1Modul Bahan KuliahJurusan Teknik Sipil UNSOleh: WibowoMetode Energi adalah metode yang sangat baik(powerful)untukmemformulasi hubungangayadan perpindahanPembahasan Metode energi termasuk:1.Konservasi Energi2.Metode Kerja Nyata3.Metode Kerja Maya2Kerja Luar = Kerja DalamSebagai ilustrasi misal sebuah elemen struktur dibebani gaya P dan q maka:Kerja Luar (External Work) : adalah produk gaya luarKerja dalam (Internal Work): adalah produk gaya dalamJika suatu struktur elastis bekerja beban Pi pada titik i dan terjadi penambahan deformasi dvi oleh beban lain, sementaraPi konstan, maka kerja oleh Pi akibat perpindahan dvi adalah : i ivi ivi ii iv P dv P dv P Wdv P dwi i= = == 0 0PiPivi dvi3Bila displacement diakibatkan oleh beban Pi itu sendiri maka:K1PiviDisplacement vi adalah proporsional terhadap penambahan beban Pii i i i i i i i iv P Kv dv v K dv Kv dv P W21221= = = = = Pivii iv P W21=Complimentary workzyxdydxdzGaya dalam merespon beban luar yang diaplikasikan padastruktur serta deformasinya. GD mempunyai kapasitas untukmenghasilkan kerja dan menjaga struktur pada konfigurasiasalnya.4Energi dalam juga sering disebut energi regangan (strain energy)Disimbolkan Ustrain( ) = = d vol d d dxdydz dx dydzdUntuk material elastis : =.E, maka internal work elemen tak hingga := = ) ( ) ( ) (21221vol d vol d E d vol Ed Internal work system yang diaplikasikan tegangan aksial adalah integral dari energi utk elemen tak hingga atas volumenya. = = = ) ( ) )( (212121vol d dxdydz dx dydz Ua Suatu batang elastis dibebani beban P dankekakuannya K, maka energi elastisnya: = = = = =KPPv Kv Kvdv Pdv Ua2221221Untuk batang dibebani beban aksial U mengakibatkan displacement u, makaEnergi elastisnya: = = dx u EA dxEAUUa221221) ' (5Untuk elemen yang mengalami lentur (flexural) ((

=((

= dA y dxIMvol dIMyEUbE22121221) (1Inersia penampangMaka: = = dx v EI dxEIMUb221221) ' ' (Dengan cara yang sama, ekspresi energi elastis untuk Geser: = = dAdxGvol dGUs221221) ( Bila dimasukkan rumus tegangan geser di sembarang titik dipenampang:AV = = = dA dxGVdAdxGVUs22212221 = dAA21 Adalah shape factor maka,= dxGAVUs221 6Untuk torsi: = = dx GJ dxGJTUt221221) ' (Bila lebih dari satu macam deformasi terjadi maka total energi reganganadalah jumlah dari energi regangan dari berbagai deformasi tersebut.Apa yang terjadi ketika struktur ber deformasi ?Ketika Struktur berdeformasi gaya luar (external force) yang membebanistruktur tsb menunjukkan eksternal work (We). Pada saat bersamaanstruktur mengembangkan gaya dalam (internal force) yang melawaneksternal force tsb. Kerja dari GD ini yang selaras dengan deformasidisebut internal work (Wi).Total Energi pada peristiwa ini tidak berubah, maka:We = Wi7Hitung defleksi (v1) dari balok kantilever pada gambar:PLv1Modulus elastisitas E dan Momen Inersia Penampang IDefleksi v1 diakibatkan oleh P, maka eksternal work adalah:1 21Pv We =Internal work adalah energi elastis pada saat balok mengalami momen:Px M = = = =103 222 2216 2 EIl Pdx xEIPdxEIMUbi eW W =makaEIPlvEIl PPv36313 21 21==8Metode Kerja Maya (Virtuil Work) Jika struktur dalam keadaan setimbang maka akibatbeban luar akan menghasilkan gaya dalam yang sesuai. Bila diaplikasikan tambahan displacement atau gayaluar maya maka akan ada penambahan(penyesuaian) gaya dalam yang terjadi. Kerja dari real force pada virtual displacement atauvirtual force pada real displacement adalah ygdisebut virtual work (kerja maya) dari sebuahstruktur. Virtual work dari gayaluar dan gaya dalam adalahsamaAplikasi untuk elemen dgnbeban aksialu U2U1xdxLAkibat beban aksial U maka displacement penampang pada x adalah u dxudxdu +9Virtual work = = =liu u U dx udxdU dx udxdU W01 2) ( ) ( ) ( Internal work pada elemen di atas:Eksternal work:) (1 2 1 1 2 2u u U u U u U We = =V W lanjutanAdx vol ddxudA U===) () ( Internal virtual work juga bisa dinyatakan dalam bentuk tegangandan regangan:Maka:=volvol d Wi ) ( 10VW lanjutanJadi dari persamaan terakhir dapat digeneralisir bahwa internal work adalah sama dengan energi elastic dari system.Dengan mengikuti prosedur yang mirip (dgn internal work), makauntuk semua system struktur dapat ditulis:We Us =VW lanjutan==volnii i v P vol d1) ( ) ( Pada struktur dengan n beban nyata Pi menyebabkan terjadinya tegangan . Bila struktur tersebut diberlakukan virtual displacement yang menyebabkandisplacement vi searah dengan arah beban maka persamaan mejnadi:Bila struktur dalam kondisi setimbang oleh beban maya Pi yg menyebabkantegangan dan dikenai beban Pi yang menyebabkan displacement vi dilokasi dan arah dari gaya maya akan memeberi pers:==volnii i P v vol d1) ( ) ( 11Defleksi Struktur dgn VW Prinsip Virtual Work dapat digunakanuntuk menghitung defleksi struktur. Prinsip ini terutama cocok untukstruktur yang diaplikasikan tegangankombinasi dan beban yang diskontinyu. Contoh struktur yang defleksinyadihitung dgn prinsip VW adalah Trussdan Beam.Formulasi defleksi dgn VW Prinsip Truss: Eksternal VW yg dilakukan oleh gaya satuan = 1 x v Internal VW oleh virtuil gaya batang (fi) = i i l f = i il f Persamaan VW truss :Langkah-langkah:1. Hitung Gaya Batang akibat gaya luar2. Hilangkan Gaya luar, aplikasi beban 1 satuan di joint yg ditinjau, hit gaya batang3. Gunakan rumus VW utk menghitung defleksiPersamaan defleksi truss :=iii i iA l f FE112Defleksi balok dgn VW Analogi pada truss, pada balok perhitungan juga dilakukandengan aplikasi beban 1 satuan, hanya ekternal maupuninternal force yang dihitung adalah momendA y dxEImMvol dImyEIMyli = =022) ( =lidxEImM0Trusscontoh202020 2010P1 P2 P312 463 5 78P1=P2=P3=10 kipsE=29000 ksiPanjang batang (l) dan luas (A) penampang disajikan dalam tabel13Penyelesaian =ii i l f ii iiEAl Fl= Untuk menyelesaikan soal diatas maka dilakukan aplikasi beban maya sbb:Kerja maya luar(ekternal vcirtual work) dilakukan dengan memberikanbeban satuan 1 x v, sementara kerja maya dalam (internal virtual work) dengan menghitung gaya batang akkibat beban maya satu satuan dikalikandisplacement terjadi.Jadi persamaan kerja maya:Dimana li adalah:Subtitusi pers di atas:=iii i iA l f FE1Perhitungan disajikan dalam tabelin 0.54282772 Defleksi pada titik 5 = 15742/E =15742.004 Jml1200 1 30 6 240 7-81679.96046 -1.12 -33.54 6 268.33 6-80 0 0 4 120 6-71200 1 30 6 240 5-7591.041547 1.12 11.8 6 268.33 5-63200 -2 -40 6 240 4-60 0 -10 4 120 4-51200 1 30 6 240 3-5591.041547 1.12 11.8 6 268.33 2-53200 -2 -40 6 240 2-40 0 0 4 120 2-31200 1 30 6 240 1-31679.96046 -1.12 -33.54 6 268.33 1-2Fi x fi5 x li /Ai fi5 Fi Ai li Batang14Defleksi balok dgn Virtuil WorkTentukan defleksi pada ujung bebas balok balok sbb:2 kip/ft20 ft 5 ftPenyelesaian:kips Rkips R R25 , 31 75 , 18 25 275 , 18 0 ) 5 , 12 20 ( 25 2 2021 1= == = Reaksi perletakan akibat beban luar:Reaksi perletakan akibat beban 1 satuan di ujung bebas balok:kips rkips r r25 , 1 ) 25 , 0 ( 125 , 0 0 5 1 2021 1= = = = + 15Penyelesaian lanjutanx mx x x x M25 , 075 , 18 2 / 2 75 , 182 2 = = =Momen akibat beban luar bekerja:Untuk x< 20 ft:Untuk x> 20 ft:x x x mx x x x x M+ = + = + = + =25 ) 20 ( 25 , 1 25 , 050 625 ) 20 ( 25 , 31 2 / 2 75 , 182 2Lanjutan + + + =20025202 23) 25 )( 50 625 (1) 25 , 0 )( 75 , 18 (1dx x x xEIdx x x xEIvPersamaan kerja maya:Hasil integrasi:EIft kipv33. 75 , 2343 =16Teorema Castigliano==volnii i v P vol d1) ( ) ( Teorema ini sangat berguna untuk menghitung defleksi stukturkhususnya yang mengalami tegangan gabungan.Dengan mengassumsikan bahwa Us adaah fungsi dari virtuil displacement makaPersamaanDapat ditulis:0 ) (1= =nii i i sv P v U ==niiissvvUU1Variasi dari Us dapat ditulis dalam variabel vi:Maka persamaan sebelumnya menjadi:01=((

=iniiisv PvUPenyelesaian persamaan di atas:iiiisvUsPatauPvU== 017Diferensial parsiil dari energi elastic (Us) dari struktur yang sesuai dengandisplacement dari suatu titik adalah sama dengan gaya yang bekerja padatitik tersebut dengan arah yang sama dengan displacementnya.Dengan cara yang sama (similar):isiPUv=1st theorem:Lanjutan2nd therem:Differensial parsiil dari Energy Regangan/Elastik yang mempengaruhigaya Pi adalah sama dengan defleksi di lokasi yg sama dengan arahsama dengan Pi.Teorema ini bisa digunakan untuk menghitung gaya redundant (reaksiperletakan) dengan cara memasukkan harga defleksi = 0.Untuk balok dimana Us = Ub maka ekpresi theorema kedua Castigliano:= 10dxPMEIMvii18Aplikasi Metode Energiuntuk perhitunganSlope Defleksi/rotasi danFixed End Moment (Momen Primer)Rotasi / Slope DefleksiHitunglah rotasi di A dgn metode kerja maya19Penyelesaian= LdxEIm M0..Integrasi||

\| = LdxL x LEI x Lx q0221) ( =LdxLxx LxEIq02) 1 )( (2LLxxx LEIq04324 322.2+ =EIqL243=20Fixed End Momen (MomenPrimer)Penyelesaian= LdxEIm M0..21Integrasi Kerja maya=LdxEIm M0..| | = LdxEIM M x Lx q0221) (0( ) =Ldx M x Lx qEIM0221) (((

=MxxqxqLLEIM3 23212210( ) ML qLEIM =312102121 qL M =