensing dalam survey paper, antara lain oleh Strohmer [31]
dan pada bidang sistem komunikasi oleh Hayashi et al. [32].
II.2.1 Terminologi Pada Compressive Sensing
Sebelum membahas model matematis daricompressive sensing, maka perlu dibahas
terlebih dahulu beberapa terminologi yang terkait dengan teknik CS. Terminologi
ini antara lain adalah sparsitas sinyal,norm, measurement matrix, dan sifat
restricted isometric property. Terminologi-terminologi ini dijelaskan di berbagai
literatur CS ([11], [12], dan [13]). Hayashi et al. meresume terminologi ini secara
sistematis dalam paper survei tentang CS ([32]).
Sparsitas sinyal. Sparsitas sinyal menyatakan jumlah elemen tak nol dalam
sinyal tersebut. Tingkat sparsitas ini dinyatakan dengan tingkat sparsitask. Sebagai
contoh,k = 5 menyatakan bahwa sinyal mengandung 5 nilai tak nol. Gambar II.5
16
menunjukkan contoh sinyalsparsedengan tingkat sparsitas 3.
n
2
-1,2
2,3
Gambar II.5: Contoh sinyalsparsedalam domain waktu
Sinyal yangsparsedalam domain waktu dapat dilihat langsung dari plot sinyal.
Banyak jenis sinyal lain yang tidaksparsedalam domain waktu, namunsparse
dalam suatu basis lain. Sebagai contoh sinyal sinusoidal, sinyal ini tidak sparse
pada domain waktu, namunsparsepada domain frekuensi. Jika sinyalx bersifat
sparse dalam basisΨ, dapat didekomposisi menjadi:
x = Ψ · x̂ (II.22)
Denganx̂ adalah sinyalsparsedalam domain waktu.
Norm. Jikax(n) menyatakan sinyal pengamatan pada waktun dari 1 sampaiN ,
x(n) = [x1, x2, · · · , xN ], makanorm orde-p (p non-negatif) darix(n) dinyatakan
dengan:
|x|p =p
√√√√N−1∑
0
xp(n) (II.23)
Simbol |.| menyatakan nilai absolut. Tiganormyang sering dipakai pada CS adalah
normorde-0 (l0), normorde-1 (l1), dannormorde-2 (l2). Normorde-0 menyatakan
jumlah elemen tak nol pada sinyal.Norm orde-1 menyatakan jumlah absolut dari
elemen tak nol pada sinyal, sedangkannorm orde-2 menyatakan jarakeuclidean
yang dibentuk oleh pada sinyal. Gambar II.6 menunjukkan arti geometris dari norm
orde-1 dan orde-2 dari sinyalx dengan dua elemenx1 danx2.
Measurement matrix. Measurement matrixadalah terminologi penting pada
CS. Measurement matrixsering disebut juga sebagaisensing matrix. Matrik ini
berfungsi untuk mengurangi jumlah sampel sinyal semula. Jika matrik semulax
terdiri dari n elemen, maka untuk mengurangi jumlah sampel menjadi matriky
17
1 x1
x2
norm orde-2
norm orde-1
Gambar II.6: Ilustrasinormorde-1 dannormorde-2.
menjadim elemen (m < n), maka diperlukan danmeasurement matrix Aberdimensi
m x n. Sinyal hasily diperoleh dengan mengalikan sinyalx denganmeasurement
matrix A.
y = A · x (II.24)
Pada Persamaan II.24, sinyaly berdimensim x 1, matriksA berdimensim x n, dan
matrikx berdimensin x 1. Sinyalx disebut sebagai sinyal asli dan sinyalx disebut
sinyal pengukuran.
Restricted Isometric Property - RIP. Permasalahan lain yang penting pada CS
adalah memilihmeasurement matrixA sedemikian sehingga sinyal aslix dapat
dikembalikan dari pengukurany. Emmanuel Candes [12] menurunkan syarat dari
measurement matrixA yang disebut dengan RIP. Suatumeasurement matrixA
dikatakan bersifat RIP jika memenuhi kondisi:
(1− δs) · |x|2 ≤ |A · x|2 ≤ (1 + δs) · |x|2 (II.25)
Denganδs adalah suatu bilangan kecil. Sifat RIP ini secara geometris menyatakan
bahwanorm orde-2 dari vektor x sebelum dan setelah transfromasi tidakberubah
banyak.
Setelah mengenalkan beberapa terminologi ini, berikutnyaakan dibahas tentang
model matematik dari CS.
18
II.2.2 Model Matematik
Tujuan dari CS adalah melakukansampling dari sinyal sparsex(n) sehingga
diperoleh sinyal hasilsamplingy(n) yang memiliki jumlah sampel yang lebih
sedikit dari x(n). Pengurangan sampel ini dilakukan sedemikian sehingga
dimungkinkan untuk memperoleh kembali sinyal aslix(n) melalui proses
rekonstruksi. Proses sampling ini dinyatakan dengan Persamaan II.24 untuk suatu
matriks compressivemeasurement matrixA.
Permasalahan rekonstruksi yang harus dipecahkan adalah, jika y(n) adalah hasil CS
sertameasurement matrixA diberikan, bagaimana memperoleh kembali sinyal x(n)
ini.
Algorima Penyelesaian CS.
Terdapat 2 skema utama dalam menyelesaikan masalah rekonstruksi, yaitu:basis
pursuit (BP) dangreedy.
Basis Pursuit (BP). Algoritma BP banyak dikembangkan oleh kelompok Terence
Tao, Justin Romberg, dan Emmanuel Candes ([33], [33], dan [34]). Permasalahan
compressive sensingseperti pada Persamaan II.24 diselesaikan secara BP dengan
mencari kombinasix, yang memenuhinorm orde-1 minimal. Secara matematis,
konstrain penyelesaian BP dapat dituliskan sebagai:
x̂l1 = argminx
|x| subject to A · x = y (II.26)
Penyelesaian dari Persamaan II.26 dengan BP adalah mencari semua kemungkinan
nilai yang meminimalisasi|x|l1 . Untuk kondisi dua dimensi (x(n) = [x1 x2]), maka
permasalahan BP dapat diilustrasikan seperti pada Gambar II.7.
Secara analitis permasalahan BP diselesaikan denganLinear Programming. Justin
Romberg [35] menyelesaikan permasalahan BP dengansoftwarel1−Magic. Variasi
lain dari penyelesaian BP adalah denganConvex Programming. Skema berbasis
convex programmingini dikembangkan oleh Stephen Boyd [36] bekerja untuk
lingkungan Matlab.
19
x1
x2
A · y
|x|l1= c1
|x|l1= c2
P
Gambar II.7: Ilustrasi solusi CS dengan BP untuk 2 variabel
Algoritma Greedy. Skema algoritmagreedy secara teori dipelopori oleh
Friedman dan Stuetzle [37] dalam kajiannya tentangregression projection pursuit
sebagai penyelesaian dari persamaan linier. Mallat dan Zhang [38] selanjutnya
menggunakan dasar dariprojection pursuit tersebut untuk menyelesaikan
persamaan linier dalam kajiannya tentangtime-frequency matching pursuit. Istilah
matching pursuitdipakai oleh Mallat dan Zhang untuk menggambarkan proses
mencari basis dari sinyal. Basis ini disusun dalam suatudictionarydengan jumlah
elemen biasanya melebihi kebutuhan (over complete dictionaries). Istilah basis ini
pada literatur lain disebut juga denganatom(Chen et al.[39]).
Permasalahancompressive sensingsebagai mana yang direpresentasikan pada
Persamaan II.24, pada skemagreedy, dipandang sebagai permasalahan kombinasi
linier dari setiap kolom (basis) darimeasurement matrixA, dengan kombinasi
menggunakan koefisien padax. Skemagreedy melakukan langkah invers dari
kombinasi linier ini. Proses inversi ini dimulai dengan mencari basis terdekat dari
A yang paling dekat dengan vektor pengukurany. Basis terdekat diambil sebagai
basis memberikan hasil proyeksiy yang terbesar. Nilai proyeksi dikalikan kembali
dengany dan dikurangkan dengan basis yang dipilih menghasilkan residu. Basis
terdekat berikutnya dicari dari proyeksi residu ini ke basis tersisa. Demikian proses
ini diulangi sehingga nilai residu lebih kecil dari suatu nilai threshold. Gambar II.8
mengilustrasikan proses mencari basis ini.
Pada Gambar II.8, diasumsikanmeasurement matrixA sebagaiA = [A1 A2 A3]
sehingga terdapat tiga basis yaituA1, A2, A3. Proyeksiy padaA1, A2, danA3
menghasilkanyA1, yA2
, danyA3. Pada gambar tersebut, terlihat bahwa basis yang
terpilih adalahA2, karena panjangyA2dariO adalah yang paling besar.
Jika setiap basis adalah orthogonal, maka skema Matching Pursuit yang diusulkan
oleh Mallat dan Zhang menjadi skema Orthogonal Matching Pursuit (OMP). OMP
adalah salah satu algoritma populer di CS yang diperkenalkanoleh Tropp [40].
20
A1
A2
A3y
yA1
yA2
yA3
b1
b2
O
Gambar II.8: Ilustrasi Matching Pursuit dengan tiga basis
Tropp memformulasikan skema OMP sebagai berikut:
1. inisialisasi proses dengan basisA1, A2, ...An, dan residu awalr1 = y
2. pilih basisAi yang memaksimalkaninner product: max(< Aj, ri >) untuk
semuaj
3. hitung residuri untuk iterasi berikutnya:ri = ri−1− < Ai, ri > · ri
4. ulangi langkah 2 dan 3 di atas sampai nilai residu lebih kecil dari suatu
threshold
Skema lain yang termasuk dalam kategorigreedy adalah skemaFocal
Underdetermined Problem Solver(FOCUSS). Algoritma ini diusulkan oleh
Goronitsky dan Rao [14] dalam kajiannya tentang solusi persamaan linear yang
melibatkan teknik sparsitas. Skema FOCUSS menggunakan teknik proyeksi
pseudo-inversesebagai ganti dari proyeksiinner productyang digunakan pada
algoritma OMP.
II.3 Compressive Sensing Pada Estimasi Arah Kedatangan
Pada bagian sebelumnya, telah dibahas upaya penyederhanaan yang terdapat
pada skema estimasi arah kedatangan, yaitu kompleksitas perhitungan. Para
peneliti melakukan modifikasi-modifikasi serta manipulasimatematik antara lain
untuk menghidari perhitungan eigen-analysis mau pun transformasi unitary untuk
memetakan nilai kompleks ke dalam nilai real. Pada bagian ini akan dibahas upaya
lain untuk mengurangi kompleksitas perhitungan yaitu dengan cara pengurangan
jumlah sampel sesuai prinsip daricompressive sensing.
21
Secara umum, penerapancompressive sensingpada algoritma estimasi arah
kedatangan dapat dikelompokkan berdasarkan tiga teknik, yaitu teknik sparse
spatial [15] dan [17], tekniksparsepada waktu [16], dan tekniksparsepada
sudut kedatangan [14]. Pada skema dengan tekniksparse spatial, matrik sampling
A dipilih sedemikian sehingga sinyal yang diolah olehM buah antena penerima
dikurangi menjadiK buah antena (K < M). Skema dengan tekniksparsepada
waktu, matrik samplingA dipilih sedemikian sehingga sinyal yang diambil
sepanjangT dikurangi menjadiR (R < T). Pendekatan dengan tekniksparse
pada sudut kedatangan bekerja dengan hanya mengambil satu sampel pengukuran,
kemudian membentuk matrik pengukuranA yang tersusun dari vektor kolom yang
berasal daristeering vectorpada semua arah kedatangan yang dipindai. Meskipun
menggunakan asumsi yang berbeda, ketiga skema di atas memiliki prinsip kerja
yang sama.
Untuk ilustrasi dan menjelaskan keberhasilan dan permasalahan yang masih
ada pada algoritmacompressive sensingini, maka dilakukan simulasi algoritma
compressive sensingberbasis sparsitas sudut yang dikembangkan oleh Goronitsky
dan Rao [14]. Skema ini memiliki kapabilitas untuk mengestimasi arah kedatangan
sinyal dengan hanya menggunakan satu sampel saja. Kekurangannya adalah
sifat sensitif terhadapnoise. Skema ini yang akan dikembangkan lebih lanjut
pada penelitian ini untuk menghasilkan skemacompressive sensingyang lebih
kuat terhadapnoise. Bagian Simulasi Pendahuluan (Bab V) pada proposal ini
menunjukkan hasil simulasi dari skema ini, termasuk kekurangan serta hasil-hasil
lain terkait dengan modifikasi dan rencana perbaikannya.
22
BAB III METODOLOGI
Ada pun urutan pengerjaan pada rencana penelitian ini adalah: persiapan data,
persiapan lingkungan simulasi, simulasi, dan analisis performansi (Gambar III.1)
Persiapan Data
Simulasi
Analisis Performansi
Persiapan Lingkungan Simulasi
Gambar III.1: Langkah pengerjaan penelitian
III.1 Persiapan Data
Persiapan data adalah tahapan pembangkitan data untuk simulasi. Tahapan ini
terdiri dari dua tahap yaitu penyiapan datainput, dan penyiapan datanoise. Pada
penelitian estimasi arah kedatangan sebelumnya yaitu MUSIC [3] dan ESPRIT [8],
sinyal radar yang dibangkitkan berupa sinyal sinusoidal. Sinyal sinusoidal untuk
radar tersebut terdiri dari sinyal sinusoidal murni (pure sinusoid / monochrome, dan
sinyal sinusoidal majemuk (composite sinusoids). Sinyal sinusoidal murni adalah
sinyal yang hanya terdiri dari satu komponen sinyal sinusoidal. Sinyal sinusoidal
majemuk adalah sinyal yang terdiri dari superposisi dari beberapa sinyal yang
sinusoidal. Sinyal sinusoidal murni dinyatakan dengan persamaan
x(n) = sin(2 · π · f ·n+ φ) (III.1)
23
Sedangkan persamaan untuk sinyal sinusoidal majemuk adalah
x(n) =N∑
i=1
sin(2 · π · fi ·n+ φi) (III.2)
Pada Persamaan III.2, sinyal tersusun atas komposisiN buah sinyal sinusoidal. Fasa
sinyal (φi) dibangkitkan secara random dengan distribusi uniform pada interval
[0 − 2π]. Gambar II.2 dan II.3 memperlihatkan sinyal sinusoidal murni dan sinyal
sinusoidal majemuk. Di samping penentuan fasa sinyal, penentuan frekuensi juga
penting. Frekuensi sinyal ditentukan sesuai dengan kondisi aktual di lapangan.
Frekuensi tipikal untuk sinyal radar adalah300 MHz.
0 100 200 300 400 500 600−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gambar III.2: Sinyal sinusoidal murni (pure sinusoid)
0 100 200 300 400 500 600−6
−4
−2
0
2
4
6
Gambar III.3: Sinyal sinusoidal majemuk dengan 12 elemen frekuensi
Untuk noise, noisedibangkitkan untuk mengemulasi situasi pemancar, kanal, dan
penerima. Oleh karena komunikasi antara pemancar dan penerima bersifatline of
sight, makanoiseyang muncul di penerima adalahnoisegaussian yang bersifat
aditif (additive white gaussian noise - AWGN). NoiseAWGN ini secara simulasi
dibangkitkan berdasarkan distribusi gaussian denganmean 0dan variance σ2.
24
Penambahan sinyal dengannoiseAWGN ini diatur setelah nilai amplitudo sinyal
dan nilai amplitudonoise ditetapkan. Perbandingan nilai amplitudo sinyal dan
noise ini dinyatakan dengan istilahSignal to Noise Ratio(SNR). SNR biasanya
dinyatakan dalam logaritma basis 10 yang disebutdecibel(dB).
SNR = 10 · log(Ps
Pn
) (III.3)
DenganPs adalah daya rata-rata sinyal danPn adalah daya rata-ratanoise. Daya
sinyal dannoiseberturut-turut dinyatakan dengan:
Ps =
∑N
i=1 x2s(n)
N(III.4)
Pn =
∑N
i=1 x2n(n)
N(III.5)
Gambar III.4, memperlihatkan sinyal yang telah terkena noise AWGN. Pada gambar
tersebut, SNR adalah sebesar 20 dB.
0 100 200 300 400 500 600−6
−4
−2
0
2
4
6
Gambar III.4: Sinyal sinusoidal majemuk yang terkenanoisedengan SNR 10 dB
Pada pelaksanaan penelitian, pengaruh darinoisediselidiki dengan mengubah-ubah
nilai SNR pada setiap simulasi.
III.2 Persiapan Lingkungan Simulasi
Untuk simulasi estimasi arah kedatangan sinyal ini, beberapa skema akan
disimulasikan antara lain skema estimasi arah kedatangan klasik dancompressive
25
sensing. Untuk simulasi estimasi arah kedatangan klasik, persiapan simulasi akan
meliputi:
• persiapansetting arrayantena
• penentuan jumlah sumber sinyal
• penentuan faktor lingkungan
Persiapan Antena . Persiapansetting array antena secara sederhana adalah
menentukan jenis susunan antena dan jarak antar elemennya.Untuk seluruh
simulasi, susunan antena dipilih jenisUniform Linear Array (ULA) dengan
jarak antar elemen konstanta. Mengikuti penelitian yang terdahulu, jarak antar
elemen dipilihλ/2. Gambar berikut memperlihatkan asumsiarray antena yang
disimulasikan. Jumlah elemen antena yang terdapat dalamarray adalah M.
a1
a2
a3
aM
d
d
Gambar III.5: Susunan ULA dengan jumlah elemenM dan jarak antar elemend.
Penentuan jumlah sumber . Penentuan jumlah sumber merupakan parameter
yang penting pada simulasi. Pada kondisi satu sumber saja, permasalahan estimasi
arah kedatangan sinyal hanya fungsi dari SNRnoisesaja. Pada kondisi beberapa
sinyal yang datang, permasalahannya adalah penentuan sudut kedatangan pada
masing-masing sumber merupakan fungsi darinoise, jarak sudut antara dua sinyal
berdekatan, serta korelasi antar sinyal. Gambar III.6 memperlihatkan jumlah
sumber satu dan beberapa. Pada Gambar III.6(b), jarak sudutantara sumber satu
dan sumber dua adalahθ1 − θ2. Kemampuan dari algoritma untuk memisahkan
jarak sudut terkecil disebut dengan resolusi dari algoritma tersebut.
26
a1
a2
a3
aM
a1
a2
a3
aM
θ θ1
θ
θ
θ
θ2
(a) (b)
Gambar III.6: Sinyal yang datang ke array antena. (a). Satu sumber (b). Dua sumberdengan sudut datangθ1 danθ2
Penentuan faktor lingkungan . Faktor lingkungan ini antara lain meliputi
redaman sinyal akibat propagasi dan pergeseran frekuensi akibat efek doppler akibat
pergerakan sumber. Redaman sinyal akibat propagasi terjadikarena jarak yang
ditempuh, serta sifat fisis media yang dilintasi. Untuk keperluan simulasi ini, media
propagasi yang dilewati adalah udara bebas. Parameter fisisudara bebas adalah
permitivitas (ǫ0) dan permeabilitas (µ0). Dengan asumsi ini, maka cepat rambat
gelombang di udara adalah3 · 108 meter per detik. Redaman propagasi gelombang
mengikuti modelpath-lossyaitu:
α = 32, 5 + 20 · f + 20 · d (III.6)
Denganα adalah redaman dalam dB,f adalah frekuensi dalam MHz, dand adalah
jarak dalam kilometer. Pergeseran frekuensi dilakukan dengan mensimulasikan
pergerakan objek dengan kecepatanv. Pergeseran frekuensi yang ditimbulkan oleh
kecepatan ini dihitung dengan persamaan:
∆f =v
c· f0 · cos(θ) (III.7)
III.3 Simulasi
Setelah proses persiapan data dan persiapan lingkungan simulasi ditetapkan,
berikutnya adalah membangun sistem simulasi sesuai denganyang direncanakan.
27
Terdapat tiga skema yang akan diteliti pada penelitian ini,yaitu skemacompressive
sensingberbasis sparsitas pada domain frekuensi, sparsitas pada domain spasial,
dan sparsitas pada domain arah kedatangan. Ketiga skema initelah dibahas pada
bagian kajian literatur sebelumnya.
III.4 Analisis Perfomansi
Untuk menilai keberhasilan skema, maka diperlukan parameter-parameter untuk
mengukur performansi dari skema-skema yang diteliti. Parameter performansi yang
akan diukur adalah:
• akurasi sebagai fungsi dari SNR
• resolusi sebagai fungsi dari SNR
• akurasi sebagai fungsi dari doppler shift
• akurasi sebagai fungsi dari tingkat sparsitas frekuensi
Akurasi sebagai fungsi dari SNR. Akurasi yang dimaksud di sini adalah nilai
absolut dari selisih antara sudut aktual kedatangan sinyaldengan sudut hasil
estimasi skema. Untuk memperoleh hasil yang memadai, maka nilai akurasi ini
perlu disimulasikan cukup banyak, dan hasil yang diambil adalah nilai rata-rata dari
semua percobaan tersebut.
AK =
∑Ns
i=1 [θ − θ̂i]
Ns
(III.8)
Nilai AK menyatakan akurasi,θ adalah sudut aktual,̂θi adalah sudut estimasi ke-i,
danNs adalah jumlah eksperimen yang dilakukan. Percobaan diulangi untuk nilai
SNR yang berbeda-beda.
Resolusi sebagai fungsi dari SNR. Percobaan pengukuran resolusi dilakukan
dengan menggunakan dua sumber pada dua sudut berbeda. Selisih dari kedua sudut
ini dinyatakan sebagai jarak sudut. Jarak dari kedua sudut ini kemudian diperkecil
sampai pada batas ketika algoritma tidak dapat lagi memisahkan kedua sumber
tersebut. Nilai minimal jarak sudut ini disebut sebagai resolusi dari algoritma.
Percobaan kemudian diulangi lagi beberapa kali untuk kemudian diambil nilai
28
rata-rata resolusi dari semua percobaan. Seperti halnya pada percobaan akurasi,
percobaan resolusi ini dilakukan juga pada nilai SNR yang berbeda-beda.
Akurasi sebagai fungsi dari doppler shift. Pada percobaan jenis ini, sumber
adalah sinyal sinusoidal murni dengan frekuensif0 yang bergerak dengan suatu
kecepatanv. Akibat pergerakan ini, maka frekuensi sinyal bergeser dari nilai semula
dengan besar bergeseran seperti yang dihitung dengan persamaan III.7. Untuk hasil
yang lebih baik, nilai yang akan dilaporkan di sini adalah nilai rata-rata dari sinyal
setelah dilakukan beberapa kali percobaan. Seperti halnyapercobaan akurasi, pada
percobaan ini, lingkungan sinyal juga dilakukan pada SNR yang berbeda-beda.
Akurasi sebagai fungsi dari tingkat sparsitas frekuensi. Pada beberapa kasus,
sinyal yang dikirim bukan berupa sinyal sinusoidal murni, namun sinyal sinusoidal
komposit. Ketepatan estimasi arah kedatangan sinyal merupakan fungsi dari
ketepatan estimasi jumlah komponen dari frekuensi sinyal penyusunnya. Mengingat
bahwa jumlah frekuensi sinyal penyusun tetap lebih sedikitdibandingkan dengan
sampel sinyal, maka asumsi sparsitas sinyal di frekuensi masih tetap berlaku. Pada
percobaan jenis ini, jumlah frekuensi sinyal akan divariasikan, selanjutnya setiap
metoda akan diukur tingkat akurasi estimasi sudutnya. Seperti percobaan yang lain,
akan diambil nilai rata-rata dari beberapa percobaan. Demikian juga lingkungan
yang akan diubah-ubah tingkat SNR-nya dengan beberapa nilaiyang berbeda-beda.
III.5 Skema yang ditinjau
Pada proposal ini, dari tiga skema yang dibahas di atas, skema compressive
sensingberbasis sparsitas pada arah kedatangan yang akan ditinjaudan diperbaiki.
Skema ini memiliki keuntungan dibandingkan dengan skema sparsitas pada
ruang/spasial maupun skema sparsitas pada waktu. Keuntungan ini yaitu jumlah
sampel yang ekstrim sedikit. Irina Goronitsky dan Bhaskar Rao([14]) bahkan hanya
menggunakan satu sampel saja. Skema ini dapat diilustrasikan seperti pada Gambar
III.7.
Skema ini, dengan kesederhanaannya, memiliki kelemahan utama yaitu rentan
terhadapnoise. Pada bagian Simulasi Awal akan ditunjukkan kelemahan skema ini
secara simulasi.
Untuk perbaikannya, pada proposal ini ditawarkanmulti-snapdari skema sparsitas
29
a0,1
a0,2
a0,M
...
a1,1
a1,2
a1,M
...
aθx,1
aθx,2
aθx,M
...
· · ·
· · ·
· · ·
...
· · ·
· · ·
· · ·
...
a360,1
a360,2
a360,M
...
steering vector untuk sudut 0
steering vector untuk sudut θx
0
0
...
1
...
0
x1
x2
xM
...
Gambar III.7: Skema Compressive Sensing untuk Estimasi ArahKedatangandengan satu sampel sinyal
sudut. Berbeda dengan skema asalnya yang hanya menggunakan satu sudut, skema
multi-snapmenggunakan beberapasnapssinyal terima, untuk kemudian diestimasi
arah kedatangan. Hasilnya kemudian dikompilasi untuk menghasilkan estimasi
arah kedatangan yang lebih akurat. Hasil simulasi dari skema multi-snap dari
sparsitas sudut tersebut diperlihatkan pada bagian Simulasi Awal. Gambar III.8
memperlihatkan skemamulti-snapsparsitas sudut tersebut.
a0,1
a0,2
a0,M
...
a1,1
a1,2
a1,M
...
aθx,1
aθx,2
aθx,M
...
· · ·
· · ·
· · ·
...
· · ·
· · ·
· · ·
...
a360,1
a360,2
a360,M
...
steering vector untuk sudut 0
steering vector untuk sudut θx
0
0
...
1
...
0
x11
x12
x1M
...
Maktrik indikator arah kedatangan (dicari)
Vektor pengamatan/keluaran antena
0
0
...
1
...
0
0
0
...
1
...
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
... · · ·
xN1
xN2
xNM
...
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
N snapshot
Nilai 1 tidak mesti terjadi pada baris yang sama
Gambar III.8: Skemamulti-snapsparsitas sudut
30
BAB IV TIMELINE RENCANA PENELITIAN
Penelitian ini direncanakan selesai dalam kurun waktu tigatahun (2014-2016).
Perencanaan pengerjaan dibagi per tahun. Rincian rencana penelitian untuk tahun
2014, 2015, dan 2016 dijabarkan dalam Tabel IV.1, Tabel IV.2, dan Tabel IV.3.
Rencana penelitian ini dibagi menjadi tahapan-tahapan yaitu:
• Persiapan penelitian Meliputi kegiatan studistate of the art, penentuan fokus,
penelitian awal dengan mensimulasikan metoda estimasi arah kedatangan
yang ada serta teknik-teknikcompressive sensing, merumuskan rencana
kontribusi, penyusunan proposal dan ujian kualifikasi
• Pelaksanaan Penelitian Merumuskan metode yang baru, yaitupenggabungan
algoritma estimasi arah kedatangan dengancompressive sensing,
membandingkan dengan algoritma yang ada dan memodifikasi lebih
lanjut untuk memperoleh keunggulan skema.
• Pengujian dengan simulasi
• Publikasi dan Seminar Kemajuan I, II, dan III
• Perumusan kontribusi ilmiah, penulisan disertasi dan Seminar Kemajuan IV
• Ujian disertasi.
Adapun target detail per dijabarkan dengan rincian berikut. Untuk tahun 2014,
target utama adalah pada menemukan permasalahan danproposed method.
Proposed methoddi sini masih bersifat tentatif, namun ditanda keberhasilan
dari proposed methodini diverifikasi dengan simulasi awal. Duamilestoneyang
diharapkan dicapai pada tahun 2014 adalah Seminar Proposaldan Pengajuan
Seminar I. Ada pun paper awal diharapkan dapat dikirimkan pada jurnal nasional.
Untuk tahun 2015, target yang dipentingkan adalahproposed methodbaru, atau
pematangan dariproposed methodsemula. Tantangan yang akan dijawab pada
tahun kedua ini adalah keberhasilan untuk mengirim pada jurnal internasional
dan diterima. Ada pun target yang direncanakan sehubungan dengan syarat
akademik pendidikan adalah melakukan Seminar Kemajuan II serta pengajuan
untuk mengikuti Seminar Kemajuan III.
Rencana pada tahun ketiga (tahun 2016) adalah penulisan makalah disertasi dan
pelengkapan syarat lainnya yaitu Seminar Kemajuan III dan IV. Penulisan paper
31
dan pengirimannya mungkin masih dilakukan, jika syarat paper belum terpenuhi
atau paper tahun sebelumnya tidak lolos publikasi. Sidang tertutup menjadi target
penting pada tahun ketiga ini.
Tabel IV.1: Rencana Kegiatan Penelitian Tahun 2014
No Kegiatan Penelitian Bulan ke-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 Persiapan Penelitian
2 Ujian Kualifikasi
3 Analisis Metode DoA dan CS yang ada
4 Perumusan algoritma yang ditawarkan
5 Penulisan paper dan pengajuan publikasi
6 Pengajuan Seminar Kemajuan I
Tabel IV.2: Rencana Kegiatan Penelitian Tahun 2015
No Rencana Kegiatan Bulan ke-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 Seminar Kemajuan I
2 Formulasi Metode Baru
3 Simulasi Metode Baru
4 Penulisan Paper dan Publikasi
5 Pengajuan Seminar Kemajuan II
6 Seminar Kemajuan II
7 Perbandingan Metode Baru dengan Metode Lama
8 Simulasi komprehensif
9 Penulisan Paper dan Publikasi
10 Pengajuan Seminar Kemajuan III
Tabel IV.3: Rencana Kegiatan Penelitian Tahun 2016
No Rencana Kegiatan Bulan ke-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 Seminar Kemajuan III
2 Penulisan Paper untuk Junal Internasional
3 Pengajuan Seminar Kemajuan IV
4 Seminar Kemajuan IV
5 Penulisan Disertasi
6 Ujian Disertasi
32
BAB V SIMULASI PENDAHULUAN
V.1 Simulasi dalam lingkungan berderau
Pada bagian ini akan ditunjukkan permasalahan pada skema estimasi arah
kedatangan dengan teknik sparsitas sudut yang diusulkan oleh Irina dan Rao [14]
(Gambar III.7). Permasalahan yang dimaksudkan di sini adalah sensitif skema
terhadapnoise. Sifat sensitif terhadapnoiseini mudah diperkirakan karena menurut
teori estimasi, nilai terbaik untuk mengestimasi suatu besaran adalah dari nilai
rata-rata pengukuran tersebut ([19]). Dengan hanya satu sampel, maka nilai rata-rata
tergantung dengan sampel itu sendiri. Untuk verikasi kelemahan ini, program
simulasi dikembangkan menggunakan Matlab dengan parameter sebagai berikut:
• jumlah antena : 12
• jumlah sumber : 1
• sudut kedatangan sinyal : -30 derajat
• jarak antar antena (λ) : 0,5
• SNR (db) : variabel dari -20 sampai 20 dengan interval 5 dB.
• jumlah percobaan : 10 kali untuk setiap SNR.
Hasil simulasi berupa estimasi arah kedatangan diperlihatkan pada Gambar V.1.
Pada gambar tersebut, terlihat bahwa skema sparsitas sudutmemiliki kesalahan
estimasi yang besar untuk SNR yang kurang dari 5 dB. Untuk membandingkan
tingkat estimasi kesalahan pada tiap SNR, maka pada setiap SNR, hasil estimasi
sudut kedatangan dihitung nilai standar deviasinya. Standar deviasi ini dikurvakan
seperti yang tampak pada Gambar V.2.
Pada Gambar V.2, terlihat bahwa skema sparsitas sudut satu sampel memiliki
akurasi yang kurang baik pada SNR kurang dari 5 dB. Kesalahan akurasi walau
pun kecil, masih terlihat untuk SNR 5 dan 10 dB. Untuk melihat seberapa buruk
kondisi ini, bagian berikutnya akan dibandingkan performaskema sparsitas sudut
dengan algoritma estimasi arah kedatangan klasik MVDR dan MUSIC.
33
−5 0 5 10 15−80
−60
−40
−20
0
20
40
SNR (dB)
Sud
ut
Gambar V.1: Hasil estimasi sudut sebagai fungsi SNR dari skema sparsitas sudutdengan sepuluh percobaan untuk setiap SNR
V.2 Simulasi perbandingan dengan algoritma klasik
Untuk memperoleh perbandingan bagaimana sensitifitas dariskema sparsitas sudut
ini dibandingkan dengan algoritma klasik dari estimasi arah kedatangan, simulasi
kedua dijalankan dalam lingkungan yang sama seperti sebelumnya. Algoritma
klasik yang diujicobakan adalah algoritma MVDR dan MUSIC. Sumber sinyal
ada satu buah yang datang pada sudut -30 derajat. Akurasi estimasi dinyatakan
dengan standard deviasi kesalahan antara sudut estimasi dengan sudut sebenarnya.
Hasil perbandingan terlihat pada Gambar V.3. Pada gambar tersebut, terlihat
bahwa performa dari algoritma klasik MVDR sangat superior dibandingkan dengan
sparsitas sudut. Bahkan untuk SNR -10 dB, skema klasik MVDR masih memiliki
kesalahan yang kurang dari 5 derajat.
V.3 Simulasi skema yang diusulkan
Selanjutnya disimulasikan skemamulti-snap sparsitas sudut sebagai usulan
perbaikan dari skema sparsitas sudut dengan 1 sampel saja. Skema multi-snap
adalah skema yang berdasarkan pada ekstensi skema 1 sampel dengan
menggunakan beberapa sampel (Gambar III.8). Pada simulasiyang diujicobakan,
34
−5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
SNR
ST
D E
rro
r
PERFORMA COMPRESSIVE SENSING − DOA (SPARSITAS PADA SUDUT − ALGORITMA IRINA)
Gambar V.2: Standard Deviasi Error sebagai fungsi dari SNR
digunakan 20 sampel. Hasil simulasi menunjukkan adanya perbaikan performa
dibandingkan dengan skema asal. Untuk SNR lebih dari 0 dB, skema ini
menunjukkan tingkat akurasi yang sama baik dengan algoritma MUSIC dan
MVDR. Sebagai pengembangan lebih lanjut, skema yang diusulkan ini kemudian
diperbaiki lagi dengan membuang hasil estimasioutliers. Pembuanganoutliers
dilakukan dengan melihat simpangan hasil estimasi dengan hasil rata-rata. Dengan
menetapkan suatuthreshold maka hasil estimasi yang memiliki selisih dengan
rata-rata yang lebih besar darithreshold diketegorikan sebagaioutliers dan
dikeluarkan dari hasil estimasi. Semua hasil simulasi ini dirangkum pada Gambar
V.4. Skema pembuanganoutliers ini memberikan perbaikan pada SNR kurang dari
0 dB, namun masih kalah dengan skema tanpa pembuanganoutliersuntuk SNR di
atas 0 dB.
35
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
5
10
15
20
25
30
35
40
SNR (dB)
Sta
ndar
d D
evia
si E
rror
CS−Sparsitas SudutMVDRMUSIC
Gambar V.3: Perbandingan performansi skema sparsitas sudut dengan algoritmaMVDR dan MUSIC
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
5
10
15
20
25
30
35
40
SNR (dB)
Sta
ndar
d D
evia
si E
rror
CS−Sparsitas SudutMVDRMUSICProposed MethodProposed Method − Outliers Removal
Gambar V.4: Perbandingan skema sparsitas sudut, skema klasik, dan skema yangdiusulkan
36
DAFTAR PUSTAKA
[1] J. Capon, “High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis,”
Proceedings of IEEE, Vol. 57, No. 8, August 1969, 1969.
[2] S. P. Applebaum, “Adaptive array,”IEEE Transactions on Antennas and
Propagation, Vol. Ap-24, No. 5, September 1976, 1976.
[3] R. O. Schmidt, “Multiple emitter location and signal parameter estimation.
in ieee transactions on antennas and propagation, vol. ap-34, no. 3, march
1986,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. Ap-24,No. 5,
September 1976, 1986.
[4] A. J. Barabell, “Improving the resolution performance ofeigenstructure-based
direction-finding algorithms,”Proceeding of IEEE Conference on Acoustics,
Speech, and Signal Processing, 1983, 1983.
[5] A. Lee, “Centrohermitian and skew-centrohermitian matrices,” Journal of
Linear Algebra and Its Applications. 29:205-210, 1980.
[6] K.-C. Huarng and C.-C. Yeh, “A unitary transformation method for
angle-of-arrival estimation,”IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 39,
No.4, April 1991, 1991.
[7] M. Pesavento, A. B. Gershman, and M. Haardt, “Unitary root-music with a
real-valued eigendecomposition: A theoretical and experimental performance
study,” IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.48, No. 5, May 2000,
2000.
[8] R. Roy, A. Paulraj, and T. Kailath, “Estimation of signal parameters
via rotational invariance techniques esprit.”Proceeding of IEEE Military
Communications (MILCOM) Conference - Communications, Vol.3, Oct. 1986,
1986.
[9] M. Haardt and J. Nossek, “Unitary esprit: How to obtain increased estimation
accuracy with a reduced computational burden,”IEEE Transactions on Signal
Processing, Vol. 43, No. 5, May 1995, 1995.
[10] G. Xu, S. D. Silverstein, R. H. Roy, and T. Kailath, “Beamspace esprit,”IEEE
Transactions on Signal Processing. Vol. 42, No. 2, February 1994., 1994.
37
[11] D. L. Donoho, “Compressed sensing,”IEEE Transactions on Information
Theory, Vol. 52, No. 4, April 2006, 2006.
[12] E. Candes, “Compressive sampling,”Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006, 2006.
[13] R. Baraniuk, “Compressive sensing,”IEEE Signal Processing Magazine.
Volume 24. July 2007, 2007.
[14] I. F. Gorodnitsky and B. D. Rao, “Sparse signal reconstruction from
limited data using focuss: A re-weighted minimum norm algorithm,” IEEE
Transactions on Signal Processing, Vol.45. No.3, March 1997, 1997.
[15] Y. Wang, A. Pandharipande, and G. Leus, “Compressive sampling based mvdr
spectrum sensing,”Proceeding of IAPR 2010., 2010.
[16] A. C. Gurbuz and J. H. McClellan, “A compressive beamforming method,”
Proceeding of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and
Signal Processing, 2008., 2008.
[17] Direction Estimation Using Compressive Sampling Array Processing, 2009.
[18] J. M. Kim, O. K. Lee, and J. C. Ye, “Compressive music: Revisiting the link
between compressive sensing and array signal processing,”IEEE Transaction
on Information Theory, Vol. 58, No. 1, January 2012, 2012.
[19] S. M. Kay, Statistical Signal Processing - Volume 1 : Estimation Theory.
Englewood Cliff, 1998.
[20] B. V. Veen and K. M. Buckley, “Beamforming: A versatile approach to spatial
filtering,” IEEE ASSP Magazine, April 1988, 1988.
[21] P. Chen, X. Tian, Y. Chen, and X. Yang, “Delay and sum of beamforming on
fpga,” In ICSP Proceeding 2008, 2008.
[22] Y. Zeng and R. C. Hendriks, “Distributed delay and sum beamformer for
speech enhancement via randomized gossip,”IEEE/ACM Transactions on
Audio, Speech, and Language Processing, Vol. 22, No. 1, January 2014, 2014.
[23] H. Cox, R. M. Zeskind, and M. M. Owen, “Robust adaptive beamforming,”
IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. Assp-35,
No. 10, October 1987, 1987.
38
[24] G. H. Golub and C. V. Loan,Matrix Computation. Johns Hopkins University
Press; 3rd edition (October 15, 1996), 1996.
[25] M. Zoltowski, “On the performance analysis of the mvdr beamformer in the
presence of correlated interference,”IEEE Transactions on Acoustics, Speech,
and Signal Processing, Vol. 36, No. 6, June 1988., 1988.
[26] M. Kaveh and A. J. Barabell, “The statistical performance of the music
and the minimum-norm algorithms in resolving plane waves innoise,” IEEE
Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing,Vol. ASSP-34, No.
2, April 1986., 1986.
[27] P. Stoica and A. Nehorai, “Music, maximum likelihood, and cramer-rao
bound,” IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing. Vol
37. No 5.May 1989, 1989.
[28] Direction Finding with Uniform Circular Array Via Phase Mode Excitation
and Beamspace Root-MUSIC, 1992.
[29] H. Nyquist, “Certain topics in telegraph transmission theory,” Transaction of
AIEE, Vol. 47, pp. 617644, Apr. 1928, 1928.
[30] C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,”Proceeding of
Institute of Radio Engineers, Vol. 37, No. 1, Jan. 1949, 1949.
[31] T. Strohmer, “Measure what should be measured: Progress and challenges
in compressive sensing,”IEEE Signal Processing Letters, Vol. 19, No. 12,
December 2012, 2012.
[32] K. Hayasi, M. Nagahara, and T. Tanaka, “A users guide to compressive sensing
for communications systems,”In IEICE Transaction on Communication.
Vol.E86-B. No.3. March 2013, 2013.
[33] E. Candes, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: Exact
recovery from highly incomplete fourier information,”IEEE Transactions on
Information Theory, February 2006, 2006.
[34] T. T. Emmanuel Candes, Justin Romberg, “Stable signal recovery from
incomplete and inaccurate measurements,”Journal of Communications on
Pure and Applied Mathematics, Vol.59, No.8, August 2006, 2006.
[35] J. Romberg. (2005) l1-magic. [Online]. Available:
http://users.ece.gatech.edu/~justin/l1magic/
39
[36] S. Boyd. (2014) Cvx: Matlab software for disciplined convex programming.
[Online]. Available: http://cvxr.com/cvx/
[37] J. H. Friedman and W. Stuetzle, “Projection pursuit regression,”Journal of the
American Statistical Association, Vol. 76, No. 376 (Dec., 1981), pp. 817-823,
1981.
[38] S. Mallat and Z. Zhang, “Matching pursuits with time-frequency dictionaries,”
IEEE Transactions on Signal Processing, Volume:41, Issue:12. 1993, 1993.
[39] S. S. Chen, D. L. Donoho, and M. A. Saunders, “Atomic decomposition by
basis pursuit,”SIAM Review, Society for Industrial and Applied Mathematics,
Vol. 43,No. 1, pp. 129159, 2001, 2001.
[40] J. A. Tropp, “Greed is good : Algorithmic results for sparse approximation,”
IEEE Transactions on Information Theory. Vol.50, No.10, 2004.
40