AnalisisRealIPertemuan4

8/11/2019 AnalisisRealIPertemuan4

1/9

L/O/G/O

nalisis Variabel Real I

Mohammad Edy Nurtamam

Pertemuan Keempat


2/9

Induksi Matematika

Asumsi dasar yang lebih dikenal untuk himpunan bilangan Asli dinotasikan

N = {1, 2, 3, . . . }.

1.3.1 Sifat Urutan terbaik dari N

Setiap himpunan bagian dari N yang tidak kosong memiliki elemen

terkecil. Secara lebih terinci, pernyataan tersebut adalah sebagai

berikut:

Jika S himpunan bagian dari N dan S , maka terdapat sebuah

elemen sedikian sehingga m k untuk setiap k S

1.3.2 Prinsip Induksi Matematika

Misalkan S himpunan bagian dari N yang memiliki sifat-sifat:(1)1 S

(2) jika k S, maka k+1 S,

maka S = N.


3/9

Bukti:

Andaikan sebaliknya yaitu S N, maka himpunan N\S tidak

kosong. Sehingga menurut sifat urutan terbaik N memuat elemen

terkecil. Misalkan m menyatakan elemen terkecil dari N\S (m N\S

sedemikian sehingga m

k, k N\S). Karena m N\S N berarti

juga elemen terkecil dari N adalah m dan m S.Menurut prinsip (1) 1 S, dan m S, maka m 1?, ini berarti m> 1

atau m1? sehingga

m 1 N.

Karena m 1 < m dan minimum dari N dalam m dan m 1 S.

Menurut prinsip (2) jika k= m 1 S, maka m = (m 1) + 1= k +1 S. Hal ini bertentanan dengan m S. Karena m dimisalkan

termuat dalam N\S yang tidak kosong, maka tidak mungkin m S

dan m S. Sehingga seharusnya N\S adalah himpunan kosong. Jadi

pengandaian S

N salah. Haruslah S = N.


4/9

Prinsip Induksi Matematika (2)

Prinsip Induksi Matematika sering seterusnya dihimpun dalam

kerangka dari sifat-sfat atau pernyataan yang berhubungan bilangan

asli.

Untuk setiap n N, dan misalkan P(n) adalah pernyataan yang

berhubungan dengann

N. Andaikan bahwa:(i) P(1) adalah benar

(ii) Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar.

Maka P(n) benar untuk semua n N.

Hubungan proses induksi matematika pada 1.3.2 adalah denganmembuat pilihan S = {n N | P(n) benar}, maka kondisi (1) dan (2)

pada 1.3.2 berhubungan kuat dengan kondisi (i) dan (ii) begitu

sebaliknya. Sehingga kesimpulan bahwa S=N pada 1.3.2

berhubungan dengan kesimpulan P(n) benar untuk semua n N


5/9

Contoh

Untuk setiap n N, jumlah dari nbilangan asli pertama dapat

dirumuskan sebagai berikut

1 + 2 + . . . + n = n (n+1).

Misalkan S adalah himpunan untuk semua n N, dimana rumus

tersebut benar, yaituS = {n N: P(n) = 1 + 2 + . . . + n = n (n+1) benar}. Akan

ditunjukkan kondisi (1) dan (2) dari 1.3.2 terpenuhi. yaitu

(1) 1 S

(2) Jika k S, maka k+1 S

Bukti :

(1) Jika n = 1, maka 1 = 1 (1+1). Jadi P(1) benar, sehingga 1 S.

Jadi kondisi (1) terpenuhi.


6/9

Bukti Lanjutan

(2) Jika k S berarti P(k) benar, yaitu

P(k) = 1 + 2 + . . . + k = k (k+1)

Akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu

P(k + 1) = 1 + 2 + . . . . . + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2).

Perhatikan penjabaran berikut ini

1 + 2 + . . . . . + k + (k+1) = k(k + 1) + (k + 1)

= ( k + 1) (k + 1)

= (k + 2) (k + 1)

= (k + 1) (k + 2)


7/9

Bukti Lanjutan

Karena terpenuhi

P(k + 1) = 1 + 2 + . . . . . + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2),

maka dapat disimpulkan (k + 1) S.

Karena kondisi (1) dan (2) dari 1.3.2. dipenuhi, akibatnya

dengan Prinsip Matematika dapat disimpulkan bahwa S = N

dan rumus disimpulkan

1 + 2 + . . . + n = n (n+1)

benar untuk setiap n N.


8/9

Tugas 1

Download di http://nurtamam.blogspot.com
http://nurtamam.blogspot.com/http://nurtamam.blogspot.com/


9/9

L/O/G/O

TERIMA KASIH

AnalisisRealIPertemuan4

Documents

Transcript of AnalisisRealIPertemuan4