UJI SEKUENSIAL HIPOTESIS TUNGGAL PADA

DATA YANG BERDISTRIBUSI BINOMIAL

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

BANI ADI NUGROHO

023114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

ii

iii

iv

“ Lakukan lebih dari sekadar ada di dunia ini, hiduplah”.

“Lakukan lebih dari sekadar menyentuh, rasakan”.

“Lakukan lebih dari sekadar melihat, perhatikan”.

“Lakukan lebih dari sekadar membaca, seraplah”.

“Lakukan lebih dari sekadar mendengar, simaklah”.

“Lakukan lebih dari sekadar berpikir, pikirkan dengan mendalam”.

“Lakukan lebih dari sekadar bicara, katakan sesuatu”.

( John H. Roades )

Skripsi ini kupersembahkan kepada

Allah Bapa di Surga dan Bunda Maria yang mahakasih,

Orang tuaku dan adek-adekku tercinta.

Almamterku tercinta Universitas Sanata Dharma

v

ABSTRAK

Uji sekuensial didesain sebagai alternatif uji dalam proses inferensi statistik bila dengan uji biasa dianggap kurang menguntungkan. Aturan dalam uji sekuensial dibuat sedemikian hingga meminimalkan ukuran sampel yang dibutuhkan dalam penelitian. Ada tiga keputusan yang bisa dibuat yaitu menolak hipotesis, menerima hipotesis, atau melanjutkan penelitian dengan mengambil sebuah pengamatan lagi. Proses pengujian berhenti bila terjadi keputusan menerima atau menolak hipotesis. Karena pengujian dilakukan langkah demi langkah sampai pengamatan ke-n dan banyaknya pengamatan tergantung hasil uji sekuensial pengamatan sebelumnya, maka banyaknya pengamatan adalah variabel random yang nilainya tidak dapat ditentukan sebelumnya.

vi

ABSTRACT

Sequential test is designed as an alternative test in statistic inference while in current test there is unprofitable. The rules in sequential test is given for making decisions at any stage of the experiment so it can minimize sample size which is needed in the experiment. There are three decision can be made, i.e., reject the hypothesa, accept the hypotesa, or continue the experiment by take one more observation again. Process will be terminate if one of the decision i.e. accept or reject the hypotesa is made. The test is done step by step until the n of observation, depends on the outcome of the last sequential test, theerefore the number of obsevation is not predetermined.

vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Allah Bapa di surga, karena berkat dan rahmat yang

telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan

kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya

skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Ibu Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang

telah meluangkan waktu, pikiran, serta sabar dalam membimbing penulis

selama penyusunan skripsi ini.

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dekan FMIPA dan dosen

pembimbing akademik yang selalu setia memberikan nasehat dan saran untuk

penulis.

3. Bapak Y.G. Hartono, M. Sc, selaku Ketua Program Studi Matematika yang

telah banyak membantu dan memberikan saran.

4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat

berguna bagi penulis.

5. Mas Tukijo, Ibu Linda, dan Ibu Suwarni yang telah memberikan pelayanan

administrasi selama penulis kuliah.

6. Perpustakaan USD dan staf yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan

kepada penulis.

7. Kedua orang tuaku tercinta, adekku (Gethuk dan Bulus) yang selalu

memberikan dukungan dalam segala hal.

viii

8. Teman-teman geng selebor yang ancur: Aan, Ijup, Taim, Galih, Marcoes, Tato

yang selalu memberikan warna dalam persahabatan Q-ta.

9. Teman-teman angkatan 2002: Ika, Vida, Pengky, Priska, Retno, Sari, Lily,

Lenta, Deby, Lia, Dani, Asih, Rita, Wuri, Aning, Feliks, Nunung, Desy, Deon,

Chea, Palem yang selalu kompak dalam melewati kebersamaan di Matematika.

10. Kost Kodok Ijo n’ Friends: Oky, Sumin, Gondronk, Didiet, Topan, Feliks,

Tepe, Rt, Doghox, Robert yang selalu ceria berbagi kebersamaan dan selalu

memberikan dukungan kepada penulis, serta Pak Harwani sekeluarga yang

tidak pernah cape’ menghadapi kenakalan dan keisengan penulis.

11. Kakak angkatan 1998-2001 dan Adek-adek angkatan 2003-2006 yang

memberikan warna kehidupan kepada penulis selama kuliah.

12. Mbak Indah yang memberikan nasehat dan mau membagi pengalamannya

dalam menulis skripsi.

13. Mas Kariyaman yang memberikan semangat dan berbagi pengalaman hidup.

14. Merry atas pinjaman buku-bukunya, Djembat atas dukungan dan semangat

yang diberikan, Katrin atas saran-sarannya, mehonk atas kekonyolannya.

15. Marwan dan keluarga yang selalu mendukung dalam segala hal.

16. Mr. Pow, Babi, Djaran, Bayu, Jacky, Trimbil, Djeruk, Senthot, Isaac, Khuri,

djarir, Ucup, Era, Tika, Mia, Vina atas persahabatan masa SMA yang masih

terjaga hingga sekarang.

17. Iyha’ yang selalu mendukung dan mendoakanku, Ary yang selalu memberi

semangat, dan Siti yang nun jauh disana, thanks atas semuanya.

ix

18. Teman-teman KKN XXXI kelompok 18: Udhik, Mbok Tien, Mbok Lemot,

Mbok Toyib, Mbok Mesum, Sigit, Eyang, Nat Nat, Linda.

Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan disini.

Yogyakarta, April 2007

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL......................................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN........................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA............................................................ v

HALAMAN PERSEMBAHAN........................................................................ vi

ABSTRAK......................................................................................................... vii

ABSTRACT....................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR....................................................................................... x

DAFTAR ISI..................................................................................................... xi

BAB I. PENDAHULUAN................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah........................................................................ 1

B. Rumusan Masalah................................................................................. 3

C. Pembatasan Masalah............................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan................................................................................... 4

E. Metode Penulisan.................................................................................. 4

F. Manfaat Penulisan................................................................................. 4

G. Sistematika Penulisan............................................................................ 4

BAB II. LANDASAN TEORI.......................................................................... 6

A. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas....................................... 6

B. Distribusi Binomial............................................................................... 7

C. Populasi dan Sampel............................................................................. 8

xi

D. Distribusi Sampling.............................................................................. 9

E. Hipotesis Statistik................................................................................. 12

F. Uji Mengenai proporsi.......................................................................... 16

BAB III. UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI......................................... 19

A. Uji Hipotesis dan Statistik Uji.............................................................. 22

B. Kriteria Uji............................................................................................ 27

C. Hubungan Antara A,,βα , dan B ........................................................ 28

D. Penentuan Konstanta A dan B............................................................... 31

E. Fungsi Karakteristik Operasi................................................................ 42

F. Fungsi Rataan Ukuran Sampel............................................................. 59

BAB IV. APLIKASI UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI..................... 70

BAB V. PENUTUP.......................................................................................... 80

A. Kesimpulan........................................................................................... 80

B. Saran..................................................................................................... 81

DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 82

xii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Inferensi statistik adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang membahas

tentang penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi berdasarkan pengamatan

terhadap sampelnya. Saat ini begitu banyak bidang kehidupan yang

memanfaatkan proses inferensi statistik untuk pengambilan keputusan mengenai

permasalahan yang dihadapi. Misal dalam hal pengendalian mutu suatu produk.

Perusahaan berharap produk itu sesuai dengan standar mutu yang telah ditetapkan,

maka harus dilakukan pengendalian mutu yang melibatkan proses dalam inferensi

statistik. Proses inferensi statistik di sini dibutuhkan dalam pengambilan

keputusan apakah produk yang dihasilkan layak atau tidak untuk dipasarkan dan

seberapa perlu meningkatkan faktor produksi (misal: mutu bahan baku, modal,

mesin produksi) agar produk sesuai dengan standar mutu yang diharapkan..

Salah satu metode dari inferensi statistik adalah analisis sekuensial. Analisis

sekuensial adalah salah satu prosedur analisis dengan banyak pengamatan yang

dilakukan tidak ditentukan sebelum penelitian dimulai. Prosedur analisis

dilakukan ketika pengamatan yang dikumpulkan sudah cukup untuk membuat

keputusan dengan tingkat resiko yang telah dipilih. Prosedur ini membutuhkan

sedikit pengamatan dan penggunaannya tidak akan meningkatkan resiko α dan β.

2

Untuk cara-cara pengujian hipotesis yang biasa, ukuran sampel yang

digunakan besarnya telah ditentukan terlebih dahulu. Penentuannya dapat

dilakukan berdasarkan besar resiko penolakan hipotesis yang seharusnya diterima

dan penerimaan hipotesis yang seharusnya ditolak. Dengan kata lain, berdasarkan

pada nilai-nilai α dan β yang mau diterima. Dalam kenyataannya, cara demikian

sering mengakibatkan ukuran sampel cukup besar sehingga ditinjau dari segi

biaya tidaklah ekonomis. Tentu saja hal ini tidak akan menjadikan persoalan

apabila harga bahan yang diteliti murah dan biaya untuk melakukan pengujian

tersebut tidak mahal, sehingga ukuran sampel yang minimum tidak menjadi

penting.

Kecuali alasan-alasan diatas, uji sekuensial sangat menguntungkan apabila:

1. Tiap obyek dapat diuji sendiri-sendiri.

2. Waktu reaksi perlakuan terhadap obyek cukup pendek.

3. Keadaan tidak mengijinkan untuk melakukan pengujian terhadap lebih dari

satu obyek sekaligus.

4. Tejadinya obyek atau kasus sangat jarang.

Ciri utama dari uji sekuensial yang membedakannya dari uji statistik biasa

adalah bahwa banyaknya pengamatan yang dibutuhkan dalam uji sekuensial ter-

gantung dari hasil pengamatan sebelumnya dan banyaknya pengamatan tidak

ditentukan sebelumnya. Jadi banyaknya pengamatan dalam uji sekuensial

merupakan variabel random. Metode yang akan kita tinjau disini hanyalah

mengenai uji sekuensial sehubungan dengan hipotesis parameter p.

3

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai

berikut:

1. Bagaimanakah bentuk hipotesis statistik untuk uji sekuensial?

2. Bagaimanakah cara menentukan daerah kritis untuk uji sekuensial?

3. Bagaimana penyusunan rencana samplingnya?

4. Seperti apakah bentuk fungsi karakteristik operasi untuk uji sekuensial?

5. Bagaimana rata-rata ukuran sampelnya?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut:

1. Skripsi ini hanya akan membahas tentang uji sekuensial terutama uji

sekuensial untuk parameter tunggal. p

2. Teorema limit pusat tidak dibuktikan.

3. Nilai untuk nilai ( )pL 0=p yang berkaitan dengan +∞=h dan nilai 1=p

yang berkaitan dengan −∞=h hanya dijabarkan secara logis saja, tidak

secara matematis karena membutuhkan kalkulus yang lebih lanjut.

4. Rataan ukuran sampel pada persamaan (3.84) tidak dibuktikan karena

membutuhkan kalkulus yang lebih lanjut.

4

D. Tujuan Penulisan

Tujuan skripsi ini adalah untuk memperdalam pengetahuan tentang uji se-

kuensial dan memahami konsep-konsep dasar yang terdapat didalamnya.

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan

menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, makalah-makalah yang telah dipublikasi-

kan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

F. Manfaat Penulisan

Penulisan skripsi ini diharapkan dapat berguna untuk menambah wawasan

tentang uji sekuensial. Uji sekuensial ini memiliki keuntungan jika berada pada

kondisi tertentu, sehingga dapat digunakan sebagai alternatif uji statistik ketika

dengan kondisi itu lebih menguntungkan untuk menggunakan metode ini.

G. Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan, pada bagian ini akan dibahas tentang latar belakang

masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode

penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

5

Bab II. Landasan Teori , pada bagian ini akan dibahas tentang variabel

random dan distribusi probabilitas, distribusi binomial, populasi dan sampel,

distribusi sampling, uji hipotesis, dan uji mengenai proporsi.

Bab III. Uji Sekuensial untuk Proporsi, pada bagian ini akan dibahas

tentang uji hipotesis dan statistik uji sekuensial, kriteria uji sekuensial, hubungan

antara A,,βα dan B , penentuan konstanta A dan B, fungsi karakteristik operasi,

dan fungsi rataan ukuran sampelnya.

Bab IV. Aplikasi Uji Sekuensial untuk Proporsi, pada bagian ini akan

dibahas penyelesaian masalah tentang lapisan pelindung pada peluru.

Bab V. Penutup, berisi kesimpulan dan saran

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Variabel Random dan Distribusi Probabilitas

Variabel random, misal X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang

sampel S yang memetakan setiap elemen Sa∈ ke suatu bilangan real. Variabel

random ini dinotasikan dengan:

( ) SaxaX ∈= ,

a 0 ú

dengan

( )aX = Variabel random

x = Nilai variabel random

Variabel random diskret adalah variabel random yang nilainya berhingga atau tak

berhingga terbilang.

Jika pada sebuah pengamatan probabilitas didaftarkan seluruh keluaran yang

mungkin dari variabel random diskret X , yaitu dan kemudian

didaftarkan pula nilai probabilitas yang berkaitan dengan keluaran tersebut, yaitu

, ,

nxxxx ,,,, 321 K

( )1xXP = ( )2xXP = ( )3xXP = ,...., ( )nxXP = maka telah dibentuk suatu

distribusi probabilitas diskret dari variabel X .

Pernyataan ( )xf disebut sebagai fungsi probabilitas dari variabel random X

dengan ( ) ( )xXPxf == . Terdapat dua hal yang harus dipenuhi , yaitu: ( )xf

7

1. Nilai-nilai dari suatu fungsi probabilitas adalah angka-angka yang berada

dalam interval antara 0 dan 1. Jadi nilai nilai fungsi yang mungkin akan selalu

berada dalam interval ( ) 10 ≤≤ xf

2. Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1, sehingga ( )∑ =1xf

Jika X menyatakan suatu variabel random diskret yang dapat mengambil

nilai yang masing-masing mempunyai probabilitas

dengan

nxxxx ,,,, 321 K

( ) ( ) ( ) ( )nxfxfxfxf ,,,, 321 K ( ) ( ) ( ) ( ) 1,,, 321 =++++ nxfxfxfxf K , maka

nilai harapan dari X yang dinyatakan dengan ( )XE didefinisikan sebagai:

( ) ( )∑=

=n

iii xfxXE

1

B. Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probabilitas diskret yang

paling sering digunakan dalam analisis statistik modern. Suatu distribusi binomial

dibentuk oleh suatu pengamatan binomial. Pengamatan ini merupakan kali

percobaan Bernoulli sehingga harus memenuhi kondisi:

n

1. Jumlah percobaan adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya. n

2. Setiap pengulangan pengamatan yang biasa disebut percobaan, hanya dapat

menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, yaitu sukses atau gagal.

3. Probabilitas sukses dan probabilitas gagal adalah p pq −= 1 selalu konstan

dalam setiap percobaan.

4. Setiap percobaan saling bebas secara statistik, yang berarti keluaran suatu

percobaan tidak berpengaruh pada keluaran percobaan lainnya.

8

Dalam sebuah pengamatan binomial dengan kali percobaan, maka

probabilitas sukses adalah

n

p dan probabilitas gagal adalah pq −= 1 . Jika suatu

variabel random X menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada n percobaan

tersebut, maka dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas dengan fungsi

probabilitasnya:

( ) xnxnxb qpCpnxP −=;; ;

dengan

• ; ; dan nx ,,3,2,1 K= K,3,2,1=n 10 ≤≤ p

• = kombinasi dari n objek pengamatan dengan setiap pemilihan

diambil

nxC

x objek.

C. Populasi dan Sampel

Analisis statistik dilakukan untuk mengambil kesimpulan tentang parameter

populasinya berdasarkan pengamatan terhadap sampel. Dengan demikian harus

diusahakan agar diperoleh sampel sedemikian sehingga merupakan gambaran dari

populasinya. Dalam berbagai penyelidikan yang dilakukan, sering dijumpai

populasi yang berbeda-beda keadaanya. Oleh karena itu, agar dapat memperoleh

sampel yang dapat memberikan gambaran yang tepat untuk masing-masing

populasinya, maka harus digunakan sampel yang berbeda-beda pula macamnya.

Salah satu macam sampel yang dianggap dapat menggambarkan keadaan dari

populasi yang tidak terlalu heterogen adalah sampel random. Sampel random

adalah sampel yang pengambilannya sedemikian hingga tiap elemen populasinya

mempunyai kemungkinan sama untuk terambil dalam sampel. Pengamatan dalam

9

sampel ini bersifat bebas satu dengan yang lain. Dengan demikian variabel

random akan merupakan sampel random berukuran n jika variabel-

variabel itu saling bebas dan berdistribusi probabilitas identik.

nXXX ,,, 21 K

Suatu sampel random berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai

fungsi probabilitas adalah himpunan n variabel random bebas

yang masing-masing berdistribusi probabilitas

( )xf nXXX ,,, 21 K

( )xf .

Suatu harga yang dihitung dari suatu sampel dinamakan statistik. Karena

banyak sampel bisa diambil dari populasi yang sama, maka diharapkan bahwa

harga statistik yang dihitung dari masing-masing sampel itu akan berbeda-beda

satu dengan yang lain. Sehingga statistik adalah variabel random dan mempunyai

distribusi probabilitas.

D. Distribusi Sampling

Distribusi probabilitas suatu statistik dinamakan distribusi sampling harga

statistik. Deviasi standar distribusi sampling suatu statistik dinamakan kesalahan

standar statistik itu.

Pengertian mengenai distribusi sampling dapat dijelaskan dengan

menunjukkan bagaimana distribusi itu dibentuk. Misal ada populasi dengan N

elemen dan mempunyai mean μ , variansi , dan proporsi2σ p , maka dilakukan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Diambil sampel random dengan elemen . Selanjutnya dihitung

harga-harga statistik sampel ini, misal mean (diberi lambang

nXXX ,,, 21 K

1X ), variansi

10

(dilambangkan ), proporsi (dilambangkan dengan ) dan sebagainya.

Setelah itu elemen-elemen yang terambil dalam sampel ini dikembalikan lagi

ke dalam populasinya sehingga populasi itu tetap mempunyai N elemen.

21S p

2. Diambil lagi sampel random dengan n elemen, yang lain dengan sampel

random yang pertama tadi. Dua sampel dikatakan berbeda apabila minimal

ada satu elemen yang berbeda. Dari sampel kedua ini juga dihitung harga-

harga statistiknya. Kemudian elemen-elemen yang telah diambil dalam sampel

ini dikembalikan lagi ke dalam populasinya, sehingga populasi itu tetap

seperti semula.

3. Pekerjaan pengambilan sampel ini dan perhitungan harga-harga statistiknya

dilakukan terus menerus sampai semua sampel random berelemen n yang

berlainan satu dengan yang lain, yang mungkin dapat diambil dari populasi itu

telah dihabiskan. Elemen-elemen sampel (setelah dihitung harga-harga

statistiknya) dikembalikan ke dalam populasinya , sebelum sampel berikutnya

diambil. Oleh karena itu populasi itu tetap mempunyai N elemen setiap kali

sampel random baru diambil.

4. Harga-harga statistik sampel pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya ini

dikumpulkan. Himpunan-himpunan dari harga statistik ini dinamakan

distribusi sampling.

Jika harga –harga statistik ini adalah mean, maka distribusi samplingnya

dinamakan distribusi sampling mean, yaitu himpunan harga-harga

},,,{ 321 KXXX . Jika harga-harga statistik yang dihitung itu harga-harga

variansi, maka distribusi samplingnya dinamakan distribusi sampling variansi,

11

yaitu himpunan harga-harga . Jika harga-harga statistik yang

dihitung itu harga-harga proporsi, maka distribusi samplingnya dinamakan

distribusi sampling proporsi.

},,,{ 23

22

21 KSSS

Untuk distribusi sampling proporsi, jika dalam sebuah populasi berukuran N

yang didalamnya terdapat probabilitas sukses adalah p dan probabilitas gagalnya

adalah pq −= 1 , maka dari sampel random berukuran yang diambil dari

populasi itu terdapat nilai proporsinya. Distribusi proporsi-proporsi dari seluruh

sampel random berukuran n yang mungkin diambil dari populasi dapat dicari nilai

mean dan standar deviasinya sebagai berikut:

n

• Jika populasinya berhingga

pp =μ

1−−

=N

nNnpq

pσ

• Jika populasinya tak berhingga

pp =μ

npq

p =σ

dengan :

pμ = mean dari distribusi sampling proporsi

pσ = deviasi standar dari distribusi sampling proporsi

N = ukuran populasi

n = ukuran sampel

12

Distribusi sampling mempunyai sifat-sifat yang sangat penting terutama

dalam hubungannya dengan sampel dan populasi. Sifat-sifat ini sangat perlu untuk

diketahui karena peranan distribusi sampling dalam inferensi statistik.

Untuk ukuran sampel n cukup besar berlaku sifat bahwa jika populasi

berdistribusi binomial dengan parameter p , maka distribusi sampling proporsinya

mendekati distribusi normal. Hal ini dikenal sebagai teorema limit pusat.

E. Hipotesis Statistik

Pengujian hipotesis statistik merupakan bidang paling penting dalam

statistika inferensi. Hipotesis statistik sendiri adalah pernyataan atau dugaan

mengenai satu atau lebih populasi. Benar atau salahnya suatu hipotesis tidak akan

diketahui dengan pasti kecuali bila seluruh populasi diperiksa. Tentu saja, dalam

kebanyakan situasi hal itu tidak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, dapat

diambil suatu sampel random dari populasi tersebut. Informasi yang dikandung

dari sampel itu digunakan untuk memutuskan apakah hipotesis itu kemungkinan

besar benar atau salah. Bukti yang tidak konsisten dengan hipotesis yang

dinyatakan akan membawa pada penolakan hipotesis tersebut, sedangkan bukti

yang mendukung hipotesis akan membawa pada penerimaannya. Penerimaan

suatu hipotesis merupakan akibat tidak cukupnya bukti untuk menolaknya, tetapi

tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar. Hipotesis yang ingin diuji

kebenarannya dalam suatu penelitian dengan data kuantitatif pada umumnya

diletakkan sebagai hipotesis altenatif. Kata alternatif disini berarti menunjukkan

13

ada hipotesis yang lain yaitu hipotesis nol. Hipotesis alternatif dilambangkan

dengan dan hipotesis nol dilambangkan dengan . 1H 0H

Misal n menyatakan banyaknya pengamatan yang merupakan dasar

pengambilan keputusan (menolak hipotesis, menerima hipotesis). Setiap n-

pengamatan merupakan sampel berukuran n. Setiap prosedur pengujian adalah

suatu aturan untuk menolak hipotesis atau menerima hipotesis berdasarkan

sampel. Prosedur pengujiannya merupakan pemecahan semua sampel yang

mungkin menjadi dua bagian yang saling lepas, namakan daerah 1 dan daerah 2.

hipotesis ditolak apabila sampel berada di daerah 1 dan hipotesis diterima bila

sampel berada di daerah 2. Daerah 1 dinamakan daerah kritis. Karena daerah 2

berisi semua sampel yang tidak termasuk di daerah 1, maka daerah 2 diperoleh

dari daerah 1. Jadi, pemilihan prosedur pengujian setara dengan penentuan daerah

kritis.

Prosedur pengujian hipotesis dalam pengambilan keputusan dapat

membawa pada dua kesimpulan yang salah. Keputusan yang diambil untuk

menerima atau menolak suatu hipotesis mempunyai resiko kesalahan, yaitu :

• Kesalahan tipe I yaitu menolak sedangkan sebenarnya itu benar.

Probabilitas untuk melakukan kesalahan tipe I ini dilambangkan dengan

0H 0H

α .

• Kesalahan tipe II yaitu menerima sedangkan sebenarnya itu salah.

Probabilitas melakukan kesalahan tipe II ini dilambangkan dengan

0H 0H

β .

Untuk ukuran sampel yang tetap, penurunan probabilitas melakukan

kesalahan tipe I akan selalu diikuti dengan membesarnya probabilitas melakukan

kesalahan tipe II, demikian pula sebaliknya. Probabilitas melakukan kedua tipe

14

kesalahan tersebut dapat diperkecil secara bersama-sama dengan memperbesar

ukuran sampel. Dengan kata lain α dan β dapat diperkecil secara bersama-sama

dengan cara memperbesar ukuran sampelnya.

Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu arah seperti

,: 00 θθ =H

01 : θθ >H .

Atau

,: 00 θθ =H

01 : θθ <H .

disebut uji satu arah. Wilayah kritis bagi hipotesis 0θθ > teletak seluruhnya di

bagian kanan. Sedangkan wilayah kritis bagi hipotesis alternatif 0θθ < terletak

seluruhnya di bagian kiri. Dalam pengertian ini, tanda ketaksamaan menunjuk ke

wilayah kritisnya.

Uji hipotesis yang alternatifnya bersifat dua arah, yaitu :

,: 00 θθ =H

01 : θθ ≠H .

disebut uji dua arah, karena wilayah kritisnya dibagi menjadi dua bagian yang

ditempatkan di masing-masing ekor distribusi statistiknya. Hipotesis alternatif

0θθ ≠ menyatakan bahwa 0θθ < atau 0θθ > .

Hipotesis nol, , akan selalu dituliskan dengan tanda kesamaan sehingga

menspesifikasi suatu nilai tunggal. Dengan cara demikian, probabilitas melakukan

kesalahan tipe I dapat dikendalikan. Apakah akan digunakan uji satu arah atau dua

0H

15

arah bergantung pada kesimpulan yang akan ditarik bila ditolak. Lokasi

wilayah kritisnya dapat ditentukan hanya setelah hipotesis alternatif

dinyatakan.

0H

1H

Misal dalam pengujian suatu obat baru, dapat dibuat hipotesis bahwa obat

baru itu tidak lebih baik daripada obat-obat serupa yang beredar di pasaran. Diuji

melawan hipotesis alternatif bahwa obat baru tersebut lebih unggul. Hipotesis

alternatif yang demikian ini selalu menghasilkan uji satu arah dengan wilayah

kritisnya di ekor sebelah kanan. Tetapi bila membandingkan suatu teknik

mengajar yang baru dengan teknik mengajar yang biasa, maka hipotesis

alternatifnya harus memungkinkan bahwa teknik mengajar yang baru tersebut

bersifat lebih baik atau lebih buruk daripada teknik mengajar yang biasa. Dengan

demikian uji itu bersifat dua arah dengan wilayah kritisnya dibagi dua sama besar

di ekor sebelah kiri dan kanan.

Dalam pengujian hipotesis yang statistik ujinya bersifat diskret, wilayah

kritisnya dapat ditentukan. Bila α terlalu besar dapat diperbesar ukuran

sampelnya untuk mengimbangi membesarnya β . Dalam uji hipotesis yang

statistik ujinya bersifat kontinu, biasanya nilai α ditentukan lebih dahulu, baru

kemudian menentukan wilayah kritisnya.

Langkah-langkah pengujian hipotesis mengenai parameter populasi θ lawan

suatu hipotesis alternatif dapat dituliskan sebagai berikut :

1. Dari data yang dimiliki dan pernyataan-pernyataan ( hipotesis ) yang

dipelajari, diidentifikasi model probabilitas yang cocok, dan menterjemahkan

16

tiap-tiap pernyataan dalam bentuk rentang harga-harga parameter θ model

probabilitas itu.

2. - Nyatakan hipotesis nolnya bahwa 00 : θθ =H .

- Pilih hipotesis alternatif yang sesuai, 01 : θθ ≠H , 01 : θθ <H ,

atau 01 : θθ >H .

3. Tentukan taraf nyata ujinya (α ).

4. Pilih statistik uji yang sesuai dan kemudian tentukan wilayah kritisnya.

5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampel.

6. Keputusan : tolak bila nilai statistik uji tersebut jatuh dalam wilayah

kritisnya, sedang bila jatuh di luar wilayah kritisnya diterima.

0H

0H

F. Uji Mengenai Proporsi

Uji hipotesis mengenai proporsi diperlukan di banyak bidang. Pengujian

hipotesis bahwa proporsi keberhasilan dalam suatu percobaan binom sama dengan

suatu nilai tertentu. Hal ini berarti bahwa akan diuji hipotesis : dengan

p adalah parameter distribusi binomial. Hipotesis alternatifnya dapat yang bersifat

satu sisi maupun yang dua sisi.

0H 0pp =

Statistik yang akan digunakan sebagai landasan kriteria pengambilan

keputusan adalah variabel random binom X, meski dapat digunakan statistik

nXP =ˆ sama baiknya. Nilai-nilai X yang jauh dari nilai tengah 0np=μ akan

membawa pada penolakan hipotesis nol. Untuk menguji hipotesis

00 : ppH =

17

01 : ppH <

Wilayah kritis berukuran α diberikan oleh

'αkx ≤

Sedang adalah bilangan bulat terbesar yang bersifat 'αk

αα

α ≤==≤ ∑=

'

000

' );;()(k

xpnxbppbilakXP

Begitu pula untuk menguji hipotesis

00 : ppH =

01 : ppH >

Wilayah kritis yang berukuran α diberikan oleh

αkx ≥

Sedang dalam hal ini adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat αk

αα

α ≤==≥ ∑=

n

kx

pnxbppbilakxP );;()( 00

Dan yang terakhir untuk menguji hipotesis

00 : ppH =

01 : ppH ≠

Wilayah kritis sebesar α diberikan oleh

'2

αkx ≤ dan 2

αkx ≥

Karena X merupakan variabel random binom yang bersifat diskret maka

ukuran wilayah kritis harus ditentukan sedemikian sehingga sangat dekat tanpa

melampauinya.

18

Langkah-langkah pengujian proporsi dapat dituliskan sebagai berikut :

1. 00 : ppH =

2. alternatifnya adalah :1H 0pp < , , atau 0pp > 0pp ≠

3. Tentukan taraf nyata α

4. Wilayah kritis

'αkx ≤ , bila hipotesis alternatifnya 0pp <

αkx ≤ , bila hipotesis alternatifnya 0pp >

'2

αkx ≤ dan 2

αkx ≥ , bila hipotesis alternatifnya 0pp ≠

5. Perhitungan : hitunglah x yaitu banyaknya keberhasilan

6. Keputusan : Tolak bila x jatuh dalam wilayah kritis ; bila tidak demikian

terima .

0H

0H

BAB III

UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI

Dalam uji hipotesis biasa, banyaknya pengamatan yaitu ukuran sampel,

diperlakukan sebagai konstanta. Jadi dalam hal ini bisa ditentukan berapa

besarnya ukuran sampel yang akan diteliti sebagai dasar pengambilan keputusan.

Uji sekuensial mempunyai ciri khusus yang membedakannya dari uji biasa,

yaitu banyaknya pengamatan yang diperlukan tergantung dari hasil uji terhadap

pengamatan sebelumnya. Misalnya ingin diamati sebuah populasi di suatu tempat.

Diambil sampel pertama, kemudian diproses dengan aturan dalam uji sekuensial.

Keputusan apakah akan menambah pengamatan dengan sampel kedua ditentukan

oleh hasil proses uji sekuensial tehadap pengamatan pertama tadi. Proses

penambahan sampel pengamatan ini akan berlanjut sampai diperoleh keputusan

yang sesuai dengan aturan dalam uji sekuensial. Jadi berdasar dari ciri tersebut,

maka mengakibatkan besarnya sampel untuk pengamatan tidak dapat ditentukan

sebelumnya, sehingga merupakan variabel random.

Metode sekuensial untuk menguji hipotesis mempunyai beberapa aturan.

Pertama lakukan pengamatan tehadap objek penelitian, kemudian diproses

berdasarkan aturan dalam uji sekuensial yaitu:

0H

1. Menerima 0H

2. Menolak 0H

3. Melanjutkan percobaan dengan menambah satu pengamatan lagi.

20

Keputusan yang diambil berdasarkan pada hasil uji sekuensial pengamatan

ke- . Jika keputusan (1) atau keputusan (2) diperoleh maka proses

berakhir. Jika keputusan (3) yang diperoleh maka harus dilakukan pengamatan

yang kedua. Selanjutnya setelah dilakukan pengamatan yang kedua, diproses lagi

untuk memperoleh satu dari tiga keputusan yang ada. Jika kembali diperoleh

keputusan (3), maka harus dilakukan lagi pengamatan yang ketiga. Proses ini akan

berlanjut terus sampai diperoleh keputusan (1) atau (2). Hal ini menyebabkan

banyaknya n pengamatan tergantung dari hasil uji sekuensial terhadap

pengamatan sebelumnya,.

m ( K,3,2,1=m )

)

Untuk setiap bilangan bulat , dimisalkan adalah kumpulan semua

sampel berukuran m yang mungkin. Sampel dinotasikan ( ) .

Himpunan dapat dipandang sebagai ruang berdimensi m dengan setiap

sampel merupakan satu vektor di . Aturan dalam pengambilan

keputusan untuk setiap tahap pengambilan keputusan dapat dipandang sebagai

pemecahan ruang menjadi tiga bagian yang saling lepas, yaitu: dan

dengan . Lakukan pengamatan pertama . Hipotesis

diterima bila , ditolak bila , lanjutkan dengan pengamatan

kedua bila . Hipotesis diterima atau ditolak atau lanjutkan dengan

pengamatan ketiga bila di atau . Jika

m mM

m mxxx ,....., 21

mM

( mxxx ,....., 21 mM

mM ,, 10mm RR

mR mmmm MRRR =∪∪ 101x

0H 011 Rx ∈ 1

11 Rx ∈

2x 11 Rx ∈ 0H

( )21, xx ,, 12

02 RR 2R ( )21, xx di maka

lanjutkan dengan pengamatan ketiga. Proses lagi apakah

2R

( )321 ,, xxx berada di

, atau , demikian seterusnya sampai diperoleh keputusan (1) atau 13

03 , RR 3R

21

keputusan (2). Jadi uji sekuensial ditentukan oleh dengan

Himpunan saling lepas dan gabungannya merupakan ruang sampel

, maka cukup didefinisikan dua dari tiga himpunan dan .

,, 10mm RR mR K,3,2,1=m

,, 10mm RR mR

mM ,, 10mm RR mR

Sampel ( )mxxx ,....., 21 kita sebut tidak efektif jika dalam sampel tersebut

memuat sampel ( ) dengan '21 ,.....,, mxxx mm <' , sehingga sampel ( )

berada di atau . Suatu sampel yang bukan sampel tak efektif dinamakan

sampel efektif. Pada uji sekuensial selalu diperoleh sampel efektif untuk setiap

tahap percobaan. Jadi dalam mendefinisikan himpunan dan bisa

diabaikan adanya sampel yang tidak efektif. Jika sampel tak efektif tidak pernah

terjadi selama proses sekuensial, cukup untuk mendefinisikan letak setiap sampel

efektif harus berada di salah satu dari atau ,

'21 ,.....,, mxxx

0'mR 1

'mR

,, 10mm RR mR

( mxxx ,....., 21 ) ,, 10mm RR mR

Contoh 3.1

Misalkan satu partai barang diajukan untuk menjalani pemeriksaan. Tiap unit

dikelompokkan atas rusak atau tak rusak. Proporsi rusak tidak diketahui. Partai

diterima bila dengan ' suatu bilangan diketahui. Bila , partai

barang ditolak. Jadi diuji hipotesis : '

p

'pp ≤ p 'pp >

0H pp ≤ . Prosedur pengujian

merupakan suatu contoh uji sekuensial. Misal suatu bilangan bulat. Jika

unit pertama yang diperiksa ternyata tidak ada yang rusak, pemeriksaan barang

dihentikan dan partai diterima. Jika untuk suatu nilai

0H

0n 0n

0nm ≤ , unit ke- ternyata

rusak, maka partai ditolak dan pemeriksaan tidak dilanjutkan. Misal unit-unit

m

22

rusak diberi nilai 1 dan unit tak rusak diberi nilai 0. Sampel ( )mxxx ,....., 21 efektif

jika dan hanya jika , dan 0nm ≤ 011 === −mxx K . Penerimaan tidak mungkin

dilakukan untuk , dengan kata lain memuat sampel tak efektif untuk

. hanya mengandung satu sampel efektif yaitu . Untuk

sebarang , memuat tepat satu sampel efektif, yaitu

0nm < 0mR

0nm <0nR ( 0,,0,0 K )

0nm ≤ 1mR ( )1,0,,0,0 K .

Himpunan dan ,, 10mm RR mR ( )K,3,2,1=m yang didefinisikan dengan uji

sekuensial dapat dipilih dengan berbagai cara dan masalah dasar dalam teori uji

sekuensial adalah pemilihan yang layak terhadap himpunan ini.

A. Uji Hipotesis dan Statistik Uji

Dalam rencana sampling yang didasarkan atas pemeriksaan dari suatu partai

barang dapat membawa pada keputusan yang salah. Keputusan yang salah itu

terjadi jika ' partai barang ditolak, dengan '

batas toleransi proporsi rusak yang ditentukan dan parameter proporsi rusak

yang tidak diketahui. Demikian juga sebaliknya jika proporsi parameter yang

tidak diketahui lebih besar dari ' tetapi partai barang diterima. Keputusan yang

salah ini dapat dituliskan sebagai :

dengansamaatau dari kurang pp p

p

p

p

Menolak ':0 ppH ≤ yang benar dan

Menerima ' yang salah. :1 ppH >

23

Contoh 3.2

Misal ditentukan bahwa proporsi rusak unit barang yang masih bisa ditoleransi

adalah 0,2; sehingga nilai 2,0'=p . Setelah dilakukan pengamatan ternyata

diperoleh bahwa nilai parameter 1,0=p , maka diperoleh kesimpulan .

Berdasar atas kesimpulan tadi, maka keputusan yang salah akan terjadi jika

ditolak dan diterima.

'pp <

0H

1H

Tentunya tidak diharapkan bahwa proporsi rusak barang melebihi ketentuan yang

telah ditetapkan.

Seringkali pemeriksaan terhadap tiap unit barang merupakan hal tidak

mungkin dengan alasan barang akan menjadi rusak, biaya terlalu tinggi, dan

waktu yang dibutuhkan cukup lama. Oleh karena itu dengan kondisi seperti ini

resiko untuk membuat keputusan yang salah masih dapat ditolerir asal tidak

melebihi batas yang telah ditetapkan. Untuk merancang sampling yang baik, perlu

ditetapkan resiko maksimum dalam membuat keputusan yang salah agar masih

dapat ditolerir.

Berdasar pada teori uji sekuensial, jika 'pp = adalah mutu partai barang

yang diperiksa berada di batas maka keputusan tidak dapat diambil. Untuk

, kecenderungan untuk menolak partai lebih besar dan pilihan ini akan

meningkat dengan bertambahnya nilai p. Untuk

'pp >

'pp < , kecenderungan untuk

menerima partai lebih besar dan pilihan ini akan meningkat seiring dengan

menurunnya nilai p.

24

Jika p tidak terlalu jauh diatas , keputusan untuk menerima partai

merupakan kesalahan yang dapat diabaikan. Demikian juga jika p tidak terlalu

jauh dibawah ' , kesalahan menolak partai bukan merupakan kesalahan yang

serius. Sehingga secara tidak langsung terdapat dua bilangan yang menjadi batas

kesalahan maksimum. Bilangan itu dinotasikan dengan dan sehingga

diperoleh

'p

p

1p 0p

'0 pp < sebagai toleransi bawah dan

'1 pp > sebagai toleransi atas.

Penerimaan partai dianggap sebagai keputusan yang salah jika dan

penolakan barang dianggap sebagai keputusan yang salah jika . Jika

tidak terlalu peduli keputusan mana yang dibuat.

1pp ≥

0pp ≤

10 ppp <<

Setelah dan dipilih, resiko dalam membuat keputusan yang salah dan

masih dapat ditolerir dapat dirumuskan dengan probabilitas menolak partai jika

tidak melebihi

0p 1p

0pp ≤ α . Demikian pula probabilitas untuk menerima partai jika

tidak melebihi 1pp ≥ β .

Jadi resiko yang masih dapat ditolerir dikenali dengan empat bilangan yaitu :

α,, 10 pp dan β . Pemilihan α,, 10 pp dan β bukan merupakan masalah

statistika, melainkan dipilih berdasar alasan praktis. Setelah keempat bilangan

dipilih dapat ditentukan suatu rencana sampling.

Suatu rencana sampling yang memenuhi syarat bahwa probabilitas menolak

partai bila 0pp ≤ tidak melebihi α dan probabilitas menolak partai bila 1pp ≥

25

tidak melebihi β diberikan oleh uji sekuensial dengan kekuatan ( )βα , untuk

menguji melawan 0pp = 1pp = . Sehingga dengan kata lain hipotesis pada uji

sekuensial dengan kekuatan ( )βα , dapat dituliskan sebagai berikut:

00 : ppH = , melawan

11 : ppH =

Misal menyatakan hasil pemeriksaan unit ke-i. Jika unit yang diperiksa

ternyata rusak maka nilai

iX

1=iX . Misal nilai-nilai ini dimasukkan dalam

kategori I. Banyaknya pengamatan yang masuk dalam kategori I dilambangkan

dengan . Demikian juga jika unit yang diperiksa ternyata tidak rusak maka nilai

. Nilai-nilai yang tidak rusak ini dimasukkan dalam pengamatan yang

bukan termasuk kategori I. Banyaknya pengamatan yang bukan termasuk kategori

I dilambangkan dengan . Sehingga jika pengamatan yang dilakukan sebanyak n

maka nilai

iX

1n

0=iX iX

2n

21 nnn += .

Statistik uji sekuensial adalah sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

),(),(),(),(),(),(),(),(

0030201

1131211

0302010

1312111

pXfpXfpXfpXfpXfpXfpXfpXf

XfXfXfXfXfXfXfXf

S

n

n

n

nn

K

K

K

K

=

=

(3.1)

dengan

• statistik uji sekuensial =nS

• 11 untukpeluangfungsi)( ppXf i ==

• 000 untukpeluangfungsi)( ppXf ==

26

• n = banyak pengamatan yang dilakukan (sifatnya variabel) satu demi satu

sampai langkah ke-n.

Persamaan (3.1) bila ditulis dalam bentuk logaritma menjadi:

n

n

nn

zzzz

pXfpXf

pXfpXf

pXfpXf

pXfpXf

S

++++=

++++=

K

K

321

0

1

03

13

02

12

01

11

),(),(

ln),(),(

ln),(),(

ln),(),(

lnln

(3.2)

dengan

),(),(

ln0

1

pXfpXf

zi

ii = , dan i = 1,2,...,n (3.3)

Karena variabel random disini hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1,

maka probabilitas bahwa

iX

1=iX sama dengan p . Hal ini dapat ditulis dengan

, dengan p merupakan parameter yang tidak diketahuii. Fungsi

probabilitas dari diberikan oleh dengan

pXP i == )1(

iX ),( pXf i

ppf =),1( dan

ppf −= 1),0( . (3.4)

sehingga persamaan 3.3 dapat ditulis sebagai berikut

1bila,ln0

1 =iXpp

==),(),(

ln0

1

pXfpXf

zi

ii

0bila,11ln

0

1 =−−

iXpp (3.5)

27

jadi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

++++=

2

12

0

11

321

11lnln

ln

ppn

ppn

zzzzS nn K

(3.6)

Dengan menyatakan banyaknya kejadian 1n 1=iX dan menyatakan banyaknya

kejadian

2n

0=iX , dan 21 nnn += .

B. Kriteria Uji

Dalam prosedur uji sekuensial untuk menguji melawan didefinisikan

sebagai berikut:

0H 1H

1. Dipilih dua konstanta positif A dan B dengan AB < . Pada tiap tahap

percobaan ( percobaan ke-n ), dihitung probabilitas n

nn p

pS

0

1= , dengan:

( ) ( ) ( )112111 ,,,, pXfpXfpXfp nn K= bila benar dan 1H

( ) ( ) ( )002010 ,,,, pXfpXfpXfp nn K= bila benar. 0H

2. jika

BSn ≤ (3.7)

proses berhenti dengan keputusan menerima . 0H

Jika

ASn ≥ (3.8)

proses berhenti dengan keputusan menolak . 0H

28

Jika

ASB n << (3.9)

pengamatan dilanjutkan dengan mengambil pengamatan tambahan.

Konstanta A dan B ditentukan sedemikian hingga α dan β mempunyai suatu nilai

tertentu.

Dari persamaan (3.6) dan (3.7), hipotesis diterima bila: 0H

BSn lnln ≤

Bppn

ppn ln

11lnln

0

12

0

11 ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.10)

Dari persamaan (3.6) dan (3.8), hipotesis ditolak bila: 0H

ASn lnln ≥

Appn

ppn ln

11lnln

0

12

0

11 ≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.11)

Dari persamaan (3.6) dan (3.9), pengamatan dilanjutkan dengan mengambil

pengamatan tambahan bila:

ASB n lnlnln <<

Appn

ppnB ln

11lnlnln

0

12

0

11 <⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛< (3.12)

C. Hubungan antara ,,, Aβα dan B

Sampel merupakan sampel tipe 0 bila ( nXXX ,,, 21 K )

App

Bm

m <<0

1 untuk 1,,2,1 −= nm K

29

dan Bpp

n

n ≤0

1

sampel ( dikatakan sampel tipe 1 bila )nXXX ,,, 21 K

App

Bm

m <<0

1 untuk 1,,2,1 −= nm K

dan App

n

n ≥0

1

Sampel tipe 0 akan membawa pada penerimaan dan sampel tipe 1 akan

membawa pada penolakan .

0H

0H

Untuk suatu sampel tipe 1, probabilitas untuk memperoleh sampel tersebut

sekurang-kurangnya A kali lebih besar dibawah dibandingkan dengan .

Nilai probabilitas bahwa proses sekuensial akan berakhir dengan penolakan

adalah

1H 0H

0H

α bila benar dan 0H β−1 bila benar. Jadi diperoleh: 1H

αβ A≥−1

atau dapat ditulis

αβ−

≤1A (3.13)

jadi αβ−1 merupakan limit atas untuk A.

Limit bawah untuk B dapat diperoleh dengan cara yang sama. Dalam

kenyataannya, untuk sebarang sampel ( )nXXX ,,, 21 K tipe 0 maka probabilitas

memperoleh sampel dibawah paling banyak B kali probabilitas memperoleh 1H

30

sampel tipe 0 ketika benar. Karena probabilitas dari penerimaan adalah 0H 0H

α−1 ketika benar dan 0H β ketika benar, maka diperoleh persamaan: 1H

B)1( αβ −≤

atau dapat ditulis

αβ−

≥1

B (3.14)

jadi α

β−1

merupakan limit bawah untuk B.

Pertidaksamaan-pertidaksamaan (3.13) dan (3.14) juga dapat ditulis

A1

1≤

− βα (3.15)

dan

B≤−αβ

1 (3.16)

dari pertidaksamaan (3.15) dan (3.16) dapat diturunkan limit atas untukα danβ

sebagai fungsi A atau B.

A1lim

1lim

00 →→≤

− ββ βα

A1

≤α (3.17)

dan

B00

lim1

lim→→

≤− αα αβ

B≤β (3.18)

31

Kumpulan ( )βα , yang memenuhi pertidaksamaan (3.17) dan (3.18) dapat

dapat dinyatakan dalam suatu grafik pada Gambar 3.1. Setiap pasang ( )βα , dapat

dinyatakan sebagai titik pada bidang datar dengan absisα dan ordinatβ .

Garis βα −=1:1 AL memotong sumbu datar pada A1

=α dan sumbu tegak

1=β . Garis )1(:2 αβ −= BL memotong sumbu datar pada 1=α dan sumbu

tegak B=β .

β

α1

1

B

A1

Gambar 3.1

D. Penentuan Konstanta A dan B

Misal diinginkan mendapatkan prosedur pengujian dengan kekuatan ( )βα , .

Permasalahan terjadi saat menentukan A dan B sehingga prosedur pengujian

mempunyai kekuatan ( )βα , . Misalkan ( )βα ,A dan ( )βα ,B merupakan nilai A

32

dan B untuk pengujian dengan kekuatan ( )βα , , sehingga pertidaksamaan (3.13)

dan (3.14) dapat ditulis sebagai berikut:

αββα −

≤1),(A (3.19)

( )α

ββα−

≥1

,B (3.20)

Dengan mengambil ( ) ),(1 βααβ a=

− dan ),()1( βααβ b=− , maka harus

diperiksa akibat-akibat dari penentuan A dan B. Dari pertidaksamaan (3.19) dan

(3.20) diperoleh bahwa nilai ),( βαa yang dipilih lebih besar atau sama dengan

nilai ),( βαA dan nilai ),( βαb yang dipilih lebih kecil atau sama dengan

),( βαB . Dengan mensubtitusikan ),( βαaA = sebagai pengganti ),( βαA dan

),( βαbB = sebagai pengganti ),( βαB , secara umum akan merubah probabilitas

kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II. Jika A sama dengan sebuah nilai yang lebih

besar dari ),( βαA dan jika B sama dengan ),( βαB , maka probabilitas kesalahan

tipe I akan lebih kecil daripada α , tetapi probabilitas kesalahan tipe II akan

sedikit lebih besar daripada β . Demikian pula jika dipilih ),( βαA untuk A, tetapi

nilai B berada dibawah nilai ),( βαB , maka probabilitas kesalahan tipe I akan

lebih kecil daripada β dan probabilitas kesalahan tipe II akan sedikit lebih besar

dari α . Jika nilai A yang digunakan lebih besar nilai ),( βαA dan nilai B yang

digunakan lebih kecil dari nilai ),( βαB . Hal ini tidak terlalu berpengaruh

terhadap probabilitas kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II. Sehingga dari

pertidaksamaan (3.15) dan (3.16) diperoleh:

33

βα

βαβα

−=≤

− 1),(1

'1'

a (3.21)

dari pertidaksamaan (3.18) dan (3.20) diperoleh:

αββα

αβ

−=≤

− 1),(

'1' b (3.22)

dengan 'α dan 'β kesalahan tipe I dan kesalahan tipe II batas ( )βα ,aA = dan

),( βαbB = .

Dari pertidaksamaan (3.21) dan (3.22) diperoleh :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− →→ β

αβ

αββ 1lim

'1'lim

0'0'

βαα−

≤1

' (3.23)

dan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− →→ α

βα

βαα 1lim

1'lim

0'0'

αββ−

≤1

' (3.24)

Dengan mengalikan pertidaksamaan (3.21) dengan ( )β−1 ( '1 )β− maka

diperoleh:

( )( ) ( )( '111

1'1'1

' βββ

)αβββ

α−−

−≤−−⋅

−

( ) ( )'11' βαβα −≤−

''' αβαβαα −≤−

0''' ≤−+− ααββαα (3.25)

34

demikian juga dengan mengalikan pertidaksamaan (3.22) dengan

( )α−1 ( '1 )α− maka diperoleh:

( )( ) ( )( '111

1'1'1

' ααα

)βααα

β−−

−≤−−

−

( ) ( )'11' αβαβ −≤−

βαβαββ ''' −≤−

0''' ≤−+− ββααββ (3.26)

Dengan menjumlahkan pertidaksamaan (3.25) dan (3.26) maka diperoleh

pertidaksamaan:

0''' ≤−+− ααββαα

0''' ≤−+− ββααββ +

0'' ≤−−+ βαβα

βαβα +≤+ '' (3.27)

Dalam kenyataan, nilaiα dan β terletak antara 0,01 dan 0,05. Jadi, ( ) αβ

α≅

−1

dan βαβ

≅− )1(

. Hal ini berarti bahwa kenaikan 'α terhadap α atau 'β terhadapβ

dapat diabaikan.

Setelah penentuan nilai A dan B dilakukan, maka dari pertidaksamaan

(3.10) dan (3.14) diperoleh pertidaksamaan kriteria uji untuk menerima yaitu: 0H

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ

1ln

11lnln

0

12

0

11 p

pnppn (3.28)

35

Dari pertidaksamaan (3.11) dan (3.13), maka kriteria uji untuk menolak

adalah: 0H

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ1ln

11lnln

0

12

0

11 p

pnppn (3.29)

Dari persamaan (3.12) , (3.13) dan (3.14), maka diperoleh pertidaksamaan kriteria

uji untuk menambah dengan satu pengmatan lagi yaitu:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

αβ

αβ

1ln

11lnln1ln

0

12

0

11 p

pnppn (3.30)

Nilai-nilai batas untuk kriteria uji dapat dihitung dari:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

αβ

αβ

1ln11

lnln

1ln

11

lnln

0

12

0

11

0

12

0

11

pp

npp

n

pp

npp

n

(3.31)

Karena = banyak barang yang rusak diantara n barang yang diambil dan

, maka bagian pertama sistem persamaan (3.31) menjadi:

1n

12 nnn −=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ

1ln

11lnln

0

11

0

11 p

pnnppn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ

1ln

11ln

11lnln

0

11

0

1

0

11 p

pnppn

ppn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

β1

ln11

ln11

logln0

1

0

1

0

11 p

pn

pp

pp

n

36

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

11lnln

1ln

11lnln

11

ln

pp

pp

pp

pp

pp

nn αβ

(3.32)

Persamaan (3.32) disebut garis batas atas penerimaan dan dinotasikan dengan

. Jika sumbu mendatarnya adalah n dan sumbu tegaknya adalah , maka dari

persamaan (3.32) diperoleh kemiringan garis adalah:

0H

1g 1n

1g

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

0

1

0

1

0

1

11

logln

11ln

pp

pp

pp

t (3.33)

Untuk 12 nnn −= ,bagian kedua sistem persamaan (3.31) menjadi:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ1ln

11lnln

0

11

0

11 p

pnnppn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ1ln

11ln

11lnln

0

11

0

1

0

11 p

pnppn

ppn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αβ1ln

11ln

11lnln

0

1

0

1

0

11 p

pnpp

ppn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

11lnln

1ln

11lnln

11

ln

pp

pp

pp

pp

pp

nn αβ

(3.34)

Persamaan (3.34) disebut garis batas bawah penolakan dan dinotasikan

dengan . Kemiringan garis ini adalah:

0H

2g 2g

37

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

0

1

0

1

0

1

11

lnln

11

ln

pp

pp

pp

u (3.35)

Dari persamaan (3.33) dan (3.35) diperoleh kesimpulan bahwa garis dan

mempunyai kemiringan garis yang sama dan dinotasikan dengan lambang s dan

.

1g 2g

uts ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

0

1

0

1

0

1

11lnln

11

ln

pp

pp

pp

s (3.36)

Dari persamaan (3.32) diperoleh titik potong dengan sumbu tegak sebagai

berikut:

1n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅+

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

11logln

1ln

11logln

11

ln0

pp

pp

pp

pp

pp

h αβ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0

1

0

10

11

lnln

1ln

pp

pp

h αβ

(3.37)

Dari persamaan (3.34) diperoleh titik potong dengan sumbu tegak sebagai

berikut:

1n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅+

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

11

lnln

1ln

11

lnln

11ln

0

pp

pp

pp

pp

pp

h αβ

38

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

0

1

0

11

11

lnln

1ln

pp

pp

h αβ

(3.38)

Contoh 3.3

Misal ada partai barang yang banyak sekali yang harus ditentukan berdasarkan

sampling apakah partai barang itu bagus atau tidak. Perusahaan menetapkan

bahwa keputusan dibuat dengan ketentuan terima partai bsrsng jika proporsi

rusaknya kurang atau sama dengan 10% dan tolak partai barang jika proporsi

rusaknya lebih atau sama dengan 20%. Resiko kesalahan yang ditetapkan

perusahaan untuk kesalahan tipe I sebesar 01,0=α dan resiko kesalahan tipe II

sebesar 05,0=β . Dalam merencanakan rencana sampling dari permasalahn ini,

ada dua hipotesis yang dihadapi yaitu:

1,0: 00 == ppH

2,0: 11 == ppH

berdasar pada rumus persaman (3.31), maka diperoleh persamaan-persamaan:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

01,095,0ln

9,08,0ln

1,02.0ln

99,005,0ln

9,08,0ln

1,02.0ln

21

21

nn

nn

(3.39)

Setelah sistem persamaan (3.39) disederhanakan, maka diperoleh persamaan:

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

−=−

9777,10511,03010,0

2966,10511,03010,0

21

21

nn

nn

(3.40)

39

1

Daerah penerimaan 0H

Lanjutkan pengamatan

2g

1g

Daerah penolakan 0H

Gambar 3.2

n

12 nnnkarena karena 12 nnn −= , sistem persamaan (3.40) dapat ditulis sebagai berikut:

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

−=−

9777,10511,03521,0

2966,10511,03521,0

1

1

nn

nn (3.41)

Rencana sampling diperoleh dari rumus pertidaksamaan (3.29) dan (3.30). Jadi

diterima jika: 0H

2966,10511,03521,0 1 −≤− nn

yang memberikan 6824,31451,01 −≥ nn dan batasnya 6824,31451,0: 11 −= nng

dan tolak jika: 0H

9777,10511,03521,0 1 ≥− nn

yang memberikan 6168,51451,01 +≥ nn dan batasnya

. 6168,51451,0: 12 += nng

Dalam hal lainnya, sampling masih harus dilanjutkan.

n

40

Secara grafik, rencana sampling ini dapat ditunjukkan dalam Gambar 3.2

dengan n = sumbu datar dan = sumbu tegak. 1n

Daerah grafik pada Gambar 3.2 dibagi menjadi tiga bagian, yaitu:

• penerimaan ( di sudut kanan bawah ) 0H

• penolakan ( di bagian atas) 0H

• daerah sampling untuk melanjutkan prosedur dengan menambah sebuah

pengamatan lagi (daerah tengah yang dibatasi oleh garis sejajar dan

).

1g

2g

Untuk setiap barang yang diperiksa, peristiwa diperoleh barang rusak

dijumlahkan pada setiap pengambilan. Peristiwa ini digambarkan pada grafik

sebagai titik-titik. Selama titik-titik ini masih berada diantara dan , maka

sampling terus dilanjutkan dengan menambah pemeriksaan barang itu satu demi

satu. Setelah ada titik yang keluar dari garis-garis batas dan , maka

sampling berhenti. Jika titik yang keluar itu jatuh pada daerah penerimaan

hipotesis, maka diterima dan dinyatakan bahwa partai barang bagus. Jika titik

yang keluar itu berada di daerah penolakan hipotesis, maka ditolak dan

dinyatakan bahwa partai barang jelek.

1g 2g

1g 2g

0H

0H

Misal diperoleh hasil pemeriksaan sebagai berikut:

Tabel 3.1

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1n 0 0 1 1 2 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 9

41

Atau jika b = barang tak rusak dan j = barang rusak, pemeriksaan dalam tabel (1)

dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:

b b j b j j j b b j b b b j b j b b b j j

10 20 30 40

10

20

Daerah penolakan 0H

2g

1

Daerah penerimaan g

n

Lanjutkan pengamatan

1n

Gambar 3.3

0H

Titik-titik yang menggambarkan jumlah keadaan rusak sampai dengan langkah

ke-n telah digambarkan dalam Gambar 3.3. Jelas terlihat bahwa pada pemeriksaan

yang ke-n = 21 tedapat jumlah yang rusak sudah mencapai 9 dan titiknya jatuh

pada daerah penolakan hipotesis. Jadi sampai dengan pemeriksaan yang ke-21,

dengan hasil pemeriksaan pada tabel (1), maka tejadi penolakan terhadap partai

barang.

42

E. Fungsi Karakteristik Operasi

Fungsi karakteristik operasi ( )pL didefinisikan sebagai probabilitas bahwa

proses sekuensial akan berakhir dengan penerimaan bila 0H p adalah nilai

parameter yang sebenarnya. Fungsi karakteristik operasi ini dapat

dinyatakan dengan notasi probabilitas yaitu:

( )pL

( )pL = P (menerima partai | proporsi rusak p)

sehingga diperoleh pernyataan sebagai berikut:

( )0L = P (menerima partai | 0=p ) = 1

Karena diketahui bahwa proporsi rusak sebenarnya dari partai barang adalah 0

yang berarti tidak ditemukan barang rusak dalam partai barang, maka probabilitas

untuk menerima partai barang adalah 1.

Demikian pula untuk:

( )1L = P (menerima partai | 1=p ) = 0

Karena diketahui proporsi rusak sebenarnya dari partai barang adalah 1 yang

artinya ditemukan semua barang dalam keadaan rusak, maka probabilitas untuk

menerima partai adalah 0. Dengan kata lain partai barang ditolak.

Prosedur pengujian 00 : ppH = melawan 11 : ppH = dipilih sedemikian

sehingga:

P (menerima partai bila ) = probabilitas menerima yang benar = 0pp = 0H α−1

P (menerima partai bila ) = probabilitas menerima yang salah = 1pp = 0H β

dengan demikian diperoleh

( ) α−= 10pL

43

( ) β=1pL

Misal untuk sebarang nilai p yang diberikan, fungsi probabilitas dari X

ditentukan sebagai berikut:

( )( )

( )

( pXfpXfpXf

pXfph

,,,

),(0

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∗ ) (3.42)

Untuk setiap nilai p, nilai dari ( )ph dapat ditentukan sedemikian sehingga

. Karena persamaan (3.42) merupakan sebuah fungsi probabilitas dari X,

maka ada tepat satu nilai

( ) 0≠ph

( ) 0≠ph sedemikian sehingga dipenuhi persamaan:

( )( )

( )

( ) 1,,,

0

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑

X

ph

pXfpXfpXf (3.43)

Karena ( ) 0≠ph , maka terdapat dua kemungkinan nilai p yaitu atau

.

( ) 0>ph

( ) 0<ph

Untuk kasus dengan ( ) 0>ph , misal hipotesis H menyatakan bahwa

adalah fungsi probabilitas dari distribusi X yang sebenarnya dan

hipotesis

( pXf , )

∗H menyatakan bahwa ( )pXf ,∗ adalah fungsi probabilitas dari

distribusi X yang sebenarnya. Misal uji sekuensial untuk menguji H melawan ∗H

adalah sebagai berikut:

( ) ( )( ) ( )pXfpXf

pXfpXfS

n

n

,,,,

1

1

K

K ∗∗∗ = (3.44)

sehingga hipotesis H diterima jika:

( ) ( )( ) ( )

( )ph

n

n BpXfpXfpXfpXf

≤∗∗

,,,,

1

1

K

K (3.45)

hipotesis H ditolak jika:

44

( ) ( )( ) ( )

( )ph

n

n ApXfpXfpXfpXf

≥∗∗

,,,,

1

1

K

K (3.46)

dan dilanjutkan dengan mengambil sebuah pengamatan lagi jika:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )ph

n

nph ApXfpXfpXfpXf

B <<∗∗

,,,,

1

1

K

K (3.47)

Karena , maka dari pertidaksamaan (3.42) dan (3.45) diperoleh

pertidaksamaan yang setara yaitu:

( ) 0>ph

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )ph

n

n

ph

n

n

ph

BpXfpXf

pXfpXfpXf

pXfpXfpXf

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

,,

,,,

,,,

1

0

11

01

11

K

K

( )( )

( ) ( )( )

( )( )ph

ph

n

n

ph

BpXfpXf

pXfpXf

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

1

01

11

,,

,,

K

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )ph phph

ph

n

n

ph

BpXfpXf

pXfpXf

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

1

01

11

,,

,,

K

( ) ( )( ) ( ) B

pXfpXfpXfpXf

n

n ≤001

111

,,,,

K

K (3.48)

dari pertidaksamaan (3.42) dan (3.46) diperoleh pertidaksamaan yang setara yaitu:

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )ph

n

n

ph

n

n

ph

ApXfpXf

pXfpXfpXf

pXfpXfpXf

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

,,

,,,

,,,

1

0

11

01

11

K

K

( )( )

( ) ( )( )

( )( )ph

ph

n

n

ph

ApXfpXf

pXfpXf

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

1

01

11

,,

,,

K

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )ph phph

ph

n

n

ph

ApXfpXf

pXfpXf

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

1

01

11

,,

,,

K

45

( ) ( )( ) ( ) A

pXfpXfpXfpXf

n

n ≥001

111

,,,,

K

K (3.49)

dari pertidaksamaan (3.42) dan (3.7) diperoleh pertidaksamaan yang setara yaitu:

( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )ph

n

n

ph

n

n

ph

ph ApXfpXf

pXfpXfpXf

pXfpXfpXf

B <⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

<,,

,,,

,,,

1

0

11

01

11

K

K

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )ph

ph

n

n

phph A

pXfpXf

pXfpXfB <⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡<

0

1

01

11

,,

,,

K

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )ph phph

ph

n

n

phph ph A

pXfpXf

pXfpXfB <⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡<

0

1

01

11

,,

,,

K

( ) ( )( ) ( ) A

pXfpXfpXfpXf

Bn

n <<001

111

,,,,

K

K (3.50)

Pertidaksamaan ini identik dengan definisi uji sekuensial untuk menguji

melawan . Oleh karena itu, jika menuju pada penerimaan

S

0H 1H ∗S H , maka

menuju pada penerimaan dan jika menuju pada penolakan

S

0H ∗S H , maka juga

menuju pada penolakan . Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa

probabilitas penerimaan jika p adalah nilai parameter sebenarnya yang

dinotasikan dengan adalah sama seperti probabilitas bahwa uji akan

berakhir dengan penerimaan

S

0H

0H

( )pL ∗S

H jika ( )pXf , adalah fungsi probabilitas dari

distribusi X yang sebenarnya. Probabilitas bahwa akan berakhir dengan

penerimaan

∗S

H jika H benar adalah 'α dan probabilitas bahwa akan berakhir

dengan penolakan

∗S

H jika ∗H benar adalah 'β . Pertidaksamaan 3.13 dan 3.14

46

digunakan dalam menghitung probabilitas pada prosedur uji sehingga

diperoleh:

∗S

( )

''1

αβ−

≤phA (3.51)

dan

( )

'1'αβ−

≥phB (3.52)

jika nilai pertidaksamaan (3.54) dan (3.55) ditentukan dengan nilai batasnya,

maka pertidaksamaanya dapat ditulis sebagai berikut:

( )phA ~ '

'1αβ− (3.53)

( )phB ~ '1

'α

β−

(3.54)

jika persamaan (3.51) disubtitusikan ke persamaan (3.52), maka diperoleh:

( )phA ~ '

'1αβ−

~ ( ) ( )

'B'11

αα ph−−

~ ( ) ( )

''1

ααphph BB +−

~( ) ( )

''

'1

αα

α

phph BB+

−

~( )

( )phph

BB+

−'

1α

( ) ( )phph BA − ~( )

'1

α

phB−

47

'α ~( )

( ) ( )phph

ph

BAB−

−1 (3.55)

karena ( )pL−= 1'α maka diperoleh:

( )pL−1 ~( )

( ) ( )phph

ph

BAB−

−1

~( )pL−( )

( ) ( ) 11−

−−

phph

ph

BAB

~( )pL( )

( ) ( )phph

ph

BAB−

−−

11

~( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )phph

ph

phph

phph

BAB

BABA

−−

−−− 1

~( ) ( ) ( )

( ) ( )phph

phphph

BABBA

−+−− 1

~( )pL( )

( ) ( )phph

ph

BAA

−−1 (3.56)

Karena ( ) ppf =,1 , ( ) 11,1 ppf = , ( ) 00,1 ppf = . ,

,

( ) ppf −= 1,0

( ) 11 1,0 ppf −= ( ) 00 1,0 ppf −= , maka persamaan (3.43) dapat ditulis menjadi:

( )

( )( )

111

10

1

0

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛phph

pp

ppp

p (3.57)

Untuk menggambarkan fungsi karakteristik operasi maka persamaan (3.57)

harus diselesaikan. Misal ( )phh = dan , maka dari persamaan (3.57)

diperoleh:

0>h

111

11

0

1

0

1

0

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛hhh

pp

ppp

pp

p

48

hhh

pp

ppp

ppp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

1

0

1

0

1

111

11

hhh

pp

pp

pp

p ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

1

0

1

0

1

11

111

hh

h

pp

pp

pp

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

0

1

0

1

0

1

11

111

(3.58)

Jika αβ−

=1A dan

αβ−

=1

B , maka rumus (3.59) dapat ditulis sebagai berikut:

( )pL ~ hh

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

αβ

αβαβ

11

11

(3.59)

sehingga dapat digambarkan dalam grafik sebagai berikut

( )pL

Gambar 3.4

1

0 p1

49

Persamaan (3.58) dan (3.59) berlaku untuk sebarang nilai h, sehingga nilai p

dan dapat ditentukan. Sehingga diperoleh titik pada grafik dengan

koordinat . Dengan menggambarkan semua titik

( )pL ( )pL

( )( pLp, ) ( )( )pLp, pada sistem

koordinat maka diperoleh grafik ( )pL pada Gambar 4.

Jika bagian grafik yang berkaitan dengan h positif telah diperoleh, maka

perhitungan

( )pL

( )pL untuk h negatif dapat disederhanakan. Untuk menunjukkan hal

ini misal, dan 0>h ( )( pLp, ) suatu titik pada grafik ( )pL . Misal

menyatakan titik pada grafik

( )( )',' pLp

( )pL untuk 0<h . Sehingga diperoleh:

( ) hh

h

pL −−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

αβ

αβαβ

11

11

'

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−−

−

hhhh

hhh

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

11

11

111

1

hh

hhh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

αβ

αβ

αβ

αβ

αβ

11

11

1

h

hh

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

αβ

αβ

αβ

αβ

111

11

( )pLh

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=αβ

1

50

( ) ( )pLpLh

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=αβ

1' (3.60)

dengan cara yang sama bisa diperoleh:

hh

h

pp

pp

pp

p −−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

0

1

0

1

0

1

11

111

'

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−−

−

hhhh

hhh

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

11

11

111

11

hh

hhh

pp

pp

pp

pp

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= −

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

11

11

hh

h

h

pp

pp

pp

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1

0

1

0

1

0

1

11

111

ppp

ph

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1' (3.61)

jadi titik untuk ( )( )',' pLp 0<h dapat dihitung dari ( )( )pLp, untuk dengan

hubungan:

0>h

ppp

ph

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1'

51

( ) ( )pLpLh

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=αβ

1'

Nilai h berubah dari sampai ∞− ∞+ . Lima nilai dari p yaitu

berkaitan dengan nilai

1,,,,0 10 pspp =

∞−−+∞= ,1,0,1,h .

Untuk nilai berkaitan dengan nilai 0pp = 1=h , sehingga dari persamaan

(3.58) diperoleh pembuktian pernyataan tersebut yaitu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

0

1

0

1

0

1

11

111

pp

pp

pp

p

( ) ( )

( ) (( )

)00

1001

0

10

111

111

pppppp

ppp

−−−−

−−−−

=

( )( )

( )010011

00

0

01 11 pppppp

ppppp

+−−−

⋅−−

=

( )

01

001

1 ppppp−

⋅−

=

(3.62) 0pp =

Jika dan , maka dari persamaan (3.59) diperoleh: 0pp = 1=h

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

αβ

αβαβ

11

11

0pL

52

( )

( )( )( )αα

αβαβα

αβ

−−−−

−−

=

111

1

( ) ( )αβαββα

ααα

αβ−+−−

−⋅

−−=

111

( )βα

αβα−−

−⋅

−−=

11

11

( ) α−= 10pL (3.63)

Untuk nilai 1pp = berkaitan dengan nilai 1−=h , sehingga dari persamaan (3.58)

diperoleh bukti sebagai berikut:

1

0

1

1

0

1

1

0

1

11

111

−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

pp

pp

pp

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

1

0

1

0

1

0

11

11

1

pp

pp

pp

( ) ( )( )

( ) (( )

)11

0110

1

01

111

111

pppppp

ppp

−−−−

−−−−

=

( )( )

( )101100

11

1

10 11 pppppp

ppppp

+−−−

⋅−−

=

( )

10

110

1 ppppp−

⋅−

=

(3.64) 1pp =

53

Jika dan , maka dari persamaan (3.59) diperoleh: 1pp = 1−=h

( ) 11

1

1

11

11

−−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

αβ

αβαβ

pL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

βα

βα

βα

11

11

( )

( )(( )

)ββ

βααβββα

−−−−

−−−

=

111

11

( )αββααβ

ββββα

−++−−

⋅−+−

=11

11

βα

ββα+−

⋅+−

=11

1

( ) β=1pL (3.65)

Jika sp = , dengan s = kemiringan garis batas dan seperti pada

persamaan (3.32) dan (3.34), maka nilai mendekati 0. Hal ini dapat ditunjukkan

sebagai berikut:

1g 2g

h

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

→→ hh

h

hh

pp

pp

pp

p

0

1

0

1

0

1

00

11

111

limlim

54

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

→→

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

00

11ln

11ln

11

ln11

0limlim

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p hh

h

hh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

11ln

11ln

11ln

11

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

0

1

0

1

0

1

11lnln

11ln

pp

pp

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

==

0

1

0

1

1

0

11lnln

11

ln

pp

pp

pp

sp (3.66)

Karena sp = sehingga mendekati 0, maka dari persamaan (3.56) diperoleh: h

( ) hh

h

hh BAAsL−−

=→→

1limlim00

( )

( ) ( ) hh

h

h BBAAAA

lnln0lnlim

0 −−

=→

( ) ( )( ) ( ) 00

0

lnlnln

BBAAAAsL

−=

BA

Alnln

ln−

=

BA

Alnln

ln+

= (3.67)

55

Karena αβ−

=1A dan

αβ−

=1

B , maka dari persamaan (3.67) diperoleh:

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

αβ

αβ

αβ

1ln1ln

1lnsL (3.68)

Persamaan (3.37) dan (3.38) disubtitusikan ke persamaan (3.68), diperoleh:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

0

1

0

10

0

1

0

11

0

1

0

11

11lnln

11lnln

11lnln

pp

pph

pp

pph

pp

pph

sL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

0

1

0

10

0

1

0

11

0

1

0

11

11lnln

11lnln

11

lnln

pp

pph

pp

pph

pp

pp

h

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

0

1

0

10

0

1

0

11

0

1

0

11

11lnln

11lnln

11

lnln

pp

pph

pp

pph

pp

pp

h

( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

0

1

0

101

0

1

0

11

11lnln

11

lnln

pp

pphh

pp

pp

h

( )01

1

hhhsL+

= (3.69)

dengan merupakan titik potong garis pada persamaan (3.32)dan pada

persamaan (3.34) dengan sumbu . Oleh karena itu, dalam sistem koordinat

10 ,hh 1g 2g

1n

56

( )( pLp, )p, dapat digambarkan lima titik yaitu: dapat digambarkan lima titik yaitu: ( )( )0,0 L , ( )( )1,1 L , ,

, dan .

( )( )00 , pLp

( )( )11 , pLp ( )( )sLs,

Karena merupakan fungsi tak naik maka kelima titik ,

, ,

( )pL ( )( )0,0 L

( )( )1,1 L ( )( )00 , pLp ( )( 11 , pLp ), dan ( )( )sLs, sudah cukup untuk

menggambarkan bentuk lengkungan fungsi karakteristik operasi.

Untuk keperluan praktis keadaan ini sudah mencukupi dan tidak perlu menghitung

nilai untuk nilai p lainnya. ( )pL

( )( )00 , pLp

•

• ( )( )11 , pLp

( )( )sLs,

•

( )pL

p Gambar 3.5

Contoh 3.4

Seperti pada contoh 3.3, dengan menggunakan 1,00 =p ; 2,01 =p ; 01,0=α ; dan

05.0=β akan dilukiskan kurva karakteristik operasinya. Dalam hal ini akan

diambil lima titik istimewa yaitu untuk 1,,,,0 10 pspp = . Untuk nilai p lainnya

dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (3.58).

57

1. untuk nilai , maka nilai 0=p ( ) 10 =L

2. untuk nilai , maka nilai 1,00 == pp ( )0pL dapat dicari sebagai berikut:

( )

99,0

01.01

10

=

−=

−= αpL

3. untuk nilai , maka nilai 2,01 == pp ( )1pL dapat dicari sebagai berikut:

( )

05,0

1

=

= βpL

4. untuk nilai , maka nilai 1=p ( ) 01 =L

5. untuk nilai sp = yang diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.66)

yaitu:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=

1,012,01ln

1,02,0ln

2,011,01ln

s

( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

9,08,0ln2ln

8,09,0ln

( )1178,06931,01178,0−−

=

145,0=

maka nilai dapat dicari dengan menggunakan persamaan (3.67) sebagai

berikut:

( )sL

58

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

05,001,01ln

01,005,01ln

01,005,01ln

sL

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

05,099,0ln

01,095,0ln

01,095,0ln

986,2554,4

554,4+

=

604,0=

Jadi untuk melukiskan fungsi karakteristik operasi dalam sebuah kurva telah

diperoleh titik-titik sebagai berikut:

p ( )pL

0 1

0,1 0,99

0,2352 0,604

0,2 0,05

1 0

59

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

( )( )sLs,

p

( )pL

( )( )11 , pLp

( )( )00 , pLp

( )( )1,1 L

( )( )0,0 L

Gambar 3.6

F. Fungsi Rataan Ukuran Sample

Misal n menyatakan banyaknya ukuran sampel yang diperlukan oleh

prosedur uji sekuensial. Bilangan n tergantung dari hasil uji sekuensial terhadap

pengamatan ke-n sehingga n merupakan variabel random. Nilai ekpektasi dari n

tergantung dari proporsi rusak dalam partai dan diberi notasi . Misal

bilangan asli yang cukup besar sehingga probabilitas bahwa dapat

( )nE p

N Nn ≥

60

diabaikan, sehingga diandaikan Nn ≤ . Sehingga dari pernyataan tersebut dapat

dituliskan:

( ) ( )NnnN zzzzzz +++++=++ + KKK 111 (3.70)

dengan

( )( )0

1

,,

lnpXfpXf

zα

αα = (3.71)

karena

( )( )⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1

,,

lnpXfpXf

z

maka berdasar persamaan (3.5) diperoleh

( ) ( ) K,3,2,1;, =∀= iizEzE i (3.72)

sehingga dari persamaan (3.70) diperoleh

( ) ( ) ( )

( ) (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Nnn

Nnn

NnnN

NnnN

zzEzzEzNE

zzEzzEzNE

zzEzzEzzzE

zzEzzEzzzE

+++++=

+++++=

+++++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+

)

++++=+++

+

+

+

+

KK

KK

KK4434421 K

KKK

11

11

11

1121

.

(3.73)

dengan

( )( )⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1

,,lnpXfpXfz

Untuk n>α , variabel random saling bebas, maka: αz

61

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zEnEzNE

zEnNEzzE Nn

−=

−=+++ K1

(3.74)

Jika persamaan (3.74) disubtitusikan ke persamaan (3.73), maka diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zEnEzNEzzEzNE n −+++= K1 (3.75)

sehingga

( ) ( ) ( ) 01 =−++ zEnEzzE nK (3.76)

Jadi

( ) ( )( )zE

zzEnE n++=

K1 , dengan ( ) 0≠zE (3.77)

Jika p adalah parameter sebenarnya, maka ( ) ( )nEnE p= . Sehingga adalah

nilai harapan dari , , jika

( )zE p

z ( )zE p adalah parameter yang sebenarnya. Jika

probabilitas 0

1

pp pada batas A dan B diabaikan, maka variabel random

dapat mengambil hanya nilai batasnya saja, yaitu dan ( nzz ++K1 ) Aln

Bln dengan probabilitas ( )pL−1 dan ( )pL sehingga diperoleh:

( )nzzE ++K1 ~ ( ) ( )( ) ApLBpL ln1ln −+ (3.78)

Jika ( ) ppXf =, untuk 1=X dan ( ) ppXf −= 1, untuk 0=X , maka diperoleh:

( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0

1

,,

lnpXfpXf

EzE pp

( )( ) ( ) ( )

( )0

1

0

1

,0,0ln1

,1,1ln

pfpfp

pfpfp −+=

( )0

1

0

1

11ln1ln

ppp

ppp

−−

−+= (3.79)

62

Persamaan (3.78) dan (3.79) disubtitusikan ke persamaan (3.77), sehingga

diperoleh rumus pendekatan:

( ) ( ) ( )( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

0

1

0

1

11ln1ln

ln1ln

ppp

ppp

ApLBpLnE p

(3.80)

dengan αβ−

=1A ,

αβ−

=1

B dan ( )pL menyatakan probabilitas bahwa

pemeriksaan berakhir dengan penerimaan partai.

Nilai dapat digambarkan dalam sistem koordinat ( )nE p ( )( )nEp p, dengan

p sebagai sumbu mendatar dan ( )nE p sebagai sumbu tegak. Suatu lengkungan

fungsi rataan ukuran sampel ( )nE p diperlihatkan pada Gambar 6 dan dinamakan

lengkungan ukuran sampel dari pengujian.

• • •p 1 0p 1p0

Gambar 3.7

( )nE p

63

Akan dihitung nilai untuk ( )nE p 10 ,,0 ppp = , dan 1.

1. untuk , maka 0=p ( ) 10 =L

( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+=

0

1

0

10

11ln01ln0

ln11ln

pp

pp

ABnE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

0

1

11ln

ln

pp

B

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0

1

11ln

1ln

ppα

β

(3.81)

2. untuk , maka 0pp = ( ) α−= 10pL

( ) ( ) ( )( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

=

0

10

0

10 1

1ln1ln

ln11ln10

ppp

ppp

ABnE pαα

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

0

10

0

10 1

1ln1ln

1ln1

ln1

ppp

ppp

αβα

αβα

(3.82)

3. untuk , maka 1pp = ( ) β=0pL

( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

0

11

0

11 1

1ln1ln

ln1ln1

ppp

ppp

ABnE pββ

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0

11

0

11 1

1ln1ln

1ln11

ln

ppp

ppp

αββ

αββ

(3.83)

64

4. untuk , maka 1=p ( ) 00 =pL

( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+⋅=

0

1

0

11

11

ln11ln1

ln01ln0

pp

pp

ABnE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

1ln

ln

ppA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

0

1ln

1ln

ppαβ

(3.84)

5. untuk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

==

0

1

0

1

1

0

11lnln

11

ln

pp

pp

pp

sp

diperoleh

( ) ( )2

1ln1

ln

zEnE

ss

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−= α

βαβ

(3.85)

dengan ( )2zEs menyatakan nilai harapan dan z merupakan variabel

random yang hanya bernilai

2z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

1lnpp dan ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

0

1

11

lnpp dengan probabilitas s

dan s−1

( ) ( )2

0

1

2

0

12

11

ln1ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pp

spp

szEs

65

2

0

1

2

0

1

2

0

1

11

ln11

lnln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pp

pp

pp

s

2

0

1

2

0

1

2

0

1

1

0

0

1

1

0

11

ln11

lnln

11

lnln

11

ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=pp

pp

pp

pp

pp

pp

2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

11ln

11lnln

11lnln

11

lnln

11

ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

2

0

1

0

1

0

1

1

0

11ln

11lnln

11

ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=pp

pp

pp

pp

2

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

11

ln

11

ln11

lnln11

ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

pp

pp

pp

pp

pp

2

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

11ln

11ln

11lnln

11

ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

pp

pp

pp

pp

pp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=0

1

1

0 ln11

lnpp

pp

(3.86)

66

dari persamaan (3.74) dan (3.76) diperoleh:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

0

1

1

0 ln11

ln

1ln1

ln

pp

pp

nEsαβ

αβ

(3.87)

Lengkungan fungsi rataan ukuran sampel, umumnya naik untuk

kemudian turun untuk 00 pp << 11 << pp . Lengkungan ini naik dari ke

suatu harga ' dan turun dari ke . Nilai ' umumnya sama dengan atau

sangat dekat dengan . Jika akan digambarkan

0p

p 'p 1p p s

s ( )nE p untuk semua nilai p , dapat

digunakan persamaan (3.69).

Contoh 3.5

Berdasarkan soal pada contoh 3.3, maka rataan ukuran sampelnya dapat dicari

menggunakan persamaan (3.80). Untuk titik-titik istimewa yang menggambarkan

lengkungan grafik, rataan ukuran sampelnya dapat dicari sebagai berikut:

• Untuk , maka0=p ( ) 10 =L . Sehingga berdasarkan persamaan (3.81)

diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

1,012,01ln

01,0105,0ln

0 nE

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

9,08,0ln

99,005,0ln

67

1178,09857,2

−−

=

35,25=

Hal ini berarti bahwa jika partai barang itu tidak berisi barang yang jelek,

maka rata-rata diperlukan 26 barang untuk pemeriksaan dari tiap partai.

• Untuk 1,00 == pp , maka ( ) 99,00 =pL . Sehingga berdasarkan persamaan

(3.81) diperoleh:

( )( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

1,012,01ln1,01

1,02,0ln1,0

01,005,01ln01,0

01,0105,0ln01,01

0nE p

( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

9,08,0ln9,0

1,02,0ln1,0

01,095,0ln01,0

99,005,0ln99,0

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )1178,09,06931,01,0

554,401,09857,299,0−+

+−=

10602,006931,0

04554,0955843,2−+−

=

03671,0

910303,2−−

=

29,29=

Hal ini berarti bahwa jika partai barang itu berisi 10% barang yang jelek,

maka rata-rata diperlukan 30 barang untuk pemeriksaan dari tiap partai.

• Untuk 2,01 == pp , maka ( ) 05,01 =pL . Sehingga berdasarkan persamaan

(3.83) diperoleh:

68

( ) ( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

1,012,01ln2,01

1,02,0ln2,0

01,005,01ln05,01

01,0105,0ln05,0

1pE

( ) ( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

9,08,0ln2,01

1,02,0ln2,0

01,095,0ln95,0

99,005,0ln05,0

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )1178.08,06931,02,0

554,495,09857,205,0−+

+−=

09424,013862,0

3263,4149285,0−+−

= 04438,0

177015,4=

068,94=

Hal ini berarti bahwa jika partai barang itu berisi 20% barang yang jelek,

maka rata-rata diperlukan 95 barang untuk pemeriksaan dari tiap partai.

• Untuk , maka1=p ( ) 01 =L . Sehingga berdasarkan persamaan (3.84)

diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

1,02,0ln

01,005,01ln

1 nE ( )2ln01,095,0ln ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

= 6931,0554,4

= 57,6=

Hal ini berarti bahwa jika partai barang itu berisi 100% barang yang jelek,

maka rata-rata diperlukan 7 barang untuk pemeriksaan dari tiap partai.

• Untuk 145,0== sp , maka ( ) 604,0=sL . Sehingga berdasarkan persamaan

(3.87) diperoleh:

69

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

1,02,0ln

2,011,01ln

01,005,01ln

01,0105,0ln

nEs

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

1,02,0ln

8,09,0ln

01,095,0ln

99,005,0ln

08164,0

596,13= 56,166=

Hal ini berarti bahwa jika partai barang itu berisi barang yang jelek sebanyak

, maka rata-rata diperlukan 167 barang untuk pemeriksaan dari tiap partai. s

Apabila semua titik-titik rataan ukuran sampel ini digambarkan dalam

koordinat ( )( )nEp p, , maka akan diperoleh sebuah kurva sebagai berikut:

pE

p

Gambar 3..8

BAB 1V

APLIKASI UJI SEKUENSIAL UNTUK PROPORSI

Permasalahan

Ada kasus mengenai lapisan khusus pelindung logam. Lapisan ini akan diterima

dengan sangat memuaskan jika dipenuhi oleh lubang-lubang minimum sebesar

15% dari peluru kaliber 0,3 yang ditembakkan dengan kondisi standar. Peluru

akan ditolak jika persentase lubangnya adalah 30% atau lebih. Dengan kata lain,

batas toleransinya antara 15% dan 30%. Tentu saja jika persentasenya kurang dari

15%, maka peluru diterima. Tetapi nilai batas yang rendah akan menaikkan biaya

dan mungkin waktu produksi. Sehingga untuk hal ini maka dibuat batasnya tidak

terlalu rendah. Diasumsikan bahwa pabrik menginginkan resiko menerima barang

jelek sebesar 2% dan resiko menolak barang bagus sebesar 1%.

Penyelesaian

1. Diketahui nilai-nilai 15,00 =p , 30,01 =p , 01,0=α , 02,0=β , maka

hipotesisnya:

15,0:0 =pH melawan,

30,0:1 =pH

2. Dari persamaan (3.32), diperoleh persamaan garis : 1g

• ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+

15,013,01ln

15,03,0ln

01,0102,0ln

15,013,01ln

15,03,0ln

15,013,01ln

1 nn

71

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

85,07,0ln

15,03,0ln

99,002,0ln

85,07,0ln

15,03,0ln

85,07,0ln

1 nn

( )( ) ( )

( )( ) ( )8235,0ln2ln

0202,0ln8235,0ln2ln

8235,0ln1 −

=−

+ nn

1942,06931,0902,3

1942,06931,01942,0

1 +−

=+

−+ nn

398,4219,01 −=− nn (4.1)

Dari persamaan (3.34), diperoleh persamaan garis : 2g

• ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+

15,013,01ln

15,03,0ln

01,002,01ln

15,013,01ln

15,03,0ln

15,013,01ln

1 nn

( )( ) ( )

( )( ) ( )8235,0ln2ln

98ln8235,0ln2ln

8235,0ln1 −

=−

+ nn

1942,06931,0585,4

1942,06931,01942,0

1 +=

+−

+ nn

167,5219,01 =− nn (4.2)

Tabel 2. UJI LAPISAN PELINDUNG

nilai batas banyaknya n penerimaan penolakan barang rusak

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 7 1 8 7 1

72

nilai batas banyaknya n penerimaan penolakan barang rusak

9 8 1 10 8 1 11 8 1 12 8 1 13 9 1 14 9 1 15 9 2 16 9 2 17 9 2 18 10 2 19 10 2 20 10 3 21 0 10 3 22 0 10 3 23 0 11 3 24 0 11 3 25 1 11 3 26 1 11 3 27 1 12 3 28 1 12 3 29 1 12 3 30 2 12 3 31 2 12 3 32 2 13 4 33 2 13 4 34 3 13 4 35 3 13 4 36 3 14 4 37 3 14 5 38 3 14 5 39 4 14 5 40 4 14 6 41 4 15 6 42 4 15 6 43 5 15 6 44 5 15 6 45 5 16 7 46 5 16 7 47 5 16 7 48 6 16 7 49 6 16 7 50 6 17 7 51 6 17 7 52 6 17 7 53 7 17 7 Partai diterima

73

Nilai-nilai batas penerimaan pada kolom 2 dari Tabel 4.1 diperoleh dengan

menggunakan persamaan (4.1). Sedangkan nilai batas penolakan pada kolom 3

dari Tabel 4.1 diperoleh dengan menggunakan persamaan (4.2). kolom 4 berisi

banyaknya peluru rusak dalam pemeriksaan ke-n. Jika selama pemeriksaan

ditemukan peluru jelek masih berada diantara nilai batas penerimaan dan

penolakan, maka pemeriksaan terus dilanjutkan. Proses akan berhenti ketika

ditemukan peluru jelek sama dengan nilai batas penerimaan atau penolakannya.

10 20 30 40 50

40

30

10

20 Daerah penolakan

Daerah penerimaan

Daerah melanjutkan

Gambar 4.1

n

1n

74

Pada Gambar 4.1, bisa dilihat bahwa pada sampel yang ke-53 jatuh pada

daerah penerimaan sehingga partai diterima. Dengan kata lain diterima, jadi

lubang dalam lapisan pelindung peluru masih bisa ditoleransi sebesar 15%.

0H

3. Fungsi karakterisistik operasinya sebagai berikut:

Pertama dicari lima titik istimewa yang menggambarkan lengkungan dalam

kurva yaitu untuk , 0=p 15,00 == pp , sp = , 30,01 == pp , dan . Untuk

nilai yang lain dicari berdasarkan persamaan (3.58) dan (3.59).

1=p

p

• Untuk , maka nilai 0=p ( ) 10 =L

• Untuk 15,00 == pp , maka nilai ( ) α−=10pL 01,01−=

99,0=

• Untuk ,maka dari persamaan (3.66) diperoleh: sp =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=

15,013,01ln

15,03,0ln

3,0115,01ln

s( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

85,07,0ln2ln

7,085,0ln

( )( ) ( )8235,0ln2ln

2143,1ln−

=1942,06931,0

1942,0+

=

219,0=

dari persamaan (3.67) diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

01,0102,0ln

01,002,01ln

01,002,01ln

sL⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

99,002,0ln

01,098,0ln

01,098,0ln

75

( )( ) 0202,0ln98ln

98ln+

=902,3585,4

585,4+

= 5402,0=

• Untuk 30,01 == pp , maka nilai ( ) β=1pL 02,0=

• Untuk , maka nilai 1=p ( ) 01 =L

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 ( )( )00 , pLp ( )( )0,0 L

( )( )11 , pLp

( )( )sLs,

( )( )1,1 L

Gambar 4.2

( )pL

p

4. Seperti pada fungsi karakteristik operasi, pada rataan ukuran sampel juga

dicari untuk lima titik istimewanya. Nilai rataan ukuran sampel itu dapat dicari

sebagai berikut:

76

• Untuk , maka nilai 0=p ( ) 10 =L . Sehingga berdasarkan rumus (3.81)

diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

15,013,01ln

01,0102,0ln

0 nE

( )( )8235,0ln

0202,0ln=

1942,0902,3

−−

=

Hal ini berarti bahwa jika partai peluru itu tidak berisi barang yang berada

di bawah standar, maka sebagai pemeriksaan diperlukan rata-rata 21 butir

peluru dalam setiap partai.

• Untuk , maka nilai 0pp = ( ) 99,00 =pL . Sehingga berdasarkan persaman

(3.82) diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

15,013,01ln85,0

15,03,0ln15,0

01,002,01ln01,0

01,0102,0ln99,0

0nE p

( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

85,07,0ln85,02ln15,0

01,098,0ln01,0

99,002,0ln99,0

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )1942,085,06931,015,0

585,401,0902,399,0−+

+−=

061105,081813,3

−−

=

77

485,62=

Jadi dibutuhkan rata-rata 63 butir peluru dalam pemeriksaan.

• Untuk , maka nilai 1pp = ( ) 02,01 =pL . Sehingga berdasarkan persamaan

(3.83) diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

15,013,01ln7,0

15,03,0ln3,0

01,002,01ln98,0

01,0102,0ln02,0

1nE p

( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

85,07,0ln7,02ln3,0

01,098,0ln98,0

99,002,0ln02,0

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )1942,07,06931,03,0

585,498,0902,302,0−+

+−=

07199,041526,4

=

33,61=

Jadi dibutuhkan rata-rata 62 butir peluru dalam tiap pemeriksaan.

• Untuk , maka nilai 1=p ( ) 01 =L . Sehingga berdasarkan persamaan (3.84)

diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

15,03,0ln

01,002,01ln

1 nE

78

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

15,03,0ln

01,098,0ln

( )( )2ln98ln

=

6931,0585,4

=

615,6=

Jadi dalam hal ini dibutuhkan rata-rata 7 butir pelururu untuk pemeriksaan.

• Untuk sp = , maka nilai ( ) 5402,0=sL . Sehingga berdasarkan persamaan

(3.87) diperoleh:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

15,03,0ln

3,0115,01ln

01,002,01ln

01,0102,0ln

nEs

( )2ln

7,085,0ln

01,098,0ln

99,002,0ln

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

( ) ( )( ) ( )2ln2143,1ln

98ln0202,0ln−=

( )( )( )( )6931,01942,0

585,4902,3=

1346,089067,17

=

917,132=

79

Jadi dalam hal ini diperlukan rata-rata 133 butir peluru sebagai

pemeriksaan.

Rataan ukuran sampel itu dapat digambarkan dalam grafik sebagai berikut:

pE

p

Gambar 4.3

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam kasus-kasus tertentu dan kondisi tertentu, uji sekuensial sangatlah

menguntungkan. Hal ini tentunya akan memberikan sebuah alternatif lain uji

statistik dalam proses inferensi statistik. Kekurangan dari uji ini adalah bahwa uji

ini hanya efisien untuk kondisi tertentu yang antara lain dipengaruhi oleh faktor

biaya penelitian, waktu yang dibutuhkan, dan sebagaingya. Dalam skripsi ini

hanya dibahas mengenai uji sekuensial untuk kasus binomial, sehingga berkaitan

dengan uji untuk parameter . Proses sekuensial ini dimulai dengan penentuan

hipotesis yang akan diuji yaitu:

p

00 : ppH = melawan

11 : ppH =

Selanjutnya ditentukan nilai-nilai batas penolakan dan penerimaan hipotesis

berdasar uji sekuensial untuk perencanaan samplingnya. Probabilitas penerimaan

hipotesis yang dilambangkan dengan

0H

0H ( )pL dapat dilukiskan dalam grafik

fungsi karakteristik operasi. Grafik fungsi karakteristik operasi ini menunjukkan

bahwa semakin kecil nilai proporsinya, maka semakin besar probabilitas

menerima hipotesisnya. Dalam uji sekuensial, keputusan untuk menerima atau

menolak hipotesis ternyata bergantung pada ukuran sampel pada setiap langkah

pemeriksaan. Karena ukuran sampel merupakan sebuah variabel random, maka

dapat dicari rata-ratanya. Rata-rata ini dikenal dengan istilah rataan ukuran sampel.

81

B. Saran

Dalam penulisan skripsi ini tentunya penulis masih melakukan banyak

kesalahan, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan.

Penulis juga menyarankan untuk pembahasan uji sekuensial untuk data yang

berdistribusi selain binomial.

82

DAFTAR PUSTAKA

Darwis, Sutawanir. (1987). Metode Sekuensial. Jakarta: Karunia.

Harinaldi. (2005). Prinsip-Prinsip Statistika untuk Teknik dan Sains. Jakarta:

Erlangga.

Mood, A. M., Graybill, F. A. & Boes, D. C. Introduction to The Theory of

Statistics. Singapore: Mc. Graw-Hill inc.

Rosander, A. C. (1951). Elementary Principles of Statistics. New York: D Van

Nostrand Company Inc.

Soejoeti, Zanzawi. (1987). Metode Statistika I. Jakarta: Karunia.

Sudjana. (1996). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.

Wald, A. (1947). Sequential Analysis. New York: Publication Inc.

Walpole, R. E. (1995). Pengantar Statistika. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka

Utama.