Nama: Dwi Mei AstutiKelas: 1-LBNIM: 061430310174

APENDIKS A

Sistem Bilangan Kompleks

A.1 BILANGAN KOMPLEKSSebuah bilangan kompleks z merupakan sebuah bilangan yang memiliki bentuk x + jy, dimana x dan y merupakan bilangan-bilangan real dan j = . Dalam hal ini kita tuliskan x = Re z, bagian real dari z; y = Im z, bagian imajiner dari z. Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya jika masing-masing bagian real dan imajiner dari kedua bilangan kompleks tersebut sama.

1. 2x2+9x+7=0 = X1 = -1 X2 =

2. 5x2-6x+5=0

= = X1 = X2 = 0,6 J0,8

Simbol JJ = Pangkat J

Jm x Jn = Jm+n(Jm)n = JmxnJ =J2= -1J3=-JJ4=1Contoh soal :1. J25 = J4 x J4 x J4 x J4 x J4 x J4 x J = J2. J1001= (J4)250 x J = 1 x J = J3. J99= (J4)24 x J3 = 1 x -1 = -JA.2 BILANGAN KOMPLEKSSepasang sumbu sumbu ortogonal, dengan sumbu horizontal yang menggambarkan Re z dan sumbu vertikal j yang menggambarkan Im z akan membentuk sebuah bidang kompleks di mana setiap bilangan kompleks memiliki sebuah titik yang unik.

A.3 OPERATOR VEKTOR JSebagai tambahan terhadap pendefinisan parameter j yang diberikan pada Subbab A.1 sebelumnya, parameter j dapat dipandang sebagai sebuah operator yang berputar mengelilingi setiap bilangan kompleks ( vektor ) A 90 dalam arah yang berlawanan dengan arah putaran jarum jam. Pada kasus di mana A adalah bilangan real murni, x, prinsip kerja operator j ini dapat diilustrasikan pada Gambar A-2. Proses perputaran ( rotasi ) akan mengirim A ke posisi jx, pada sumbu imajiner positif. Jika dilanjutkan lebih jauh lagi. J2 akan memutar A sejauh 180, J3, 270, dan J4, 360. Juga diperlihatkan dalam Gambar A-2, sebuah bilangan kompleks B di kuadran satu pada sudut . Perhatikan bahwa j Bberada pada kuadran kedua, pada sudut + 90.

A.4 REPRESENTASI LAIN BILANGAN KOMPLEKSDalam subbab A1, bilangan kompleks didefinisikan dalam bentuk yang disebut sebagai bentuk rektangular. Pada gambar A-3, x = r cos , y = r sin , dan bilangan kompleks z dapat ditulis dalam bentuk trigonometrik sebagai :z = x + jy = r ( cos + j sin )di mana r adalah nilai modulus atau nilai absolut ( notasi r = |z| merupakan notasi yang umum atau biasa digunakan ) yang diberikan oleh persamaan r = x2 + y2, dan sudut = tan-1 ( y/x ) adalah argumen dari z.Berdasarkan formula Euler, yaitu e = cos + j sin , maka bilangan kompleks dapat ditampilkan dalam bentuk yang lain, yang disebut sebagai bentuk eksponensial.Z = r cos + jr sin = re

Bentuk ketiga, yang merupakan bentuk bilangan kompleks yang digunakan secara luas dalam analisis rangkaian adalah bentuk polar atau bentuk Steinmetz yang dirumuskan sebagai z = r di mana dalam derajat.

A.5 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKSUntuk menjumlahkan dua buah bilangan kompleks, jumlahkanlah bagian-bagian real dan imajiner dari masing-masing bilangan kompleks secara terpisah. Sementara untuk mengurangkan bilangan kompleks, kurangkanlah bagian-bagian real dan imajiner dari masing-masing bilangan kompleks secara terpisah. Dari sisi praktisnya, penambahan dan pengurangan bilangan kompleks dilakukan dengan mudah jika kedua bilangan berada dalam bentuk rektangular.

Z = a + Jb

Contoh : 1. Jika diberikan z1 = 5 j2 dan z2 = -3 j8, maka z1 + z2 = (5 - 3) + j(-2 - 8) = 2 j10 z1 - z2 = (-3 5) + j(-8 + 2) = -8 j6

A.6 PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKSHasil perkalian dua buah bilangan kompleks, jika keduanya memiliki bentuk eksponensial, dapat dilakukan berdasarkan hukum eksponen sebagai berikut :

Contoh soal :Z1 = 4 + J5Z2 = -3 + J2Z3 = 3 J4Z4 = -5 J7

Penjumlahan dan pengurangan bilangan komplekZ1 + Z2 = 1 + J7Z4 Z3 = -8 J3

Perkalian bilangan komplekZ1 x Z3 = (4 + J5)(3 J4) = 12 J16 + J15 J220 = J220 J + 12 = (-1) 20 + J3 + 12 = 20 + J3 + 12 = 32 + J3 = 32 J Pembagian bilangan komplek

=

Bilangan KonjugatZ1* = (4 + J5)(4 J5) = 16- J20 + J20-J225 = 16 - J225 = 16 (-1)25 = 41 (Bilangan Real)

BENTUK BILANGAN KOMPLEKS

Z = a + Jb Regtangular

Z = a + Jb = r cos + J r sin = r (cos + J sin )Z = r < Z = r < Polar

Contoh soal : Z = 4 + J3 = 5 = 36,86; Z = r < = 5 < 36,86 Z = a + Jb RegtangularZ* = a Jb

Z = r < PolarZ* = r < -

Z1Z2 = r1r2 < 1 + 2

Z1 = r1 < 1 Z2 = r2 < 2

Z = r ( cos + J sin ) TrigonometriZ* = r (cos J sin )

Z = r (eJ) EksponenZ* = r (e-J)

Z1Z2 = r1r2

Z1 = r1 (eJ1)Z2 = r2 (eJ2)

Ln Z = ln r + J

Contoh : Z = 5 eJ0,52ln Z = ln 5 + J0,52 = 1,6 + J0,52

LATIHAN SOAL - SOAL

1. Express each complex number in the polar form a. 15 = 15 = 15 < 45O

b. 5 = 5 = 5 < -120O

c. -4 = -4 = 4 < -30o

d. -2 = -2 = 2 < 90O

e. 10 = 10 = 10 < -210

f. -18 = -18 = 18 < -90O

2. Perform the indicated operation a. Z = 3- J4 Z x Z* = (3 J4)(3 + J4) = 9 + J12 J12 J216 = 9 (-1)16 = 25

b. Z = 10 < -40o = 10 (cos -40 + J sin -40) = 10 (0,766) + J 10 (-0,6427) = 7,66 J6,427

Z x Z* = (7,66 J6,427)(7,66 + J6,427) =58,67 + J49,23 J49,23 J241,30 = 58,67 (-1)41,30 = 100

C. Z = 20 < 53,1O = 20 (COS 53,1O+ J sin 53,1o) =20 (0,6) + J 20 (0,799) =12 + J15,98 Z + Z* = (12 + J15,98)+(12 J15,98) =24

d. Z = 2,5 = 2,5 = 2,5 < -60o = 2,5 (cos -60 + J sin -60) = 2,5 (0,5 + J -0,866) = 1,25 J2,165 Z x Z* = (1,25 J2,165)( 1,25 + J2,165) = 1,56 + J2,7 J2,7 J24,687 = 1,56 (-1)4,687 = 6,25

e. Z = 2 + J8 Z Z* = ( 2 + J8)-(2 J8) = J16

f. Z = 10 J4 Z + Z* = (10 J4) + (10 + J4) = 20

g. Z = 95 < 25O = 95 (cos 25 + J sin 25) = 95 (0,906 + J 0,4226) = 86,07 + J40,147 Z Z* = (86,07 + J40,147) - (86,07- J40,147) = J80,2

h. Z = r < = 1 < = 1 < 2

3. Use the slide rule to convert each complex number from polar to rectangular form a. -12 + J16 r = = 20 = = -53,06 Z = 20 < -53,06

b. 2 J4 r = = = 4,47

= -63,43 Z = 4,47 < - 63,43

c. Z = -59 J25 r = = 64,078 = 22,96 Z = 64 < 22,96

d. Z = 700 + J200 r = = 728,01 = 16 Z = 728 < 16

e. Z = 0,048 J0,153 r = = 0,16 = -72,58 Z = 0,16 < -72,58

f. Z = 0,0171 + J0,047 r = = 0,05 = 70 Z = 0,05 < 70

g. Z = -69,4 J40 r = = 80,1 = 29,95 Z = 80 < 29,95

h. Z = -2 + J2 r = = 2,82 = -45 Z = 2,82 < -45

4. Use the slide rule to covrt the complex number from polar to rectangular form a. Z = 10 < 3 = 10 (cos 3 + J sin 3) = 10 (0,998 + J 0,0523) = 10 + J0,523

b. Z = 25 < 88 = 25 (cos 88 + J sin 88) = 25 (0,0348 + J 0,999) = 0,871 + J25

c. Z = 50 < -93 = 50 (cos -93 + J sin -93) = 50 (-0,052 + J-0,998) = -2,62 J50

d. Z = 45 < 179 = 45 (cos 179 + J sin 179) = 45 (-0,999 + J0,017) = -45 + J0,785

e. Z = 0,02 < 94 = 0,02 (cos 94 + J sin 94) = 0,02 (-0,0697 + J0,997) = -0,00139 + J0,02

f. Z = 0,70 < 266 = 0,70 (cos 266 + J sin 266) = 0,70 (-0,0697 + J sin -0,997) = -0,0488 J0,70

g. Z = 0,80 < -5 = 0,80 (cos -5 + J sin -5) = 0,80 (0,996 + J 0,087) = 0,8 J0,0696

h. Z =200 < 181 = 200 (cos 181 + J sin 181) = 200 (-0,999 + J -0,017) = -200 J3,49

5. In the following problems find the quotient by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. Convert the number to the polar form and determine the quotient from this form. a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h. 6. Nyatakan dalam bentuk polar !a. 3 + J5 Z = 3 + J5 r == = = 59,03 Z = < 59,03

b. -6 + J3 r = = = 3 = = -26,55 Z = 3 < -26,55

c. -4 J5r = = = = 51, 34Z = < 51,347. Nyatakan dalam bentuk regtangular !a. 5 (cos 225o + J sin 225o) = 5 cos 225o + J 5 sin 225o = 5(-0,70) + J 5 (-0,70) = -3,5 + J (-3,5) = -3,5 J 3,5

b. 4 < 330o = 4 (cos 330o + J sin 330o) = 4 cos 330o + J 4 sin 330o = 4 (0,86) + J 4 (-0,5) = 3,44 + J (-2) = 3,44 J2

8. Nyatakan dalam bentuk eksponensial !a. Z1 = 10 < 37O15 = r 37,15 = = 0,65 Z = r = 10

b. Z2 = 10 < 322o45 = r 322,45 = = = 5,6 Z = r = 10

APENDIKS B

Matriks dan Determinan Matriks

B.1 PERSAMAAN SIMULTAN DAN MATRIKS KARAKTERISTIKTerdapat banyak sistem dalam bidang keteknikan yang digambarkan melalui suatu kumpulan persamaan simultan independen linear dalam bentuk

y1 = a11x1 + a12x2 +a13x3 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 +a23x3 + + a2nxn

ym = am1x1 + am2x2 + am3x3+ +amnxn

dimana xj merupakan variabel bebas (independen), yi adalah variabel tak bebas (dependen), dan aij adalah koefisien-koefisien dari variabel bebas. Aij dapat merupakan konstanta atau fungsi dari parameter tertentu. Bentuk yang lebih sederhana dan mudah untuk dicermati dapat diperoleh dengan menyatakan persamaan-persamaan di atas ke dalam bentuk matriks

Atau Y = AX, berdasarkan definisi perkalian AX dijabarkan pada subbab B.3. matriks A = disebut sebagai matriks karakteristik sistem; dimana ordeatau dimensinya dinyatakan sebagaid(A) = m x ndengan m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolomnya.

B.2 JENIS-JENIS MATRIKSMatriks baris. Merupakan matriks yang memiliki berapapun kolom tetapi hanya satu buah baris; d(A) = 1 x n. Matriks ini dikenal juga sebagai vektor barisMatriks kolom. Merupakan matriks yang memiliki berapapun baris tetapi hanya satu buah kolom; d(A) = m x 1. Matriks ini dikenal juga sebagai vektor kolom.Matriks diagonal. Adalah matriks yang elemen bukan nol-nya merupakan elemen diagonal utama.Matriks satuan. Adalah matiks diagonal yang nilai elemennya sama dengan satu.Matriks nol. Adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol.Matriks bujursangkar. Merupakan matriks dimana jumlah baris dan kolomnya sama; d(A) = n x m.Matriks simetri. Jika diberikan

Maka transpose dari A adalah

Jika baris dari matriks A merupakan kolom dari matriks AT, dan sebaliknya. Matriks A disebut simetri (symetric) jika A = AT; suatu matriks simetri dengan demikian haruslah merupakan matriks bujursangkar.Matriks Hermitian. Jika diberikan

Maka konjugat dari matriks A adalah

Matriks A adalah matriks hermitian jika A = (A*)T; jadi matriks hermitian adalah sebuah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen real pada diagonal utama dan elemen-elemen konjugat kompleks menempati posisi yang merupakan cermin pada diagonal utama. Perhatikan bahwa (A*)T = (AT)*.Matriks nonsingular. Sebuah matriks bujursangkar A n x n adalah nonsingular (dapat diinversikan) jika terdapat suatu matriks B n x n sedemikian hinggaAB = BA = IDimana I adalah matriks satuan n x n. Matriks B disebut sebagai invers dari matriks nonsingular A, dan kita tuliskan B = A-1. Jika A adalah nonsingular, maka untuk setiap Y, persamaan matriks Y = AX pada subbab B1 akan memiliki solusi unik sedemikian rupa sehinggaX = A-1Y

B.3 DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKARUntuk setiap matriks A= [ij] yang berukuran n x n melekat suatu fungsi scalar tertentu aij yang disebut sebagai determinan A. Bilangan ini dinotasikan sebagai

det A atau |A| atau A atau dimana bentuk terakhir menampilkan elemen dari A. Untuk determinan orde n = 1n dan n = 2, diperoleh (eksplisit)|a11| = a11= a11 a22 a12 a21Untuk n yang lebih besar, pernyataan yang analogi dengan pernyataan diatas akan menjadi sangat susah dan rumit sehingga seringkali dihindari melalui penggunaan teorema ekspansi Laplace (lihat bahasan dibawah). Hal yang penting untuk dicatat adalah bahwa determinan didefinisikan dengan cara sedemikian hingga det AB = (det A)(det B)untuk setiap dua buah matriks A dan B dengan ukuran n x n. Dua sifat dasar yang lain adalah det AT = det A det kA = kn det Aakhirnya, det A 0 jika dan hanya jika A adalah monosingular.CONTOH B3 Verifikasilah aturan perkalian determinan untukA = B = Dari kedua matriks di atas kita perolehAB = = dan = 2(27+ 2) (9+4)(-4) = 90 + 20Akan tetapi = 1(2)-4(3) = -10 = -2( 9(1)= -9 - 2Dan terlihat bahwa 90 + 20 = (-10)(-9 - 2).Teorema Ekspansi LaplaceMinor, Mij dari elemen aij dari suatu determinan matriks dengan orde n adalah determinan dengan orde n 1 yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang mengandung elemen aij Kofaktor dari elemen aij didefinisikan sebagai = (-1)i+j MijTeorema Laplace menyatakan : Dalam determinan dari matriks bujursangkar A, kalikanlah masing-masing elemen dalam baris (kolom) ke-p dengan kofaktor dari elemen yang berkorespondensi dalam baris (kolom) ke-q, dan jumlahkanlah hasil perkaliannya. Hasil akan sama dengan 0 untuk pq ; dan det A, untuk pq.Dari teorema Laplace juga dapat dinyatakan bahwa jika matriks A memiliki dua baris dan kolom yang sama maka det A= 0 (dan A mestilah merupakan sebuah matriks singular).Invers Matriks dengan Determinan; Aturan CramerTeorema ekspansi Laplace dapat ditunjukkan dalam perkalian matriks sebagai berikut :

= = Atau A (adj A) = (adj A)A = (det A) IDimana adj= [ adalah matriks transpose dari kofaktor aij dalam determinan A, dan I adalah matriks satuan n x n. Jika A non-singular, maka kita bisa melakukan pembagian dengan det A0 dan menyimpulkan bahwa = adj AIni berarti bahwa solusi unik untuk system linear Y= AX adalah X= ( adj A )YYang merupakan aturan Cramer dalam bentuk matriks. Biasanya bentuk determinan diperoleh dengan mempertimbangkan baris ke-r (r= 1, 2, 3,..., n) dari solusi matriks. Karena baris ke-r dari adj A adalah

= = ( y1+ y2+y3+ + yn)= Persamaan terakhir dapat diverifikasi dengan mengaplikasikan Teorema Laplace pada kolom ke-r dari determinan yang diberikan.

DETERMINAN

Determinan orde 2Eliminasi : Eliminasi :

= =Dapat ditulis sebagai berikut : = = Carilah dengan determinan !Jawab = = =

Determinan orde 3x3 :Kolom Baris

Salah satu cara adalah sebagai berikut (catatan menggunakan baris I) (Minor adalah bukan barisnya bukan kolomnya).Carilah determinan dari orde 3x3 berikut ini :1. Dengan memakai kolom 1 = == = 2. Dengan memakai baris 1

Contoh soal deteminan dengan orde 4x4 :

4

PERSAMAAN SIMULTAN DENGAN 3 VARIABEL (x, y, z)a1x + b1y + c1z + d1=0a2x + b2y + c2z + d2=0a3x + b3y + c3z + d3=0Jika kita cari x,y,z dengan eliminasi dan ditulis dalam bentuk determinan maka didapatkan sebagai berikut :

Contoh soal :2I1 + 3I2 + 8I3 -30 = 06I1 - I2 + 2I3 -4 = 03I1 - 12I2 + 8I3 = 0Carilah nilai I1, I2, dan I3.........?

0

MATRIKS

Matrik adalah sekumpulan bilangan rill atau elemen yang disusun menurut baris dan kolom. Sehngga membentuk jajaran atau array persegi panjang. Matrik yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matrik berode m x n. Notasi matrik jika tidak menimbulkan keragu-raguan keseluruhan matrik dinyatakan dengan sebuah elemen umum yang ditulis dalam kurung siku atau dengan huruf tebal, masing-masing elemen memiliki alamat atau tempat yang ditentukan dengan menggunakan sistem dua indek. Indek I menyatakan baris dan indek ke II menyatakan kolom. Penjumlahan dan pengurangan matrik

Perkalian matrika. Dengan Saklar

b. Perkalian dua matrik : dua matrik dapat dikalikan satu terhadap yang lainnya, hanya jika banyaknya kolom pada matrik yang I sam dengan banyaknya baris pada matrik II.

TransposeJika baris berubah menjadi kolom dan sebaliknya.

Matrik SatuanMatrik satuan adalah matrik diagonal yang semua elemen diagonalnya 1.Contoh soal :

Kalikanlah matrik A x I dan I x A

DETERMINAN MATRIK BUJUR SANGKARMatrik Determianan Kofaktor (minor baik tanda dan tepatnya). Kofaktor 7 = 13 Kofaktor 1=-42 Kofaktor -2= 33 Kofaktor 6= -25 Kofaktor 5=69 Kofaktor 4 =-53 Kofaktor 3=14 Kofaktor 8=-40 Kofaktor 9=29

Adjoin A=CT

PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINIER = Contoh soal :2x + 3y z 4 = 03x + y + 2z 13 = 0x + 2y 5z + 11= 0Carilah nilai x, y, dan z.....?Jawab :Matrik = Determinan = Kofaktor Kofaktor 2 = -9 Kofaktor 3 =13 Kofaktor -1= 7 Kofaktor 3 = 17 Kofaktor 1 = -9 Kofaktor 2 = -7 Kofaktor 1 = 5 Kofaktor 2 = -1 Kofaktor -5 = -7MatrikAdjoin A=CTA-1

METODE ELIMINASI GAUSS = x = bKita ubah ke bentuk matriks diperluas [B] yaitu :

Kita eliminasi elemen-elemen dalam kolom pertama kecuali elemen a11 dengan cara mengurangi baris ke-2 dengan a21/a11 kali baris pertama dan mengurangi baris ke-3 dengan a31/a11 kali baris pertama. Hasilnya adalah :

Ulangi proses tersebut untuk mengeliminasi Cn2=0 atau kolom ke-2 baris ke-3 sehingga menghasilkan segitiga nol.Contoh soal :X1 + 2X2 - 3X3 = 32X1 - X2 - X3 = 113X1 + 2X2 + X3 = -5Carilah nilai X1 , X2 , dan X3......?Jawab :

Matrik di perluas [B] :

Baris ke-2 => => => =>Baris ke-3 => => => =>

Mengubah -4 menjadi 0 => => =>Maka, Kalikan ke bentuk asal : 6X3 = -18 -5X2 + 5X3 = 5 X1 + 2X2 3X3 = 3 X3 = -3 X2 = -4 X1 = 2

30