Analisis Vektor

227
SERI BUKU SCHAUM TEORI DAN SI)AL-SOAL AT{ALISIS VEK TOR dan suatu pengantar ANALISIS TEhISQR (vrnsr strMETRrK) Murray H.. Spiegel,, Ph:.D: Froteqsor ol Mathematics Rensselacr Polytechnic I ruti tute Alih bahasa Drs. Hans J. Wospakrik Ins titut Tq knologi Bandung r999 PLNERBIT ERLANGGA Jl. H. Baping RaJa No. 100 Ciracas, Jakarta 13740 (Anggota IKAPI)

description

This book was written by Murray R. Spiegel, Ph.D. and talks about the problems of vector analysis.

Transcript of Analisis Vektor

Page 1: Analisis Vektor

SERI BUKU SCHAUM

TEORI DAN SI)AL-SOAL

AT{ALISIS VEK TORdan suatu pengantar

ANALISIS TEhISQR(vrnsr strMETRrK)

Murray H.. Spiegel,, Ph:.D:Froteqsor ol Mathematics

Rensselacr Polytechnic I ruti tute

Alih bahasaDrs. Hans J. Wospakrik

Ins titut Tq knologi Bandung

r999PLNERBIT ERLANGGAJl. H. Baping RaJa No. 100

Ciracas, Jakarta 13740(Anggota IKAPI)

Page 2: Analisis Vektor

Judul Asli : Theory and Problems of VECTOR ANALYSIS(Schaum Series)

Hak Cipta dalam bahasa Inggris @ 1959 pada McGraw-Hill, Inc.

Hak Terjemahan dalam bahasa Indonesia pada Penarbit Erlangga dengan

perjanjian resmi tertanggal25 Oktober 1984.

Alih Bahasa : Drs. Hans J. WosPakrikDepartemen FisikaInstitut Teknologi Bandung

Buku ini diset dan dilay-out oleh bagian produksi Penerbit Erlangga dengan

huruf PR-10-M.

Dicetak oleh : PT. Gelora Aksara Pratama

Cetakan pertama, 1987Cetakan kedua yang diperbaiki, 1988.

Cetakan ketiga, l99lCetakan keempat, 1994

Cetakan kelinu" 1999

Dil^arang keras mengutip, menjiptah atau memlctokopi sebagian aau seluruh isi

buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa izin tertulis dai Penerbit Erla.ngga.

@ HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG.UNDANG

Page 3: Analisis Vektor

KATA PENGANTAR

Analisis vektor yang mulai dikembangkan pada pertengaharl abad ke-i9, dewasa ini merupakan bagian pen-

.ing latar belakang matematika yang diperlukan sarjana-sarjana teknik, fisika, matematika dan ilmuwan-ilmuwanlainnya. Persyaratan ini bukanlah suatu kebetulan, karena analisis vektor tidak hanya memberikan suatu notasiyang ringkas untuk memperkenalkan persamaan-persamaan yang muncul dalam perumusan matematis dari per-

soalan-persoalan fisika dan geometri tetapi ia juga merupakan suatu pembantu dalam membentuk gambaran

dari ide-ide fisika dan geometri. Ringkasnya, ia dapat dipandang sebagai bahasa dan cara berpikir yang sangatpantas untuk ilmu-ilrru fisika.

Buku ini dirancang untuk dipergunakan sebagai suatu buku teks (text book) bagi kuliah formal dalam ana-lisis vektor atau sebagai suatu pelengkap yang sangat bermanfaat bagi semua buku teks standar dewasa ini. Bagimereka yang mengambil kuliah fisika, mekanika, teori elektromagnit, aerodinamika atau bidang-bidang lainnyadimana metode vektor dipergunakan, buku ini akanjuga bermanfaat.

Setiap bab dimulai dengan perumusan definisi, prinsip, dan teorema bersama dengan ilustrasi dan bahan-

bahan deskriptif lainnya. Ini diikuti dengan kumpulan soal-soal yang dipecahkan dan soal-soal tambahan. Tujuansoal-soal yang dipecahkan adalah untuk membantu memperjelas dan memperdalarn penguasaan teori, dan mem-pertajam bagian-bagian pentirlg tertentu yang ianpanya para rnahasiswa akan terus-menerus mer$a <iirinya ku-rang mempunyai dasar yang kuat, serta menyajikan ulalgan prinsip-prinsip dasar yang sangat penting untukbelajar secara efektif. Sejumlah bukti dari teorema serta penurunan rumus-rumus dimasukkan pula dalam soal-soal yang dipecahkan. Sejumlah besar soal-soal tambahan dengan jawaban-jawabannya membantu untuk mem-berikan suatu tinjauan-ulang yang lengkap dari bahan-bahan dalam setiap bab.

Topik-topik yang diliput mencakup aljabar, kalkulus diferensial dan integral dari vektor, teorema Stokes,teorema divergensi dan teorema-teorema integral lainnya bersama dengan penerapannya pada berbagai bidang.Bahan-bahsn tambahan adalah bab-bab mengenai koordinat-koordinat kurvalinear dan analisis tensoryangber-manfaat untuk studi dalam bidang-bidang teknik, fisika dan matematika lanjutan.

lebih banyak bahan telah dimasukkan di sini daripada'yang dapat diliput dalam kebanyakan kuliah-kuliahpermulaan. Ini dilakukan agar membuat buku ini lebih luwes, menjadi suatu buku rujukan yang lebih berguna

dan merangsang minat yang lebih lanjut terhadap semua topik.

Pengarang sangat berterima kasih kepada Mr. Henry Hayden atas jasa-jasanya dalam penanganan lay-outcetakan dan pembuatan ganrbar-gambar. Realisme dari gambar-gambar ini sangat membantu dalam keefektipanpersentasi suatu subyek dimana visualisasi ruang memainkan peranan yang penting.

N4. R. Sprrcr:l

Rcnsscllcr I)()lytechnrc Institute

Juni.1959

Page 4: Analisis Vektor

BAB

DAFTAR ISI

VEKTAR DAN SKALAR

Vektor. Skalar. Aljabar vektor. Hukum-hukum aljabar

!atuan legak-lurus. Komponen-komponen sebuah vektor.vektor. Vektor satuan. Vektor'vektorMedan Skalar. Medan Vektor.

HALAMAN

HASIL.KALI TITI K DAN SILANG 17

Hasil-kali titik atau skalar. Hasil-kali silang atau vektor. Hasil.kali tripel. Himpunan vektor-

vektor resiprokal.

DIFERENSIASI VEKTOR 36

Tulrnan biasa dari vektor. Kurva-kurva ruang. Kontinuitas dan diferensiabilitas. Rumus-rumus

diferensiasi. Turunan parsial dari vektor-vektor. Diferensial dari vektor-vektc:. Geornetri dife-

rensial. Mekanika.

GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL

Operator diterensial vektor del. Gradien. Divergensi. Cuil. Run,us-rumus yang mengandung VInvar;ans.

INTEGRASI VEKTOR ., , .

lntegral biasa dari vektor Integral garis. Inte;ral perurukaatr. lntegral volume

bidang. Teorema-teo'

58

83

138

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAI.'

TEOREMA-TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITA^J . .

Teorenra Divergensi Causs. Teoretrra Stokes. Teorenla Green dalaur

rema integral yang berl:aitan. Bentuk operator integral untuk y

KOORDIfIAT KURVALINI,qR . .

Transformasi koordinat. Koordinat kurvalinear ortogonal. Vektor-vektor satuan dalam sistem

kurvalinear. Elemen panjang busur dan elemen volume. Cradien, divergensi Can curl. Sistem-

sistcnr koordinat ortogonal khusus. Koordinat silinder. Koordinat bola. Koordinat silinder

parabolik. Koordinat Paraboloid. Koordinat silinder eliptik. Koordinal prolate spheroidal. Ko-

ordinat oblate spheroidal. Koordinat elipsoid. Koordinat bipolar.

8. ANALISIS TENSOR

Hukuur-hukutl Fisika- Ruang bcrclirtrensi N. Transfbrurasi koordinat. Kaidah penjurnlahan.

Vektor.vektor konlravarian dan kovar-ian. Tensor-tcnsr.rt kontravarian. kovarian dltr catrtputatr.

Delta Kroneckcr. Tensor clcngan ran\ le{lh beslL daripl<il dul. Skalar atatt itlvariau. Msclatr

tcns6r. Tcnspr-tctrs6r sintc(r'ik dan lrrti-sinrctri,k. Operasi-opcrasi dasat detlgatt tcnsor. Matriks-

Aljabar ntatriks. Elcntcn garis dau lettsol ntctrik. Tettsor konyugal atau resiprokal- Tensot se-

kutu. Panjang scbuuh vektor, sudut atrtirra vektor-vektor. Konrponen-korllpolletl fisis. Sinlbol

Christoil'cl. Hukunr transfurnrasi dali sinthol Chl islol't'cl. Ceodesik. Turut'tr.ttl kovarian. Sinrbol

dar: tensor petntutilsi. Bcntuk terls,rr clari grlrlicrr. divergensi dan curl. Tulunatt intrinsik atau

atrsolut. Tensor rclatif dan absolut.

INDEKS

108

2 t'7

168

Page 5: Analisis Vektor

VEKTOR SKALAR

VEKTORadalah besaran yang n'lempunyai besar dan arah, seperti perpindahan (displacenrent), kecepatan' gaya

dan percePatan.

Secara grafis, vektor digambarkan oleh sebuah anak panah OP (Gamb'1 )

yang nrendefinisikan arahnya sedangkan besarnya dinyatakan oleh panjang

anak panah. Ujung pangkal O dari anak panah disebut titik awl alau titikpanglctl vektor dan ujung kepala P disebut frfrk temtirwl ztau temlinus'

Secara analilis, vektor dilarnbangkan oleh sebuah huruf dengan anak, pa'

nah diatasnya, seperti i dalanr Gamb. I dan besarnya dinyatakan oleh lalatru A. Daiam karya cetakan, huiuf dengan cetakan tebal seperti A, tliper- o

gunakan untuk menyatakan vektor i sedangkan lA i atau .{ menyatakan be'

sarnya. Dalanr buku ini akan kami pergurrakan notasi huruf dengan cetakan

tebai ini.'Vektor OP jrrga dinyatakan sebagai dF atau oP; dalam hal ini

maka besarnya akan kita nyatakan dengan[],lffilatau lOPl.

'n*

SKAI-AR adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti lrassa, panjang, waktu, suhu dan

sebarang bilangan .iil. Sk.lur dinyatakan oleh hurufhuruf biasa sePerti dalanl aljabar elementer'

Operasioperasi dengan ikalar mengikuti atu.ran-aturan yang sama seperti halnya dalanr aljabar elementer'

ALJABAR VEKTOR.Operasi-operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian yang lazim dalanr aljabar dari

bilangan-bilangun .iuu skalar-skalar, dengan definisi yang sesuai, dapat diperluas kedalam

aljabar dari vektor-vektor. Definisi-definisi berikut adalah mendasar'

/. Dua buah vektor A dan B sarna jika nrereka memiliki besar dan arah yang sama tanpa memandang ke-

dudukan titik'titik awalnya. Jadi A = B dalam Gamb' 2'

2. Sebuah veklor yang arahnya berlawanan dengan vektor A tetapi memiliki besar yang sama dinyatakan

olch -A (Canrb. 3).

Gam bar I

(irmbar 2 Gambar 3

Page 6: Analisis Vektor

\/I K] o}t I)AN SK{L,\R

Jumlah atau resultan dari vektor-vektor A dan Badalah sebuah vektor C yang dibentuk dengan me-nenrpatkan titik awal dari B pada titik terminal dariA dan kemudian nienghubungkan titik awal dari Adengarr titik terminal dari B (Gamb. 4). Jumlah iniditulis A + B, yakni, C = A + B.

Definisi irri ekuivalen dengan hukum iajarangenidng untuk penjurnlahan vektor (lihat Soal 3).

Perluasan ke dalam penjumlahan lebih daripadadua buah vektor adalah langsung (lihat Soal 4).

Gambar 4

5.

Selisih dari vektor-vektor A dan B yangdinyatakan oleh A - B, adalah vektor C yang apabila ditanrbah-kan pada B menghasilkan vektor A. Secara ekrrivalen, A - B dapat didelinisikan sebagai jumiah A r(-B)

Jika A = B, ntaka A - B didefinisikan sebagai vektor no! atau yektor i-osorrg dan dinyatakan oielrsimbol 0 atau secara singkat 0. Besarnya nol dan tak menriliki arah yang tertentu. Vektor yang tak noladalah vektor seiati (proper vector). Serrua veklcr akan dipandang sejati kecuali bila ada pernya(aanlainnya.

Itasil kali sebuah vektor A. dengan sebuah skalar m adalah sebuah vektor mAyang besarnya lnrl kali be-sarnya A dan nrenriliki arah yang sanra atau berlawanan dengan A, bergantung pada apakah m positipatau negatip. Jika nr = 0 maka nzA adalah sebuah vektor nol.

HUKUM-HUKUM ALJABAR VEKTOR. Jika A, B dan C adalah vektor-vektor dan m dan n skalar-skalar,nraka

Perhatikan bahwa dalanr hukum-hukunr ini hanya pcrkalian sebuah vektor dengan satu atau lebih skalar'-

skalar yang dipergunakan. Dalam Bab 2, akan didefinisikan hasil kali dari vektor-vektor.

Hukum-hukum ini nrentungkinkan kita nrempcrlakukan pcrsalnaan-pcrsamaan vektor dengan cara yangsama seperti persamaan-persanraan aljabar biasa. Sebagai nrisal, jika A + B = C maka dengan nrenukarkan tempatA=C-8.

VEKTOR SATUAN aJalalr sebuah vckror yang besarnya

satu. Jika A adalalr sebualt vcktor yang

besarnya A * 0. nraka A/A adalah sebuah vcktor saturn yrr)g

arahnya sarna dengarr A.

Scliap veklor A dapat dinyatgkan oleh scbuah vcktorsatuan a dalanr aralt A dikalikan dengan besalnya A. I)alatttsinrbol. A = Aa.

,1. A+B = B+A2. A+(B+C) = (A+B)+C3. trtA = An4. m (nA,) = (rnn) A

5. (.nt+ rr)A = rnA+aA6. m(A1$) = 72itr+riB

VEKTOR-VEKTOR SATUAN TECAK LURUS i, j, k. Hinr-punan vektor-vcktor saluiul y:rng pcnt ing adalalr yang aralrnyamenurut sumbu-sunrbu .t. .r, dan z positip dari sistcnr koor.dinat tegak lurus ruang tiga dirnerrsi. Masing-rtrasingnya di.nyatakan oleh i,j dan k (Canrb. 5 )

Hukunr Komutatil untuk Penjunrlahan

I{uk url Asosiatif untuk Penjumlahan

Hukunr K-onr utat il' unt uk Perkalian

Hukurn Asosiatif untuk Pcrkalian

Hukunr DistributifHukum Distributif

(iaqrhrr 5

Page 7: Analisis Vektor

\ L K l()i{ i)A:\ S\ \l .\l<

Kita akan menggunakan sistem koordinat tegak'lurus

aturan tangan kanan kecuali ada pernyataan lainnya' Sistem

dentikian dinamakan dari kenyataan bahwa sebuah sekerup

bergalur kanan yang diputar 90o dari Ox ke Oy akan maju

dalam arah surnbu z positif' seperti dalam Gambar 5 di

atas.

Pada umumnya, tiga buah vektor A, B dan C yang titik'titik pangkalnya berimpit dan tak 'koplanar (coplanar)' yak'

ni tidak terletak pada atau sejajar bidang yang sama disebut

membentuk sebuah stilent tangan kanan ata]u sistem dekslral

jika sebuah sekerup bergalur kanan yang diputar dengan su'

dut yang lcbih kecil daripada 180" dari A ke Bpkan rnaju

dalanr arali C scperti diperlihatkan dalam Gamb. 6'

KON{PONEN-KOI\IPONEN SEBUAH VEKTOR. Setiap vek'

tor A dalam

ruang 3 dimensi dapat digambarkan dengan titik pangkal pa'

da titik asal O dari sistem koordinat tegak-lurus (Gamb' 7)'

Misalkan (A, , Au , .A3 ) koordinat'koordinat tegak'lurus

titik terminal dari vektor A dengan titik asal pada O. Vektor-

vektor ,{1i, A2; dan A3k disebut vektor-vcktor koinponen

tegak lurus atau secara singkat ue,ktor-vektor komponen

dari A berturut'turut dalem arah-arah x, y dan z.

A1 , A:, A3 disebut komponen-komponen tegak'lurus

atau secara singkat kompo nen'komponen dari A berturut'

turut dalam arah-arah x, .Y dan z.

Jumlah atau resultan dari A1i, Arj dan A3k adalah vek'

tor A sehingga kita daPat menulis

Gambar 6

Gambar 7

A = Ari+Azj +

Besar dari A adalah

dan besarnYa

AlkA=lnl = E;{G

Pada khususnya, vektor posisj atau vektor ieiati (Radius

vector) r dari O ke titik (-t, y, z) ditulis

,=i.r=e-r:;x.i+ri+zx

MEDAN SKALAR. Jika pada tiap{iap titik (I, y, z)i.^arisuatu daerahR dalam ruang dikaitkan sebuah bilangan

atau ska'lar 6(r,'r, z), n-nkaQrlisebut/ungsi skalardarikeduduks,tataufungsititikskalar

(scalar point function) dan kita mengaiakan bahwa sebuah medan skalar @ telah didefinisikan dalam R'

contoh+ontoh . ( I ) Temperatur pada setiap titik di dalam atau di atas permukaan bumi pada suatu saat ter-

tentu mendefinisikan sebuah t.uedan skalar'

(2) 0(r' y' z)= x3y - z2 mendefinisikan sebuah medan skalar'

Sebuah rnedan skalar yang tak bergantung pada waktu disebut rnedan skalar srastbrter alau keadaan tunak'

NTEDANVEKTOR. Jikapadatiap-tiaptitik(x, y,z)darisuatudaerahRdalamruangdikaitkansebuahvektor

Y (x, y, z/, maka V disebut/angsi vektttr rlari kerlutlukan atau fungsi titik vektof (vector

point functionl dan kita Oapat rnengrtakan bahwa sebtah meclan vektor Y telah didefinisikan dalarn R'

contoh-contoh t" '.fij;ilil.;;.:iff.x:"lii,illll,l1;Ji,ilr',1ill,:;::1ft:1ftr":edang bergerak

Page 8: Analisis Vektor

VI:]I(-TOR I)AN SKALAR

(2) Y (x, y, z) = 1g1,zi - 2yrt j+ xzzk mendefinisikan sebuah medan vektor.

ebuah medan vektor yang tak bergantung pada waktu drseout sebuah medarr vektor stosioner ata:n keadaan

rnak (steady state).

Soal-soal yang DipecahkanNyatakan manakah dari yang berikut ini skalar dan manakah yang vektor.

(a) berat (c) panasienis (e) kerapztan /g/ votume (i)(b) kalori /d/ momentunt (f) energi

Jawab. (a) vektor (c) skalar (e) skalarb) skalar (d) vektor /f/ skalar

(h) jarak {i)

/g/ skalar (i)(h) skalar (i)

kecepatan

intensitas medan magnetik

skalar

vektor

Ca.nbarkan secara gralis /a/ sebuah gaya l0 N yang arahnya 30" disebelah utara dari timur/D/ sebuah gaya l5 N yang arahnya 30" drsebelah timur dari utara.

Pilih satuan dari besarnya seperti yang diperlihatkan. Vektor-vektor yang ditanyakan adalah yang digambarkan di atas.

Sebudh mobil bergerak ke arah utara sejauh 3 km,'kemudian 5 km kearah timur laut. Gambarkan perpin-dahan ini secara grafis dan tentukal vektor perpindahan resultannya {a) secaa grafis, ( b ) secara analitis.

Vektor OP atau A rnenggambarkan perpindahan 3 kmke arah utara.

Vektor PQ atau B menggambarkan perpindahan 5 kmke arah timur laut.

Vektor OQ atau C menggambarkan vektor perpindahanresultan atau jumlah vektor-vektor A dan B, yakni C =A + B. Ini adalah hukum segitiga darr penjumlahan vektor.

Vektor resultan OQ dapat juga diperoleh dengan mem-.bentuk diagonal jajaran genjang OPQR yang memiliki vektor-vektor OP = A dan OR (yang sama dengan vektor PQ atau B)sebagai sisi-sisinya. Ini adalah hukum iajaran genjang daripenjumlahan vektor.

(a) Penentuan rcsultan secara grafis. Letakkan skala satuan Ikm pada vektor OQ untuk meniperoleh besar 7,4 km(kurang-lebih). Buat sudut EOg = 6r,t" dengen memper-gunakan busur derajat. Maka vektor OQ besarnya 7,4km dan arahnya 6 I ,5o di.sebelah utara dari timur.

(b) Penentuan resultan secara anali,is. Perhatikan segitiga OPQ.A, B, C maka kita peroleh dari hukum cosinus.

Bila besar dari A, B, C dinyatakan oleh

1350 = ss+ts,/, = 55,21cz = A2 + 82 - 2AB cos lopq = 32 + s2 - 2(3)(s) cos

jadi C = 7,43(kurang-lebih)

(ii:raba; (r,) /.iami:ar (D )

Page 9: Analisis Vektor

4.

Vi:K I ()li i).\\ SKAL,\R

Dari hukum sinus. : '= : - Maka-' sin loep sin I ope

sin loep - a sin lopQ - -r(o'10=zt = 0.1855 dan loqr = 16"35,c 7.43

Jadi vektor oQ besarnya 7,43 km dan arahnya (45" + 16o35') = 61'35'disebelah utara dari timur.

Carilah junrlah atau resultan perpindahan-perpindahan berikut : A, l0 m barat laut; B 20 m 30" disebelahutara dari timur;C,35 m ke selatan. Lihat Gamb. (a) dibawah.

Pada titik terminal A, tempatkan titik pangkal B.Pada titik terminal B, tempatkan titik pangkal C.

Resultan D dibentuk dengan menghubungkan titik pangkal A dengan titik terminal C, yakni p =A+B+C.Secara grafis, resultan diukur mempunyai besar 4,1 satuan = 20,5 m dan arah 60o disebelah selatan daritimur.

Untuk metode penjumlahan vektor secara analitis dari 3 atau lebih vektor-vektor lihat Soal 26.

Gambar (b)

5. Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yakni ALihat Gamb. (b) di atas.

atau A+Batau B +A

+B = B+A.

=c,=c.

oP+PQ = oQ

dan oR+RQ = OQ

Maka A+B = B+A.

6. Perlihatkan bahwa penjumlahap vektor adalah asosiatif, yakni A + (B +C) =

OP+PQ = oQ = (A+B),dan pe+eR = pR =,(B+C).

. OP+ PR= OR = D, Yakni A+ (B+ C)=D.OO*QR= OR: D. Yakni (A+B)+C =D.

Maka A+(B+C) = (A+B) rC.

Perluasan dari hasil-hasil Soal 5 dan 6 memperli-hatkan bahwa urutan penjumlahan vektor-vektor tidakpenting.

(A

P-

B)+c.

R

Cam bar (a)

6'-e\ ,.\

Page 10: Analisis Vektor

\rl:K1 Olt l)AN SK;\Lr\lt

7. Gaya-gava Fr , Fz, ..., F6 bekerja pada obyek P seperti diperlihatkan. Gaya apakah yang diperlukan untukmencegah P hergerak ?

Karena urutan penjumlahan vektor tidak penting. kita dapat memulai dengan sebarang vektor,,kata-kan F1. I'ada F1 tambahkan F, kemudian F3 danseterusnya. Vektoryangdigambafkandarititikawal Flketitikterminal F6 adalahresultail R,yakniR = Ft+F2+F,+F*+F,+F6 .

Gaya yang dibutuhkan untuk mencegah P bergerak adalah -R yang mana adalah sebuah vektu'i yangsama besarnya dengan vektor R tetapi berlawanan arah dan seringkali disebut penyeimbang (equilibrant).

8.

(6)

D'.-\

Diketahui vektor-vektor A, B dan C (Gamb

(a)

,/\^/ \'

,/ -,.- \c\ \

Gambar I (a)

la), garnbarkan (o) A- B + 2c (6) 3C - {1ze-nt.

Gmbar 2 (b)

Cambar 2 (b)Cambar I (D)

, _,-. .,. )

Page 11: Analisis Vektor

VI]K]'oIt ]]AN SKAI-AR

Sebuah pesawat{erbang bergerak dalam arah baratlaut

dengan laju 1 25 km/jam relatif terhadap tanah. disebab-

kan terdapat angin barat dengan laju 50 km/jam relatif

terhadap tanah. Berapakah laju dan dalam arah ntana-

kah pesawat akan bergerak jika tidak terdapat angin ?

Misalkan:W = kecepatanangin

V6 = kecepatan pesawat dengan angin

V6 = kecePatan Pesawat tanPa angin

Maka Vo = Vb*W atau Vb = Yo- S = Ya+

V6 besarnya 6,5 satuan = I 63km/jam dan berarah

t-&r-

Satuan = 25 km/iam

(-w)

33o di sbbelah utara dari barat

l0 Diketahui dua buah vektor a dan b yang tak-kolinear, carilah suatu

yang terletak dalam bidang yang dibentuk oleh a dan b.

Vektor-vektor. tak-kolinear (non-colinear) adalah vektor-vektor yang tak sejajar dengan garis yang sama. Oleh karena ituapabila titiktitik pangkalnya berimpitan, mereka menentukansebuah bidang. Misalkan r sebarang vektor yang terletak dalambidang dari a dan b dan titik pangkalnya berimpit dengan titik'titik pangkalnya a dan b di O. Dari titik terminal R vektor r,gambarkan garis-garis yang sejajar vektor-vektor a dan b dan

lengkapi jajaran-genjar:g ODRC derlgan n,emperpanjang garis-

garis kerja dari a dan b bila perlu. Dari garnbar di samping

oD = ,(o,i) = za, di mana x sebuah skatarOC = /(OB) = y b, di rnana y sebuah skalar

Tetapi menurut hukum jajaran-genjang dari penjumlahan vektor

pernyataan untuk sebarang vektor r

OR=OD+OC ataut=16+yb

yang mana adalah pernyataan yang diinginkan. Vektor-vektor ra dan -r,b disebut konrponen'kotttporten

,"kto, r masing-masing dalam arah-arah a dan b. Skalar-skatar'x dan.r'dapat berharga positif atau negatif

tergantung pada orientasi-orientasi relatii dari vektor-vektor. Dari cara penggambaran ini, jelaslah bahwa'

, aun y adalah unik untuk a, b, dan r yang diberikan. Vektor-vektor a dan b disebut vekror-vektor basis da'

lam bidang.

Diketahui tiga buah vektor a, b dan c yang tak-kopianar, carilah

dalam ruang tiga dimensi.

Vektor-vektor tak-koplanar adalah vektor-vektor yang

tak sejajar dengan bidang yang sama Jadi apabila titik-pangkalnya berimpitan maka mereka tak terletak dalam

bidang yang sama.

Misalkan r sebarang vektor dalalrl ruang yang titik'pangkalnya berimpitan dengan titik-titik pangkal a, b dan

c di O. Melalui titik terminal r gambarkan birlang-biciangyang masing-masingnya sejajar dengan bidang-bidang yang

ditentukan olch a dan b, b dan c. dan a dan c; dan leng-

kapi jajaran-genjang ruang PQRSTUV dengan memper-

panjang garis-garis kerja dar.i a, b dan c bila perlu' Dari

garnbar disan.rping,

suatu perllyataan untuk sebarang vektor r11.

OV=,(OA)=ragp=7(OB)=yboT=z(OC)=zc

Tetapi OR = OV + YQ + QB

di mana x sebuah skalardi mana,Y scbuah skalar

tli ntana z scbttah skalar

= ov+oP+oT atau.r =

i

i

rt

ll!

xe +yb+zc.

adalah unik untukDari cara mengganrbarkan. jelas bahwa 't, ,l datr z a. b, c clan r Yang dihcrikan

Page 12: Analisis Vektor

12.

VI,KTOR I)AN SKAL^It

Vektor-vektor xa, yb dan zc disebut komponen-komponen vektor clari r masing-masing dalam arah-arah r, b dan c. Vektor-vektor a, b dan c disebut vektor-vektor Dasu dalam ruang tiga-dimensi.

Sebagai suatu ha! khusus,.jika a, b dan c adalah vektor-vektor satuan i,j dan k, yang saling tegak-lurus,kita melihat bahwa sebarang vektor r dapat dinyatakan secara unik dalam i, j, k melalui pernyataan r =xi+yj+zk.

Juga, bila c = 0 maka r haruslah terletak dalam bidang dari a dan b sehingga diperoleh hasil dariSoal 10.

Buktikan bahwa jika a dan btak-kolinear nrakaxa +yb=0menunjukkanx = y = 0.

Andaikanx*0.Maka.xa+rb=0berarti.xa=_/bataua=_(y/x)b,yangberartiadanbharuslahsejajar dengan garis yang sama (kolinear) yang mana bertentangan dengan hipotesis. Jadi x = 0; makalb = 0yang mana darinya y = 0.

13. Jika x1 a +y, b = x2a + y2b, di mana a dan b tak-kolinear, maka r, = xz dan !t= Tz

rra + y, b -- z"a+ yrb dapat ditulis

,Ia + rtb - (xra+yrbl = 0 atau (xr- rr)t + (h- ya)b = 0.

Oleh karena itu menurut Soal I 2, ,L- ,2= O, yt- !z= 0 atau aL= ,2, !t-. lz.

14. Buktikanbahwajikaa,bdanctak-koplanarmakaxa+yb+zc=0menunjukarrx-y-z=0.

Andaikan x * 0. Maka ra + yb + zc=O berartira = -yb - zcataua= - (1t/x)b- (z/x)c.Tetapi- ty/x)b - (z/x)c adalah sebuah vektor yang terletak dalam bidang dari b dan c (Soal l0), yang berarti,a terletak dalam bidang dari b dan c yang mana jelas bertentangan dengan hipotesis bahwa. a, b dan ctak-koplanar. Karena itu x = 0. Dengan penalaran yang sama didapatkan kontrrdiksi-kontradiksi untukpengandaian y * O dan z * 0.

Jika'x1a+-vlb+z1c=x20, +-y2b+z2c,dimanaa,bdanctak-koplanar,maka.tl =.x2,!r=),z,,zr=zz.Persamaan diatasdapat ditulis (xr - x2)at (yr - yz)b+ (21 - z2)c= 0. .

MakadariSoal 14, xr -xz=O, yr-!z=O,zt - z2 =0ataux1 = xz, !t= !z,zr=zz.

Buktikan bahwa diagonal-diagonal dari jajaran-genjang salingmemotong di tengah-tengahnya.

Misalkan ABCD adalah jajaran-genjang yang diketahuidengan diagonaldiagonalnya berpotongan di P.

Karena BD+e = b, BD = b-s. Maka BP = z(b-a).

Karena AC = a+b, 6P = y(a+b).

TetaPi ag = AP + PB = AP - BP,yaknia = y(a+b)-z(b-a) --'(x+y)a + (y-r)b.

Karena a dan b tak-kolinear, maka menurut Soal 13, A

x * y = 1 dar,y -x=0,yangberarti x=),=t/zdanPadalahtitik-tengah dari kedua buah diagonal.

17. Jika ritik-tengah dari sisi-sisi yang berurutan dari sebarang segi empat dihubungkan oleh garis-garislurus,buktikan bahwa segi empat yang terjadi adalah sebuahjajaran-genjang.

Misalkan ABCD adalah segi empat yang diketahui dan P, Q, R, ^S

titik-titik tengah dari sisi-sisinya. Pan-dang Gambar (a) di bawah.

15.

16.

Maka PQ = +(s + b),

Tetapia+b+c+d = O.

PQ = +(s +b)

eR = +(b+c), Rs = +(c+d), sp = *(o+a).Maka

= -"r(c+d) = SR dan eR = *tt+"1=-i(a+s)=Ps

PQRS adalah sebuah jajaran genjang.Jadi sisi-sisi yang berlawanan adalah sama dan sejajarjadi

Page 13: Analisis Vektor

VI]K'I ()It DAN SKAL,\I

18. Misalkan pt,pz,pt adalahtitik-titiktetaprelatif terhadaptitik-asal 0dan11 ,12,13 !€k1or-vektorkeduduk-

an masing-masing titik dari 0. Perlihatkan bahwa, jika persamaan vektor a1r1 * a2t2 + a3r3 = 0 berlaku

terhadap titik asal 0 maka ia akan berlaku.terhadap sebarang titik-asal lainnya 0';ika dan hanyajikaar + a2 +ar =0.

Misalkan r1', 12 ' dan 13' adalah vektor-vektor kedudukan dari P, , Pe dan P, terhadap 0' dan v adalah

vektor posisi dari 0i terhadap 0. Kita mencari percyaratan-persyaratan yang dibafrahiya persamaan a1 r1' +

azr2' + d3t31 = 0 akan berlaku dalam kerangka acuan yangbaru.

DariGamb./6/dibawah,jelasbahwa rt=v+r'r, r2=a*t'2,11=v+r't sehingga \rL+azJ2+orr, =0menjadi

o,rt* o2t2+ art., = catv+rl) + a2(v+r'r'l+ "r{v+r'r)= (aL+ az+or)v + "rir+ "rr'r+ art', = O

"ti* "{L* \i = 0 akan berlaku jika dan hanva jika

(ar+ ar+ar)v = 0, yangberarti a1 + ar+ a, = O.

Hasil

Hasil ini dapat diPerluas.

d

Gmbar (a) Gambar (D)

19. Carilah persamaan sebuah garis.lurus yang melalui dr.ra buah titik / dan B yang diketahui memiliki vektor-

vektor kedudukan a dan b terhadap sebuah titik asal O.

Misatkao r adalah vektor kedudukan dari sebarang titik Ppada garis yang melalui A dan B.

Dari gambar di samPing,

OA+AP = OP atau a +AP = r, yakni AP = r-adan OA+AB =OB atau e+AB = b, yakni AB = b-i

Karena AP dan AB kolincar, AP = I AB atau t - a= t (b - a)- Maka

persanraan 1'ang dikehendaki adalah

r = a+ ,(b-a) atau r = (1-r)a + rb

Bila persamaannya dituliskan ( I - ,)a + /b - r =.0, jumlah dari

koefisien-koefisiennya a,bdan radalah I -a+ t'-l=0.Oleh O

karena itu menurut Soal 18 terlihat bahwa titik /'sclalu berada

pada garis yang menghubungkan ,4 dan B dan tiditk bcrgantun8 pa-

da pemilihan titik-asal 0, yang rnana me mang seharusnya de mikian.

Metode I.uin. Karena AP dan BP kolincar, nraka urttuk skalat-skalar m dann kita pcrolcll

mAp = npB atau n(r-e) = r(b-r)61*nb

Pecahkan, yang disebut b(ntuk si,nclrik.m*n

Page 14: Analisis Vektor

0.

\/t.K't (-)lt t),\N sK1\l_/\ll

(a) Carilah vektor-vektor kedudukan r1 dan 12 untuk

titik{itik P(2.4,3) dan B(l , -5,2) dari sebuah sistem

koordinat tegakJurus, dinyatakan dalam vektor-vektorsatuan i, j, k. (b) Tentukan secara gratis dan analitis re-

sultan dari vektor-vektor kedudukan ini.

(o) rr = oP = oc+ cB+BP = 2i+4j +3krz = OQ = OD+DE+EQ = i-5j+2k

(b). Secaragrafs, resultan dari 11 dan 12 diperoleh se-

bagai diagonal OR dari jajaran-genjang OPRQ.Secara analitis, resuitan dari 11 dan 12 diberikanoleh

Ir* rz = (2i+4j+3k)+(i-5j+2k) = 3i-j

:1. Buktikan bahwa besarnya A dari vektor A =

Ari+ Ari+l.k adalafi A = ,E;E;fl' Menurut teorema PYthagoras,

@Pf -- @qt' * <qet'

di mana OP menyatakan besarnya vektor OP, dan se-

terusnya. Begitu pula, <OQ>' = (Ot)'+ (nQ)'.

I\{aka @pl2 = (OR)2 + <Rql, * (Wr2 ata,a

' A2 = e?,* lf,+Af,,var,eberartiA= q;4;4

',2- Diketahui 1, = $i - 2j + k, t,(a) rc , (6) r, + 12 r 13 ,

ttt(a) lral = l-r +2j+2kl

11+ r2l- 13 =

Maka lr, *

2rr-3rr-5r.

Maka I ,.,

= 2i - aj - 3k, rs = -i + 2j + 2k, carilah besarnl,a(c) 2rr- 3r, - 5r. .

= /et\\ a\ 0f - 3.

(D) (3i-2j+k) + (2i-d-3k)+ (-i+2j+2k) = 4i -4j + 0k = +i -4jrr.r.l -,4i-4jr0kl = rAV.-47+af =,s2 = + :.

= z(3i-2i + k) - 3(2i -4j -3k) - 5(- i + 2j + 2k)

= 6i-4j +2k-6i +12j +9k+5i -10j -10k = 5i-2j-k--3r,-5r,1 = lt,-2i+kl = /Gf;e*;0f = /n.

13.

(c )

Jika rr= 2i-j+k, rr= i+3j-2k, % = -2i+ j -3k dan ro= 3i+ 2j +5k,carilah skalar-skalar a, b, c sehingga t4= d,t7 + 6r, + br, .

Kita menghendaki 3i +2j +5k = a(2i-j +k) + b(i+3j-2k) + c(-2i +j-3k)= (2a+b -2c)i + (<.+3b +c)j +(o-26*3c)h.

Karena i, j, k tak-koplanar maka menurut Soal I 5 ,

2a+b-2c = 3, -a+3b+c --2, a-2b-3c = 5.

Pecahkan, a--2, b =1, c=-3 dan ro=-2r1+12-3r3.

Vektor ra dikatakan bergantung linear (linearly dependent) pada 11 , 12 dan 13; dengan perkatan lain 11, 12,13 dan14 membentuksebuahhimpunanvektor-vektoryan1bergantunglinear. Dipihaklaintigabuah(ataulebih kurang) vektor sebarang dari vektor-vektor ini membentuk sebuah himpunan vektor-vektor yangbebasli n ea r (linearly i:rdependent).

Pada umumnya, vektor-vektor A, B, C .

+5k

disebut bergantung linear jika kita dapat mencari suatu hin-

Page 15: Analisis Vektor

llVI.KTOR DAN SKALAR

punan skalar-sk alar a, b, c, .... tidak semuanya nol, sehingga dA + bB + cC + .... = 0, jika tidak maka mereka

bebas linear.

24. Carilahsebuahvektorsatuanyangsejajarresultandarivektor-vektor rr= 2i+4i-5k' rr=i+2i+3k'

Resultan R= 11+rz= (2i+4J-5k)+(i+2j+3k) =3i

n = lnl = lsr+6i-2kl = /<8*@+<8 = t.Maka sebuahvektor satuanyangsejajarRadalah E - 3i+gj-2k

=

-?*l : rlr'+ tf,r'*

+ 6j - 2k.

3i* 6j- 2k117

= 1-Periksa : I

,- +r'3. 6.-l + -r7 1'

25. Tentukan vektor yang memiliki titik-pangkal P(x 1, y ,, z 1)dan titik-terminal Q(x2,lz, zz) dan carilah besarnya.

Vektor kedudukan P adalah r, = :rl + 7rJ + zrk -

Vektor kedudukan Q adalah r, = rrl + 12! + z2k.

rr * PQ = rz atau

PQ = re- r, = (xri+yrt+ zrk)- (rrl+yrl+ zrk\

= (xr- xr')l + Uz- \)i + Qr- zr')k.

atau

Besarnya pa=pQ =rW

Perhatikan bahwa ini adaiah jarak antara titik-titik P

dan Q"

26. Gaya-gaya A, B dan C yang bekerja pada sebuah obyek diberikan dalam komponen-komponennya oleh

persamaan-persamaanvektor A= Ari+ A2l+ Ask, B = Bri+ Bri + B.k, C =Cri + Cj +C"k'

Carilah b:sarnya resultan gaya'gaya ini.

Gayaresultan R = A+B+C = (Ar+ Br+Catl+ (4+82+CrJ + (13+83+Ca)k.

Besarnya resultan = vlAr B

Hasil ini dapat dengan mudah diperluas untuk lebih daripada tiga-buah gaya'

Tentukan sudut-sudut a, p dan 7 yang dibuat vektorr = xi * yj + zk dengan arah-arah positif dari sumbu-sumbu koordinat dan perlihatkan bahwa

cos2d+cos2P+cos2Y=1.

Dengan n.relihat pada ganrber. segitiga OAP adalahsebuah segitiga siku-siku dengan sudut tegak lurus di,4;

maka cos a = fr . Begitupula dari segitiga siku-siku

oBPdanoCP, cos I = fr dan cosT= fi.suzalrl= ' = ',8;7;7

Maka cosO=i, cosB=2, eosy=1

sehingga a. B, 7 dapat diPeroleh. x

Dari sini diperoleh,

cosr 0*cos2B* cosry = ,2ty2+22 - ,.

27.

Bilangan-bilangan cos o, cos p, cos 1 disebut cosinus-Losinus arah dari vektor OP.

Page 16: Analisis Vektor

t2 \/i:KTOR DAN SKALAR

28. Tentukan himpunan persamaan-persamaan untuk garis-garis lurus yang melalui titik-titlk P(rr, yr, zr')

dan Q@r, le, zr).

Misalkan 11 dan 12 adalah masing-masing vektor-vektorkedudukan dari P dan Q, dan r vektor kedudukan dari se-

barang titik R pada garis yang menghubungkan P dan Q

rr+ Pf,.= I atau PR = r - Irr+PQ=ru atau PQ=12-11

Tetapi PR = tPQ di mana t sebuah skalar. Maka r - rr =t(r2 - r1) adalah persamaan vektor yang dikehendaki darigaris-Iurus (bandingkan dengan Soal 19).

Karena r = r-i + ),j + zk, maka dalam sistem koordinattegak-lurus kita peroleh

(xl+y! +zk) - (:ri +7rJ +zrk) = tL{:2l+frl + zrk) - (zri +'yrJ +zrk)]atau

(r-:r)l+ (/-yr)J + (z-21)k = tlG2-rl)i + (yr- yr)l + 1zr-zr)k]

Karena i, j, k adalah vektor-vektor tak-koplanar maka dari Soal i 5 kita peroleh,

,-rL= t(xr;rr'), !-ft= t(yz-yl), z-z!= t(zr-zr)sebagai persamaan-persamaan parameter dari garis, di mana / adalah parameternya. Eliminasikan t makapersamaan-persamaannya menjadi,

x- x7 ^ / - lt = ,__1

*2- aa 7t- 7t 22 - "!

29. Diketahui medan-5kalar yang didefinisikan oleh il*, y, ,) - 3x2z - xy! + 5, carilah @ pada titik-titik(a) (0,0, 0), (b) (1, -2,2) (c) (-1, -2, -3).

(a) d(0,0,0) = 3(o)2(q-(0X0)3+s = 0-0+5 = b

(D) d(1,-2,2) = 3(1)2(2)-(1)(-2)3+5 = 6+8+s = 19

(c) d(-r,-2,-3) = s(-r)2(-3)-(-r)(-2)3+s = -s-8+s = -12

30. Buatlah diagram medan-medan vektor yangdidefinisikanoleh :

(a\ Y(r,y) = ri + yi, (6) V(x,y\ = -xi- yi, (c) Y(r,y,z) = xi + yi + zk.

Cambar (a) Ganrhar (b)

Page 17: Analisis Vektor

Vl K l(lR l)AN SK;\l-AR

(a) i'atla tiaP-lial) titik (.r. -),.) kecuali (0, 0), dari bidang -r-u didefinisikan sebuah vektor unik ri +/j yangbesurnya \^j +-F .lcngan arah yang rnelalui titik asat dan keluar darinya. Untuk mempermudah pro-ses penggantbaran diagramnya, perhatikan bahwa semua veklor-vektor yang berhubungan dengan titik-trtik na.lr lingkaran-lingkaran .rl t y' = o', c ) 0 besarnya a. Medannya dengan dcmikian kelihatanscpcrti dalen) (ianrbar (r. l di urana telah C.ipergunakan skala yang sesuai.

Di sini ttap-tirrp \ektor .'iesarnya sama-dengan yang bersangkutan dengannya dalrm (a) tetapi arahnya

lang berlawanan. l!{edannya dengan dernikian kelihatan seperti dalam Gambar (D).

Dalam Gamb- (a) medannya berbentuk seperti fluida yang keluar dari sebuah titik sumber 0 danrnengalir menurut arah yang ditunjukkan. Karena alasan ini, medannya disebut sebuh medan-sumber(sourct Iickll den d disebut sebuah su,flbel lsottrcel.

Dalam GamL'. (b ) medannya kelihatan mengalir menuju 0, dan medannya dengan demikian disebut

sebuah rredari sungap (sink lieltl) dan 0 disebut sebuahsungap (sinli).

Dalam ruang tiga dimensi. interpretasi yang bersangkutan adalah bahwa fluidanya mengalk keiuarsecara radial (atau secara radial kedalam)dari sebuah garis sumber (atau garis sungap).

Medan vektornya disebut berdimensi dua karena tak bergantung pada z.

Karena besarn.va tiap-tiap vektor adalah tE;V - 7, maka sernua titik pada permukaan bola

.r:2 + ,r.2 + z2 = 'tr , a2 ) (, nientiliki vektor-vektor yang besarnya a. Medannya dengan demikian ber-

bentuk seperti r-ruida yang keluar dari 0 dan mengalir ke segala arah daiam ruang. Ini adalah sebuah

medatt su;nber t:-i-: Ji,,relrJ/.

Soal-soal TambahanManakah dari besaran-besaran berikut adalah skalar dan vektor ? (a) energr kinetik, (b) intensitas medanlistrik, (c) entropi, (d) usaha, (e) gaya sentrifugal, (f) temperatur, (g) potensial gravitasi (ft) muatan,(i) tegangan. (7) frekuensi.Jawab. (a) skaiar, (D) rektor, (c) skaiar, (,/) skalar, ie) vektor, (f) skalar, (g) skaiar, (h) skaiar, (i) vektor,

0) skalar.

Sebuah pesawat-terbang menempuh jarak J00 km ke arah barat dan kemudian 150 km dalam arah 60" disebelah utara dari barar. Tentukan pergeseran resultan (c) secarA grafis, (D) secara analitis.Jawab.besarnya 304.i km (50 V37), arahnya 25o17'disebelah utara dari timur (arc sin 3 \Fttnql

Carilah resultan dari perpindahan-perpindahan berikui: A, 20 km dalam arah 30o di sebelah utara dan ti-mur; B, 50 km ke arah barat; C, 40 km ke arah timur-laut; D, 30 km ke arah 60" di sebelah selatan daribant. Jawab. besarny'a 20,9 km, arahnya 2 lo39' di sebelah selatan dari barat.

Perlihatkan secara grafis bahwa - (A - B) = -A + B.

Pada sebuah obyek P bekerja tiga buah gaya koplanar seperti diperlihatkan dalam Gamb. (a) di bawah. Ten-tukan gaya yang dibutuhkan untuk mencegah P bergerak. Jawab. 323 N yang arahnya berlawanan dengangaya i50 N.

l3

(b)

(c)

31.

32.

33.

34.

35.

(,rnlb. (a) (ianrb. (b)

Page 18: Analisis Vektor

t4 vi t\ lolt 1)AN s(AL.1l{

36. Diketahui vektor-vektor A, B, C dan D (Gambar (D) pada halaman 13). Bentuklah

t7.

(a) 3A-28-(c-ol <al jc + |te-n+zol.

llka ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi-enam.beraturan, maka carilah resuitan dari gaya-

Eayayan1dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE dan AF. Jawab. 3AD-

Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui, maka perlihatkan bahwa (o) l.L+ Bl< lAl+ lBl,(b) A-Br> rAr- rBr.

3e. Perlihatkanbahwa le*n*cl 1 lnl * lnl * lcl.

Dua buah kota A dan B terletak saling berhadapan ditepi sebuah sunga: yang lebarnya 8 km dan laju aliran

sungainya 4 km/jam. Seorang yang berdiam di ,4 ingin mencapai kota C yang berada 6 km kearah udik(hulu sungai) pada tepi yang sama dengan kota B. Bila kapalnya dapat berlayar dengan laju maksimum

l0 km/jam dan bila ia ingin mencapai C dalam waktu vang sesingkat mungkin, maka dalam arah manakah

harus ia tempuh dan berapa lama perjalanannya ?

jawab. Arah garisJutus ke udik yang membuat sudut 34o28' dengan garis tepi sungai. I jam 25 menit.

Seorang yang berjalan kearah selatan dengan laju l5 kmijam mengamati bahwa angin kelihatannya ber-

tiup dari arah barat. Dengan menambahkan kecepatannya hingga 25 km/jam angin kelihatlnnya bertiup

dari arah baratdaya. Carilah arah dan laju dari angin. Jawab. Angtn bertiup dari arah 56o18' disebelah

utara dari barat pada kelajuan 18 km/jam. :'

Sebuah beban 100 kg digantungkan pada pertengahan

sebuah tali seperti diperlihatkan dalam gambar disam-ping. Tentukan tegangan I dalam tali. "/cN'aD. 100 kg.

Sederhanakan 2A + B +3C- ( e-ZS -2(2A-38-C) ).Jawab. 5A- 38 + C

Jika a dan b adalah vektor-vektor tak-kolinear dan

a = (x + 4y)a + (2x +)' + l) b dan B = lv - 2x + 2)a+(2x - 3y - 1) b, maka carilah x dan y sehingga 3A =

28.lawab.x=2,)'=-1.

45. Vektor-vektor basis a\ , a2, ^. dinyatakdn dalam vektor- vektor basis b, , b., b, melalui hubungan-hubung'

an a, = 2b, + 3b2- bs, ", = b1 - 2b2+ zbs, 2b1+ b2-2b3

Jika F = 3b, - b, * 2b,, nyatakan F dalanr a,, a, dan a,.

Jawab. 2a, * 5e, * 3a'.

lika a, b, c adalah vektor-vektor tak-koplanar nlaka tentukan apakah vektor-vektor r, = 2a -- 3b + c,

r2 = 3a - 5b + lc, clan 13 = 4a 5b + c adalalr trebas atau bergantung linear- .lawab. Bergantung linear,

karena r. = 5r, - 2r,.

Jika A dan B adalah vektor-vektor yang diketahui yang menyatakan diagonal-diagonal sebuah jajaran-gen-

jang. nrak a ga rnbarkan jajaran-genjangnya.

Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah seg.itiga adalah sejajar

dcngan sisi ketiga dan besarnya separuh tlari besatnya sisi ketiga ini.

49. (a) lika 0 adalah scbarang titik didalanr segitiga .4.8C dan l', Q, R nrasing-masingnya adalah titik-titiktengahsisi-sisi AI), BC, Czl, rnakabuktikanbahwa OA+oB+oC = OP+OQ+oR.

(|) Apakah hasil ini bcrlaku pula apabila 0 adalah sr:barang titik di luar scgitiga? Buktikan hasil jawaban-

nru. Jatlah. Ya.

38.

40.

4t.

42.

17

,lo0 N

Page 19: Analisis Vektor

\IIIKI'OIi I)AN SK ALA I{

Dalam gambar disaniping, ABCD adalah sebuah jajaran-

genjang dengan P dan Q adalah masing-masingnya titik-titik tengah dari sisi*isi BC dan CD. Buktikan bahwa

AP dan l0 memotong diagonal BD atas tiga bagianyang sama di titik-titik E dan F.

Buktikan bahwa garis-garis berat sebuah segitiga saling

berpotongan pada sebuah titik yang sama yang mana

adalah titik pembagi tiga garis-garis berat itu.

Buktikan bahwa garis-garis bagi sebuah segitiga ber-potongan pada sebuah titik yang sama.

DPerlihatkan bahwa ada terdapat sebuah segitiga dengan

sisi-sisi yang sama dan sejajar dengan garis-garis berat

dari sebarang segitiga yang diketahui.

54. Misatkan vektor-vektor kedudukan dari titik-titik l'dan Q relatif terhadap sebuah titik-asal 0 masing-ma-

singnya diberikan oleh pdan,q. Jika R adalah sebuah titik yang membagi garis PQ kedalambagian-bagianyang perbandingannya adalah m .' n, maka perlihatkan bahwa vektor kedudukan R diberikan oleh

l5

50.

5l---- o

52

53.

nD +aqr=--m+ n

dan vektor ini tak bergantung pada titik-asal.

56.

55. Jika ri, r:, ..., r" adalah berturut-turut vektor-vektor kedudukan dari massa-massa mr.ttl2, ..., ,,], relatifterhadap sebuah titik-asal 0, perlihatkan bahwa vektor kedudukan dari titik-beratnya diberikan oleh

r=*l,tl*

^zt2+ ...+ mflrrl

*L* m2+...+ mn

dan bah'ra ini tak bergantung pada titik asal.

Sebuah segiempat ABCD memiliki massa-massa yang besarnya 1, 2,3 dan 4

terletak pada titik-titik sudut .4(- 1, -2, 2). B(3, 2, -1 ), C( 1, -2, 4) dan D(3,dinat titik-pusat massanya. lawab. (2, O,2).

satu3n yang rnasing-mlsing:rya1, 2). Carilah koordinat-koor-

B, C yang tak terletak pada se-

terhadap titik-asal 0. dapat di-57. Perlihatkan bahwa persamaan sebuah bidang yang meialui tiga buah titik ,4,

buah garis-lurus dan yang men,iliki vektor-vektor kedudukan a, b, c relatiftuliskansebagai

r _ ua+nb+pcm* n* p

di mana m, n, p adalah skalar-skalar. Periksalah bahwa persamaan ini tak bergantung pada titik-asal.

58.Vektor-vektcrkedudukandarititik-titikl'd.anQdiberikanolehrr=2i+3i-k,12=4i-3j+2k.Ten-tukan PO dalam i, j, k dan carilah besarnya. Jawab. 2i - 6j + 3k, 7

59. Jika A = 3i--j-4k, B = -2i+4j-3k, C = i+2j-k, carilah (a) 2A.- B+3C, (r) lA+B+Cl,(c) l3A 28 + 4Cl, (d)vektorsatuan yangsejajardengan 3A - 28 +4C.

Jawab. ' (a ) 1li - 8k (il/n (c) /56s 17) !4:!EJ-1c-,A,S

60. (iaya-gayaberikutbekerjapadasebuahpartikel/':F, =7i+3i-- 5k, F, =- 5i+j+3k, Fr=i-2.i+4k, F4 = 4i--3j- 2k.yangdiukurdhlamNewton.Carilah(a)resulii-r darigaya-gaya. (b)besarnyaresultan.

Jau'ab. (al 2i - j (b) \45

61. Dalam tiap-tiap kasirs be;ikrrt, tenlukan apakah vokt<lr-vektornya bebas lirrear atarrkah bcrgantung lincar:(a) A = 2i +j -3k, B = i-4k, C =4i +3j-k, (6) A = l-3j +2k, B = zi -aj-k, C =3i +2j-k.

Jau,ab. (o) bergantung linear, (D) bebas lincar.

62. Buktikan bahwa empat-buah vektor sebarang, dalarn ruang berdilrcnsi tiga, haruslah bcrganlung lincar

63. Perlihatkanbahwasyaratperludancukupagarvektor-vektor A=A71 +A2t+13k, B-B1i+82i+83k,

Page 20: Analisis Vektor

l6 VLl.fOR I)Ah- SkAl.All

l4 A2 A3lc = c1l + C2, + C"k [s!35 linear adalah bahwa determinan | 8, B; 8; I tidak sama-dengan nol.

lca c2 cal

54. (a) Buktikanbahwavektor-vektor A= 3i+ j-2k, B =- i+ 3j+4k, C=4i-2i-6kdapatmemben-tuk sisi*isl dari sebuah segitiga.

(b) Carilah panjang dari garis-garis berat segitiga itu.

Jawab. (bl /G, *rhu, i/tio65. Diketahui sebuah medan-skalar yang didefinisikan oleh $(x,y, z) = gze + Szyz - z2 + 2.

carilah (a) 00,-1,-2), (6) d(0,-3,1).Jawab. b) 36 (6) -11

65. Lukiskan medan-medan vektor yang didefinisikan oleh :

(o) Y(r,y) = xl-ti, $) Vk,y\ = yt-z!, (cl y(x,y,rl = $.jj!-{x2+y2+12

AA

'cisir

Page 21: Analisis Vektor

I-IASIL.KALITITIK DAN SILANG

HASILKALITITIKATAU SK,\L,\R dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A'B (baca A

titik B) didetlnisikan sebagai hasil-kali antara besarnya vektor-vektor

A dan B dan cosinus sudut 0 antara keduanya. Dalam simbol,

A.B = ABcos0, al01n

Perhatikan bahwa A . B adalah sebuah skalar dan bukan vektor'

Hukum-hukum berikut berlaku :

i. A.B = B.A

2. A,(B +C) = A.B + A'c

J. n(A.g) = (rzA). B = A. (nB) = (A. B)m, di mana m adalah sebuah skalar.

4. i.i=j.j =k.k = I, i.i = j.k =k.i =0

5. If A=AJ+\i+A"k dan B=8ri*B.U+8.k,makaA'B = ArBr+ ArBr+ A"B"

a.A = A' = A:.+ Af,+ Af,

B.B=82=B?+Bl+Bl6. Jika A . B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B tegaklurus.

HASIL-KALISILANGATATIVEKTOp dari A dan B adalah sebuah vektor C = A x B (baca A sitang B)'

BesarnyaAxBdidefinisikansebagaihasik.kaliantarabesarnyaAdanBdansinussudutdantarakeduanya.ArahvektorC=AxBtegakluruspadabidangyangmemuatA dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sebuah sistem tangan-kanan. Dalam simbol,

AxB = AB sin?l, O <- 0 1n

dimanauadalahvektor satuanyangmenunjukkanarahdariAxB.JikaA=B,atauAsejajardenganB,makasin 0 =0 dan kita mendefinisikan A x B = 0.

Hukum-hukum berikutjuga berlaku :

1- Ax B = - Bx A (Hukum Komutatif tak berlaku untuk Hasil-kali Silang).

2. Ax (B + C) = Ax B + Ax C Hukum distributif

3. n(Axf,) = (mA)xB = Ax (rzB) = (AxB)m, dimananadalahsebuahskalar

4. ixi = jxj = kxk = 0, ixj=9, Jxk=i, kxi=jS.JikaA = ALI + A"l + \lt dan B = Bri + Brt +{k, maka

Hurum Komutatif untuk llasil-kali Titik

Hukum Distributif

Page 22: Analisis Vektor

l8 I{/\StLKALI '|ITIK DAN SILAN(I

AXR

ijk

nr n2 Aa

B7 B, ,8"

6. Besarnya A x B sama dengan luasjajaran genjang dengan sisisisi A dan B.

7. Jika A x B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar.

,IASIL-KALITRIPEL. Hasil-kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B, dan C dapat menghasilkanhasil-

kali yang mempunyai arti dalarn bentuk-bentuk berikut (A ' B)C' A ' (B x C) dan

A x (B x C). Hukum-hukum berikut berlaku:

1. (A.C)C + A(B.C)

2. A' (B X C)= g. (CX A)=C .(AX B)=rolu..sebuahjajarangenjangruangyangmemilikisisisisiA, B dan C atau negatif dari volume ini, sesuai dengan apakah A, B dan B membentuk sebuah sistem

tangan-kananataukahridak JikaA=.4ri+Azj+A3k, B =Bri+B2j+B3kdanC=Cli+C2j+C3k, rnaka

A.(B x C)

J. 6x (RxC) I (AxB)xC (HukumAsosiatiftakberlakuuntukUasil-kaliSilarrg)

4. Ax (BxC) = (A.C)B - (A.B)C(AxB)xC = (A.C)B - (B.C)A

Hasik-kaii A . (B x C) seringkali disebut &asil-kali tripel skalar atalu hasil-kali korak dan dapat dinyatakandengan I ABC ]. Hasil-kali A x (B x C) disebut hasil-kali ripel vektor.

DalamA.(BxC)scringkalidihilangkantanda-kurungnyadandituliskansajasebagaiA-BxC(lihatSoal-soal 4l . Tetapi tanda-kurungnya harus dipergunakan dalam Ax (B x C) (lihat Soal-soal 29 dan47).

HIMPUNAN VEKTOR-VEKTOR RESIPROKAL (RECIPROCAL)..Himpunan vektor-vektor a, b, c dan a', b', c'disebut himpunan atou sistent vektor-vektorresiprokal jlka

a.e'= b.b'= c.c' = 1

a'.U = 3.'.c = b'.a = b'.c = C'.a = C'.b = 0

Hirnpunan-himpunan a, b, c dan a', b', c' adalah himpunan vektor-vektor resiprokal jika dan hanya jika

, bxc i, cxa r ?xbz-,D,ca. bxc a- bxc a. bxc

di mana a . b x c * 0. Lihat Soal-soal 53 dan 54.

Soal-soal yang Dipecahkan

HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR

l. Buktikan A.B = B.A.A.B = AB cos 0 = B,4 cos 0 = B- A

Jadi hukum komutatiiberlaku untuk hasil kali titik.

41 .4^ A3

81 82 83

ca c2 cs

Page 23: Analisis Vektor

ilAslt.K.Al,l il.l lK l).\N sll-.\N(;

Buktikan bahwa proyeksi A pada B sama-dengan A . b, dimana

b adalah vektor satuan dalam arah B

Melalui titik-titik pangkal dan terminal dari A buatkanbidang-bidang yang melewatinya dan yang berturut-turut te8ak-

lurus B di G dan 11 seperti diperliliatkan dalam gambar di sam-

ping, maka

ProyeksiApadaB= Gll = W -- e cosd = A'b

3. Buktikan A'(B+C) = A' B + A' C.

Misalkan a sebuah vektor satuan dalam arah ,4, maka

Proyeksi (B + C) pada A= proy. B pada A + proy. CpadaA

(B+C).e = B'8 + C'aPerkalikan dengan,4

(B+Ci.z{a = B.At + C.A^(B+C).A=B.A+C.A

Hitunglah masing-masing yang berlkut ini :

(c) i.t = l,l lil cosoo = (r)(r)(1) = 1

(D) i'k = lil ltl cos so".= (1)(1)(0) = 0

(c) k'J = ltl lil cos soo = (1)(1)(0) = o

(d) i.(2i-3j+k) = 2j'i-3j'j+j'k = 0-3+0 =

(e) (2i-i)'(3i+k) = 2i'(3i+k)-j'(3i+k) = 6l'l+

atau

Maka menurut hukum komutatif untuk hasil kali titik

A.(B+C) = A.B + A.Cjadi hukun-, distributil disini berlaku.

4. Buktikanbahwa (A +B).(C +D) = A.C + A.D + B.C + B.D.MenurutSoal 3, (A+B).(C+D) = A.(C+D)+B.(C+D) = A.C +A.D +B.C+B.D

iadi hukum-hukum irasil-kali biasa dari aljabar berlaku untuk hasil'kali titik.

5"

-32i'k-3J'i-i'k = 6+0-0-0 = 6

Jika A= Ai+ Azi +,43k dan B = Bri + B2j+82i + 83k. maka buktikan bahwa

A.B = ArBr+ ArBr* 4Br.A. B = (lli + A2i + 4k\'(B1i +B2i +8sk)

= l1i. (81i +Bj +8sk) + A2l.(B] +82J +B3k) + 4k.(B1i +B2J +83k)

-- A7Bal. l+4B2l.J +48sl.k +ArBrt-l +Ardrl.l +,{r8rJ.k +/381k.1 +482k-t +l3B3k.k

= ArBr+ AzBz + AsBs

karena i.i = j.j = k.k = 1 dansemuahasilkalititiklainnyanol.

7. Jika A = Ari + A; + 4k, perlihatkan bahwa ,{ = ,tAA = 'q;4;7"

A.A = U\U)cos oo = ,{.2. Maka.l = /;i.Juga, e. A = ULI + A;l + 4k\. (AJ + A;+ 4k)

= (Ar\(Ar\ + (A2)U2\ + (13)(/3) = e2, + ef, + ef,

Page 24: Analisis Vektor

l0 IIASI I. I.AI-I iI I IK I),\\ SILAN(;

Iflel;urut Soai 6. di nlana diambilkan B = A.

Maka /i = vA.A = n'e1j ,* ICarilalr sridui arrrrira A = 2i + 2j - k

A'B -- AB cos 0, A = vIzj;?ff;cff =

A.B = (2)(6)+ (2)(-3)+ (-1)(2) = 12_6_2

Maka cosd = A'B - 4 - 4AB (3)0) 27

adalah besarnya A. Seringkali A .A dituliskan A2

dan B = 6i-3j+2k.

3, B = ,/@;74j2;(8 = 1

0,1905 dan d = 79o kuranglebih.

tt.

9.

I0.

I l_

Jika A . B = 0 dan jika -,1 dan B tidaklah nol. perlihatkan bahwa A regaklurus B.

Jika A . B = 18 cos B = 0. rnaka cos 0 = 0 atau 0 = 90o. Sebaliknya, iika g = 90o. A . B = 0.

Tentukan hargaa sehinjga A = li +aj + k dan B = 4i - 2j - 2k tegakluLus.

Dari Soal 9. A dan B tegaklurusjika A . B = 0.

Maka A. B = tl)(4)+ (a)(-l)+(l) r,-:;-- 8 -2a - 2 = 0 untuka= 3.

Buktikan bahwa vekror-vektorA=3i-lj +k, B=i-3j +5k, C= 2i+i- 4kmembentuksebuah segitiga

siku'siku.

Pertama haruslah kita memperlihatkan bahwa vektor-vektornya membentuk sebuah segitiga.

Dari gambar terlihat bahwa vektor-vektornya akan membentuk sebuah segitiga jika

(a) salahsatuvektornya,katakan(3)adatahresultanataujumlahdari(l)dan(2),(b) jumlahatauresultandarivektor-vektor(1)+(2)+(3)adalahnol,menurut(a)duabuahvektornyame-

miliki titik terminal yang sama atau (b) tak ada vektor-vektor yang memiliki titik termir,al yang sama.Dengan mencoba-coba, kita dapatkan A = B + C sehingga dengan demikian vektor-vektornya memangrnembentuk sebuah segitiga.

Karena A .B = (3) (l) + (*2) (-3) + (1) (s) = 1+. A.C = (3)(2)+(-2)(1)+ (l)(-4)=0, dan

B.C = (1)(2) + (-3)(1) + (5)(-4) = -21, rnaka dari sini diperoleh bahwa A dan C salingtegaklurus-

dan segitiganva adalah sebuah segitiga siku-siku.

12. Carilah sudut-sudut yang dibentuk vektor A = 3i - 6j + 2k dengan sumbu-sumbu koordinat.

Misalkan o. p. 7 adalah berturut-turut sudut yang dibentuk A dengan sumbu-sumbu .t, y, z.

A.i = (l)(1)cos d = /@+G6l'9.ef cos d = ?cos oA.i = (31-6j+2k).i = 3i.i-6J.i+2k.i = 3

Maka cos 0, = 3/7 = 0.4286, dan c = 64,6o kurang lebih.

I)engancarayangsama, cos I =-e/2, B =1490 dan cosy= 2/1, y=13.4".Cosinus-cosinus dari a, p dan 1 disebut cosinzs-cosinus arah dari A. (Lihat Soal27, Bab. I ).

(6)(o)

Page 25: Analisis Vektor

iI^SILKALI TI'IIK DAN SILANG

Carilalr proyeksi vektor A = i *2j + k pada vektor B = 4i - 4i +7k'

VektorsatuandalamarahBadalah b= * = -ry6 ,/(+\' +(-4)2+ (?)z

Proyeksi A pada B = A.b = (i-2i +k)' tlr-fl-lrl

= (1)(*) + (-2)(- $r

* rutll = $ '

14. Buktikan hukum cosinus untuk segitiga bidang.

Dari Gamb. (a) di bawah, B + C = A atau C = A - B'

2l

13.

g.g = (A-B)'(A-B) = A'A+B'B-2A'BC2 = A2+82-2ABcos0-

* 1r.I

Gambar (J)

Pergunakan Carnb. (b) diatas sebagai

= i'- 3,

Maka

dan

15.

. Gambar (a)

Buktikan bahwa diagonaldiagonal belah-ketupat saling tegak-lurus.

acuan.

16. Tentukansebuahvektor satuanyangtegakJurusbidangA= li - 6j -3kdan B=4i+3j -k.Misalkan vektor C = cri * c2j + cak tegaklurus bidang yang memuat A dan B' N'{aka C tegaklurus A

dan iuga B. Oleh karena itu.

OQ=OP+PQ=A+BOR+RP =OP atau B+RP= A

atau Oe.Rp = (A+B).(A-B) =

Oleh karena itu OQ tegaklurus RP.

C.A = 2c1-6cr-3c" =

C.B = 4c1+3cr- c, =

Pecahkan (1 ) dan (2) secara serempak : q =

l\'laka vcktor satuan (lrialn arah C aclalah

Carilah usaha yang dihkukart dalanr

gaya yang dikcnakan adalalr F = li j

dan RP = A-BA2 - 82 = 0, karcra A--B .

0 atau U\ 2cr- 6c, = 3c, . ; ;0 atau (2) 4cr+ 3c, = c" , ; ''-i l'

%. %--- *u' " = trit-]i * tr'

1(;l -;J

nrenggerakkan sebuah obyek separljang vcktor r = 3i

- k. Pelgunakatt Gartlbat (s) di balik scbagai actlatr'

1

2

qC

rfxr.

l'7 .+ 2.; - 5k jika

Page 26: Analisis Vektor

Usaha yang dilakukan =

II,\SI L K,\I-I 1'II IK I),,\N SIt-AN{;

(besarnya gaya dalam arah gerak) (panjang lintasan yang ditempuh)

(F cos 0) (r) = F. r-- (2i-j-k)'(3i+2i-5k) = 6-2+5 = 9'

I

(;xnlbrr (a)

Carilah persanraan untuk bidang yang tegaklurus vektor A = 2i + 3j + 6k dan melalui titik te-rminal dari

vektor B = i + 5j + 3k (lihat Gambar (b) di atas).

Misalkan r adalah vektor kedudukan dari titik P, dan Q titik terminai B.

Karena PQ = B - r tegaklurus A, (B - r). A = 0 atau r. A = B. A adatah persamaan bidang yang dike-

hendaki dalam bentuk vektor. Dalam bentuk koordinat-koordinat tegaklurus, ini menjadi

(xi + y! + zk).(2i + 3j + 6k) = (i + 5j + 3k).(2i + 3i + 6k)

2x +3y +62 = (1)(2) + (5)(3) + (3)(6) = 35

(irnrtt.rr (/t )

+1r+9t.1-7

t<]t + srll + arf;r

19. Carilahjarak titik-asal ke bidang dalam Soal 18.

Jarak dari titik asal ke bidang adalah proyeksi B pada A.

vektorsatuan dalamarah Aadalahh = + = .,j!lli+j!-: =A r'ef +(3f +(6F

Maka,proyeksiBpadaA= B.a = (i+5i+3k)'(;i *fl tf;rl

iI,\SII,- KALI StL.\\(] ,\T,\U vEKI'OR

21. BuktikanAxB = -BxA

,-l7

Jika A adalah vektor sebarang, buktikan bahwa A = (A'i)i + (A' j)i + (A'k)k.

KarenaA= Aj+A2l+4k, A.i =,4ri'i +A2i.1 +A.k.i = A,

Dengan cara yang sama, A' i = Az dan A ' k = lg '

Maka A = Aj + 4i+4k = (A.i)i +(A.J)J +(A"k)k.

Grnrbrr (a) (iaqrhar (l)

Page 27: Analisis Vektor

It,\sl t-K ALt 't i i t l\ L),"Ii slt..\NC

A x B = C besarnya AB sin 0 dan arahnya sedemikian rupa sehingga A, B dan C nrembentuk sebuah

sistem tangan kanan (Gambar (a) di halaman 22, barvah).

BxA=DbesarnyaBAsin0danarahnyasedemikianrupasehinggaB,AdanDmembentuksebuahsis-tem tangan kanan (Gamb. (b) di halanran 22, bawah).

Maka D besarnya sama dengan C tetapi berlawanan arah, yakni C = - D atau A x D = - B x A.

Hukurn komutatif tak berlaku untuk hasil kali silang.

22. likaA x B = 0 dan A beserta B tidaklah nol, perlihatkan bahwa A sejajar B.

JikaA xB =lBsin0 u= 0. makasin0 =0 dan0 =0" atau 180"

23. Perlihatkanbahwa lRxnl'* le.rl" = lol'lrl'.lnrnl'* le.nl' = ln "tno

ol'* l,lr co'ol' A2B2 s1n2 0 + A2B2 cos2 0

A2B2 = lelrlrl,

23

24

25.

Hitunglah r.nasing-masing yang berikut ini.

(a) ixJ = k(6) jxk = I(c) kYi = 5

(d) kxj = -jxk = -i(e) ixi = 0

(f) JxJ = o

(g) ixx = -kxl = -J(h)(2fix(3k)=6Jxk = 6l(r) (3r)x(-2k) = -6ixk = 6j

(i) 2jxt-3k = -2&.-3I = -5k

Buktikan bahwa A x (B + C) = A x B + A x C

untuk kasus dimana A tegaklurus B dan juga C.

Karena A tegaklurus B, A x B adalah sebuahvektor yang besarnya lB sin 90o = /48 atau besar-nya vektor u{B. Ini ekivaien dengan mengalikanvektor B dengan A dan merotasikan vektor resul-tannya sebesar 90o ke kedudukan yang diperli-hatkan dalam gambar di samping.

Dengan carr yang sama. A x C adalah vektoryang diperoleh dengan mengalikan C dengan ,4

dan nrerotasikan vektor resultannya sebesar 90oke kedudukan yang diperlihatkan.

Dengan cara yang sama, A x (B + C) adalahvektor yang diperoleh dengan mengalikan B + C

dengan ,4 dan merotasikan vektor resultannya se-

besar 90o ke kecludukan yang diperlihatkan.

Karcna A'x (B + ' ) adalah diagonal jajaran-genjang dengan sisi-slsl A

Ax(B+C)=A'xB+AxC.

Buktikan bahrva A x (B + C) =A x B+A xC untukkasus vang unrunr dimana A, B dan C tak-koplanar.

Uraikan B kedalarn dua buah vektor kolrtponen,dirrana yang satunya tegaklurus A dan yang lainnyasejajar A. dan nyatakan nrasing-masingnya denganB, dan B,,. Maka B = Br + Brr.

Jika 0 adalah sudut antara A dan B. nraka B, =

x B dan A x C. Inaka kita Peroleh

26

Page 28: Analisis Vektor

llASlt-KAl.l 'l Ill( l)AN SIi-;\ir(,

.8 sin 0. Jadi besarnya A x 81 adalah AB sin 0, sama dengan besarnya A x B. Juga, arah dari A x 81 samadenganarahdari A x B. Olehkarena itu, A x B, = a x 3.

Dengan cara yang sama, jika C diuraikan ke dalam dua buah vektor komponen C11 dan C1 yang masing-masingnya sejajar dan tegaklurus A, maka A x C, = a y 6.

Juga,olehkarena B+C = Br*Brr+Cr+C1 = (81+Cr)+(B,,*C,,) n'-"kadarinyadiperolehAx(Br+C1) = Ax(B+C).

Sekarang, B-. dan C-' adalah vektor-vektor yang tegaklurus A sehingga menurut Soal 25,

Ax(Br+Cr) = AxBr+ AxCrMaka AX(B+C) = Ax3+AxC

Jadi hukum distributif disini berlaku. Perkalikan dengan -1, dan pergunakan Soal 2l,hasilinimenjadi(B +C) x A= B x A+C x A.Perhatikanbahwaurutanfaktor-faktordalam hasil-kali+ilangadalahpenting.Hukum-hukum aljabar biasa berlaku di sini hanyajika urutan yang sesuai tetap dipertahankan.

27.Jika A=Ati+Ari+A3k dan B=Bri+B2i+ B"k, buktikanbahwaAxB =

ijkA1 A2 As

81 82 Bs

A xB = (A,t+A2l +/sk) x (81i +82J +8sk)

=,{1i x (B1i + BrJ + Qk) + A2! x (B7l + E2l + BsUl + l3k x (811 + 82j + 8ok)

= AtBixl+A7B2lx! +11ftlxh +A287!xt+A2B2lx!+A2Belxh,+/{3g1kxl +asB2kx!+AsBsLx\

= (AzBs - AsBz\l + (AsB7- AtBs\l + (ALB2 - A2Bl)k =

i J k!A, 4, A"l .

BL 82 Bsl

28.Jika A = 2i-3j-k dan B = i+4j-2k, carilah(a)AxB, (r)BxA, (c)(A+B)x(A-B).

(c) AxB = (2t-3J-k)x(t+4r-2k) =

T J LI2 -3 -11t 4 -2 I

=,1-: :;l-,1? :ll. -l? ll =,,+3r+,1k

Metode lain.

(2i-3J -k)x(i+4J-2k) = 21x(t+{J-2k) - 3rx(t+4j-2k) - kx(i+4J-2k)

= 2ixi + SixJ -4lxk -3Jxl -12JxJ + 6jxk - kxi -4kxj + 2kXk

= 0 +8k f 4J +3k-0 +6r-r.f 4i +0 = 10i +3j + l1k

(b) BxA = (i+4J-2k)v(2i-3J-k) =

=,1-', -ii ,ll ::1.

iJk1 4-22-3-1

kl1 4ll2 -3 I

= -10i - 3J - 11k.

Bantlingkan dengan (a ), A x B = - B. x A. Perhatikan bahwa ini ekivalen dengan teorema : Jika duabuah baris dari determinan dipertukarkan maka determinannya berubah tanda.

(c) A+B = (21-3J-k) + (t+4J-2k) = 3i +J -.3k

Page 29: Analisis Vektor

HASILKALI TITIK DAN SILANG

A-B = (2i-3J-k)-(i+4j-2k) = t-?j +k

Maka (A+B)x(A-B) = (3i+J-3k)x(i-?j+k) =

=,1-; -il -,li -llMetode lain.

25

iik3 1-31-7 I

r'l 3 tll1 -7 I

= -20i - 6J - 22k.

(A+B)x(A-B) = Ax (A-S) + Bx(A-B)= AxA-AxB+BxA-BxB = 0_AxB-AxB_O = -2AxB= -2(10i+3j+11k) = -20i - 6j -22k, pergunakan(a).

29. Jika A = 3i-2j+2k, BB = 2i+j-k, dan C = i-Zj+ 2k, carilah (a) (AxB)xC,(b) Ax(BxC).

(a) AxB = =-i+7j+5k.

Maka 1a y !l =-,+?i-5k

i i kl3 -1 2l: 1 -'IB)xC = (-

i-1

1

j1

-2

k_T

2

i+7j+5k) x(i-2j+2k) =

= 0i-5j -5k = -5J-5k.It II(b) BxC = l2 Ilr -2

Maka 6y16 16; = (3i-j +2k) x (-sj-5k) = I j, url = ru,+rsr-lsk.

o -5 -51

Jadi (A x B) x C + Ax(B xC),yangmemperlihatkanperlunyatanda-kurungdalamAxB xCuntukme4ghindari tafsir ganda.

30. Buktikanlah bahwa luas jajaran-genjang dengan sisi-sisi

A dan B adalah lA x Bl.

Luasjajaran-genjang = ilBl= lAl sin 6 lBl= laxnl.

Perhatikan bahwa luas segitiga dengan sisi-sisi

AdanB=7, lAxBl.

31. Carilatiluassegitigayangtitik-titiksudutnyaberadadiP(1,3,2),Q(2,*l,l), R(-1,2,3)

PQ = (2-l)i+(-1 -3)j+(1-2)k = i-4j-kPR = (-1-1)i+(2-3)j+(3-2)k = -2i-j+k

Dari Soal 30,

Luas segitiga = !l rqxenl *l ri-+i -k) x (-2i-j +k) |

ij1-4

-2 -1

k

-l1

I

I

I

Il.trtI

II

I

rl | = *l -si + j -sk I = iv(:sf-Tcl"-T .,,8 = +/tol .

Page 30: Analisis Vektor

26

32.

HASILKALI TITIK DAN SILANG

Tentukan vektor satuan yang tegaklurus bidang dari A = 2i - 6i * 3k dan B = 4i + 3j - k.

A x B adalah sebuah vektor yang tegaklurus bidang dari A dan B.

li jars = lz -6

I14 3

Vektor satuan yang sejajar A x B adalah

kt-31 = 15i-toj+3ok-1 I

AxB _ 15i-10j+30k _

ln"nl ,nR;l.-l,rrf.-co73. 2. 6-7r-?J+?x

33

Vektor satuan lainnya yang berlawanan arah adalah (- 3i + 2j - 6k)17. Bandingkan dengan Soal 16

Buktikan hukurn sinus untuk segitiga bidang.

Misalkan a,.b dan c menyatakan sisi-sisi segitiga IBCseperti diperiihatkan dalam gambar disamping; makaa * b n c = 0. Perkalikan dengan a x, b x dan cx secara

berturutan, ki.ta peroleh

vakni

atau

axb = bxc = cxradsinC = 6csinl = cosinB

sin I sin B sin C

abc

34. Pandang sebuah tetrahedron dengan permukaan-permu-

kaan F1, Fz, Fz, Fa. Misalkan Vr, V:, V3, Va adalahvektor-vektor yang besarnya masing-masing sama-dengan

luas dari Ft, Fz, F3, Fa d.an yang aiah-arahnya tegak-

lurus pada permukaan-permukaan ini dalam arah keluar.Perlihatkan bahwa V, + v2 + V3 + V4 = 0.

Menurut Soal 30, luas permukaan sebuah segitigayang dibentuk oleh R dan S adaiah y, ln x S l.

Vektor-vektor yang berhubungan dengan permuka-an-permukaan tetrahedron ini adalah

vr= |exn, vr= |rxc, vs= *cxe, vo= !1c-e1 x(B-a)Maka vr+Yz+"*n'

I ;i:,:l :::. :::.:1;:::;:'1".*AxAr = 0.

llasrl ini dapat diperluas untuk polihedra tertutup dan dalam keariaan limit untuk sebarang pernukaantertutup.

Dikarenakan oleh pemakaiannya yang disajitan disini, maka seringkali besaran luas diberi arah dan da-Ianr hal ini kita berbicara mengenai.vektor luus.

35. . Carilah suaiu pcrnyataan untuk r,rontcn dari sebuah gaya F terhadap sebuah titik P.

Monlen M dan F terhadap 1' besarnya samadengan F kali jarak tegak-lurus P ke garis-kerja dari F.Maka jika r adalah vektor dari 1, ke titik-pangkal e dari F,

M = F(r sind) = rFsin6 = lrxrl

Page 31: Analisis Vektor

HASILKALI TITIK DAN SILANC

Bita kita memhayangkan sebuah sekerup berulir-kanan(right-[hreadedl cli l' yang rcrak-lurus bidang dari r Can F,ntaka bila gayii F bekerya. sc'kelupnya akan bergerak dalamarah r x F. Dikarenakan hal ini, maka adalah sesuai untuknrendeiinisikal i:tomen sebagai vektor M = r x F.

36. Sebuah benda-kaku berotasi ntengelilingi sebuah sumbuyans nrelalui titik O dt-ngan besar kecepatan sudut Gr. Bukti-kan bahwa kecepatan linear v dari sebuah titik P dari bendadcugau vektor kedudukan r diberikan oleh v = <,.l x r. dinranaco ndahh vektor yang besat'nya c.r dan arahnya sesuai derlganarah ntajurrya sekrup bila urcngalanri rotasi yang sama.

Karcna P rnelintasi sebuah lingkaran berjejari r sin d,nraka hc,sarnya kecepatan linear v adalah t,-l (r sin 0) =i c,.1.", l. Juga. v haruslah tegakJurus o)dan rkedua-duanyasedenrikian rupa sehingga r, (, dan v membentuk sebuahsistern tangan-kana11.

lvlaka besar dan arah v sesuai dengan c^l x r, oleh karenaitu v =0(,) x r. Vektor c,-l disebut kecepatan sudttt.

HASIL KALI TRIPEL.

37. Perlihatkan bahwa harga mutlak dari A . (B x C) sama de-

ngafi volunle paralel-epipedum dengan sisi-sisi A, B dan C.

Misalkan n adalah normal-satuan terhadap jajaran-gen-jang /, yang searah dengan B x C dan misaikan /r adalah tinggidari titik-terminal A di atas iajaran-genjang 1.

Volume paralel-epipedurn = (tinggi ft) (luas jajaran-gen-jane I).

= (A.n)(laxcll= a.{ lt"cln} = A'(Bxc)

27

\

9.\,\-\-_)

Jika A, B dan C tidakll.(s *c) l.

membentuk sebuah sistem tangan-kanan maka A.n(0 dan volumenya

38. Jika A = Ai + A2i + Ask, B =Bri+B2i +Bsk, C =Cri + Crj +C"k perlihatkan bahrva

A. (BxC)At A2

B! 82

Ct C2

A"lBrlc"l

A.(BxC) = A.i j kiBt 82 hlC1 C' C'I

= (Ai + A2i + /{'k) .llBrcr-B"Cr)i + (83C1 -81 Cs\i + G$z-BzCik)

A1 A2 Asl

Ba B, B"l

c, c2 c.l= A1(82C3-fuC2) + A2(BsCa- B1C3) + &(B$2-B2Ct) =

Page 32: Analisis Vektor

HASILKALI TITIK DAN SILANG

39. Hitunglah (2i-3i) - lfi*i-k)x(3i-k)].

Menurut Soal 38, hasilnya

Metode /ain. Hasilnya samadengal

(2i-3i). [ir(Si-k) + jx(3i-k) - kx(3i-k)]= (2i-3j). [3ixi *ixk + 3ixi -jxk - gkxi + kxk]= (2i-3i).(0 + j - 3k - i - 3j + 0)

= (2i-3i).(-i-2j-3k) = (2)(-1) + (-3)(-2) + (0)(-s) = 4.

40. Buktikan bahrva A' (B x C) = B' (C x A) = C'(A x B).

2 -3 0r1 1 -rl =E.3 o -rl

A. A. A.Ia, ai s"lcr c2 csl

Menuiut Soal 38, A. (B xC) =

Menurut salah satu teorema dari determinan yang menyatakan bahwa pertukamn dua buah baris darisebuah determinan merubah tandanya, maka kita perolen

A, A. A.Ia, ai a"l =

ca c2 cal

lAr A2 A3

ln, a, n"lc, ct c.

B. B^ B.Iei ei e"lcL c2 csl

cr c2 c3lBr 82 B3l =

Ar A2 hl

81 82 B3lC7 C, C.l = B.(CxA)A, A, hlcl c2 c3

AL A2 Ag

81 82 Bg

= c.(AxB)

41. Perlihatkan bahrva A' (B x C) = (A x B). C .

DariSoal 40, A.(BxC) = C.(AxB) = (AxB).C

Kadang-kadang A - (B x C) ditulis tanpa tanda-kurung seperti A .B x C, Dalam hal demikian tak mung-kin timbul tafsir ganda karena interpretasi yang hanya mungkin adalah A .(B x C) dan (A . B ) x C.

Akan tetapi yang terakhir tak mernpunyai arti karena hasil kali silang antara skalar dan vektor tidak didefi-nisikan.

HasilA.BxC=AxB.Cseringkalidiringkasdalampernyataanbahwatitikdansilangdapatsalingdipertukarkan tanpa mempengaruhi hasilnya.

42. Buktikan bahr.va A. (A x C) = 0.

DariSoal 41, A.(AxC) = (AxA).C = 0.

43. Buktikan bahrva syarat pertu dan cukup agar vektor-vcktor A, B dan C koplanar adalah A. B x C = 0.

Perhatikan bahwa A. B x C tak dapat berartilain daripada A. (B x C).

Jika A, B dan C kopla.nar, maka volume paraiel-epipedum yarrg dibentuk nrereka adalah nol. Maka rne-nurutSoal 37,A.Bx C=0.

Sebaliknya, jika A . B x C = O. maka volume paralel-epipedum yang dibentuk oleh vektor-vektor A, B

dan C adalah nol, dan dengar demikian vektor-vektor haruslah terletak dalam sebuah bidang.

44. Misalkan r1 =x1i +.r,rj + zrk,12=,r,i +,r'2j +z2k d:ru 13 =,r'1i +-r,1i +:rk atlalah vcktor-vektorkcdu-

Page 33: Analisis Vektor

HASILKALI TITIK DAN SILANG

dukan dari titik-titik Pt (xr, !r, z), Pz (*2, Iz, Zz) danP3 (x3, !t,zt). Carilah persamaanuntukbidangyang nrelalui P 1. P2 dan P3.

Kita menganggap bahwa Pt, P2 dan P3 tidak ter-letak pada sebuah garis-lurus; oleh karena itu merekamenentukan sebuah bidang.

Misalkan r = xi+ yj + zk menyatakan vektor ke-dudukan dari sebarang titik P (x, .1-', z) dalam bidangdiatas. Pandang vektor-vektor P 1P2 = 12 - r1, P1P3 =13 - rl dan P1P = r - 11 }rang semuanya terletak dalambidang.

Menurut Soal 43, P1P. P1P2 x PrPs = 0 atau

(r-11).(r2-q)x(rs-11) = 0

Dalam koordinat-koordinat tegak-iurus persamaan inimenjadi

[(z-2.)l +ly-ylt! 1(z-zr)k] 'l(4-rr\l + Q2-ylt!

lx-zr f-ltatau, pe!.gunakan Soal ia. l rr-r, l2-y7

II ts-rt Ys-Y7

a Qr-zr'))t)x [(:"-zr)l + (y3-y1)t + (:.-21)l] =o

z - zrl

"r-rrl = o .

,"- rrl

45. Carilah persamaan untuk bidang yang ditentukan oleh titik{itik Pr(2, *1 ,l), P2 (3, 2, -l) dan P3(-1.3, 2).

Vektor-vektor kedudukan dart Pr,P2, P3 dan sebarang titik ^(x, /, z) adalah berturut-turuth= 2t-J +k,t2:Xl+2t-L, rs=-l +?t +2, da;r r =rl +yt+ zl.

MakaPP, = r -rl,PzPr =r: -rr,P:Pr =13-11 S€(lu&nyaterletakdalamLidangyangdikehendaki,sehingga (r - q) . (r2 - q) x (rs - 11) = 0

yakni [tr-z)t +(y+l)J+(z-1)k] . [t+si-2k] x[-et +*i +r,] = 0

[{r-z)t +(/+1)!+(z-1)r] . [rri+5J+ 13k] = 0

l1(r-2) +5(y+l)+73(z-1) = 0 atau llx+5y +132 = 30.

Jika titik-titik P, Q dan R sentuanya tidak terletak dalarn garis-lurus yang sama dan vektor-vektor keduduk-

annyarelatifterhadaptitikasaladalaha,bdancmakaperlihatkanbah$,aaxb+bxc+cxaadalahse-buah vektor yang tcgak-lurus bidang dari P, B dan R.

Misalkan r adalah vektor kedudukan dari sebarang titik dalam bidang dari P, Q dan R. Maka vektor-vektor r - a, b - a dan c -'a koplanar, sehingga menurut Soal 43.

41 .

Jadi a

dan R.

BulCtikan:

(r-r).(b-r)x(c-1) = $ atau (r-a).(sxb+bxc+cxa) = 0.

xb+bxc+cx,ategak-lurus.padar-adandengandernikiantegak-lurusbidangdariP,Q

(a) Ax(BxC) = B(A.C)-c(A.B), (6) (AxB)xC = B(A.c)-A(B.C).

(a) Misalkan A=Ai,+Ail+Ask, B=B1t+BzJ+

lrMaka Ax(Bxc) = (ALI+A2!+l3k) x l81

lc,(A]. +A2!+,{3L)x([82C3

Bsk, C=Crl+Czj+Csk.

J klB, BrlC, c.l

- &Cz] r + [r"C, - arc"] 1 + lBlC2- B2C7)ti

Page 34: Analisis Vektor

30 HASILKALI TITIK DAN SILANG

rjulAlA2Asl

B2C3 - B3C2 B3C7- BTC| B$"- B2C1l

= (A2B 7C2 - A2B2C r- AyB3C1+ l3B1Ca) i + (AsB2Ce - A1B1C2- AIBIC2 + A1B2C ) i+ (A7B3C1- AtBrCs- A2B2C3 + A2F€c2rk

Juga. B(A.C) - C(A.B)

= (B1l+B2l +83k)(11C1 +A2C2+AsCd - (Ci+C2l +C3k)(1181 +A282+A3Bs\

= (A2B LC 2 + AsB LC s - A2C aB 2 - Arb rB "t

i + ( B 4$ t + B 2AsC a - C2A1B 1 - C2fu B ) !+ (BBATC L + B|A2C2- CaAaB t - CsA2B2)k

dan dari sini diperoleh hasilnya.

(6) (AxB)xg = -Cx(AxB) = -{nfC.Sl-B(C.A)} = B(A.C)-A(B'C) dengan mengganrikan

A, B dan C dalam (a) berturut-turut dengan C, A dan B.

PerhatikanbahrvaAx(BxC)*(nxB)xC,yangberartibahwahukumasosiatifuntukhasilkalisilang tak berlaku bagi semua vektor A. B. C.

+d. Buktikan : (AxB).(CxD) = (A-C)(B.D) - (A.D)(B.C).

DariSoal 41, X'(CxD) = (XxC)'D. Misalkan X=AxB;maka

(AxB).(cxD) = {(AxB)xc} . D = {B(A.c)-A(B.c)} . D

= (A.C)(B.D) _ (A.D)(B.C), pergunakan Soal47 (b).

49. Buktikan: Ax(BxC) + Bx(CxA) + Cx(AxB) = 0.

Menurut Soal 47 (a), A x (B x C) = B(A. C) - C(A' B)

Bx(CxA) = C(B'A) - A(B'C)

C x (A x B) = A(C.B) - B(C. A)

Jumlahkan, maka diperoleh hasilnya.

50. Buktikan: (AxB) x(cxD) = B(A.cxD) - A(B.CxD) = C(A.BxD) - D(A.BxC).

Menurut Soal 4't (o), Xx(CxD) = C(X.D) - D(X.C). Misalkan X=AxB; maka

(AxB) x (CxD) = C(AxB.D) - D(AxB.C)

= c(A.B xD) - D(A.B xC)

MenurutSoal 47(D) (AxB)xY = B(A.Y)-A(B.Y). Misalkan Y=CxDi maka

(Ax B)x (Cx D)=B(A.Cx D)-A(B.Cx D).

51. Misalkan PQR sebuah segitiga boia yang sisi-sisinya p, q, r adalah busur-busur dari lingkaran-lingkaran besar.Buktikan bahs l

sinP _ sinQ - sinRsin p sin g sin r

Andaikan bahwa bolanya (lihat gambar di halanran 3 t) berjejari satuan, dan misalkan vcktor-r'ektorsatuan A, B, dan C digambarkan dari titik-pusat bola O bcrturut-turut ke P, Q, dan R. Dari Soal 50,

(j) (AxB)x(AxC) = (A'BxC)A

Page 35: Analisis Vektor

I{ASILKALI TITIK DAN SILANG

Vektor satuan yang tegak-lurus A x.B dan A x C

adalah A, sehingga (1) menjadi

(2\ sinr sing sinP A = (A.BxC)A(3) sinr sing sinP = A.BxC

Dengan mempermutasikan p, q, r, P, Q, R danA, B, C secara siklis, kita dapati

3l

(4)

(5)

sinp sinr sinQ = B'CxAsing sinp sinft = C.AXB

Karena ruas kanan dari (3), (4) dan (5) adalahsama (Soal 40) makasin rsin 4 sin P= sin p sin r sin Q =sinq sin p sin R

yang darinya kita peroleh sinP _ q1Q = sinRsinp sin g sin r

Pernyataan ini disebut hukum sinus untuk segitiga bola

52. Buktikarr: (AxB)'(BxC)x(CxA) = (A'BxC)2.

MenurutSoal 47(a), xx(CxA) = C(x.A)-A(x.C). MisalkanX=nx C;maka

(BXC)X(CXA) = C(BXC.A)- A(BXC.C)

= C(A'BxC) - A(B'CxC) = C(A'BxC)

(AxB)'(Bxc)x(cxA) = ::;l"i.f r,I"l = (A.Bxc)2

Diketahui vektoi-vektor a' = -! xi-a'bx c

perlihatkan bahrva jika a' hx c I 0 , maka

b'= dan c' =e.bxc

Jadi

(a) d.a = a.d

t'.t = t.d

t,c. c = c. c

cx a axba'bxc'53_

(a) a'.a = b'.b = c'.c = 1,

(b) i'.b = a'.c = 0, b'.a = d'c = 0, c''a = c"b = 0,

(c) jikaa'bxc = Znraka ,'.b'* c'= llV.(d) a', b' dan c' tak-koplanar jika a, b dan c tak-koplanar.

bx c a.bxc=_=1a.bxc a.bxc

cx & b.cxa a.bxcb.- =

-

= r

a.bxc a.bxc a.bxcaxb c.axb a.bxc

"'".rr" = ".nr"

= a.b*" = i

bxc b.bxc bxb.ca-bxc a.bxc a.bxc

rb) a''b = l.i =

Dengan cara yang sama diperoleh hasil-hasil lainnya. Hasil-hasil ini dapat dilihat dengan memperhatikan

bahwa misalnya, a' arahnya sejajar b x c sehingga dengan demikian haruslah tegak-lurus b dan c dari mana

diperoleh r'' b= 0dan a'' c= 0.

Page 36: Analisis Vektor

32 HASILKALI TITIK DAN SILANG

Dari (a) dan (D) kita melihat bahwa himpunan vektor-vektor a, b, c dan a', b', c'adalah vektor-vektorresiprokal. Lihat pula Soal-soal Tambahan 104 dan 106.

(c) ,'= b'", d= "'", ",= "'bYVYt .,, (bxc).(cxa)x(axb) (axb).(bxc)x(cxe)Maka a'Dxc =

----=-rvo tf

_ (a.bxc)2 =

V, = LV" = V. =

n Pergunakan Soal 52.

(d) Menurut Soal 43,jika a, b dan c tak-koplanar a.b xc*0. Maka dari bagian (c)diperolehbahwaa' . b' x c' * 0, sehingga dengan demikian a', b' dar, c'juga tak-koplanar.

54. Perlihatkan bah,'va sebarang vektor r dapat dinyatakan dalam vektor-vektor resiprokal dari Soa[ 53 seperti

r = 1r. d1a + (r. b')b + 1r. c'1c.

Dari Soal 50,

Maka

Misalkair A = a.

B(A'CxD)-A(B'CxD) = C(A.BxD)- D(A'Bx C)

- A(B-CxD) B(A.CxD) C(A.BxD)- A'BxC A'BxC A.BxC

B=b, C=c danD=r. Maka

r'bxc r'cxa- r'exbI = ............_a

-;

- a.bxc a'bxc t'bxc

bxc cxa exb= r .(ffi)a + r. (a.bx c)b + r'(---:-----r)c

= (r./)a + (r.d)b + 1r.d)c

Soal-soal Tambahan

55. rHitunglah : (o) k.(i+ j), (b) (t- 2k)'(J +3k), (c) (2i -J + 3k).(3t + 2r-k).Jawab. (a) 0 (6)-0 (c) I

56. Jika A=i+3j-2k dan R=4i-2j+4k, carilah:

(a) A.8 , <b) A, (c) 8, (d) l aa + zs l , (e) (za +r). (A - 28).Jawab. (a) - lo (6)y'r.4 (c) 6 (d) y' tso (") -ts

57. Carilahsudutantara: (o)A=3i+2J-6kdan B=4i-3J+k, (6)C=4i-2J+4k dan D=3i-6J-2k.

Jawab. @\ 960 (6) arc cos 8/2' = 6?036'

/ 58./Untut<harga-hargaayangmanakahA=ai-2j+k dan B=bi+aj - 4ksalingtegakJurus?'- ./ Jawah a = 1, ,l

59. Carilahsudutlancipyangdibuatolehgarisyangmenghubungkantitik-titik(1,-3,2)dan(3,-5, 1)dengansumbu-sumbu koordinat. Jawab. arc cos 2/3, arc cos 2/3, arc cos 1/3 atau 48"12', 48"12', t0"32'

{ 607 Carilah cosinus-cosinus arah dari garis yang menghubungkan titlk-titik (3,2, -4) dan (1, -1,2)' Jawab. 217 ,317 , -617 atau -217 , -317 . 617 .

61. Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor A = 3i+6j - 2kdan B =4i-ia3k.Tentukansudut-sudut dari segitiga ini. Jawab. arc cos7l1f75, arc cos ,t[iAt{li,90o atau 36"4', 53"56', gO"

Page 37: Analisis Vektor

HASILKALI TITIK DAN SILANG

62. Diagonal-diagonai sebuah jajaran-genjang diberikan oleh A = 3i - 4i - k dan B =2i+3i - 6k. Perlihatkan

bahwa jajaran-genjangnya adalah sebuah belah-ketupat dan tentukan panjang sisi-sisi dan sudut-sudutnya.

Jawab. 56/2, arc cos 23l?5, 1800 - arc cos 23/15 atau {,33, 12"8', Loflzt

63. Carilah proyeksi vektor 2i - 3j + 6k pada vektor i + 2j + 2k. Jawab. 813

64. Carilah proyeksi vektor 4i - .3j + k pada garis yang melalui titik-titik (2, 3, --l) dan(-2,-4,3).

Jawab. 1.

I65,/JikaA=4i -3j+3k dan B = -2i+j-2k,carilahvektorsatuanyangtegak-lurusAdanB." Jawab. i (i - 2j - 2k)13

56. Caritah sudut lancip yang dibentuk oleh dua buah diagonal sebuah kubus. Jawab. arc cos 1 i 3 atau 70o32'

67. Carilah vektor satuan yang sejajar bidang,r3 dan tegak-lurus pada vektor 4i - 3j + k. Jawab. *: (3i+ 4i)15

6!, PerlihatkanbahwaA=(2i '2j+k)13,3=(i+2i +2k)13 dan C=(2i+j-2k)/3adalahvektor-vektorsatuan yang saling tegak-lurus.

69. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah obyek sepanjang garis lurus dari (3,2, -l)hiagga (2, *1, 4) dalam sebuah medan gaya yang diberikan oleh F = 4i - 3j + 2k. Jawab. 15

70. Misalkan F sebuah medan-gaya konstan. Perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkansebuah obyek mengelilingi sebarang poligon tertutup dalam medan ini adalah nol.

71. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku.

7i-Misaltan.IBCDsebuah jajaran-genjang. Buktikan bahwa TB2+ BC2 + CD2 + oA2 = Ac2 +-8D2.

73. Jika ,4BCD adalah sebarang empat-persegi-panjang dan P dan Q adalah titik-titik tengah dari diagonal-diagonalnya, buktikan bahwa TB2 + E-C2 + CD2 + -DA2 = TC2 + TO2 + eFQ2

Ini adalah perluasan dari soal sebelumnya.

74. (a) Carilah persamaan sebuah bidang yang tegakJurus pada vektor A yang diketahui dan berjarak p darititik-asal.

(D) Nyatakan persamaan dari (a) dalam koordinat-koordinat tegakJurus.Jawab. (a) r'n=p, dimana n= A/A; (b) Atx + Az!+ A3z= Ap

75. Misalkan 11 dan 12 vektor-vektor satuan dalam bidang xy yang membuat sudut-sudut a dan p dengan

sumbu x positip.(c). Buktikanbahwa rr= cosd I + sind J, 12=cosp t *

"irB r.(b). Dengan meninjau rr 12, buktikan rumus trigonometri

cos(d,-P) I cosd cosB+ sind sin0' cos(d+F) = cosd cosp-sind sinB

76. Misalkan a adalah vekior kedudukan dari sebuah titik (xr, yt, z1)yangdiket::hui, dan r vektor kedudukan

darisebarangtitik(x,y,z).Nyatakantempat-kedudukandarirjika(a)lr-al=3,(b)(r:a)'a=0,(c)(r-a).r=0.Jav,sb. (a). Perrnukaan bola, pusatnva di (.r 1, y 1, z1 ) dan berjejari 3.

(b). Bidang yang tegak{urus a dan melalui titik terminalnya.(c). Permukaan bola dengan pusat di (xl12, yr12, z112) dan berjejari +t/;T;fr;/, atau se-

buah permukaan bola dengan a sebagai diameter.

77. Diketahui A = 3i+j +2kdan B=i - 2j - 4kadalah berturut-turut vektor-vektorkedudukandarititik-titikP dan Q.(a). Cariiah persanraan bidang yang melalui Q dan tegak-lurus garis PQ.

(b). Berapakah jarz,k dari titik ( l, 1, I ) ke bidang ?

Javtab.(,a) (r- B).(A B) = 0 atau Zx+3y+62 = -28:' (b) 5.

78. Hitunglah masing-masing yang berikut ini :

(o) 2Jx(3i-4k), (b) (t+2J)xk, (c) (2t-4I)x(l+A). (d) (41 +i-2k)x(3t+k), (e) (2i+J-k)x(3i-2J+4k).

Jawub. (a) -8i-6k, (b) 2i-J' (c) 8t-4J +4k, (d) t-10J-3k' (e) 2t- 1U-7k

33

Page 38: Analisis Vektor

j

I{ASILKI\LI TITIK DAN SILANG34

79 Jika A=3i-J-2k dan B=2i+3J+k, carilah

Ja*,ab. (a) !G, *6) -25i +35j - 55k, (c\ 2y'lb

(a) lAxsl, ra) fe+28)x(2A-B),

(c) l(A+B)x(A-B)1.

81.

82.

83.

84.

Jika A=i-2j-3k, B=2i+J-k dan C=i+3J-2k, carilah:

(@) | (A xB) x c L (c) A. (B xc). (e) (AxB) x (B xc)(6) lA x(Bxc)1, (d) (AxB).c, (D (AxB)(B.c)

Jawab..@) 5y'26, (6) 3fi-o, (c) -20, (d) -20, (e) -40i-20j +20k, ((f) BSi-35j +35k

PerlihatkanbahwajikaA#0dankeduapersyaratanberikut(a)A.B = A'C dan (b) AxB = AxCtrerlaku secara serempak maka B = C, tetapi jika hanya salah satu dari persyaratan ini yang berlaku maka

B+C.

Carilahluasjajaran-genjangyangmemilikidiagonal-diagonalA=3i+j-2kdanB=i-3j+4k.Jawab. 5/t

Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya pada (3, -1,2), (1, -1, -3)dan (4, -3, l). Jawab. ','..rfT6i.

JikaA=2i+1-3kdanB=i-2j+k,carilahsebuahvektorlangbesarnya5dantegak-lurusAdanB.

Jattab. t f1i*t*Lt85. Pergunakan Soel 75 untuk menurunkan rumus

in(d-p1 = sindcosB - cosdsinp, sin(d+9) = sindcosp + cosdstnB

86. SebuahgyayangdiberikanolehF=3i+2j-4kdikcnakanpadatitik(1,-1,2).Carilahmomendari Ftei'hadap titik (2, - l, 3). Iawob. 2i - 7 j - 2k.

87. Kecepatan sudut dari sebuah benda-kaku yang berotasi mengelilingi sebuah sumbu rotasi diberikan olehQ = 4i + j - 2k. Carilah kecepatan linear dari sebuah titik P pada benda di mana vektor kedudukannya re-latifterhadap sebuah titik pada sumbu rotasi adaiah 2i-3j+k. Jawab. - 5i - 8j - l4k.

88. Sederhanakan (A +B)' (B +C) x (C +A). Jawab. 2A'RxC

la.a a.b e.cl89. Buktikanbahwa (A.BxC)(a.bxc) = lr." B.b B."l

1"., c.b c."l

90. C:ilah volume sebuah paralelepipedum yang sisisisinya dinyatakan oleh A = 2i - 3j +4k, B=i+ 2j - k,

C = 3t.- J + 2k. Jawab. '7 .

91. Jika A.BxC=0,perlihatkanbahwaatau (a) A,BdanCkoplanartetapitakadaduabuahvektordari-nya yang kolinear, atau (D) dua buah vektor dari A, B dan C kolinear, atau (c) semua vektor A, B dan C

kolinear.

92. Carilah konstantaa sehingga vektor-vektor 2i-j+ k,i+2j - 3kdan 3i+aj+ 5kkoplanar. Jaw'ab. a='-4.

93. Jika A= -tqa +y,blz1c, B = xra+yrb+z3cdan C=x3a*;,3b*23c, buktikan bahwa

lr, y7 zrln.src = 1,, y2 ,rl {a.t'c)

l'" fs "I94. Buktikan bahwasyarat perlu dan cukup agarA.x (B x C) = (A x B)xCadaiah(AxC)x B=0. Bahaslah

kasus dimana A.B = 0 atau B .C = O.

95. Misalkantitik-titik P,Qdan R memilikivektor-vektorkedudukanrr =3i-2j* k, 12 =i+3j+4k dant3 = 2i+ i 2k relatif terhadap titik-asal O. earilah jarak dari P ke bidang OQR. Jawab. 3.

Page 39: Analisis Vektor

HASILKALI TITIK DAN SILANG

96. Carilahjarakterpendekdari(6, -4,4)ke garisyangmenghubungkan(2,i,2)dan(3. -1,4). Jawab.3

97. Diketahuititik-titik P (2,1,3), O(1,2, l), R (-1,-2, -2) dan S(1,-4,0), carilahjarakterpendekantara garis-garis PO dan' RS. Jawab. 3..fT

98. Buktikan bahwa garis-garis tinggi dari sebuah segitiga (garisnya diperpanjang bila perlu) berpotongan dise-

buah titik (orthocenter dari segitiga).

99. Buktikan bahwa garis-garis sumbu dari sisi-sisi sebuah segitiga berpotongan disebuah titik (circumcen,er dari

segitiga).

100. Buktikan bahwa (AxB).(CxD) + (BxC).(AxD) + (CxA)'(BxD) = 0.

l0l. Misalkan PQR sebuahsegitigabolayangsisi-sisinya p,q,radalahbusur-busurdarilingkaran-lingkaranbesar'Buktikan hukum cosinus untuk segitiga bola,

cosp = cosg cosr + slng sinr cosP

dan juga rumus yang analog untuk cos q dan cos / yang diperoleh melalui permutasi siklis dari huruf-huruf.

I Petunjuk: tnteipretasikan keduabelahruasdariidentitas(AxB)'(AxC) = (B'C)(A'A) -(A' C)(B'.1),1

102. Cai-ilah suatu himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap himpunan vektor

2t+3J-k, t-J-2k, -t+2J+2k:

rawcb. i,-**, -*,*t-i., -]r.l-tt

103. Jika a'= -!:L. n'= cla dan c'= "Ib . buktikanbahwaa.bxc' a.bxc a.bxc'

b'xc' - e'ri dxb'i D= . c=

a'. b', c' a'. b'x c' '

d . b', "'

104. Jika a, b, c dan a', b', c' adalah sedemikian rupa sehingga

a''a = b''6 = s1s = 1

!'.b = a'.c = bta = b'.c = c'. 1 = g'.6 = 6

buktikan bahwa dari sini diperoleh

, bxc -, cxa , axbt =..b'rc' h =*br"' " =;ffi

105. Buktikan bahwa himpunan vektor-vektor tangan-kanan ),ang dirinya sendiri juga vektor-vektor resiprokal

adalah vektor-vektor satuan i, j, k.

106. Buktikan bahwa terdapat satu dan hanya satu himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap suatu himpunan

vektor-vektor tak-koplanar a, b, c yang diketahui.

35

Page 40: Analisis Vektor

DIFERENSIASI VEKTOR

TURUNAI\{ BIASA DARMKTOR. Misalkan R (u) se-buah vektor yang bergantung pada sebual-, variabel skalar

runecal rr. Maka AR _ R(u +Au) - B(u)Au-Au

di mana Aa nrenunjukkan suatu pertalnbahan dalanr u (li-hat garrrbar disarnping).

Turunan biasa dari vektor R (a) terlratlap skalar a diberikan oleti

' + = ttm & = llm R(u+Au)-R(u)du Au:o Au a,ti-o Au

iika lirnitnya ada.

Krr.n. d;R adalah sebuah vektor yang bcrgantung pada u,kita dapat ureninjau turunannya terhadap rr.du '-":Jika turunan ini ada, ia dinyatakarr otA,

ff Dengan cara yang sama dibahas turunan dengan orde lebih tinggi

KI'IRVA - KURVA RUANG. Bila R (z) adalah vcktor kedudukan r (a) yang nrenghubungkarr titik asal O darisuatu sistem koordinat dan sebaiang titik (x, y, z), nraka

r(z) = r(u)l + y(u)t + z(ulk

dan spesifikasi fungsi vektor r (u) nrcndelinisikan x, y dan z scbagai fungsi-fungsi dari u.

Bila u bcrubah. titik ternlinal r nrengganrbarkan se-buah kurva ruang yang nrerniliki persanlaan-persalnaanpafarneter

r=r(u), y=y(u), z=z(u)

ruakrr $ = Iaf*)--I.(l) r,rrrrl,Au Az

scbualr vektor yang scarah dengan 4r (lilrat ganrbar disant-

ping).

Jika lirrr + : + ada. nraka linritnya akan bcrupa sc-6r-s An ilu

brrair vcktor yang scaralr dcngarr urah guris-singgung par!tkurva ruang di (x, -r,. z ) dan dibcrikalr olch

dr dt dy

d"=d"l*fri

An-n(u+Ar)-R(s)

dz+-kdu

Page 41: Analisis Vektor

DETTERENSIASI VEKTOR 37

Bila u adalah waktu t, maka * nrenyatakan keccpatan V yang mana dengannya titik-terminal dari r meng-du

gambarkan kurvanya. D.ng.,l.riJy.ng sanra, # = # ntenyatakan percepatana sepanjang kurva.

KOI.ITINUITASDANDIFERENSIABILITAS. Sebuah fungsi skalar 0 (u) disebut konrirw di u jika lim o

(. (u + Au) = Q(u).Ekivalen dengan ini, { (z) kontinu di n

jika untuk setiap bilangan positif'€ kita dapat memperoleh bilangan positif6 sehingga

l41u+Lu1 -f<ull < e apabila lArl . a.

SebuahfungsivektorR(u) = Rr(z)i+Rr(u)j+R3(u)kdisebutkontinudiljikaketigafungsiskalarR1(a), R2(u) dan R3(u) kontinu di u atau jika lim

oR(u + Au)= R(u). Ekivalen dengan ini, R(z) kontinu

di u jika untuk setiap bilangan positil€ kita dapat menemukan bilangan positil6 sehingga

lnln+Az1 -R(u)l< e apabila la,I . A.Sebuah fungsi vektor atau skalar dari u disebut diferensiabel berorde n jika turunan ke - n - nya ada. Se-

buah fungsi yang dilerensiabel haruslah kontinu tetapi sebatiknya tidak berlaku. Bila tidak ada pernyataan lain-

nya, maka kita menganggap bahrva semua lungsi yang ditinjau adalah diferensiabel hingga otde yang diperlukan

dalam pembahasan.

RUMUS DIFERENSIASI. Jika A, B dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar z yang diferensiabel

dan @ sebuah fungsi skalar dari u yang diferensiabel, maka

t.4<e*$=+.+du' du

z. fi<e.u = ^.#.ff-"s. !*<e,*u = n"# * dfi*,

t.4<an = ++ **edu du du

n.sxdj+a.*xc+4'sxc5. f(A.Bxc) = du du du

6. ! {n,(Bxcr} = Ax(8, Pl * a,,r# xq + $ x (Bxc)'- du'- du' 'd,u du

Urutan dalam hasil-kali hasil-kali ini penling.

TLJRUNAN PARSIAL DARMKTOR-VEKTOR. Jika A adalah sehuah vcktor yang bergarrturrg pada lcbih

daripada satu variabcl skalar, katakar. x' )', z ulisalnya,

rnaka kita tuliskan A = A (x, y. z). Turunan parsial dari A tcrh:dap r didcl'inisikan scbagai

P=i*Wjika linritnya ada. Begitupula ar-0 ar

aA .. A(r, y +Ly, z\ - A(x,y,z\i- = IIm-dy A, -0 DY

Page 42: Analisis Vektor

3B DETTIRENSIASI VIKTOR

aA A@,y, z +Az) - A(z,y,z)d z Az..o Lz

adalah masing-nrasing turunan parsial dari A terhadap y dan z jika linritnya ada.

Pernyataan kontinuitas dan diferensiabilitas untuk fungsi-tungsi dari satu variabel dapat diperluas bagi

fungsi-fungsi dari dua atau lebih variabel. Misalnya, $(x, y) dikatakan kontinu di (x, y) jika lim @(x + Ax, y + .

tJlSAy) = Q(x, y), atau bila untuk setiap bilangan positif € kita dapat menemukan bilangan positif 6 sehingga

lq@ + Ax, y + Ay) - Q@, y) l( € apabila iAr l< 6 dan lAy l< 6. Definisi yarg sama berlaku pula untuk fung-si-fungsi vektor.

Untuk.fungsi-fungsi dari dua atau lebih variabel kita pergunakan istilah diferensiabel (differensiablei denganpengertian bahrva fungsinya menriliki turunan-turunan parsial peltama yang kontinu. (lstilah ini dipergunakanoleh ;.ang lainnya dalam pengertian yang agak lebih lunak).

Turunan-turunan yang lebih tinggi dapat didefinisikan seperti dalam kalkulus. Jadi, misalirya,

?2a ?.?e. ?2A a,aA. E2A - ?,4A,a7 = a"(a" )' ;V = tt3,'' a,' = a,\i)

?2.{ _ a,aA, ?2A = lr?4,, a"A _ ?r?2,l,,a"a, = a,tt'' a,i," = artt'' a,a"".- ar'ar''

^2 -2Jika A memiliki sekurang-kurangnya turunan-turunan parsial orde kedua yang kontinu. *.f.. 5ffi = **

,

yakni urutan dilerensiasinya tidaklah menjadi persoalan.

Aturan-aturan untuk turunan parsial dari vektor-vektor mirip dengan yang-dipergunakan dalam kalkuluselementer dari fungsi-fungsi skalar. Jadi jika A dan B adalah fungsi-fungsi dari x, y. z mzka, misalnya,

l. 3ra.nr = A.P * $.,Ox,' dr dx

- ,9E * P's2. +6xB) = Adx dx dx

^2r. -*re.sr = 3t3re.sri = ltn.P. S.nloy ox, dy Ox Oy dx dx

= o.E * g4.gE. g4.gE *:?:g.*dy dx dy dx ' 6; '

i * 3;; 'B ' dan seterusnva'

DIFERENSIAL DARMKTOR-VEKTOR mengikuti aturan-aturan yang mirip dengan yang dari kalkuluselenrenter, Misalnya,

,1. Jika A=Ai+A"i+,\k, maka dA= dAi+dAri+ilA"k

2. d(A- B) = A. dB + dA.B

3. d{Axa) = AxdB + dAxB

4. rika A= A(x,y.z),rnaka aa = !a, . {+ * {a,, arr.

GEOMETRI DIFERENSIAL menyangkut studi terhadap kurva-kurva ruang dan permukaan-permukaan. Bila Cadalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan oleh kurva r (a), maka kita telah me-

Page 43: Analisis Vektor

DET;ERENSIASI VEKTOR

vektol yang searah dengan Baris-singgung pada C. Jika skalar u diarnbil sebagai

39

iihat bahwa ff aoalah sebuah

panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada Cmaka ff uaA^nsebuah vektor sirrggungsatuan pada C dan

Cinyatakar"r riengan T (tihat ganrbar dibarvah). Laju perubahan T terhahap s adalah ukuran dari kelengkungan C

Jan diberikan oieh {T Arah dari 4l puaa sebarang titikds ds

p:rda C adalah normal terhadap kurva pada titik tersebut(lihat Soal 9). Jika N adalah sebuah vektor satuan dalanr

rralr normal ini, nraka ia disebut normal utama (prin'

cipal nornul )pada kurva. Jadi # = ,.N, di mana K disebut kelengkungan (curvature ) dari C pada titik yang di-spesifikasikan. Besaran p = 1lK disebu iejari keleng-kurtgan (radius of cun,ature ).

VektorsatuanByang tegak-lurus pada bidang dari T dan N dan sedenrikian rupa sehingga B = Tx N,disebut blnonaai terhadap kurva. Dari sini diperoleh bah'uva T, N, B mernbentuk sebuah sistern koordinat tegak-

Iurus tangan-kanan lokal pada sebarang titik dari C. Sistem koordinat ini disebut trihedral alautriad pada iitik1'ang ditinjau. Bila s berubah, maka sistenr koordinatnya bergerak dan dikenal sebagai trihedral bergerak.

Hirnpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-vektor fundamental T, N dan B se-

cara kolektil dikenal sebagai rumus Frenet - Serret yang diberikan oleh

dTds

r( N. f = rn- <'r, P=-,rds

di mana r adalah sebuah skalar yang disebut torsi (torsion). Besaran o = llr disebut ieiari torsi {radius of tor'

sion ).

Bfulang osktlasi (osculating plane) pada sebuah kurva dititik P adalah bidang yang rnengSndung vektor sa-

tuansing,gungdannorrnal utarnadiP. BidangnormaladalahbidangyangnlelaluiPdantegak-lurusvektorsatuansinggung. Bidang yang meralat (rectifying plure) adalah bidang yang meialui P dan tegak-lurus normal utama.

MEKANIKA menyangkut studi terhadap gerak partikel sepanjang kutva-kurva, studi ini dikenal sebagai klne-

matika. Dalarn hubungan ini beberapa hasil dari geometri diferensial dapat mempunyai arti.

Studi terhadap gaya-gaya pada obyek-obyek yang bergerak ditinjau dalamdinamika. Yangmendasar dalam

studi ini adalah hukunr Nervton yang terkenal yang menyatakan bahrva jika F adalah gaya total yang bekerja

pada sebuah obyek bermassa m yan1 bergerak dengan kecepatan v, uraka

F *(nv)

di mana niv adalah rnomentum dari obyek. Jika rn konsr"an, maka rumus ini menjadi F = m

a adalah percepatan dari obyek.

Soal-soal yang Dipecahkan

dr=dt

nza. di mana

l. Jika R (u) = x

huktikan bahrva

(u)i + y (u)j + z(u)k, di manax, y,dznz fungslfungsi diferensiabel dari sebuah skalar r,

dy.d.u

dRd"

dR=Cu

dx.= -;-l +

d,u*u.du

.. R(u+Au) - R(u)Ilm --:-:-Nt-o &

Page 44: Analisis Vektor

40 DEF'ERENSIASI VEKTOR

= rim [z(u +Az)I + y(a +Aa)i + z(z +&)r.] - [z(s)t + l(u)J + z(u)k]du'-o A"

z(u +Au) - ,(z) . y@+N) - y(u) . z@+N1 - z(u\ .= aijlo

-A;-

' ' ----a, -

i * ---- &- k

dx dy dz=- dul + V;t + i;k

2. Diketahui R = sinr i + cos, j + rk, Carilatr (c) #, ,ur'#,nt lffl, Al t#ldRddd

fu) a, = A(sinr)i + ;(cosr)J +;(r)k = cosrl - sinrJ + k

d,2R ddr (t d d(b) dt2 = A(d,) =;(cosr)i-A(sinr)j+;(l)t = -sinri-cosrJ

- td'*.t r-@l?il = ',zr-5in4'11-"6s11'= 1

3. Sebuali partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah.r=e't,y=2 cos 3r, z = I sin 3r, di mana r adalah waktu.(a) Tentukan kccepatan dan percepatannya pada sebarang saat.(D) Carilah besar dari kecepatan dan percepatan pada t = 0.

(a) Vektorkedudukanrdaripartikeladalah r =:7+yt+zi = e-tl+2cos3rr+2sin3, l.Maka kecepatannya v =

d: . -"-t, - csh3, J + Gcos 3, E

Itdanpercepatannya a = #= "-t, - lScos3rJ - lSstn3rk

(b)Pada r=0, f;=-i*ot dan fi=r-rrt. Maka

besarnya kecepatan pada t = 0 adaiah /e],lz;(8 = /nbesarnya percepatan pada t = 0 adalah /{T; e@ = hzs.

4. Sebuahpartikel bergeraksepanjangkurva x=2t2,y=t2 -4t,2=3t*5,dimanaradalahwaktu.Carilahkomponen-komponen kecepatan dan percepatannya pada saat , = I dalam arah i - 3j + 2k.

Keceparan = * = frlzrri + 1t2-4t1i + (3r-S)k]

= 4ri+121-41;+3k = 4i-2J+3l pada'=l.

vektor satuan datam arah i _ 3j + 2k adalah ffi

Maka komponen kecepatan dalam arah yang diberikan adalah

(4i-2j+3k).(i-3j+2k) -

(4)(1)+(-2)(-3)+(3)(2) =

ru- _ Bt/iln - ln - h4- 7

percepatan = * = *r*t = frlnrr+(2,-4)J+3kl = 4r+2J+0k.

Page 45: Analisis Vektor

DIrt:ERENSIASMKTOR

Maka kornponen percepatarl pada arah yang diberikan adalah

4l

gt?r .j!t ..0_!l .lkt _ (4) (1) + (2) (-3) + (0)(2)

f,rq

_,t/-u/rs

- -/n1

5. Sebuah kurva C tlidetllisikap oleh persalrraatl parallleter x = .x(s) )' =,v(s)' z = z(s), di mana s adalah pan-

jang husur C {iukur tlari suatu titik tctap parJa C. Bila r adalah vektor kedudukan dari sebarang titik pada C'

perlihatkan bahrva r1r/t1s adalah veklor singgung satuan pada C.

Vektor dr - !.,1+ yj + zk) = #", - b*t - 'i* menvinggung kurvax = 'x(s),

ds ds

l,= -v(r), z = z\s). Untuk mernperlihatkan bahwa ia adalah vektor satuan. kita perhatikan bahwa

=1

karena dari kalkulus (<1s)2 = (dx11 + (,dy)' + {dz)?.

6. (a) Carilahvektorsinggungsatuanpadasebarangtitikterhadapkurva. z =t2iL, y--4t-3, z =2t2-6t(b) Tentukan vektor singgung satuan ini pada titik di mana r = 2'

(a) Vektor singgung terhadap kurva pada sebarang titik adalah

'; = fila'*rl, + (4r-3)j + 12c2-or;kl = 2tt + 'ii + ({r-6)k

Vektor ini besarnya l*l = /fa? * <&* <+r-ef

Makavektorsinggungsatuanyangdikehendakiadalah T - 2ri + 4J + (4'-6)k!'Aa'?;@T136:i:P

Perhatikanbahwakarenal';l = fi,*unu , = m =';

(b)Padat=2,vektorsinggungsatuanadalah,=ffi=3,*i,-i*.

7. Jika A dan B adalah fungsi-fungsi skalar dari u yang diferensiabel, buktikan bahrva :

(o) !,a,st = "'# . ff'*, 6 !;(axB) = "'# * df *n

tal lte'gl = lim (A +AA)'(BJAB) - Ajl' du A2-0 Au

= rim a:4EjA:E-lA4:AE[i-o A"

= rim n.P r ti.u * *.n* = A.+ * *.sliz-.o - A, A, A" du clu

Metodelarr.Misalkan A= Ai+ 4l+ 4k, B =8rl + B;! + 8"k.'Maka

9rn."l = !g.re, + A2B2 + AsBs)d.u ' du'

tdr t

ds

-- re,d# . ,b* . uo*t * (#s, . ffa .'**, = ^.oi *

141 41a*sy = 1im (A+AA)x(B+AB) - AxB' ' du' ii-o A"

dA. rdu

Page 46: Analisis Vektor

limLu-O

limLu-O

li i k

ln, A2 As

l'* '# '#

DEI.-ER[,NSIASI VEKTO R

ijk44r 4!2 413du du d,u

81 82 g3

AxAg +AAxn +AAxAB&

,r'$+S,r*Aj,an = ^xd] +d4,8Au A" A" '- du tlu

Metodc lain. ll J k

f,re"n1 = f,ln, A2 As

la, 82 Bs

Pergunakan teorema diferensiasi dari determinan, maka hasil ini menjadi

dB dA= Ax -:-- + -;- xBdu d,u

8. Jika A = St2i+rj-r3k dan B= sin / i * cosr j, carilah {rl S Ur.B), (b) ft<e,rU, Ol *tr. e^1.

s fi6,'s1 = ^'d# . #'"

= (5r2i * rJ - r"k).(cosri + sinrJ) + (lort +, - 3r2k)r(siir!l - cosrJ)

= Sr2cosr + rsinl + l0rsin, - cos, = 15t"-l)cos, + llrsin,

Metodelain. A.B = Sr2sin, _rcosr. Maka

*rn.*, -- fi sr"in,- rcosc) = Sr2cosr + 10,sln, +,sln, - co6,

= 15t2- l) bos r + 11, sln,

aolff6^,") = Ax# + o,axw = I;i:, .1, fl .Ii:: _"1., -l,l

= [F sinr i - l3 cosl 1 + 1it2 sin, - r cosryk]

r [-3r2cosl I - St2sinrj + (-l0rcosl - sint)k]

= (r3sln, - 3r2cosr)l - (lscosr + 3l2sirll)J + (sr2sin, - sin, - 11, cosr)k

Metode lain.ri , kr

AxB = |Sr, ',

-*l = -r3cosri-r3sin,!+(-Sicos,-rsinr)k| "in, -cos! o I

Maka rl{exa) = lr3sinr-3r2cosrli- lr3cosr +3r2sinr)J + lsr2sinr- llrcosr-sinr)k

<"t fi<a,.A) = e.'* - #.^ = ,**= 2(St2! +11-13h1.(lort+r_Br2k) = 10013 +Zt +oF

Irlctotielain. A'A = 151c12 + 1112 + 1-1a12 = 26ta + 12 + ts

ua,Xa f;Qs{+f +t\ = 10013 + 2t + 6t6.

9. JikaAbcsarnyatetapnrakapcrlihatkanbahwaA dandAldtsalingtegak-lurusasalkan laA,/atl / O.

Karcna A besarnya tetap, A . A = konstan.

Page 47: Analisis Vektor

DEFERENSIASI VEKTOR

ruau jte.e) = A.*^ * *^.n = ,n.oi = o.

JadiA'ff =o dan A tegak-lrrr.ffasalkan iffi*o

10. Buktikanrarrwarf(,t.BxC)=A.B "fi*t-#"r*#.BxC,dimanaA,B,cadalahfunssi-fungsi diferensiabel dari skalar zr.

MenurutSoal?(a)dan7(D), fre'Orcl = e.'!*tsrc1 * jf'n"c

= a'[n,# . #,c] + ff'n,"c

= A.Bx# . n.ff,c * dfi't,"c

n. Hitungrah i".#-frr.Menurutro, fio.#"#, = v.ff,# . r.#,# .#.';"#

=v.ff*ff *o*o =r'#,#12. Vektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh r = cos t.rl i + sin olj di mana <,.t

konstan Perlihatkan bahwa (c) kecepatan v dari partikel tegaklurus r, (D) percepatan a arahnya menujutitlk asal dan besarnya sebanding dengan;arak ke trtik-asal, (c) r x v = vektor konstan.

(a) y = *= -.sina.[i + @ coso,tt

Maka r'v : l":'J:;l;:H,|.,:;:,;L'::; :",'"'

jadi r dan v saling tegak-lurus.

*to# =# = -.'cosa, I - tl.2sina,t!

= -..l.2 ["o" -, i + sin a.,, !) = - c,;2t

Jadi percepatan berlawanan arah dengan arahnya r, yang berarti ia mengarah ke titik asal. Besarnya

sebanding dengan I r I yang adalah jarak ke titik asal.

(c) rxv = [cos at I + slnr".t !] , [-r.., slna, I + a.r sosor 1]

iJkcosar, Blnor 0l = ar(cos2atr+sln2arr)k = alk,sebuahvektorkonstan

43

-(D sLn @t @ cos at 0

Secara fisis, geraknya adalah gerak sebuah partikel pada lingkaran dengan laju sudut @ yang tetap

Percepatannya yang mengarah ke pusat lingkaran, adalah pcrcepatan sentripeldl.

13. Buktikan , n*t-; - ,fi-" = i,rn-# - dLxB).

trn,* - 44xR\ = *;n"#t - |rff"nt

Page 48: Analisis Vektor

DEFERENSIASI VEKTOR

= ^"# . #"r# - ld*,a; . fr,d = n,# - #""14. Perlihatkan bahwa a. f; = e df

.

Misalkan a = Ati+A2t +Ask. Maka I = rT--tr;R

# = )<ei * ei + ef,y 4,qu,!!t * ze,ff * u,*t

ed# * e,ff * e"ff ^.# ta sa= ^

' Yansberartil#=*'*'

Metode Iain.

Karena A.A = A2, *rn.n, = *rn'r.

frre.rt = *af * *.^ = ,n.# aan. rt<a\ = uffMaka ,^.* = uff,uuu o.o* = n#.

' Perliatikan bahwajika A sebuah vektor konstan ^ * = 0 seperti dalam Soal 9.

15. Jika A = {222y -r'1i + ("'t*'y sinr)J + (z2cos7)k,carilah,S,lA. a'A, ?'A. a'e - _fedx oy'' dS' V' ;q' d;;;'

# = *r*"r-,1t + *r*-rsin,)J + $t'cos7)tr= (4rt -4:31t + (lexl -, cosr)j + 2xcosy k

# = *,*,y-,n)t + $<",t-7

sin:)J + $r,2cos7)rr

= 2r2l + (xexl- slnr)J - r2siny k

* = $rn", -{,3)i + lo"n -/ cosx)i + $rz, cosrlr

= (4y - l2e\7 + (72ex1 +, sinr) j + 2 cosy k

* = fi,r"r, -

$o).n -sin:)i - $r,, "inrrrr

= n + az{1 ! - x2cosy*,= x2exJj __ rrcosTk

a'-l - E,EA, - a?,7y Zr'4' '

Axzr2)i + ]e"'1 -sin')j - $c'"invlt

= 4x I + (ryexl +exl -cosx)i - 2r sinT k

+ = 3,$, = ?r*r-4r31i + 3-(,",)- aara, = artt) = A, oy' /cosu)j +

f(2xcos7)k= 4rl + (xyexlaef,r-cosr;1 - 2rsinyk

Page 49: Analisis Vektor

DEFERENSIASI VEKTOR

perhatikan buh*u E'A = D'o

vakni urutan diferensiasi tidak dipermasalahkan. Hal ini pada0y0x dxdy '

umumnya berlaku apabila A memiliki sekurang-kurangnya turunan-turunan parsial orde kedua yang kon-

tinu.

16. Jika 4G,y,z)=xyzzdanL=xzi-xyzi+yz2k,carilah$, (0A)padatitik(2,-1,1).

6l = @y2z'1ezi-xy2.!+yz2k) = 72y2227 - x2yazl + xfzet

$,+nl = j<r'l'r' 1 - x2y4zJ +ry3zsk1 = ?*2v22 i - rzf I + 3rfz2h

12

t'-ar<+nl = fi<uzf"i- x2yai *3xy3z2k) = 4ry2z i - bto i + 3ysz2k

*,Onl = j<+rt'rt*uyot+3ysz2k\ = 4/',i*ty'tdx'Oz Ox

Jikax=2,y---1 , z=I inimenjadi 1(-l)2(1)i-2(-1)4j = ai-2i.

l?. MisalkanFbergantungpadax,y,z,rdimanax,y,danzbergarrtungpadar.BuktikanbahwadF _ a.E _ aFfu - aFdl: - !E&dt = dt'ari'zydt'zzilt

di bawah anggapan diferensiabilitas yang sesuai'

Misalkan bahwa F = Fr(x;y.z,t)l + Fl*,y,z,t)J + Fr(x.y,z,t\\. Maka

dF = dFLt+dF2!+d\k

= t+ar + $r, **r, **d,7r + t*r, *ffu,.*0, *{a tt

?n t*" *ffo' .ff+ * $a'Jr

= (=ji * P1 * 9&r1a, * (9Lr + 9Li * ]&1ya,ot ot dt dx dz dr

rPr * P, * $*rr, - (+r * lEr * P11a,ol Oy dy dz dz dz

= $r, * $a, * Pay * $r,'otoloyoz

dan crengan demikian f = * . *,; . *,i - #r,

GEOMETRI DIFERENSIAL.

18. BuktikanrumusFrenet-Ser.t (r) # = xN, (6) 33 = -"*, (") # = rB-<T.

(a) Karena T' T = l, maka dari Soal 9 didapatkan trahwa T' f =0,yangberarti 41 1'gak-lurus

Jika N sebuah vektor satuan dalam arah f, *"t, # = *" Kita menyebut N normal utuma,

K kelengkungan dan p : llK jeiarikelengkungan.

(b) Misarkan B = TxN, nraka dE = 1r4 * #"n = r-f +,<NxN = rr#

Page 50: Analisis Vektor

DEFERENSIASI VEKTOR

Maka T. dB =

dN dBds f .Tx

; = 0,jadiTteeaklurus fr

Tetapidari B.B = I kitadapatkanbahwa B #= 0(Soat9),jadi 4E lsgak-lurus B dan

terletak dalam bidang dari T dan N

Karena -- terletakdalambidangdari T dan N dantegak{urus T, makaiaharuslahsejajar N;ds

.rtr$ = -rN. Kitamenyebut B binormal, r rcrsi d.anro = t/r ieiari-torsi.ds

(c) Karena T, N, B membentuk suatu sistem tangan kanan, maka demikian pula N, B dan T. yakniN = BxT.

rtlata f = Br# * frt = BXKN - 1rNXT = -KT +1rB = 1-B - /<T.

19, Buatlah sketsa kurvaruangx = 3cosr, / = 3sinr, z = 4t dancarilah (a) vektor singgung satuan T, (D) norrnal utama N, ke-lengkungan I( dan jejari kelengkungan p, (c) binormal B, torsi rdanjejari torsi o.

Kurva ruangnya adalah heliks lingkcran (lihat gambar di sam-ping). Karena t = z14,persxmaan kurvanyaadalahx =3 cos (z/4),.y = 3 sin Qla) jadi dengan demikran terletak pada permukaa;r silin-der x2 +y2 = 9.

(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah

r=d,r

dtdsdt

T

3cosri + 3sinrJ +

-3slnrl + ScosrJ

rdrr /E d,td.tt - y' &-dt (-3 sinr)2 + (3 cost)2 + 42 : 5

3 3 4.- Esrnrr + EcosrJ * 5r.

-|"o",t - fsinrt

x as r]0.

4th

+4k

dril

dr/dt __

ds /dt

6# = *r-$sin,t+$cos,i*f rldT dT/dt 3 3d" = d"/dt = - 2i cos' I - ,E=

sln' J

Karenadf, = xx, lf | = l"llxl =

Maka " = l#i = /;E*",r.oari f = r(N, kitaperoleh - = l f

(c) B = TXN

ijk

334--Sln, -cosl555

- cos, -sinr 0

f = f "o",t+f sin,J, 'r+

-7N - -T(- cosr I - slnr l)

.331(-6srnt)- = * dan. P=k

= -cosri - sin, j.

25

q-= - slnr l

5

43- - cosl I + - x5-5

1"o"ri + lsinri25 25

A.A* sinc I atau r=*

dB/dtds/dt

425 cos, r + t2s(r=-=-

T4

Page 51: Analisis Vektor

DEI:I.]RENSIASI VEKTOR 47

Buktikan bahwa jejari kelengkungan dari kurva dengan persar.uaan paranleter x = x(s), t' = y{s)' z = z{s)

, ,d' ,., ,d't,, ,i12 z,z'1-t1zdiherikanoleh P = L(-;-=) +(,+) +(-;-;)J

Vektor kecudu*." o*lr"o,,r,;:;,- ,".r';,rva adalah r = r(s)i + /(i)i + z(s)k.

Maka T =d'=dJt*dJt**X dan { d2x d2v rl2z'ds ds d,s- ds d;=dt"*iir+;7x'

retaoiff = xN sehinssa . = ln]*l = ffir #:W danhasilnvaiangsung

diperolehkarenap= 1

21. Pertihatkanbahua +.*"4 = +.ds ds2 dss p,

fr=r, &*=o#=.", * = "# - #N = ,((rB-rD *#n = KrB-^or*#n

dr d2t dt, dK-d"' d"2^ d"" = T ' /<N x (KTB - x"r + if xl

= T.(r2rNxB -KsNxT*. jf nrn) = T.(xzrT+x'B) = *" = ?

Dengan mempergunakan hasil dari Soal 20, maka hasil diatas dapat dituliskan sebagai berikut

'r '- Lk"l' + g")' * {r"\'1-'

di mana tanda aksen menyatakan turunan terhadap s.

I ,, y, ,,t,,lx y z

t,,lx y z

22. Diketahui kurva ruang x -- t, y = t2. z =jr', .ttif"ft (a) kelengkungan

(a) Vektor kedudukannya adalah r = ti + t2; * f l"f .

Maka dj=t*2'i*2"k

f=l';l=,/-;r#n^- . .-d, - dt/dt - i+%t+%2k

^ ds d,s/dt | + 2t2

K, (D) torsi r

l+2t2

*4t,i * (z-4t2)i + 4tk(r + 2t')'

{dt

N{akr.

_ (L * 2t2J(2i + 4tk) - (i-!ai + a2k')(4t) -(l + 2t2)2

dT - dT/dt - -4t1.+ (2-a!1!r qrx

d; a"n, e ,W-'_. dr -. rdr r lHtp;i_Ar_;18 _ 2Karenad- = KN, K = la"l = Ai-*)3- "--1 2;zrz

N = 14rxds

(b) Dari (a), - -2tl + (7 - 2t2)i + ztht+2t2

Page 52: Analisis Vektor

7+2t2

1-2t2T+W

48

B - TXN =

i

1

-1

a 2.e

r+2P

4ti + (4t2 -2)j - 4rk

-o rEf--

DITILRINSIASI VEKTOR

h

2t2

t;2P2t

1 +-*

2t2 i - 2ti + kt*27-Makr

SekarangdB

dt

-zti + (1 -2t2)i + ztk

4ti + (4t'- 2)j - 4rk{l + 2r'\

] . Karena * = -rn. kita dapatkan r =

dandB dB/dtds ds /dt

Juga. -711 = -, I 1+zt2

K = T untukkurva

Persamaan vektor singgung satuan t -ro1 , fo = 3Maka : Persamaan normal utama (i-ro) x No = 6

Persamaan binormal (r-ro) x Bo = 6

Dalam bentuk koordinat tegak-lurus. dengan. r = xi + /j +rnaan diatas berturut-turut menjadi

z-! _ y-l - z-2/3 x-l'T= z = 2 -z =

Persamaan-persamaan ini dapat pula dituiiskan

T" - i + 2i + zk, No - -2i--i + 2k,

Bo

Jika A adalah sebuah vektor yang diketahui sedangkan ro Can r be;turur-turut menunjukan vektorkedudukan dari titik pangkal dan terminal'rektor A, maka r - ro sejajar A dan dengan demikian per-samaanuntuk A adalah (r.-ro) x A = 0.

0+zffPerhatikan bahwa

23. Carilah pcrsaniaan-persantaan dalant bentuk vektor dan koordinat tegaklurus untuk (c) vektor singgungsatuan. (D) nortnal utarna. dan (c) binormal terhadap kurva dari Soal ll pada ritik di mana r = 1.

Misalkan T., N. dan Bo menunlukkan vektor-vektor satuan singgung. normal utama dan binormalpada titik yang dikehendaki. Maka dari Soal 22.

lnl

zk. r^ =i+j+ik persanraan-persa-"J

y-l =

z-2/3, x-t _ t-t _ z-2/3-122-21

dalam bentuk parameter (lihat Soal 28, Bab 1 ).

24. Carilah persamaan-persanraan dalam bentuk vektor dan koordinat tegak-lurus untuk (a) bidang oskulasi,(D) bidangnormal,dan(c)biciangyangmeralatterhadapkurvadariSoal 22dar23padatitikdimanar=1.

(a) Bidang oskulasi adalah bidang yang memuat vektor singgung satuan dan normal utama. Jika r adalahvektor kedudukan dari sebarang titik pada bidang ini dan ro vektor kedudukan dari titik t = 1, makar - ro tegak-lurus Bo, yangadalah binormal di titik r= l, yakni (r - 16). Bo = 0.

(D) Bidang normal adalah bidang yang tegakJurus vektor singgung di titik yang ditinjau. Maka persamaanyang dikehendaki adalah (r - ro) .To = 0.

(c) Bidang yang meralat adalah bidang yang tegak-lurusnormal utama di titik yang diti-jau. Persamaan yangdikehendaki adalah (r - ro) . No = 0.

Dalam bentuk koordinat tegak-lurus, persamaan-persanlaan (o), (b) dan (c) berturut-turut menjadi,

2(: - 1) - 2(y -L) + l(z -2/J) = g,

1(r-l)+ 2(y*l)+ 2(z-2/3) = O,

-2(x - l) - l(t - r) + 2(z -2/s\ = o.

Gambar di samping memperlihatkan bidang-bi-dang oskulasi, normal dan yang meralat terhadap kur-va C di titik P.

Page 53: Analisis Vektor

DEIIERENSIASi VEKTOR

25. (a) Perlihatkan bahwa persarnaan r = r(a, u) menyatakan sebuah permukaan

(b) Perlihatkan bahwa {j, - # nrenyatakan sebual-r vektor yang norntal terhadap permukaan di atas.

(c) Tentukan norntal satuan terhadap permukaan berikut dimana a ) 0.

49

r = o Cosu sin, i

(a) Jika u kita pandang berharga tetap,

katakan uo. maka r = r(uo, u) menyata-

kan sebuah kurva yang dapat dinyatakanoleh z = uo. Begitu Pula z = z, mende-finisikan kurva lainnYa r = r(u1, r).Dengan demikian. bila u berubah maka

r = r(u, v) menyatakan sebuah kurva yang

bergerak dalam ruang dan menghasilkansebuah permukaan S. Maka r = r(u, u)

menyatakan permukaan S yang dihasil-

kannya, seperti diperlihatkan dalarn gam-

bar di samping.

Kurva-kurvatt=uo,u = ut.... menyatakankurva-kurvatertentupadapermukaan'Begitupulav -- vo, v = rl , ... menyatakan kurva-kurva pada permukaan'

Dengan memberikan harga-harga tertentu untuk u dan v, kita peroleh sebuah titik pada permuka

an. Selringga kurva u = ro dan u = u9, akan berpotongan dan titik (u6, vd dapat ditentukan pada per-

rr,ukaan. Dalam hal ini kita mengataian bahwa (u, v) mendefinisikan lioordinat-koorditut kurvalinear

(curvilirrear corrdinates) di atas permukaan. Iika semua kurva u = konstan pan r = konstart saling tegak

iurus pada setiap titik perpotongan, kita menyebut sistem kobrdinat kurvalinearnya ortogonal. Untuk

pembahasan lebih lanjut mengenai koordinat-koordinat kurvalinear, lihat Bab 7.

Pandar,g sebuah titik P yang memiliki ko-

ordinat-koordinat (uc, uo) pada permukaan

,S, .seperti diperlihatkan pada gambar disamping. Vektor 0r/Du di P diperoleh de-

ngan menurunkan r terhadap tt, dimana

dipertahankan v = konstan = vo. Dari teorikurva ruang diperoleh banwa dr/0u di P

menyatakan sebuah vektor singgung terha-dap kurva v = vo di P seperti terlihat dalam

gambar di samping. Begitu pula dtldv di Pmenyatakan sebuah vektor singgung terha-

dap kurva u = konstan = uo. Karcna dtldudan 0r/0u menyatakan vektor-vektor yang

menyinggung kurva-kurva yang terletak pada

permukaan S di P, maka dari sini diperoleh

bahwa vektor-vektor ini menyinggung.per-

nrukaan di P. oleh karcna itu. fr x f,adalah sebuah vektor normal terhadapsdiP.+ = -, sinu sinu i + d cosu sinu Jdu

+ = rcosrcosul + osinucosuJ -csinulkdr

Maka

t

-c sinu sinr o cosr sinu 0

4 cos! cosu c sinu cosu -a srnu

-r2 cos, sin2u I - o2 sina sin2u j - o2 sinu cosu h

terhadap permukaan di sebarang titik (u, t').

+ asinusinui + acosuk

(b)

(c)

Er Er?a ?u

nrenyatakan vektor nornral

Page 54: Analisis Vektor

50

Normal satuannya diperoleh

diberikan oleh

DEFERENSIASI VTiKTOR

dengan membagi dengan besarnya la'0u

0r x atou ov

cos

inu

3rx

- l- vans

dv"

o4 cos2u sln4u * oo "in.rffi

a2 u uKaoo sin2 u (sin2 u * cos2 u) J

-a2 sine jika

oo lcos2 u * sin2a) sina DI

si

si

{

u+ 2,

iik

o stn-

sinu >.0sinu < 0

Jadi terdapat dua buah normal satuan yang diberikan oleh

t lcosu slnu i + sinu sinu 1 + cosu k) - *n

Perlu diperhatikan bahwa permukaan yang diberikan didefinisikan oleh x = a cos u sin v, t, =as\nusin v, z = a cos y yang mana darinya terlihat bahwa x2 + 1,2 i), = rr, Vr"g "a"f"fr

p..rnunuunbolaberjejari a_ Karena t = dn, makadarisinidiperolehn = cosB sinu i * sinr sinu J + cosu k

yang adalah normalsatuan berarah keluar (outward tirawn unit norn,al) dari permukaan bola di titik(u, v).

26. Carilahpersamaanuntukbidangsinggungterhadapoermukaan z = x2 +y2 ditirik (1 ,_1 ,2)_

Misalkan -x' = u, y = v, z = u2 +v2 adalahpersamaan-persamaanparameterdaripermukaan.Vektor kedudukan dari sebarang titik pada permukaan adalah

a-\Uakaij)= l+Zrk = t+'Oul2

Menurut Soal 25, normal

R

Vektor kedudukan dari titik (1, _1, 2) adalah Ro =i - j + 2 k . Vektor kedudukan dari sebarang titik pada bi-dang adalah

B = ,l +y! + zk

Maka dari gambar di samping. R _ Ro tegak_lurus n danpersamaan bidang yang dikehendaki uaataf, in _ R.) .n= o atau [(xi+yj+zk)_(i_j+2k)] t 2i+2j+kl= 0 yakni *2 (x - l) + 2Cy + l)+ (z _ 2)=0 atau2x-21t-z=2.

MEKANIKA

r = ui*uJ+1u2+u2)k

2k, $ = , 1'2uk = J-2* dititik(1, *1 ,D, a;manau=l dany=-l

n terhadap permukaan di titik ini adalah

= *-* = (t+2k)x6-2k) = -2tr.2J+k

27. Pcrlihatkan bahwa percepatankecepatan l diberikan oleh

a dari scbuah partikel yang bergerak sepanjang sebuah kurva ruang dengan

a = *, * 4*dtp

di mana T adalah scbarang vcktor 5ipggung satuan terhadap kurva ruang, N vektor nornral utama, dan padalah jcjari kelcngk trngan.

Page 55: Analisis Vektor

DEI]ER!,NSIASI VEKTOR

Kecepatan v = besarnya v kali vektor satuan singgung T atau v = vT

Diferei,siasikan. o ='; = ftorl = #, r "ffdT=4L4:=*Nf=KuN=,N

TetapidariSoal18(a), A = d, A - nnn p

Maka

Hasil ini memperlihatkan bahwa komponen percepatan dalam arah singgung terhadap lintasan adalah

dt,ldt dart t'2lp adalah dalam arah normal terhadap lintasan. Ko'nponen percepatan yang terakhir ini se-

ringkali disebut percepatdn sentripetal. Untuk hal khusus dari soal ini lihat Soal 12.

28. Bila r adalah vektor kedudukan dari sebuah partikel bennassa nr relatilterhadap titik O dan F adalah gaya-

luarpadapartikel,nrakarxF=Madalah torsi ataumomendariF terhadap O. Perlihatkan bahwa M=

dWldt, dimana H = r Y. mv dan v adalah kecepatan partikel.

51

jadi

dIetapr ;'(rxmY)

M=rxF

-- 1x j <^v)

-- r xfr@v)

drx-(mv)dt'd.r:xmvd,L

vxmY

u = j trx.v)

menurut hukum Neu'ton

,rfi<*rl + o

dgdt

29.

perhatikan bahwa hasil ini berlaku baik untuk m konstan atau tidak. H disebut nrcmentum-sudur. Hasil inimenyatakan bahwa laju perubahan momentum sudut terhadap waktu sama dengan torsi-

Hasil ini dapat diperluas dengan mudah untuk suatu sistem dari n -buah partikel yang masing-masing-

nya memiliki rnaSSa /D1, m2, ..., mn dan vektor-vektor kedudukan 11,12...., r, dengan gaya-gaya luar

Fr, Fz,. .., Fn. Untuk hal ini, n =i..^rrorrO adalah momentum sudut total M = *2=r'o'

FL torsi

total, dan hasilnya adalah M = # t.*;i, yang sebelumnya.

Seorang pengamat yang berada di titik asal O dari

suatu sistem koordinat xy z, mengarnati sebuah vektor

A = Ari + A2i +,43k dan menghitung turunannya ter'

hadap waktu sebagai ff ,. fr i- d# r- Ke-

mudian, ia menyadari bahwa ia dan sistem koordinat-

nya sebenarnya sedang berotasi terhadap sistenl koor-

dinat X Y Z yang berada dalam keadaan dianr dengan

titik asalnya juga di 0. Ia lalu bcrlanya, ' Bagaimana

pernyataan turunan terhadap waktu dari vektor Abagi seorang pengatllat yang berada dalant keadaan

diarn terhadap sistem koordinat X l'Z 2'

,a) Jika 4 ,, Orn f * rnasing-rnasing menyatakan turunan terhadap q'aktu dari A tcrhadap sistcrr'

yang diam dan yang bergerak, pe'rlihatkan bahwa terdapat sebuah besaran Veklor (, sehingga

d{r d{t.l = , I + orx{d.t I dt. III I[

Page 56: Analisis Vektor

52 DEF.ERENSIASI VEKT0R

/D/ Misalkan Dy dan D, masing-masing adalah simbol turunan terhadap waktu dalam sistem koordinatdiam dan yang bergerak. Perhatikan ekivalen operator

Dl = D* * a,(a) Ba8r pengamat diam, vektor-vektor satuan i, j, k sebenarnya berubah terhadap waktu. Oleh karena itu,

turunan terhadap waktu dari vektor A akan dihitungnya sebagai

(I) * = #, . fft r #o * n,oii * n,'; * A"'i yakni

(2) #1, = #l * e,#. * e,# A"#

Karena i sebuah vektor satuan, maka dildt tegak-lurus i (lihat Soal 9) dan dengan demikian harusterletak dalam bidang dari j dan k. Jadi

(J) # = d1r+o2k

Begitu pula, @) 'i = o"k + doi

(s) # = d6l+dsJ

Karenai.j = O, makaturunannyamenghasilkar-l..li * #.t=o.Tetapi t. fi=u, dari(4),dan

|i. t = d, dari (3) jadi do = - cr.

Dengancarayangsamadari i.k=0, tff *fi.t=o maka ctu=-dr; dai

i.x=0, J- o4 * oi.k

= o maka &o = - o:.

Jarti oi=orJ+dak, #r=o"*-drt, #=-orr-o", dan

arfi + erfi - 4# = FdtAr-d"2As)r + (d,!Aa- dsA), + (ct2A7+ d,rAr)k

yang dapat drtuliskan sebagai,

i' j k

lq -d2 a1

ln, A2 As

Maka bila kita memilih ds= @t, -dt= coz, gt= o)g determinannya menjadi

It r kllo,, o)2 -"1 = (nxAttlAt A2 A"l

dimana a -- a,17 + ia,2! + i.,,s|t. Besaran (, adalah vektor kecepatan sudut dari sistem yang ber-gerak terhadap sistem yang diam.

/b/ Menurut definisi Df = *l = turunan dalam sistem yang diam.dttf

O*n = #l^ = turunan dalarn sistem yang bergerak.

Dari (a), DIA = Dra + a,x[ = (Dt +orx)A

yang memperlihatkan ekuivalensi operator D, = D^+cox.

Page 57: Analisis Vektor

DEFERENSIASI VEKTOR 53

30. Tentukan (a) kecepatan dan (b) percepatan dari sebuah benda yang bergerak bila dilihat oleh.kedua peng-

amat dalam Soal 29.

/a/ Misalkan vektor A dalam Soal 29 adalah vektor kedudukan r dari partikel. Dengan mempergunakan

notasi operator dari Soal 29 (b), kita peroleh

(f) Dl, = (Dn+ @x)r = Dfrt + at\t

Tetapi Dfr = "ilf = kecepatan partikel relatif telhadap sistem yang diam.

Dnr = vpln = kecepatan partikel relatif terhadap sistem yang bergerak.

b)st =. vr, = kecepatan sistem yang bergerak relatif terhadap sistem yang diam,

Maka ( I ) dapat diruliskan sebagar,

(2) "flf = ,pl^ + otxr

atau dalam notasi yang diusulkan

(J) "Ar = "pr^ *

"nr1Perhatikan bahwa peranan dari pengamat diam dan yang bergerak tentu saja dapat bergantian. Jadi

pengamat diam dapat berpikir bahwa dirinya sedang bergerak terhadap pengamat lainnya. Dalam hal ini

kita harus mengubah indeks-bawah (subscript) m dan / dan juga mengubah c,; menjadi -o karena rotasi

relatif dibalik. Apabila ini dilakukan, (2) meniadi

"fl* = 'pv- atxr ^tuu 'frf = "pl*

+ a'xr

sehingga hasilnya berlaku untuk tiap-tiap pengamst.

(b) percepatanpartikel sebagaimana ditentukan oieh pengamat diam di O adalah Dlr = D7@7tL 1Tbil-

kan D1 dari kedua ruasnya (1), dan pergunakan ekivalen operator yang dib'uktikan dalam Soal 29(b),

maka

Df(Dfn = D.@rr +arxr)

= (Dfl+ o,x)(Drlt + arxr)

= D*(D*t + anxr) + Ax(Dnt + anxr)

= nlr + D*(coxr\ + arxDnt + arx(rdxr)

atau 4, = D2^r + 2a xD^r + (D,-ot)xr + arx(arxr)

Misalkan a.. - = D2.r = percepatan partikel relatif terhadap sistem yang diam'PII T

"pi* = ,jA, = percepatan partikel relatif terhadap sistem yang bergerak.

Maka ,rlf = 2a)xDmt + \Dn.l,) xr + a,x(a,xr)

= percepatan sistem yang bergerak terhadap yang diam

dan kita dapat menuliskan ,il1 = ,pl^ + ,*lf

Dalam kebanyakan hal yang pelting, a adalah sebuah vektor korrstan, yakni rotasinya berlangsung

dengan kecepatan sudut yang konstan. Maka D.ot = O dan

^rlf = 2otxD*r + @x(@xr) = 2cox v, + @x(arxr)

Besaran 2(nxvn disebttt percepatan Coriolis dan arx(arxr) disebut petcepatansentripetdl.

Hukum-hukum Newton hanyalah berlaku terbatas dalam Jrtem-ristem inersial, yakni sistem-

sistem yang diam atau bergerak dengan kecepatan tetap relatif terhadap suatu sistem yang diam.

Bumi tidaklah berupa sebuah sistem inersial dan ini disebabkan karena hadirnya apa yang disebut gaya-

gaya tambahan .khayal' (Coriolis, {an sebagainya) yang mana harus diperhitungkan. Jika massa sebuah

partikeladalahsebuahkonstantaM,makahukumNewtonkeduamenjadi,(4) MD2*r = F-2M(axD.t)-MLox(oxt)l

dimanaD- menyatakan dlr)t sebagai.mana dihitung oleh seorang pengamat di atas bumi, dan F adalah

Page 58: Analisis Vektor

54 DETjERI,NSIASI VEKTOR

gaya resultan dari sernua gaya-Eaya nyata yang diukur oleh pengamat ini. Kedua suku terakhir dalamruas-kanan dfi (4) sangat kecil sekali sehingga dalam kebanyakan hal diabaikan dan tak dipergunakandalam praktek.

Teori relativitas yang dikemukakan Einstein telah mengubah secara radikal konsep gerak-mutlakyang dihasilkan oleh konsep-konsep Newton dan membawa perbaikan terhadap hukum-hukumNewton.

Soal-soal Tambahan

31. JikaR = "-ti +rn1r2+ r11 - tan, k, carilah (o) #, *t# , u, lffl, Ul lfflPadar=0

Jawab. @) -i - k, (6) i + 2j, G)y'i, @.)y',

32, Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva x =2sin3t, y=2cos 3t,z = 8t pada sebarang saat , > 0. Carilah besarnya kecepatar dan percepatan.Jawab. v = 6 cos 3, i - 6 sin 3, J + 8k , a = -18 sin 3, i - 18 cos 3, J , I , | = fO . | " | = fg

33. CarilahvektorsLnggungsatuandisebarangtitikpadakurvaz = acoso)t, / =a sln o)t, z =bt dimanaa, bdan r^: adalah konsianta-konstanta. Jawab. -o@ sin at i + aa cos a), J + 6k

ffi34. Jika A = t27- ti + Qt+1)k dan B = (2r-3)i +J - rk, carilah

@ :, @' B'), b*(A x B), 6 fil r+a,1, <at fi6,ff) pada r=r. tr.,b. ll\;:,#l1r..r*,

n,r,

35. Jika A=sinui+cosL j+uk, B=cosul-sinrJ-3k,dan C=21 +3r-k. carilah f tnrtt"")

pada u=0. Jawab. 7i + 6j - 6k

36. Carilah * ".#

- # .., jika A dan B adalah fungsi-fungsi diferensiabet.

rawab. A.{+ - ':4."ds' d.s'

,237.Jika A$)=3fi-(r+4)j +qt2-2c1k danB(r)=sin,t+3.-tJ-3cosrL,carilahr!{axn)

pada r = O. Jawab. -30i + l{1 1 261

'38. Jika ff = rrr- 2qt2 i+4sin, k, carilahAbilapadasaatr=0,diketahuibahwa A = 2i+J dan

ff = -t- 3k at r=0. Jawab. a = 1f -t+z1i + 1t-zt\j + (r-4sinr)k

39. Perlihatkan bahwa , = "-t(C, cos 2, + C2 sin 21), di rnana C 1 dan C2 adalah vektor-vektor konstan, l

adalah solusi dari persamaan.difereisial fi - d! + s. = 0.

40. Perlihatkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial # - ,o* + to2: = 0, di manaa dan c^.r

adalah konstanta-konstanta, adalah

(a) r = .-ottcr"/7:iP t * "r"-,/Z-J

t, jika a2_., > o

(6) r = "-ot(CtrLnt6r-tt, ! { Czcos,/.r-a,q jika d2-a2 < O.

Page 59: Analisis Vektor

DEF[,RIiNSIASI VEKTOR 55

(c) r = .-ot(C, +C2r) jika q,2*G =A,

di rnana C1 dan C2 adalah konstanta-konstanta sebarang.

4r. pecahkan @\ !:i - +df, - * = o, o, o#'+ zdj +

Jay,ab. (a\ r =Crest *Cr"-t, (b) r = e-t1g, +C2cJ,

42. Pecahkan. ff = x, '# = -Y. Jawab. x : c1 cos, +

'2y'Stxo A = cosrr i + (sxy -u')i - l3z +2y11, carilah

.--\.

44j

-///

t=0, G)"# +&=0.

(c) r=Clcos2r+C2sh2,

C2 sln r, Y = Cr citr, - C2 cos.l

?e Ee ?'a ?'e 3'a ?'n

Jav,ub.7A -Or^2dA67

konstan dan i = nf-1 memelrtri ne.samaun $elektromagnetik.

?a-y sinxT i + (3y-4*)j - 3k, T = -., "I3 ,

, - .- o R: -,- cosr/ I - *J, >-i = -xvyd-A 2 . \d=A

- = -z- cosr" l.

-{-ov' 9!9-a2'\d'a

t 3r, - 2r,OA

ffi = -(xy ccxy + sin:/)l + 3J,

-

45.

Jika A = x2yzl - 2.223! + rz2 k dan B = 2zI +y.t -:2 1,carilah

*,u,r;r.itirik, .0.-)) lawab -1i-r: ?4 '(y,- , a) (. - 'Jika c1 dan c2 adalah vektor-vektor konstan oun L"orun*fo*,r"*,I.** urt*"1 l' "'-^U'(C1 sin tr/ +Cz cos ),y) memenuhi persama:rn diferensial e..rid # . #

t O.

Buktikan bahwa A = po"it(!- r/ct,

di mana po sebuah .vektor konstan,

(t - r')i + 2ti + 11 +r';hJawab. (a\r = [r$+t\

I(b)<=- * (d)B=(1 + ,-)-

2t l-t2l+t' l+t'

(r'-t)t - 2rJ + (12+t)ky'i6 + ?,1

o) dan c skalar-skalar

Hasil ini penting dalam teon

1

@) r= C_W

^^22dA l dAr dt c' O,'

GEOMETRJ DIFERENSIAL

47. Carilah (a) vektor singgung satuan T, /b/ kelengkungan K, (c) normal utama N, /d/ binormal B,dan (e) torsi r untuk kurvaruang ,=,-t3/3, y=t2, z=t+ts/s.

48. Sebuah kurva-ruang didefinisikan dalam parameter panjang busur s melalui persamaan-persamaan

, =arctans, y = L/it"<s2 + 1;, z =s -arctans(D) N, (c) B, (d) K, G)r, $ p, G)a.cariiah (c) T,

Jawdb. @) T

(6) N

_ i +.{i"j + s2 k- --2+ 1

_ -y'zsi + (t * s\l + y'isks2 + 1

-s2i-4sj+ks2+1

(d) x=

(e)r=

$) p=

. s2+lG) q= -----

r/2

liP-+ i/z

-s'+ 1

s2+l----=-v2

(c) B

Page 60: Analisis Vektor

56 DEFERENSIASI VEKTOR

49. Carilah K dan r untukkurvaruang 7= t, f=t2, z= ts yangdisebutkubikterbelit(twistedcubic)

z/gta+gt2i I(9t4+4t2+L\3t2 9f + 9r2 + I

50. Perlihatkan bahwa untuk sebuah kurva ruang torsi z = 0.

51. Perlihatkan bahwajejari kelengkungan dari sebuah kurva bidang dengan persamaan-persamaan

y= f(x), z-_ 0,

yakni kurva dalam bidang r1, diberikan oleh P = lt *

,tvrlrlillv I

52. Carilahkelengkungandanjejarikelengkungandarikurvadenganvektorkedudukanr=4cosui+Dsinuj,di manaa dan b adalah konstanta-konstanta positif. Interpretasikan kasus di fianaa = b.

Jawab. K = A;G;;#;e;Pd= |,.iit" a = b, nakakurvayangditinjauini,vangmanaadalah

sebuah elips, menjadi sebuah lingkaran berjejari a dan jejari kelengkungannya p = a.

53. PerlihatkanbahwarumusFrenet-serretdapatdituliskandalambentuk f = -rt, # =-t}r,'* = -ru

dan tentukan ar.

Jawab. ot = TT + KB

lix'dl54. Buktikan bahwa kelengkungan dari kurva ruang r = r(t) diberikan secara numerik oleh x = Hs . di

lrlmana tanda titik menyatakan turunan terhadap r.

55. /ai Buktikan bahwa ? = i.j+; untuk kurva ruang r = r(r). ttr d2r ds,lrxrl- +.-,i(b) Jrkaparameter t arialahpanjangbusur s, perlihatkanbahwa 7 =E'!*^=Of .

1d2 11ds2 y2

57. Carilah K dan r untukkurvaruang ' =0-sh?, y=l-cos9, '=qsinl9/\'| .------- _.-z _ (3 + cos/\cos9/Z + Zsin? sin9/ZJawab. x = ;/r- 2cos0, " = ffi2cos, _ *

58. Carilahtorsidarikurvaz =?*,, =4, z =t+2' Jelaskanjawabanda'

Jawab. r = 0. Kurvanya terletak dalam bidang -x - 3-r + 3z = 5'

59. Perlihatkan bahwa persamaan dari garis singgung, normal dan binormal terhadap kurva r = r/rl pada titikt = to dapat dituliskan berturut-turutsebagai t = to + tTo, r = ro A /No, t = to * rBo.ditrlauar adalah sebuah parameter.

60. Carilah persarrtaan'rntuk garis /a/ singgung, /b/ normal utama, /ci [rinormal terhadap kurva -t = 3cost,

, = 3sint, z = 4t padatitikdinranar=7r.Jawab. /a/ (iarissinggung:r=-3i+41tk+rt-|i *f ll atau x=-3,v=-?rl-' '=4r+1L

/b/ Normal : r = -31 +4lti+rl atau x= -3+t, y =47I, z=0.

1rl Binorrual :r = -31 +4nj+r1ft+fll atau x=-3' v=41t+t','=1''

56. Jika e=ixi. perlihatkanbahwa x= # "= ?;

Page 61: Analisis Vektor

1lI lrlrliI :-SIi\SI YI:IrTOR

61. Carilah persamaan (a) bidang oskulasi, (b) bidane normal dan /c/ bidang yang meralat kurva x = 3t - t3y=3(,z=3t+ r,padatitikdimanar= l. Jawab. (aly-z+I=0.(b) y+z -7=0,(c) x=2.

62..(a) Perllhatkan bahwa diferensial dari panjang busur pada kurva r = r(u, v) diberikan oleh

ds2 = Edu2 + 2Fdudu + Gilv2

E. E =,8.,, F = +.4 " = B.E =,?.r,.drmanao = ar'au = (aL) , f = ar';;, " = a"'8, = (?,

/b/ Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar sistem koordinat kurvalinear u, , ortogonal adalah F = 0./)6r,/Canlah persamaan bidang singgung terhadap permukaan z = xy di titik (2, 3,6). Jawab. 3x + 2y - z = 6

64. Carilah persamaan untuk bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan 4z = x2 - y2 di titik

ar ai

57

(3,1,2). Jawab. Sx -y -22 =4; a =3t +3, y =l-t, z =2-A

-X-55. Buktikan bahwa rrormal satuan terhadap permukaan t = r(u, u/ adalah a - t ffi. di mana E, Fdan C didefinisikan seperti dalam Soal 62. r/ EG - F'

I\{EKANIKA

65. Sebuah partikel bergeraksepanjangkurva r = (r3-4r)l +1t2+4t11 + (8e-3F1k, 6imanatadalahwak-tu. Carilah besarnya kornponen-kompcnen tangensial dan normal dari percepatannya bila r = 2.

Jawab. Tangensial, l6; normal. 2y'73

5?. Jika kecepatan sebuah partikel v dan percepatannya a sepanjang sebuah kurva ruang, buktikan bahwa

jejari kelengrungan dari lintasannya diberikan secara numerik oleh p = a=I v xa I

68. Sebuah obyek tertarik menuju sebuah titik tetap O dengan gaya F = f(r) r, yang disebut Saya sentral,(central force), dimana radalah vektor kedudukan dari obyek relatif terhadap 0. Perlihatkan bahwa

r x v = h di mana h sebuah vektor konstan. Buktikan bahwa momentum sudutnya konstan.

69. Buktikan bahwa vektor percepatan dari sebuah partikel yang bergerak sepanjang sebuah kurva selalu ter-ietak dalam bidang oskulasi.

70. (a) Carilah percepatan sebuah partikel yang bergerak dalam bidang x1, dinyatakan dalam koordinat-koordinat polar (p, d)

(b) A,pa komponen-komponen percepatan yang sejajar dan tegaklurus p ?

Jawah (o) r = t<i-pO'lcosd - <p4'*zi|lsindlr* l<i-pt't sin @ + <p'Q r ziO cos dl J

(b) i - pO', p4'* zbf

Page 62: Analisis Vektor

G RADI EN,DIVERGENSI DAN CURL

OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOR DEL, dituliskan V, didefinisikan oleh

t = 3 i * + j * 3k = i<? - jg * k3dx dy dz dx dy oz

Operator vektor ini :nemiliki sitat-sifat yang analog dengan vektor-vektor biasa- Adalah bermanfaat untuk men-

definisikan tiga buah besaran berikut yang muncul dalam pemakaian praktis yang dikenal sebagai gradien, dtvergensi dan curl. Operator V juga dikenal sebagai naDla.

GRADIEN. Misalkan Q@, y., z ) terdetinisikan dan diferensiabei pada tiap-tiap titil: (x, y, z)dalam suatuda-erah tertentu dari ruang (yakni d mendefinisikan sebuah medan skalar diferensiabel). Gradien Q,

dituliskan V@ atau grad @, didefinisikan oleh

va : <3, *3: * 3ur* = Ft * Pr *Pr.dx Ay dz ct oy oz

Perhatikan bahwa V@ mendefinisikan sebuah medan-vektor.

Komponen dari V0 dalam arah sebuah vektor-satuan a diberikan oleh [email protected] dan disebut turunan-arahdari @ pada arah a. Secara fisis, ini adalah laju perubahan g pada (x, y, z) dalam arah a.

DMRGENSI. Misalkan Y(x,y,z) = Yti + V2i + Vsk teldefinisikandandiferensiabeldalamsuaturia-erah ter-tentu dari ruang (yakni, V mendefinisikan sebuah rnedan vektor). Mzkadivergensi dari

V, dituliskan V. v atau div V, didefinisikan oleh

i * +k).(l{i + V2i + 4k)dz

Perhatikan arraloginya dengan A'B = 4Br, + A2B2 +

CURL. Jika Y(x, y, z) adalah sebuah ntedan vektorcurl V atau rot V. didelltrisikan oleh

A"B" . Juga perhatikan bahwa V' v I v 'V .

dil'eLensiabel maka curl atalu rotasi dari V , dituliskan

ov^Zz

v.v = (3i + +'dx dy

av^ av^Ez ?y

+

k

alzv

3

VxV aa(=r + - l'dt oy ,{r, lr(v11 + v2i + I/"k)dz

ij

aa?r ?i,

VY12

Page 63: Analisis Vektor

(;11AI)ll- \ 1)iVllR(;l-.NSl DA\ CtlllL

)i +

a ?l'- lr

I,. I. I

;i; zJ1?

?.' - Ez

a3x

l/1

aa?r Zz

lt'

av.\ 2.

j+

ct.=- )J +a\

alt, l*r; I

al. AV,( -- - =- )t(' ax aY

Perhatikan bahwa dalam penguraian determinan, operator-operator haruslah mendahului

q,.Y2,us -

(UMUS-RUNIUS YANG MENGANDUNG V. Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektoi yang diferensi-

abe1, dan d dan g fungsi-fungsi skalar dari kedudukan

{x, y, z\ yang diferensiabel, maka

1. V@*{l = V$ + Vp atau erud(O+/l = grad @ + grad rl

z. Y.6+B) = V.e + V.n atau div(A+B) = div A + div B

3. Vx(A+B) = VxA +VxB atau curl(A+B) = curlA + curlB

4. V.@A) = (V.r).A + d(V.A)

s. vx(@A) = (vd)xA + d(vxA)6. V'1axB) = B'(VxA) - A'(VxB)

7. VxlexB) = (B.V)a - B(V.A) - (A-V)B + A(V.B)

s. V(A.B) = 1s.V)e + (A.V)B + Bx(VxA) + Ax(VxB)

e. v.1v@1 = v2o = {4 - {1 . {+7x2 7y' 722

dimana $2= g - + * $ oir.uutoperarorLaplacedx' dy' dz'

10. 9 x(Vd) = 0. Curldarigradien@adalahnol.

11. V.(V x A) = 0. Divergensi dari curl A adalah noi.

12. YxlVxa) = VtV.el - V'a

Dalam rumus-rumus 9 - 12, dianggap bahwa d dan a memilikiturunan-turunanparsialkeduayangkontinu'

INVARIANS. Pandang dua buah sistem koordinat tegak-lurus atau kerangka-kerangka aguafi xyz dan x'y'z'(lil-rat gambar di bawah) yang memiliki titik-asal O yang sama tei:api sumbu-sumbu sistem

koordinat yang satu terotasikan (terputarkan) terhadap yang lainrrya.

Sebuah titik P dalam ruang memiliki koordinat-koordinat (x, y, z) atau (x', y', z!) relatif terhadap sis-

tem-sistem koordinat ini. Persamaan-persamaan transfor-masi antara koordinat-koordinat atau transformasi koor'dinal diberikan oleh

x'= l.,r+lpN+ltsz(1) y' ='lxx + lnT + lnz

z'=lsg+ln!+lssz

dimana lik, i, k= 1, 2, 3 menyatakan arah-arah cosinus

dari sumbu-sumbu x', y' dan z' terhadap sumbu-sum-

aaaox oy oz

^ (t,f,!)

t' (r',r', r')

Page 64: Analisis Vektor

60 GItAI)l llN. I)lVl-RGi..NSI I),rrN Ctil{L

bu x, y, dan z (lihat Soal 38). Dalam hal di mana titik-titik asal dari kedua buah sistem koordinat tidaklahberimpitan, maka persamaan transformasinya menjadi

(:, )

lnx+lpy+Lr,z+a'tl-r , lrry . !n: 'a':lsx+Lyt+lsz-aL

dimanatitik-asal O sistem-koordinat xyz berada di(a1', a2', a3') relatif terhadap sistem-koordinatx'y'z'.

Persamaan-persamaan transformasi (1)mendefinisikan slatu rotaslmunri sedangkan persamaan-persamaan

/2i mendefinisikan suatu rotcsi ditambah translasi. Sebarang benda-kaku memiliki efek translasi yang diikutitlengan rotasi. Transformasi (1) juga disebv transformasi ortogonal. Sebuah transformasi koordinat lineardisebut suatu transformasi afin (affine transformation).

Secara fisis, sebuah fungsi skalar atau medan skalar 0 (x, y, z) yang dihitung pada suatu titik tertentu harus-lah tak bergantung pada koordinat-koordinat dari titik tersebut. Jadi temperatur pada suatu titik tidaklah ber-gartung pada apakah koordinat-koordinat (x, y, z) atau (x', y', z') yang dipergunakan. Makabila Q (x, y, z)adalah temperatur pada titik P dengan koordinat (x, y, z) sedangkan 0' $', y', z') adalah ternperatur pada titikP yang sama dengan koordinat-koordinat (x', y', ,'), haruslah kita peroleh S (x, y, z) = Q' $', y', z'). Jike0 @, y, z) = 0' (*', y', ,'), di manax,y, zdan x', y', z'dihubungkan oleh persamaan-persamaan transformasi(1) atau (2),maka kita menyebut Q @, y, z) sebuah invarian (invaiant)terhadap transformasi ini. Misalnya,x' + y' + 22 invariandibawahtransformasirotasi (1 ),karena :2 + y2 + 22 = x'2 r-yt2 tr r'2.

Begitu pula, sebuah fungsi vektor atau medan vektor A{x, y, z) disebut sebuah invarian itka A(x, y, z) =A'(x',y', z'). Ini akan benar,jika

Ar@,y,2)i+ ArQ,y,z)i+A"(x,y,z\k = ALG,y',i)i'+A'r1r',y',ili'+A:@,y',i)k'

Dalam Bab 7 dan 8, ditinjau transformasi-transformasi koordinat yang lebih umumdankonsep-konsepdiatasdiperluas.

Dapat diperlihatkan (lihat Soal 4l) bahwa gradien dari sebuah medan-skalar invarian adalah sebuah medanvektor skalar terhadap transformasi-transformasi /1 i atau ( 2 ). Begitu pula, divergensi dan curl dari sebuah medanvektor invarian adalah invarian di bawah transformasi ini.

Soal-soal yang Dipecahkan

GRADTEN

l. ltka $g,y,z) = 3x2y - y"r' , caLilah Vp (atau gradd) pada titik (1, -2, -1).

vd = (*, - $: *!*1u,'v-v""'1

= t*G,'y-y'r') * ;f,6r"v-v'r''t * xl&"'r-v'12)

6xy i + (3x2 - 3y2 z2)i - 2y3 zk

6(1)(-2)i * {a(r)'-3(-2)2(-1)2}j - 2(-2)3(-1)F.

-r2i-gj-16k

2. Buktikan (d) V(F+G) = VF+VG, (D) V(FG) = FVG+GYF 'dimana Fd.anG adalahfungsi-fungsiskalar daLi x, y dan z yang diferensiabel.

v=

Page 65: Analisis Vektor

GRAI)l[N. I)TVIRGI]NSI l)AN CURL

(a)V(F, G) = <3r*Pt*?111ic,+c)Ox Oy Oz

= r$rr*cr * rf,<r*cl * *$<"*cr

='#.,ff-r#.,#.*9.*$= r#. i#. *$ -,ff.,#. *$

= (r++rP**Plr*rr3*13+*3lc = Vr+Vcot Oy Oz Ot Oy dz

(6)v(rc) =,*, **r *$r.rrrcl

= $,"",, * $rrcu + a3{r'G)r

= (r+ * cPrr + (rS * cslr + (r+ + cPlrou Ot Cy dy dz dz

= ",#,*$r*$rr + c(H,.#r*$*r = ree +cer

3. Carilah V@ jika {a) 6 = rn I r l, (6) d = }.

.(o) r=tt+yl+zk. Maka lrl=/*-y\r" dan d=rnlrl = i:lnlr'+y'+?1.

VO = LYtrr(r'+y'*"')

= *{r$ rna2+!2+*') + iS rn1,".+yz+22\ + y}n@'*y'**1y

= *ha#-*,, . ia#.a . Yz#*\ = 5## = i(6) vd = vtll = v(#'t = Y{@2+v'+,"-r4

= t*<r'*y'**;t/z * tf,{r,*t,*r,')-!' + x!62+rz+rz;t/z

= i{-l1rz+y2+*f shoy * J i-; 6z+rz+zz1-3/22y} * *{-.}@r+rz*rz1-3/22r}

_- -"t-yt-rL = _.(t2+y2arz1sn - ..

4. Perlihatkanbahwa Vrz = orn-'r-

y ,n = V <,/7 +y4 ,, \n = Y k2 +yz * "z1n/z

= ,* {6e+rz+,zrn/2 1 * if,{r,,*yz*"zrn/z} - o* {62+rta"zrn/zy

= 1{\qx2+y2+rrrn/,-, u) * i{\lrr+f +*\n/,-, zy} + x{\<*+y2*rrr,//r-r r,y

= n(x2+y2+zrr^/z-1 Ol + /j + z k)

Page 66: Analisis Vektor

62 uR,\l)ll );. i)l\ l.li(;l NSI I)AN ( ul{L

nrr

rrr di mana rr sebuah vektor satuan dalam arah r, maka grn = orr-, tt

^ -/o-t= n(rz\"t' r --

l)erhatikan bahwa jika r -

5. Perlilratkan b:rlr*,a V@ adalah seb',rh vektor yang tegakJurus pada pennukaan O(x,y, z) = c dimanacsebuah konstanta.

Misalkan r = r'i + 1'j + zk adalah vektor posisi untuk sebarang titik P(x, y, z) pad.a permukaan.Maka ir = d-ri + dvi + dzk terletak dalam bidangsinggung terhadap permukaan di atas pada P.

rcran! do = Ldr, * ?9r" , ?O r, = n ^, ?'a ar lm.-'*,.L'

'"^ *rr, ,ir, =0atau,e;,,;;j-;;k).(dti tdyi- dzk)=

yakni V@ . dr = O sehingga dengan demikian V@ tegak-lurus dr dan dengan demikian terhadap per-mukaannya.

6. Carilah normal satuan terhadap pennukaan x'y * 2xz

Y1*y+Zxz) = (2xy+22)l + r2i + ?ak = -2i

Maka normal-saluan terhadap permukaan di atas =

= 4 pada titik (1, -2,3).

+ 4j + 4k pada titik (2, -2,3).

-2i+4j+4k 1. 2. 2---:- = --t r -! '-l(./(-z\'+Gf*t+)2 3 3- 3

Normal-satuan yang lain adaiah f i - ?, - io yang memiliki arah berlawanan dengan yang di atas,

7. Carilali persanraan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2xz1 - 3xy - 4x = 7 pada trtik (l , - l, 2)

Y12rz2-3"y-4x) = (222-3y-4)i - sxl + 4xzk

Maka normal terhadap permukaan pada titik (1, -1, 2) adalah 7i - 3j + 8k.

Persamaan dari sebuah bidang yang melalui sebuah titik yang vektor kedudukannya ro dan yang manategak-lurusnormai N adalah (r-ro).N = 0(LihatBab2,SoallS.).Makapersamaanyangdikehen-daki adalah

atau

lq*i + y3 + zk)-(i*j +2k)]. (?i-Bj +8k) = 0

?(z-1) - 3(y+1) + 8(z-2) = 0.

8. Andaikan $(x, y, z) dan S@+M, y+Ly, z+Lz\ adalahtemperatur-temperaturpadaduabuahtitikP(x, y, z) dan Q(x + Ax, y + Ly,.z + N) dari suatu daerah tertentu, yang berdekatan.

(a) lnterpretasikan secara fisis besaran ffijarak antara titik-titik P dan 0.

(c)

_ a(x+Lx, y+Ly, z+Lz) - Q@,y,2) di mana As adalahAs

(b)

(a)

Hitunglah .fim F = di duninterpretasikan secara fisis." As-o As ds

perliharkar bahwa * = v* . d: .,/s ds-

Karena A@ adalahperubahantemperaturantaratitik-titikPdanQdan As adalahjarakantaratitik-A6

titik ini, O; menYatakan laju rata-rata dari perubahan temperatur persatuan jarak dalam arah dari

P menuju Q.

Page 67: Analisis Vektor

G Il,\ !)il N l)l Vl. ltc l.:isl i) 1\ ( t'R l

(b ) Dan kalkulus,

O+ = #O . # O, * #O, . :X:.1.r:t*,1-infinitesimal

berorde lebih tingsi dari Ax' Av''

Maka otl.o# = dr.#* . #^* .#*

atau & =P+ *Po, .q.-a,ds dx d.s ,i

* E d"

1d ,n"nyu,utan laju perubahan temperatur terhadap jarak di titik P dalam arah menuju Q'ds

Inijuga disebvt turunan bertrah (directional derivative)da'ri S

dq ?qa, deay bad, .3i. a@ Ao- .dx. d- dz,");; = f;;,;7, -#; = (A.'.fri-#u,'(;tt -j+*k)ot dr

= vq). _.)^

Perhatikan bahwa karena jI-

u6u1u1, vektor'satuan. V6.+ adalah komponen V{ daiam arahds 'ds

vektor satuan iili.

9. Perlihatkan bahwa laju perubahan terbesar oari @, yakni harga maksimum tulunan berarahnya' terjadi pa-

da arah vektor V{ dan besarnya sama-dengan besarnya vektor

d6Dari Soat a(c), Zi = W'qd, adalah proyeksi Vd patla lr;ah lL ' Proyeksi ini akan maksimum apa-

d6bila Vd dan 4 nremitiki arah yang sama. Maka harga maksimum dari ij- terjadi pada n131 Vf dan

' ds <ls

besarnya adatah l.Vdl.

10. Carilahturunanberarahdari @ = x2yz+4x22 paria(l'-2'-l)daiamarah li-j -lk'

* ==';-:;:X:' ,, '7'-,,1,',"Y1

+ f'!'+ 1*Y +*xz)k

Vektor satuan dalam arah 2i - i - 2k adalah

a = -:=l:l;1.=== = {r-i,-30/(2)'r (-1)- + (-3)'

Maka tururtan berarah yang dikehendaki adaleh

vd." = (8i-r-1ok)-rJr--}r-fur = T -+-T = T

Karena hasil diatas bcrharga positif. ini berarti p bertambah dalarn arah ini'

ll. /ai Dala;tarahntaiukalrdarititik(1. l. l).turtrrruubcrarahtlrriQ = x2.t'23 bcrlurgltttaksitrtunr'l

/bi BcLaplkah bcsarnyl halgr tlrtksin,trnl itri l

vQ = ::;':"* 1 ,,?""u,' i,:;_i,

- 3'27"2 k

Maka dari Soal 9.

Page 68: Analisis Vektor

64

12.

(IR,A DII,N. I)I\II]-R.(; I. NSI I).\N CT]RI.

/a/ turunan berarahnya maksimum dalam arah Vd = _*f _41 + Ut,(b) besarnya maksimuminiadalah lV+l = /@T@+eg = fi26 = E/h.

Carilalrsudutantarapermukaan-perrnukaan xz +y2 +22 =9dan z = x2 +y, -3 padatitik(1,-l,l).Sudul "rntara permukaan-permukaan pada titik diatas adalah sudut antara normal-normal pada per-

mukaan-permukaan di titik itu.

Normal terhadap xz + y2 + z2 = 9 di (2, -1,2) adalah

Y6, = Y(* +y2+r2) -- 2xi + zy! + 2zh = 4l - 2j + 4k

Normalterhadap z = x2 +y2 -3 atau i2 +.v2 -z = 3 di(2,_1,2) adalah

Yda = Y1r2+y2-21 = 2ei + zyJ - x = 4i - 2i - k

(94i.(VQz) = lVOrl lV6rl "o" d, dimana0 adalahsudut yangdiinginkan.

(qi-2i +4k).(4i- 2j-k) = I u,_ 2j +4k I I li_z:_* | cos €

16 + 4 - + = /@. 1-2n@ / Ga47i-r7;€*

dan cos0= JL=* = 0.5819i jadi suduttancipnya adalah0=arccos0.58tgetE 63

Maka

cos I

= 64o2s'.

13. Misalkan R adalahjarakdarisebuahtitik tetap A(a,b,c\ kesebarangritik P(x.S,,z). perlihatkal' bahwa VR adalah vektor satuan dalam arah Ap = R.

Jika ra danrp adalahmasing-masingvektor-vektorposlsi ai+D-i+ck dan xi+yj+zkdari.4 danP,makaR=rp_in=(x;a)i+6l_b)j+(z-c)k,sehinggap,=/<mf*ffi,uiiu

(x-dtl + (!-D)J + (z-c)k/-----____-y'qx-a1'+(y-bf'+(z-cf =ER

14. Misalkan ? sebarang titik pada elips yang titik-titik apinya berada pada titik-titik A daa B,seperti diperli-hatkan dalam gambar di bawah. Buktikan bahwa garisgaris ,4P dan BP membuat zudut-sudut y"ng ,urnuterhadap garis-singgung pada elips di P.

Misalkan R, = AP dan Rr = BP

Vn=v(@)=

adalah vektor satuan dalam arah R.

masing-masing menyatakan vektor-vektor yang digam-barkan dari titik-titik A dar' B ke titik p pada elips, danmisalkan ?" adalah sebuah vektor singgung satuan padaelips di P.

Karena sebuah alips adalah tempat kcduLlukan darisemua titik p yang junrlah jaraknya ke dua buah titiktetap A dan I adalah sebuah konstanta p, maka terlihatbahwa persamaan untuk elips adalah R r + R2 = p.

Menurut 5q21 5, VlRr+ftr1 adalah normal terhadapelips; oleh karena itu [V1Rr+Rr1] ..r = O atau,(V&)..r = _(vRl) .T.

Karena VR1 dan VRz :rdalah masing-masing vek-tor-vektor satuan dalam arah R1 dan R2 (Soal l3),maka cosinus dari sudut antara V?, cl"n T sarna-de-ngan cosinus dari sudut antare Vfi1 Jan T;karenaitu sudutnya sen<iiri adalah sama.

Page 69: Analisis Vektor

(;RAl)tliN. l)lVliR(; l)NSl t)Arv CURI

Persoalan ini mempunyai suatu interpretasi fisis. Sinar-sinar cahaya (atau gelombang€elombang suara)

yang berasal dari titik-api l, misalnya, akan dipantulkan dari elips ke titik api 8.

DIYERCENSI

15. Jika A = x2zl - 4t", I + xy2zlt, makacarilah V.A (ataudiv A) padatitik(l,-l,l).

tPr * P1 * $ll . (;2zt - rysz2 ! + rv2zli)Ox Oy Oz

]t,'"1 * !<-2r",'\ * j@r',1Ot Ol

\bz - q2z2 t xy2 = 2(r)(r) - 6(-1)2(1)2 + (1)(-l)2 = -3 ii(1,- 1,1)

V.e =

16. Diketahui 0 = 2x1y2za. (a) Carilah V.V@ (atau divgrad 0). (b) Perlihatkan bahwa

dimana V' = 4 * -{ * a" menyatakan operator tapiacian.lx2 7y2 722

1o1 Vo = t*<2"'yr".1 + 1$ptf,'t , tf.wY,lli

= &2/2zo'i + 4zslza ! + g"3y2r3 |

Maka V.V@ = ,*, *$r * !n.<*'r'ft+4zsyza!+s,3y2,'t1

9-v6 =g'4,

aaial V.Vo = r*l + *tOx Oy

aad= =-(<-) +

Oz Ot

^1 12oo'a"' At'

17. Buktikan rrun*, 'V;1|1

lr*1+', * f;<n*r*t * !<esr',"t

L2.zy2za + 4rsza + 24zsy2z2

* 3rr- rPi * P, * P*,dz da dy dz

a ad a ad a'6 a'6 a'ot(t)*.,(t)=AF,V*a,,

. #,r = v'6

=0.

v'rlr =,*r.*.$,,ffi'a- ldt y'rz *rz * 2

dr.dx' y're *rz *rz

lo, *r,**)-7/2 = -*(r2 +rc*rzr-sh

![-, <,' * r' + ,'\-3k)

gr2(12 +),2 + *f,/z - pz +rz * "r)-"/'

Dengan cara yang sama,

Page 70: Analisis Vektor

(r('\i)ll:N. lrl\ t.R(,i.N)i l).\i\ ( LRL

?'rtr-E-r2-r2A21,-zr'-r'-y'q(r,Vrr*rr' = orrr"rr* dan d7(ml = p-r4$v,

Makadenganmenjumlahkan. ({ . { .€r,-:=r-, = 0.Ot dy' dz' y'x2 +y2+ z2

Persamaan Y'O = O d.isebut persdmaan Laplace. Dengan demikian, e = 1 lr adalah solusi daripersamaan ini.

18. Buktikan: (o) V.(A+ B) = V.A + V.n(6) V.(dA) = (vd).A + d(v.A).

1al Miselkan A = Ari + A2i+13k, B = Bri +Bzj + gsk.

Maka V.1e+n1 = f9, * $t * ]r,1. k4*ar)t + (L+B)i + 11.+8")k).Orqdz

= P,a*q, * p1e,*a; * 3ra*alox Oy dz' "

=+..+-g'*?f'*93.P'ouOydzdxqdz

= 19, * $i * $*1.qr,, +Ad+Aak\Ox dy dz

* <P, * ^31

* 3*1.<rr, +8"J +4r)&oyoz

= V.e + V.n

1ay V. 1@n,1 = Y.(6,qi + +A2i + e&k)

= $,0r,, * $<de,t *

$<d;"r

= ffn, - o* *#n,. o+ *#n" . 6*= !n, . ffn, *# n, . rr* . * .*,ax

a6.= ,?,r.S, -$*,.,r,r +A2i+Ask). ,,*,.*, *$*r.<r,, +A2!+Ask\

= (Vd).A + @1V.e1

19. Buktikan V.( !) = 0 .r'

Misalkan d = r-3 dan 4=rdalam hasildariSoal 1g/6/.

Maka V.(r-3r1 = 1Vr-3).1 + 1r-3)V.r

= -3r-sr.r + 3r-3 = g, pergunakanSoal4.

20. Buktikan'v.Qvy -vYul = uY'y - vv2u.Dari Soal l8(b), d,enean Q = lJ dan e ! VV

Y.tuYvl = 1Vu1.1Vrzy + u(V.Vv,, = tVut.1iv,1 * uy,v

Page 71: Analisis Vektor

c,llAl)l aN. l)lV tjR(;llNSl l)AN Ct'Rl 6"1

Pertukarkan U dan Y

Kemudian kurangkan,

menghasilkan Y. <v YUI

9.<uYvt - Y.tv Vui =

= (Vv).(Vu) + vY"tt.

Y.pYv -vVu\tVul.tVvl * uY2v - ltVrrl.tVul+vY2u)uV'v - v92u

21. suatu fluida bergerak sehingga kecepatannya pada sebarang titik adalah- t(x, y, z)' Perlihatkan bahwa. ke-

hilangan fluida (the r." "i n"ial pei satuan uolume per satuan waktu dalam sebuah ernpat-persegi-panjang

kecil yang memiliki pusat di P(x, y, z)dan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu'sumbu koordinat yang besar-

nya masing-masing Ar, Ay, Az.secara pendekatan diberikan oleh diu v = v' v '

r

Dengan melihat Pada gambar diatas

komponen x darikecepatan v di P = ',

komponen x dari v padapusat sisiAFED = ul

komponen x dari v pada pusat sisi GIICB = t7

- 19r a,2?xt?u. ^+ _ __--! L\a2?x

Maka (1) volume fluida yang melewati AFED pet satuan waktu = ("1

(2) volume fluida yang melewati GHCB pet satuan waktu

Kehilangan dalam volume per satuan waktu dalam arah x

(vr

(2)

kurang lebih

kurang lebih

-rL&rAvAz22,* 1 ?''t Art Av Az .

LOx

- (1) = 91 a,arl..Z"

Dengan cara yangsama, kehilangan dalam volume per satuan v/aktu daiam arahy - I UN4'.dy

kehilangan daiam volume per satuan waktu dalam arah x = f l't 6t 6' 4" '

Maka, kehilangan total dalam volume per satuan volume per satuan waktu

cL. ;l' 1,., ) r \ \:

'C1 -Y '. = l,1 = V'V

-1t 1:r. -:.

Ini se.ara eksak benar hanya dalam limit empat-persegi-panjangnya menyusut rke

titik P' yakni bila Ax'

Ay dan & menuju nol. Jita tak ada kehilangan nulOa ai *unuprr., *u1u V v = 0. Ini disebut per-

samaan kontmuitas (continuity equation) untuk fluida tak termampatkan (incompressible)' Karena

fluida tak diciptakan maupun dimusnahkan pada sebarang titik. maka dikatakan bahwa ia tak memiliki

sumber (source) dan sungap (sink). Sebuah vektor seperti v yang divergensinya nol kerapkali disebut

solenoidal.

Page 72: Analisis Vektor

68 GRADIEN, DIVLR(]I:NSI DAN CURI.

i

a1

2x +22

25. Buktikan: (a) VX(A+B) = VxA + VxB, (6) Vx(dA) = IVdl rA + d(VxA).

Iai Misalkan = AJ+Ael +131, B = Brt +Brt +8"&. Maka:

;)).vx(A+B) = ,;,*;j. a"ul , l(,qrrBr)t +(A2+82)i +1x.+8.1k]

aaaa,ua.At+81 A2+82 A"*?"

22. Tentukankonstanta a sehinggavektor V = (r+3/)i + 1y-Zzlj + (x+dz,)k adalahsolenoidal.Sebuah vektor V adalah solenoidaljika divergensinya nol (Soal 2l).

V-v = .4"+3yl + 3(y-zz) + 3r, +az\ = I + I + aox Oy dz'

Maka Vy=a+2=0 apabilao=_!.

CURL

23. Jika A = xz? i - ?.x2yzj + 2yzo h, carilah Vx A (ataucurlA)padatitik(1, -1, l).

);)vr A =,;, + ay:i

+ fk)x1xz3 i - k2tzj + 2/.4k)

i i -la a _?lE, i, el

,r" -2x2yz zy""|

= l]<zr".t - *"r-*r,rli * [f 1,.3v - !,rr"^11, * i*.<-r*r,r - f r,""y]x

. 12za + 2z2y)i + 3xz2 i - 4*rry = 3j + 4k di (1,-1,1).

24. lika A = r2yi - Lrzi + 2yzk, carilahcurlcurlA.

curl curl e = Vx (Vx e)

= V, 33+ox cy iz

,2y - bz Zyz

= Y " le, +22)i - (r2 +2r)k)

j

aa.y

0

k

d<'Oz

2^

= (2r+2)l

Page 73: Analisis Vektor

(,ltAi)ll:N. I)lVllR{;t.)Sl lrAN ('Lilll.

i- r4,*8.) - !,{arnarii , l{otr.a,l - fr<1"*a.lJJ

, [;a rx,'r, - ; (,41+81)lk

la4_r_a1,li , [-a1,-1r"],. t+-Plut -

- al ' ' d, ?' -- D" dY

i 19& - U'li . l* - *t, . i+ - lglu),'' 'Ez E'- dx dy

V,A ' V,R

Vx(OAJ+Qarl+$,erx\

i i tIa a al

-lDz A1 d, I

QA, QA, AA"l

t.3<e+r - $rd.aali * l.!<ae,t - $,++,1, * t$<o+r -

t-*td4li roy

t+* * j e, - o* - PrJ,dy dy dz az.

. td* -ffn, - d* - #r", I . @* -'#n, - oa+ - ?9e,1r

ok'g*-1&,, * 1!{^,-*,, * 13{^,-*r*l' dy dz dz .dx ox oY

* [rPe" -!0,r,qdz,Po, -9r",, o <Ye,- Pr,lul'dz ' dx ot oY

69

to) Vx (de)

Maka Axr =

= 4i1Vx A) +

ia+?r

Aa

+

J

ad?y

A2

k

ad7"

A3

26.

= glVx a) + lVgy x n

Hitunglah V-1ex r) jika Vx A = 0.

ivlisalkan A = AJ + A2! +/"k, r = xl + yt + 2

)" ); ll

k-

= (zA2- YAs\t + 1xA3 - zAi! + UAt- rA)l

dan v-(r'r) = !1,tr-y,t"l * $ae"-za1\ + !on'-'n'l

ZA, ?1" - -a!9 - ,7A, * ,?-" - ,9+

Page 74: Analisis Vektor

10 (;RAl)ll:N. llll l:R(;l.NSI t)AN ('tiltl

,,*-*, * rt*-*, *,1!-*,dy dz dz tx' '?: Al

lxr + y1.,*J. trf -*rr- (# - *,, . (*-$r*rr.1Vxe1 = r.curlA. Jika VxA=0 inimenjadinol.

Buktikan:1c1 Vx1VS1 =g (curlgradd=Ol, (6) V.(VxA) =0 (divcurlA=0).

(o) vx(vd) - v,.#,.#,.#*,t J rla a ala, a, a,lad a@ adla, a, tl

= t+(#) - jrff,i, . i.3r$, - $,$,r, - t*,#,- $rffrr-= ,#-$,, r,*-#,, .,ffi-;*" = o

asalkan kita menganggap bahwa @ memiliki turunan-turunan parsial kedua yang kontinu sehingga urutandari tururrannya tidak pcnting.

111 V. lVxal = V. aaa?" ay Zz

A7 A2 A3

27.

= v-[i+ - +)r * (+ - 1b,, . (y2- *r*tay az Az dx Ox df

? . E,r. ?A, ? E,l, AA" E 3;" 7e,dx ay dz dy dz dx dz dx dv

ar. \2. 12 -2 -2 ..;.=

A" _ 34, * dA, _ dAs . dA, _ d.{r = o

?, E1 ?, ?r )7 E, E7 ?, D, E. D. l-'

dengan menganggap bahwa A memiliki turunan-turunan parsial kedua yang kontinu.Perhatjkan kesamaan antara hasil-hasil diatas dengan (C x Cm) = {C x C)m = 0, di mana /n scbuah

skalardan C.(CxA) = (CxC).A = 0

28. Carilah cutl lr Jft )) di rnana l/ri diferensiabcl.

curl (r f(r)) = V x (r f(r))

= Vx(zfr,r)i+rfU)i + z /(r) k)

tIIol

a. I

' f,', I

I

d

u

J

-?_ay

, f(,) y f(,)

Page 75: Analisis Vektor

(iRr\DllrN, lriVf:.RGl.NSl l)AN ('UR L

-- (,?/-illr . r,S-"*,, * tvS-'{'u-1 'Zr" '"E, d'- 'dx iv

T.t",,i 9I . rZ,r!:) - ii.l tr,\\"r) = -!9:: = f-1.' dx dr ct ar Cx y'*?+y2+"2 r

Dengan o." ,"r'i o,nr, * = + "^" *= + .

Makahasilnya = (,+-r+)t + @+- ''*r, * o+ -'f|" ' u'

29. Buktikan V x lVxA) = -V'?n + V(V.e).

iJk

Vx lVxa) = V* aaaV, ?y ?"

.4.. A2 A3

7l

- V* , Zs- ?s^l(_-__-)i rd7 .dz

11r-1&,, - (*-1L,*lCz dx cx cY

I

adt

ady

k

da,

?e" 7A, E.4, ?a, dA, 7A,-r-E a,-;; ;;-;r.. a 7* d,q. D E,l. ?,4o , .L a(- _

=) _ .^ ( ^:

_ _1")Jidy 'Ax Oy Oz oz ox

, D 3x" AA" ? Ex" E,{,. r .+ t: (---) - ^ (:l--)lidz dy dz dx dr dy

- t3,%-*, - 3,*-*rt*dz Cz dx dy dy dz

A2n )2t a'.a- a'A- a'; t2',# -#r, - eo#-.#tt . ?"#-ff'*-,r'n, *=.'X.,, . ,?'+ -1r,, - (+.9+,n- (:. a, c.a." '?rEy Er?7'- 'd*1. E'?''

in, 3'0, ai,., ,-i1, - {t, -in,r, * ,-{!, - a'1" - a"4",'ue ;-#- a=,,

* e a?- - df - az2)r * t-17 - a; - rrt"

. , 1. !o-, * !'* r,. ,li ,{+. g*-,, - ,* .* - *,-' 7.,? D7 E, ?. Dr' 'D. ?v dY' d' C' cr dz dY cz dz'

- (+r'^ - { - d-, (Att + A2r + A3k)dr' dv' dz'

- ,*,* .* rtu&, -,i,* ,X'-*, - *;1,#,'-*l . *,

Page 76: Analisis Vektor

curty = 7x v = Yx (arxl) = O, l.', :r,

l, v

GRADILN, DIVEI{GLNSi DAN ('LIRL

-Y'e, , Yr?ll . d'q, -dA"tox dy dz

-V'A * VrV.al

k

a3

z

= Y , f@r" -r,4fll + (ayx - tDrz)l + (a* -r,,2")\)

Bila diinginkan, pekerjaan menulis ini dapat dipersingkat begitupula dengan turunan-turunan lainnya de-ngaa hanya menuliskan komponen-komponen i karena yang lainnya dapat diperoleh berdasarkan simetri.

Hasil di atas dapat juga dibuktikan secara formal sebagai berikut.Dari Soal 47 (a) , Bab 2,

(1) Ax(Bxc) = B(A.c)-(A.B)c

.lnrbil A=S=V dan C=F,

VxlVxny = V1V.ny-1V.V1 r = VrV.nt_fnPerhatikan bahwa rumus /1/ haruslah ditulis sedemikian sehingga operator-operator A dan B mendahuluioperator C, bila tidak demikian maka rumus ini tak dapat digunakan.

30. Jika v = o) x r, buktikan (n = ,, cwl v dimana ar adalah sebuah vektor konstan.

I=li

a?,

J

aa/

k

a?, = 2(r,ttl + a2J + c.3k) = 2d,| --

II ds2z - a4y asx - a)tz o:y _ a2x

Maka ar = iVrv = lcurtv.

Soal ini merrunjukkan bahwa curl dari sebuah medan vektor mempunyai hubungan dengan sifat*ifatrotasi dari medan. Ini diperkuat dalam Bab 6. Jika medan F disebabkan karena fluida yang bergerakmisalnya, maka sebuah kincir air yang ditempatkan pada berbagai tempat dalam medan akan cenderunguntuk berputar dalam daerah dimana curl F * 0, sedangkan dalam daerah dimana curl F = 0 maka taIIakan terjadi perputaran (rotasi) dan medan' F disebut irotasional. Sebuah medan yang tidak irotasionalseringkali disebut sebuah medan pual otou uortri, (vortex field).

31. Ilila'v'E =0,v'H =0,vxE = - $,vru = $nerlihatkanbahwa

E dan H memenuhifu

VxlVxry = Vx(-$, = -?r<v,nl = -*,*, = *DariSoal 29, YxlVxsl = -f" *V1V.e1 = -fr. Maka f" = *.

Begitupula, V,1V,ny = V,,*, = *,Or", = a?,-J}, = _#

Tetapi VxlVxR) = -V2R + V1V.ny = -fu. Maka tr, = #.

2

=?uIt'

Page 77: Analisis Vektor

(lllAl)iLN. l)lVlrlt(;t,NSl l)AN ('iiR,

Persamaan-persamaan yang diberikan di atas berhubungan Jengan persdmodn Maxwell dalam teori12 12 ^2 ^2elektromdkneti&. Persamaan 9"_ - *+ * {i = *+ disebut persamaan gelombang.Ox' Oz' da'

(5)

(6)

73

SOAL-SOAL ShRIIA ANEKA

32. (a) &buah vektor V disebut irotasional jika curl V = 0 (lihat Soal 30). Carilah konstanta-konstanta

a, D, c sehingga

Y = (r+2y+az\i + (br-3y-z)t + (4r+cf+22)k

irotasional

/Di Perlihatkan bahwa V dapat dinyatakan sebagai gradien dari sebuah fungsi skalar.

ra curr\' = Vr\' - I ; :,

" I = (c+r)i { (a-4)i + (6-2)k

x+2y+az bx-31 -z 4x*cy+17

Inisamadengannolapabila a = 4, b = 2, c = -l sehingga

V = (, +2y +42)l + (?., -3y -z)t + G, -y +22)i

(b) Anseaptah.v ='?6 = P, * P, - -^@*dx dy dz.

ad a6 adMaka (I) * = ,*A +4,: (2) i = b-tv-2, (J) e; = k-v *2r.

Integrasikan (t) secara sebagian terhadap r, dengan mempertahankan / dan z konstan,maka

(4) O=+!bt+4*z+l(y,z)dimana f (y, z) adalah suatu fungsi sebarang dari y dan z. Dengan cara yang sama maka dari (2)

dan (3) diperoleh

e = 4y -+ - yz + s(r,z)

4 = qzr-lz + z2 +h(r,71.

Perbandingkan (4), (5) dan (6) maka terlihat bahwa akan terdapat suatu harga 0 yang sama apa-

bila kita memilih-3v2or2r-r23v2f(y,z\---:t-+z', g(x,z)=1'"', h(x,y)= Z- 2

sehi ngga

6=+ Y*,r*2ny+4;tz-yzPerhatikan bahwakitadapat pulamenambahkansebarangkonstantapada p. Pada umumnya jika Vx V = O,

maka kita dapat menemukan @ sehingga V=Vd. Sebuah medan vektor yang dapat diturunkandarisebuah medan skalar { sehingga v=Vd disebut sebuah oedan vektor konservatif dan @ disebutpotensial skalar. PerhatTkan bahwasebaliknya jika v=Vd, .maka Vxv = 0 (lihat Soal27a').

33. Perlihatkan bahwa jlka g(x, y, z) adalahsebarang solusi dari persamaan laplace, maka V@ adalah se-

buah vektor yang bersifat solenoidal maupun irotasional.

Menurut hipotesis, @ memenuhipersamaan Laplace itf= o,. yakni V.1V@1 = 0. Maka V@ aaa-

lah solenoidal (lihat Soal*oal 2l dalr22\.

Dari Soal 27a., 9 x tVdl = o sehingga V@ adalah irotasional

Page 78: Analisis Vektor

74 (;RADILN. Dl\/il{(il:NSl l).\N ( UIiL

34. Berikan definisi yang mungkin dari grad B.

Anggaplah B = 8ri + 82J + 83k. Secara formal, kita dapat mendefinisikan grad B sebagai

*rl <ari + B"j + Brk)da

Vs

i -a11ii

i.aeij

l.a21jl

i -aeekj =

(:' i

;;(ai++J+Ct dy

aB. ?n^ 3n.= + ii * i?i1 + ::13 ikAx Ax dt

aB, . aB" Ea"_-'jt+:jj++lkdy 9t dy

Da. da^+ -_

- hi + =i kJ +dz Cz

tsr"--: kkOz

Besaran-besaran i i, i j, dan seterusnya disebut dyad-tlyad satuan.(Perhatikan bahwa i j misalnya tidaksama dengan j i..).

Sebuah besaran yang berbentuk

arii + oeij + dfik + arrii + aoii + a%lk + aokl + orrkl + aokh

disebut sebuah dyadik (dyadic) dan koefisien-koefisien ar t , dtz, . . . adalah komponen-komponennyd.Susunan dari kesembilan komponen ini dalam bentuk

35.

I

disebut marriks berukuran 3 kali J. Dyadik adalah perluasan dari vektor. Perluasan yang lebih lanjutmenghasilkan triadik (triadic) yanr adalah besaran yang terdiri atas 27 buah suku berbentukalsl iii+a21v iii +... Studi mengbnai bagaimana komponen-komponen sebuah dyadic atau triadic bertransformasidari sistem koordinat yang satu ke yang lainnya memperkenalkan subyek analisis tensor yang dibicarakandalam Bab 8.

'Misalkansebuahvektor A didefinisikanoleh A -- Ari+A2i+,4.3k dansebuahdyadikr[.oleh{r = arrii + arrii + osik + arrji + a22ii + ar"jk + rhtki + arrkj + a."kk

Berikan definisi yang mungkin dari A . O

Secara formal, anggaplah hukum distributif bertaku,A.O = (A1i+A2j +l3k).c) = A7i.a+ A2i.o+ l3k.o

Sebagai contoh, pandang i' O Perkalian ini dibentuk dengan mengambil perkalian-titik dari idengan tiap-tiap suku dari O dan hasil-hasilnya dijumlahkan. Contoh-contoh yang khas adalah l. a471,7. a12it, i'qttt, i'"s2ki, dan seterusnya. Bila kita berikan arti terhadap perkalian ini sebagai berikut

;)

= alr7 karena i.l = 1

= opJ karena l.l = 1

I:arena l.J = 0

-- 0 karclra i.k = 0

o11(i. i)lcp(i - i) j

o21(i . j) i

%:(i'k)i

dan berikan pula interpretasi yang analog terhadap suku-suku j ' @ dan k ' Q, maka

A.O = A|@irai+ a12j+ a13k) + A26rri+ aDJ+a%k) + As@871+q2j+o3k)

-- (AtantA2a21 *Asoet)i + lArap+Aeap+As"sill + (A7aa2+Azats+z{rao;k

yang mana adalah sebuah vektor. I

Page 79: Analisis Vektor

(; R.\i)li: \. I)lVlr R(ltlNSI t)1\N ('i;iiL

36. (a) Interpretasikan simbol A.V. /Di Berikaninterpretasiyangmungkinuntuk (A'V)B. (c) Apa'kah mungkin untuk menuliskan ini sebagai A.VB tanpa menimbulkan tafsir ganda?

. /a/ Misalkan A = Atl + A2t + ,{s[. Maka, secara formal

A.v = i,.11i' 42i +/"k).(+t * Pi -3u.lAx Ay Oz

,a= {,-! , Ar! - ^3-c)r at Az

adalah sebuah operator. Misalnya,

(r.v)@ - ,r,,i - 4,; *r. j,lo = 1,* - A,y; * o"#

Perhatikan bahwa iai sama dengan A'V@.

(b) Secaru formal. dengan mempergunakan (a) dimana d diganti oleh g = Bai + B2t + Bcb,

(A-V)B - ra-j n,a,3 . x"3ls = 1,+ - ,4,+ * erPax dy Cz A\ dy dz

aB, Att, ?)8. lR- Dn- aP- ls. aB" ar"- 1lt -j A2 ^- -ls-<j)i + (lr-<j +Ar-;: *,4s+)j + (/1=j +Aq-=:= +ls -Y)kax Oy Oz Ox Oy Oz Cx oy az

/c/ Pergunakan interf,retasi dari VB sebagaimaaa diberikan dalarrr Soal 34.Maka, menurut arti simbolyang dikemukakan dalam Soal 35,

A.VB = (A1t + A2t +lsh).VB = ,{1t.VB + l2J.VB + lst.VB

?r. ?a. ?a" ?r. aB" ?4" Ea. aB" aao= A{;1+dJ+frr * n,r6r+i;t+ 6*, * As(a;t +5;r+;;r)

yang mana memberikan hasil yang sama seperti yang diberikan C-alam bagian {b). Dafnya diperoleh(A.V)B = e.Vn tanpa menimbulkan tafsir ganda asalkan konsep dyadik.diperkenalkan dengan sifat-nya :/ang sebagaimana telah ditunjukkan.

37. Bila A=4zl-*yi+r*k, B=r2i+yz!- zyk dan Q.=2r'y2", carilah

(o) (A.Vld, (6) a.Vd, (c) (B.V)A, (d) (AxV)d, (e) A x Vd.

(o) (A.V)o = lpu. i * x:r j - *.2k).,*, - 3.; .3xl.l o

):f= (2yz; _ ?, U

* ,,2!) (z,-y"z)

- zv'io,rLJ'23) - "r*ru','"1

* "2!{2,2t'"'

= (2vz\(4xrzs) - 1x2r)1?t223) + 1xz2116fyz21

= 8ry'"o - 2.oyrt + or3yz4

ra)e.Vd = (zyzt-,2y1 +,"'r,l .tli-ffr-lPu,= (zyzl - ,2yJ + ,r2k1 - 14ry"31 + Zr2z3: + 6r2yz2k)

/f

Page 80: Analisis Vektor

76

(c )

(;R,r,i)tt..N. l)rVL.R(;t..NSI 1)AN t t'ItL

= ,ry2ro - zr"yrs * 6r"Tro

Ban<lingkan dea1an (o) menggambarkan trasil (A'V)d = A'Vd.

(B.V)A = l1*'r + yzl - xyr.l.(a3, . *, * $rl1a

= rr'3 * /"3 -,r.a;o = "+ ,.:?n - ,ri*Aa C1 Oz Ax aa

= ,21-2xy1 + z2k1 + yz{2zi - r'j) - xy(2yi + 2rzk)

= 12y22 - 2ry2)t - (Zr3y + x2yz)j + 11222 - Zx2yz)k

Untuk membandingkannya dengan B.Vl , [hat Soat 36(c).

(d) (AxV1o = l.ey"t - x2, j + xz2k1, 1]i * J; * pr.tJo' dr dr l7

t j klI

^^tAz -^'y ,r'I Q

-td _d_ -'lE, Ay D,l

= tit-,'r]-,,'p) + 51,,2J-rpJ, -Oz Oy Ox oz

- a@ ^dd ^oa da- - (x't *

+ xz'

"r)l

+ (xz' ax - zyz g\i

= -.16*oy'"'+ 2x325;l + (4x2yzs - L2"2y2r311 +

exVq\ = eyzi - Pyi +,"2k1,1#t - H,

- Hu,

ijk

2yz -r2y ,"'

ad ao ad?, ZY E'

"AA "do.. oZo, ^ Do ?- .ta...= (-r'yt' - xz1',r)i + (rzl a1 - 2rz 7r)i + (2yz -- * tn )k

= *16xa"y2r.2+2r3rs)i + 1+r2trs*tzfy2rs1i " 14x2rro -413v22!;k

Bandingkan dengan (d) menggambarkanhasil (AxV)4 = |.xiQ.

k (2r: i

cO(2vz-:'

( 4x't;

^),+ r'vi),@CI

^Eo+ lv - )k'Cx

+ 41372"3 ; k

INVARLT,N

38. Dua buah sistem koordinat xyz dan x'y'z' yangtitik-asalnya berimpitan dirotasikan yang satu terhadap

yang lain. Turunkan persamaan-persamaan transformasi antara koordinat-koordinat sebuah titik dalam

kedua sistem.

Page 81: Analisis Vektor

(;l{ \ lrll.\. l)l\/l:l{(;l:NSl D..\N ('tjRL

Misalkan r dan r' vektor-vektor posisi dari sebarang titik P dalam kedua sistem (lihat gambar da-lam halaman 59). Karena r = r', maka

(1) .'i' * y'i' + ,'k' = ti * r, ;k

Untuk sebarang vektor A kita peroleh (Soal 20, Bab 2),

A = (A.i')i'+ (A.J')j'+ (A.k')k'Maka dengan mengambilkan A = i, j, k secara berurutan,

( , = (i.i')i' + (i.j')J' + (i.k')k' = 1ti' + l^j' + l:yk'(2) { I = (j.i')i' + (j.:')i' + (j.k')k' = tpi' + Lz:J' + t' k'

t u = (k.i')i' + (k.j');' + ik.k'.1k' = t13i' + l',3j' + tok'

Substitusikan persamaan-persamaan (2) dalam ( t ) dan jumlahkan koefisien-koefisien dari i', j', k',kita peroleh

(3) ,'= htz +lpy +lsz, f'= lzrx +lzzy +lzcz, "'= hrx +h2y +haz

yang adalah porsamaan-persamaan transformasi yang dikehendaki

39. Buktikan i' = lui + l12i + tgki'= lzri+122i+kskk'= J.1i+rs2j+6sk

Untuksebarangvektor A kitaperoleh tr = (A.i)t + (A.j)i + (A.k)k.

Maka dengan mengambil A = i', j', k' seca.a bcrurutan,

l' = (i'.i)i + (i'.j)5 + 1i'.t;h' = l,.i + Ipj + l13k

!' = (J'.i)t + (j'.j)j + (j'.k)k. = L27i + l22i + lzsk

k' = (k'.i)i + (k'.i)i + (kr.k)k' = l31i + /l2j + A3k

1

40. Buktikanbahwa 2- l*ln= L jkam=n dan0jika m + n, dirnana m d,a n dapatmengambil9=t

sebarang harga-harga 1, 2, 3.

Dari persamaan-p€rsamaan (2) d$i Soal 38,

l.l = 1 = (la7it + bt! + r31k'). (/11i' + lzrj' + lsrk')

= t|, * tl, + t!,

1., = 0 = (l7tl'+bti'+h1\').(let'+Ln:'+h2k')- iitlp + lztl,n * 1:r/-

t.k = 0 : (1771' + L2tj'+ lcrk'). (lr.ii + lr"j'+ lcsk')

= Ittlo + lztlts - 1sr1o

Inimembuktikanhasil yangdiinginkandimana m = l- Dengan meninjau j'i, j' j' j'k' k'i' k' jdan k.k makahasilnyadapatdibuktikanufltuk m = 2 dar. m = 3.

Dengan menuliskan Er,, = {; lf T,1i *^o^hasilnya dapat dituliskan sebagai 3rt6 tpn = 6^n.

Simbol 6,,, disebut sirnbol Kronecker.

Page 82: Analisis Vektor

GRA IllliN. I)lVLRCiINSI DAN ('trRL

41. Jika S@, y, z) adalah sebuah skalar yang invarian terhadap rotasi sumbu-sumbu maka buktikan bahwagrad @ adalah sebuah vektor yang invarian dibawah transformasi ini.

Menurut hipotesis 0G, y, z) = Q'G', y', z'). untuk membuktikan hasil yang diinginkan.haruslahkitabuktikanbahwa

P, * Pr * Pr = p: ,, * @',, 1-'..,ox oy 7r' - ?r,' '?r,l * f;J*

Dengan mempergunakan aturan rantai dan persamaan-persamaan transformasi (3) dai Soal 38, kitaperoleh

a0 7$ 7"' ad, &, 76,?,, U' A6' a6'a" = a,'t. ai.t * rt = 3n,h, + u;4 * -'.,ad zg,7r, a6'ar, Ed,a,, M M' M-?; = a,,U . q./a, . a/a, = *,r, * grn * *,*P = 3d'31'.?dy,W?! _ ?d, -W'. ad'a, = a;d, . Va, * a/t = *'r" * Vtn * *'*

Perkalikan masing-masing persamaan ini dengan i, j, k, kemudian jumlahkan dan pergunakan Soal 39,maka diperoleh hasil yang dikehendaki.

Soal-soal Tambahan

42. Jika O = 2r"o -x2y,caitah Vp OanlV4 l paaatitik(2, -2, 1). Jawab. roi- Ei-.mlr. z/G

43. Jika A=2x2 1-3yz!+xz2 l,lanQ=Zz-xsy,ca:ilah.t.V4 Aan axV{ p3datitik(1,-l,l)Jawab. 5, ?i-J-l1k

44. JikaF =r'"*"!/' danG= a'y-ry',carilah(a)V1r+c1 dan (6)V(r'c) padatitik(1,0,-2).Jawab. (a) -4i + 9i + k, (6) -Sj

a5. Carilah V l.rl3. Jawab.3rr

46. Buktikan 914 = f 'ql , .

47. Hitunglah Y6r2 - +f * * l. Jawab. (6 - zr-sh - o-t/s,s ry',

48. Jika YU = Ao r , carilah {l Jawab. r 6/3 + konstanta

49. Carilah@(r) sehingga VO =+ dan d(t) = o Jawab. Ot,l=ffr-{l

50. ('arilah Vry' dimana {., = (x2 + ),2 * ,, ) "-/*'r y'u' Jo*ab. (2 - r) e-r r

5l.JikaYQ=Uy""t+x2zsi+3*2y"2k,carilahQG,y,r\jlka4,1,-2,2)=4.Jawab.d=r'tr'+20

52. Jika Yrp = O'-b,yz31l t(3+\ry-r'"')j +(623-3r2y"21k,Carilah ry',.

Jawab. ,lt = "y, _ ,ry"3 + 3y + (3/2\ za + konstanta

53. Jika U adalah sebuah fungsi dari x, y, z yang diferensiabel, maka buktikan

Yu.dr=du.

Page 83: Analisis Vektor

(;l{AI)lt'.N l)l\/ER(ihNSI DAN ('LillL

54. Jika F adalah sebuah fungsi dai x, y, z, t yan1 diferensiabel, di mana x, y, z adalah fungsi-fungsi di-ferensiabel dari r, maka buktikan bahwa

dF = E *vr.4dt dt d.t

55. Jika A sebuahvektorkonstan,makabuktikanV(r-a) = n.

56. Jika A(x,y,z) = u{ri + A2t + Ask, maka buktikan bahwa

dA = (VAa,dtlt + (VA2.dr)J + (Vls.dr)k.

s7. Bukrikan vrll = NV jikaGlo.

58. Carilah vektor satuan yang tegak-lurus pada permukaan dari paraboloid putaran z -- z2 + y2 di titik2i+41-1(1,2,5). Jawab.--r7-u

59. Carilahnormalsatuanyangarahnyakeluarpadapermukaan (x-l)2+r,2+(z+2\2 = 9 dititik(3, 1,-4).fawab.(2i + t - 2k)/?

60. Carilahpersamaanuntukbidangsinggungpadapermukaan xz2 +x2y =z- I dititik(1,-3,2).Jawab.Lx-y-32 +l = 0

61. Carilah persamaan-persamaan ultuk bidang singgung dan garis-normal pada perraukaan z = x2 + y2di ritik (2, -1, s).

Jawab. 4r-4-z = 5, + =++=+ atau z= 4t+2, y=-2t-1, z =-t+s

62, Carilah turunan berarah dari $ = 4rz3 - ir2y2z pada (2, - l, 2) dalam arah 2i - 3j + 6k.lawab. 3'1617.

63. Carilahtr",rrnunberarahdari P = 4e2x-y+z padatitik(1, l,-l)dalamaraLmenuju(-3,5,6)..Iawab. -2019.

64' Dalam arah manakah dari titik (1,3,2),turunan berarah dari d = 2xz - y2 adalah maksimum ? Berapa-

kah besarnya maksimum ini ?

Jawab. Dalam arah vektor 4i - 6i + 2k, z,/Ta

55. Carilahharga-hargadarikonstanta-konstantaa,b,csehinggaturunanberarahdari@ = axy2 +byz+czzx3di ( 1 , 2, - l ) memiliki suatu maksimum yang besarnya 64 dalam arah sejajar sumbu z.Jawab. a=6, b=24, c=-8

66. Carilahsudutlancipantarapermukaan-perrpukaan xy2z = 3x+22 dan 3x2 -y2 +22 = I dititik(1, _2, l).

Jawab. arc "o" j-- = arc cos 6 - lgotrs't/tqy'zt t4

67. Carilahkonstanta-konstantaadanbsehinggapermukaandx2 -byz =(a+2)xakantegakJuruspermuka-an 4x2 y + z3 = 4di titik (t, *1, 2)Jawab. a=512, b=1

68. /a/ Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi diferensiahel dari x, y di.n z. Perlihatkan bahwa syarat perlu dan

cukup agar u d,an v berhubungan secara fungsional rnelalui persamaan F (u, v) = 0 adalah bahwa

VuxVu = 0.

/Di Tentukanlah apakah u = arc tanr + s,rs tany dan , = -l *!,

berhubungan secara fungsional.' L-xylawab. (b) Ya (u = tan u)

79

Page 84: Analisis Vektor

GRADIL]N, DIVL-RGENSI I)AN CTJRL

69. (a) Perlihatkanbahwasyaratperludancukupagar.u{x,y,z),v(4,y,2)danw(x,y,z,/berhubungansecara fungsional melalui persamain F(u, v, w) = O aaaUn Vz .i"ri* = o.

/D/ Nyatakan Au ' Av x Aw dalam bentuk determinan. Dcterminan ini disebut persamaan Jacob dari

u, v, w terhadap x, y, zdan ditulis Q(a,u,pt atau /(',',-).O(z,l,zl -2,!,2'

/c/ Tentukan,apakah z !x*y+2, u =12+y2+"2 dana = z7+Jz+2, berhubungansecarafungsional.

Jawab. 1b1

?u ?r ?uDz ?y 7,

?u 7u ?"dzqdza- a- 7-dxqdz

(c) Ya, (u2-a-ht = O)

70. Jika A=3xyz2 l+bysl-r2y, k dan @ =322-!2, carilahlayV.A, (6)A.Vd, tctV.tdel,(d) V-(VO), di titik (1,-r,1). Jawab. 1ay 4, (6) _ 15, (c) r, (d) 6

71. Hitungiah (b2z I - xy2z ! + 3yz2 h1. Jawab. 4zz - T-yz + Byz

72. Buktikan@=Jx2z-y'r'+4r,y+Zx-gy-s,makacarilahg2$.lau,ab.6z+2b7_2rr_6yr,

73. Hitunglah V'1ln ,1. Jawab. llr2

74. Buktikan f rf, = n(n+l)rn-2 dimana n sebuah konstanta.

75. Jika .p = (3r2y-z)l + lxzs +ya11 - 1xsz2;'.makacarilah VtV.rl dititik(2,-1,0).Jawab.-6i+241 -32k

76. Jika ,&radalahsebuahvektorkonstandanv=c,.rx r , makabuktikanbahwa div v = 0.

77. Buktikan V'<+rlrl = OV'rl, + 2VO-Vqr * *fA.78. Jika lJ =3x2y, V=t? - ? makahitunglah.l(erad U).(grad yl].

fawab. (6y22 - l?.*)l + 6rz2 t + l2syz k

79. Hitunglah .V. 1rs r1. Jawab. 6rs

80. Hitunglah V' [rV(t/.3)] . lawab. ir-a.

81. Hitunglah V'[9. G/,r'i . Jawab. 2r-a

82. Jika A = r/r, carilah grad div {. Jawab. -2r-3 r

83. (a) Buktikan Y' 11,1 = # . ? nj, (b) carlah f(ri di mana Y' y.'1 = s .

Jawab. lH = a+Bft dimanaA dan B adalahkonstanta*onstanta sebarang.

84. Buktikan bahwa vektor A = 3yaz2 I + *r3zz ! - lr'y'k solenoidal.

85. Perlihatkanbahwa n = (*2 tlxy2z\l + (3x3y - 3zy)! - (4y222+2x321i tidaklahsolenoidaitetapi B = ryzzL solenoidal.

85. Carilahfungsidiferensiabel f(r) yangpalingumrimsehingga//r/rsole4oidal.Jawab. f(r) = C/r3 dimanaCkonstantasebarang.

Page 85: Analisis Vektor

G l{,\ DILN. DIVirRGtrNSl l).\N ('UllL

87. Perlihatkan bahwa medan vektor v = -" -:,

adalah sebuah "medan sungap" Gambarkan dan beri-

kan interpretasi fisisnya. ! x' + f'

88. Jika U dan V medan-medan skalar yang diferensiabel, maka buktikan bahwa VUx VIz solenoidal.

89. Jika A=2xz2t-!"1 *3:zskdan{= x2yz,cailah

(o)VxA, (r)curl(de), (")VxlVxA), talV[e.curlA], (e)curlerad (dA) dititik(1, t,l)

Jau'ab. @Ji +J, (6)5i-3i-4k, (c)Si +3k, (d)-2i +i +8k, (e) 0

90. Jika F = x2yz, G = xy-322, maka carilah falV[fVrl'fVcl] , tolV'[tVrt'tVcl] , (clVx ltV'rl*fVcl] '

Jartab. @) (2y22 +?x2z - l?.xyz)i + (4xyz - 6"22')i + (2s'y2 + '3 - 6'2y)k

(b) 0

(c) (x2z - 24zyz\l - (12-x2z + l-xyz)i + 1by2 + 12y22 + x3)k

9l Hitunglah Y x 1t/r21. Jawab. O

92. Untukhargakonstantaaberapakah,vektor A =1axy-zs)l + (a-21x2 I + ll-a\x;2Y akanmemilikicurl yang sama dengan ncl. lawab. o = 4.

93. Buktikan curl. {d grad d ) = 0.

94. Gambarkan diagra'n medar-medan vektor A = .ri+-r,j dan B = yi-xi. Hitunglahdivergensidancurldari tia-p-tiap medan rektor dan jelaskaa arti fisis dari hasil-hasil yang diperoleh.

95. Jika A = r2zi + yz3 i - 3xyk, R'= y' 7 - yzl + Zxk dan| = 2,'2 +vz, makacarilah

(o) A-(VO), (D) (A-V)@, (c) (A'V)8, (d) B(A'V), (e) (V'A)8.

Jauab. 1a1 4#z + y"4 - 3rl2 , (b'1 4x3z + yza - 3xy2 (sama seperti (a) )(c\ 2y2231 + (3ry2-yz4)l + ?*22k,

(d)operator @ffzi-x2yz2 1+ zsrk)$ + lyszsi-y2rti * ?ryr"a\&

. + 1-3xysi+3xy2zi-O*yr,l$

(e\ (2ty2z + ,fr3'11 - (L"yr2 + yz4)i + (4x22 + 2s231y

96. JikaA =yz2 1-3rr2 1+2xyzh, B = 3ri + 4z!-xykdan Q=,y". makacarilah

(c) Ax (Vd), (E) (AxV) 4, G) (Vx A) x B, (d) B'Vx A.

Jauub. @) -5*yz2 1 + xY2z2! + 4xYz3 k(b) -ix2yz2 i - zf z2 ! + 4xyzs k ( sama seperti (4) )(c) 1623i + 18x2y:z -l2iz2\i + 3?,x22 k (d) )4x22 * $a122

97. CarilahAx(VxB)dan1lxV1 xBdititik(1,-I,2).jika e= r"2i+4i-3xzk danB=}xzi+ryzl-22h"

Jawab. AxiVxni = l8i - 12j + 16k, (axV)xB = 4j +?6k

98. Buktikan (v.V)v = LArr - vr lVx v;.

99. Buktikan V. (e x s) = B. (Vx A) - A. 1Vx B ).

100. Buktikar V:i,trB) = (B'V)A - s(V'a) - (A'V)B + A(V'B).

l0l. Buktikan V1e- nt = 1n-V;e + (A.V)B + sxlVxA) + AxlVxrl-

102. Perlihatkan bahwa A = ley+2311 + (k2 - ")i + 13x22 -y)k irotasional.Carilah@ sehinggaA = V@"

Jawab. 6 = 3iy t xz3 - 7z + konstanta.

Page 86: Analisis Vektor

82 GR,.\i]IL\. DIvI]R(;iiNSI I),\N CLiR I

103- Perlihatkanbahwa E = r/r2 irotasional. carilah @ sehingga E = - vd danfla)=0 dimanaa)0.Jawab. O = ln{alr).

104. Jika A dan B irotasional, maka buktikan bahwa A x B solenoidal.

10rl Jika f(r) diferensiabel, buktikan bahwa t'/r)r irotasional.

106. Apakah terdapat fungsi vektor diferensiabel V sehingga (a) curl V = r, (|) curl y = 2i+j + 3k ?

Jika ada, maka carilah V.Jawab. (a) Tidak ada. (b) V = 3.tj + (2t -x)k + g4!, di mana d adalah fungsisebarangyang di-

ferensiabel dua kali.

107. Periihatkan bahwa solusi dari persamaan Maxwell

V'xR = * *. Vxr = -* *, V.n=0, y.a = rllrp

di mana p sebuah fungsi dari x, y, z dan c kecepatan cahaya yang dianggap konstan, diberikan oleh

E = -vd - l*' H=vxAdi mana A dan @ masing-masingnya disebut potensial-potensial vektor dan skalar, yang memenuhi per-samaan-persamaan

(1) v.A . i # = r, e1f q -:r# - -471p, (r) fA =:,#108. (r) Diketahui dyadik (F = i i + i j + k k, hitunglah r . (O . r) ctan (r . (F) . :.

(D) Apakah terdapat dua arti dalam menuliskan r . O ; r ?(c) Apatah yang dinyatakan oleh r . O .r = 1 secara geometris ?

Jawab. (a) r. (O. r) = (r. O).r = r2+y2 -. 12,

(D) Tidak.(c) Permukaan bola dengan pusat pada titik asal.

109. (a) JikaA= '27-y2 1+yz2i dan B=2227'-xyl+ysb, makaberikanartiyangmungkinun-tuk (Ax V)g di titik (1, -1, 1.)

(D) Apakah boleh untuk menuliskan hasilnya sebagai Ax 1VB1 dengan mempergunakan dyadik.Jawab. (o)-4it- ij + 3tk - JJ - {Ji + 3kk

(b) ya, apabila operasi dilakukan secara tepat.

I 10. Buktikan bahwa @ (x, y, z) = ,' + y' + z2 sebuah skalar invarian di bawah rotasi sumbu*umbu.

lll. Jika A(x,y,z)sebuahmedanvektordiferensiabelinvarianlerhadaprotasisumbu_sumbu,makabirktikanbahwa (a) div A dan (b) curl A masing-masingnya adalah medan-medan skalar dan vektor invariandi bawah transformasi.

I I 2. Pecahkan persamaan-persamaan ( j) dari Soal-soal yang Dipecahkan no. 3 g untuk -r, 1,, z dinyatakan dalamx,y z.Jowab. x =llrtx'+lety'+ latz', y = ltzr'+Lrry'+lor', , =ltsx,*l*y,+lsszt

113. Jika A dan B invariandibawahrotasimakaperlihatkanbahwa A.B dan AxB jugainvarian.

I 14. Perlihatkan bahwa di bawah rotasi

v = i3 * rP - *3 = i'3 + j,g+ 1,1 - 9,Ax dy dz dx' E' dz'I I 5. Perlihatkan bahwa operator persamaan l-aplace invarian di bawah rotasi.

Page 87: Analisis Vektor

Bab 5INTEGRASI VEKTOR

INTEGRALBIASADARIVEKTOR.MisalkanR(u) = R1(u)i+Rr(r.r)j+R3{u)ksebuahvektoryangbergan-tung pada variabel skalar tunggal a.di manaRl(rzl' RJU)' R3/u/kontinu

dalam suatu selang yang Citentukan. Nlaka

J*t,,a, = ,l *u,ra, * :{ n,ru)du + uJ *"r'r"

disebtrt integral tak tennrdari R/rrl. Bila terdapat sebuah vektor Vu/ sehingga R(:,;) = f (vrl), ,ur.,

! *,,,r, = { *o*rl r' = s(u) + c

dimanacadalah-yektor konstan sebarang yang tak bergantung padau. Integral teiiu a;rtata limit-limil u = c dan

u = b dalam ha.l demikian dapat ditulis

* "lb = s(b) - s(o)

Integral ini dapat juga didefinisikan sebagai limit dari jumlah dalam cara yang analog dengan yang pada kalkulus

integral elementer.

INTEGRALG.{.RIS. Misalkan r(u) = rir1i + y(u)j + z(a)k. dimana r(u) adalah vektor posisi dari

(x, y, z), mendefinisikan sebuah kurva C yang menghubungkan titik-titik P1 Can P2,

di mana u = ur dan il = u: untuk masing-masingnya.

Kita menganggap bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurvadimanauntuk masing-masingnya

r/r,ri memiliki turunan yang kontinu. Misalkan A(x,y,z') = Aj + Ari + A"k sebuah fungsivektordariposisi

yang didefinisikan dan kontinu sepanjang C. Maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C dari P1

ke P2 , ditulis sebagai

f"n-0, = fn-r, = [n,dx+Ardy+A"d,uP, uc Jc

adalah cohtoh dzri integral gais. Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel 1'ang bergerak sepanjang C, maka

integral garis ini menyutakan usaha yang diiakukan oieh gaya. Jika C adalah kurva tertutup (yang nrana akan

kira angjap sebagai kzrrua tertutup seclerhana, yakni kurva yang tak memotong dirinya sendiri)' maka integral

mengelilingi C sering ditunjukkair oleh f

6 n.a, = 6 Avd.x + A,dv + A2dzJJ

[,0 *r"ro" = I"' ft,$<'t1a' = s(u)

Page 88: Analisis Vektor

84 lNl Il(;RASI VtrK f()li

Dalam aerodinamika dan mekanika fluida, integral ini disebut sirkulasi dariA mengelilingi C, di mana A menya-takan kecepatan dari fluida.

Pada umumnya, setiap integral yang dihitung sepanjang sebuah kurva disebut integral garis. Integral-integraldemikian dapat didefinisikan dari segipandangan limit-limit dari jumlah-jumlah seperti halnya integral-integralkalkulus elementer.

Untuk metode'metode menghitung integral-integral garis, lihat Soal-soal yang dipecahkan.

Teorema berikut adalah penting.

TE0REMA' Jika A = Vd pada semua titlk dalam suatu daerah R dari ruang, yang didefinisikan oleh'a1 Sx!a2,b1 STlbr,ctlzl cz, dimanaNr,y,r)berhargatunggaldanmemilikiturunan-turunan yang kontinu dalarn R, maka

ff:1. I A- ,tt

J. I tidak belgantirng pada lirltasxn Cihlam R yane urr-nghubungkan P1 dan P..

,-1

f

: 6 .q'r1r -. 0 l11gl1gsli1inui scriap kur\a rertirtup (..dllarn 1iJ,

tJ (cr t(rr trlr r uJIJ,ll 1\

Dalam hal Oemikian A disebut sebuah medon vektor konsenatif daa S adalah potensial skalamya.

sebuah n'edan vektcr A adalah kcnsen'atif lika dan hanya.iika VxA=0, atau juga ekivalen denganA = Vd. Dalam hal demikian, A.dr = A1 dx + A2 dy + A, ai = aq, suaiu diferensial eksak. Lihat Soal-soal 10 - 14.

INTEGRAL PERMUKAAN. Misalkan S sebuah permukaan bersisi-dua, seperti diperlihatkan dalam gambar dibawah. Misalkan sisi yang satu dari s dipandang sebagai sisi positip (ika s adalah

permukaan tertutup, ini diambil sebagai sisi luar). sebuah normal satuan n pada sebarang titik dari sisi positif-nya .S disebut normal satuan p ositif atatt yang digambar ke arah luar.

Hubungkan dengan diferensial luas permukaandS, sebuah vektor dS yang besarnla d.S dan arahnyamenurut n. Maka dS = ndS. Integral

ll o.r" = [[ n.^0,quadalah contoh dari integral permukaan yang disebutfluks dari A melalui ,S. Integral-integral pernrukaanlainnya.

II*,', ff * ^ 0,, $ o, u,

di mana d adalah sebuah fungsi skalar. lntegral-in-tegral denrikian dapat rlidelinisikan dari segi pandang-an iimit jurnlah seperti dalam kalkulus elenrenter(lihat Soal 17)

Notasi # kadang-kadang dipergunakan untuk rncnyatakanJJo

Dalanr hal di mana tidak rrrcninrbulkan kcbingungan boleh dipergunakan

integrasi rtrelalui

nrta notrri -gf,

perrnukrrn tertLltup .S

Page 89: Analisis Vektor

ih! I l:(,ii4si \/llKTOl{ 85

Untuk menghitung integral-integral permukaan, adalah memudahkan untuk menyatakannya sebagai in-

tegral lipat dua mclalui proyeksi dari luas permuk,Hn S pada salah satu bidang koordinat. lni mungkin jika se-

barang garis yang tegak lurus bidang koordinat yang dipilih medrotong permukaan hanla pada satu titik. Akan

tetapi ini tidaklah mengemukakan masalah yang berarti karena pada umumnya kita dapat membagi S dalam

bagian-bagian permukaan yang memenuhi persyaratan ini.

INTEGRALV0LUME.PandangsebuahpermukaanterlutuPdalamruangyangmenutupvolumeV.Maka

III ^" dan fif " ",tyadalah contoh-contoh dari integral volume ata\) integral ruang sebagaimana mereka biasanya disebut- Untuk

menghitung integral-integral dem ikian, lihat Soal-soal yang d ipecahkan'

Scal-soal yang DiPecahkan

l. Jika R(u) = (u-u2)i + 2usj - 3k, earilah al ta<"ldu lan *, I R'(u) du'

,,, {or,ro, . { rr-,2;i+ zu3i-lx)d,..

=, fr-,'ra, * 1 f 2,"du + | {-rr,= ,(*-t'*", + 11u|+cr1 + k(-3u 'cs)

= ,*-tr, - *l - 3uk + c1 I + ct! + cak

234'<\-?tr*?t-3uk+cdi mana c adalah vektor konstan ctl + c2 | + ca l.

f22s1 '.(D) Daritr), J, n1u1au = tf -{lr * ft - eur * .1,

= k+- f,,, * {t - "<uu * "1 - t<f,- f,r, .lt - 3(1)k + cl

Metode lain.

J'*,,,ru = t[: tu-u2)du * !['-'au'*fi -ro"nn.2^,2

= ,(+-*,1, + t(*)1, * rr-r,rl, = -3, * Et - sk

2. Percepatan sebuah partikel pada setiap saal t )>- 0 diberikan oleh

i: = 12cos2ti- ssin2rj + 16,k

Jika kecepatan v dan pergeseran r adalah nol pada t = 0, carilah v dan r pada setiap saat.

Dengan mengintegrasi, v =' I lzccs2t';t - I [ - 8 airt2' dt * " f 'u'

o'

= 6stn2rl + 4cos2rJ + A7\, * cr

Page 90: Analisis Vektor

3. Hitunglah I n-#r,.

fio*dfit = n,# -r*,# = o,o#

INTtTGRASMiKT0R

Denganmengambilv=obila ,=O,kitaperoleh 0 = 0l + 4J + 0h + c1 dan ct =_ 4j.

Maka v = 6sin2rt + (4cos2r-4)J + Bt2kSehingga * = 6sll2rr + (4cos2r-4)J + 8r2t(.

Denganmenghtegrasi,r = tl6atn2td,,, - t[ ({cos2r-4ldt+ tf afac

= -3cos2, I + (2sin2r-4r), + $r"t + c2

Dengan mengambilr=0 apabilar=0, 0= -3i+0j+0k+c2 dan e2 =3i.

Maka r = (3-3cos2r)l + (2sln2r_+r1i + $rst.

Denganrnengrnregrasi, {^,$r, = [fio,rffl* = ex#+c.

4. Persamaan gerak sebuah partiketp bernrassa rn diberikan oleh

il'r* iP = /(r) 11

di mana r adalah vektor posisi P diukur dari titik asal o, r, vektor satuan dalam arah r, dan f( r)sebuah fung-si dari jarak P ke O.

I / evvesrr rurrr

(a) Perlihatkanbahwa, * * =c climana c sebuahvektorkonstan.

(D) Berikan interpretasi fisisnya untuk kasus-kasusf(r) <. O dan f(r) ) O.(c) Berikan inrerpretasi geometris dari hasil di (a).(d) Uraikan bagaimana hasil-hasil yang aiperoieh di atas dalam hubungannya dengan gerak planet-planet

Idalam sistem tata surya.kita. ' ov^sr! rrs.vr rrq,\

(c) Perkalikan kedua ruas auri ^fi = f (r,)tt^ dengan r x Maka

^rr&^ =dr ' lQ)rx1' = okarena r dan 11 searah , rnaka r x rl = 0. Jad'

d2,,,'i= o dan fr<r*frt=oDengan mengintegrasi. , * * = c, di mana c adalah vektor konstan. (Bandingkan dengan I

Soal 3).

(D) Jika I (r) { o p"rrrpor^, dt's arahnya berrawanan dengan r, ; karena itu, arah gayanyamenuju o

dan partikel selalu ttrtarik menuju O.

Jika J(r) ) 0 arah gayanya menjauhi 0 dan partikel beradadi bawah pengaruh sebuahgayutolak d.i O.

Sebuah gaya yang arahnya tnenuju atau menjauhi sebuah titik tetap O dan bosarnya hanya ber-gantung pada.jarak r dari O diselsutgal,n ssnlyn!.

Page 91: Analisis Vektor

INTI]GR,\SI V}:KTOR

(c) Dalam waktu A, partikel bergerak dari M ke N(Lihat gambar disamping). Luas yang disapu vek-tor posisi dalam waktu ini mendekati separuh luassebuah jajaran genjang dengan sisi*isi r dan Ar,ataw y2 r x Ar. Maka luas pendekatan yang disapuoleh vektor jejari setiap satuan waktu adalah

+. " f; ; oleh sebab itu laju perubahan luas se-

saat adalah Ardr.llm +lx- = *lx- = *txvLt-o' Lt ' d. ' t

dimana v adalah kecepatan sesaat dari partikel. Besaran

luas. Dari bagian (a),

Kecepatanluas = H = irr* = konstan

Karena r . H = 0, geraknya dalam sebuah bidang, yang kita ambilkan sebagai bidang xy dalamgambar di atas.

(d) Sebuah planet (seperti bumi) ditarik menuju matahari menurut hukum universal gravitasi Newton,yang menyatakan bahwa dua buah benda yang masing-masingnya bermassa m dan M saling tarik me-

narik dengan sebuah gaya yang besarnya F = ry, dimana r adalah jarak antara obyek-obyek dan

G sebuah konstanta universal. Misalkan m dan M adalah masing-masing mass4 planet dan mataharidan pilihkan suatu sistem kcordinat dengan ritik asal di matahari. Maka persamaan gerak dari planetadalah ,l2r GMn* dr, = --j rt d2r GMatau dtt = -7tt

dengan anggapan bahwa pengaruh planet-planet lain dapat diabaikan.

Menurut bagian (c), vektor posisi sebuah planet yang bergerak mengelilingi matahari menyapu luasyang sama dalam waktu yang sama. Hasil ini dan yang dari Soal 5 adalah dua dari ketiga hukum Kepler yangterkenal yang ia deduksikan secara empiris dari tumpukan data yang dikumpulkan dan disusun oleh ilmu-wan astronomy Tycho Brahe. Hukum-hukum ini memungkinkan Newton merumuskan hukum universalgravitasinya. Untuk hukum Kepler ketiga, lihat Soal 36.

5. Perlihatkan bahwa lintasan sebuah planet mengelilingi matahari adalah sebuah elips dengan matahari pada

salah satu titik apinya.

Dari Soal-soa1 4(c) dan 4(d),

GM- -sT tt

rxv = 2H = h

87

Sekarang ,=rrr, iidr, dr

r -:j + - f. Sehrnssadtdt'

s = |rx = tr x v disebtt kecepatan

. dr,r-&x-dt

(11..,) #l = "* o#

(Soal 9, Bab 3).

sehingga

drd,t

(I )

(2)

(3)

dvdt

h = rxv = r11 X trff*fir;= -4-rrrn = -GMrrx111 xf;)Dari(r),#"n

= _GN tr,,.fl,, _

Pergunakan persamaan (3) dan kenyataan bahwa ,r.o* = o

Tetapikarena h adalahvektorkonstan, #,n = $lvxrrl

4rvx tttll' GM

d+dt

Page 92: Analisis Vektor

88 INl'Ii(iR^SI VIIK'I'OR

Yx h = GltJa + Et

r'(vxh) = Gillr.11 + r.p= GMr + rrr.E = CMr + rpcos0

Integrasikan,

yang dariny3

dimana p vektor konstan sebarang dengan besar p, dan 0 adarah sudut antara p dan rr.Karena r'(vxh) = t:"]'=:t='-:H;t-= GMr+lpcosd dan

GM+pcos? - iOtcul .".e

Dari ilmu-ukur analitik, persamaan polar/kutub sebuahirisan kerucut dengan titik apinya berada pada titik

asaldaneksentrisitasnyaeadalah r = I _*;e di

mana a suatu konstanta. Bandingkan ini dengan persa_maan yang dituruakan, nampak bahwa orbit yang di-syamtkan adalah sebuah irisan kerucut dengan eksen-trisitas e = plGM. Orbitnya adalah sebuah elips,paratola atau hiperbola apabila e lebih kecil daripada,sama dengan atau lebih besar daripada satu. Karenaorbit dari planet-planet tertutup, mereka haruslahberbentuk elipsclips.

Ii.,ITECRAL GARIS

Elips , = L-1+6cosU

6. Jika a = 6r2+6y\t - r4yz! + 20rz2k, hitungl* f ^.r, dari(0,0,0)ke(i,1, l)sepanjans

lintasan-lintasanC berikut , Jc(a) x = t, y = t2, z = t3.(6) garis'garis lurus dari (0, 0, 0) ke (l , 0, 0), kemudian ke (r, l, 0) dan kemudian ke (1, r, 1).(c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, l, l).

t)n'n, = {^[o*'*qrt-r4yzr+2&z2kf ,(dxt + dyt + dzk)

(a) Jikax:t, y:t2, z=t3,r = 0 dan r = 1. Maka

rI e,.&.tc

= l-<s"'+6r)dx - t4yz dy + 20rr2 d,.rc

titik-titik (0,0,0) dan (1, l, l) masing-masingnya berhubungan dengan

Metode lain,

SepanjangC, A=9121-14r6J+20t7} dan r=xl+y!+zk=rl+Pt+f*, 4u1. y'7=(I+2t!+S*k)dt.

Maka f n.r. = l'rnrrr-1416J *zorrb).(t+2r!+3trk1 dtrc l,- frrcc2-2Its+6ols)dr = 5_J. c

rr) <tf+6;1dc - r4(t2l(ts1dqc21 + zo(t)(ts)2 d(ts)

t=oflI s? at - 2BtB dt * 6otn d,

17 1

I Gt'-z1ru*6orn) d, = 3r3 - +r7 + 6rD l' = 5Jt=o o

Page 93: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR 89

(D) Sepanjanggarislurusdari(0,0,0)ke(1,0,0) y=0, z=O, dy=O, dz =0sedangkanxberubahdari 0 hingga l. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

al?L7| 1rr'*6161; dr - t4(0)(o)(0) + 20,(0)2 (0) = | *' d, = ,t l^ = r

JJO

,"r;:., garis lurus dari (1, o, o) ke (1, t, 0), x = L, z:=:, ,, = o, dz= 0 sedangkan y berubahdari 0 hingga l. Maka integal sepanjang bagian lintasan ini adalah

f,

J (3(r12+6y16 - 14r(0)d/ + 20(1)(0)20 = 0

y=o

Sepanjanggaris lurus dari (1, 1,0) ke (1, 1', l)x =1, I = L, dx=0, dy = 0sedangkanzberubahdari 0 hingga l. Maka integral sepanjang bagian .lintasan ini adalah

f' trtrt'*u<r))o - t*1r1 z$) +.;0.,)22 dz = f' zo,'a, = *{ l: = ?z=0 z=0

Jumlahkan, f-n't, = 1*6*ff = ?!c

(c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0,0) dan (1, I, 1) dalam bentt'k parametrik diberikan olehx=t, y:t, z: t. Maka

f?LI n'a, = |

- trr'*o) dr - 14(,)(,) d, + 2o(t)('\2 d'

Js t!-o

?t t^1

= !^'<rr'**-r4t'+zot"'1"

= ):

($-tlt'+2&"'tdt = ft=o

7. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan Eayayan9 diberikan

oleh F= 3xyi- 5zj+ lOxksepanjangkurvar = t2 + l,y =2t2, z= t3 darir= I hinggar= 2.

rfUsahatotal = | r.ar = I <uyt- sz, + 1&i).(drt +dy! +dzL\

J6 Jgf

= I *ydx - iz,ty + Lo:d,.rCt2

= | sp2+t11zt21d1f +y - s<t3\ d(%2't + 10(l+r) d(r3).Jt=I

= f' 62ru + lora + r2t3 + Bot2\ dt = 303J,

8. Jika F =3xyl-f i,hitunglah [ "-r, dimana Cadalahkurva dalam bidangy =2x2,dari

Js(0,0) hingga (l .2).

Karena integrasi dilakukan dalam bidang xy (.2 = O), kita dapat mengambil r = xi + yj. Maka

I, "'* = { ,r,r, - v'11'p,r + dv 11

= |,,,dx-y2ctyJa

Page 94: Analisis Vektor

90 INTEGRAST vEKToR

Metode pertamd' Misalkan x = t dalam ! = 2.x2. Maka persamaan-persamaan parameter dari C adalahx = t, ), -- 2r2. Titik-titik (0,0) dan ( I, 2) masing-masingnya berhubungan dengan , = 0

dan t = l. Maka

.f^ ".0, = f' ,urrrt2ldt - (zt2)2 d(2r2\ = f' <af --rcruta, = -*'tc ,J=o t=o

Metode kedua. Substitusikan _v = 2x2 secara langsung, dimana x mulai dari 0 hingga l. Maka

?rtft| ..a. =

-J^' t,rorrdx - 1l,212 d12x21 = J'te,._roruta, = _iJc x=o x=o

Perhatikan bahwa bila kurva dilintasi dalam arah sebaliknya, yakni dari (1, 2) ke (0, 0), harga integral akanmenjadi 7 16 daipada * 7 16.

9. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel mengelilingi lingkaran C dalam bidangxy sekali,jika lingkaran berpusat di titik asal dan berjejari 3 dan medan gaya diberikan oleh

F = (?.x-y+z)i + (/+y-22)i + (gr_4+qz)\

Dalam bidang z=0, F = (Z<-y)l +(x+y)!+(3x-2y)k dan dr =dxl+cty! sehinggausahayangdilakukan adalah

Pilih persamaan-persamaan parameter lingkaran sebagai .r = 3 cos /,y = 3 sin r di mana I berubah dari 0 hingga 2r (lihat gambar disamping).

Maka integral lintasan samadengan

?zn

) [z(g"o"r)-3sinr] [-l"inr]ar + [scosr +3sinr] [s"*r]a,t=o

f2f,

= J.'" (e - esinr cos') d' = s' - | "in" f' = l87t

Dalam melintasi C kita teiah memilih arah berlawanan perputaran jarumjam yang ditunjukkan dalam gambar disamping. Kita menyebutnya arahpositif, atau mengatakan bahwa C telah dilirtasi dalam arah positif.Jika C dilintasi dalam arah perputaran jarum jam (negatif) harga integralakan menjadi - 18 zr.

t0. (a)

t=rl+yl=3cosrl+3slnrJ

(b)

(a)

Jika F = Vd , di mana @ berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu, perli-hatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel d^ari satu titik pr

= (* ,, y , ,zt ) dalam medan ini ke titik lainnya P, = (xz, iz, zr) tidak bergantung pada lintasan yang me,!ghu-bungkan kedua buah titik.

rSebaliknya' jika l^ r'ar tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan dua buah tirikJC

se.barang, maka perlihatkan bahwa eda terdapat suatu fungsi @ sehingga f = V@.

Usaha yang dilakukan = fP' ".r,

= (" O*.0,Jp, thfPz Zb ad a6I (-=i * --j +5-k)-(dxi +dyl + dzi\

Jh ox ot dz

Page 95: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR

- fh w,- ,@,- *Pr,- Jr, aro" aroY -' a""'

fP,= Jo oQ = Q(P,\ - +(ri = 6@r,7r,z) - S@1,v1,21\

Jadi integral hanya bergantung pada titik-titik P1 dan P, dan tidak pada lintasan yang menghu-bungkan mereka. Ini hanyalah benar jika 0(x, y, z) berharga tunggal pada semua titik-titik P1 dan P.2.

(D) Misalkan f = &i + f2, + f3k. Menurut hipotesis, J, ".r, tidak bergantung pada lintasan Cyang

menghubungkan dua buah titik sebarang, yang masing-masingnya kita ambil sebagai (x1, !r, z)dan (x, y, z). Maka

6kJ,"l - f (x'r'zl

F.dr - rk'v'zl Fldx + F2dy + f"/2Jkr,rr., "r) J(rr,yr, rr.)

tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan (x1, ! r, z) dan (x, y, z). Jadi

eG+Lz, y, z) - e@,y,r\ = f G*t''''

" ..r. - f k'v'2)

F.drr(xryt, zi J(ztlr, zt\

f(x*Yt,zi 7@rtrx,y,z)=lF.dr+lF'drJ1x,y,z\ J@1,y1,211

f(x+L.x,y,zt f(x*Lz,y,z\= | F.dr = I Fldz + F2dy + Fsdz

./ (x ,y ,z) J (r ,y ,zl

Karena integral terakhir di atas haruslah tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan (x, y, a,)dan (x + bx, y, z.), kita dapat memilih lintasannya berbentuk garis-lurus yang menghubungkan titik-titikini sehingga dy dan dz adalah nol. Maka

4@+L,,y, z) - cb@,y,r) L f @+$x,y,z) ________e__ = NJ<,,r,"1 \dx

Ambilkar limit dari kedua ruas jika Ax + 0, kita peroleh $ =

"Dengan cara yangsama.kitadapat memperlihatkan bahwa ff = r, d^^

Aa! = Fr.

Maka F = &i+r2i+F3k = #,.#J - #k = Vd.

fPeJika l- F'dr 1np bergantung pada lintasan C yang rnenghubungkanl'1 danP2,maka F konser-

.1t pr

vatif, dan sebaliknya p = V4!Bukti dengan mempergunakan vektor. Jika integral garis tak bergantung pada lintasan. maka

6k,v,z) - f(x't'z\ F'dr - fe'v'z') r'.* a"J(rtyt, zt) J@yy1, z; ds

Dengan rnenurunkan. '# = . * Tetrpi # = ,O ,* sehingea rVd- rt.* = o.

Karcna ini harus trerlaku untuk sebarang trarga f , kita peroleh F= Vd.

Page 96: Analisis Vektor

92 INTEGRASI VEKTOR

z) dz

)dz

F2Q,y,zl1 + F2Q,y,z\ - F2@,y,2) = F2@,y,2)

II. (a) JikaFsuatumedankonservatif,buktikanbahwacurl p=Vxf =6 fuakniFadalahirotasiona!)

(D) Sebaliknya, jika VxF = 0 (yakni F adalah irotasional), buktikan bahwa F konservatif.

(a) Jika F suatu medan konservatif , maka menurut Soal 10, F = Vd.Jadi Curl p = Vx Vd = O (lihat Soal 27 (a), Bab 4).

iJr(D) Jika VxF = 0, maka + 3 3 I = o dandengandomikianox q ozl

F7 F2 F"

?rl, _ ?n, ?A . Er, 7F,Tr=;;, Z;=U;' E=

Kita harus membuktikan bahwa p = V45 sebagai konsekuensinya.

Usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dari (x1, lr, zt) ke (x, y, z) dalammedan gaya F adalah

I f11, ,y ,.1 a, + Fr(x,y ,z\ dy + f"(x,y ,z) d:JC

dimana C adalah lintasan yang menghubungkan (xr, yr, z, ) dan (x, y, z). Baiklah kita memilih lintasankhusus, yakni potongan-potongan garis-lurus dari (x1, !r, zr\ ke (x, y1, zs) ke (x, y, z)ke (x,y,z)danmenyebut Q 6, y , z) usaha yang dilakukan sepanjang lintasan khusus ini. Maka

cbk,y,,) = f'F1..,y1,2)dx * fv 116,y,,r'1 ay * l" Fr1,,y,r1 d,Dari sini diperoleh J"' JY, J',

ar

# = Fs(x'Y'z)

aErdy

?9U = F21x,y,z) r l"'rff oo,

= F2-,y,2) * f,',*;r,,r,"= F2r,y,2) + F2Q1,4lr,

# = F1@,y1,21\ - I: u* g.y,z)dy - !,',* @,y,2)dz

= F1@,y1,21) . I; * @,y,zldy * t"',*o,r.,ro.

= F1@,y1,21) * Fr(,,y,41f,, * \(,,r,"\lz,

= \(x,Tt,z) + F1@,y,2) - F,(x,y1,zr)r + \(x,y,z) - F{x,y,z) = F1Q,y,z)

Maka F = FLt+F2i+F3k #,-#r.#* . VO.

Jadi syarat perlu dan cukup agar sebuah medan F konservatif adalah bahwa curlrF = VxF = O.

Page 97: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR

i2. (a) Perlihatkanbahwa F = (by+23)i + x'i + 3xz2 k sebuahmedangayakonservatif. (D) Carilahpo-tensial skalar. (c) Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah benda dalam medan ini dari

(1,-2,1)ke(3,1,a).

(a) Dari Soal I l, syarat perlu dan cukup agar sebuah gaya konservatif adalah curl F = VxF = 0.

Sekarang V, r

i j klIa a at

-'==l=0.OxOydzl

2xy + zs ,2 3r"'l

Jadi F sebuah medan-gaya konservatif.

(b) Metode Pertama.

MenurutSoall0, r=Vd atau $,*$, -Sa = (b,y+zs\t+22 1+3122 l. Maka

(I)# =Lry*zs <r)#=; <s,.ff=s,,'

Integrasikan, kita peroleh dari (l), (2) dan (3), masing-masing

O=r'l+zz3+f(7r,2)O - r2y +g(r.zlO = uzs +h(r,y'1

lni sesuai apabila kita memilih f 0.2)' O, g(r,z\ = t,s . h(rlt = *7 sehingga dengan demikian

Q = r'y +"29 dengan tambahan sebarangkonstanta.

b[etode Kedua.

Karena F konservatif, f- ,.r, tidak bergantung pada lintasan C yang menghubungkan(a,r:., zr)rc

dan (x, y, z). Dengan mempergunakan metode dari Soal I l(D),

[email protected],rt = f- (?tyL+ zsr) (tx , f' ,, o, * f" *"' o,Jr, Jy, Jzt

1,2.1r+,,1\li, * ,',l!r, * ,," 11,,

-'21t * "1 - {4 -'r"3 +'2Y -'2ft * *'3 - "1,2y + xzs - "lr, - "rrl - r'y I xz3 + konstanta

Metode Ketiga. F.ttt = 9g.* = !r, -#r, **r, = dO

Maka d4 = F.dr = (by + 231 dx + x2 tly + 3zz2 dz

= (by dx + x2 dy1 + 123 dx + 3tz2 d.1

= d(x2y) + d(xzs) = d(x2y +xz3)

dan @ = x2y+ xz3 + konstanta.

93i

Page 98: Analisis Vektor

94 INTEGRASI VEKTOR

(c) Usaha yang dilakukan {d "'*

fe <or*r'ydx + x2 dr + 'rr2

d,

I!; 'o'r+rzs; = r2v + tzs ti: | ,', . 3 l(s,1,4)+ xz 111-z,t\

Metode lain

Dari bagian (b), Q G, y, z) = x2 y + xzx + konstanta.

Usaha yang dilakukan = 0 O,1,4\ - O {1, -2, t1 = 262.

fPz13. Buktikan bahwa jika I f. a. tak bergantung pada lintasan yang menghubungkan dua buah titik se-

Jpt r

barang P1 dan P2 dalam suatu daerah yang diberikan, maka S f. ar = 0 untuk semua lintasan tertutupJ

I F-drPalP2BPa

sehingga, [ *',,P7AP2

! .',, 'PalP2

= [.,,PaBP2

= 202

=0

diferensial eksak. Karena

dalam daerah itu dan begitupula sebaliknya.

Misalkan PTAPyBPt (lihat gambar disamping) adalah sebuahkurva tertutup. Maka

$r.r,= I F.dr = [*.r,o f *.n,{ PLAP2BPL PLIP2 P2BPT .

rr'= J F.dr - )".a, = o

P1AP2 P1BP2

karena berdasarkan hipotesis integral dari P1 hingga P2 sepanjanglintasan yang melalui u,l sama dengan yang melalui B.

fSebaliknya,jika $ r.dr = O, maka

J

[.-* - t F.dr- ["."P2BP| PLIP2 \BP2

14. (a) Perlihatkan bahwa syarat perlu dan cukup agar Fldx + Frdy + F:dz suatu diferensial eksak adalah

bahrva VxF = 0 dimana F = &i +Frj +F"k.

(D) Perlihatkan bahwa (y'2" cos, - 4xsz) ilr + 2z3y sinx dy + 13y222 sinx - ra1 dz suatu dife-

rensial eksak dari sebuah fungsi 0 dan carilah @.

(a) Andaikan Fldx + F2dy + Fsttz = rtd = ff0, -#r, **or, suatu

x, y dan z adalah variabei-varia'uel yang bebas satu terhadad lainnya, maka

.,=S, o,=ff, r"=#dandengandemikian r= rrr+F2r+&k = $t - #t -#k = Vd. Iadi Vxp=VxVd=0.

Page 99: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR 95

Sebaliknya,jik. V, r r 0 maka menurut Soal ll, r = Vd dandengandemikian F.dr=9$.ar = d$,yakni \itz + F2dy + Fsitz = dS, surtu diferensialeksak.

(6) F = 6r2zs coaz-4zsz)t + 2zsyslnxl + (3y222 sln:-1411 dan VxFdihitung berharga nol, sehingga menurut bagian (c)

1y2 zs cosz - 4xo z) dx 1 2r3! slnx dy + lgl'r' slnx - xa'1 dz = dO

Menurut metode-metode dari Soal 12 kita peroleh Q = !'rt slrz - r4z + konstanta.

15. Misalkan F sebuah medan konservatif sehingga f = -Vd. Andaikan sebuah partikel bermassa konstanntbergerak dalam medan ini. Jika,4 dan B adaiah dua buah titik dalam ruang, buktikan bahwa

4<Al+**"i = d(8)+t*";di mana oA dan eB masing-masingnya adalah besar kecepatan oartikel di A dan B.

* = ^,= ^fi. Maka F.d; = ^* # = ? *,*i-Integrasikan, [n' ,'0, = \* l:, = i^"i - i^t'

r*ar=-vd, j: ,.* = -['e4.a, = -f: rr = o@t-ou,t.

Maka d(4) - Otal = t^6 - +^'i dan dari sini diperoleh hasilnya.

. 0 (,4 ) disebut energi potensial di A dan I mo/ energi kinetik di A. Hasil di atas menyatakan bahwaenergi total di ,4 sama dengan energi total di B (kekekalan energi). Perhatikan penggunaan tanda negatifdalam F = -VA.

16. Jikh Q=?xyz2, F=xyi -zj+x2kdanCadalahkurvax=t2,1=2t, z=t3 darir=0hinggar=i,maka

hitunglahintegral-integrat garis(a) f Oar, Ol f "*rr.-JgJc

(a) Sepanjang C, 6 = 2zyz2 = 21t21q2t'11ff = 4P,

t = xl+y!+zk = t2 l+2rl+ask, dan

dt = Qtl + Zl + 3t2k) dt. Maka

f ftI Oo, = | +rrgt+2!+zt2k1 dtrc ' ,!o

=, Jo'

r,*o, * ! fo' r,no, * * fo' rr,"o, = *, * fr * r

(n) SepanjangC, F = xyl - z! + r'U -- rr" I - ts 1 + t4l,.

Maka px dr = 12t3 1- 13 r + to k1 * q2tl + 21 + Btr kt dt

:" -tr" :" | ,, = l<-z:-ao1r * 12ru-6ru \r + $t'+zt')*)dt2t 2 ,fl

Page 100: Analisis Vektor

INTEGRAL PERMUKAAN

17. Berikan definisi dari I I ^-" dS melalui permukaan S dalam limit dari suatu jumlah.

s

Bagikan S kedalam ,11 buah elemen luas A,Sp di manap = L,2,3, ... M. Pilih sebarang titik Po-didalamA S, yan8 koordinat-koordinatnya (x p, r p, z, ). Definisikan A(x p, y p, z ,) = Ao . Misalkan n, adalah normalsatuan positif terhadap A.9p di P. Bentuk penjumlahan

N

, q'ry ^stl=r

di mana Ap . np adalah komponen nor-mal dari Ap di Pe.

Sekarang ambilkan limit dari jum-lah ini bile M + @ sedemikian rupasehingga ukuran terbesar dari tiap-tiapA S, mendekati lo1. Bila Iimit ini ada,ia disebut integral permukaan darikomponen normal A melalui S dan

dinyatakan oleh

f{ o'" "3

18. Andaikan proyeksi permukaan S pada bidang xy adalah R (lihat gambar dari Soal l7). Perlihatkan bahwa

INTEGRASI VEKTOR

t fo' <-t'u-2"'ta' - t {: 9*t61dt * * I' 14t3+2ta1dt

-*,-3,*I.

II^."u = $ ^"ff,

7r^n",ffi

f,,, "

Menurut Soal 17, integral permukaan adalah limit dari jumlah

(r) I e.r.nrLs,l=t

ProyeksiAS, padabidangxy adalah lfnrAsp'ul'tau Inr'tlASp Yansmanasama det*anLzpLy,

Lr^Ly^sehingga -, =

Fffi. Jadi jumlah (1) rnenjadi

(2')

Menurut teorema dasar dari kalkulus integral, timit jumlah ini bila M + - sedemikian rupa sehingga

Ax, dan Ay, yang terbesar mendekati nol, adalah

Page 101: Analisis Vektor

INT[GRASI VT-KTOR

ff dzdy

JJ A'n FklR

Dengan demikian terbuktilah hasil yang dikehendaki'

Secara tegas. hasil AS^ = W hanyalah mendekati benar tetapi dapat diperlihatkan dengan pe-

z Inp.r I

ngujian yang lebih lanjut bahwa masing-masingnya berbeda dari satu dengan yang lainnya hanya oleh

infinitesimal-infinitesimal dengan orde lebih besar daripada Ax, A!0. Dengan mempergunakan kenyataan

ini. limit-limit dari (l ) dan (2) dapat diperlihatkan sama besarnya'

19. Hitungrah !j ^.rrt,

dimana A= l8zi - l2i+3ykdansadalahbagiandaribidang2x+3v+

c

6z = 12 yang terletak dalam oktan pertarna-

PermukaanSdanproyeksiRnyapadabidangxl,diperlihatkandalamgambardibawah.

Dari Soal 17,dx dy

ln-kl[f ^." o' = I{ ^."

5,?

Untukmemperolehn,perhatikankembalibahwasebuahvektoryangtegaklurusterhadappermukaan2x +3y +62= t2aiu.rit".,'oi"r,'VA;;;j;G;)= 2i +3J +6k (lihat Soal 5 dari Bab 4)' Makanormalsatuan

terhadap sebarang titik dari.S (lihat gambar di atas) adalah

2i+3j+6k trrr 4r_gun = /"+3'?+,'?

-

Jadi n.k = ,?r*fi.ftl.l = + dandengandemikian dr=la,av'

Juga A.n = (182 1-12i+32,k)'rfi*|i*ftl - 362-3-6+18]' =

=Ydi mana dipergunakan kenyataan bahv.,a z - 12 - 2: * 3y

dari persamaan untuk s- Maka6

ff ^.^ ,, = fi n., ff#, = {t ee+ztl a. ai tl g - 2x) dx dv

sipR

Page 102: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR

Untuk menghitung integral lipat dua ini melalui R, ambilkan x tetap dan integrasikan terhadap y = 6

(P dalam gambar di atas) hingga y =12 i b (0 datam gambar di atas); kemudian integrasikan terhadap

x dari x = 0 hingga x = 6. Dengan cara ini R sama sekali terliputi. Integral menjadi

16 [o*'?^/' g - 2a\ dy dx = |^t (24 - rzx * $t a, = 24

,=o j=o {=o

Bila kita mengambil arah normal satuan n berlawanan dengan arah dalam gambar di atas, kita akan mem-peroleh hasil - 24

20. Hitunglah j[ ^'"rt,

dimana a = zi + ri - 3y2zkdan!adalahpermukaansilinderx2 +

cy' = 16 yang terdapat dalam oktan pertama antara z = O dan z = 5.

Proyeksikan S pada bidang xz seperti dalam gambar di bawah dan sebut proyeksinya R. Perhatikanbahwa proyeksi S pada bidang xy tak dapat dipergunakan disini. Maka

[! ^." o' = II ^.n

!-!1tf

^ . Normal terhadap x2 + y2 = 16 adalah V62 +y21 =?ai + 4t. J adi normal saiuan.terhadap S sebagaimanadiperlihatkan dalam gambar di samping, adalah

"=-PJ:Z!*-ri+Yit'1u12 + 12y,12 4

karenax2 +y2 = 16 pada.S.

A.n = (zi +uj* tfrnl.. (Yl = !<rz+xy,1

n.i = 'i 17i .t = I:

Maka integral permukaannya sama dengan

{[ ';'"" = ,[,u !,. '#

+ xt dx dz75

= I (42+B\dz = 90Jz=0

21. Hitunglah I f f"dS dimana g=3lSxyzdanSadalahpermukaandari Soal 20." JJ.t

= "r[ *" fffiR

Kita peroleh

xi + Y iPergunakan"=7,"-i=i seperti dalam Soal 20, integral terakhir ini menjadi

i{ r""s

)) *-,fti+vi) dx dz = *D

_38

r, r'rI I (x2zit xzr/r6..r2 !) dt dzJJ

z=0 x=0

r5I t*,i t 9jzildz = rooi + looj'JJ

Page 103: Analisis Vektor

'r',

INTEGRASI VEKTOR

hirunglah {! <V-rl.n dS dimanaSadalah

c

99

permukaan bolaJika. ._

x'+y'

Vxr

{=yi+(x-?ez)i-ryk,+ ,, = q] di atas bidang xy

l" i ;ll?, U ?,1

L x-?*z -,rl

= zi+yt-2zk

Normal terhadap.x2 + y2 + zr = a2 adalah

Yg2+y2+r21 = zri + zy! + 2zk

Maka normal satuan n dari gambar di atas diberikan oleh

?.x1+At+22k _ zl+yt+zkn =: y'4r2+4y2+4r2 a

karena x2 +y2 + z2 = a2 .

proyeksi dari .S pada bidang xy adalah daerah R yang dibatasi oleh lingkaran *' + y' = a2, z = O

(lihat gambar di atas). Maka

$ ,v**r.^ r, = If iv,r1.n ffisi

y=-/7=

di mana telah.dipergunakan kenyataan bahwa z. = @ - 7 -7. Untuk menghitung integral lipat dua

di atas, transformasikan ke:koordinat*oordinat'polar (p,il di mana, = p cosQ,y = p sin 0 dan d.xdy digan-

ti oleh p dp dQ. Maka integral lipat duanya menjadi

J=:" J,"#PdPd+

P

=r"J

= fi @t+y!-l-,r).r'Jaig, 1f

= f* fo t(p'-o') * o' p dp doJ J ,,/-p_22

d=o p=o

J*

= I* [." <-ro/24 - ffii ac ao

6=o p=0

fpz-ozrs/z - o2G'z-p2li=ol rr

1a3-a31d$ = 0

d=o

T*6=o

{I23. Jika F = 4rzi - y'i + yzk, hitunglah F.. n /.9

Page 104: Analisis Vektor

100 INTECRASI VEKTOR

adalah permukaan kubus yang dibatasi olehI.-v=0, )'=l.z=O,z=1.n=i,.r=l.Maka

di mana 5x=0,x=Sisi DEFG

IDEFG

Sisi ABCO: n

ff ,."0,ABCO

F.nds = ['[

(4zr-ye!+yzk\.idydz

= I'[ 4z,tydz = 2

= -L x =

_ r'r'- JoJo

.trr, ABEF: n=i,/=1. Maka

lf ,"0' = I'I'ABE P

y=h. Maka

tt @xzt'1.eltttxdz

= 1. . Maka

= f'['z = 0. Maka

I'f' cy2 t't.Fk) dxdy

0. Maka

Gy' i + yz k). (-t) dy dz

OCDC: n= -i,

f{..",'OGDC

BCDE: t=k, z

{f ''" o'

BCD E

AFGO: n=-k,

jf .."0'lFGO

:0

(4xzi-i+zk).!dxdz = I"'I'-0,r, = -r

=0

1+xi-y2!.+yk).hdrdy = !'{'r** = *

=0

24.

Jumlahkan, 2+o+(-1)+o+i+o = ,

Dalam mernbicarakan integral-integral perrnukaan kita telahyang bersisi-dua. Berikan contoh dari sebuah pcrnrukaan yang

Ambilkan selenrbar kertas seperti ABCD yang dipcr-Iihatkan pada ganrbar di samping. Pclintirkan lcmbaran diatas sehingga titik-titik A dan B masing-masingnya jatuhpada D dan C, seperti dalam garnbar di sanrping. Jika nadalah nornral positil'pada titik P dari pcrnrukaan, kita da-patkan bahwa bila n bergcrak mengelilingi permukaan iamerubah arah sernulanya ketika tiba kenrbali di /, Jika k i-ta nrencoba membcri warna setu sisi saja dari pcrrnukaan,akan kita dapatkan bahwa semua permukaan ternyatamenjadi bcrwarna. Pernrukaan ini discbut lentbar ll[oebius,yang adalah suatu contoh dari perntukaan berisi-satu. Inikadang-kadang disebut permukaan tak dapat diorientasi-kan. Pernrukaan berisidua adalah dapat diorientasikan.

membatasi diri .pada permukaan-per-mukaan

tidak bersisi-dua.

im'

Page 105: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR t0l

INTEGRAL VOLUME

25. Misalkan Q = 45x2y dan Z menyatakanruangtertutupyangdibatasiolehbidang-bidang4x+2y+z=8'

x = o, y =0, z =0. (a) Nyatakan [f{f

,,Y(a) Bagikan ruang tr/ ke dalam M buah kubus-

kubus dengan volume LVe= LxpLypLzpk = l, 2,. . ., M seperti diperlihatkan da-

lam gambar di samping dan misalkan(x *, y *, z1 ) sebuah titik dalim kubus ini.Definisikan ilxp y*, z*)'Qr. Pandangjumlah

sebagai limit dari jumlah. (D) Hitunglah integral di (a).

QpLvu

yang diambil untuk semua kubus yangmungkin dalam ruang yang ditinjau.Limit dari jumlah ini, bila M -+ 6 se-

demikian rupa sehingga kuantitas-kuan-titas terbesar [I'1 akan mendekati nol,dan jika limit rni ada, diayatakan oleh

{f{ f dv-Dapat,<iipe:lihatkan bahwa Ii-

Y

mit ini tak bergantung.pada cara pemba-giannya jika 0 kontinu diseluruh daerahV.

Dalam membentuk jumlah (l) untuk semua kubus-kubus yang mungkin dalam ruang di atas, ada-

lah sebaiknya diteruskan dalam cara yang beraturan. Salah satu kemungkinan adalah pertama menam-

bahkan semua suku-suku dalam ( I ) yang berhubungan dengan elemen-elemen volume yang terkandung

dalam sebuah kolom seperti PQ dalam gambar diatas. Ini sama artinya dengan mempertahankan .xk

terhadap semua / j. Ini sama artinya dengan menjumlahkan semua kolom-kolom seperti PQ yzng ter'kandung dalam lempengan 7RS, dan sebagai akibatnya sama artinya dengan menjumlahkan semua kubus-

kubus yang terkandung dalam lempengan demikian. Akhirnya, rubah xp, Ini sama artinya dengan men-

jumlahkan semua lempengan seperti R,S.

Dalam proses yang diutarakan di atas, penjumlahan pertama dilakukan terhadap z& kemudian ter-hadap y* dan akhirnya terhadap x&. Namun demikian, penjumlahan ini jelas dapat dilakukan dalam

sebarang urutan lainnYa.

(b) Ide yang terkandung dalam metode penjumlahan yang diutarakan di (a) dapat dipergunakan untukmenghitung integralnya. Ambilkan x d,at y tetap, dan integf,asikar darr, z = 0 (alas dari kolom PQ)

hingga z = 8 - 4x - 2/ (tutup atas dari kolom P@). Kemudian ambilkan x tetap dan integrasikan ter-hadapy. Ini sama artinya dengan penjumlahan kolom-kolom dengan ala-s pada bidangxy (.2=O)yang

terietak dalam ruang dari R(dimana/=0)hinc$s(dimaaa 4x +2y = 8 atau y = 4 - 2x), dan in-tegrasinya darty = 0 hinggay = 4 - 2x. Akhirnya,kita jumlahkan semua lempengan yang sejajar bidang

yz, yan1 sama artinya dengan integrasi dari:r = 0 hinggax = 2.

Integrasinya dapat dituliskan

t{s1h=r

(r)

^2 ^+-2a a8-4x-2Y ^2 -*-2r

J J J 4sx2ydzdydz =isJ J x2y(B-4x-2y)dydx

x=O y=O z=O t=O l-4

^2= 45 | Irr<+-a:r" a, -- rzl,!o

r

Page 106: Analisis Vektor

l02 .INTEGRASI VEKTOR

Catatan : Secara fisis, hasilnya dapat diinterpretasikan sebagai masa dari ruatg V di mana kerapatan-nyapberubah-ubah menurut 0= 4Sx2y.

26. Misalkan F =?szi-xj+y2k.Hltunglah III

F dy dimana I/adalahruangyangdibatasiolehper-

mukaan-permukaanr=0, t=0, y=6, ,=*', !=4.Ruang l/terselubungi dengan (a) mempertahankan : dan y tetap dan integrasikan darj. z = 12 hingga

z = 4 (alas k€ tutup atas dari kolom PO), (D) kemudian pertahankan x dan y tetap dan integasikan dari7=0hinCga.v=6(Rke.Sdalamlempengan),(c)akhirnya,integrasikandarix=0hinegax=2(dimanaz = x2 bertemu dengan z = 4). Maka integml yang diinginkan adalah:

['u=0

(2.zzl-zj+y2tydrdyd,

,[,"{^{;'1,'$;'1,'[.:

i- 24

,!,i .[:= ,{,

= L28

2.zz dz tly dr -

j + 384k

y2 dzdyd,x dzdydx, +

27. Carilah volume dari ruang yang merupakan irisan antara Silinder-silinder x' + y' = a2 dan x2 + 22 = o2 .

Volume yang diinginkan = 8 kali volume dari ruang yang diperlihatkan dalam gambar di atas

Page 107: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR 103

= 8 {" [*" In'dzdydxx=O y-0 z=0

^a ^/87= 8 {" J"o--'- ,/?=, rrn, = , !" (a2-r2\dx = #,=0 rt=o r=0

Soal-soal Tambahan

28. Jika R(r) = (3r2-r)i +(2-6r), -4rk, carilahtrl JnAlar dan (6) f"* *rrrr.Jatuab. (a\ 1ts-t72)l + (2t.-3t2)t - ?s,2t + c (6) 501 - 32J - 24r

f n/229. Hitunglah | <S sinr I * 2 cos uJ) du Jawab. 3l + 2i

Jo

12 1230. Jika A(r) = , t-c2i+ (r-l)L dan B(r) = 2r2 l+6t1, hitunelah(a)Jo *aat, <Ol )o

AxBdr.

Jawab. (oJ 72 (b\ -241- fl * $r

31. Misalkan A =li-3J +2tk, B =t- zi +2L, c = 3l +rJ-h-

Hitunglah 1o; f^2 e.rtc ar,61 12 Ax(Bxc) ttt. Jawab. (c)0 (6) -\t'- ff - fr' 'Jt Jt

32.Percepatatadarisebuahpartikelpadasebarangszatt >0diberikanoleha=;ti-6 (r+lI+3sinrk-Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah nol pada saat t = 0, carilah v dan r pada sebarang saat.

lawab. t= (1 -e-t)l - (gr2+&), + (3-3cosr)x, 1= (t-1+e-li - (,3+3P), + (3'-3sln')l

i

33. Percepatanadarisebuahbendapadasebarangsaattdiberikanolehr= -Slj,dimanagsebuahkonstanta'pada saat , = O kecepatan diberikan oleh v = r5 cos 96 I + t6 sin d6 I dan perpindahan. = 0. Carilah v

dan r pada sebarang saat , > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah'peluru yang ditembakkan dari sebuah

meriam yang membuat sudut 06 terhadap sumbu - x'positif dengan kecepatan awal yang besarnya us

Jawab. v=.6cos06t + (rosindo-6r)r. i= 1q3coe9e)ri + [(oosfn6o)t -i1?)t

34. Hitunglah [r'n.ff0,

jikaA(2)= 2i-i+2k dan A(3)=4i-2j+3k Jawab- lo I

35. Carilah kecepatan luas sebuah partikel yang bergerak sepaojanglintas r=acosGrfi+Dsinc..rrj dimanaa, D, tr adalahkonstanta-konstanta dan , waktu. Jawab. I ab<.'k.

36. Buktikan bahwa kuadrat periode dari planet-planet dalam geraknya mengelilingi matahari berbanding-lurus

dengan pangkat tiga sumbu panjang dari lintasan-lintasan elipsnya (Hukum Kepler ketiga)

.r17. lrka'A = (Z/+3)i + zzJ + gz-r)k. hitunglah f- e.drsepanlangilintasan-lintasanCberikut:

.rC

Page 108: Analisis Vektor

I()4

38.

39.

INTEGRASI VEKTOR

(a).-r=2t2,t'=t, z=1t dari r=0 hingga t=1,(D).garis-Barislurusdari(0,0,0) ke (0,0, l), kemudian ke (0, l,l)dankemudianke(2, 1,!),(c). garis lnrus yang menghubungkan (0,0,0) dan (2, l, 1) Jawab. {a) 288135 (r) l0 (c) I

Jika F = (5x7 - 6x2;i + (2), - 4x)i. hitunglah I r.dr sepanjang kurvaCdalambidangxy,y=x3Jg

ilari titik (1, l) ke (2.8). Jawab. 35

fJika F = (2,t +y)i+ (3.y -x)j,hitunglah I r.ar dimanaC adalahkurvadalambidangxyyangterdiri

"Catas garis-garis lurus (0,0) ke (2,0) dan kemudian'ke (3,2). Jawab. I I

40. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya F --3x2i+(2xz'y')j + zk sepanjang(c) garis-lurus dari (0, 0, 0) ke (2, I, 3)(r) kurvaruangx=2t2', y=t, z=4t2 -t dari t=O ke r=1.(c) kurvayangdidefinisikanoleh x2 --4y,3x3 =82 dari x=0 ke x = 2.Jawab. (a) 16 (b) 14,2 (c) 16

r41. Hitunglahf f.at dimana F=(x- 3y)i+O -2x)j dan C adalahkurvatertutupdalambidangxy,

.rc

x=cosr,y =3 sinf dari,=0hingga r=2nJawab. 6 zr, jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam).

42. Jika T sebrrah vektor stnggung satuan terhadap kurva C, t = t(u), perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan

rdalam menggerakkan sebuah partikel dalam sebuah medan gaya F sepanjang C diberikan oleh f- f' f at

rli mana S adalah panjang busur. - ic

43. Jika F = (2x +y2;i + (3y - 4x)i, hitunglah $ ",0, mengelilingisegitigaCdariGambar l, (a) dalarrr

.rc

arah yang diperlihatkan, (D) berlawanan terhadap arah yang diperlihatkan,Jawab. (a) - lal3 @) 1413.

Gambar I Gmbar 2

44. Hitunglah S o-0, mengelilingikurvatertutupCdariGamb.2diatasjikaA=(rr- y)i+{x+y)j.-JsJawab.2l3.

45. -Iika A = (.v - 2x)i + (3x + 2),)j, hitunglahsirkuiasi A mengelilingisebuah lingkaran Cdalam bidang.xydengan pusat di titik asal dan jejari 2, jika Cdilintasi dalarn arah positif . Jawab. 8tr

a6.@) JikaA= 14xy- 3x222)i+2x2j*2x3zk,buktikanbahwa f n.O, takbergantungpadakurvaCJg

yang menghubungkan dua buah titik yang dibedkan. (D) Perlihatkan bahwa ada terdapat suetu fungsidiferensiabel @ sehingga A = Vd dan carilah fiingsi itu.Jawab. (il Q=2x?Y - x3z2 +konstanta.

47. (a) Buktikanbahwa F = (y2 cosz +2311 + (ryslna -4)J + (3r22+2ll.adalahsuatumedankonservatif.(D) Carilah potensial skalar untuk F.

Page 109: Analisis Vektor

INTEGRASI VEKTOR

(c) caritah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah obyek dalam medan ini dari (0' l' -l)hingea (a/2, -1,2)

Jawab. (b) 6=y2sin x+xz1 -4y+22 +konstanta' (c) 15+41

48. Buktikanbahwa F = 12r adalahkonservatifdancarilahpotemialskalarnya' Jawab'$ ={ + konstanta

49. Tentukan apakah medan gaya F = bzl + (12-!rt + (22 - x2;k konser"atif atau tidak-konser-

vatif. Jawab. Tidakkonservatif'

50. Perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan pada sebuah partikel dalam menggerakkannya dari-z{ hinega I

sama dengan perubahan energi kinetik pada titik'titik ini, tak bergantung pada apakah medan .Sayanya

konservatif atau tidak.

51. Hitunglah f n.o, sepanjangkurvax2 +y2=1, z=l dalamarahpositifdari(0, I,l)hingea(1,0, 1)

"Cjika n= Otz+zx)i+xzi+(xy+22)k Jowob' I'

52. (a) Jika E = rr, apakah terdapat sebuah fungsi f sehingga g= -i$t Jika demikian, carilah' (b) Hitune-

?3lah d

".r. jika C sebarang kurva tertutupsederhana' Jawab' @) Q = 'T + konstan

Jg

(b) 0

53. perlihatkan bahwa (2r cosT + z sln/) d, + (zz coey * z2 sltll dy + ! f,l!T ilz adalah statu.diferensial

eksak. Karena itu, pecahkan persamaan diferensial 1L cosy + i sinyt dz + <'z cos/ - x2 s16l'ldy +

z stnT fz = 0. Jawab'r2cosl + xz sLny = ko:rstan'

54. Pecahkan (a'1 p-! -'gr2y2)ilx + (2xsy -r"'!)'ly = o,

(6) (z - e'xsLty)dx + (l +e-'co.sv) dy + (x-&2\ilz = O'

Jawob.1a1 ,.-! +,s!2 =konstan (b)rz + e-xslay + y - 422 =konstan

r55. Jika Q = 2"y2, + :27. hitunglah J, Q o, di mana C.

(a) adalahkurva r=t, l=t2,2=ts dari r=0hinsgar= l'(D) terdiriatasgarisAarislurusdari(0,0,0)tetiIO,0),kemudianke(f,1,0)dankemudianke(1'l'l)'

rawab. (a) |tr * {tr * ff r (b) +, + 2k

r56. Jika s =hyl- zt+zk, hitunglah Jra*O' sepanjangkurva:=costr 7=sln'' z=2cos'

dari /=0 hingga t=n12. Jawab. (2 -!lt * (1r - +'),

f57. Jika A = (3r+/)t - r! + (y-2\l danB = 21 -3!+k, hitunglah J fe"nl'dr mengelilingilingkar-

an dalam bldang x7 yang berpusat di titik asal dan berjejari 2 yang dilintasi dalam arah positif'

Jawab.41T(1i+31\

58. Hitunglah -f{ ^'"ds untuk tiap-tiap kasus berikut'

J

(a) A = y I + ?, ! - z k dan S adalah permukaan bidang 2x + y = 6 dahm oktan pertama yang dipotong

olehbidangz=4

(b) A = (a+y2)l- 2tt + 2yzh dan S adalah permukaanbidang2x +)+22 =5dalamoktanpertama'

5g. Jika F = 2yl - z! + x2k danSadalahpermukaansilinderparabolik.y2 =8.rdalamoktanpertamayang

105

Page 110: Analisis Vektor

IM

60.

61.

INTEGRASI VEKTOR

hitungrah ff ,." rt .

3

Hitunglah ff ^'"

rt melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi oleh silinderx2 + zz =9,"8

x=0, y=0, z= 0 dan y =8, jika A = 6zl + (b+y)l _ xt. ,Iawab. lgn.

Hitunglah {f ,."rt melalui : (a) permukaan ,S

.'koordinat dan bidang-bidangf = l, y = l, 2 = 1,di (0,0,0). Jawab. (a) 3 (b) 4r,os

52' Hitunglah {f ^'"ds melalui seluruh permukaan dari daerah di atas bidang xy yangdibatasi oleh ke-

s

rucutz2 =x2 +y2 danbidangz=4, jika A = 4zzl + xyz2! + 3zl. Jawab. 320n

63. (a) Misalkan R adalah proyeksi dari sebuah permukaan S di atas bidang xy. Buktikan bahwa luas permu-

kaan s diberikan oleh If /. rlf-@ drdy iikapersamaan untuk s adatah z = f(x, y),R

(D) Lalu bagaimana luas permukaannya jika S memiliki persamaan F(rg,zl=e7

,,€."W-T,#Jawab. ll ' dtd-rJ l?rl.P l=-l-dz

Carilahluaspermukaandaribidangx +2y+22=lZ yanedipotongoleh (o):=O,r=0. r=1,!=li(6) r=0. /=0, dan x2 + y2 = 16. Jawab. (a) 312 (b)l en

Carilah luas permukaan dari daerah yang merupakan persekutuan irisan silinder+ ilnder * + f = * dan12+ z2 = o2. Jawab. l6a2

Hitungrah Ol ff <Y,n.ras dan (D) fi f ads jikaF = (,+2r)r - 3tl + rt,Jg

Q = q"+3y-22,

dan .S adalahpermukaan 2x+y+22=6 yangdibatasioleh x=0, x=1, !=O dan y=2.Jawdb (c)1 (;) 2i+J+2t

67. Pecahkansoaldiatasjika S adalahpermukaan2x+y+22=6yangdibatasiolehx=0, y=O dan z=0.Jawab. (al 9/2 (bl tZt + 36, + ?2t

68. Hitunglah {f

O-fdzdy melalui daerah R dalam bidang xy yan1dibatasi oteh x2 + y2 = 36.

Jawab. l44tr R

59. Hitunglah ff{ ,*rrtdV. dimana v adalahruang tertutup yang dibatasi oleh silinder z = 4 - x2 dan

bidang-bidan[x=0, y= O, y=Z dan z=0. Jawab. 8Ol3 :

dibatasi oleh bidang-bidang.y = 4 d,an z = 6,Jawab. 132

dari kubus satuan yang dibatasi oleh bidang-bidang

(b) permukaan sebuah bola berjejari a dengan pusat

64.

65.

Page 111: Analisis Vektor

INTECRASIVEKTOR IO7

20. Iika F = (2r2-3.)r - byt- 4,i, hitunelah <rl tffv-rav dan {D) {ffvrrrv, di

7lmana Y adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang.r = 0, y =0, z=0 dan Zx+Zy+z=4.

Jawab. (al $ ttl $6-rl

Page 112: Analisis Vektor

TEoREMA DIVERCENSI GAUSS menyatakan bahwa jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu per-

an dengan turunan-turunan ,*, oor,rfi]ffl"tertutup s dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari keduduk-

ff{r^a, #di mana n adalah normal positif (Cigambarkan ke arah luar) dari S.

TEoREMA sToKEs menyatakan bahwa jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi-dua yang dibatasi olehsebuah kurva tertutup C yang tidak merrotong dirinya (kurva tertutup sederhana) rrakajika A memiliki turunan-turunan kontinu

A.ds

= -[f rr,A1.n ds = ff tv*^t.a,f*"di mana c dilintasi dalam arah positif. Arah dari c disebut p ositif jka seorang pengamat, berjalan pada daerahbatas dari s dalam arah ini dengan kepalanya menunjuk pada arah normal poriii terh"dap s, maka ia mendapat-kan permukaan ini disebelah kirinya.

TEoREMA GREEN DALAM BIDANG. Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam biciar-rg xy yangdibatasioleh sebuah kurva tertutup sederhana C dan jika M jan ,a/ adalahfungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R , maka

f or, *rr, = "l"Ir*

_

R

di mana c dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putaran jarum jam). Bila tidak ada pernyataan lain, kitaakan selalu menganggap f berartibahwa integrz'nya dimaksudkan a.rr* ,.J f.ritir.

Teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes (lihat Soal 4). Juga, menarik untuk di-ketahui bahwa teorema divergensi Gauss adalah perluasan teorema.Green dalam bidang di mana (bidangnya)daerah R dan batasnya yang tertutup (kurva) c diganti oleh suatu a..*tr 1-rrgy z dan batasnya yang tertutup(permukaan) S. Berdasarkan alasan ini teorema divergensi seringkali disebut tef,rema Green dalam ruang (lihatSoal 4).

Teorema Green dalam bidang juga berlaku untuk_ daerah-daerah yang dibatasi oleh sejumlah berhinggakurva.kurvasederhanayangtidakberpotongan(1ihatSoa1-soal10dan11i.

Yt d,d'dy

Page 113: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI,TEOREMA STOKES, DANTEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN IO9

TEOREMA.TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN ]

,. il{ rrf s + rsv. tvt fl dv = f f ,ro 'r,'',,"y,9

Ini disebut teoremo identitas Green pertama

,. {I{,rn,1, - et41av = ,fI@V,l'- *V{4r.dsJ

Ini disebut teoremd identitas Green kedua atau teorema simetis- Lihat Soal 2l

'. fffv,^r, = ff,,*n,rt = ffrr-n

a. joa, = Il,"xvpyds ff ', 'v+

Perhatikan bahwa disini perkalian titik dari teorema divergensi Green diganti dengan perkalian silang.

Lihat Soal 23.

5. Misalkan ry' menyatakan sebuah fungsi vektor atau skalar bergantung pada apakah simbol o menyatakan

sebuah titik atau tanda silang atau suatu perkalian silang. Maka

fffo"rr, = fi"",r,n = IJds"*

o lt = II-xv1 " rPds

Teorema divergensi Gauss, teorema Stokes dan teorema-teorema 3 dan 4 adalah kasus-kasus khusus dari teo'

rema-teorema ini. Lihrt Soal-soal 22,23 dan 34.

BENTUK OPERATOR INTEGRAL UNTUK V. Adalah menarik untuk qrempergunakan terminologi dari

Soal 19, bahwa operhtor V . dapat dinyatakan secara sim'

bolik dalam bentuk

! o = tim -L .FA.ls "^Y'o

LV Y/-"AJ

dimana o menyatakan sebuah titik, tanda silang atau perkalian biasa (lihat Soal 25). Pemyataan di atas ter-

bukti bermanfaat dalam memperluas konsep-konsep gradien, divergensi dan curl kedalam sistem-sistem koor-

dinat lain dari pada sistem koordinat tegak lurus (lihat Soal-soal 19,24 danjuga Bab 7).

I

= '^ f{""xv1 o rP

.'

Y

{"

Page 114: Analisis Vektor

lI0 TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DANTEOREMA INTEGRAL YANG BERKATTAN

Soal-soal yang DipecahkanTEOR.EMA GREEN DALAM BIDANG

l. Buktikan teorema Green.dalam bidang jika C adalahsebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa se-

barang garis lurus yang sejajar sumbu-sumbu koordinatmemotong Cpaling banyak pada dua buah titik.

Misalkan persamaan kurva-kurva AEB dan AFB(lihat gambar di samping) adalah masing-masing y -y1{x) dan I = tzft). Jika R adalah daerah yang diba-tasi oleh C, kita peroleh

{!*". = ,!,'l,l*,"'*,4,, = {,'uo,,tf),,.,* = f.ub,,,,,,-*o,,,1,,

= - fo uo,rr, o, - fo"

ro.r,, ,, = - f, r *

Maka (;) [*0. = ${0,r,Jc uru ,

Dengan cara yang sama, misalkan persamasn?ersamaan kurva EAF dan EBF adalah masing-masiag

= {"

Ng1,fidy * ff n<*,,r1r, = frr*

f{**,,x

d/v du .

- - -lltUdA.dr q'

Maka

Jumlahkan {t'laane1,$Mdr +Ndy =

2. Buktikan teorema Green dalam bidang untuk

6 @y +y') ilr t x2 dy di mana C adalah*

kurva tertutup dari daerah yang dibatasi.oleh

.y=x dan /=x2.y = x dan y = x2 berpotongan di (0,0)

dan (1, l). Arah positif dalam melintasi Cseperti yang diperlihatkan dalam gambar disamping.

fi,x

Sepanjang y = x2 , integral garisnya samadenganfl fl

1 ((,)(,') + xa) dx + @1ql-1ax = Jo af * *1 a, = i3

Page 115: Analisis Vektor

TEORIlMA DIVtiRGI:NSI. TT]ORTJMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Sepanjang y = x dari ( 1. I ) hingga (0, 0) integral garisnya

10 foJ, (1''11'1 *

") a' + 12 dr = J, 3x2 dx = -l

Maka integral lintasan yang dicari= i3 - t = - * .

fi,* -{rr,a = ff t$<,'r *$pv*v't7a,avPP

= fio-rrrr,o, = [' f'o-rrrnrr,

Ilt

f,

I= ["'

sehingga dengan Jemikian terbuktilah teoremanya.

Perluastah pembuktian teorema Green dalam bidang yang

diberikan dalam Soal I untuk kurva'kurva Cuntuk mana

garis-garis yang sejajar sumbu'sumbu koordinat memo-

tong C pada lebih daripada dua titik.

Pandalg sebuah kurva tertutup C seperti diperli-hatkan dalam gambar disamping, dalam mana garisgarisyang sejajar sumbu+umbu koordinat memotong C pada

lebih daripada dua titik. Dengan membuat garis,SI, ma-

ka daerah yang ditinjau terbagi kedalam dua buah daerah

Q dan R2 yang tergolong kepada jenis yang ditinjaudalam Soal I dan yang mana berlaku teorema Greerqyakni

a= Q y=a2

tf <.-aror)o, = ['1xa-f1 dr = -*

ar-fili,a,

3.

(I) f *r,*nr, - ffr*JfrS xl

- 7M , d,d,at'

(2t f rr,*nr, = ilr*-{ru*Jrfs R2

Jumlahkan ruas-ruas kiri dari (1) dan (2), maka,denganmengabaikanintegrandMdx *Nd7 dalam se-

tiap kasus, kita peroleh

{.{={.[.[.{= f .fsfr.9 srrs Jf rlts srr f,t 1t13 SU

di nrana telah dipergunakan kenyataan bahwa [ = - [st fJ

Jumlahkan ruas-ruas kanan dari (l ) dan (2), dan abaikan pula integrandnya,

fi.ilP1 R2

di mana R terdiri atas daerah-daerah R1 dan R2.

=fTgSYT

=ffR

Page 116: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERCENSI, TEOREMA STOKES. DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Maka

Daerah R seperti yang ditinjau di sini dan dalam Soal l, untuk mana sebarang kurva tertutup yang ter-letak dalam R dapat disusutkan s€c.iua kontinu ke sebuah titik tanpa meninggalkan R, disebut suatudaerah terhubung-sederhana (simply-connected region) Daerah yang tak terhubung sederhana disebutterhubunglipatzanda (multiply-connected). Disini telah kita perlihatkan bahwa teorema Green dalambidang berlaku untuk daerahdaerah terhubung-sederhana yang dibatasi oleh kurva-kurva tertutup. Da-lam Soal 10, teorema ini diperluas untuk daerah-daerah terhubung-lipat-ganda.

Untuk daerahdaerah terhubung-sederhana yang lebih rumit, perlu dibuat lebih banyak garis4aris,seperti .Sf, untuk membuktikan teoremanya.

4. Nyatakan teorema Green dalam bidang dalam notasi vektor.

Kitamemperolehl{dx+ Ndy = (l{t+NJ).(drt +dy!,' = A.dr,dimana,A =,t{l+/Y,

dan r = xl+y1 sehingga eh = drl+dyl.

. Juga,jika A = Ml +/VJ maka

Vxe - 3,.dj

{I USTt

14 dr + N dy = ff ,* - *, U* dan dengan demikian terbuktilah teoremanya.

x

tJta a_a?24?,4.,0

= -gr*gr+(PVz dz - 'dz

Sehinsga (Vre).,, = * -#Maka teorema Green dalam bidang dapat dituliskan

f ! ,o-A).r d,R

a?

di mana dR = dxdy

Perluasan hasil ini kepada permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batas-

nya memberikaln teorema Stokes yang dibuktikan dalam Soal 31.

Metode tdin.

Seperti di atas,Mdx + Ndy = A.dr = e. * a" = A.Tds,' d,s

di mana f; = f = vektor singgung satuan pada

C (lihat gambar di samping). Jika n adalah normal satuandengan arah keluar pada C, maka T = k x n sehingga

)l dx + N dy = A.T ds = A.(hxn)ds = (Axk).n ds

Karena A =Ml+Nl, B = Axk = (/tii+tYJ)xk = iYl-i/j dan

Mak: teorenra Creen dalam bidang mcnjadi

B.nds = ffv."r*f

v.

?ry -@ = v.,.dr dy

tdi mana dR = d.rd

Page 117: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTECRAL YANO BERKAITAN n3

perluasan hasil ini ke dalam hal di mana diferensial panjang busur ds dari sebuah kurva tertutup C diganti dengan diferensial luas permukaan dS dari sebuah permukaan tertutup .i, dan daerah bidang R yang

bersangkutan yang dibatasi oleh C dieanti dengan volume / yang dibatasi oleh S, memberikan teorema di-

vergensi Gcuss atau teoremd Green dalam ruang.

B.n dS

5. Inter2retasikan secara I'isis hasil pertama dari Soal 4-

Bila A menyatakan medan Eaya yan1 bekerja pada sebuah partikel, maka $ *a, adalah usahaJC

yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C dan ditentu-

t"n1t.n harga Vxe. O"ri1ini, untuk halkhusus dimana jika VxA=0 atau ekivalen dengan e=V@,maka integral mengelilingi suatu lintasan tertutup adalah nol. Ini sama artinya dengan mengatakan bahwa

usa[ra yang dilakukan dalam menggerakkan partikel dari satu titik dalam bidang ke titik lain tak bergan-

tung pada lintasan dalam bidang yang menghubungkan titik-titik ini atau medan gaya adalah konservatif.

Hasil-hasil ini telah diperlihatkan untuk medan-medan gaya dan kurva-kurva dalam ruang (lihat Bab 5).

Sebaliknya, jika integralnya tak bergantung pada lintasan yang m€nghubungkan dua buah titik sebarang

dari suatu daerah, yang berartijika integral mengelilingi sebarang kurva tertutup adalah nol, rnaka

f[[ v",,V

fi

VxA=0. Dalam bidang, persyaratan VxA=0

A=Mi+Nj.

Metode lain.

Karena

Maka

ekivalen dengan persyaratan

(lox4 - zrysl d,x - 3x\2 dy adalah suatu diferensial eksak (dari 2xs -

?y_?NZy-?, di mana

6. Hitunglah (10ra-?,xys1dx - \rn' dTsepanjanglintasan f-6xf =arz

Perhitungan secara langsung adalah sulit. Walaupun demikian, dengan mengingat bahwa M = l}xl -?,ays

N = -1x12 a.n p = -Gry"=y, ,'dymaka dari sini diperoleh bahwa integralnya tak bergantung pada lintasan.

Maka kita dapat mempergu.nakan sebarang lintasan, misalnya lintasan yang terdiri atas potongan-p6tong-

an garis{urus dari (0,0) ke (2,0) dan kemudian dari (2,0) ke (2, l).

Sepanj ang lintasan garis lurus dari (0, 0) ke (2, 0), y = 0, dy = O dan integralnya sama{engan

p2I tox4dt = 64.

loSepanjang lintasan garis lurus dari (2,0) ke (2, 1), x = 2, dx = 0 dan integralnya samadengan

aII -n'dv =-4.

Jy=0

Maka harga dari integral garis yang diinginkan = 64 - 4 = 6O.

{,,,"

?u=?ry7v 7,

,' !')

60{:,";" eox4-zxy3)dx - 3x)2dy = [:,:" dpxs-?ys) = zxs -.rtii;ii

Page 118: Analisis Vektor

II4 TEOREMA DIVERGENSI,TEOREMA STOKES, DAN TEOREMAINTEGRAL YANG BERKAITAN

7. Perlihatkan bahwa luas daerah yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C diberikan oleh

r fr.. o, - .y,t, .

Ambilkan M = - y, ly' = x dalam teorema Green. Maka

f ,a, -.a, = {t (S<"r - $<_r) a,u = , {f o,r, = zAJc R p

di mana ,4 adalah luas ysng diinginkan. ladi A = f {, "* - y dx .

8. Carilahluasdarielips r = c cos 0, y = b sin|.

f ?2nLuas ,= *t, ,4 - yd, = *J, 6 cos011b cos01 a0 - (6 sind11-a sin01 a0

72tr n?t= il ab@oa20+stazltd0 = *l--',0a0 = nab.ts 'Jo

f9. Hitunglah # ,r-slar.1i!x + eosx ily, di mana cJsr

ad.alah segitiga dari gambar di samping:(a) secara langsung(D) pergunakan teorema Green dalam bidang.

(a) Sepanjang OA, y = 0, ay = 0 dan integralnya sama_dengan

fnh nnhJo (o - alnt)dr + (cosr)(o) = J, - sin: dz

tnb= coszlo = -l

Sepanjang AB, r =[, Ar=g dan integralnyasamadengan

[' o-t)o + od]' = oJs

Sepanjang BO, y = ff , ay = fla, dan integralnya samadenganr0

l,O ,*- slnr)dz + fl cos, d" = <f r.ou* +Z sinll,o*

Makaintegralsepanjangc = -l + 0 + I - f - + = - T

(b| M = J,-sln:, /Y = cosr. # = -"inr, $ = r

$ ur, r rr, : II ,* -{rr,o,R

nnh= I Fl sn, - ffto,

sesuai dengan bagian (a).

-Tr2'4Tt

2.at

= f l l"'"(-sinrz=0 L/=o

. dan

{[ ,-"r,, - rr dydx

R

- ,, orfo, = ,f,o"

(-/ sinr - y)l:'/' r,

= -+r-,cosx+sinr) -+( = -+-i

Page 119: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN lts

perhatikan bahwa meskipun terdapat garisaaris yang sejajar sumbu-sumbu koordinat (berimpit dengan

sumbu-sumbu koordinat dalam hal ini) yang memotong C dalam tak berhingga banyaknya titik-titik,teorema Green dalam bidang tetap berlaku. Pada umumnya, teorema ini berlaku bila C tersusun oleh sejum-

lah berhingga potongan-potongan garis lurus.

10. perlihatkan bahwa teorema Green dalam bidang juga berlaku untuk daerah terhubung-lipat-ganda R seperti

yang diperlihatkan dalam Sambar di bawah ini.

Daerah berbayangan R yang diperlihatkan di bawah, adalah terhubunglipatianda karena tidak setiap

kurva tertutup yang terletak dalam R dapat disusut-

kan ke suatu titik tanpa meninggalkan R, yang dapat

diamati dengan misalnya rlemandang sebuah kurva-yang mengelilingi DEFGD. Batas dari R, yang terdiridari batas lrat AHJKLA dan batas dalam DEFGD'

dilintasi dalam arah positif, sehingga seseorang yang

beq'aian menurut arah ini selalu mendapatkan bahw4

daerah R disebelah kirinya. Terlihat bahwa arah-arah

positif adalah arah-arah yang ditunjukkan dalam gam-

bar disamping.

Untuk membuktikan teorema ini, buatkan sebuah

garis, seperti AD, yang disebut sebuah penyilang

(cross-cut), yang menghubungkan batas-batas luar

dan oalam. Daerah yang dibatasi oleh ADEFGDAL'KJHA fialah terhubung-sederhana dan derrgan de-

mrkian berlaku teorema Green. Maka

f Mdx + N,tv = ttADEFGDAIItrJflA R

- lt a,o,dy

Tetapi integral disebelah kiri, dengan mengabaikan integrannya, sama dengan

-fn. tuorjika kurva C1 adalah kutvaALKJHA,

f-JALXJEA

C2 kuna DEFGD dan C adalah batas dari

R yang terdiri atas Cr dan C, (dilintasi dalam arah positif), maka Irr. [, = [ dan dengan demikian

<! -lta,o,Ox ol

I 1. Perlihatkan bahwa teorema Green dalam bidang berlaku untuk daerahR ' dari gambar dibawah' yang dibatasi

oieh kurva-kurva sederhana c L (ABDEFGA), c, (flKLPa, Cx (QSTUQ) dan ca vwxYm.

IAD

karena

,AN(<-o,

- T - J- T TDEPGD DA I'KJIIA DEFGD

$ruo"*ro, = fiR

l,=

Page 120: Analisis Vektor

I I6 TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Buatkan penyilang-penytlang AH, LQ d,an TV. Maka daerah yang dibatasi oleh AHKLQSTVWXYVTII-ALPHABDEFGA adalah terhubung*ederhana sehingga teorema Green berlaku. lntegral melalui batas inisamadengan

{.1.f .{.1. t.{.{.[.1.1, {Afl frXI, LQ 83T TY YYXTY iT TgA A LPil EA LBDEFCA

Karena integral-integral sepanjang AH dan HA, LQ dan QL, TV dan VT secara berpasangan saling mengha-puskan, integral ini menjadi

I I, [. {. {. {flXL Q,T TTXTY IAQ IIPI IBDEIG{

=U./) .({./) . [. I'ErL LPE' ,gsr toA, yyxrr nDEFcA

di mana C adalah batasnya yang terdiri atas C1 , Cz, Ct , dan Ca . Maka

f aa, * xa, = il,y -{ta.+sebagaimana dikehendaki.

?12. Buktikanbahwa $ Aa, + Ndy = 0 mengelilingisebarangkurvatertutupCdalamsuatudaerahterhu-Js ..:

bung sederhana jika dan hanya jika q[ = AI di semua titik da]am daerah itu.oy Ox

Anggaplah M dan N kontinu dan memiliki turunan-turunan parsial kontinu di semua titik dalam daerahR yang dibatasi oleh C, sehingga teorema Green berlaku. Maka

f[,P -!1a,avt Mdx+Nd,r

"f" ox oy

Jika + = + dalam R, maka jelas $ ,0, + Ntty = o.dy dx JC

Sebaliknya,andaikan $ fr*+Ndv = 0 untuk semua kurva-kurva C. fitaS-P, O

pada sebuah titik P, maka dari sifat kontinu turunan-turunnya, berlaku Uanwa p - P r 0dalam bebe-Ox dy

rapa daerah ,4 yang mengelilingi P. Bila f adalah batas dari ,4 maka

$ uo, * uo, = II,* -{ta,a, , ,rPA

yang bertentangan dengan anggapan bahwa integral garis mengelilingi setiap kurva tertutup adalah nol.

EKLPfl WTUQ YIIXTY ILD_EFGA

= !r,* {r". [r,* fr,= [,v2 !3

Page 121: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN tt7

Dengan cara yang sama, anggapan

pada semua titik.

dan dengan <iernikian

< 0 menghasilkan suatu kontradiksi. Jadia/v dMdr dy

?ry_?u_n7, Ay

Perhatikan bahwa persyara,"n F = P ekivalen dengan VxA = 0 di mana A = l/t + iVJ 0i.dy. o,

hat Soal*oal l0 dan I l, Bab 5). Untuk perluasannya padakurva-kurva dalam ruang, lihat Soal 31.

13. Misatkan, = +#. (a) HitunglahVx F. (D). Hitunglah f

a. "

mengelilingi sebarang kurva

tertutup dan jelaskan hasilnYa.

(c)Vxr = = 0 dalam sebarang daerah tidak termasuk (0,0).

-y ax2 +y2 x2 +y2 u

,u, f ..r, = {4#9. Misarkan ,=pcose,y=psind, dimana(p,d) adalah koordi-

nat-koordinat Poiar. Makadx = -psind dQ + itp.cosQ, dy = pcosQ dQ + dpsLn$

,kaazv 7,

I

a?,

(lihat Gambar (a) di bawah) yang mengelilingi titik asal, 0 = 0lintasan lengkap kembali di .4. Dalam hal ini integral garis sama

=+#h =d4r= alarctan|)f +y'

Untuk sebuah kurva terhltup ABCDAdi ;4 dan d = 2n setelah melakukan satu

rhrdengan I dQ=Zn.

.6

Gambar (a) Gambar (D).

Untuk sebuah kurva tertutup PQRSP (tihat Gambar (b) di atas) yang tidak mengelilingi titik-asal,

O = O" di p Can Q = do setelah melakukan satu lintasan lengkap kembali di P. Dalam hal ini integral garis

t6"sama-dengatr !. oO = o.

Vo

Karena F= Mi+ NJ, VxF=0 ekivalendengan + = + maka hasilnyatampakbertentangan'Olox

dengan hasil dari Soal 12. Walaupun demikian, tidak terdapat kontradiksi karenaM = -*rzdan N = 7+

tidak memiliki turunan-turunan yang kontinu di seluruh sebarang daerah yang mengandung (0,0), dan ini

dianggap berlaku dalam Soal I 2.

TEOREMA DIVERGET.ISI

14. (a) Nyatakan teorema divergensi dalam kata-kata dan(D) tuliskan dalam bentuk koordinat-koordinat tegak'

lurus.

Page 122: Analisis Vektor

ll8 TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA.STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Integral permukaan dari komponen normal sebuah vektor A mengelilingi sebuah permukaan tertutupsama{engan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas.

Misalkan a= A.'+A2i+Ask.MakadivA= V.A = *,. %a - +.dx dy dz

NormalsatuanterhadapSadalah n = nri + 12j + qk. Makanl= n.i = cosd, n2= n.J =cosB dan z3= n.k = cos7, dimana&,0,yadalahsudutsudutyangditruatnmasing-masingdengansumbu-sumbux,y,zataudenganarah-arahi,j,k.Besaran-besarancosa, cosp, cosT adalaharah-arahcosinus dari n. Maka

A.n = (l1i +A2l+Ask\.(cosoi + cosBj + cosTk)

= /4lcosU, + A2cosB + Ascosf

(a)

(b)

dan teorema divergensi dapat dituliskan

f$,+.*.!t,,0,0, [{ ,o,.,.,J

+ Arcosp + ;{rcosT)dS

[5. Demonstrasikan teorema divergensi secara fisis.

Misalkan A = kecepatan v pada sebarang titik dari fluida yang bergerak. Dari Gambar (a) di bawah:' Volume dari fluida yang melewati dS dalam Ar detik

= volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dS dan tinggi atau panjang vAf= (v&).ndS = v.ndSAr

Maka volume per detik dari fluida yang melewati dS = v . n d,S

Gambar (a)

Dari Gambar (6) di atas :

Gambar (D)

Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S

= {f ''"n't

Dari Soal 2l Bab 4, Y.v ttV adalah volume per detik dari fluidayangkeluardarisetruahelemenvolume d tr/. Maka

Volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam ,S

Y.v dV

Jadi {l ,.",'fit

v

tt{Y

V.v dY

Page 123: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI,TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRALYANG BERKAITAN I19

16. Buktikan teorema divergensi.

Misalkan S sebuah permukaan tertutup yang sedemikian rupa sehingga sebarang Egris sejaiar sumbu-sumbu koordinat memotong S paling banyak pada dua buah titik. Anggaplah persamaan-persamaan daribagian-bagian bawah dan atas, Ss dan Sr, masing-masingnya adalah z =fr{x,y) dar. z =L (r,y).Nyata-kan proyeksi dari permukaan pada bidangxy dengan R. Pandang

fff ** = ryf !r,,,,, = $ l,={::, *,,)**

ll n,o.r,,rl!=,.b* = I{ [4a,r,r,t - A.t,.r,r,\) dy,t,"; -!7'

r

Untuk bagian ",". ,r, dy dx = cos /2 dS, =k. n, dS2. karena normal n2 terhadap 52 membuat sudutlancip 7, dengan k.

Untuk bagian bawah 51, dy dr -- - cos I d51 = - h'trt d51 karena normal n, terhadap Sr membuatsudut tumpul 71 dengan k.

dan

ft n"<''''1'to'o'fr

{{ n o.,,1,,,,o*il

{f n"o,,.1,,r,,,R

- f I o""'''r;)dYd'R

{l ^"r.n2ds2&

- il^"t.n1ds1.tl

= fi ^,tr.n2ds,s2

= ff o,*.^0,s

- II n,k.n1ds,

31

Maka

sehingga

,) {!{ ** = ![ n.u.^n,r,t

Dengan cara yang sama, dengan memproyeksikan S pada bidang-bidang koordinat lainnya,

Page 124: Analisis Vektor

I2O TEOREMA DIVERCENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

(2) Ifi** = fIn,u^o'YS

(r) {l{** = ffn,,.^o'rtJtrmlahkan (1),(2) dan (3),

fff ,*-+.ltrn = fi ,^,r+/2,+r3k).ndsys

fff v.^,, - {f n.",'vs

atau

Teorema ini dapat diperluas pada permukaan-permukaan yang ada sedemikian rupa sehingga garis-ga-

ris yang sejajar sumbu-sumbu koordinat m€motongnya pada lebih daripada dua buah titik. Untuk mem-buktikan teorema ini, bagikan daerah yang dibatasi S kedalam subdaerah*ubdaerah yang permukaan-permu-kaannya memenuhi persyaratan ini. Prosedur ini analog dengan yang dipergunakan pada teorema Greendalam bidang.

17. Hitunglah il "."r/S, dimana F = 4xzi-y2i+yzk dan S adalah permukaan kubus yang di

batrsioleh ,=0,,y =1,y=O,!=L, z=0, z=l-Dari teorema divergensi, integral yang dimintakan sama-dengan

fi[o.",, = f tf [rtn ,, * f,e,,t * *,,",)onYY

= il{ @z-ytdv = {' [' ['*n,-y\dzd,ydxY r=o !=o z=o

= [' !'r"r-r,l'"-odrd, = [' {'rr-r.,nrn, = tx=o y=o x=O f=O

Integral permukaan dapat pula dihitung secara langsung seperti dalam Soal 23, Bab 5.

18. Periksalah kebenaran teorema divergensi untuk A = 4xi - 2y2 i + z2k yang diintegrasikan melalui ruangyang dibatasi oleh x2 + y' = 4,2 = O dan z = 3.

r,,tesrarvorume = IIIs.a,av = Iil [*,*, *&r-rr,r.*r*r)0,VY

= fil G-4y+22)dv = f {* [' ,u-nr*r,rdzdyd,x = s41r

v x1-z y-=-nq:7 io

Permukaln S dari silinder terdiri atas alas S1 (z = 0), tutup atas .S2 (z = 3) dan bagian cembung Sr(-r2 +

:'2 = 4). Maka

rntegrarpermukaan ={f n^ot = fI^'"as,- f{l.'nds,+ {{n'^""s.51&&

Page 125: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANC BERKAITAN

Pada,Sr (z=0), n=-k, A= 4xt-2y2! danA.n=0,sehingga $ ^."dS1 =6.

Pada.lz (z = 3), n=k, A = 4at - 2y2! + g*, dan A.n=9,sehioeg. &

. fi "'"0t, = t I{ u, = s,tr,karenaluas sz=4tr

t2l

s2&

PadaSr (x2 +y2 =4). Sebuahgarisyangtcgak-lurusx2 +y2 =4 mempunyai arah 9p2+yz1 = 221+

?J.Makanormalsatuannyaadalah " = P = "Y

karenax2 +y2 = 4.y'4r2 +4y2

A.n = (4rt-tyrll.rzyr.r'l!Yly = z*-y"

dV=drdydz

Dari gambar di atas,x = 2 cos 0, .y = 2 sin 0, dS3 = M0dz, dan dengan demikian

{! ^'""" - J:,[:[z(eco" 0t' - (zsind)3] 2dz d0

f2n 72t= | G1cos2/-4asin301d.0= | *acos20d0-4Br.

,,J0=O 9=O

Maka integral perrnukaan = 0 + 36:r + 48r, = 84tr, yang mana sesuai dengan integral volume dan dengan

demikian kebenaran teorema divergensi ini terbukti.

Perhatikan bahwa perhitungan integral permukaan melalui 53 dapat juga dilakukan dengan mempro-yeksikan .S3 pada bidang-bidang koordinat xz atatt yz.

19. Jika div A menyatakan divergensi sebuah medan vektor A pada sebuah titikP, perlihatkan bahwa

div A = limA[-o

di mana A / adalah volume yang diselubungi oleh permukaan AS dan linritnya diperoleh dcngan mcnyusttt-

kan A I/ ke titik P.

[{[ u,'",, = [[ ^.",'ar A.'

Menurut teorema divergensi,

Page 126: Analisis Vektor

122 TEOREMA DIVERGENSI. TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Menurut teorema harga rata-rata dari integral, ruas kiri dapat dituliskan

or'" fffo, = aii-n AvJJJ

di mana diil adalah suatu harga antara maksimum dan minimum dari div A di seluruh AIl. Maka

JJ n'" as

div -d = =-- AV

20. Hitunelah f I r., aS," JJc

Ambilkan limit A V + O sedemikian rupa sehingga Pselalu didalam A Z, maka iiivA- mendekati harga

div A pada titik P; oleh karena itu

JJN., "divA = Iim SAr-o Lv

Hasil ini dapat diambil sebagai titik awal pendefinisian divergensi dari A, dan darinya semua sifat-sifat

dapat diturunkan termasuk pembuktian teorema divergensi. Dalam Bab 7 kita pergunakan definisi ini untuk

memperluas konsep divergensi sebuah vektor kedalam sistem koordinat lain yang berbeda dari sistem koor-

dinat tegak lurus. Secara fisis,

ffe.nasJJAs

menyatakan fluks atau neto aliran-keluar setiap volume.satqan vektor A melalui permukaan AS. Jika div A

positif dalam lingkungan (neighborhood) sebuah titik P, ini berarti bahwa aliran-keluar dari P adalah positif

dan kita ;nenyebut P sebuah sumber. Begitupula, jika div A negatif dalam lingkungan P, aliran-keluarnya

sebenarnya aliran kedalam dan P disebut sebuah sungap (sink) Bila dalam suatu ruang tidak terdapat sum-

ber dan sungap, maka div A = 0 dan kita menyebut A sebuah medan-vektor solenoidal.

di mana S sebuah permukaan tertutup.

Menurut teorema divergensi,

{1,."0' = fiJ r..,,,tr= ttt '*' . *'

Y

= {f{,*.*rv

di mana tr/ adalah volume vang diselubungi oleh S'

2r. Misarkan {ff ,Or',t' - l,Y'Oto, = -[-[r|vl, - rpv@l'ds.yS

. (xl+y1

=,{J[,, = 3v

Y

fi[ r.1g:,p1dv,,','l{,rv+).ndsl = {{ ov,t't.a"vs,s

* Ptloz

),?t avOz

+zk\ dY

AmLilkan A = OVr! dalam teorema divergensi. Maka

Page 127: Analisis Vektor

TEOREMA DIVE,RGENSI, TEORE,MA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANC BL,RKAITAN I23

retapi V.tdv,/l = d<V.V{,1 + [email protected]/y = Of ,t + [email protected]'1 r,

Jadi IJIr.(6vtrdv = Ifilof,t,*tydt.<y,ttiavYV

at ,.

(r) ffI ror'v + pQ1.1Yta]av = tl14vfi.asr.syang mana membuktikan identitas Green yang pertama. Pefiukarkan @ dan I dalam (1 ),

(2\ f If r*r'+ + ayt4.fig1]av = II .+v@).dsr,t

Ambilkan selisihnya afiara (2) dan (1 ), kita peroleh

(r) '{{{,ro'f - "1tY'E1av = ff ,rr,1, - ry'vp1.as

rJyang mana adalah identitas Green kedua atau teoremd simetrik. Dalam pembuktian di atas kita telah rneng-

anggap bahwa Q dan ry' adalah fungsi-fungsi skalar dari kedudukan dengan paling sedikit turuniin-turunan ke-

dua yang kontinu.

22 Buktikan f{fro r, = .fIr"u.rsMisalkan A = dC dalam teorema divergensi dimana C vektor konstan. Maka

If[''(Qc)av = [[o"'"0'

Karena V.(Ocl = (VO)-c = c.VO dan @c.n = c'(dn),

ffl ..Yq dv II ".(en) rs

v,ttl

Keruarkancdaritanda-ta"^t''''''t'^ior"

= "'{{a"o' li

karena C adalah sebuah vektor sebarang, maka

JIIoo', = !Jr"n'r,s

23. Buktikan ,1",f{, xB dv - ,[,f "x B ds.

r,s

{ff,.(Bxc\dY {[ <r*"t,*rsrs

Misalkan A = B x C dalarn teorema tlivergensi di mana C sebuah vektor konstan. Maka

I

Page 128: Analisis Vektor

124 TEOREMA DIVERGENST, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

Karena V.(BxC) = C.(VXB) dan (Bxe).1 = B.(Cxn) = (Cxn).B = C.(nxB),

Ijf ..rv"^rn, = fi".(nxB)dsr.sKeluarkan C dari tanda-tanda integral

..{ffv,"n, = ".Jffo'.r,r3dan karena C sebuah vektor sebarang, maka

!{{v,",, = [{,,,,'rc

24. Perlihatkan bahwa pada sebarang titikP

ff0""(c) vO =

^li%

,tr, dan

fi"*eas(E) VxA = llm Af

di:b Ly

di mana AIl adalah volume yang diselubungi oleh permukaan A.S, dan li:nitnya diperoieh dengan rne-

nyusutkan A/ ke titik P.

(a) Dari Soar 22, Ifirr av = !! o"as - "^*^ ! ff vo 't itY o ![ o"', nt.

Lv A,r At A,S

Pergunakan prinsip yang sama yang diterapkan dalam Soal 19, kita peroleh

[[ o"', as

%.; = -a,di mana EJ adalah suatu harga antara maksimum dan minimurn dad Vd. I diseluruh AIz Am-bilkanlimit LV+Osedemikianrupasehingga titikPselaluberadadibagiandalamAl/,makrlvd.tmen-dekati harga

IJ o".l.as

(r) Vd.r = irr1. " -Dengan cara yang sama kita Peroleh

!J auas(2) Vd.r = ili "-a,

t { a"'x as

(j) vd.r = iii t --.--

Perkalikan (/ ), (2), (J) masing-masingnya dengan i, j, k, dan jumlahkan, dengan mempergunakan

V{ = lVd.rtt+tVd.lll+1Vd.tr1t. n = (n.t)t+(n.J)J+(n.k)k

(lihat Soal 20, Bab 2) maka diperoleh hasil yang diinginkan.

Page 129: Analisis Vektor

TEORIMA DIVI RGI]NSI. TtlORtiMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN 125

Maka seperti dalaru bagian (a), kita dapat memperlihatkan bahwa

/J tn,or.t as

1Vx R).t = lim AS

Ar-.0 LY

dan hasil-hasil lainnya yang sama di mana j dan k menggantikan i. Perkalikan dengan i, j, k dan jumlah-

kan, maka diperoleh hasil yang diinginkan.

Hasil-hasil yang diperoleh ini dapat diambil sebagai titik permulaan untuk mendefinisikan gradien

dan curl. Dengan mempergunakan definisidefinisi ini, dapat dilakuk'an perluasan kedalam sistem-sis-

tem koordinat yang lain daripada sistem koordinat tegaklurus.

25. Buktikan ekivalensi operator

so = riin +#or"Ar-o a aJ

di mana o menyatakan perkalian titik, perkalian silang atau perkalian biasa.

Untuk membuktikan ekivalensinya, nraka hasil operasinya pada meCan -r:.ktor din skalar haruslah se-

suai dengan hasil-hasil yang telah dibuktikan.

Jika o adalah perkalian titik, maka untuk sebuah vektor A,

voA = u,, *Jfr""^A[-t A.9

(b) (iantikarrBdenganAclalamSoal23, {fI

r"AdY = {{ ", ort.Ltt AS

ataudiYA =

^ri3. *ff*.^

A.r,

= rim --l- ffo., r,Ar-o L,

"O{

yang telah dibuktikan dalam Soal 19.

Begitu pula,.iika o adalah perkalian silang,

currA = vxn = ,$ *llrr"^A1 a.,

= ^$s

*{lnxAdsyang telah dibuktikan dalam Soal 24 (D).

Juga bila " adalah perkalian biasa, maka untuk sebuah skalar @,

vog = ,ffi 1; IJ or"o atau vd = ^]i *ffr*, Ar As A.,

yang telah dibuktikan dalam Soal 24 (a).

Page 130: Analisis Vektor

126

26.

TEOREMA DIVERGINSI, TEORLMA STOKES, DAN TLORI,MA INTEGRAL YANG BERKAI]'AN

Misalkan S sebuah perrnukaan tertutup dan r menyatakan vektor posisi dari sebarang titik (x, y, z) yang di-

ukur terhadap titik asal O. Buktikan bahwa

"U:* "5

sanra dengan (a) nol jika O terlelak di luar S, (fi at jtka O terletak di dalam S. Hasil ini dikenal sebagai

teorerua Gauss-

(a) Menurut teorema divergensi, f I T ,t = {J I v. L av .

.trfetapiV.l = 0(Soal 19, Bab 4)padasemuatitikdidalam tr/asalkanr*0dalam Iz, yakniasaikan

O berada.di luar Ir jadi berada di luar S. Maka { { '; dS = 0.

s

(D) .lit<a O di dalam S, selubungi O dengan sebuah permukaan bola kecil s berjejari a: Misalkan r me-nyatakan daerah yang dibatasi S dan s. Maka menurut teorenla divergensi'

lf y,' - flf as* {ly* = titv'fiav = o

,S+sSsT

karenar*0dalamr.Jadi

II'r"s

a2, 1

7 - -?

ff ,'- ffY ds = ft * ds =+a'

dan

- ta"'d'

=4n

27. Interpretasikan teorema Gauss (Soal 26) secara Seometris.

Misalkan dS menyatakan luas sebuah elemen

permulaan dan hubungkan semua titik pada batas

dari dS dengan O (lihat gambar di samping), sehing-

ga dengan cara demikian terbentuk sebuah kerucut.

Misalkan dC) luas sebagian permukaan bola dengan

pusat di O dan berjejari r yang dipotong kerucut ini;maka srdu, ruang yang dibentuk dS pada titik O

didefinisikan scbagai /ar = + yang secara nu-r

merik sama-dengan luas sebagian permukaan trola

di atas dcngan titik pusat di O dan berjejari satuan

yang dipotong oleh kerucut. Misalkan n adalah nor-rnal satuan positil terhadap dS dan 0 sudut antara

n dan . maka cos A = \: Juga, dQ = +dS cos 6

= t f as sehinggada; = t!f ds,tanda+

atau - dipilih sesuai dengan sudut 0 yang dibentukantara n dan r apakah lancip atau tumpul.

Misatkan S sebuah permukaan, seperti dalam Gambar (a) di bawah, yang adalah scdemikian rupa se-

hingga S dipotong oleh setrarang garis tidak lebih <laripada dua buah titik. Jika O terletak di luar ^l' nrr-ka

Page 131: Analisis Vektor

TEOREMA DMRGIlNSI. TIIOR[MA STOKtis. DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN t27

padasuatukedudukanseperti I, Li aS = a-; sedangkanpadakedudukan2,H dS = -da;. Integrasi

melalui daerah-daerah ini hasilnya nol. karena kontribusi terhadap sutltit-ruang saling menghapuskan. Bila

integrasinya dilakukan nrelalui S maka f f ,+ dS = 0, karena untuk setiap kontribusi positif terdapat-s- r"pula kontribusi negatifnya.

Sedangkan dalam hal dimana 0 terletak di dalam S, maka pada kedudukan seperti S, 94 aS = aa

dan pada +, !4 aS = aa sel.ringga dcngan demikian kontribusinya saling menambah daripada rneng-

hapuskan- Sudut ruang total daiam hal ini sama dengan luas permukaan sebuah bola satuan yang adalah

4zr, sehingga dengan demikia"r .;[/H dS = 4tr..t

Cambar (a) Gambar (b)

Untuk permukaan-permukaan S, di rnana sebuah garis dapat memotong S pada lebih daripada dua buahtitik, keadaarr yang tepat sama juga berlaku seperti terlihat pada Gambar (b) di atas. Bila 0 berada di luarS, misalnya, maka sebuah kerucut dengan sudut puncak di O mentotong S pa.la sejumlah genap tempat-tem-pat dan kontribusinya pada integral permukaan rdalah nol karena sudut-ruang yang terbentuk di O secara

berpasangan saling menghapuskan. Sedangkan bila O berada di dalam ,S, maka sebuah kerucut dengan su-

dut-puncak di O memotong S pada sejumlah ganjil tempat-tempat dan oleh karena kontribusi yang saling

menghapuskan hanya terjadi untuk yang berjumlah genap, maka selalu terdapat kontribusi 4 7r untukseluruh permukaan S.

28. Sebuah fluida dengan kerapatan p (x, y, z, r) bergerak dengan kecepatan v (x, y, z, t). Bila tidak terdapat

sumber dan sungap, buktikan bahwa.

V..r +7p?r

= 0 dimana J = pv

Pandang sebarang pernrukaan ylng nrenyelubungi volunre / dari fluida. Massa fluida di dalanr volume

I/ pada setiap saat adalah

Laju pertamhahan massa ini adalah

M = I{I "'Zo+cvdtfiI

Massa fluida pcr satuan waktu yang meninggalkan t" atlalah

Page 132: Analisis Vektor

I28 TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

II *'" "J(lihat Soal I 5 ) dan dengan demikian laju pertambahan massa adalah

-ilpv.nds = -fitY.pvlav.sy

menurut teorema divergensi. Maka

[[l utu ,, = - fflr.(pa)dy

fil ,r.(pvt + *\dv = o

v

X^r"n Vsebarang. intearannya, yang dianggap kontinu, haruslah nol, beldasarkan alasan yang sama

seperti yang dipergunakan dalam Soal I2. Maka

V..l*p = o dimanaJ=pv?r

Persamaan ini disebut persamaan kontinuitas. Jika p konstan, maka fluidanya tak-termampatkan (incom-pressible) dan V. v = 0, yakni v adalah solenoidal.

Persamaan kontinuitas di atas juga berlaku dalam.teori elektromagnetik, dimanap adalah kerapatanmulrtan dan J = pv adalah kerapatan arus.

29. Jika temperatur pada sebarang titik (x, y, z') dari sebuah zat padat pada saat / adalah U(x, y, z, t) dan bilak, p dan c masing-masing adalah konduktivitas panas, kerapatan dan kapasitas panas zat padat, yang diang-gap konstan, perlihatkan bahwa

# = *tu dimana k=x/pc

Misalkan V adalah sebarang volume di dalam z.at padat dan misalkan.S menyatakan permukaannya.Fluks total dari panas yang melalui,S, atau kuantitas panas yang meainggalkan S persatuan waktu, adalah

If ,-.vu)'n as

o

Jadi kuantitas panas yang memasuki S per satuan waktu adalah

(1) ftuvu.^ o' = {fir.Geu) av

s7menurut teorema divergensi. Panas yang terkandung dqlam volume / diberikan oleh

{[f "0, ,,

Maka laju pertambahan panas adalah

(2) * II{ cpt)dv = I{! "c! n,YT

Samakan ruas kanan dari (1 ) dan (2),

Page 133: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

-V.(*Vu))dv ; o

dan karena I/ sebarang, integrandnya, yang dianggap kontinu, haruslah nol sehingga

III u, *,v

1, )-9

! :ak

^aucP -=-dt

= V. 1r Vul

atau jika x, c, p adalah konstanta-konstanta, maka

W- = !-j.yu = *fa?r cP

Besaran /r disebut koefisien dr'lusi. Untuk aliran panas dalam keadaan tunak (yakni $ = o

bergantung pada waktu) persamaannya ter-reduksi menjadi persamaan Laplace fU = O.

TEOREMA STOKES

30. (a)

(a)

(r)

Nyatakan Ieorema Stokes dalam kata-kata dan (D) tuliskan'dalam bentuk koordinat tegak-lurusnya

Integral garis dari komponen tangensial sebuah vektor A mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana

C samadengan integral permukaan komponen ncrmal dari curl A melalui sebarang permukaan S de-

ngan C sebagai hatasnya.

Seperti dalam Soal 14(D),

A = AJ+A2!+Ask, n = cosdl +cosBJ + co87l

Maka

Vxe

(VxA).n

a.h

dan teorema Stokes menjadi

i r kl

* f, el = ,+ -!t' * (Y-pr'.'*-#'*A7 A2 l"l

= ,* -lrcosd + (*-p,'*B '(*-fr"o"z(A1+A2!+,{sk).1drl+ily!+dzh) = Ait + Ardy + Atdz

31.

JI u*- $,"o"o * (* - $,eosB +,* -*tcosTlds = f, n'o'+ A2ctv+ Asdz

s

Buktikan teorema Stokes.

Misalkan S sebuah permukaan yang adalah sedemi-

kian rupa sehingga proyeksinya pada bidang-bidangxy,yz dan xz adalah daerahdaerah yang dibatasi oleh kurva-

kurva tertutup sederhana, seperti ditunjukkan dalam

gambar di samping. Andaikan .l dinyatakan oleh z =

f(x, y) atau x = g{x, y ) atau y -- h(x, z),di mana f, g, hadalah fungsi-fungsi yang berharga tunggal, kontinu dan

diferensiabel. Kita harus memperlihatkan bahwa

lJ,v,n,.,r, = t! [vx1r,r+r,Js.'

+ z{"k)]. n dS

Page 134: Analisis Vektor

I3O TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANC BERKAITAN

6l.drJ,

di mana C adalah batas dari S.

f.Pertama nandaneJJ [Vx(lrt)].n ds.

t J' ta a al 7A,. 7A,.a; T, tl = &,-i*'1q".sn3 V x (l1t)

(l)

aLo0

lvx(,{,r)].n ds = ,1},., - }n.xr as

lika z = '/(x, y) diambil sebagai persamaan dari S, maka vektor posisi dari sebarang titik pada S adalah

, = li+yl+zk =r t+y!+f(x,y.1k sehingga * =, ** * =, * lr,.Tetapi $ adalahsebuaha! ' 7y -' ' a7--- 7y

vektor singgung terhadap S (lihat Soal 25, Bab 3)jadi dengan demikian tegak-lurus n, sehingga

, + = n.J + Pn'k = o 7'- 4 dY atau n'j = -6"*

Substitusikan dalam (-l ) maka diperoleh

.7A, ?1, Z,E, Z, ?1,.( a;n.r - f n.tl as = (-T;# ".* - -rn.k)dsat au

(2) [Vxr,{,r)].n ds = - (+,.p},n.k dsol Oz dy

Pada S, A{x,y,z'; = A1(z,y,f(x,y)) = F@,y); oleh karena it, ?j' - + I = ]..{ aun?y t"4 ay(2) menjadi

[Vx(lrr)].n ds = - $ n.r as = -! a,a,dvqMaka

{[ tr"(rrr)].n ds = tf -{ o,a,s.P

di mana f adalah proyeksi S pada bidang x-r,. Menurut teorema Creen dalam bidang, integral yang terakhirf

samadengan $ f a" di mana f adalah batas dari R. Karena pada tiap-tiap titik (x,./) dari f harga dari-'r

F sama dengan harga .41 pada tiap-tiap titik (r, y, z) dari C, dan karena dx adalah sama untuk kedua kurva,maka kita harus memperoleh

atau

$ ,O,(rri)l.n ds = $

n,r,.9

Begitu pula, dengan memproyeksikan pada bidang-bidang koordinat lainnya,

{r'" = i, n'n'

Page 135: Analisis Vektor

TEOREMA DIVT-RGENSI. TI]ORFJTIA STOKI.]S. I)AN TI]ORFMA IIVTF]CRAL YANC BI]RKAITAN l3l

={

{

J!

tt,s

[Vx(lzjl]'n ds

[V x 1,{3ti.1]'n ds

Az dy

As dz

Jadi dengan menjumlahkan,

{ ^.*

Teorenia inijuga berlaku untuk permukaan-permukaan s yang tak memenuhi persyaratan-persyaratan

yang dikenakan di atas. Karena andaikal -t dapat dibagi-bagi kedalam pertnukaan-permukaan S1' 52' "'' Sp

dengan batas-batas C1, ('2. ..., Ct yang mana nremenuhi persyalatan'persyalatan diatas, maka teorema

Stokes berlaku untuk tiap-tiap peimukaan. Dengan menjumlahkan integral-integral permukaan ini' maka

diperoieh integral permukaan total melalui .S. Dengan menjun lahkan integral-integral garis yang bersangkut-

an scpz,njang Cr, Cz, ..., Cp. maka diperoleh integral garis seoanjang C'

J2. PeriksatahkebenaranteoremaStokesuntuk A=(2x-y)i'yz'i- v2sk,dimana'Sadalahseparuhdariper-nlrkaan bola x2 + y2 + z2 = l bagian atas dan C batasnya

Batas C dari S adalah sebuah lingkaran dalam bidang.t,r' yang berjejari satu dan berpusat dititik asal'

Misalkan x=cost, y--sint, z=0, O(r(2aadalahpersamaan-persamaanparameterdariC. Maka

f { ,, "A).n ds

,t

{ n.". = $ ,*-yl tr - y* ay -- y2z dzJc Jc

1"" ,,cos' - sin') (- sin') d' rt

't n* ,ro, = n ['{G oro,J J roro

x= -r ,_- _,/l_-xz

dan terbuktilah kebenaran teorema Stokes.

33. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup hahwa { n'O, = 6 untuk setiap

vxA=0 r- ---"-" r - Jc

rjkaaa?z iy E,Iuga, Vxe

?-x -y -yz2 -y2z

Maka

karena n .k dS = dxdz dan R adalah proyeksi S pada bidang -r1,. Integral yang terakhil ini sama-dengan

//<v"nr..,' = {{u."0'= {[0",,.ssR

= n ['"o

,/t-"ra" = 'tr

kurva tertutup C adalah

Syurat cukup- Andaikan Vx A = 0. Maka menurut teorema Stokes

= fi 1Vxn1'n ds

.sf, n'o' =0

Page 136: Analisis Vektor

132 TF-ORl-.M,\ DIV! RGh-n\SI. TIaORUMA STOKI:S. DAN TEORITMA INTIGRAL YANC BERKAITAN

l-,orar pcriu. Andaikan ! e.* = 0 sepanjangsetiaplintasantertutupC,dananggaplah Vx I l 0padaJa

beberapa titik /,. Maka dcngan rilenganggap V"e kontinu maka akan terdapat suatu daerah dengan psebagar trtrk urtcrior, dimana Vxe I O. Misalkan S sebuah permukaan yang terkandungdalam daerahirriyangnormalnyanpadatiap-tiaptitikmemilikiarahyangsanrasepertiVxA,yakni Vx6=6n dimanaaadalah seb '.h konstanta positif. Misalkan ('adalah batas dari S. Maka menumt teorerna Stokes

{ ^." = ;ff,v,nr.n as = a [[ "." as > o

yang mana bertentangan dengan hipotesis bahwaVxA = 0.

Juga diperoleh bahwa Vx4 = 0 adalah suatu

$ O. O, = 0-.Jadi hal ini mempertihatkan bahwaJc rP^

syarat perlu dan cukup agar integral *rO J,'

A. d,,1

tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan titik-titik P1 dan P2. (Lihat Soalsoal l0 dan 11,Bab 5)

34. Buktikan f ,, ** =

3['a.'<n'ct

{ "',"'*,

c'1[ a"n

II ,r,(Bxc)l.n ds

fi U..nre - c(V.s)l. n as

B d^S.

\mbilkan A = B x c dalam teorema stokes, di mana c sebuah vektor konstan. Maka

ff ,"'v' *t

Karena C vektor konstan sebarang maka f nrr,

il "1v.n1l.n

ds

ff ". [n1V.a1] ds

B)lds = ".Il(nxv)xBds5

= ;fftn,Vl*aass

fi f,".rtBl. n ds -

il ". [Vrn.nl] as -

.. {f [vrn.nr - n(v.

35. Jika AS adalah sebuah permukaan yang dibatasidari A.l tetapi tidak terletak pada Cdan n adalahdi P berlaku

(curlA).n = lim

oleh kurva-kurva tertutup sederhana C, P sebarang titiknormal satuan terhadap AS di P, maka perlihatkan bahwa

AJ_o AS

di mana limitnya diambil sedemikian rupa sehingga A.i menyusut ke titik p.

MenurutteoremaStor<es,;fl<curl A).n ds = { ^.".

Page 137: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN 133

pergunakan teorema harga rata-rata untuk integral-integral seperti dalam Soal-soal l9 dan 24, maka

bentuk ini dapat dituliskan sebagai berikut

f e,.a,

("*I A)*As

dan hasii yang diinginkan segera diperoleh dengan mengambilkan limit AS + O.

Hasil ini dapat dipergunakan sebagai titik-awal untuk mendefinisikan curl A (lihat Soal 36) dan adalah

bermanfaat untuk memperoleh curl A dalam sistem-sistem kbordinat yang lain daripada sistem koordinat

tegak-lurus. K"r"nu d A. d, disebut sirkulasi dari A mengelilingi C, maka komponen normal dari Curluc

dapat diinterpretasi secara fisis sebagai limit dari sirkulasi per satuan luas, jadi menerangkan sinonimnya

rotasi dari 6 (rot A) daripada curl dari A.

36. JikacurlAdidefinisikanmenurutproseslimitdarisoal 35,makacarilahkomponenzdaricurlA.

Misalkan L)FG H adalah empat-persegi-panjang yang sejajer dengan bidang xy dengan titik interior P(x'

y, z) diambil sebagai titik-pertengahan, seperti diperlihatkan daiam gambar di atas. Misalkan At dan Az

komponen-komponen A di P datam arah-arah x positif dan y positif.

Jika C adalah batas dari empat-persegi-panjang, maka

a. dr

I ?lt2a!

t 7Azia-

IflE

{Gfl

IFE

{EI

JFG

{ ^." I^'"+E?

* * a,,4,.oy

t ?1, a,., a,22,

A.dt + A.dr +

Tetapi A.dt = (At*

A. d,r = (42 +

{ ^-* = -(aL+

Gfl

I n.r, = -(At-EE

6 *a'J

= Iim -----:-A9-o As

Lvl L,

&lAr

di mana telah diabaikan suku-suku infinitesimal-infinitesimal yang berorde lebih tinggi.

f aA^ 7,q,.Jumlahkan, maka secara pendekatan kita peroleh

I n'r, = (; - fl

A" & .

Karena A.! = Ax A,t', maka

kotnponenz tlaricurl A= (curlA)'k

Page 138: Analisis Vektor

TEORE]U.E. DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERK.{ITAN

= lim&-oLy-o

-Z+7x

Vt- Ze,(=i _ a_.)& A7da dv_-__*a-

A,x rl/

Soal-soal Tarnbahan

37. Periksalah kebenaran teorema Green dalam bidang untuk $ G*'-ey'1lx + (4y *6xy)ti,, di mana C ada-

lalr batas daerair vang didefinisikan oleh: 1o; y =,/;, y"= 12i (b) x=O,T=o, x+y = 1.Jay'ab. (a) harga kedua-duanya - 312. (b) harga kedua-duanya = 5/3.

33.Hitunglah f <zr**y1ar+Qx-\y)dy dimanaC,sebuahlingkaranberjejariduadenganpusatpad,titik-c

asal dan bidang.r.v. dilintasi dalam arah positif. Jawab. * 8r

39. Kerjakansoalsebelumnyauntukintegralgaris f G2ry2\d.x+?xy2dy, Jau,ob. l2n.

40. Hitungtah f <r2-uyla, +1fy+s1dy *",i'r",trrr,, batas dari daerah yang didefinisikan oleh-rrr = 8x

dan -r = 2 (a) secara langsung, (D) pergunakan teorema Green. Jawab. 12815.

r (a.2)41. Hitunglah../ (6zy-y21dx+G;-2ty\dy, sepanjangcycloidx =0 -sin0, y=l -cos0.-(o,o)

Jawab. -6n2 -4tr

42. Hitunglah f {rr'*Zy1a, * @+Bcos1\d.! sepanjang. empat-persegi-panjang yang memiliki titik-titik

sudut di i0,0). (2,0), (3, 1) dan (1, 1). Jawab. - 6

43.Carilahluasdaerahyangdibatasiolehsatulengkungandaricycloidx=a(0 -sin0), ),=d(l-cos0),a ) 0 dan sumbu -r. Jawab. 3na2 .

44. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh hypocloid ,'fr *y'h = a2h, asO. petunjuk: persamaan-persa-

maan parameternya adalah , = a cost0, y = a sirl3 0. Jawab. 3na3/a .

45. Perlihatkan bahwa dalam koordinat-koordinat polar (p,Q)pernyataa xdy - ydz = f do. Interpretasikan

* f ,dy-ya*.46. Carilah luasloopyangterdiriatasenrpatlembarrose p=3sin'20. Jawab. 9n18.

47. Carilah luas kedua buah loop dari lcmniscate p2 = a2 cos 2Q. Jau,ab. o2

48. Carilah luas loop dari. folium Descartes x3 + ys =3ux1', a)0(lihatgambardisamping).Petunjuk.. yMisalkan / = t-r dan peroleh persamaan parameterdari kurva ini. Kemudian pergunakan kenyataanbahwa

Luas=l$,ay-ya,=;f ;ag= Lf '"a'

Jawob. 3a2lz..

_ ?eta.

Page 139: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI. TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BI,RKAITAN I35

49. Periksalah kebenaran teorema Green dalam bidang untuk 6 <u-fla, - xydy, dimana Cadalah batasuc

dari daerah yang dibatasi oleh lingkaran-lingkaran *' *y'= I dan x2 +y2 =9. Javvab. Harga kedua belah

ruas = 60 zr

50. Hirunglah f (-l '0) - y d-x +-x dy . sepanjang lintasan-lintasan berikut :" J(r,o) x2 +y2

(a) potongan-potongangaris-lurusdari(1,0)ke(1,1),kemudianke(-1,I),dankemudianke(-l'0)(b) potongan-potongangaris-lurusdari(1,0)ke(1,-l),.kemudianke(-1,-l),dankemudianke(*1,0)

Perlihatkan bahwa meskipu" Y = #, tetapi integral garisnya bergantung pada lintasan yang menghubung-

kan (1, 0) dengan (- l, 0) dan j'elaskan.

Jawab. (a) t. (b) -1r.

5 l. Dengan merubah variabel-variabel dari (x, y) ke (u, u) menurut transformasi x = x (2, r'). y (u, v), maka per-

lihatkan bahwa luas ,4 dari daerah R yang dibatasi oleh kurva sederhana C diberikan oleh

1"4?z ?u

7r4?" ?u

adalah Jacobian dari x dan _y terhadap u dan v. Batasan-batasan apakah yang harus dibuat ? Ilustrasikan ha-

silnya di mana a dan v adalah koordinat-koordinat polar.

Petunjuk : Pergunakan hasil I = L I ray--ydr,transformasikanke kocrdinat-koordinat u,vdankemuCian

pergunakan teorema Green.

52. Hittrnglah [[ r'n d5, 61 mana F = 24'i+ yz2i+ xz k dan l- adalah :

a' (c) permukaan balok yang dibatasi oleh x = 0, y = 0, z = O, x = 2, y = | dan z = 3 -

(D) permukaan dari daerah yang dibatasi oleh x = O, l' = 0, y = 3, z = 0 dan x + 2 z = 6.

Jawab. (a) 30 (b) 35112

53. PeriksalahkebenaranteoremaGreenuntuk A=2x2yi-y'j+4xz2kyangdiambilmelaluidaerahdaiamoktan pertama yang dibatasi oleh y2 + z2 = 9 dan x = 2. Jawab. 1 80

54. Hitunglah t { r." dS di mana (c) S adalah permukaan bola berjejari 2 dengan pusat di (0, 0, 0), (D) S

,tadalahpermlkaankubusyangdibatasiolehx= -1, y=-1, 2=-l,x=1, y=1, z=L. (c) Sadalahpermukaan yang dibatasi oleh paraboloid z = 4 - (r' + y') dan bidang xy.Jawab. (a) 32r (b) 24 (c) 24tr

55. JikaSadalahpermukaantertutup sebarangyangmenutupisebuahvolume'VdanA=axi+bl;*czk.ma-

ka buktikan bah*a If A. n dS = (a +b +c)V.

s

56. Jika H = curl A, maka buktikan A^n*a [[ H.n dS = 0 untuk sebarang permukaan tertutup S.

,'

57. Jika n adalah nonnal satuan berarah keluar pada sebarang permukaan tertutup dengan luas S, maka perli-

hatkan bahwa JJF ut, " dY = s .

Y

58 Buktikan t{{r"! = [[+*.rs5e. Buktikan [{,'" as = {[[ s,sr av.

sr

^ -- [[ I t<fitl a"a" dimana r<fit =

,?

Page 140: Analisis Vektor

I35 TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN

50. Buktikan [{ " aS = O untuk sebarangpermukaan tertutup.S.D

6I. perlihatkan bahwa identitas Green kedua dapat dituliska n seaazai ! [ [ (Ov'* - ,1.,g241av =

{{,o# - *fftos '62. Buktikan //r "

aS = O untuk sebarang perrr,ukaan tertutup ,S.

c

63. Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk l=(y - z+2)i+Qz+a)i -xzk,d.i manaSadalahpermuka-ankubusx=O, y.=O, z=O, r=2, y=2, z= 2 diatasbidangxy.Jawab. Harga kedua belah ruas = -4.

64. Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk F = xzi * yi+ x2 yk,di mana,S adalah permukaan daerah yangdibatasi oleh x = 0, y = O, z = 0, 2x + y + 2 z = 8 yang tak termasuk daiam bidang xz.Jawab. Harga kedua belah ruas = 32/3

65. Hitunglah {favrrl."ds, dimanaA = (x2 + y -4)i+3xyj+(2xz+22)kdan,sadatah(a) separuh,9

permukaanbola:r2 +y2 +22 = 16diatasbidang.xT, (D) paraboloid z=4-(x2+y2ldiatasbidangxyJa--ab. (a) - l6n, (b) - 4n

66. Jika A= 2yzi - (x + 3y - 2)j+ (r2 + z)k,makatritunefafrJf<VxA).n dSmelaluipermukaandariirisan

silinder-silinder x2 + y2 = 02 , x2 + z7 = a2 yang terkandung auf,.n oktan pertama.

-2Jawob. - fulsn*a,"1

67. Sebuah vektor B selalu tegak-lurus (normal) pada permukaan tertutup S. Perlihatkan irrnna [ [ [ cdn aV

= 0, di mana Iz adalah volume yang dibatasi oleh,S. f

68. Jika $ t.a, = -++ [[^.ar.aimanaSadalah sebarang permukaanyangdibatasiolehC,makaper-Jc " o' uru

lihatkan bahwa Vx E = - 1?E .r?r

6e. Buktikan f^O o, = fI ar,Va.,,,70. Pergunakan operator ekivalendariSoal-soalyang dipecahkan no.25 untuksampaipada 1c1 VS, 1a1 V.e,

(c) V x A dalam sistem koordinat tegakJurus.

?r. Buktikan {{[va.o av = IIO^.n ds - {[{+v.n or.

72. Misalkan r vektor posisi dari sebarang titik relatif terhadap sebtrah titik asal O. Andaikan @ meruiliki turun-an-tunrnan kontinu yang sekurang-kurangnya berorde dua dan misalkan S sebuah permukaan tertutup yang

membatasi sebuah volume I Nyatakan p di O oleh {6. Perlihatkan bahwa

[[ r+vd - dv<]rl .r, = [l{v\! on * o

di mana a = 0 atau 4 nSo sesuai dengan apakah O di luar ataukah di dalam S.

Page 141: Analisis Vektor

TEOREMA DIVERGENSI, TEOREMA STOKES, DAN TEOREMA INTEGRAL YANG BERKAITAN I37

73. Potensialp(P) disebuahtitikP(x,y,z)yangdisebabkanolehsuatusistem muatan-muatan (atau massa-massa)

Q r, Qz, ..., q n yan1 memiliki vektor-vektor kedudukan rt , lz , --., r' terhadap P, diberikan oleh

+ = iv#,'*Buktikan hukum Gauss

! [ a- a" = tn Q

s

dimana S = -Vd adalah intensitas medan listrik, S sebuah permukaan yang menutupi semua muatan-

ndan Q= f, e' adalah muatan total di dalam S.

74. Jikasebuahvolume ruangVyangdibatasiolehpermukaanSmemilikidistribusimuatan(ataumassa)yang

kontinu dengan kerapatan p, maka potensial 0(P) disebuah titik P didefinisikaa oleh += I U ry -

Dedukpikan hasil-hasil berikut di bawah anggapan-anggapan yalg sesuai : Y

<,t l/"'a. = n" f {.!cdY. dimana E=-vd.sr

@ ,f O = -bnp (persamaan Poisson) di semua titik P di mana terdapat muatan, aan !F$ = 0 (persamaan

Laplace) di mana tidak terdapat muatan-

Page 142: Analisis Vektor

KOOR DI N AT, KURVAII N EAR

TRANSFORMASI KOORDINAT. Misalkan koordinat-koordinat tegak-lurus (x, y, z) dari sebarang titik dinya-takan sebagai fungsi-fungsi dari(u1, u2, tt3) sehingga

(l)

Andaikan bahwa

(2) u, = ur(r, y, z) , u2 = u2@'y'z) ' u, = u.(x,y,z)

Fungsi-fungsi dalem (1) dan (2) dianggap tunggal dar-. memiliki turunan-turunan yang kontinu sehingga kaitan(x ' y' z) dan (u 1, uz, u t) adalah tunggal. Dalam praktek anggapan ini dapat te{adi tak berlaku pada titjk-titikteitentu dan di sini diperlukan tinjauan khusus.

Ir{isalkan diketahui sebuah titik P dengan koordrnat-kcordinat tegakJurus (x,./, z) maKa dari (2)kita dapatmengasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat (u1, uz, ut) yang tunggal yang disebut koordirut-koor-dinat kurvalinear d,ai P. Himpunan persamaan-persamaan (1) dan (2) mendefinisikan statu transformasi koor-dinat.

KOORDINAT KURVALINEAR ORTOGONAL

Pernrukaan-permukaan ut = cr, ilz =uz, ut:ct,di mana c1, c2, c3 adalah konstanta-konStanta, disebutperntukaan-permukaan koordinat, dafi setiap pasanganpermukaan-permukaan ini berpotongan melalui kurva-kurva yang disebut kuna-kurva atau garis-garis koordi-nat (llhat Gamb. 1). Bila permukaan-permukaan koor-dinat ini berpotongan tegakJurus, maka sistem koordi-natnya disebut ortogonal. Kurva-kurva kooidinat rz1,u2 dan u3 dari sistem kurvalinear ini analog dengan sum-bu-sumbu koordinat .r, 1, dan z dari sistem koordinattegak-lurus.

Gmbar I

VEKTOR-VEKTOR SATUAN DALAM SISTEM KURVALINEAR. Misalkan r = ni + yJ + zkadalah vektor ke-dudukan dari sebuah titik P. Maka (1) da-

patdituliskansebagair=r(ur,ur,a3).sebuahvektorsinggungpadakuivar.rldiP(dimanau2d.aner3konstan)

adrlah j,Lr. Maka vektor satuarr daiam arah ini adalair .r= *r/l arl seninesalt-= Ireldimana lzq =

l#, I Dengan cara yang sama, jika e2 dan e3 adalah berturut-turut vektor-vektor satuan pada kurva-kurva a2

x = r(ufu2,us), f = l@t,u2,ur), z = z(ufu{u")

(1) dapat dipecahkan untuk u1, ur, u3 dalam x, y, z, yakni

Page 143: Analisis Vektor

KOORI)INAT KL]RVALINE],AR 139

,r,rr., di 1,.rrr:rka $ = [r", x,"]L = fue" tlirrrana [r= l+l Jantr= l+l.Besara,-besaran/r''' ou2 ous 'du2' " oui

Itr. lt, clisebut ./akror loktor skala. vektor-vektor satuan e1. €t. €: beltttrut-turut dalam arah pertanlbahan

111. llr. l/1.

Krrcnu Vr, adalait sebuah vcktor-yang norntal terhadap pertnukaan tr1 =c, diP' r.uaka vektor satuan da

larn arah ini diberikan oleh E, = vrr/lvurl . D.ngun cara yangsama,vektor-vektor satuan r,2=vu2/lv'2l

dan n. = 9u"/l[u"l aclala6 bcrturut-t*r.t nortltal terhadap permukaalr-perlnukaan ut = cz dan a3 = ca

di P-

Jrdi pada tiap-tiap titik P dari stlattt sistenl kurvaiinear'

1;acla untitttrnva tcrdaPat dua buah hir.:rpunan vektor-vektor

satueil er . €2, el 1'lng ntctlyiriggttttg kurva-kurva ktlordit.iat

dan E, , 8.,, E. -,-ang ttorntll tcrhadap pellnukaall-perrllukaln

koortlittat (lihat Garnb. 11. llrnrpunall-hillpunan ini nrenjadi -.:

identik jika dan hanva jlka sistern koordinat kurralinearnlr '1

orlogorral (lihat Soal l9) Dalarr hal tetakhir ini' kedua hinr-

punan vcktor satuatl di atas analog dengan vektor-vektor sa-

iuan i. j, k clalant sistcnl koorclitlat tegakJutus tetapi herbeda

clari vektor-vektor satuarl ini yaitu bahwa arah-arahnya dapat

herubah-ubi,h dari titik Yang satu ke titik yang lainnya' Dapat

diperlihatk:n (litrat Soal i 5) bahwa himpunan-himpunan

?r?r?rr:\ , -

, -- (?t1 Ju1,Yrr,iu" membentuk sis-dut due dus

tem vektor-vbktor resiprokal (reciprocai vectors)'

Sebuali.vcktor A dapat dilyatakal dalam Yektor-vektor basis satuan el, €:, €-r atau 81, E2, E3 dalam

bentuk A = Arer+$er+Are" = orE. +arF- +ogF'"

dinrarra ,4r. Ar, A3 dandy. a2, a3 adalah masing-masingkompttnen-komponen dari A dalam tiap-tiap sistem'

Kita dapat pula menyatakan A dalam vektor-vektor basis * ' *t' *disebut yekror-vektor basis uniter (unitdryl tetapi yang paCa umumnya bukanlah vektor-vektor satuan' Dalam

hal ini

A = C,3L * C,+ * C.9 = C.,ct+ Czat + C.c"-'?ut 'du2 -dus

dan A = 6rVu1 + c29u2 + caVu3 = ctqt+ ct&+ csqs

dimana Ct, Cr, C3 disebut komponen-komponen kontravarian dariA dan c1, c2, ca disebut komponen-kompo'

nen kovariandari A (lihat Soal-soal 33 dan 34)' Perhatikan bahwa d'r= fi'OO=V",

' p = l'2'3 '

ELEN{EN PANJANG BUSUR DAN ELEMEN VOLUME' Dari r = t (u1' u2' u3) kita peroleh

dr = Ptdr,*lLdu,+{du,out ou2 ous

hq du1 e1 + h, du2 et + hs dua es

Maka dilerensial dari panjang busur ds ditentukan dari

clsz = th . dr. Untuk sistem'sistem ortogonal, €t ' ez =

€2.€: =e3'cr =0dlnits2 = hi dui + hi dui + hf, duf,

Untuk sistern-sistem kurvalinear yang tak ortogonal atau

yang umum lihat Soal 17.

Seiranlnnt kurva u 1, u2 dan u3 konstan sehingga dr =h rrlt-t re r. Maka diferensial dari panjang busur ds1 sepanjang

rr, Ci P adalal-r h,r/a 1 . Derrgatt cara yallg sama. diferensial

atau Vur, Vur, Vu" ]ang

Gambar'.2.

Gambar 3.

Page 144: Analisis Vektor

140 KOORDINAT KURVALINEAR

panjang busur sepanjang u, dan u, d,i P adalah ds2 = h2du2,ds3-hxdu1.

Dalam Cambar 3 terlihat bahwa etemen volume untuk sebuah sistem koordinat kurvalinear diberikan oleh

dy = llhltlulet).(hduzeelx(["du"es)l = h1l4l4du1du2dus

karena l"r.urre"l = r.

GRADIEN, DMRGENSI DAN CURL. dapat dinyatakan dalam koordinat-koordinat kurvalinear. Bila O adalahsebuah fungsi skalar dan A = .41e1 t Azez t,43e3 sebuah fungsi

vektor dari koordinat-koordinat a,, u2, us,maka hasil-hasil berikut ini berlaku.

htet be" l5e"

a?aiu, 'du2

?n3

hrA, hA" urs

r.vo = $ado= f ffi",*tH",*f ffi*2' v'a = dtv A = ih lfirr,,*o,r * ftrr"r, ht + !*<r,ued)

3. Vxe = ourlA = 1

h7hzhs

4' fQ = persamaanLapraceo = ik [*,* .oE, * *r* ffi, - *,* H,]

!rka h, = hz = ht = I dan €1, €2, €3 diganti oleh i,j, k, maka hasil-hasil ini tereduksi kedalam pernyataan-per.nyataan yang lazim dalant'koordinat tegakJurus dimana (u 1, 12, a 3 ) diganti oleh x, y, z.

Perluasan hasil-hasil di atas dicapai melalui teori sistem kurvalinear umum yang mempergunakan metodeanalisis tensor yang ditinjau dalam Bab 8.

SISTEM.SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL KHUSUS

l. Koordinat Silinder (0,0, 11. Lihar Gamb.4 di bawah

*, = P cos@, , = psin6, z=z

dimana P >= 0, 0S+ < 2n, -oo< z <co

hp=t, hO-p, hz=l

2. Koordinat Bola (r, 0 , il.Lihat Gamb. 5 di bawah.

r = rsin 0 cosS, / = rsln 0 sh$, z = rcos 0

dimana r20, 056<ztr, 0!0!nhr=L, he=r, h6=rsta0

Page 145: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

Gambar 4 Garirbu 5

3. Koordinat Silinder Parabolik @, v, z). Lihat Gamb.6 di bawah.

x = t@2-u21 , y=uu, Z=zdimana -co<u<o, ,a0, -o<z<@

hu=hu=/r4"', hr=l

Dalamkoordinat silinder, u = r'Ap cos +, u -- {Ip "in f;. z = z

Jejak dari permukaan-permukaan koordinat pada bidang xy diperlihatkan dalam Gamb. 6 di bawah.

Jejak-iejak ini aCalah parabola-parabola konfokal (confocal) dengan sumbu yang sama.

t4l

Gmhar 6

Page 146: Analisis Vektor

t42 KOORDINAT KURVALINEAR

Koordinat Paraboloid (u, v, Q).

u = ut) cos@. y = uusin+. z = r@2-o2)dimana u>=0, ,>0, O<A<21r

h" = h; = ,7 +7, h;= ,,

Kedua himpunan permukaan koordinatnya diperoleh dengan memutarkan parabola-parabola dari

Gamb. 6 di atas mengeiilingi sunrbu Jr yang {inamai kembali sebagai sumbu z. Himpunan permukaan

koordinat ketiga adalah bidang-bidang yang melalui sumbu ini.

Koordinat Silinder Eliptik (a, u, z). Lihat Gamb. 7 di barvair.

x = a coshzcosu, f = a sinhzsinu, Z=zdimana uZ0, OSu<2n, -co<z<co

hu = hr= ar'slnh'u 1Sln2u, h" = |

Jejak dari permukaan-permukaan kr-ordinat pada bidang ry diperlihatkan dalam Carnb. T di bawah

Jejak-jejak ini berupa elips-elips dan hiperbola-hiperbola konlokal.

6. Koordinat Prolate Spheroidal (t, n,0)

x = a sinh( sin4 cos@, f = asinl( sin4 sin@, Z = acosh{ cosr1

dimana 6lo, o5nSn, 014<zr\ = h, = "'/si;h?+ sinT , ho= a sinh ( sin4

Kedua himpunan permukaan koordinatnya diperoleh dengan menrutarkan kurva-kur.ra dari Carnb. T

di atas lnengeliling sumbu x yang dinanrai kcmbali scbagai surnbu z. Himpunan pcrmukaan koordinatketiga adalah bidang-bidang yang mclalui sumbu ini .

N\/:;

Page 147: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

7. Koordinat Oblate Spheroidal (t, n, d).

u = acoshf cos4 cos@, y = acosh( cos4 sip@, z = asinhf sin4

dimana €Zo, -fSnSS, oSO<2Tr

hC = h, -- "'/;iR11 sin"n , h6 = o eosh f cos z7

Kedua himpunan permukaan koordinatnya diperoleh dengan memutarkan kurva-kurva dari Gamb. 7

di atas mengelilingi sumbu y yang dinamai kembali sebagai sumbu z. Hirnpunan permukaan koordinat ke'

tiga adalah bidang-bidang yang meialui sumbu ini.

143

Koordinat Elipsoid (I, r, u)

x2 y2 z2L -

a -^ 62-\ ,'-\

x' v'

"'- rr ' b'- tr *

"'- rr,

r" y'2d -u b2-u "'-,

, 1 f c/-\Xr-N-nr. = z Y Af,q(6,-\x",-b'

= 1,

= 1,

= 1,

\<c2<b2<C

c2 11.,.<b2<a2

c2<b'<u<a2

.1htr=i

hr=L

9. Koordinat Bipolar (u, v, z). Lihat Gamb. 8 di bawah.

12+(y-acotu12 = a2csc2u. (x*ocotho)2+y'= a2csch2v, z=z

Gambr 8

oslnhu csinu"=c;f;=;s,, v= cosil:;s&, z=z

dimana 01 u < 2tt, -co<tr < co, -co< z <ln

h..=h..= . a , h,=lw u coshu - cosu

atau

(z-s.)(\-P)(o'- p\(b'- p'tG2 - trJ

(t -v111.t-v1@3-vi(b2-v\(c2-v\

Page 148: Analisis Vektor

144 KOORDTNATKURVALTNEAR

Jejak dari permukaan-permukaan koordinat pada bidang x7 diperlihatkan dalam Gamb. 8 di atas.Dengan memutarkan kurva-kurva dari Gamb. 8 mengeliiingi sumbu / dan menamakannya kembali sebagaisumbu z, maka diperoleh sebuah srirem koordinat toroid.

Soal-soal yang Dipecahkan

l. Gambarkan permukaan-permukaan koordinat dan kurva-kurva koordinat untuk (a) koordinat silinder dan(D) bola.

(a) Permukaan'permukaan koordinat adalah :

P = cr permukaan-permukaan silinder bersumbu sarna (coaxial) deqgan sumbu z (atau sumbu zjika c, = 0)

Q = cz bidang-bidang yang melalui sumbu z

z = ct bidang-bidang yang tegak-lurus sumbu z

Kurva-kurva koc:dinat adalah :

Irisan dari p = cr dan @ = c, (kurva z) yang adalah sebuah garis lurus.Irisan dari p = cl dan z = ca (kurva Q)yangadalah sebuah lingkaran (atau titik).Irisan dari Q = c2 dan z = ca (kurva p) yang adalah sebuah ga.is lurus.

(D) Permukaan-perrr^ukaan koordinat adalah :

r = ct permukaan-permukaanbolayangberpusat di titik asal (atau titik asaljika cr = 0).

0 = cz permukaan-perm,-tkaan kerucut dengan titik puncaknya di titik asal (garis-garis jikae2 = 0 atau n, darr bidang xy Srka c, = n121.

Q = cz bidang-bidang yang melalui sumbu z.

Kurva-kurva koordinat aCalah :

Irisan dari r = c1 dan d = c2 (kurva@) yang adalah sebuah lingkaran (atau iitik).Irisan dari r = c1 dan @ = ca (kurva 0) yang adalah separuh-lingkaran (c1l 0).Irisan dari 0 = c2 dalr p = ca (kurvr r) yang adalah sebuah garis.

2. Tentukan transformasi koordinat dari koordinat-koordinat silinder kedalam koordinat-koordinat tegak-lurus.

Persamaan-persamaan yang mendefinisikan transformasi koordinat dari koordinat-koordinat tegak-luruskedalam koordinat-koordinat silinder adalah

(1) r= pc6O. Q) y = psta$, Q) z = z

Kuadratkan (1) dan (2)kemudian jumlahkan,p2(cos26+sif 4) = ,'+y' ^tuu

p = /7Tr,-,karenacos26+sin26= 1 dan ppositif.

Bagikan(2)oleh(1), L = pg,'"t = tsnd araud = arctanl.

' pcosS x

Maka transformasi koordinat yang diinginkan adalah, (4) p = /?+f , @ O = arc taa 1,(6)z-2.

Perhatikan bahwa untuk titik-titik pada sumbu z (x =0,y = 0), maka @ harganya tak-tcntu. Titik-titikdemikian disebut ririk-ririk singular dari transformasi.

3. Buktikan bahwa sistem koordinat silinder adalah ortogonal.

Vektor kedudukan dari sebarang titik dalam koordinat silinder adalah

Page 149: Analisis Vektor

KOORDTNATKURVALINEAR I45

r = xl+y!+zk = pcosQt+Psln@J+zk

Vektor-vektor singgung pada kurva-kurv a p,g danz berturut-turut diberikan ol"rr $ , * O- *^dp@dz

dimana-?l- = "*@r + srn@1, + = - psra$t + pcmdr' I = roPWdz

Vektor-vektor satuan dalam arah-arah ini adalah

zr/7o co!4_!_i_sin_el = .osd r + stnd,e' = ep = @A = a;&T+ snt,a s

. =.. = ay'w = --e-*:tJ:-2:y:4 = -sln@r + cosgJoz - =6 - li'twl /V;L?o - n;?o&/7"Es=azP'/7'l

Maka e1.€2 = (cosd t + stnd r)'(-sind t + cosd J) = 0

€1.€s = lcos{l+slndJ).(k) = o

%'% = (-sin@l+cosdl'thl = 0

jadi e,, el dan e3 saling tegak-lurus dan dengan demikian sistem koordinatnya ortogonal'

{. Nyatakan vektor A = zi - 2xj + yk dalam koordinat-koordinat silinder. Jadi tentukan.d p, Aq d,an Ar.

Dari Soal 3,

(1\ep = cosot+eLn$t (2)ed = -sir.@l +cosdJ Q\er=y

Pecahkan (1) dan (2) secara serempak, maka didapatkan

I = cosQ"p- sh@e6, J = sinOep+ cos$e6

Maka A= zl-?rt+fk

= z(cos@eo-sln@ ad - zpcos@lslndep+cosQ"e * pslaQe,

= (z cos@ - 2pcos$ sh{1e, - (z stod + 2pcos2$\e6 + pshn$e"

jadi Ap = , cos@ - 2pcosd slnd, A6 = -z slu@ - 2pcos2$, A" = psinQ'

5. Buktikan *r., = A V, *"f = - O "o di mana tanda titik menyatakan turunan terhadap waktut.

Dari Soal 3,

ep = cosd i + shd i. ed = -sin$ I + cosd J

d'Maka &ep = -(stnd)it +tnosd)dt = 1-stn@t+cosdJ)d = Q"6

* "* = -(cosd)dr - t"rndldl = -(cG@t + slu OnQ = -Q"p

6. Nyatakan kecepatan v dan percepatan a dari sebuah partiket dalam koordinat silinder'

Vektor kedudukan dalam sistem koordinat tegak-lurus adalah r = xi + li + zk dan vektor-vektor kece-

patan dan PercePatan adalah

= # = ir+i1+it dan . - # = ?ir+1it+iu

Page 150: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

Dalant koordinat silinder di mana dengan mempergunakan Soal 4,

r = rl +yt + zh = (p cos d)(coc p e, _ sin d e4)

+ (psin@11sin@ ep + cos 6 e4,) + " e,

= pep+ zez

dt dt"p ,i -iu, = Ptr* PQe6+ zez

di mana dipergunakan Soal 5. Diferensiasikan sekali lagi,

d2r d . : .j = dr@ep+PQe6+ze2l

. duo ., .. d.6= 0 * * P.p * PA

" + pQe6+ pQer+'ie,

= i$.0+ i'eo + p6<-6"pt + pOe6+ p$e6+.;e"

= tii - p Q'l.p * <pO * zp$1 ur *'i."di mana dipergunakan Soal 5.

7. Carilah kuadrat elemen panjang busu; dalan koordinat silinder dan tentukan iaktor-faktor skala yang ber-sangkutan.

{etodf Pertama.

x = pccsQ, t = psLa,, z=zdz = -p sin O dO + cos$ dp. dy = pcos6 dO + sin$ clp. dz = dz

N{aka ds2 = dz2+dy2+ttz2 = (-psinOc+ + cos$apf + (pcosdad + slrn$apf + @z)2

= @pJ2 + p'@6)' + 1d,z)2 - t?<apf + nf,1ag.f + nf,6,fdan ir = hp= l. hr= hf= P, hs= hz= I adalahfaktor-faktorskala.

Metode Kedua. Vektor kedudukan adalah r = p cos Oi + p sin @i + z k. Maka

d?=$ro*3ao*Ea,op@dz= (cos@ t + stnO t),ip + (-psin@t + pcos$ fidO + kdz

= (cosQ ap - pstn6 df)t + (slnf dp +pcos g agyl + xaz

radi ds2 = dt'dr

= *;!':;';':".r

'::{

+ (slnd dp + p cos$ a$f + 6zf

8. Kerjakan Soal 7 untuk koordinat-koordinat (a) bola dan (D) silinder parabolik.

(s) z=rsin0cos$, y=rs.tndsin@, z =rcos.Q

Maka ,tx = *rsinAsin$tl$+rcos6coseaA + sin6cos$drdy = rsin0cosrbrt$+rcosdsinOa0 + singsin$drdz = -rsin 0 a0 + cos, d;

dan @s12 = (dx12 + 6yf + 6,f = @r\2 + p1a0f + r2sin20 1de12

Page 151: Analisis Vektor

KOORDINAI KLiRVALtNt:AR

Faktor-faktorskala adalah ht= hr= l, hr= hg = r, hs= h6= r rLn e.

(6) ,= l1t?-v2), y=u!, z=z

dx = udu-udu, dY = udu +'d'u, d'z=dzMaka

dan (dr)2 = <arf + Gyf + @z)2 = 1u2+r'\(d'>'+ 1u2+v211dv12 + (d'zf

Faktor-faktorskalaatlalah hr= hu= /7.;], hz= hu= /7-*r', hs=hz=1.

9. Sketsakanelemenvolur.ledalam koordinat^koordinat (a) silinder dan (b) bola dantentukan besar rusuk-

fusuknya.

(a) Rusuk-rusuk elcmen volume dalam koordinat silinder (Gamb. (a) di bawah) besarnya pdA, dp tlan dz.

Ini dapat pula dilihat dari kenyataan bahu'a rusuk-rusuknya diberikan oleh

d.sr= hrdur= (tl(dp) = dp, Csr= hrdur= p dA, ds"= (l)(lzJ = dz

di mana <tipergunakan faktor-faktor skala dari Soal 7

(b) Rusuk-rusuk elemen volume dalarn koordinat bola (Gambar (b) di atas) besarnyadr, rd9 dan r sin0 d$.ini dapat pula dilihat dari kenyataan bahwa rusuk-rusuknya diberikan oleh

dsr= hrdur: (l)(dr) = dr, dsr= hrd.ur= r d,A, ds. = ,tr(u" = r sin 0 d'$

dimana dipergunakan faktor-faktor skala dari Soal 8 (a).

10. Carilah elemcn vr>luure dV dalan koordinat-koordirrat (a)silinder, (b) bola dan (c) silinder parabolik.

Elclnen volume dalarn koordinat-kurvalinear ortogonal llt, rl2, u3 adalah

Gambar (a) Elemen volume dalam

koordinat silinder

dV = h1h2h3 du1du2du3

(a) Dalarn koordinatsihnder uL= p, u2=Q, us= i, h1= l, ftr= p,

dv = (l)(p)(t) dp d$ dz = p ap a$

Ilasil ini dapat pula diarnati [angsung dari Gamb. (a) Soal 9.

Gambar (b) Elemen volume dalamkoordinat trola

= 1 (lihat Soal 7). lt'takah3

dY = 0 Btn9 d6\ tr dei gd. 12 stut9 .tr d0 dO

Page 152: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

(D) Dalamkoordinatbola ut=r, u2=0, q=$, h1=1, ftr=t, hs= 7 6lnA (lihatSoal 8(c)).Maka

dY = (t)(r)(rsin6) dr d0 dO = r2sing dr d,0 d$

Hasil ini dapat pula diamati langsung dari Gamb (b) Soal 9.

(c) Dalam koordinat silinder parabolik ua= u, u2= o, r,c,= z, h=/717, tr=/ur17, h=t(lihat Soal 8 (D) ). Maka

dy = (7+ ozlp/yz+,z)el du du dz = 1u2+ t?1 du du dz

I I . Carilah (a) faktor'faktor skala dan (D) elemen volume d I/ dalam koordinat oblate spheroidal.

(o) , = acosh(coszTcos@, / = acoshf cosz;sin4!, e = osinhf sin4dx = -acosh(cos?sin#dd * acoshfsin?cos6an + astnhfcos4cos@dfdT = ocosh(cosrcosOdO - acoshfsinrisindaT + aslnhfcos?sinddfdz = a slnhfcosndq + "cosh( sinqd{

Maka (ds\2 = (dx\2 + (dy)2 + (dz)2 = o2(sinh2€+et#n)@€,r2

+ c21stnh2f + sin2q11dt712

+ c2 cosh2f cos2q 6$12dan f,1 = 16= o4rnrrz5+!!,1rr7 , hz=h,r= r,6il2<*;or1 . h= hO= d cosh ( cosrl .

(D) av = p/ffi 1affir) ("'/"rnh?;sinrt) (a cosh f cos11 a€ art aO

= .3(sinh2f+sin2T) .osh { cosq d€ c, d$

12. Carilah pernyataan untuk elenren luas dalam koordinat kurvalinear.

Dengan melihat pada Gambar 3, hal. I 16, maka elemen luas diberikan oleh

dA7 = l6raure2)x(Asau""oll - hzhsl "rr"rlarraa = hzhattuetlq

karena l%r"rl = l"rl = r. Dengancarayangsama

dA2 = | grraurel) x ([3 dq e31 | = h1h3 dqdt4

dAs = I tf, du1 e; x (h2du2er1l = \h2 du1dt4

13. Jika ur,u.),usadalahkoordinat-koordinatkurvalinear,perlihatkanbahwapersamaanJacob darix,y,zterhadap ur, u2,uj adalah

r,.x_t_/J , _ a@,y,2)'u7,u2,us' d(utuz,u1)

?x 7y Zzar, 4", ar,E: 3y Zz6G d; dCZx ty Oz

Dr, ?r. ?r"

Menurut Soal 38 dari Bab 2, determinannya samadengan

.7, , 7y Z" E, ?y E, ?,(n-l +.-j + - k).(<-l * +J + _ tr1*1$tout Out dut 'du, dur- du, ' 'Du, -

= ht h, lr,

7y 7z+ --J + ;-k)ous Ous

Page 153: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

= hLeL. lre, x f,aea

= hthzh €1. €2 x €s = hthpha

Jika persamaan Jacob-nya samadengan nol maka + , + , + adalah vektor-vektor koplanardut due dug

dan tlansformasi koordinat kurvalinearnya gagal, yakni terdapat hubungan antara ,, y, z berbentuk F('x,

y, z) = O. Dengan demikian kita akan mensyaratkan persamaan Jacob tidak nol'

t49

14. Hitunglah

jejari a.

ar ?r ?rdu, duz dug

ilf ",. y2+ 22) d* dy dz

rdimana I/ adalah bola yang berpusat dititik asal dan ber'

Gambar {a)Gambar (D)

Integral yang dikehendaki samadengan delapan kali integral yang dihitung terhadap bagian bola dalam

oktan pertama (lihat Gamb. (a) di atas).

Maka dalam koordinat tegak-lurus integralnya samadengan

Fa./E-x2 ?v/d2-a2a2I J I J @2+v2+z2ldzdvdz

,=O y=O z=o

yang meskipun dapat dihitung tetapi sangat panjang dan menjemukan. Perhitungan ini menjadi-lebih-midah

dengan mempergunakan koordinat bola. Dalam merubah ke koordinat bela, integrannya x2 + y2^+ "diganti oleh besaran "ki""l";;;;l

,"JungLun elemen volume dxdydz diganti oleh elemen volume r2 sln0-

aiaO aO (lihat Soal l0 (b) ). Untuk meliput daerah yang dikehendaki dalam oktan pertama, ambilkan 0

dan o konstan (lihat Gamb. (D) di atas) dan integrasikan dari r = 0 hingga r = o; kemudian pertahankan p

konstan dan integrasikan dari 0 = 0 hingga n l2; akhirltya integrasikan terhadap 4 dan tl = 0 hingga Q = n12.

Disini kita telah nrelakukan integrasi dalam urutan r, 0, @ walaupun demikian dapat dipergunakan pula urut-

an lainnya. Hasilnya adalah

, !""d=o

f f 1r:11psln 0 araaae) = , !"o !* f ts,,l drdldg0-=o Lo 6=o 0=o r=o

, r[,* ,["*' f

sind li=,aea4 = + J,*' ,[,*' stn. a,ag

nrr/z8a6laa=47ra6s.J5

O=0

i-la"0drdot6

Page 154: Analisis Vektor

150 KOORDINAT KURVALTNITAR

Secara fisis. integralnya menyatakan momen-inersia dari bola terhadap titik asal, yakni momen-inersiapolar, jika bolanya memiliki kerapatan massa satuan.

Pada umumnya, dalam mentransformasikan integral-integral lipat dari koordinat tegak-lurus ke koor-dinat kurvalinear ortogonal maka elemen volume dxdydz diganti oleh hrh2h3du1du2du3 atau ekivalennya

t(..''.:''.. )drrdu2du3 dimana./adalahpersamaanJacobuntuktransformasid,arix,y,zkeul,u2,u3U 1, U2, ll3

(lihat Soal I 3).

15. Jikaul,u2,u3adalahkoordinat-koordinatumum,perlihatkanbahrva +,+, Qf O.n jur,Yur,flu"dut duz dus

adalah sistem vektor-vektor resiprokal.

Kitaharusmemperlihatkanbahwa 34.U" - 1r.;iLup=9 dimana p danq dapat memilikioub , t gJikaplqsebarang harga 1 . 2,3 - Kita peroleh

dr = $au, * Qt-ar, * $ar.dur^dur'du.

Perkalikan dengan Vr1 ' . Maka

Vur. d" - d,t = (Vzr. fr1r,, + (Vu1 . frrr,, + (Vzr. *rr*atau Vr,. P = r, Vr,.P = o, V,,.S = o' dur duz dus

Begitupula. dengan mengambilkan perkaliannya dengan Vr, ;dan Vz3 .maka relasi-relasisisanyaterbukti.

16.Buktikan {* fr"*}{o,,.v,,,v,"} = 1.

Dari Soal'15,, g , }- , -&- dan Vr1,Vr2,Vr3 adalah sistem vektor-vektor resiprokai. Maka hasiidu1' du2' Zus

yang dikehendaki segera diperoleh dengan mempergunakan Soal 53 (c) dari Bab 2.

Hasil ini ekivalen dengan suatu teorema untuk persamaan Jacob karena

Er, ?n, 311?, 7y 7,

Vu1 'Vu2rVr" 7u, 7r, ?u, I - ,,uL,u2.us\E 6 ;;l - '\-vi:;'?u. ?r. ?r.7" ay 7z

dan dengan demikian I(*th) l(u+#f) = 1 di mana dipergunakan Soal 13.

17. Perlihatkan bahwa kuadrat elemen panjang busur dalam koordinat kurvalinear umum dapat dinyatakan se-

bagai

33

ds2 = I I studutduql=t' q=t

Kita peroleh

dr = +dr, + Pr- da + {au" = ardvl + t&2du2 + dodu3?rr'}ur'7u"

Page 155: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

Maka ds2 = dr . dr = 41- d.1 dul + Ar'9,, du1du2 + (L'Oj iluldu3

+ b.Qt du2d,u1 + *'A, a"t + Q'Cs dhdus

+ Q 'Cr dus du1 t Q' dc drg du2 + do' At d';33

I E stq d'iduq di mana cr, = cf'dop=1 q=a

Pernyataan ini disebut bentuk kuadratik fundamental atau bentuk metrik. Besaran-besaran 8rn disebut

koeJisien-koefisien metik dan adalah simetrik, yaknigro = gqp.Ilka 8pe = 0, p *q, maka sistemkoordi-natnya ortogonal. Dalam hal ini gr r = hr2 , Bzz = htz., Ctt = hl.Perluasan bentuk metrik kedalam ruang

berdimensi lebih tinggi memainkan peranan yang sangat penting dalam teori relativitas umum (lihat Bab 8).

GRADIEN, DTVERGENSI DAN CURL DALAM KOORDINAT ORTOGONAL

18. Turunkan pernyataan untuk VQ dalam koordinat kurvalinear ortogonal.

Misalkan VQ = /, ea+ f2e2+ fses di mana f r, fz, h akan ditentukan.

Karena dr = +arr*$aurtlauedut duz dus

= htetaul * h2e2Cu2 + h3esdus

kita peroieh

(I) dQ = VQ . ar = h1f1du1 + h2 l2du2 + hslsdus

rerapi (2\ d+ = Hr,, * Hru, * ffiru.

samakan (/) dan c) 4 = i H, ,,= i#,, 4 = i ffiMaka v+= rH.?y_.frHPernyataan ini menunjukkan ekivalensi operator

e-€1D"rEeaaY = v"r* tra** n"-a""

yang mana tereduksi ke pernyataan untuk V yang lazim dalam koordinat tegak-lurus.

19. Misalkan u1, tt2. tt3 adalah koordinat-koordinat ortogonal.

(a) BuktikanbahwalY"pl= hf,l , p=r,2,s.(b) Perlihatkan bahwa ep = Ep

(c) Ambilkan O = a1 dalam Soal 18. MakaVul = fr aun dengan demikiu" lVrrl = 1"rl/nr= 7,i1 , karena

1", l= t. Begitupuiadenganmengambilka;r@ = uTdanur,lY"rl = lr-''dunlVr"i= U-'.

(b) Menurut definisl t, = k .Dari bagian (d), pernyataan ini dapat dituliskan sebagai E2 = hrior= e,lvubl

dan terbuktilah hasilnYa.

Page 156: Analisis Vektor

t52 KOORDINAT KURVALINEAR

20. Buktikan e.= hh"9urxV6 bersamadenganpersamaanserupauntuke2 dane3,dinlanaal,u2,u3ada-lah koordinat-koordinat ortogonal.

Dari Soal le, %, = f ,V"r=fi, V" = *Maka VurxVu" = tt = dt o* et= hzhsVu,'Vq.

Dengancarayangsalno, G2= isirVa3xVrl dan e3 = hthzVrtxYuz.

2I. Perlihatkan bahwa dalam koordinat ortogonal.

(a) v . 1r, e,) = ih f,rn,r,Ut(E) Vx(11e1) = &.3-re.r,l - #,firl,^,,

bersama dengan persamaan serupa untuk vektor-vektor,{2e2 dar Alex.

(a) Dari Soal 20,

V' (lrer) = i' Gtbh3Vu2xVz"1

= V U\h2l*,t . Yu2rYus + A]"la9.1VzrxVz"1

= V1rri.fu). ff- fr. o = i<Arhr',,;t.#"

= [ f f; ,r.ror", . 7 *,(thznl) - f * ,"thz,.lt] rn= hfi'"^'a'

161 Vx 1it1e1 = Vx 1l1fuVn1)

= V(,{r[1) xVn, + ,{1fuVxVu1

= V1,{raf ,il * u

= [f fi'"" . 7*(/1h) + fr fiu'u] 'f= #'fit"ro - f'att"^'r

22. Nyatakan div A = V' A dalam koordinat ortogonal

V.a = V. 1,{re1 +/-2e2+/oe.,) = V'6rcr1 +i'ptrcrl+V'14c"1

- I [3,r'ut", * ]lrrqlr) * g1r.^r^lh$2\ ldul du2 dq J

di mana dipergunakan Soal 2l (a).

23. NyatakancurlA= Vx A dalamkoordinat ortogonal.

VxA = Vx(lrer+Aze2+As%) - Vx(,{red +ixlArcrl +Vx(z{ges)

-e2Esairi, E",("ltht\ - -rt"fi(A'h'\.frfio,ut-&*,^"r'

Page 157: Analisis Vektor

KOORDINA

. &f, ''.t"' - &,aL,,,',^",

- e'r-a t ,] .,;L[*(A,hi-f,.r"^",]= ^"" | ?;<'"0"' -

"^T':'' a -l- ffirla'-r'n,^s - ;, t'errr)l

di mana dipergunakan Soal ll (b). Hasil ini dapat dituliskan sebagai

| ,1"' hz_ez *"

I

V"r = 1 ld d d I- hrh"h" l?", Zu, ar" I

I nr^, Azhz A"h"l

)4. Nyatakan V'r! dalam koordinat ortogonal.

Dari Soal 18. VU = u' 3{ * e2 9P * q' h1 du1 h2 du2 h3

Jika A=VV, maka ,{r=: y . or=:y,h1 du1 h2 Au2

V.e = V.V., = V"rl,

= 1 f A,h2hAQ,.rr44 [a,r t i, a*' *

153

w?,,'

, _l w" h3 du3

dan menurut Soal 22,

**,*#,.*,**,])5. Pergunakan definisi integral

ff

JJe', as

divA = v'n = Iim a-Ar-o LY

(lihat Soal 19, Bab 6) untuk menyatakan V'Adalam koordinat kurvalinear ortogonal. c

Pandang elemen volume AIl (lihat gambardi samping) yang memiliki rusuk-rusuk h1Au1,h2 Au2, h3Au3.

Misalkan A = Aiel * Azez + 13e3 dan nnormal satuan berarah keluar pada permukaanAS dari volume A Z. Pada sisi JKLP,n= -e1.Maka kita peroleh, sebagai pendekatan

I f n.^ ot = (A. n di titik p) (Luas JKLP)JJ

JILP

= [1,{1e1 + A2e2+ Ases). eet)) $rh"NrNs\

- - A7h2b N4&3

Pada permukaan EFGH, integral permukaannya adalah

A1h2t4 Lu2Lq + {roruro"

&rA,r1 &,

Page 158: Analisis Vektor

15.{ KOORDINAT KURVALTNITAR

di mana diabaikan suku-suku infinitesimal.yang ordenya lebih tinggi daripada Luy Lu2 Au3. Maka kontri-

busi total pada integral permukaan dari keCua permukaan ini adalah

3- 6r.hrh" Ar2A4) Az1 = + (At h2h) Au1 Au2 A,g?r, d,t'- - -

Kontribusi dari keenam sisinya A tr/ adalah

4"1&2 A"g

an Iimit bila Az1, Au2, Aul menuju

nol, kita peroleh

div A = v.e = in[rt,r, o,u"t * {(a2hJd. fi,.r, r,oa]

perhatikan bahwa hasil yang sama akan kita peroleh apabila misalnya kita memilih elemen volume AIlsedemikian rup4 sehingga titik P berada dipusatnya. Dalam hal ini, perhitungannya analog dengan yang di-

lakukan dalam Soal 21, Bab 4.

Pergunakan definisi integral

ft^ n'a,

(currA).n = lvxA)." = jlT. -=IS-(lihat Soal 35, Bab 6) untuk menyatakan V x Adalam kcordinat kurvalinear.

Baiklah terlebih dahulu kita menghitung(curl A) el. Untuk ini, pandang permukaan

Sl yang normal terhadap e1 di P, seperti diper-lihatkan dalam gambar di samping. Nyatakanbatas 51 dengan C1 . Misalkan A = .4 r e, +

A2e2 * A3e3. maka kita peroleh

[3,r,A,As)t+ (42hlh)+L Oq ouc

Bagikan hasil ini dengan volume h1 h2 lt3 t\u1 Lu2

fr,o'* = In'0, * {n'',PQA

3 r.r" r,r,lldus I

Az3 dan ambilk

{n.0, * f n.o,Lil

(l)

Maka

Pendekatan-pendekatan berikut berlaku

{ n.,,PQ

I o'0,i{L

{ n.,,rt{

(A at P) . thru2ed)

(ALe\ + Aee2+ ls%)' (hrLu2e) = AthzAv,z

A, ho N, * 3 tx, h, &^21 Ns' dur'- -

)-A2h2Au2 - a;(A2h2Au1)Ns

(A at P) - 1[. &" er1 = Ashs Ns

atau

(2)

Dengan cara yang sama,

I e,'a,JPil

atd u

Page 159: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINUAR

ul= pt u2=Q, us= " ; et=ep, er=ed. es=ez i

hr= ho= 1, h2= h6= p, hr= hr= 1

155

f

(3) J a,.a, = -As,,e\,ailP

dan

!'s(4\ .J e,. a, = AshsA"s + fi 4B,,oL,o'tNt_

V))

Jumlahkan (1), (2). (3), (4). kita peroleh

f". ^'" = #,(/stuaus)au, - **rn,h,N,1NavL

= t*(rsis) - f;rr,t,r] N,M

di mana diabaikan suku-suku infinitesimal dengan orde lebih tinggi daripada Au2 Au2.

Bagikan dengan luas 51 yang samadengan h2h3 Au2 Au3 dan ambilkan limit bila Au2 dan Au3mendekati nol, maka

(curiA) . el = *"[fi rr"r"r -.*,r,t,]Begitupula, dengarr memilihkan luas 52 dan .S3 bert'rrut-turut tegak-1urus e2 dan e3 di P, maka kita peroleh(curl A) . e; dan (curl A) . er. Ini membcrikan hasil yang Cikehendaki

currA _9, [3,r.r., _ !rn,^u1* )'Zt;,,": - i].,"^,] r rrer ,qe, rse3 r

- #,|fit"^'- at'"^'r] = #l * * *l| ^rn,

hzAz t "A"l

Ilasil yang sama dapat kita turunkan pula dengan memilih P sebagai pusat dari luas S1 ; dan perhitung-

annya sama-dengan yang dilakukan dalam Soal 36, Bab 6.

27. Nyatakan dalant koordinat silinder besaran-besaran (o) VQ, (6) V'A, (c.) V x A, (d) V2Q .

Untuk koordinat-koordinat silinder (p,0, z),

dan

(c) VA 199", * 1?9", * f 1o".h1 du, h2 du2 hs dus

l?Q r?Q r?O1ap'r' o"*'** ia""

$, 'iS"' * *'"ffi t* o2hAL\ +

fi<r,"r,r, . * <^,r,n,l(6) V. e

Page 160: Analisis Vektor

156

di mana A = Ap., + A6e2+ A"e3,yakni A'= Ap, At= A6, As= Az,

(cl Vx A

28. Nyatakan (a) V x A dan (b) V' { dalam koordinat bola.

Disini zr= r, u2= Q, u"=S; e1=er, e2=ee, e3=e6 l hL=hr=1, fir=h6=r, ta=h6="be'

KOORDINAT KURVALINEAR

,-r*, [$ (to""',) * S (t'rt't'o) *

b&,ono, . #.{,0n,,)

$ (rrtnrr,)]

I ir", hzez &e3l I .o Pe6 e, I

= -+-l+ + sl = +l+ + *lo* l:;, i:;, i:;.1' l; :r :",1

; [(# - g,onr,)"0 . Q+ -,+) ", . (*,*, *) i# [*(+r) . *(*H) . *.(*#)]

",*=,, [+ (ry #) .'" (.}, H) . * (w #)]

b*tr) . b#.. #

(d\ Vxe - Ih1hrh"

hter hz% fs% I

a a .l1lOut Ouc Oui I

IhrAr h2A2 hsAsl

l.n ,"e r sla0 e6

t la a a(r)(r)(r stng) I & A0 ad

I

lAr rA, rstt9A6

= #;" [{*t sind '{6) - $cnsl "- {# - f r,"in6e6r},., - {* lrAr) - *1,*,r"r]

(b, v.,t, =#[*(*#) .*(*#) .*(*#)]Ia /r,,a",n8, +) . *(*y- #).)(,)(r srne) La, \ .) .,

*e (r:i$ #)]= *[""'3(-#) .,%("*'#) . ##.1

Page 161: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

= ir"(-*) .d**(""'#) . ?k

29. Tuliskan persamaan l-aplace dalam koordinat parabolik silinder.

Dari Soal 8 (b),

ut= u, t!z= 0, uB= z ; rr= /717, b= tG *7 , h=t

Maka v'* = *[*(**) .*(#) .*(,*..,,#)], (a',!, a'*\ . Z'*

,'* "' \ ar' vr' I 2"2

Persamaan Laplacenya adalah t rt, = o atau

t rL A'rL ^2 '

=-+ + -=-; + (u2 + r21 9-Y- = odu' dv' Oz'

30.NyatakanpersamaankondL'ksipanas!=*v,udaiamkoordinateliptiksiIinder.

Disini ut=u, tlt=D, us=z I hr1=l1r=rr4inh"u * "lo'r. [t=t. Maka

s'a = a*,F--\;6 [* (*) . * (*) . * (''"'""' . "tr') #)]f f u * a'uf * 7',

o21slnh2u+siu2u) l?u2 ?r'J 722

dan persamaan konduksi panas adalah,

7u ,.t 1 -l'a',

* a'ul * a'u\a, F("i"F. - ";t; La,' ' aP J - a,' I

KOORDINAT KURVA LINEAR PERMUKAAN

31. Perlihatkanbahwakuadratelemenpaniangbusurpadapermukaanr={u,v)dapatdituliskan

ils2 = Eduz + 2Fd.ttla + Gilv2

Kitaperoleh dr = *r, *

*r,Maka ds2 = dr . dr

- L,t. " ,r* ,,'.,*ri::-

- *'* "

32. Perlihatkan bahwa elemen luas permukaan dari permukaan r = r(u, u) diberikan oleh

ds = ,rg5, - p' 4u4,

157

t_9_ao,

Page 162: Analisis Vektor

t58 KOORDINAT KURVALINEAR

l-.lemen luas diberikan oieh

ds l,1a,r'rla,rl = l+,1lr,r,I du du I Id, dul

.?r Er..Er Er. .Er Dr..Er Er(=-'r-r(-'=) - (:-'-)(^'-) = EG-F2dL du dv dv du dv du du

dikehendaki.

SOAL.SOAL SERBA ANEKA MENGENAI KOORDINAT I.'MUM

Besaran di bawah tanda akar pangkat dua sama-dengan {lihat Soal 48, Bab li

33. Misalkan A sebuah vektor yang didelinisikan terhadap dua buah sistem koorilirrat umum {ur, ur, u3) dan(7.14,4). Carilah hubungan antara konrponen-kornponen kontravarian dari vektor ini dalam kedua

sistem koordinat.

Andaikan persamaan-persamaan transformasi dari sistern koordinat tegak{urus (x,1,, z\ ke sistent-sis-tem (u1, u2, u3) dan (7'a,i2,4) diberikan oleh

t , = \(u7,u2,us), y = y1(u1,u2,u3\, z = z1(uyu2,u3\(1) IaI r= x2(81,i2,i), y= y2(i1,i2,is), z = z2(ibi2'is\

Maka terdapat suatu transformasi langsung dari sistem (ut, uz, u3) ke sistem tir. i2, r-r3) yang didefinisikanoleh

(2) u1 = u{iy-u2,iis\, u2 = ulipi2,i). us = 4([,y]a2,-q\

diperoleh hasil yang darinya

= dtdut + O,2du2 + *dus

= d7d.ia + ara4 + o4tti3

dan sebaliknya. Dari (1 ),

dr = ts;u, * lru +drs, due

, ?r.- ?..-dt = --

du1 + -=- dth +Qu7 Ouz

?r,-

du6Er"

?r .-

-

duaous

Maka

(3) d1du1

Dari (2), ,lut

Substitusikankita peroleh

(4t

,luz

du.

keda

+ d,2du2 + h,l"s = dtdit + dzdiz + o3dA.

?u, ,- ?r, ,- ?u, ,-= ,r"", * 6=4ou, * Ttro'.7u, .- ?u .- Zu" .-= =- du. + =- du. + =- d,u.dar'dar'dt"

E". ?r- ?"-= id4 + =:-'dia 1

-disdit diz di"

lam (J) dan samakan koefjsien-koefisien dari diL, dA2. dr73 dalarn kcdua belas ruas.

I a, .,,3 + ,,!2 * a. k| - dfr, an.- " d-&,l_I - Du, ?,. E".

I d2 - drau, * o.riA * o"i,,

( a" = d,* - **: - ""HI dinyatakan dalanr kedua sistem koordinat sebagaiVr:ktor A sckarang dapa

Page 163: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR

(5) A = Crd, + CzS + Csth dan A = Crd, * CrC, * e"A"

di mana cr, c., ('r tlan Cr. cr, c3 adalah komponen-komponen kontravarian iari -4 dalam kedua sistem.

Substitusikan (4) ke tlalan: ( i).

159

CtQh + Czh + C3d3 = Crd,

- Eu. - E,. - ?r. - Er, - ?u,' tcraq + c, aar* A t-;) d'7 + (cl aor* q

A-rr*

+ ca&3

-?u. -Er. -Ea* rc' ai * crau+ csfi)ds

+ c2 g'2

1- a'U.A =j) C." dit'

Maka

(6)

atau dalam notasi yang lebih singkat

( c, e,H . e,yh * .,*-'I = a,, =7u, =zu,1 ',

- c' ad, * t'fu, *

"t a-u"

( ,, = ,,H . e,*, . e"t

- Eu^ - ?r"Cn = Ct

^-t + C, ----: +

, Jdt Ouz

_ Eu^Ca=J p= 1,2,3

oug

atau daiam notasi yang jauh lebih singkat

fr =zubCr = lr co=:, q=t ' duq

Begitu pu1a, dengan mempertukarkan koordinat-koordinat kita melihat bahwa3r-

e^ = I c,?' o=' ' ouq

Hasil-hasil di atas membawa kita untuk menyetujui definisi berikut. Jika trga buah besaran Cr, Cz, Cz

dari suatu sistem koor<linat (u1, u2. u3) berkaitan dengan tiga besaran lainnya e ,,Q,e" dari sistem koor-

dinat(ur, lt2,i)melaluipersamaan-persamaalltransfoimasi {o),(7),(8)atau(9).makabesaran-besaraninidisebut komponen-komponen dari sebuah vektor kontravaridn atau sebuah /enscr kontravaritn rank satu'

34. Kerjakan Soal 33 untuk komponen-kor.nponen kovarian dari A'

Tuliskan komponen-komponen kovarian dari A dalam sistem-sistem (ul, tt2, u3) dan Ga,n2'4)

berturut-turut sebagai c1, c2, ca dan ir, Ez. Es Maka

(I) A = "1 Vr1 + c29u2 + cs9us = ErVfr + zri?, + 73ft3

Karena ip= ip'(ut, uz' uz) dengan p = l'2,3,

P = 1,2'3

", Vr, + c2Yu2 + csYrg

(/)

(8) P = 1,2,3

P = L'2,3

(2)

3r"-i-d,

?u"

=-dy

?u"-.--dz

aup

%ouf

%oup

a*

/ % = '!!_7",

* "or ru,

*I a, Er, ?, 7r2 7,

] a* =

lop ?u, * ?it }uz *

I a, ?r, B 7"rU

I q = ?or?u, * ?abzuz r

\ a, Eu, ?, Zu2 7,

?r. ?u, a= 1c.=i+co=:+."#lt''dr'dx-ox

* r.,*, * ",** ',ff11 *

Juga

(3)

?r. }uo ?u".,.r fr+ctfi+c.;j)k

Page 164: Analisis Vektor

160 KOORDINAT K URVALh-l-AR

Au, dtt^ du-(c1;.*- + c2;: + E3 - --) i

Ox Ax Ox

. ru,* .u,* * z"$ri + (rr*.." # * u.*ru

- dur - oue - ousc1i-lc2-+eS-' du, 'du2 'du,

1-- dut - ouz - oug

cc = t, au"

* ", Zu, *

"a ?r"

cA = erP r er! * e"+Y oub o% oul

r -"'qcA = U c"5-t q=7 '"b

Samakan koefisien-koefisien dari i,j, k dalam (-l) dan (4),

, Out Ouc Out _ Out - Ouq - OuzI c1

^- + c2 1- i ca- = c1 1- + c2-<- + cA=--

lOxOxdaOxOxAxtt^I Eu, 1,, ?u" - E[, - 3lr, - ]["

()) I c11 + c2-:a +ca=- = c1-+c2-+43l'dy 'dy "4 '7y 'ay "ayII Ou. Oue dut _ dut _ dus _ Cus\ c1 -' + c2 a: + ca;j = ar=- + e2=: + is-- -

Oz Oz dz Oz Oz Oz

Substitusikan persamaan (2) dengan p = 1,2,3, dalam persamaan-persamaan (5) dan samakan koefisien-

koefisren du.i E,, ?!, 'P!"

3l-l. % . D,. . Eu, E,^ E,---" D,' E,' ?,' 4' dy' ?y' E,' u';

pada kedua belah ruas' kita peroleh

dan

(4) e, V;, + drYi, + z"W"

yang dapat dituliskan sebagai

(7)

atau

(8)

(6)

(e)

p = l'2,3

P = 1,2,3

p = 1,2,3

Dengan cara yang sama kita dapat memperlihatkan bahwa

_;?.n"b cq ;tr-q=7 uub

Hasil di atas membawa kita untuk menyetujui definisi berikut. Jika tiga buah besaran c1, c2, ca dari

sebuah sistem koordinat (ut, uz, z3) berkaitan dengan tiga buait besaran lainnya e.7,e2,is dari sistem

koordinat lain (u-1,[r,E ) melalui persamaan-persamaan transformasi (6). (7), (8) atau (9). maka besaran-

besaran ini disebut komponen-kotrtponcn duri sebuuh vektor kovurian atau tensor kovoria.n rank satu.

Perluasan konsep-konsep dalam Soal ini dan Soal 33 kedalam ruang-ruang berdimensi lebih tinggi, dan

perluasan konsep vektor membawa kita kepada analisis tensor yang ditinjau dalarn Bab 8. Dalam proses

perluasan ini adalah memudahkan untuk mempergunakan notasi yang ringkas agar dapat menyatakan ide-

ide dasarnya dalam bentuk yang padat (cornpact). Namun demikian, perlu diingat bahwa disamping penon-

jolan notasi yang dipergunakan, ide-ide yang ditinjau dalam Bab 8 erat hubungannya dengan yang ditinjaudalam bab ini.

35. (a) Buktikan hahwa dalam koordinat ulnunl (.tt 1, u2, ttr),

Et1 8r, 8t,

bzt bD on

8r, 8", gs

= (#'#.#r

Page 165: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALIN[,AR

di mana gru adalah koefisien-koefisien dari duodu, dalam dsu (Soal I 7).

Perlihatkan bahwa eienten volume tlalant koordinat-unturn aclalah Q du1 du'2 tlu3.

Dari Soal 17,

(/) A = ct^.d,d- a'.=t = g3..gg-3.P p,q=1,2,3"bq -? -\1 d"p du, 7"p 7u, d"r, vu, du6 dun

Kemudian dengan mempergunakan teorema berikut untuk perkalian determinan

l6l

(r)

(a)

l"' ., *l

1::::::lkita peroleh

(D) Elemen volume diberikan oleh

3, ?y 3,Dr1 ?r1 ?r1

Z, 7y 7"7"2 1"2 7u2

?, El ?,3q Drs ?r3

?"?l?z?r1 ?r1 ?r1

7, Zt 7,?o2 ?u2 7u2

?r ?y ?z

?4 ?u3 ?ug

8r,

c^.

?, ?z ?r=- =- =-Aut duz dus

}-av 4?a1 ?r2 ?23

7z 7z 7zEr1 Eu2 Er3

8i 612 8B

8o 8*

8n t""

du1 du2 dugdv = I ,3a,,1 I <3 ,tu,1 , q! 4u.1I dur dut dua

I 3' ?r ?rl= l-

I Dr, ?,u, Er" I

37.

38.

= y'l duldu2dus menurut bagian (a)

Perhatikan bahwa ,,fg adalah harga-mutlak dari persamaan Ja cob x, .y, z tethadap u 1 , u2 , u 3 ( lihat Soal 1 3 ).

Soal-soal Tambahan

Jarvabln r,,rtuk Soal-soal Tanrbahan ini diberikan pada bagiarr akhir. dari Bab ini.

Uraikan dan buatlah sketsa permukaan-permukaan koordinat dan kurva-kurva koordinat untuk koordinat-koordinat (a) silinder eliptik, (b) bipolar dan (c) silinder parabolik.

Tentukan transformasi dari (a) koordinat bola ke koordinat tegak-lurus, (b) koordinat bola kc koordinatsilinder.

Nyatakan tiap-tiap tempat-kedudukan (loci) berikut dalam koordinat bola :

(a) permukaanbola x2 +v2 +72 = I (c) pr:rrnukaanparaboloid z =.r2 +y1(D) permukaan kerucut z7 = 3 {r2 + y2) @) bidang z = 0

(e)bidangy=-r.

Page 166: Analisis Vektor

162 KOORDINA]' KURVALINEAR

39. Jika p.Q.z adalahkoordinat-koordinatsilinder, utarakan tiap-tiap tempat-kedudukanberikutdantulis-kan persanraan untuk masing-masing tempat-kedudukan ini dalam koordinat tegak-lurus :

(a) p= 4,2= 0; (i) p= 4; (c)Q =riZi @)o =T/3, z=r.

40. Jika u, v. z adalah koordinat-koordinat eliptik silintjer di nlana d = 4, utarakan tiap-tiap tempat-kedudukan

berikut dan tuliskan persamaan untuk masing-masing terrpat-kedr lukan ini dalam koordinat tegakJurus :

@) v=n/4; (6)4=6, z=0; (c)u-1n2, z=2; ld\u=O, z=0.

41. Jika u, t., z adalah koordinat-koordinat silinder parabolik, buatkan grafik dari kurva-kurva atau daerah-

daerah berikut :

(a)u=2,:=0; (6) v=1, z= 2; (c) l=< uS2, 25"13, z-- Q; (d) 1au <2, 2<v<3, z=0.

42. (a) Canlahvektor-vektorsltuane^e6 dan ep darisistemkoordinatboladalami,jdank.(6) Pec.rhkan i.j dan k dalam er, eg dan e4

43. i\'yatakanvektorA--2yi-zi+3xkdalarnkoordinatboladantentukanAr,AgdanAE.

44, Buktikan bahwa sistem koordinat bola ortogonal.

45. Buktikan bahwa sistem-sistem koordinat (c) silinder parabolik (D) silinder eLiptik, dan (c) oblate spheroidal

adalah ortogonal.

46. Buktikar i, = 0."+ sinl4ef, 6a = - 0"r* "*eQ.O, 6O= -sio|6er- "or0$"r.47. Nyatakan kecepatan v dan percepatan a deri sebuah partrkei dalam kcordinat-bola.

48. Carilah kuadrat elemen panjang busur dan faktor-faktor skalanya yang bersangkutar, dalam sistem*istemkoordinat (a) praboloidal, (b) silinder eliptik. dan (c) oblate spheroidal.

49. Carilah elemen volume dV oalam sistem-sistem koordinat (a) paraboloidal, (D) silinder eliptik, dan (c) bi-polar.

50.'Carilah(a) faktor-faktorskaladan {D) elemenvolumedl/untuksistemkoordinatprolatespheroidal.

51. Turunkanpernyataanuntukfaktor-faktorskaladalamsistemsistemkoordinat (a) elipsoidaldan (b) bi-polar.

52. Carilah elemenelemen luas dari sebuah elemen volum dalam koordinat-koordinat (a) silinder, (D) boia dan

(c) paraboloidal.

53. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar sebuah sistem koordinat kurvalinear ortogonal adalah bahwa

{pq=ountukp*q.

54. Carilah Jacobian I(+\ untuk koordinai-koordinat (a) silinder, (6) bola, (c) silinder parabolik, (d) siU\, U2, ug

Iinder eliptik dan (e) prolate spheroidal.

55. t{itunglah If I ,p -f d.xdytlz,rti rnana I aijalah volume ruang yang dibatasi oleh z = x2 + y2 danv

z=8 (t2 +:-7).I'etunjuk : Pergunakan koordinat-koordinat silinder.

56. (arjlalr volumc yang terkccil darj kedua buah ruang yang dibatasi oleh pcrnrukaan b,rlr 12 +.v2 +:2 = 16

clan kerucut z2 = 12 +.y2.57. Irergunakarr k6ortiinat bola untuk mencarikan volunrc yang terkecil dari kcdua buah ruang yang dibatusi

oleh permukaarr sebuah bola berjejari a dan sebuah bidang yang rnemotong permukaan trola pada jarak lt

dari pusat bola.

58, (a) Utarakan perrnukaan-perrnukaan koordinat dan kurva-kurva koordinat untuk sistcnl

,2 - y' = 2u1 cos u2, xY = u1 sln u2, z = us

Page 167: Analisis Vektor

KOOR DINAT KU RVALIn- [AR 163

(b) Perlihatkan bahwa sistem-nya ortogonal. (c) Tentukan I(-::lt-) untuk sistem. (d) Perlihatkan'uj. tL2, Us

bahwa u1 dan rr2 berhubungan dengan koordinat-koordinat silinder p dan 0 dan tentukan hubungan-

nya.

59. Carilahmomeninersiadariruangyangdibatasioleh.t2 *),2 =2, x'-y2 =4, xy = 1, x.v =2, z=1dan z = 3 terhadap sumbu z jika kerapatannya konstan dan sama dengan x. Petunjuk : Ambilkan x' - y2

= 2u, xy = t).

60. Carilah =Q!. g, 3, Vrr, Yrr,Yus dalam koordinat-koordinat (a) silinder, (b) boia, dan (c) sili-

?r1' ?r2' ?r3der parabolik. Perlihatkan bahrva e1 = E1, e2 = E2, er = E3 untuk sistem*istem ini.

6l' Diketahui transfortllasi koordinat t,lt = '\-1 . 2u, = '2 + )'2, ut = z' (a) Perlihatkan bahwa sistem koordinat-

nya tak orrogonal. (b) Carilah I(::7::-). (c) L-arilah r/s2.' u1.u?,us

62. Carilah VQ, atva dan curl A dalam koordinat parabolik silinder.

63. Nyatakan @ Yrlt dan (b) V'A dalum koordinat bola.

64. Carilah V',p -dulu* koordinat oblate spheroidal.

)2- -2-45. Tuliskan persamlan o. Y * i-Y- = + dalam koordinat eliptik silinder.

)x2 ly'

56. Nyatakanpersamaan Maxwell Vx E = - : * dalamkccrdinatprolatespheroidal.

67. Nyatakan persamaan Schroedinger dalant mekanika kuantum V'rl, * 'Tr'^ ('E - Y(z,y,z)l/ = o dalamrit

koordinat parabolik silinder, dimana rr. /: dan E adalah konstanta-konstanta.

68. Tuliskan persamaan Laplace dalam koordinat paraboloidal.

69. Nyatakan persamaan konduksi panas * = "f r. dalam koordinat boiajika Utak bergantung pada

(a) Q, (b) @ dan 0, (c) r dan t, (d) 0,0 dan t.

70. Carilah elernen panjang busur pada perrnukaan sebuah bola berjejari a.

71. Buktikan bahwa dalam sistem koordinat kurvalineal, div curl A = 0 dan culr grad S = 0.

72. Buktikan bahwa iuas permukaan dari suatu daerah R pada permukaan r = r (u, v) adalah I { m -eR

,Cu dr. Pergunakan hasil ini untuk menentukan luas dari permukaan bola.

73. Buktikan bahwa scbuah vektor yang panjangnya P dan di mana-mana normal terhadap permukaan r = r(u, r,) diberikan oleh

\ a l-A = +or9!r9LJ/oc-r''- " E" Z"'/

74. (a) Utarakan transforrnasi bidang x = x {u, v), y (u, v)(b) Di bawah syarat-syarat apakah garis€aris kootdinht u, u akan ortogonal?

75. Misalkan (-r, -y) koordinat-koordinat dari sebuah titik P dalam bidang tegakJurus xy dan (4, r,)koordinat-koordinat dari sebuah titik 0 dalam bidang tegak{urus uy. Jika .r = x (2, v) dan } = y (u, v) nraka kita

1rlengatakan bahwa terdapat suatu kaitan atalu peme!,7d.n (mapping) antara titik-titik P dan Q.(a) Jika x =2.u * v dan-r,=u -2v. perlihatkanbahwagaris-garisdalam bidangry berkaitandengangaris-

garis dalanr bidang ur.

Page 168: Analisis Vektor

16.

77

164 KOORDINAT KURVALINEAR

(r) Apakaitannyabujur-sangkaryangdibatasiolehx=0, x=5, l=0 dan y=5 denganyangdalambi-dang zr' ?

(c) Hitunglah persamaan Jacob,I( j,'! I au" perlihatkan bahwa pernyataan ini berhubungan dengan per-

bandingan luas bujur+angkar dan bayangannya dalam tridang arr.

Jikax= h(u2 -v2), y=rv,tentukanU"y"rgr.,(ataubayangan-bayangan)dalambidangurdarisebuatrbujur-sangkaryangdibatasiolehx=0, x= 1, y =0, y = 1 dalambidangxT.

Perlihatkan bahwa dibawah syarat-syarat yang memadai untuk F dan G,

f [' "-"1,*3,; F@) G(y) dxdy = !"* "- ", {["t ,r,, "u_,r rul ,,

Petunjuk: Pergunakan transformasi x +y=t, x =t dari bidangxy ke bidang yr. Hasilinipentingdalamteori transformasi Laplace.

(a) Jika x = 3u1 + u2 - ux,)t=urlZu2*2u3,2=2ur *uz -tt,carilahvolumedarikubusyangdiba-iasi oleh.)r = 0, x = 15,}, = 0,.), = 10,2 = 0 d.anz = 5, dan volume dari bayangankubus inidalamsistem koordinat tegak-lurus ur, uz, u3.

(b )' Hubungkan perbandingan antara volume-volume ini dengan persamaan Jacob dari transformasi.

Misalkan (x, y, z) dan (21, u2, u3) masing-masingnya adalah koordinat-koordinat tegak-lurus dan kurvali-near dari sebuah titik.(a) Jikax=31tt+u2-u3. y=uL+2u2+2yr, z=2u1 -uz-u3,apakahsistema1u u3ortogonal?(b) Carilah d,r2 <ian g untuk sistem irri.(c) Apa hubungan antara hasil ini dan soal sebelumnya ?

80. Jika x=ut2 + 2, y-ur +u2, z=u32 ju, carilah (a)gdan(D)persamaanJacob"/=:ylz'|-C(uL, u2, u3)

Periksalah bahwa J2 = g.

JAWABAN LTNTUK SOAL. SOAL TAMBAHAN

36. (a) u = cl dan u = c2 masing-masingnya adalah silinder*ilinder eliptik dan hiperbolik dengan sumbu zsebagai sumbu sekutu. z = ca adalah bidang-bidang. Lihat Gamb Z, halaman 142.

(b) u = cr dan v = c2 adalah silinder-silinder, yang irisannya dengan bidang xy berupa lingkaran-lingkaranyang pusat-pusatnya berturut-turut terdapat pada sumbu-sumbu y dan x dan berpotongan pada sudut-sudut siku-siku. Sllinder-silinder u = cr semuanya melalui titik-titik (-a, 0, 0) dan (o. O, O). z = czadalah bidang'bidang. Lihat Gamb. 8, halaman 143.

(c) u = c1 dan u = c2 adalah silinder-silinder parabolik yang jejak-jejaknya pada bidang -tl berupa para-bola-parabola bersumbu sekutu (coaxial) yang saling berpotongan tegak-lurus dengan titik-titik puncak-nya berada pada sumbu x tetapi pada keduabelah pihak dari titik-asal. z = ca adalah bidang-bidang.Lihat Gamb. 6. halaman i4l.

Kurva-kun'a koordinat berupa irisan-irisan antara permukaan-permukaan koordinat.

37. (o) , -- u/r4r4rz, € = arcr^nEt,1 , 6= arctanZ

6, =v}*rz, 0 = arctrn!, O= o38. (a) r= 3, (b) O=n/A, G) tsin20 = cos 0, @) A=t/2,.

(e) bidang x =-v dibentuk oleh kedua separuh-bidang $ = n l4 da11. Q = 5n14.

39. (a) Lingkaran dalam bidang x.1, ,' * y' = 16, z = O. (b) Sitinder *, * y, = 16 yang sumbunya berimpitdengan sumbuz. (c) Bidang.yz di mana /i0. (d)Garislurusy = ,G r, r= I di nrana ,]0, /]0.

40- (a) Silinder hipertrolik x' * y2 = 8. (D) Garis yang meirghubungkan titik-titik (-4. 0, 0) dan (4, 0, 0) yakni

x=t, y--o, z=0dimana -+1t1+. (c)Etips *-r; = r, z=2. (d)Bastansumbuxyangdidefi-

kan oleh xa 4, y =0. z =0.

78.

79.

Page 169: Analisis Vektor

KOORDINAT KORVALINEAR 165

41. (a)Parabolay2 =_g(x -2), z=O. (b)Parabolay2 =2x+1, z=2. (c) Daerahdalambidangxyyangdi-batasiolehparabola-parabola yx = -2(x -yr), y2 = -8 (-t - 2\, y2 = 8 (x+2)dany2 =18(x+912)termasuk batasnya. (d) Sama dengan (c) tetapi batasnya tak termasuk.

42,(a)e, = slndcos@l + slngBhd, + cosdk

"0 = cosdcosSt + cosdstndJ sh0k

"6 = -sind I + cosd J

(b)t = sindcos@e, + cos9 cos@e, - sln@e,t = sindsin@e, + cosdstn@e, + cosdedk = cos0e, - sln9eg

43. A = Arer + Are6 * A6.6 di mana

An = bsin20 sin{cosd - rslndcos0sln$ + Srsindcos0cos{Ae = 2rsln 0 cos0 sin@ cos $ - r cos26 slnd - S, sin28 cos@

A6 = -2, sind sin2@ - rcos 0 cosd

47. v = orer * u..e * ,6o6 di mana ,r=i, ,, =r0, ,*=, s*0 64 = orer * oeee + afef dimansar='i-rb'-rsin20(,2,

"r=! !<r,e)-rstn 0 cos0 g-,

"d= ;;7 fi<"'ffe 6t

48. (o) ds2 = 1u2+u2'1 1du2+du2'1 + u2tP d$2, hu = hu = ,r/il-rz, h6= uu

(b\ ds2 =. a2(sinh2r + sin2u; 1du'-+do21 + d.2, iq= ho = otlGilIu" * "i-n , hz= |(c) ds2 = ,2(sinh26 + sin2z1) 1d{2+drf1 + a2cosh2( cos27 d$2,

h€ = h, = "l4ioh'4' + sin'? , h6= o cosh f cos z;

49. (o) uu(u2+o21 ddd,ud$, (b) a2(sinh2u + sin2u) dutludz , <"1 -1@L' '- ' lcosh u - cos u)2

50. (a) \ = h,t= o/rin,€ * ,in?n, h6= c sinh ( sinrT

1bi c31sintr2f, + sin21) sinh ( sin "rl d( an aS

52. (a't p dp d.6, p d$ az , dp dz

(b) r sln 0 a, a$, I stn 0 dA a$, r dr d.0

G\ (G +u2) dudu, ur/u\r' dud$, ur/71-r'duil$

54. (a) p, (6; r2sin €, (c) u2+a2, 1d) o21sinh2u + sin2u), (e) a3(sinhz{ + sin27) sinh ( sin4

ro. "i?' J6. 647(2:v5') 57. !p&-:,,2h+h\) 5s. (c) l; (d\ q=!pz, ur=zS

59. 2K

60. 1oy A = cos@t + sindJ, Yp = :::+ = cosdt + sindJap v x'+y'

S sin{i+ pcose:, 9E = -sin@-i:-:S:5j

b= k, Vz=1dz

(6) + = sind cos@i + sind sin$1 + cosdkdr

Page 170: Analisis Vektor

?ra0?rArb

v'

v0

vO

.Er(c) ^ =du

%=

KOORDINAT KURVALINEAR

rcosP cosQi + r cosP sind t -, sind k

-rsind sinS i + rsin6 cos$ j

r i + yJ + z k = srnecos4)i + singsin@1 + cosdky'x2+y2+22

tzi+ yzt - (x2+y2)k _ cos 6 cosd I +cos A sind J - sin, k

^ r;-6 t(x'+y'+ z') r' r'+y'-Ti+x! _ -sindi+cosdj,2+y2

ul + ui,

ui + vtu'+ u'

rsinO

Er ?r==-oi+ui, *=kdo dz

V, = -1-' * ='j, V, = rru'+u'

61. (6) -+,f'-x'

62. vo

diy A

curl A

es. (o) Vry'

(6) v. A

ac. Y'r!, =

-1

^=; -4t"o"n5#lo2 cosh 6 (sinn?6 + sin2q1 df ' " d€

+ ,*s "Giil1,6+

-"ilf?) ,1t"*'#' . ";ia *"', #

;26 226ut' ;; -

;; = o2(sinh2u + sin2u)Q

uu' # [{***'- $.'"'} ",- {$,'ur, - }r*rr,} ,", . {$,'r,, - f,<srrr} ^"r], zr, , ?', , ?'d

ar"1-;ae't-7a,"d

Page 171: Analisis Vektor

KOORDINAT KURVALINEAR 167

di mana rt = slnh f sin rl dan s = 6iir,'61 "in"l .

62.;+[{+-{gl - ?:+ - +(z-vq,,,,a)q = 0,dimanay1u,v,i1=Y(x,v,z\.u2+t? l7u2 ?r, ) 322 h2 \

ffi. uu2*,,#, * u',1,,#, * <,'*,'tfr = o

es. r,) * = "[]*o'#,- o**$r""4$r],u,* = "[i*u'*,] (c)sine$r"i,a#,.# =' 61 L6t!1 =n

?0. ds2 = "z{a02 + sttf 0 a62)

7" 7" ar a"74.(b)^ ^ + -+ = udu Qu du du

78. (o) 'rJS, "75; (b) persamaan Jacob = l0

?9. (c)Tidak. <b) de = i.l^dul+6duf,+6du2+6du;lur- 6du.du"+ Sdurilus, 8=100

E0. (c) g =tela1"3, (b) t = tutus

Page 172: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOF.

HUKUM-HUKUM FISiKA haruslah tak bergantung pada sistem koordinat yang dipergunakan untuk menya-takannya secara matematik, apabila hukunr-hitkum ini berlaku. Studi terhadap

konsckuensi-konsekuetrsi dari persyalatan ini r.nenjurus kepad,aanalisis tens()r yangrnemainkan peranan pentingdalarn tcori relativitas umunr, geometri diferensial. rnekanika, elastisitas, hidrodirlamika, teori elektromagnetikdan sejumlah bidang-bidang srins dan teknik lainnya.

RUANG BERDIMENSI try'. Dalam ruang trerdirnensi tiga, sebuah titik adalah suatu himpunan tiga buah bi-langarr, yang drsehut koordindt-kocrdina!, yang ditelltukan berdasarkan sistenr

koorCinat atau kerangka acuan yang dipilih. Misalnya (x, y, z),(p, Q, z),(r,0,il adalah berturut-turut koordi-nat-koordinat dalatrr sistem-sistent koordinat tegakJurus, silinder dan bola. Berdasarkan analogi, sebuah titikdalarn ruang berdimensi ly' adalah suatu himpunan iy' buah bilangan yang dinyatakan oleh (*', *',..., .yN)di nrana 1,2, ..., lr' ti.lak dipanCang sebagai eksponensial tetepi sebagaiindeks atas (sttpenc:ipr). suatu penetap-an yang mana akan terbukti bermanfaat.

Kenyataatr bahwa kita tak dapat menrbayangkan titik-titik dalam ruang-ruang yang berdinrensi lebih tinggidaripada tiga tidak ada sangkut pautnya dengan ada tidaknya titik-titik tersebut.

Misalkan t*', ,',..., xtr) dan (*' , ?,..., ,N) adalah koordinat-koorc.linatsebuah titik dalarn dua buah kerangka acuan yang berbeda. fuidaikan ter-

bergantungan antara koordinat-koordinat dari kedua sistem berbentuk

,7 = i7(x7, ,' , ... , rx )

,2 = ,2(r7.r',...,J)

: i ::?lt = ,x(rl , ,, , ... , *l )

yang dapat kita nyatakan secara singkat dengan

7h = -\"t,x',,..,rx) k = r,2,...,N

di ruana dianggap bahwa fungsi-fungsi yang terlibat di sini berharga tunggal, kontinu dan memiliki turunan-tu-runan yang kontinu. Scbaliknya untuk setiap hinrpunan koordinat (;t. i', ..., -t') akan teLdapat sebuah lrirn-purran koorclinat (xr, x2, .... "rN) tunggrrl vanq kaitannva diberikan oleh

xh = *\r',a2,...,xx) k = 1,2,...,N

(3) rrrendelinisikan suatu transfornusi kutrdinat dari kerangka acuan yang satu kc yang

TRANSFORMASI KOORDINAT.

dapat N buah relasi yang tak saling

(l)

(3)

Rclasi-r'clasi (2) ataul:rinnya.

(2)

Page 173: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

KAIDAH PENJUMLAHAN. Dalarn r,enuliskan suatu pernyataan seperti a1 xt t a.]t

dapat nternpergunakan notasi singkat ,?. o-/. Dan

Sebuah indeks yang hanya nruncul

barang bilangan dari l. 2, ..., N seperti

"nyatakan ly' buah persalllaan.

169

i;' + ... + al. ;tr kita

notasi yang lebih singkat

llgi adalah menuliskarrnya scbagai aixl. di mana kita menyetujui suatu kaidah (convention) bahrva setiap sebuah

indeks (indeks bawah atau atas) ditilangi dalarr suatu suku tertentu rnaka ini berartikita rnenjumlal'rkan terha-

Llap indeks tersebut dari I hingga .\' kecuali bila ada pernyatMn iainnya. Ini disebut kaidah peniumlahan

lsttnt.ntation cotyentiotl). Jelas bahwa kita dapat pula menggunakan huruf lainnya dari indeksi, katakanp' dan

penjumlahannya dapat dituliskan sebagai arxP. Sebarang indeks yang diulang dalarl suatu suku tertentu sehirlg-

ga diterapkan kaidah penjr,mlahan disebut indeks dumnty atau indeks ttmbral

sekali dalam suatu suku tertelltu disebut irrdeks bebas dan berarti se-

halnya k dalant persamaan (2) atau (3), yang tttana tnasing-nrasingnya

VEKTOR-VEKTOR KONTRAVARIAN DAN KOVARIAN. Jika y'r' buah besaran At' A2. ", ''1N dalarn

sebuah sistem koordinat |x1'x2""'xn1berhubungan dengan lV buah besaran-besaran lainnya A',n',..., Jv drlun, sistettt koordinat lain fit' i2' "

ra' ) melalu i pe rsa nt aan-pe rsamaan t rans iorrnasi

Oxra7

p = 1,2,-.-'N0

A'

yang mana berdasarkan kaidah yang telah disetujui dapat dituliskan sebagai

-n ai4 ,qA=#Arrraka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen dari sebuah vekror kontavarian atau tensor konfia'

varian rartk kesatu atau orde kesattt' Untuk nlernbsrikan motivasi terhadap tinjauan ini dan transfonnasi'trans-

lormasi yang kernudian, tihat Soal-soal 33 dan 34 dari Bab 7'

JikaNbuahbesaran Ar,Az,...,,lrydalamsebuahsistemkoordinat(r',t',...,irN)berhubungandenganNbuahbesaranlainnyaTl, ir, ,i^,dolamsistemkoordinatlain@t,x',..,tN)melaluipersamaan-persa-maan transforlrrasi

],t

ar = I'' Ltq=7

ll-Ab = I#0,

q=7

-i }xQ ,AP : z-rPnq

p -- r,2,...,N

atau

buah sisten-r koordinaltern koordinat lain (ir

nraka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen dari sebuah vektor kowrian atau tensor kovarian rank

kesatu atau ordc satu.

Perhatikan bahwa indcks atas dipergunakan untuk menyatakan komponen-komponen kontravarian sedang-

kan indeks bawah dipergunakan untuk menrrnjukkan komponen-komponen kovarian, perkecualiannya adalah

pada notasi untuk koordinat-koordinar.

Daripada mengatakarr sebuah tensor yarrg komponen-komporrennya adalah Ap alatAp kita akan seringkaii

nrengatakantcnsor,4p.ttauAn.Dalamhal ini tentusajatakakantirnbulkesalahpahaman.

TENSOR-TENSOR KONTRA\/ARIAN, KOVARIAN DAN TENSOR CAMPURAN. Jika N2 buah besaran-

besaran -,1q" dalam se-

(."', ,', . . . , -r'v) berhubungan dengan N2 buah besaran-besaran lairinya'4p'dalam sis-

i2,. . . , xN)melalui persamaan-persatrlaan transformasi'

Page 174: Analisis Vektor

t70 ANALISIS TENSOR

-nrA

7t,

IT

S=1

771 77r ps1 oi-'{o{ oa

!o jrkait'ktr lrkai=1t

p,r = 1,2,...,NI -tI- dil

f-,7"qZir ,Qs:--.< ddx- I

t

I

berdasarkan kaidah yang disetujui, maka besaran-besaranini disebutkomponen-komponenkontravariandarisebuah tensor rank kedua atau rank dua.

N2 buah besaran ,4r, disebut komponen-komponen kovaritn dari sebuah tensor rsnk kedua jika

70, ErQ ?rs ,alf ;r"q"

Begitupula 1y'2 buah besaran ,43 disebut komponen-komponen dari sebuah tensor campuran rank keduajika

,f d,f art ,1nr = -^--rs4x1 dx,

DELTA KRONECKER dituliskan 6/*, didefinisikan oleh

Sebagaimana ditunjukkan oleh notasinya, maka ia adalah sebuah tensor campuran rank kedua.

TENSOR DENGAN RANK LEBIH BESAR DARIPADA DUA dapat didefinisikan dengan mudah. Misalnya,

Af,s,t adalah komponen-komponen dari sebtrah

tensor campuran rank 5, yang kontravarian berorde 3 dan kovarian berorde 2,jika mereka bertransformasi me-nurut relasi

-Prn4..t1

_ ait air a,a arh arl ,9"t- A"c ar" a"r # iil ^et

SKALAR ATAU INVARIAN. Misalkan @ seLruah fungsi dari koordinat-koordinat xk danl menyatakan hargafungsional di bawah transformasi ke sebuah himpunan koordinat baruit . Ma-

ka @ disebut sebuah skalar atau invarian terhadap transformasi koordinatjika 4 = 4-. Sebuah skalar atau invarianjuga disebut sebuah tensor rank nol.

MEDAN TENSOR. Jika pada se{iap titik dari sebuah daerah dalam ruang berdimerrsi ly' terdapat kaitansebuah tensor. rrtaka kita rncngatakan bahwa sebuah medan tensor terdefinisikan. Ini be-

rupa sebuair medqn t,ektor tlau medan skalar lcrganlung pada apakah ter,sornya ber-rank satu atau nol. Perludiperhatikan bahwa sebuah tensor atau ntedan tensor tidak hanya berupa himpunan komponen-komponennyadalant satu sistem koordinat yang khusus tctapi semua himpunan komponen-komponen yang mungkin dibawahse barang tr anslorrnasi koord inat.

TENSOR - TENSOR. SIMETRIK DAN ANTI - SIMETRiK. Scbuah tensor dikatakan sinerrik terhatlap keduaindeks ktntrcvarian atau kovariannya jika kom-

ponen-konrponerlnya tetap tak berubah dalanr nrempertukarkan kedua indcks tcrscbut. Jrdi jika Ai:' = Aoo:"nraka tcnsornya sirnctrik dalam nl danp. Jika sebuah tensor sinretrik dalam dua indeks kontravariin scborangdarr dua indeks kovarian sebarong, rnaka tensornya discbut simetik.

Page 175: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

Sebuah tensor disebut anttsimetrik terhadap kedua indeks kontravarian atau ko,-ariannya

komponennya berubah tanda dalam mempertukarkan kedua indeks tersebut. Jadi jika.i*j'tensornya antisimetrik dalarn nr dan p. Jika sebuah tensor anti-simetrik terhadap dua indeks

barang dan dua indeks kovarian sebarang, maka tensornya disebut anti-simetrik

OPERASI.OPERASI DASAR DENGAN TENSOR

171

jika komponen-Dilf

= _A'qs mal(a

kontravarian se-

l. Penjumlahan. Jumlah dari dua buah atau lebih tensor yang rank dan jenisnya sama (yakni junrlah indeks-

indeks kontravariannya sama dan jumlah indeks-indeks kovariannya sama) adalah juga sebuah tensor dengan

rank dan jenis yang sama. Jadi jlia A\e dan E { adalah tensor-tensor, maka cnp = Amp + B^p a.dalah

juga sebuah tensor. Penjumlahan tensor-tensor bersifat komutatif dan asosiatif.

2. Pengurangan. Sclisllr dari dua buah tensor yang rank dan jenisnya sama adalah juga sebuah tensor dengan

rank dan jenis yang sama. Jadi 1lka, Aie da-n B^rp adalah tensor-tensor, maka O"'o'= OT' - Bi'e adalah

juga sebuah tensor.

3. Perkalian luar (Outer Multiplication). Hasil-kali dari dua buah tensor adalah sebuah tensor yang ranknya

sama dengan jumiah rank dari kedua buah iensor yang diperkalikan. Perkalian ini yang mana menyangkut

perkalian biasa r.lari kornponen-komponen tensor disebrt hasil-kali luar (outer product)- Misalnya Af,' '-,

= 6!t'n adalah oerkalian luar dari Ap' dan 81 . Namun Cemrkian, perlu diperhatikan bahwa tidak semua-qs ' q s

tensor dapat dituliskan sebagai suatu hasil-kali dari dua buah tensor dengan rank yang lebih rendah- Berda'

sarkan alasan ini, pembagian tensor tidaklah selalu mungkin.

4. Kontraksi (Contraction). Jika satu indeks kontravarian dan satu indeks kovarian sebuah tensor disamakan,

maka hasilnya menyatakan penjumlahan terhadap kedua indeks yang sama ini sesuai dengan kaidah pen-

jumlahan. Hasil penjumlahan ini adalah sebuah tensor yang ranknya dua kali lebih rendah daripada tensor

semula. Proses ini disebut kontraksr. Misalnya. pengambilan r = s dalam tensor rank 5,1]f 'menehasilkan

A.^P'= B^p yang adalah sebuah tensor rank 3. Selanjuinya dengan mengambilkan O = q kita perolehqr q '

B^p = ( vans. adalah sebuah tensor rank l.p'

5. perkalian dalam (Inner Multiplication). Melalui proses perkalian luar dua buah tensor kemudian diikuti

dengan kontraksi, kita peroleh sebuah tensgr baru yang disebut ftasrl-kali dalam (inner product/ dari tensor-

tensor yang diperkalikan. Prosesnya disebur pertiliaidatam. Misalnya, diketahui tensor-tensor A\e dan

.B' . hasil'kali luarnya adalah A-p a'- . Arntitta t q = r, kita peroleh hasil-kali dalatm Ale ri ' amtlkan

Q = r dan p = s, hasil-kali dalam lainnya yakni A^p Bl. diperoleh. Perkalian dalam dan luar dari tensor-

tensor bersitat komutatif dan asosiatif. r pt

6. Hukumhasil-bagi(Quotientl-aw).AndaikantidakdiketahuiapakahsebuahbesaranXadalahsebuahtensorataukah tidak. Apabita hasil-krili dalam dari X dengan sebarang tensor adalah juga sebuah tensor, maka X

adalalr juga sebuah tensor. Aturan ini disebuthulatm hasil'bagi'

N{ATRIKS. Sebuahelenten.

matriks orde m x n adalah suatu susunan besaran-besaran a^^, yang diseblul elemen-

yang disusun dalarn rr buah baris dan r buah kolom dan pada friumnya dinyatakan oleh

('"'j=t,=l) au l"'r: 1]

Page 176: Analisis Vektor

I r-2 ANALISIS TENSOR

Hasil-kali P = AB terd.efinisi hanya bila jumlah kolom n dalam Adidelinisikan oleh

sama dengan jumlah baris dalam 3 dan

(op7 brq\

atau daiambentuk singkat oleh (arn) ataufaorl ,p=1,...,m;q =1,...,n.likam =nmatriksnyaadalahftatriks buiur-sangkar orde m x m atau disingkat m; jika m = I matriksnya ad,alah matriks baris atzu vektotbaris: jika r? = I matriksnya adalah matriks kolorn atau vektor kalom.

Diagonal dari matriks bujur-sangkar mengandung elemen+lemen dtr, d22,..., amm, yangdisebut diagorwlutant'" (principal or main diagonal). Sebuah matriks bujur-sangkar yang elemen-eleminnya berharga satu padadiagonal utamanya dan nol di mana-mana disebut ruarnts satuan dandinyatakan dengan,l. Sebuahmatiks nol,dinyatakan dengan O, adalah matriks yang semua elemennya berharga nol.

ALJABAR MATRIKS. Jika ,4 = (aor) dan B = (b o) adalah matriks-matriks yang berorde sama (rz x n) maka

1. A = B itka dan hanya jika o o, = b o,

Jumlah S dan selislr D adalah matriks-matriks yang didefinisikan oleh

S = A+B = @ls*bpq), D = A-B = (alq-bpq)

-)-

P = AB = (opr)(bpq) =

4.

di mana opr brq = L ,"frbrl menurut kaidah penjumlahan. IVlatriks-matrigs yang hasil-kalinya terdefi-

nisi disebut sesuai (conformable)

Pada untumnya, perkalian matriks tidak komutati f , yakni AB * BA. Tetapi hukum asosiatif untuk per-kalian matriks berlaku, yakni A(BQ = (AB)C asalkan matriks-matriksnya sesuai. Hukum distributif jugaberlaku, yakni A(B + C) = eA + AC, (A + B)C = AC + BC.

o""T:';:;;;Hi;,'ltil ii';;***tr

A = (ao,) dinvatakan oleh r'4 r' det '4' t ao, t atau d'et (ao)'

Invers d'ari sebuah matriks l adalah matriks Aa sehingga AA-r = I, dimana ,I adalah matriks satuan. syaratperlu dan cukup agar rnatriks A-r ada adalah det ,4 * 0. Jika d,et A = 0, maka.4 disebut singylar.

Hasil kali matriks ,4 )r = (ao), dengan sebuah skalar tr dinyatakan oleh L4, adalah matriks (traro) di manatiap-tiap elerren.4 dikalkan dengan )..

Transpose dari sebuah matriks A adalah matriks Ar yang dibentuk dari,4 dengan rnempertukarkan barisdan kolomnya. Jadi jika A = (a ^^), maka -4

r = (a - -). Transpose dari ,4 juga dinyatakan oleh 7.

7.

ELEMEN GARIS DAN TENSOR METRIK. Dalarn koordinat tegak-lurus (x, l', ,) diferensial panjang busur

ds diperoleh dari ds2 = dxz + 4;2 + gz2. Dengan melakukan

transformasi ke koordinat umum (lihat Soal I 7, Bab 7) bentuk ini menjadi at' = L E tr, dupdur. Ruang.

ruang demikiar, dinamakan ruong-ruang Luklid berdimensi tiga. l=t q=t

Perluasan kedalam ruang berdimensily' dengan koordinat-koordinat (xr, x', ..., ,N) adalah langsung. Kitanrendcfirrisikan elemen garis ds dalam rL'ang ini, oleh bentuk kuadratik berikut. yang disebut benruk metikatau metik,

,{Jdsz = I I. dr?drQ

p?, fr,')'atau dengan menggunak:,n kaidah penjumlahan,

Page 177: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR t73

ds2 d*b d*q'bq

Dalam l-ral khusus di mana terdapat transformasi koordinat dari xl ke f & sedemikian rupa sehingga bentuk

metrik ditransormasikan kedalam bentuk (&1)2 * (dr')' + ... + (&N)2 atau[xkdik, maka ruangnya disebut

ruang Euklid berdimenti N. Tetapi, dalam hal yang umum ruangnya disebut ruang Riemann.

Besaran-besaran g adalah komponen-komponen dari sebuah tensor rank dua yang disebut tensor metrik

atau tensor funao*rifo\. Kita dapat ian akan selalu memilih tensor ini simetrik (lihat Soal 19).

TENSOR KONYUGAT ATAU RESIPROKAL.

9Pq oleh

kofaktor dari go,gps =

I

Maka gPo adalah sebuah tensor kontravarian simetrik rank dua yang disebut tensor konyugat (conyugate)

atau resiprokal dari g o, (lihat Soal 34). Dapat diperlihatkan (Soal 33) bahwa

. *14 Bro = El,

TENS,R sEKUnr 3ffii[:l'.[X'il.Kff,ffff',*?,:,n#X,TJ;1il,:]:1i,i]il:..::::':ry:;:l;:l

menail<kan indeks p, kita peroleh ienso;.4p.n tanda titik me;runjukkan tempat semula dari indeks yang dipin-

dahkan. Dengan menaikkan pula indeks q kita peroleh tensor.44?. Apabila tidak membingungkan, kita akan

nrengabaikan tanda-tanda titik; jadi Ap.q. dapat dituliskan sebagai.4pq. Terisor'tensor 1'ang diturunkan ini

dapat diperoleh dengan membentuk hasil-kali dalam dari tensor yang ditinjau dengan tensor metrik 8ro atau

konyugatnya gpq. Jadi misalnya.

Al, = e'f Arr, trll - r''f gt4 Ar, Al,r, = s* Alq."

eT;'o = t|h r"nr'* elrlto

Hal ini menjadi jetas jika kita menginterpretasikan perkalian dengan gip berarti :cmbilkan r = p (atau p = r)

dalam tensor apapun yang diperkalikannya dannaikkanindeks.ini. Begitupuia kita interpretasikan perkalian

dengan grn berarii , .*ul"lt.n 7 = q (atau 4 = r) dalam tensor apapun yang diperkalikannya dan turunkan

indeks ini.

Semua tensor -vang diperoleh dari sebuah tensor tertentu dengan membentuk hasil-kali dalamnya dengan

tensor rnetrik dan konl,ugatrrya disebut tensor-tensor sekutu (associated tensors) dari tensor yang tertentu

ini. Misalnya A'" dan A ^

adriah tensor-tensor sekutu. yang pertama adalah konrponen kontravarian dan yarlg

kedua kornponcn kovarian. [lr-rburlgan antara keduanya diberikan oleh

Ap = ,t, A' atau AP = gtq Aq

Dalanr koordinat tegak-lurus Eor= 1 jika p = q, dan O jikag # q, sehingga.4, =Ap,vangnrananrenjelaskan

menglpa r,iCrk Cibedlkl,n arrtara kornnonen-kon.rponen kontravattan dan kovarian dari sebuah vektor dalanl bab-

bab terdahulu.

PANJANG SEBUAH VEKTOR, SUDUT ANTARA VEKTOR-VEKTOR.Besaran ApBo, YanE mana ada'

lah hasil-kali dalam dari AP dan

Misalkan g = | gpq I n-renyatakan determinan matriks yang

elemen-elemennY^ gon dan andaikan c + O- Definisikan

Page 178: Analisis Vektor

I'74 ANALISIS TFNSOR

3_.. adalirh scbuah skalar 1,ung tnalog dengan hasil-kali skalar dalanr

pan.iang I dari vektor lp atau lo oleh

L' = oooo = gbq.4pAs

Krl;: dapat rnendefinisikan sudut 0 antara Ap dan B, oleh

Al B^cosd -- Y

4* 4x*8il

koordinat tegak-lurus. Kita definisikan

Ep, A' Aq

,/* '' Orl aS

Ar"

KOMPONEN-KOMPONEN FISIS dari sebuah vektor Ap atau Ap. yang dinyatakan oleh.4r, A,,, danA*adalah proyeksi-proyeksi dari vektor pada arah singgung dari kurva-kurva

koordinat clan dalam hal kocrdinat-koordinat ortogonal diberikan oleh

. Au = {t-A' = ,*, Au = {s-A, = +, Au = {E*.4' = +r'6r, y'g* vTss

B/gitu puia komponen-komponen fisis dari sebuah tensor,4pq atau Ao, diberikan oleh

. .rl 4., A.^Auu= t,.A" = -, Aur= vTrreoA" = #, Au, = r'Vrrg*Ar" _611 "\)"'4 y'ErrTn '11(

SIMBOL CHRISTOFFEL. Simbol-simbol

r r t zgp, dgy zsb,Lpll,rJ = i( arn

* arp

_ A"r)

h) = s"'tpq,,)

berturut-turut disebut sirzDol Aristoffelienispertama dan kedua. Simbol lain yang dipergunakan sebagai ganti

{o'n} '""n {pc,"} dan fjn. Simbol terakhir ini membayangkan suatu sifat tensor. yang pada umumnya

tidak benar'.

HLIKUM TRANSFORMASI DARI SIMBOL CHRISTOFFEL. Bila kita nyatakan sebuah simbol dalanr sistern

koordinat ik dengan tanda garis clatar di atas-nya (a bar), maka

urn = bs,i:*##.Ep,#{A,trt _ l"l ar,d,bz,a ain ?2*e\ ir' f -

10, I a"" rt xo * a,, ;J;*adalah hukunr-hukum translormasi untuk simbol-simbol Christoffel yang memperlihatkan bahrva rnereka bukan-lah tensor kecuali jika suku-suku kedua di ruas kanan nol.

GEODESIK. Jarak s antara dua buah litik 11 dan r, pada sebuah kurva x' = x'(t) dalam ruang Riemann diberi-kan oleh

dst.

drf drTdt dt' = .[rr'

Page 179: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR 175

Kurva dcmikian yang nlerupitkan garis penghubung terpendek dalant ruang disebut sebuah geodesik dari ruang.

Dcngan nrernpergunakaa kitkulLrs uaruasr (lihat Soal-soal 50 dan 5l), geodesik didapatkan dari persarnaan di'

fe rensial

d'"n.1'\drbd*a = o

dsz lPq I ds ds

di mana s adalah parameter panjang busur. Sebagai contoh, geodesik-geodesik pada bidang datar adalah garis-

garis lurus sedangkan geodesik-geodesik pada pernrukaan bola adalah lingkaran-lingkatan besarnya'

TURUNAN KOVARIAN dari sebuah tensor ,4, terhadap xq dinyatakan oleh /p, o dan didehnisikan oleh

Ai,q = * {;}'"yang adalah sebuah tcnsor kovarian rank dua'

Turunan kovarian dari sebuah tensor,4p terhadap xq dinyatakan oleh Ap , q dan didefinisikan oleh

Ap^ = 4. Jpir''v oF ' ls" l"yang adalah sebuah tensor canlpuran rank dua.

U'tuk sistenr-sistem tegak-l,,rrus, simbol-simbol Christof fel adalah nol dan dengan demikian turunan ko-

varian adalah turrrnan parsial biasa. Turunan kovarian dari tensor-tensor adalahjuga tensor (lihat Soal 52)'

Hasil-hasil di atas dapat diperluas untuk turunan kovarian dari tensor-tensor dengan rank yang lebih tinggi

i adi

P,...Pn at!,"'!*A',' ;', = ""t7"'rn

'. ""nt 1, ^0ox

1," nl o:',;::.'4 I ),n\s

oo'::;,0': '^

\or:l o),'.::',,'- . {;: \ ol:.'o; o' + ' +

adalalr ttrrunan kovarian dari Af,,' " prm terhadap xq.

{.:,}

{;*}

tP'"'P^''\"'rn-rs

D ...D St' 7 'n-7,,,,,,.,n

Aturan-aturan tlari turunan kova,ian untuk jurnlah dan hasil-kali tensor-tensor szttlta-dengan y'ang berlaku

untuk turunan biasa- Dalam nrelakukan difererrsiasi. tctlsol-tensor Son.gno dan 6p dapat diperlakr'rkansebagai

kglstanta-konstant{ karcna turullan kovariannya nOI. (tihat St'al i+;' Karena turttnan kovarian rtleuyatakan

laju pcrubahan br-srtltt-ilcsaratl tisika yarrg tak betgtntung pada pililian kerlrrrgka:te;'trn' tltlkl Itlrtrllll]1 kovlrian

ini sangat pcnting dalattt tttctryataklttr ltukunt-ltukutn llsika'

slMBoL DAN TENSOR PERMUTASI. Dcllnisikln cpqr nrenurut lelrtsi-relasi

€tzs=€zt =esu =*1, eas:t=€tst=ent= -1, eon,=O jika dua alau lcbih indeksnya sama

rlrn dcfiirisikan pull r,rn. tlllanr cura yang sanra. Sirutr,rl'sirrtlrol ar,r, J,,,,t'rqt tliscbut sitrtbttl-sintbol perntutasi

dulnru ruang berdirrrcnsi tig,l.

Sclanjutnya, kita dcl-;nisikrrtt

1 bor - bo''- r'te-pqr G-pq, ' -

Page 180: Analisis Vektor

t76 ANALISIS TI]NSOR

Dapat diperlihatkan bahrva arn, drn dq' berturut-turut adalah tensor-tensor kovarian tlan kontravarian, yang

disebut tensor perrnutasi dalam ruang berdimensi tiga. Perlrrasan ke dalam ruang-ruang yang bcrdinrensi lebihlinggi dapat pula dilakukan.

BENTUK TENSOR DARI GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL.

1. Gradien. Jika <D adalah sebuah skalar atau invarian. maka grarlien Q clidefinisikan oleh

Ve = erade aOa'p = iidi rnana 0,o adalah turunan kovarian dari Q terhadap xp.

2. Divergensi. Divergensi <la"i Ap adalah kontraksi turunan kovariannya terhatlap -rc, vakni kontraksi dariAP,

o. Maka

d,ivAb = fi. = I a rt...,p Ga,,tv+A)

3. Curl. Curl rlari ,4- adalah A. . - A,, ^ = y -*, ylntsrdelah tensorrank dua.Curl jugadi-p p,q q,p dx, dxy

delinisikan sebagai - €r' A o, ,.

4. Laplacian. Laplacian dari @ adaleh divergensi dari grad O aiau

v'e = dive,2 = +3,,;dnS,r' g dxL dx"

Dalamhal c<O, \/charusdigantidenganr,/-g.Keduahalg)0dang(0dapatdicakupdengannienulisr/lc I aari oada Vg.

TURLJNAN INTRINSIK ATAU ABSOLUT dari A, sepanjang sebuah kurva xq = xq(t), yang dinyatakanoi\

dengan notasr #, didefiilisikan sebagai hasil-kati dalanr dari

turunan-kovaria n A , dan dlq , vukni A d,Q ,unrdiberikan olehp dt'. p,q dt' 6AP

= y /r) dxQ

Er - dr - \orl o"A)engan cara yang sama, kita mendefinisikan

sAP = dAb - lP\rd,,Dr dt 'tr.l" d,

Vcktor-vektor l- atau.4p dikatakan bergerakparalel sepanjang sebuah kurva apabila turunan-turunan in-ptrinsiknya sepanjang kurva itu adalah rrol.

Turunan-turunan intrinsik untuk tensor-tensor dengan rank lebih tinggi didel-inisikan clengan ctra yangsanla.

TENSOR RELATIF DAN ABSOLUT. Sebuah tensor ,4p' .' p- disebut tensor relatiJ' berbobot w ltkatn

komponen-kornponennya bertransforntasi nlenurut persatnean

iar"'?* = I ?" l' Afr"'f^ ?,r1, ... ?zq" E{t ... ?rnnsr"'Sz I a; I rr"rn 7rb1 Zrl, ?*t, at",

Page 181: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR I1i

dinrana ,= l*l adalahJacobiandaritransforrnasi.Jikaw=0tensornyadikatakan absolutdaniniadalah

jenis tensor yang kita tinjau di atas. Jika w = I tensor relatifnya disebut /ersorkerapatan. Operasi-operasi pen-

jumlahan, perkalian dan seterusnya, dari tensor-tensor relatif mirip dengan yang berlaku untuk tensor absolut.

Lihat nrisalnya Soal 64.

Soal-soal yang Dipecahkan

KAIDAH PENJUMLAHAN

l. Tuliskan masing-masing yang berikut ini dengan mempergunakan kaidah penjumlahan

@) dO = !o*, *p.a,, + ... + *oJ. dO = loi' ?r1 ae 7*t V"J

., . dik }Eb 1,7 }rh drz Zi,h dr,' dih ZZk afl-

+

--

+t"tJ- - a"rz;-a.rzt-"'-;77t' dt -a-,tf;

("\ (rL)2 + 1*212 + 11312 + ... + (ri)'- ,krb

1d1 ds2 = go1drr12 + go1dz212 * ao@ff . d.s2 = gOodxkd.rb, N=3

*, P,i,rrra/a,q. - spqd*rd'Q,N=3

2. Tuliskan suku-suku dalam nrasing-masing penjumlahan berikut

x

1E b=t JR ]a 12 Xtt

or 1l

it AprAT. P" +rn" = A,rA" * AprA" + ... + ApxAx'g=1

7,j 7,h(")4" = siht{#,n=r.

- : i t,ja,hz=LLors ja_,fi,. ojb3;r |r-s

I Z,i 2,, d,i 7*, a,j E,. .o" ^ { a;s ojz atr ais bjs air axs'j=t rd

Er1 ?r1 ?*2 drl ?r3 ?r1= 611 ai, ats * 6117-r, 4s

* g"t att ar*

-',,## - *,##. *,#Yr* ?r1 ExS 7r2 7r3 ?tt ?"'grs

?Er af t Cn a-rr ats ' 8"" 37 3os

3. Jika xk, k = l. 2,.... y'r' adalah koordinat-koordinat tegak-lurus, apa tempat-kedudukan, jika mcmang

Page 182: Analisis Vektor

178 ANALISIS TENSOR

ada, yang dinyatakan oleh masing-nrasing persanraan berikut untuk N = 2,3 dan N]+. Bila perlu, ang-

gaptah fungsi-fungsinya berharga tunggal. memiliki turunan-turunan yang kontinu dan tak bergantung.

{a) auxk = 1, di mana a1 adalah konstanta-konstanta.

UntukN=2, a,xr +orx2 =l.adalahsebuahgarisdalamruangberdimensidua,yaknisebuahgaris dalam bidang.Untuk,V=3,at-rr +urx2 +sta3 = l,adalahsebuahbidangdalamruangberdimensitiga.Untuk N) 4, arxl + arx2 + ... + afxl -- 1 adalah sebuah hiper-bidang (hiper-plane).

(b) xrxk = LUntuk -r\'= 2, (r' )2 + (x2 12 = 1, adalah sebuah lingkaran berjejari satuan dalarn bidang.UrrtukN= 3, (x1)2 +(x2)2 + (r')'= l, adalahsebuahpermukaanbolaberjejarisatuan.Untuk N 24, @')' + (x\2 +... + 1:,i)2 = 1 , adalah sebuah hiper-permukaon bola (hypersphere)berjejari satuan.

(c) xk = xk (u1

Untukl'=2,x'=xl 1u1,x2 =12 (r), adalahsebuahkurvabidangdenganparameteru.Untuk N = 3, x1 =.r1 1u1, -t2 = -.2 (u), :r3 = x3 (u). adalah sebuah kurva ruang berdimensi tiga.Untuk. {)a, adalahsebuah kurvaruangbetdimensiN.

(d) .tk =..rk (u, r)Untuk Ar = 2, xt = xt (u, v), x2 = t' (2, v) adalah transformasi koordinat dari (u, u) ke (xl, x2 ).Urrtuk N = 3, xl = ;61 (u, v), x2 = x2 (u, u), x3 = 13 1u, v) adalah sebuah permukaan daiam ruang ber-

dimenrj tiga Jengan plrameter-parameter a dan v.

Untuk ,Y ]4, adalan sebuah hiper-permukaan \hypersurfaee).

VEKTOR DAN TENSOR KONTRAVARIAN DAN KOVARIAN

4. Tuliskan hukunr transforrnasi untuk tensor-tensor Al Alu, 6 4i* G) C^ .

Sebagai pertolongan untuk mengingat transformasinya, perhatikal bahwa kedudukan relatii uariindeks-indeks p, q, r pada ruas kiri dari transformasi sama dengan yang diruas kanan. Karena indeks-indeks ini diasosiasikan dengan koordinat-koordinat i dan indeks-indeks i, /, k berturut-turut diasosiasikan dengan indeks-indeks p, q, r maka transformasi yang dikehendaki dapat dengan rnudah dituliskan.

6\ Epq. _ a=p a;q a"i ai u a!.?rsT z*f, zrn ar-/ ar-s ai-t LJE

A.=Ddi^r(c)L',=-L

dr"'

5. Sebuah besaran A (j, k, /, rr) yang adalah sebuah fungsi dari koordinat-koordinat:r' bertransformasi ke sis-

tern koordinat lain i' menurut aturan

xq,q,,,s1 - ##,# fi ,t<,,r,,1,*t

(a) Apakah besaran ini sebuah tensor ? (D) Jika denrikian. tuliskan tensornya dalam notasi yang sesuei

dan (c) tentuken orde kontravarian dan kovarian dan ranknya.

(a) Ya. (.h\ Ar.'n' (c) Kontravarian berorde tiga, kovarian berorde 1 dan rank 3 - I = 4.I

6. Tentukan apak4h rnasing-masing besaran berikut adalah sebuah tensor. Jika demikian, nyatakan apakah ie

kontravarian atau kovarian dan tentukan rank-nya : 1a) dxh, A) d99"'A

'dx'-

A^;_ L1D - di" dxJ dx' ,i'qr - ;j a-*q a-"" "in

(a)

Page 183: Analisis Vektor

7.

ANALISIS TENSOR I79

(a) Anggap transformasi koordinatnya ;i = ii (r', ..., *N). Maka dij = # r.o jadidengandemikian

dxt adalah sebuah tensor kontravarian rank satu atau sebuah vektor kontravarian. Perhatikan bahwa

letaknya indeks /t telah sesuai.

(b) Karena 6r adalah sebuah funFi dari xk maka di bawah transformasi koordinat *r = !.0 (;t, ..., tN),@ jugasebuahfungsidarii'-sedemikianrupasehingga QG',...,-.])=d(tt,...,iN),yakniO ''adalah sebuah skalar atau invarian (tensor rank nol). Menurut aturan rantai dari turunan parsial,

a@ a@ u, ?,': = # * urn 4 bertransfornrasi seperti ,, = # lp. Maka @

axi- ail - ;Jfr - ari ;? --" th"adalah sebuah tensor kovarian rank satu atau sebuah vektor kovarian.

perhatikan bahwa dalam $ ,rO"o..rra muncul dalam penyebut jadi berperan sebagai sebuah indeks-

barvah (subscript) yang menuniukkan sifat kovariannya. Kita menyebut t.nro. &4 atau tensor densan

.d "'':"^.

,- , ", :.."- .,...." "-"; ^ "," , ;; E't

konrponen-komponen $.

sebagai gradien dari @, yang tlitulis grad O atau Vd '

Sebuah tensor kovarian memiliki kor-nponen-komponen -r1',

Cari komponen kovariannya dalarn koordinat bola.

Misalkan,4- menyatakan komponen-komponen kovarian

.r3 = z. Maka '

At -- xf = xrx2, A, = 2y-22 = 2x2-Q3\t, .4s = xLxs

dimana perlu dibedakan antara indeks atas dan ekSponen.

Misalkan ,fu m"n:ratakan komponen-komponen kovarian tialam koordinat bola il = r. i2 = 0, i3 = 0Maka

(i) ik = {n,

Persamaan-persaillaan transformasi antara kedua,*t"'l *.,'o*at adalah

x7 = ir sln i2 cos i€, x2 = Va sin 7 sin is, ,3 = Vr cos 7

Maka persamaan (1) menghasiikan komponen-komponen kovarian yang dikehendaki, yakni

(sin i2 cos -xs1 1x7x21 + (sin ;2 sin is) (2x2 - (r")') + (cos ,2) (x7xs\

lsin 6 cos A) 02 si.n2 e sin d cos d)+ lsin 6 sin @J (2r sin 6 sin a - 12 cos2€1

+ (cos 6) (r2 sin 0 cos A cos q1

$ r, * Y n, * H ,q.Ox' Aa' ox'

1r cos I cos o;1r2 sin20 sln d cos d)+ (r cos 6 sln @) (2r s|n 0 sin o - 12 cos2 €1

1-r sln 6) 1r2 sin 0 cos 6 cos @1

Zr'n*dr'r-aa36F^r* ;,uAz* 6.s4"

1-r sin 6 sln d; (r2 sin26 sin p cos @)

1)' - ,'. ,xz dalam koordinat tegakJurus.

dalam koorctinat tegak'lurus xr = x, x2 = y,

7,

A3

Page 184: Analisis Vektor

r80

7A;8- Perlihatkan bahrva '

Cxa

Menurut hipotesis,

Hadirnya suku kedua

seharusnya sebuah tensorZA*

yarrg memadai pada :-jaxl

,q ale{ = e!'

I l. Perlihatkan bah*, ' &f ^b

aro = bs.

ANALISIS TENSOR

(r sh 6 cos @;12 sin I sin Q * 12 cos2Ay

+ (0) (l sin 6 cos 0 cos 6)

bukanlah sebuah tensor meskipun,4, adalah sebuah tensor rank satu.

= dzrA:= -

J dzJ

AL

*

A, . Turunkan terhadao ikv'

^2b" * t,77kv7i "?

^2 Ior*

-At

av?a;,: r

drrI

--Atr-2 r-, Ydr dt!

di ruas kanan memperlihatkan bahwa t1

,rOu* bertransformasi sebagaimanaZ,Q

Kelak akan kita perthatkan bagaimana dengan menambal,kan sebuah besaran

menyebabkan hasiljumlahnya sebuah terrsor (Soal 52).

7rl 7,1,p+

&! d7*

,,f trAp ?,q

#a"q#a,f arq l,tf--i --h - oOx" Ox Ax'

9. Perlihatkan bahwa kecepatan sebuah fluida pada sebarang titik adalah sebuah tensor kontravarian rank satu.

Kecepatan fluida pada sebarang titik memiliki komponen-kompor"n 4 dalam sistem kocrdinat xk.

Dalam sistem koordinat i/ kecepatan ini adalah { . r"tuoi dt

d-S __ 7-J a*hdt |*k dt

menurut aturan rantai, dan dari sini diperoieh bahwa kecepatan adalah sebuah rensor kontravarian ranksatu atau sebuah vektor kontravarian.

DELTA KRONECKER

^b.ffbo10. Hitunglah (c) En l. , (6) S; E;.

Karena 6p = 1 jika p = q dan0 jika p * q,kitaperoleh

ba b16) Eq Ef = E;

Jika p=0, +:dx'= i karena xP = xQ

*?,Q

Jika pl q , - g karena xP d,an xQ tak bergantungan

Ax' .Y10Ax'

Maka

Page 185: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR l8l

-D--oA12. Buktikan hahwa 9r; d'- - sr

Koordinat-koordinat xr adalah fungsi dari koordinat-koordinat iq yang sebaliknya juga fungsi darikoordinat-koortlinat -xt. Maka menurut aturan rantai dan Soal I l,

i,f - a,f azq _ r2Zr' A-rq Ar'

= o'

-b ^-, o o ^o -b13. Jika A' = ox' n buktikanbahria ,4' = p4 l'.ZxQ ?nP

-b >=f oKalikan persamaan ,' = #

u' dengan #

Maka Vl? - zr'zil f = aL,f =,4" menurutSoalr2.Zzf Zzb d,s 'l

Ambilkan r = q maka diperoleh hasil yang dikehendaki. Hasil ini menunjukkan bahwa dalam persamaan-persamaan transformasi irntuk komponen-komponen tensor besaran-besaran dengan tanda garis datardiatasnya dan yang tanpa tanda garls datar diatasnya dapat saling dipertukarkan, suatu hasil yang padaumumnya dapat dibuktikan.

14. Buktikan bahwa 6! adalah sebuah tensor campuran rank dua.

511q3 $Pn adalahsebuah tensor campuran rank dua, ia harus bertransformasi menurut aturan,

;j Zzi a,q .fok = a;P a-,u

o,

Ruas-kanansamadengan 11 = t! menurutSoal12.rur"nuqj={=,jikai =k,dan0 jikai *t,a,f azb R

maka dari sini diperoleh bahwa 6Pn adalah sebuah tensor rank dua, yang mana membenarkan notasi yarg di-pergunakan.

Perhatikanbahwakitaseringkalimempergunakannotasi6o,=ljikap=qdan0jlkap*4sebagaidelta Kronecker. Meskipun notasinya kelihatan menunjukkan bahwa ia sebuah tensor kovarian rank dua ter-nyata ia bukanlah sebuah tensor.

OPERASI- OPERASI DASAR DENGAN TENSOR

15. Jika Ap"q dan Bp,q adalah tensor-tensor. buktikan Lrahwa jumlah dan selisihnya adalah tensor.

Menurut hipotesis alq aan/q adalah tensor-tensor, sehingga

; ^ r^-=rt 7zr Zi* 7{ ,nq^L = ;j z-,q fr ^'

Elo = 4YY,!' dtr dx\ dl,"

Jumlahkan,

Kurangkan,

nlo . e',ot = yJ# #,1' . 40',

ilo-elo, = Y Y:?4 G!,q - B!,q)t L dxy dxq diu

Page 186: Analisis Vektor

t82 ANALISIS TENSOR

Ma'ka Ap"q + Bpq d'an o'"n - ul' adalah tensor-tensor dengan rank dan jenis yang sama seperti 1pqDO

,lan B'

t6. Jika )',' O^.Bi adalah tensor-rensor, buktikan bahwa C,f" = A:' Bijuga sebuah tensor.

Kita harus mernbuktikan bahwa Cp.q" adalah sebuah tensor yang komponen-komponennya <libentuk

dengan mengambil hasil-kali dari komponen-komponen tensor Apq dan Bi. Karena Apq dan af adalahtensor-tensor, maka

;jb &i azk Z,r .bqt ar? E"9 D;'!

Karikan, I.rt-* - atr ?Z: U ?-{ d,t ouQ ,s''L 'n

Z"b Z,Q ?r-l E," 7rn "r "t

yang mana memperlihatkan bahwa O!' ,i adalah sebuah tensor rank 5, dengan indeks kontravarian p, q, s

dan indeks.inrleks kovarian r, t, ladi membenarkan notasi Crq". Kita sebut Cr!":oi' Bl hasil-kali luar

(outer product) rlari APl dan Bi.

17. Misatkan, l,l adalah sebuah ren"or. (a) Pilih p = t dan perlihatkan bahwa,Af$,riimanadipergunakankaidah perrjurnlahan, adalah sebuah tenscr. Apa ranknya? (r) Pitih p = t (larr q = s dan dengan cara yang sa.

nra perlihatkan bahwa Aeq, adalah sebuah tensor. Apa lanknya?

(a) Karena .4P1 sebuah tensor, maka

;L --i --t(i) f!: -Qi' drn D,' P1! Z,t nbo ,Lnn Orb ;.rQ azt Zz, |;: "rst

Kita harus perlihatkan bahwa ANo adalah sebuah tensor. Samakan indeks-indeks 7 dan n kenru-

dian jumlahkan terhadap indeks ini, maka

.-i --r -;J& ot- oL- drr Ers A"t _fq4- _ _ _ _ !LnJ Z,f ?,a avl a? |vl "rst

= E,t ai a* axr axs rbqa,j A,b 2,4 Zzt lvn"rst

, ,, Er-k axr ars ,pq- "b ^ o -lr -I- ^rst' dx' dxu dx*

= ?ti urr 7*s ,bg- i,q v.; 7u ""th

Jadi Apq, adalah sebuah tensor rank 3 dan dapat dinyatakan oleh Bq". Proses rrrenyamakansebuah in-

deks kontrava:ian dan sobuah inCcks kcvarian tlalam sebuah tJnsor dan kemudian jumlahkan disebutkontraksi (controction). Melalui proses demikian dibentuk sebuah tensor yang ranknya berkurang duadari rank tensor scrnula.

(b) Kita harus rncrnperlihatkan batrwa lp{ seburh tensor. Anrbilkan i = n dan k = rn clalarn pcrsanlaarl

(1 ) drri bagian (a) tl.,n junrlahkan terlladap / tlan k. kita pcroleh

Page 187: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

. ih azi &h E / ?,s 1rt ,fq^ tpj =

a,p a,r a,, 7rs *i Arst

_ Ert D;j ?,u AEh axr jq= arj ;J arr Tg vr7 ^"t

= A.'S" }xr nf|? e 7iL ,'sE

7rr ,fQ=

-AZ;l rqP

).ang mana memperlihatkan bahwa ANo adalah sebuah tensor rank satu dan dapat dinyatakan oleh

c". Perhatikan bahwa tlengan mengkontraksikan dua kali, rank tereduksi dengan 4.

i. Buktikan bahwa kontraksi dari tensor.4f adalah sebuah skalar atau invarian.

Kita peroreh ,l = ## ^l

Ambitkani=kdanjumlahkan. r! = y7'e 'f = s1 et = Ailu,,,ro,,Nu,,! ,. j ?,n ar; ..q -?--q

Maka ii..-- Ap, dandari sini diperoteh bahwa Af, haruslah sebuah invarian. Karena.4p seLuah tensor

rank dua dan kontraksi terhadap sebuah indeks menurunkan ranknya dua, kita dengan demikian mendefi-

nisikan sebuah invarian sebagai tensor rank noI.

9. perlihatkan bahwa kontraksi hasil-kali luar dari tensor-tensor,4p dan Bn adalah sebuah invarian-

KatenaAp danBn adalahtensor-tensor, ,t=#/, ,o=#rn. Maka

duo = ##n",Dengan mengkontraksikan (ambilkan I = k dan jumlahkan)

,ti, = ## n' ,o = tqr er a, - n' ,,

jadi AeBesebuah invarian. Proses mengalikan tensor-tensor (perkalian luar) dan kemudian mengkontraksi-

kan disebut perkaliatt-dalam dan hasilnya disebut ltasrl-kali clalom'Katena Ap B, sebuah skalar' hasil-kali ini

kaclang-kadang disebut hasflko li skalar dari vektor-vek tor Ap dan B n

20. perlihatkan bahwa sebarang hasil-kali dalam tlari tensor-tensor Ao, dan Bf" adalah sebuah tensor dengan

rank tiga.

Hasil-kali Iuar dari ;1e dan B)" = ao, Bl" '

Baiklah kita kontraksikan terhadap indeks-indeks p dan t, yakni anrbilkarr p = / tlan jur.rtlahkan. Kita

harus nrcmperlihatkan bahwa hasil-kali clalam yang tlihasilkan, yang <linyatakan tnen.alBf,", adalah sebuah

tcnsor rank tiga.

Bcrdasarkan hipotesis, tte dan Bl" aclalah tensor-tensor; ntaka

; j a,j a*, .p ;tn a:Il aZ E,, o1.A; = ?l ;* o,' Bn

&t ; an" "t

183 ir

Page 188: Analisis Vektor

lg4 ANALTSTS TENSOR

Kalikan keduanya, ambilkan 7 = n dan jumlahkan, maka kita peroleh

22.

rJ E _!^ = d ?{ all @! ?4 n!, uIR' J arb aZb Axq axs AZJ a r

= 5t 7,' ?tL P1 nt ,osI 77u 7,4 7rs r t

= 7r' azl ain Al Bqs- a;h ar, a"t "' "P

!'ang mana memperlihatkan bahwa Ap Bq" adalahsebuah tensor rank tiga. Dengan mengkontraksikan ter-

hadap,q dan r atau,r dan r dalam hasil-kafilf Arn", tit" dapat memperlihatkan dengan cara yang sama bah-

rla sebarang hasil-kali dalam adalah sebuah tensor rank tiga.

Metode lain. Hasil-kali luar dari dua buah tensor adalah sebuah tensor yang ranknya adalah jumlah.dari

rank tensor-tensor yang diperkalikan. ladi Ap Bqr' adalah sebuah tensor rank 2 + 3 = 5. Karena kontraksi

menghasilkan tensor dengan rank kurang dua dari tensor semula, maka dari sini diperoleh bahwa sebarang

kontraksi aari, ae Oqtt adalah sebuah tensor dengan rank 5 - 2 = 3.

Jika X(p, q, r) adalahsebuah besaran yang sedemikian rupa sehingga X(p, q, r) ,'rn = O untuk sebarang ten-

sor B"n o,

buktikan bahwa X(p, S, r) = O.

Karena Bqn sebarang tensor, pilih satu komponen tertentu (katakan komponen dengan q = 2, r = 3)

yang tak not, sedangkan komponen lain semuanya nol. Maka X(p,2,3) 81" = O, sehingga X(p,2,3)=O

karena B2ro * 0 Dengan penalaran yang sama untuk semua kombinasi yang mungkin dari q dan r, kita per-

oleh X(p, q, r) = 0 dan dengan demikian terbukti hasilnya.

Sebuah besaran A(p, q, r) adalah sedemikian rupa sehingga dalam sistem koordinat xi, A(p,q, )A!" =Ci

dimana B"q" sebarang tensor dan { sebuah tensor. Buktikanbahwa AQt, q, r) sebuah tensor.

Dalam koordirr ut x i, i g, k. D E:^ = a:.

21.

^-L --,-Maka fti,t .tt ?-r: W ?d"' ErQ ?rs Dil

^qs Zz^ Zrlf1^1-t dxr OrJ

)-r -:*i A(i,k'tr, -ox

c; = #*n,o,o,ut

?,f-7t1

A(P,c,.l4' = oV1n f}zb?,' La/

Ambilkan perkalian-dalamny a

dengan a = m) menghasilkan

dengan "#

(yakni kalikan dengan ?.xni:7 dan kemudian kontraksikan

d*D

dx)

dr"

.: [t}]c ',-1L 1r Ot"

f c'h a,'t__l-^ -. rL.rr dit

A(i,k,t) -

iti.tc,Ll -

A(p,q,

A(p, q ,

Br

wBr

,)]

.) _'l

0.

Page 189: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR 185

Karena Bq' adalah sebarang tensor, maka menurut Soal 2I, l;ita peroleh

E^' iL i<i,r,,tt - A 4e,q,,) = o

?" ?;'I d?r

1 0 a--

Ambilkan perkalian dalam dengan 2 ?; menghr"rlkandr "' Oa'

a! { Ril,o _ U +i Fl 4(p,q,r1 = o-q -L -',' ' ' E;J E;, Eri

arau i1i,n.n) = *tg [email protected]',\cxJ Eia E'-

yang mempe"rlihatkan bahwa.4 @, q, r\ adalah sebuah tensor dan dengan demikian membenarkan pengguna-

an irotasi .4 pq

Dalam soal ini kita telah membuktikan suatu hal khusus dari hukum hasil-bagz yang menyatakan bahwa

jika hasil-kali dalam dari sebuah besaran X dengan sebarang tensor 8 adatah sebuah tensor C' maka X adalah

sebuah tensor.

TENSOR. TENSOR SIMETRIK DAN ANTI.SIMETRIK

23. Jika sebuah tensor ,4?.q" simetrik (antisimetrik) terhadap indeks-indeks p dan q dalam salah saiu sistem

..koordinar, perlihatkan bahwa ia tetap simetrik (antisimetrik) terhadap p dan q dalam sebarang sistem koor-

dinat.

Karenahanyaindeks-indeks pdanqyangterlibat,makakitaakanmembuktikanuntukBPq

lrka BPq simetrik, jadi f o = Bqo ,^aka

Eih = 4d3rtt = E:\o,c = Bhi" Ei' a's z,q lrD

jadi f q tetap simetrik dalam sistem koordinat f i'

Jtyafq anti-simetrik, iadi fq = - f',^uku

Eik = 4!4roo = _ Qrh!;o = _shi- Z,b Z,Q - brQ E*D

jadi f q

tetap anti-simetrik dalam sistem koordinat li '

Hasil di atas tentu saja berlaku untuk tensor-tensor simetrik (anti-simetrik) lainnya.

24. perlihatkan bahwa setiap tensor dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua buah tensor, di mana yang satu'

nya simetrik ,lan I'angiainnya anti-simetrik dalam pasangan indeks-indeks kovarian dan kontravarian-nya'

Tinjau misalnya, tensor Bpq. Kita peroleh

alq = l1afq*eqt1 * ;@P-q-aq|1

Tetapi Rpq "'/r(Bpq + Bqe\ = Rqp adalah simetrik, dan Spq = V'(Bpq - Bqe) = -'sqpadalah anti-si-

metrik, Dengan penalaran yang sama terlihat bahwa hasilnya berlaku untuk sebarang tensor'

25. Jika Q-a.uAiAh,perlihatkanbahwakitaselaludapatmenulis Q=b-rAiAk dimana J'o simetrik'

o = oroti lh = or.eb ei = oori eh

Page 190: Analisis Vektor

186

Maka 2Q

dan

di mana b., = *(o., + a, .)JP .' JR PJ'

MATRIKS

ANALISIS TENSOR

i k i k = (a,.+o,,lAjAhaipA"A + ao.A"A ,J" eJ.

o - +@ jh+ our\ ei eb = bj* Ai ,th

= bpj adzlah simetrik'

. Maka (A+B|(A-B)

, B':(-r -;)rl

26. Tuliskan jumlahS =-4 +,8, selisihD = A - B da

A (l?-l)t 3+2 1+0 -2-1\

s=n*r=[ 4-4 -2+7 s*z)\-z* t t-1 -r+olt 3-2 1-0 -2+1\

D=A-B= ( ,rn -2-t s-rl\-r-t I+t -r-olt Q)Q) + (1X-4) + (-2X1)

P= AB = [ rlXzl+(-2X-4)+ (3)(r)

\(-2X2) + (1X-4) +(-rXr)

= (,i _: rl\\_, , nlt 8 i -l\

Q= BA = I-"\-l " -ulHasil ini memperlihatkan bahwa AB * BA ,

komutatif.

27.Jika A=( 2

\-1 -r') , o..,,nrtkan bahwa <A+B](A-B) * A'- B'.

n hasil-kali P = AB, Q = BA dari matriks'matriks

B = (-i I -l\- \i-i ol

(-: ;i)(: ; -i)

(3X0) + (1X1) + (-2X-1) (3X-1) + (1X2) + (-2X0)\(4X0) + (-2Xr) + (3X-1) (4X-1) + (-2X2) + (3X0) I

(-2x0) + (txt) + (-lx-r) (-2x-l) + (rx4 + (-1x0)/

yakni perkalian dari matriks-matriks pada umumnya tidak

:)fi -:) =(-: ':)

=(i ;)^.' = ()

r = (_:,

A" -82 =

r) dan

:) ,-, =

t)(-l:)(1 rl)

(r

_:)

,= fr(; :)

=(-::)

Olehkarena jtu,(,4 + B)(A - B) + A2 -a2 Tetapi, (/+8)(A-B) = A'-AB+BA-B',

Nyatakan dalam notasi matriks, persamaan-persamaan transformasi untuk (a) vektor kovarian, (D) tensor

kontravarian rank dua, dengan anggapanN = 3.

(o) Persamaan transformasi l^= !, n^ dapat dituliskan sebagaiv ai?e

Page 191: Analisis Vektor

187ANALISIS TI.]NSOR

(l ffi*ilfldalam vektor-vektor kolom atau juga ekivalen dalam vektor-vektor traris

l* # s\@r7rFS = (Atnrnrrls # #l

\r ##l(b) Persarnaan transformasi ," = # #

,n" dapat dituliskan sebagai

l',:',:',:\ ffi #ilt", ;l l, (fi #f)\r"'^r"'^r""J \* #Yril

Perluasan dari hasil-hasil ini dapat dilakukan untuk N ) 3. Untuk tensor-tensor dengan rank yang ting-gi, metode matriks ini gagal.

ELEMEN GARIS DAN TENSOR METRIK

29. Jika lsz = g.odxtdxk invarian, perlihatkan bzhwa g.uadalah sebuah tensor kovarian rank dua yangsimetrik.

Menurut Soal 25, 9= dt', A' = dl danAh =dxk,maka dari sini diperoleh bahwa8:-o dapat dipilihsimetrik. Juga karena ds2 sebuah invarian,

z azhazs = p d*jd,k = z ?'J-aolVa = z ?ia'o a=f afl"ts "jk "rt 7;P ?zc -rt 7z? Zzq

>-i >.-hMaka Epq = frt * *

dan B-o adalah sebuah tensor kovarian rank dua yang simetrik, yang <lisebut

terls0r metik.

30. Tentukan tensor rnetrik dalam koordinat-koordinat (a) silinder dan (D) bola.

(a) Scperti dalam Soal 7,Bab7, ds2 = dp2+ p2d$2+drz.

Jlka x1 =P, r'= Q, f =: maka Brr,=l,sn=p1 8""=l,6rr=Eo= 0, gr"=fu=0,Bsr=B,.=0.

/rr, ,- ,o\ /t o o\Dalam hcntuk rnarriks. tensormetrik dituliskansebaCai l rrr r_ r^

) =

t : f : l\6r, 8", 8o7 \ /

Page 192: Analisis Vektor

188ANALISIS TENSOR

Scperti dalam Soal 8(a), Bab 7, ds2 = /72a 12 {Qz* r2 sin20 d$2.

Jika :1= r, x2= 0, * =6 maka tensormetrikdapat dituliskansebagai

Pada umumnya, untuk koordinat-koordinat ortogonal, 8-& = 0 untukl + k

31. (a) Nyatakan determinan 5 =

(c) Tinjau determinan

baris kedua dan kofaktor'kofaktornya yang bersangkutan.

perliharkan bahwa g.o G(f, &) = g dim an^ G(j, &) adalah kofaktor dari g-o dalam g dimana hanya dijum-

lahkan terhadap k.

Kofaktor dari g-, adalah determinan yang diperoleh dari g dengan (1) menghapuskan baris dan kolom

yang m:na g-k #I-,ncrt dan (2) berikan tanda (- I )i * k untuk determinan ini' Jadi,

Korakror dari s,, = (-r)'+' l::Z:!, Koraktor dari so = (-r)'*' 1il ffl- -.r*, I &. E.^l

Kofaktor d.ari to = (_r) l%; ,;l

Nyatakan kofaktor-kofaktorini berturut-turut dengan G(2. 1),G(2,2) danG(2,3). Maka dengan mem-

pergunakan prinsip sederhana dari determinan, kita peroleh

g4C(2,L) + g22G(2,2\ + goG(2,3) = t

(b) Dengan menerapkan hasil dari (a) pada sebarang baris.atau kolom, kita peroleh spG(i, k) =g di mana

penjumlahannya hanya terhadap k Hasil ini berlaku pula di mana I =lg.rladaiatr determinan ber-

orde Ar.

32. (a) Buktilianbahwa g2tc(3,1) + g*G(3,2) + t%G(3,3) = 0'

(D) Buktikan bahwa sro G{p' k) = O jika i * p'

6r.r. tt 6r. I

c^, g^^ L"l dalam elemen-elemett

i: i', c;;l

gr, 8r, 8olr;, t; t;l vang adalah nol karena kedua baris bawahnva identik' Uraikan

tr, 8r, 8ol

,,"L)('(D)

(b)

(a)

0

0

menurut elemen-elemen dari baris'terbawah, kita peroleh

SzrG(3,|) + grG(3,2) + g,, G(3.3) = 0

(b) Dengan mcn),amakan eiemen-elemen dari dua baris (kolom) sebarang dapat kita perlihatkan, seperti

dalair bagian (a), bahwa s * G(p, k) = o jlka i* p. Hasil ini berlaku puia untuk determinan ber-

orde N-

';b t'ir!) di mana G(i, k) adalah kofaktor dal- E,o dalam determinang= lg-*l*0.33. Delinisikan gr'- =::g

Buktrkan bahwag ogek = 6f.

Menurut Soal 31, ,., "(i'o) = , atau g.odb = t, dimana penjumlahannya hanyaterhadapk'"jb I

MenurutSoal 32, s*W.D = O atausih,Jh=0, jikap*1

Maka 8ro {h (= t lika p =i, danOjika p + il = ai.

Page 193: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR I89

Kita telah pergunakan notasi 6/k meskipun belum kita perlihatkan bahwa notasi ini dibenarkan, yakni

bahwa grk atjalah iensor rank dua. Ini dibuktikan dalam Soal 34. Perhatikan bahwa kofaktor dituliskan

CA, k) dan bukan (/k karena dapat kita perlihatkan bahwa ia bukanlah tensor dalam pengertian biasa-

Namun demikian, dapat diperlihatkan bahwa ia adalah tensor relatif berbobot w yang kontravarian dan de-

ngan perluasan konsep tensor ini, notasi C)k dapat dibenarkan (lihat Soal Tambahan 152)-

34. Buktikan bahwa.dk adalah tensor kontravarian simetrik rank dua.

Karena E,osimetrik, maka G(7, &) simetrik dan dengan demikian dh = G(i, /<)/g simetrik'

Jtka Bp adalah sebarang vektor kontravarian, maka 8n = gorBl adalah sebarang vektor kovarian. Per-

kalikan dengan 3/h,

ciq Bs = dq son at = aJ nr = ni atau dn ,, = ui

Karena B adalah sebarang vektor, maka dengan mempergunakan hukum hasilbagi, dk adalabsebuah ten-

sor kontrfvarian rank dua. Tensor6/h disebut /enJol metrik konyugat (coniugate mefiic tensor).

35. Tentukan tensor metrik konyugat dalam koordinat-koordinat (a) silinder dan (D) bola-

*r = Igr:It-! +tp'

tr - kofaktorgzz Itp'

t*'= kofaktorg:: = +8p'

g1e - kofaktorgrz =-+tp'

Dengan cara yang sama g/k = 0 jikai;e k. Dalam bentutakan oleh

(D) Dari Soal 30 (D),

=1

I

=1

=0

ks tensor metrik konyugat dapat dinya-

p' ol0 rl100l

10op2

0001

matri

f iv l)

Seperti dalam bagian (c), k

i* k, tlan dalam bentuk matrik

loolo r2 o I = ,asin2.'0 0 ,' sin'01

ita dapatkan sl!=1, f=*, *= r:-r dan sik = 0 untuk

s dapat dituliskan sebagai

0

0

0

1/12

0 ,r*:r"r)

Page 194: Analisis Vektor

t90

36

ANALISIS TI.;NSOR

Carilah (a)B: dan(b)dh yang berhubungan dengands2 = b(dx1)2 + 3(dr12 + +@f)2 - 6 dxadx2 +

4 dx2 d.rs .

(o) grr=5, tD=3, gs=4,8e=821=-3, g%=ge=z,8r"=8","=0. Maka g =

5-30-3 32o 24

TENSOR.TENSOR SEKUTU

37. Jika O, = gittAh, perlihatkanbahwa Ak = dk Ai.

Perkalikan Ai = EipAk dengan gtq

Maka 6/q a, = das,uAh = 61Ao = Aq yakni Aq = d'tAj atar- Ak = gu Ai.

Tensor-tensor rank satu. A. dan Ak, disebut bcrse&ruu (associoted). Mereka menyatakan komponen-komponen kovarian dan kontravirian dari sebuah vektor.

38. (a) Perlihatkan bahwa 12 = gpq Ap Aq sebuah invarian. (D) Perlihatkan bahwa L2 = gps A, Ar.

(a) Misalkan.4 . dan Ah komponen-komponen kovarian dan kontravarian dari sebuah vektor. Maka

(D) Kofaktor-kofaktor G(i, k) dai g., adalah

G(1,1)=8, G(z,z)=zo, G1r,:1=6, G(t,2\=G(2,1)=12, G(2,3)=G(3'2)=-10' G(1,3)=G13'r)=-6

Maka grr=2, g2=5, gB=3/2, g1t=gz=3, ga=*2=-5/2, q13=fa=-3/2

Perhatikan bahwa hasil-kali dari matriks-matriks (Sro) dan G/k) adalal, nlatriks satuan I. yakni

(, iX;,!,,.i':,) (' :)

aq=Elek7"k

- -b A*j Atb .u .i a idan ApA = ,_,r#o,n'= 3;AjA- = AjA"

sehingga dengan demikian Ay'i adalah sebuah invarian yang kita sebut I2. Maka kita dapat menulis

L'= o,,rj - s nooj = , AbA=r "jk "Pq

Dari (a). t'= Aj lr = Aj r'j lo= rj' oi no= ,ft ,t.,tr.

Besaran skalar atau invarian t = t/A 7 artcbut besar atau panjang dari vektor rlengan komponen-

komponen kovarian,4, dan kornp<tncn-komponcn kontravarian /p -

Jika,4p dan /lq adalah vektor-vektor, perlihatkan bahwa 8on Ap lJq scbuah invarian.

:,_AXdA'-n:,Y1-DJ9r'

3e. (a)

(b)tnn AP Bq

Pcrlilratkan balrwa -: !L:,/<tb e rtGq Bq)

sebuah invarian

Page 195: Analisis Vektor

Menurut Soal 38,

Karena AP A danp

dengan demikian

Kita definisikancos €

cosirtus sudut antord vektor'vektor Aportog0nal.

ANALISIS T}

ApB = Aps Bq = s .4pBq sebuahinvarian.p "pq "Pq

Ba B, adalah invarian-invarian, maka t[4aWrl

A^s^-A'BjYq adalah sebuah invarian.

/Ay'(A'A^\(8, B^\y 9'Ad

sp, AY 81

@66Bq. lkagpaAPBq = APBp

adalah sebuah invarian dan

= 0, maka vektor-vektornya

dalam sebuah sistem koor'

s"31

l9l

(a)

(b)

dan

40. Nyatakan hubungan antara tensor-tensor campuran :

@) AihL dun Afrr, <tl \lt dan AQh' , <rl af 'r'"i a^" ejril .

@) Aiht = ,if ,4 rlr Apq, uruu Alq, = Bjl sp, er, ,tibl

al Ailt = tiq tLrAQh' utuu' fa' = ,lt sL'\!1

@ nP;'"; = Epi srh ,u nii'i' uruu ejqit = shj srp t" n!;il

Buktikan bahwa sudut-sudut 0s2, 023 dan 031

dinat berdimensi tiga diberikan oleh

^t'cos 0o = +, cos 6o =vs taaa v22 .

41. antara kurva-kurva koordinat

8r"--,{ 8rr 6r"

cos 6", = {t"*c'

42.

Sepanjang kurva koordina t xr , x2 = konstan dan x3 = konstan.

Maka dari bentuk metrik, ds2 = g11(dxa)2 arru di t *

"11

Jadi vektor satuan sepanjang kurva.rl adahh { = f,ri.Dengan cara yang sama, vektor-vektor satuan sepanjang kurva-kurva koordinat ,2 dan x3 adalah

^:= + a[ aun ,ri= + ,:.' ,/e ,/e, "(4

Cosinus dari sudut 0 | 2 antata A 1' dan,4 2' diberikan oleh

cosz,,= r,-nloX= r,-**a'"al= y" Pq " bq '/crt ,/ sn 18r, 8n

Dengan cara yang sama kita peroleh hasil-hasil lainnya.

8:r = 0.

= 0tt = 0tr = 90'.

11ott ' o22 ,lz' asl

hb

Buktikan bahu'a urrtuk:istern koordinat ortogona!, 8tz = 8tt =

Ini langsung diperoleh dari Soal 4l dengan mengambil 01 2 '

bahwalloo = 8qp juga dipcroleh bahwa 8lr, = 1tz = 8r: = 0.

Buktikan bahwa untuk scbuah sistern koordinat ortog(rnill Err:

Dari kenyataan

1

D

43.

Page 196: Analisis Vektor

t92 ANALISIS TENSOR

Dari Soal 33, ef'e = 6b" "rq -q'

Jikap= q=1, gr"8", = I ataug1l8r, * f"trr+ goEr, = 1.

Maka dengan mempergunakan Soal 42,.gr, = 1 .

Dengancarayangsama,jika p=q=2, r*= i; danjika p=q=3,r*=S

SIMBOL CHRISTOFFEL

44. Buktikan @) tps,.t = [cp,,], (6) {;} = {;} , (c) [ps,r] =srs

(o) tpq,,) = -k .y - y, = r,* .* -?A, = w

", i;l = s"[ps,,] = c"'[*,'r = {;},", ,r"{rr} = ,u"r"' lpq,,l = a[ fu,,) = lpq,*j

atau [pq,k] = +"{jo} ,"u.r lpc,,) =,,"{;}

{;}

,rl.

Perhatikan bahwa mengalikan lpq, rl dengan g"' berakibat menggantikan r dengan s, menaikkan in-

deks ini dan menggantikan tanda kurung bersegi dengan kurawal yang menghar*"" {;}

. Begitu pula,

mengalikan {;}

O"r*", g* atau 8", berakibat menggantikan s dengan r, menurunkan indeks ini dan

menggantikan kurawal dengan tanda-kurung bersegi, yakni lpq,rl .

45. Buktikan rr*= [p., il + {s^,p]

(6) * -/" {:,1- ,* {i,} "' {f,} = # '" t(o) lp^,q) + ltn,n) = r,?fu *"*, -?'ry, r rr?tr!- -yy -?tr!,zt *a ' arl- a*q' " ar" arc Alt

Ttr,.

,u, # {siksrl = ,.}rai; = o. Maka

**.#t" = o atau ,r,*I= -rrt*Kalikan dengan €ir, ," rrrS = -rU i'*

{ # = - nir fb (i^,il + [;n,i] r

a*

yakni

atau # = _,r,l,Il _,,, l,;ldan dengan nrenggantikan r, k, i, i berturut-turut denganp, q, n, n maka diperoteh hasilnya

Page 197: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

(c) Dari Soal 3 I , c = 8jk G(i' /<) (penjumlahan terhadap k saja)'

Karena G(7, /r) tidak mengandung gyo secara eksplisit' maka

terhadap j dan r,

-?c-7tj, = G(i,r\. Kemudian, iumlahkan

Jadi

** ={;} a'[au

{,;} = *"*

Hasilnyadiperolehde.nganmenggantikan I dengan p dan m dengan q'

46. Turunkan hukum tra:rsfcrmasi untuk simbol Christcffel (a) jenis pertama, (D) jenis kedua'

art a,c '

(4) Karena ti, = al Uu tpn'

?c = ?g ati, = c1,n*?rt

"tr, ,*

;r lti,= tsl'# = ssJ'{li*,,1+ [rn,i])

= ,({;} . {;}) = ,'{,'.}

ilra = *$!u,.'t. #*Y*'*Perkaiikan (4) dengan *" = #{U

* kita peroleh

^Dsnn yi*,-1 = # #Y-##rg"t [pc,,] r #*##

,.*, {,;} = *##Efs"'rr,,.1 .:*ffals"ts*= Z*fa,qa;"f"\ * t,f &n

azi a=b 3,s (re I azj Azb A,l

oEio

1-ao,(l) = i"f arq ?%qarr

+ arP v',' . ,. * _',1 ?'9

&i Azh V,r Z1;a &i &*;ah'lq az"Ai t;tOe

Permutasikan secara siklis indeks-indeksl, k, m Can p, q' r

/r\ 4on = 7'9 a" dtq' ?'t * Y "1"' r\2, * &,h Ar* d,f dzi 7ih V7i7rx -er

}E,j _ ?,r_a"f ?r!.?,e * fu[ _i',f(3) # = ar* ari ?rq ar& 7r* trjfi trt

Kurangkan ( I ) darijumlah (2 ) dan ("?) dan perkalikan dengan t/z'

nisi simbol Christoffel jenis pertama, kita peroieh,

* 72rQ Zrn ,a;j a;h 7z^ \r

* a"{ arl ,A=haz* 77i "rf

maka dengan memPergunakan defi-

nw, s"t spo

(4)

(b)

Page 198: Analisis Vektor

194 ANALISIS TENSOR

ku..nu E' s"t lpc,,f = e"r lpq,,) = {;} a". Df ,rt ,r, = urn rf, = si

a*? a,e 1,1.ail arb lps I

a,f a*9 az, ( " )*,*t a,. lool .

- zrl Erg"rf "l- ij i7 "'lonl?ri?'c (r)

=__t\+1ai 77h \et I

Pecahkan unrr1 -31'"-, maka diperoleh hasilnya.}zJ }rE

48. Hitunglah simbol Christoffel (a) jenis pertama, (6) jenis kedua, untuk ruang.ruang di manag* = 0 jikap+q.

(a) rika p=q=r, lpq,,) = lpp,pl = +(*.*-*)

Jl|<ap-qlr, lpq,,) = [pp,r] = +W.*-y)

lika p=rsr, lpq,,) = Lpq,p) = +(*.y-*)J1kap,q, r berbeda, maka [pq, rl = 0Kita tak menggunakan kaidah penjumlahan disini.

(D) Menurut Soal 43, d, = + (tidak dijumlahkan). Maka

{;} = s"'[pc,,] = ojika r*s, dan=g""Ips."] =

Menurut (a) :

47. Buktikan J* = {;rl# -

DariSoal46 {b). t;}

perkaiikano"n*,n$ EIX

-2AO x' Ox'"

avl;J a"k'^2hdr' ^,[+

-o.

Zzl ZtP I

-2iloxarl;*

- L?'ft.2ar''

,dtfi2a,q'

I pq'" ] ltiaak dijumlahkan) jika r = r.6"t

'n tpf

,)i a,q '" tpo

:e!lrl

=12

- , Trpt - r ?2sro a,f 2 a,i

Jika,p=o=", {;}

= {;}

J ka p=n*,, {;} = t;}

rika P="*0, {;} = {;}

Jtka p,q,s berbeda, -r*. {;

. lpp,p)ofl

. IPP'"]6ss

lpq,pl

'ft

I = o.t

, E&r.

- -rc* a". '

, Stpp =zsfi z'q

Page 199: Analisis Vektor

ANALISIS TI.]NSOR I95

49. Tent.krn sinrbol (-hListol-iil icnis kedua dalanr koordinat-koordinat (o; tegak lurus' (D) silinder, dan

(t') bola.

Lrl,, (tapat pergunirkan hasil-hasil dari Soal 48, karena untuk koordinat-koordinat ortogonal

3ro =0.iik.rP*r7'

(a) Drl;trtr koctitlin;rt tr:gak-lttrus, I oo = | sehingga {; } = ,

(D) Daiant koordilal silintlcr. xl = P, .r-2 = d, ,r3 = z, maka menurul Soal -30 ("r) kita peroleh' 8r t = l'

gz: = g2.8.rr = l. Sirnbol-simbol ('hristoffel jenis kedua yang t:ik nol han!'a dapat tel-iadi di mana

P = l. \lertka adalah.

(r'l 1 Z8r, 1 ?.^2.\rrl = - \, ar - z Trtt' r - -F'

Jr\ = 1r\ = t Et,, =, 3,o,, = 1\ztf

- \tz! 2gnZxL zpz3p'' P

(r) Dalanr koordinat bo1a, .r1 = r, .r2 = B, ,r3 = 0, nraka nten.:ut Soal '10 (b), Sr r = 1' 8zz =

r:. .g-.: = r: sin2 0. Sirnbol-simbol C'hristoffel ienis kerlua yang tak nol hanya dapat terjadi di mana

P = I alau -1. Mereka adalah,

u){;}

{;}

{;}

{;i{;}

GEODESIK

50. Buktikan bahwa syarat perlu agar

tE__ _(rt = _rzdr

Es- r ?.,. 1

- -(f-

I = -dx' 2r' dr r

1)2 Zr'

- t D rr2sln2i\ = -sinFcos4t' 7o'

%=-r--=-ir,,"in3ll=l?r1 zP sin2 0 7-

a--:"5 = I

-g2 sin2 €) = cot 0

Zr2 zr2 sin2 0 Z9

, dr*- \at A", =

{;} *1 dB".

_-6,o -

1 e&3s

422 7r2

/,\= II ia I -28*

.fr[='tzal 26s

t = f t'

,rr,x,i\ dt sebuah ekstremunr (maksinum alau mi-

L\

nimum)rdclch h:rhwa A! - -d r$i - o.7x dt a;

Misalkan kurva yangmembuat.lsebuahekstremumadalah-t =X (r), t, 1 t 1,2. Maka x = X(t\+

e41l),dimanaetakbergantungpadar,adalahsebuahkurvatetanggayangmelalui/ldant2sehinggaa(r,) = n(rz) = 0. Hargaluntukkurvatetanggainiadalah

ftcIG) = I ' F(t, x+ €n, i+ eip atJ+

L7

Ini adalah suatu ekstrimum untuk e = 0. Syarat perlu untuk ini adalan f | = 0' Ambilkal turunannya di-de le =o

barvah tanda integral, dengan anggapan bahwa ini berlaku, maka

#1,=. = .l),"'*n*{ito' = o

Page 200: Analisis Vektor

196 ANALISIS TENSOR

yang dapat dituliskan sebagai

['*ra, n?!rl'r',- f,"r*,*," = f,'r(# -*,,#,)r,= o

Karena 4 sebarang, maka integrand"r" :; - $ t$l = r.

Hasil ini dapat diperluas dengan mudah untuk integral I r"

,U,rr,01,r2.i2,...,rX, LX\ dt

#-*,#' = odan menghasilkan

TURUNAN KOVARIAN

52. Jika A - dan,4p adalah tensor-tensor, perlihatkarr bahwa (a)p

yang disebut persamadn Euler ataa Logronge. (Lihat juga Soal 73).

5l.PerlihatkanbahwageodesikdalamsuaturuangRiemanndiberikanorcnff-{;rl##=,

Kita harus menentukan ekstrrm dari I.' ,q77 ,, dengan mempergunakan persamaan Euler

-Lt

(Soal 50) di mana , = /rp, iP i4 - Xita peroleh

# = i"";b;e'-t/z%t""

# = i"rr;?;,Yr/z z.,phir

Pergunakan f = ep, maka persamaan Euler dapat dituliskan sebagai

A

d ,Ehki', r. a=*oJ ;o;, = oa,(-j ) - z; a,*

atau sppip **rr - ifu*r = ,!ruriskan'9 ,r;q = * ,yl! -!r!, oois persamaan ini menjadiZrQ 2' arg A,O'

.t..,pu* * lPq,k);t ;q = r+

Jika kita pergttnakan panjang busurstbagai pararneter, ,ruurU"= l,!' = 0 dan persanraannya menjadi

- 4'rb , t ,tdrfd.r4sfiil + LPq,ki;-;; = o

Perkalikan ,iengun g"k, kita peroleh

d'r' - { r\ arl4rlds2 lonla"; = o

7A;t:^p,q - irs - {;},.

Page 201: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

dan (6) o',n = #. { ;" } e' aa"un tensor-te,lsor

(a) Karena I, = ?4 A-, makaJ OzJ

(,) 5 = grY?!,* t*',n,?rh azj a*t azh avj d:,h

Dari Soal 47.

Z'rn - (olZrr ?,'Er'f ,larjar, - li* I {2" - ar, aoo \,t /

Substitusikan kedalam (1 ),

aA' z,r ?,t y - FI a,' o _ z,' "J ! ,,,1 o,J

a;I iei izh a,t litl T,n"' a;j a;b I,

= ##*.i-;),"-##{;},'atau

197

# ffl'"= ##(#-{;,},')iadi t - ! " \ O adalah sebui.h tensor llovarian rank kedua, yang disebut turunan kovarian dari

?,9 tpc I s

A, terhadap xq dan ditulis .4r,,

(b) Karena fi = C Ar , makaZrr

--; - ; ^ t ^ + ^2 ;aAr dir dA' dx" d 7 dxL ,t;j a,' a,t ;j ' axraxt a-* ^

Dengan mempertukarkan koorctrnat-koordinat x dan x dalam Soal 47 maka,

a,zi _ !^[ar;_ a=ia;Lli\E.'Ert \"1 arn 7r'Zrt t'1,

Substitusikan drlarn (2),

# # Y"Y,.{;} *-"#r - *##\:,1 '= #H#.{;} #*,' - *.'i{1Y^'= ?rta,qt. Jo\ariaJo, _.fr\ri

a,b ari at - t"n/ a,o aro" - \'nl"

atau ?nt. !i\n, -- ui?r(il-{r}r"\,-n - \n,f ^ aib i;b \a,o \r" | " I

(2\

Page 202: Analisis Vektor

I9E ANALISIS TENSOR

jadi #

- {;" }

," adalah sebuah tensor campuran rank kedua, yang disebut turunan kovarian dori

AP terhadap rn dun ditulis,4l s-

53. Tuliskan turunan kovarii: terhadap xq dari masing-masing tensor berikut :

1a1 Ain, $) Aio , @) Aro, ol Alt, @ Ar:: .

?A,{o\Aia,q = # -{,"r}o, {;}t(r) Ai,,q = # - {i,}r", . {;"}r"

; Ee!,,rr'r,, = # -{;}rl .{i"}r;

<at Ar,t,q = * - {;}<, - {;},J" . u"l^"*

.ikl ^nil't"t A'in,q = # - {;t n( - {,",i,'*' . {;:1 4u, .l:}^';: . \:"1^#

54. Buktikan bahwa turunan-turunan kovarian dari (a)g-u, @) iu , (c) 0'p adalah not.

(a) cn,q = * - {;},", - {*},u= % - liq,t) - l*q,il = 0 menurutsoat45(a).

ZrQ

{tt eihn = # . {;"}r"o * {j"}/t = 0 menurutSoar4s(b).

, arJ /.r i r.) ^ 1..\r",si.n = * -{;}'1 -{i"},; = o-{;} .{;} = o

55. Carilah turunan kovarian dariAih.Bt^ terhadap xq.

1notit,, 4P - {;} n:d- - l;l^lq. {i"}4# . {;"} n1u'r ' {;"1^',";

(# - {;},r .{;"} ^;) *.

^l (#- {;},:" . {,1},;' . {;},f)

Page 203: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

60. Nyatakan divergensi dari vektor Ao dalam komponen-komponen fisisnya dalam koordinat-koordinat

(a) silinder, (b) bola.

199

= o'o'"!" t n'u**

Hasil ini memberi gambaran tentang kenyataan bahwa turunan kovarian dari perkalian tensor-tensor

memenuhi hukum-hukum yang serupa dengan yang berlaku untuk turunan biasa dari perkalian dalam

kalkulus elementer.

h,* .ka56. Buktikan (rro An-) s = Bip An ,l .

e,o Al*t s = ,j0,, nl* * ,,0 *,, = ',i 4.^ 'o

karena Sro, n = 0 menurut Soal 54 (a). Dalam turunan kovarian, Bro. g'o d^n a'o Arpu, diperlakukan sebagai

k onstanta-konstanta.

GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL DALAM BENTUK TENSOR.

57. Buktikanbahwa ,liv Af = + ]-rG O'r./g dx*

Divergensi dari Ap adalah kontraksi dari turunan kovarian dari Ap, yakni kontraksi dari,4p,o atau

Ao , o. M^ou. dengan mempergunakan Soal 45 (c),

dtv A,t = tti = #. {r'r}rt

= anr*,? rnfitAh = gt_*/_?Gyeo = +3.rG^0,Erk '7rk"''u'" Zrh G arh' G ErP.-

58. Buktikan bahwa V2e = t #rG ,o'$r.Gradien dari O adalah grad iD = VA = J!, yang adalah sebuah tensor kovarian rank satu (lihat

ZrrSoal 6 (b) ) dan didefinisikan sebagai turunan kovarian dari'6, ditulis @,"' Tensor kontravarian rank satu

yang bersekutu dengan O,. adalah. Ah = ro' #. Maka menurut Soal 5?'

v'o = dlvr"ht?Ql I d - "?Q- ?,r' = G ";{/ c t-' a;-l

59. Buktikan bahwa Ar,, - As,l = * "#

At,q-Aq,t = (?r-{;},,") (*-{;}^) =* *Tensor rank dua ini rtidefinisikan sebagai curl dari ,4,.

Page 204: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

(a) Untuk koordinat silinder xr = p, x2 - g, x3 = z ,

100o p2 ol = p' dan G. p (lihat Soal 30 (a) )001

Komponen-komponen fisisnya yang dinyatakan dengan lo, Af, A, d,ibeikan oleh

Ao = {suA1 = At, AO = {AA, = pAr, Az = {so l" = 1"

Maka

a* tt = ft $tG ,rot

= *rP-p,r,l + Srear * !<pA,tlYop@oz

(b) Untukkoordinatbola,tr =r, *2 =0, x3.=0,

100lo r' o = f sin20 dan G = ,2 sLn9 (lihat Soal 30 (D) )

o o 12 sln20

Komponen-komponen fisisnya yang dinyatakan dengan 1". A o, A a diberikan oleh

Ar = ,Qre' = e', Ae = FsoA2 = ,A2, nA = {r*As = ,sin1 As

Maka

at' ,rf = I J.r6nu,,y'g dzn

= =)-[]t#"indt t + ! e s,.l Aa') * I<,,l.lllsln7 d dA " & a--

= i*,rn,, . ;h $,"r4 nrt . ,*#61. Nyatakan l:placian dari (D, v'Q, dul"* (a) koordinat silinder, (D) koordinat bola.

(a) Dalam koordinat silindergr | = 1, g22 = llp, 533 = I (lihat Soal 35 (a) ). Maka dari Soal 58,

vb = t *,,*,0'#,= i r**#, .

&,r. #, . * rnf,lr?.?O. rab ab= ;=-(P=-) +;---I- a J-aP dp dp P'4, 2"2

(b) Dalam koorrlinat bola gt I = l, g?2 = !lr2 , g33 = l/r2 sin2 g (lihat Soal 35 (D) ). Maka,

vb = * *,*,*"#,= F*;E t$r*"r,4 #, - # 1"r"a $r - $,;fu S,r

Page 205: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR 201

,* *(s,"a#) . Tfu

TURUNAN INTRINSIK

62. Hitunglah turunan intrinsik dari tensor-tensor beurikul, yang dianggap sebagai fungsi-fungsi diferensiabei

darir: (a) invarian Q, (b) Ai , {r)Ain, (d) A'm^.

a'o

-@'r ? ^aO= i-(r''<-) +r' Or Or

{;"}, #

aq d'q = d+, rurunan biasa.7,q dt dt -

(#.{;:},) # =#* +

4 . \;")r #(# {;},: .{;:},,;)#

# {;},:# .{;:} ^,#

(*-i;) e,--{;}'*1.

se!ht") Tr

i ,q.J daA-''k,q dt

Menurut hipotesis,

-jA-,.h

,,,$ = ^l:,,,#

- {;},*, . U"} n;:.{1"}'i:") #

{;,},:1, # - {;i,* # - \:,1^.I" #.{;:}';i"#.{:")^l:"4

63. Buktikanbahwaturunanintrinsik darig.o, gio drn 6ro adalahnol.

'ff= u,,,,,*=,' * = rr,n# =,, t4= r,,#= 0 menurutsoar'4'

ih.lA:

Lnnd.

TENSOR RELATIF

64. Jika Ap dan BT berturur-turut adalah tensor-tensor relatif berbobot w1 dan w2, perlihatkan bahwa hasil-

kali da[am dan luarnya arialah tensor-tensor relatif berbobot ], r + v/2 .

-r* }tl ?2" ?rt ^r.st--' 7rr ?rs E/ t,u1 }zi ?r9 ,f' z,p ?;k "s' nl*1L

Page 206: Analisis Vektor

2O2 ANALISIS TENSOR

Ilrsrr-karj ruarnya adalah i'o Al' = ft+uh # ## # *4* ^: ,:

sebuah tensor relatif herbobot w, + ryr. Sebarang hasil-kali dalam, yang adalah kontraksi dari hasil-kali luar,adalah sebuah tensor relatif berbobot h, I + rr.2.

65. Buktikan bahwa 1f adalah sebuah tensor berbobot satu yaknr sebuali tensor keraparan.

Elernen-elemcn dari determinan g yang diberikan oleh 8rn bertransfornrasi menurut

a,f a,etia= aot|ffrpq'Ambitkan determinan dari kedua berah ruas, a = l# I l5l t = !28 ut", y'f = rtf?, yane

mana memperlihatkan bahwa fadalah sebuah tcnsor relatif berbobot satu.

66. Buktikan bahwadV = G dr! ih2 ... drx sebuah invarian.

, *.nr.r, Soat 65, dV = G dv7 d* ,,. drt = G I ar, a* ... azx

= G lltrl r" di2 ... dJ = t/i d,x" drz ... drx = dY

Dari sini diperoleh bahwa jika Ohdalah sebuah invarian, maka

{ t6av = {...[**Y

untuk sebarang sistem koordinat di mana integrasinya dihitung melalui volume I/ daiam ruan.q berdimensiN. Pernyataan yang serupa dapat pula dinyatakan untuk integral-integral permukaan.

SERBA ANEKA PENERAPAN

67. Nyatakan dalam bentuk tensor (a) kecepatan dan (D) percepatan dari sebuah partikel.

(a) Jika partikelnya bergerak sepanjang sebuah kurva ,u = ,o(r) dimana r adalah parameter waktu, maka

h itxb"' = i adalah kecepatannya dan adalah sebuah tensor kontravarian rank satu tlihat Soal 9).

(b) Besaran '# = # pada umumnya bukanlah sebuah tensor dan dengan demikian tak dapat menya-

takan besaran fisis percepatan dalam semua sistem koordinat. Kita mendefinisikan percepatan aft se-

bagai turunan intrinsik dari kecepatan, yakni ob = &'& yang adalah sebuah tensor kontravarian ranksatu.

68. Tuliskan hukurn Newion dalam bentuk tensor.

Anggaplah massa M dari partikel sebuah invarian yang tak trer'gantung pada waktu r. Maka Uoh = fsebuah tensor kontravarian rank satu disebut ga-ya pada partikel. Jadi hukum Ncq'ton dapat ditulis

Fh = t{ok = -*

Page 207: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

69. Buktikan bahwa al = 6'o = t'u * ! * \ 4/ al- E, - aT-\pqf dt 7t'Karena ,k sebuah tensor kontravarian, maka menurut Soal 62 (D) kita peroleh

&[ = duh * 1t\,,rarq = d'rh - l'\"ed& = dt - \q"f " ;r - dt2 lqPl- a,

a',b I kl drl drq= dT * lrol dt dt

70. Carilah kontponen-kornponen tlsis dari (a) kecepatan dan (D) percepatan dari sebuah partikel dalam koordi'

nat silinCer.

(a) Dari Soal 67 (a), komponen-komponen kontravarian dari kecepatan adalah

dxt dP dx2 dd , drt dz

dr dt' dt dt dt dt

Makr. komponen-komponen fisis dari kecepatan adalah

- dx7 dP .- dx2 dO .- di tlz{E "

= fr, rUi = Pi; dan ,toT' d,

di mana dipergunakan 6r= l, 6z= P', Su= t.

(b) Drri Soal-soal 69 dan 49 (D). komponen-komponen kontravarian dari percepatan adalah

, tr, ( tl dr, dr, tp ^.@_ca' = dr, * 1r, I d, d, = 7;r - P{Tr

- d2*t (zldr,d*z izldr2d*r tO 2dpdOa' = 7v . trrlT; d, * lrrlt d, = zP ' Vli'ltff t,dt dt.

Maka komponen-komponen fisis dari percepatan adalah

Err' = b - PO', {ro" = P,i * zbf dan e o3 "i

di mana tanda titik menyatakan turunan terhadap waktu'

71. Jika energi kinetik 7'dari sebuah parrikel bermassa M yangkonstan dan bergerak dengan kecepatall )ang

bcsarnya v diberikan oleh I = !Ma2 = iMSr, it ie, buktikan bahwa

d.aT. ar = Ma.i\ u) at - "'luh

di ntanaap tnenyatakan komponen-konrponen kovarian dari percepatan.

Karena r = *xsrr;f ;q , kita peroleh

# = ,u!4;rt, # = uro,rn dan :,#, - N(thq .fu, r,

203

Page 208: Analisis Vektor

204 ANALISIS TENSOR

Maka ar31, - !1 = u( , ;q *:fu *i ;c - La$n;p;q\tr'Zik' ?,k "\"pq- iJ- - -rTF" ^ /

= u(,ouo r i,*.*-*,r*)= u(cpq'nq + lpq.*j;t ;ey

= *shr(, - {J,} o, *) = Nsn o, - Hoh

di mana dipergunakan Soal 69. Hasil ini dapat dipergunakan untuk menyatakan percepatan dalam berbagaisistem koordinat.

72. Pergunakan Soal 7l untuk mencarikan komponen-komponen fisis dari percepatan sebuah partikel dalamkoordinat silinder.

Karenads2 = df +p,af2+d22, u2 = r*f = b'*p'€+L2 dan T = i6u2 = !U1i:2+prf *2r1.

Dari Soal ?1 dengan *t = p, x2 = Q, x3 = z kita dapatkan

at ='i- p$', * = fi<fot, as = ?

Maka komponen-komponen fisisnya diberiican oleh

+, +, + atau ii- otr,i fi<c,ot,;!t* vgD {gs

karenagl r=1, Ezz = g2, gtt = 1. BandingkandenganSoalT0.

73. Jika gaya kovarian yang bekerja pada partikel diberikan oleh f, = - 34 di mana V(rr, ....,rNy od.lrhP }xhenergipotensial.perlihatkan O^n*^ .f,<fu) - # = 0 di mana L = T-V.

Dari L = I-r, +3 = g karena / tak bergantung pad,a xk . Maka dari Soat ?1,diE di?

d,Ar. ar _ u^ _ D _ 7v a,Zt. ?r;raru, - iJ = Mok = Fk = -# dan ;(#) -;j = o

Fungsi I disebut I'agrangian. Persamaan yang mengandung 1- di atas disebut persanodn Lagrange,yang cukup penting dalam mekanika. Menurut Soal 50, hasil ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa sebuah

partikel bergerak sedemikian .upa sehingga fh ,n, sebuah ekstremum (extremum). Pernyataan ini dise-

but prinsip Hamilton.

74. Nyatakan tdorelna divergensi dalam bentuk tensor.

Misalkan lI mendefinisikan sebuah medan tensor rank satu dan rn menyatakan normal satuan berarahkeluar pada setrarang titik dari sebuah permukaan tertutup S yang m6nyelubungi V. Maka teorema diver-gensi menyatakan trahwa

Page 209: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR 205

fi{ ek,o av = tf Ah u, as

r,sUntuk ruang berdimensi N integral hpat tiganya diganti dengan integral lipat N dan integral lipat duanyadenganintegrallipatl/- l.lnvarianr{',p adalahdivergensi dariAh (lihatSoal 57). InvarianAkvoadalahhasil-kali skalar dari,4E darr u' analog dengan A .n dalam notasi vektor dari Bab 2.

Kita telah dapat menyatakan teoremanya dalam bentuk tensor; karena itu ia berlaku dalam semua sis-tem koordinat karena ia berlaku untuk sistem koordinat tegak-lurus (lihat Bab 6). Juga lihat Soal 66.

,t yJ:fi1,r,i'i:ffi.; Maxwerllo)dlvB=0. (6)dtvD =4np, (c)VxE=- l* , @)exn--!fl

Definisjkan tenso.r-tensor Bk, Dk, Eo, Hu, Ih dan anggaplab p dan c invarjan-invarian. Maka persamaan-persamaannya dapat dituliskan sebagai

h(o)BI=C

h(b\D,u=|np

k1 -61he6- = -r?aJ arau €ihqE = r?aJE,q c ?t h,q c ?r

@)-€ihqrr,r= 4 ,ihqHn,q= -+Persamaan-oersamaan ini membentuk dasar teoi elektromagnet.

76. (a) Buktikan bahwa.4_ ^.. - A- __ = R"___A_ dimana Ap adalah sebarang tensor kovdrian rank satu.(D) Buktikan uatrwa n/,,n"i.ur"fi't!?lro.. ffiufitiun bahwn Rrq," = 8,, Ri o*

(or Ar,q, = (nt,r),, = * - {J,} ni* - {1,\^o,

. *(* {;},,) - fi}(* {;},*) - fi} (* {;},)

*r- *t)^, - {;;} * {J,} # .{;} \:,1^r

- {#* .lt,l{l,l^,Dengan mempertukarkan q dan r dan kurangkan, kita dapatkan

At,q, - At.,q = {;} {:,1^, - *{i,l^,- {;,} {:,1^r. * {l,l^,

= {;} lt,)^, - ;} {;,1^, - {;} \*l^, . *{J.},,=*! A.pqr 1

Page 210: Analisis Vektor

206 ANALISTS TENSOR

dn,ana *i,.-={;}{;} -*{J,} -{i,}{;,} .*{J,}Gantikan 1 dengan n maka diperoleh hasilnya.

(b) Karena A o, o, - 1p, ,, sebuah tensor, Rln, 1n sebuah tensor; dan karena ,4, adalah sebarang tensor.

maka menurut hukum hasil bagi, Rnoq, adalah sebuah tensor. Tensor ini disebut tensor Riemann-

ChristotJel dan seringkali ditulis Rlo, Ro'r'!, atau secara sinskat R'jn..

(c) Rpqrs = &,rrR1,q, adalah tensor sekutu dari Rf,o, danden1an denrikian adalah sebuah tensor. Tensor

ini disebut tensor kelengkttngan kovarian dan sangat penting d,alant teori relctivitas untum Einstein.

Soal-soal Tambahan

Jawaban untuk Soal-soal Tambahan diberikan pada bagian akhir dari Bab ini.

77. fuliskan masing-masing yang berlkut ini dalam kaidah penjumlahan

(a'yarxTxs +arx2zs +... +arxxxs @48'*,lja' + el"ns *... *,qlnx

(b')A2tB.+AaBr+ A%8"+...'A2[Bx (d')g2LBt + g22sct+ g2llst+ t2at+t

G) B'fr' + afi2 + 8r' * ,T

78. Tuliskan suku-suku dalam masing-masing penjumlahan berikut-

@ *hG th'1, N=s p1 eik a! rj, r=2 r.c\ # #79. Tempat kedudukan apakah yang dinyatakan olehaoxhxh = ldimana *h, k= l.2,...,Nadalahkoordinat-

koordinat teqak-lu rus, a o adalah konstanta-konstanti' dan N = 2, 3 atau 4 ?

80. Jika .n/ = 2, tuliskan sistcm persamaan yang dinyatakan oleh a o rxq = b ,.

81. Tuliskan hukum transformasi untuk tensor-tensor @ A! . (il Blk, G\ Cnn, @l A*.

82. Tentukan apakah besaran-besaran BQ, k, nt)dan C(7, k, m, ilyang bertransformasi dari sebuah sistem koor-dinat xt ke yang lainnya ^ti menurut aturan-aturan transformasi berrKut

(a) B(p.r',, = Yr# # B(i'k.n) rbt ctp,s,r,s) = *### c(i,k,n,n)

adalah tensor-tensor. Jika demikian, tuliskan tensor-tensornya dalam notasi yang sesuai dan sebutkan rank-nya serta orde kovarian dan orde kontravariannya.

83. Berapa banyakkah komponen-komponen yang dimiliki sebuah tensor rank 5 dalam ruang berdimensi 4 ?

84 Buktikan bahwa jika komponen-komponen dari sebuah tensor berharga nol dalam satu sistem koordinatmaka mereka tetap berharga nol dalam semua sistem koordinat.

85. Buktikan bahwa jika komponen-komponen dari dua buah tensor sama dalam satu sistem koordinat makamereka tetap sama halam semua sistem koordinat.

Page 211: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

dari fluida adalah sebuah tensor,

207

bukan sebuah ten-86. Perlihatkan bahwa kecepatan

sor.

87. Carilah komponen-komponenp,0, z, (b) koordinat bola r,Iah 2-r - z, x2.1,, .l'2.

tetapi dlkdt

drb k-;-=udt

kovarian dan kontravarian dari sebuah tensor dalam (a) koordinat silinder0, Q jlka komponen-komponen kovariannya dalam koordinat tegak-1urus ada-

88.. Komponen-komponen kontravarian dari sebuah tensor dalam koordinat tegakJurus adalah yz,3,2x + y.Carilah komponen-konrponen kovariannya dalam koordinat silinder parabolik.

b." -b.n n, b o r -6^9.r.s8e. Hitungtah A\6c Bl'. (6) E; E" l'", rcl 5i 5i E' ral En E; E; E;.

90. Jika Ap"q ad,alah sebuah tensor, perlihatkan bahwa Apr adalah sebuah tensor kontravarian rank satu.

91. Perlihatkan bahwa

nya.

D;o - {t i = t' bukanlah sebuah tensor kovarian seperti ditunjukkan oleh notasi-[o it k

92

93

94

95.

1 O 1-r!Jtka AU = # nn buktikan bahwa ,4n = # n,

t*a i! - a;2 a" z1 brktikan bahwa ,1 = ?x4, ?ir =b' DrQ Zr' ?z? 7S '1"'

Jika O adalah seouah invarian, tentukan uo^t.un ffi sebuah tensor.

j'

tilra Apq dan B

" adalah tensor-tensor, buktikan bahwa Ae, B' dan ApqBq adalah tensor-tensor dan tentukan

rank dari masing-masingpya.

96. Perlihatkan bahwa llka1d-! adalah sebuah tensor, maka.4',i* oi! adalahtensorsimetrik d,anApq - Aq"p,

iensor anti-simetrik.

l0l.

l 02.

l0 3. Buktikan bahwa syarat perlu dan cukup agar sebuah tensor rank R menjadi invarian melalui kontraksi yangberulangkali a.ialah bahwa R adalah genap dan bahwa jumlah indeks-indeks kovarian dan kontravariannyasama-dengan R/2.

104. Jika A-^ dan 8"" adalah tensor-tensor, perlihatkan bahwa hasil-kali luarnya adalah sebuah tensor rankpaempat dan bahwa dapat dibentuk dua buah hasil-kali dalam darinya yang berturut-turut memiliki rank duadan nol

97.

98.

99.

100

llka Apq dan Br" adalah tensor-tensor anti-simetrik, perlihatkan bahwa C"q = Aon B ""

simetrik.

Jika sebuah tensor simetrik (antisimetrik), apakah kontraksi yang berulang kali dari tensor ini juga simetrik(anti-simetrik) ?

Buktikan bahwa A orxp

xq = 0 jika .4rn sebuah tensor anti{imetrik.

Berapakah jumlah terbesar komponen-komponen yang berbeda yang dapat dimiliki oleh sebuah tensor kon-travarianrank dua yangsimetrik jika (a)N=a, @)N = 6 ? Berapakah jumlahnyauntuksebaranghargaN?

Berapa ban;-ak komponen-komponen tak nol, selain daripada perbedaan dalam tanda, yang dimiliki sebuahtensor kovarian rank tiga yang anti-simetrik ?

Jrka Apq sebuah tensor, buktikan bahwa kontraksi rangkapnya menghasilkan sebuah invarian.

Page 212: Analisis Vektor

105. Jika ,q@, q)Bq = Cp dimana 8u adalah sebarang tensor kovarian rank satu dan Cp sebuah tensor kontrava-

rian rank satu, perlihatkan bahwa.4(p, q) haruslah berupa sebuah tensor kontravarian rank dua"

106. Misaikan Ap .dan Bo adalah tensor-tensor sebarang. Perlihatkan bahwa jika Ae B q C{p, {) sebuah invarian

maka C(p, q) adalah sebuah tensor yang dapat dituliskan C .

t0?.Carilahjumlah.S=A+B,selisihD=A-B,danhasil-kaliP=ABdanQ=BA,dimanaAdan8adalahmatriks-matriks.

(a,A= (; -l) . B= (-; -:)I z o r\ I t -1 z\

(b\a=l-r-r rl. B= [, ,-nl\-' t 4l '

\-, -, ,/

108. Carilah (3A - 2B)(2A - B), di mana A dan B adalah matriks-matriks dalam soai sebelumnya.

109. (a) Buktikan trahwa det (lP) = {aet e} {a"t a} untuk matrik-matriks dalarn Soal 107.(b).Apakah det(AB) = det(BA)

/ \ l-s z -t\rlo.Mis,rkanr=(: -ii,). B= (;: :)Perlihatkan bahwz (a) Alterdefinisikan dan carilah.4B , (b) BAdan rl + B tak terdefinisikan.

208 ANALISIS TENSOR

lI2. Invers dari sebuah matriks bujur-sangkar A, yang ditulis.4-r didefinisikan oleh persamaan AA-t = I, dimana 1 adalah matriks satuan yang memiliki elemen+lemen berharga satu pada diagonal utamanya sedang-

kan yang lainnya nol.

carilah. -r jika (o) , = (_; -:) (bt A = (? _l i)Apakah A-t A = 1 dalam kasus-kasus ini ?

I r 3. Buktikan bahwa , = (j _j j) tak memiliki invers.

l14. Buktikan bahwa(,48I 1 = j-1,4-l,dinanaAdanBadalahmatrk;-matriksbujur*angkaryangtaksingular.

ll5. Nyatakan dalam notasi matriks p€rsamaan-persamaan transformasi untuk (a) vektor kontravarian (b) ten-sor kovarian rank dua {c) tensor campuran rank dua.

,, cari,ah x,ydan z sehingga

ti i j)(t) H)

Page 213: Analisis Vektor

ll8

t20

/ ' -'\ danxadatah

Tentukan harga-harga dari konstanta X sehingga A)' = )wY' di mana I = I_,u.ur \_3 rl

sebarang nrrrtriks. [larga-harga ], ini disebut harga'lurga karakteristik atau eigenvalue dari matriks '4'

persarnaan F(I) = 0 dari soal sebelumnya untuk nlenentukan harga-harga karakteristik dari matriks '4 ili-

sebut persttrrruun kara*teriiiik untuk .4. pertihatkan bahwa F(l) = 0. di mana F(,4) adalah matriks vllg di.

peroleh dengan menggantikan tr dengan I dalam persamaan karakteristik di mana suku konstant c diganti

rJengan nratriks c.I. dan 0 adalah mairiks yang elernen-elemennya berharga nol (disebut matriks nol)' Hasil

ini adalah hal khusus dal- rcctrettu llarttilton-Ca1,lc.f yang menyatakan bahwa seLruah matriks memenuhi

persamaan karakteristiknYa.

I rlBuktikan hrhiva (,{Bi = B' A'

Tentukan tensor metrik dan tensor metrik konyugat dalam koordinat-koordinat (a) silinder parabolik

(b) silinder eliPtik.

Birktikan bahwa di bau ah transformasi afin i" = af,xp + bt ' di mana a! dan br adalah konstanta-konstanta

sehinsga fo,' = 6p. tak ada perbedaan antara komponen-komponen kovarian dan kontravarian dari sebuah

t""r.5"1uf, hr; ih;r;t di mana transformasinya dari sistem koordinat tegakJurus yang satu ke yang lain-

nya, nraka tensor-tensornya disebtrt tentor-tensor kartesii'

l2l. Carilahgdany'k yangberhubungandengands2 =3(d-rr )2 +2(dx212 t 4(dx3)2 -6d\tdx3

i22. lika ,qh = dh Ai, perlihatkan bahwa A = g jkAh dan sebaliknya'

123. Nyatakan hubungan antara tensor-tensor sekutu berikut

(a) Apq dan Aiq, O) .41;' dzn Apr,<") Ai'i dan A!k,.

r24. perlihatkan bahwa (o't A;q a!r, = /q atrs. o\ Allrer' = e)1rsfr = ni* '!r '

Karenanva' de-

monstrasikan hasil umum berikut bahwa sebuah simbol dummy dalam suatu suku dapat diturunkan dari ke-

dudukan atasnya dan dinaikkan dari kedudukan bawahnya tanpa merubah harga dari sukunya'

125. perlihirtkan bahwa srkaAior= *,nrr,makaApqr=BorCrdanA'a'=.Bo,qCr.Karenanya'demonstrasikan

nasil berikut bahwa sebuah indeks bebas dalam sebuah iensor dapat dinaikkan dan diturunkan tanpa mem-

pengaruhi berlakunYa Persamaan'

126. Perlihatkan bahwa tensor-tensorg ,r'foo dan 6p adaiah tensor-tensor sekutu'

)-s -ik ?xf f q ?zb= qc"#' (b) c' d-;

= t a,,

ANALISlS Tt:NSOR

127. Buktikan

128. Jika -4p sebuah medan vektor, carilah vektor satuan yang bersangkutan

sudut-sudut yang dibentuk oleh vektor satuan 3 dimensi U' dengan kurva-

Ur,2,+,Fto {to y'to

130. Tenrukan sirnbol-simbol christoffel jenis pertama dalam koordinat-koordinat (a) tegak-lurus' (b) silinder

dan (c) bola.

- 7r1(o) c;t +' Oxl

129. Perlihatkan bahwa cosinus dari

kurva koordinat diberikan oleh

Page 214: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

I 31. Tentukan sinrbol-simbol Christoffel jenis pertama dan kedua dalam koortiinar-koordinat (a) silinder para-bolik, (b) silinder eliptik.

I 32. Carilah persamaan diferensial untuk geodesik dalam koordinat-koordinat (a) silinder, (b) bola.

I 33. Perlihatkan bahwa geodesik pada bidang datar berupa garis.garis lurus.

134. Perlihatkan bahwa geodesik pada permukaan bola adalah lingkaran-lingkaran besarnya.

135. Tuliskan sinrbol-simbol Christoffel jenis kedua untuk metrik

ds2 = 1ctxr12 + l@rf -@L)2)(dr2)2

dan persamaan geodesik yang bersangkutan.

136. Tuliskan turunan-kovarian tcrhadap -tq deri masing-masing tensor berikut :

@ AlLb, 6 Alt:. <q Aln, 6 AibL, @ Alk.

137. Carilahtrrrn.nkovariandari (o)errA , (b)AJ Bh, @SIAJ terhadapxq.

138. Pergunakan hubungan,4i = tinAo untuk memperoleh turunan kovarian-4 j dari turunan kovarian,4o.

139. Jika O sebu:h invarian, t'uktikan bahwa <P,rn = O.,Ip,yakni urutan dari turunan kovarian tidak penting.

140. Perlihatkan bahwa € dan epqr adalah berturut-turut tensor-tensor kovarian dan kontravarian.Pqr

l4l. Nyatakan divergensi vektor.4p dalam komponen-komponen fisisnya untuk koordinat-koordinat (a) silinderparabolik, (D) paraboloid.

142. Carilah komponen-komponen tisis dari grad @ dalam koordinat-koordinat (a) sihnder parabolik, (6) silin-der eliptik.

143. Carilah V26 dalam koordinat silinder parabolik.

I44. Pergunrkan notasi tensor untuk mernperlihrtkln bahwa (a) div curl A' = O, lb) curl grad O = 0.

145. ftitunglah turunan intrinsik dari nrcdan-rlcdan terrsor lrerikut, anggaplahsebagai lungsi-lung:i diferensiabelrlrri I :

{a)Ao, $).:io, (r)A Bk, kt)AArk di rnana<lrscbuahinvaridn.

146. ('aril;rh lunrnrlr inlrinsik diri (o) SiOAb, {t) aJOer, <rt f r.tl 4.

147. Bukrikirrr firr,, nrn.l = ,rlq b * .

148. Perlihatkitnbahwajikatakadagayaiuarylngbckerja,ntakascbuahpartikelrlenganmassakonstanbergeraksepan.jang gt'odcsik yang diberikan olth

9,d, = o.d-s ds

Page 215: Analisis Vektor

I 50.

l5t.

ANALISIS TtsNSOR 2lt

Buktikan bahwajumlah dan selisih dari tiua buah tensor relatifdengan bobot dan jen:syangsamaadalah

juga sebuah tensor relatif dengan bobot dan jenis yang sama.

ll1a Alq adalah sebuah tensor relatif berbobot w, buktikan bahwa I t /? zlpq adillah sebuah tensor absolut'

Itka A(p, s) B:" =a;" ,0, mana B,qr adalah rensor relatifsebarang tjengan botot u i .lan c|, adrlrh tensot

relatif yang diketahui dengan bobot rt 2. buktikau bahwa,4(p, q) adalah sebuah tensor relatif berbobot rt'2

w, . Ini adalah sebuah contoh dari hukum hasil-bagi untuk tensor-lensor relatif

152. perlihatkan bahwa besaran (;U, k) d,ari Soal-soal 1'ang Dipecahkan nonlor 3l adalah sebuah tensor relatif

berbobot dua.

153. Carilah komponen-komponen fisis dari (a) kecepatan dan (D) percepatan dari sebuah partike'l dalam koor-

dinat bola.

154- Misalkan A" dan B' adalah dua buah vektor dalanr ruang berdimensi tiga. Perlihatkan bahwa jika L dan g

adi,lah konstanta-konstanta, maka C' = M' + pB' adalah sebuah vektor yang terletak dalanl bidang dari

A' danB'. Apakah interpretasinya dalam ruang yang berdimensi lebih tinggi ?

155. Perlihatkan bahwa vektor normal terhadap permukaan $(xt, x?,.t3) = konstan diberikan oleh Ap =

,fn #. Carilah normal satuan yang bersangkutan'

155. Persamaan kontinuitas diberikan oleh V'1ou) * * = Odt

fluida. Nyatakan persanlaannya dalam bentuk tensor.

di mana o adalah kerapatan dan I kecepatan

157. Nyatakan persamaan kontinuitas dalam koordinat+(oordinat (a) silinder dan (b) t'ola.

I 58. Nyatakan hukum Stokes dalam bentuk tensor.

159. Buktikan bahwa tensor kelengkungan kovarianRrn," adalah anti-simetrik dalanr (a) p danq' (b)rdans'

(c) q dan s.

160-BuktikanR =Rpqrs rspq

16l. Buktikan ("\ Rpqrs * Rp"gr. + Rp,l-rn = 0.

(b) RrqJ"s * Rrqf" + Rr"pq + Rpsaq = 0.

Buktikan bahwa turunan kovarian dalam ruang Euklitl adalah nol. Dcngan deniikian hasil ini nremperlihat-

kan bahwa tensor Riemann-Christoffel dan tensor kelengkungan adalah nol dalam ruang Iiuklitl.

* ,lMisalkan ,' = # rdalah ve ktor singgung rerhadap kurva C yang pcrsar.ttaannya atlalah xp = xp(s) tli

nranaspa:rjangbusur. (a)l)erlihatkan bthwaSorTef =1. (b)Buktikanbah*:grn"#=O yang

r.crnpcrlihltkan baSwa dC = + g adalrlr norrnal satr:a,r tcrhrdap C untuk r yang scsuai.. (c) Bukti-Kas

krn brl,*, 6fl9 rrrt.g.rrrrl tcrlrrJap Nqb.

16 3.

Page 216: Analisis Vektor

112 ANALISIS TENSOR

64. Dengan notasi dari soal terdahulu, buktikan :

(o) srrf tq=0, (b) %s/Y=-K atau Er/rY+xrq'1 =s.

Hasil ini dengan demikian memperlihatkan bahwa ,' = +(Y - xIl1 adalah sebuah vektorsatuan

untuk , yang sesuai, yang ortogonal baik terhadap Tp dan Nq .

.65. Buktikan run.Ius-rumus Frenet-Serret

* = .ro, { =,ur -*rr, * = -,n'di mana Tp , Np d,an Bp adalah vektor-vektor singgung satuan, normal satuan dan binormal satuan terhadap

C, dan x dan r adalah kelengkungan dan torsi dari C.

166. Perlihatkan bahwa ds2 = c2(dr4f - drh drh 1N=s1 invarian di bawah transformasi linear (affine)

7t = y67-ux\, 72 = x2, -xo = x3. ,a = 7@a - € *,

di mana 1,$, c dan v adalah konstanta-konstantap= vlc d,ar.7= (l - A\-'/'. {ni adalah transformtsi Lorentzdari teori relativiias khusus. Secara fisis, seorang pengamat pada titik asal dari sistern ;rt melihat suatu peris-

tiwa pada kedudukan xr , x2, x3 pada saat x4 sedangkan seorang pengamat pada titir. asai dari sistem ii me-lihatperistiwayangsamaterjadipadakedudukanll.n2, x3 pada saat-a. Dianggap bahwa (1) sumbu-sumbu xl dan- I trerimpitan, (2) sumbu-sumbu positif x2 dan x3 mhsing-masingnya sejajar dengan sumbu-sumbuposrtifi2 dan73, (J)sisterniibergcrakdengankecepatanvrelatif terhadapsisterr,xi,dan (4)ke-cepatan cahaya c adalah sebuah konstanta.

167. Perlihatkan bahwa sebuah batang yang berada dalam keadaan diam dalam sistem ii 1xi) dan terletak sejajar

dengan sumbu ii(x') da.r panjangnira Z dalam sistem ini kelihatannya memiliki panjang yang berkurangL \n -e 'Gejata ini disebut konrra ksi Loreniz-Fitzgerald.

JAWABAN UNTUK SOAL-SOAL TAMBAHAN

71. (a) aoxkxs (b) A2iBj o elnh @,1 s29 srr,N=4 @\ 4;r,N=z

zs' r"r-alr{;1r * };tGe', * +-<Gn"t r"t49r:-dw - -a/ a,x

61 ,lr1 nprc, , ,1,1 nlrc, + #af,c, + l,2of;c, (c)

aa1 a7*' a" bl'* ' a'l a;"

79. ElipsuntukN= 2, elipsoiri untuklY= 3. hiperelipsoid untuk N=4.

( a..rl + a.nx2 = bt80'

t ";;,' 'o'o,' - b2

bo r-y' --9 A,k .ii i _ )*, ?rf, .8r. (o) r" = -a,, # # ^i rc) cpq = # # r^"

A^r --6 ^-oo\*q'= =

5 YY ul' G) i^ = \ e*dxl dxr dr p dis " dl.,

Page 217: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

82. (a) B(i, ft, rz) adalah sebuah tensor rank tiga, kovarian orde dua dan kontravarian orde satu. Ia dapat ditulis

B:. @) C(j, k, m,n ) bukan sebuah tensor.

83. 4s = 1024.

81. (q) 2p cos2 $ - z cos @ + p3 sin2 $ co.'6,

-2p2sin dcosd + pzslnO * fslnScos3$,pz sin S.

lb) 2r sin20 cos2@ - r sind cos 0 cosf + rs sina6 sln2@ cos2S + P sln9 cos2d sln@,

2r2sin9 cos6 cos2@ - 12cos26 cos@ + rasins9 cosd sirf $ cos2$

- r3sin29 cosd sin@,

-2r2sitf0 sind cosd + r2sing ccs0 sin@ + rasina€ sint' cos3@

213

u2uz * 3u, 3u - uo2z, u2 + uu - v2

Ia bukan sebuah tensor

8s. rol Bfs, o) th' , r"l 51, ral ru88.

)4. 95. Masin

100. (o) 10, (6) 21 , (c) N(N+ 1)/2

,o?.(o)r=(;;), ,= {-;

-:)

(b,s-[; I ?) D= fii,08. (a) (;li -ll) ,,, (_.1 j:: 1;:)

(l) (fi -il()1,,,

,,, ,."\

"'\;, :-:) €EilF^'

1

r0r. N(

P = (';

-t) P

1)

0

2

,r, ( -: ,;

(i

g-masing rank 3 dan I

(N- 2)/6

98. Ya.

-:)

'= (-i -l; ri)

,= (::-E 6\-3 -il)

-;)

lll. t---l ,y--3, z=2

r1z. (c) lr',r r)rl *, til ri: i) ""

€*sA8

Ax

Page 218: Analisis Vektor

214 ANALISIS TENSOR

116.\=4,-1

0 0\

=+-,, \"- J."- , /

[t il ffif il V,) ffirill1e (a) ('i"':,,l) (

:

(6) ('-t'"1+srn2u),.",*,0,."*,, i), (*1=*0

1

"?Cilh'; + "D'")0 i)

t?t.

123.

126.

jL lttt u r\,=6, lsi}y = | o rtz ol' \i o'l

bah:'qn(.) A = s,'Aj , tu, n.o = li r'L njo* nr 4o'= spisra{L ei.ht

bbA, A'q",mYang lain semuanya nol

lzz,t) = -p , ln,il = lzt,z) = p. Yznglain semuanya nol

lzz,t) = -', [as.r] =-r sta20, [rs.z] = -12stn9 cos0

[n,21= [o,z) = '. [gt,r] = [rs,r] = r sln20

[ez,s] = [zs,s] = 12 sin9 cos0. Yang lain semuanya nol

[rr,r] = ", fzz,z)=,, [rr,z] = -", Lzz,r) = -u,Irz,r] = [zr,r] = ,, lzr,z) = ln.il = ".

{,i} = ?+}, l:,\ =;}, {;} = i;?, t,1} = ?r},

{,1}= {;} = ,.}_a".'{;} = {;}= ,-!u", Yangrainsemuanvanor

[rr,r] = 2a2slnhucoshu, lzz,z) = 2c2sinucoso, [rr,z] = --2a2slnucosuLzz,i = -2a2slnh u cosh u, Irz,t] = [zr,r] = 2a2 slnu "o"r, Izr,z] =ln,il'2c2slnhu coahu

.f, \= sinhu cosha J, \ = slnu cosu J , \ =-sinhucoshu.l il f -

"t"h'" -"tr'r' ).zz f -

"i"h', -"1r'r' \zz I slnh2r +sln2u'

Jr\= -stnucosu ,1\ =/t\= sinucosuttt i stnh2a +sin2u' \2, I ltzJ sinh2u +sin2r'

{; } = {,1 } = #:fr#r: ' yang lain semuanva nor

130. (a)

(6)(c)

131. (a)

(6)

Page 219: Analisis Vektor

ANALISIS TENSOR

*, #- o,fff = o, '# riy'* = ,, * =,

or*-,,n:f -,s#01{4Y = ods- ds

#.?*r:- sinocoso<ofr = o

a'e*?drde*zcoto]1a6=ods2 r ds ds ds ds

{;} =.' {;} = {;} = ata \:,)'#-*,f,=o. #,.af,*;,'*f .vf-,*(ir = o

{ j"} ,i

{;" } ,;* .

{;1 ,J. .

{j"} ,*' .

{;},ii" .

r3?. (o) s.. li" , ,0, ni,,, n. * ,qi a. , G) 6.i e.J4YY4k,qAJ,q

, l-: ) .- 1 E,e"@t Firl*rr"'+u2 Au\ +

fr<y'"2+"'n,)) . ;

ot ,*l-alf,"',r;' e,r + $ <,,/,'* e,t)

r)OrEOaOl4Z. (a) -r--1 {: e, + -r-i- =

e, + ii e,y'u2- u2 au v's2qrz dv - dz

(D) -:_-]_-- a+ ;+ ao

ay'sinhzu . "rnr, (Ii ez +

;er) t

; ",

di mana e* e, dan e, adalah berturr,lt-turut vektor-vektor satuan dalam arah pertambahanu, v,danz

, [- D'QIa3. -;-:-.1 * +

y'l u' l au'

bA_

,nr. ("1 J = A" ^hr '',Y

1x212 - 6L12'Yang lain semuanya nol

ib(a\ A"L,q

ikttt.ll h,q

@ ,q!.R LfrIq

ibL<al A^,q

jk(e) A,

Lnntq

aei"=;d"'-;kdA:

LN

-OOx'

erj""kln

aT_ ikldA;-:---

dx\_ihdA:

Ltln.Jdt'

{j"},#

{;"} 4,,

{;,}4',"

{;:} ,,x . {l } ,,1'"

- {;},jo . {J,},;- .

- {,; } ^': - l,i,} ,',1 .

- {;l^'*,- {,; },,i--- {;} n',u' .

ll,ln11' .

- {; } ^i:"- l),|^,i.-

^2. r dA"

uu 7"2

1T * 1,2*,21Q1ov' J

*= (} {;},") * +-{;\^,#

Page 220: Analisis Vektor

216 ANALISIS I'LNSOR

*,+ = +. {;"} n'o# - {i} n" #t.rfreTa'l = Y,o.,,#

= (# - {;} ^"#)ab * '<i(# . {j"}"#)

,r,*,orj, . .#. *Cbt

1{6a ,,.4 ,.,#lii: il;}'r#)'*c,,,,jp = ':(?- {;} ^"#) = '* - {i,l*#n,,,ori$ = trh(# {;},1 'i.l;"1:;#)

ln3. (o) i, 16,, er,l| $(D) i - ,# -, atr,20 $2, L

t<C4 - r stal .or0 $", # *622tn20 $1

,*. ?g+ -* *

- # = 0 dimanavqadatahkomponen-komponenkontravariandarikecepatan

1!2. (o) fi<r,,t * $roa * $ro,4 . + . X = o

tal 3ror,l *!<.,cl *=f1o,"1 *rr4+f cotl) -9 = odrdAdO'dtdi mana vl, 12, dan rJ adalah komponen-komponen kontravarian dari kecepatan.

tts. f ^^

4 ds = - [{ ,"' ^r,,

uf ds di *un^ d adalah vektor satuan singgung pada kurva ter-'lc Pds

J

tutup C dan trP adalah normal satuan pada perrnukaan S yang memiliki C sebagai batasnya.

Page 221: Analisis Vektor

AAerodinamika, 84Aliran panas, dalam keadaal tunak, 129

medan skalar, 3medan vektor, 3

Aljabar matriks, 172vektor, 1,2

Analisis tensor, 74, t40, 160,168-216Arah berlawanan perpuraran jam, 90Arah negatif, 90Arah perputaran jarum jam, 90Aturan rantai, 78, 179, t 80

I N DEKS

Cutl, {bnjutan)bentuk tensor, lj6,199dalam koordinat bola, 156dalam koordinat ortogonal, 140, 153dalam koordinat siiinder, 15,51, 56&uigradien, 59,70,2lOdefinisi integr3l dari, I 25, 154, 155interprestasi secara fisis. 1 33invarians dari, 82

Cycloid 134

DDaerah terhubung-lipat-ganda, ll2, il4 -lL6Daerah terhubung-sederhana, I 12, I 15. I 16

terhubung sederhana, (simply-connected), 1 1 2, I I 5,116

Dapat diorientasikan, I 00biasa, 36. 37parsial, 37, 38rumus untuk, 37, 39, 41, 42urutan dad, 38, 70

Del (v), 58, 59, {lfuat juga Gradien, Divergensi dan Curl)bentuk operator integral r:ntuk v, I 09, I 25irwarians, 82rumuvrumus yang mengandung v, 59

Delta Kronecker, 170, 180, lglDelta, Kronecker, 170. 180. l}l (tihat juga simbol KroneckerDescartes, folium dari, 16 1

Determinan, kofaktor dari, 1 73, 1 gg

cud dinyatakan sebagai, 58, 59dari sebuah matriks, l7Z, )OBdiferensial,42hasil kd: :ilang dinyatakan sebagai, 1g, 24hasil-kali tripel skalar dinyatakan sebagai, lg, 2g, 29perman Jacob, (lihat persatwan tacob)

Determinan, perkalian dari, 161Diagonal dari matriks bujur-sangkar, i 72Diagonal utama, I72Diferensiabel, medan skalar, 58

medan vektor, 58Diferensiasi vektor-vektor. 36-57Diferensial eksak, 84, 94, 1 I 3

B

Bebas, linear, 10, l5Benda-baku, gerak dari, 60

kecepatan da,j, 27, 34Bentuk kuadratik fundamentalBentuk kuadratik fundamental.Bentuk matriks. 151Bentuk operator integraj untukBesar, dari sebuah vekto;, IBidang normal, 39. 48Bidang oskulasi, 39, 48Bidang rectifiying" 39, a8Bidang singgung, 50, 52Bidang jarak titik asal ke, 22

normal, 39, 48oskulasi, 39,48persamaan dai, 15. 22, 29rectifying, 39, 48singgung, 50, 50. 62vektor yang tegak lurus, 29vektor-vektor pada scbuah,nar

Binormal, 39,46,48Brahc, Tycho, 87

CCahaya, kecepatan dari, 82Circumcenter,35Cosinus-cosinus arah, I l. 5.9

Curl, 58, 59,68-73

a iau metrik, I 5 I151

v,109,125

(/Ira, vektor-vektor kopla-

Page 222: Analisis Vektor

218

Di ferensial-diferensial, 3 8

Diferensiabilitas, 37, i8Dinamika, 39 (lihat iuga mekanika)

hukum Newton dalam" (lihat hukum Newton)persamaan Lagrange, 196, 2O4

Divergensi,5T,65-67bentuk tensor dari, 1?6, 199, 200da.lam koordinat kurvalinear, 140, 153

da-lam koordinat parabolik silinder, 163

dalam koordinat silinder, 155, 199, 200dari curl. 59, 70,71, 2lCdari gradien, 59,65invarians dari, 82penggunaan secara fisis, 122

Div, (liha t Divergensi)Dyadic.74*75,82Dyad,74Dyed-dyad satuan, 74

E

I-igenvalue, 209Einstein, teori relativitas dai, 206, 2I2Eksentrisitas, 88

Ekstrim, 195Elemen garis, 172, 187 -189Elenen, dari sebuah matriks, 171

Elemen, garis, l7Z, 187- 190volumc, 139, 140, 161

Elips,64, 142prrak dari planet dalam, 87, 8[luas d-ari, 1 la

Energi, 95kekekalan dari, 95kinetik,94,203potensial, 95

Energi kinetik, 95, 203

FFakto:-faktor skala, I 39Fluks,84,122Fungsi titik, skalar dan vektor, 3

GGaris, persamaan dari, 9, 12

trjntuk simetrik untuk persamaan dari, 9

persamaan-persilnaan dari parameter, I 2

sungap, l3sumber, 13

Garis-singgung, terhadap kurva ruang 39,41' 46, 48' 50

Gaya inomen, 26,27,5lGaya sentral, 57, 86

coriolis,53momen dari, 26,27 , 5lpada partikel, 203,2Mtolak. 86

universal gravitasi, 87

Caya-gaya nyata, 54Gaya-gaya "khaval", 53

nyata, 54resultan. I I

INDEKS

Gelombang sinar sinar, 65Geodesik, l'14, 175,196, 197, 210Geometri diferensial, 3 8, 3 9. 45 - 50, 167, 2l j, -212Ccome tri, diferen sial, (/rft a, Seometri diferensial)Gerak fluida, 67,68,73,118, 119, 128

tak termarnpatkan, 67, 1 28

Gerak, dari fluida, (/iiar gerak fluida)dari planet, 86-88

Gerak, mutlak, 54

Gradien, 58, 59, 60-64, 179

bentuk tensor dari, 176, 199dalam koordinat kuwalinear, 140, 151, 152

dalam koordinat-koordinat bola, 155, 200

dalam koordinat-koordinat silinder parabolik, 1 5 7, 2 i 0

dalam koordinat-koordinat silinder, 155, 156

invarians dari, 82Gran, (lihat jugo gradien)Green, teorema identitas pertana, 109, 123

identitas kedua atau teorema simettik, L09,123teorema dalam ruang, (lihat teorema divergensi)

HHarga-harga karakteris tik atau eigenvalue, 209

Hasil-kali tipel, 18,27 -32Hasil-kali

luar,171,182skalar, 1 83, (/iftar juga hasil-kati titik)tensor, 171vektor, (lilut juga hasil-kali vektor)

Hasil-kali dalam(inner product), f7l, 183

Hasil-kali kot3k, 17

dalam, 171, 183

determinan, 161matriks, 172sebuah vektor dengan sebuah skalar, 2

silang, (lihat hasil kallsilang)tid.k, (lihat hasil-icali titik)

Hasil-kali kotak, 18

Hasil-kali luar, 17iHasil-kali silang, 17, 18, 22-27

bentuk determinan untuk, 24

hukum distributifuntuk, 17, 24

(kegagalan) hukum komutatif untuk, I 7

Hasil-kali titik, 17, 18-22hukum distributif, 17, 19hukum komutatif untuk, 17, 19

. Hasil-ka]i, kotak, 18dalam, 171, 183

determinan, 161

matriks, 172sebuah vektor dengan sebuah ska-lar, 2

silang, (Iihat trasil-kali silang)

titk, (l iha t hasil-kali)Hasil-kali, (/rhar hasil-kali)Heliks, lingkaran, 46

Himpunan atau sistem vektor-vekto: resiprokal, 18, 32,35,139, r50

Hiperbola, 88

Hiper-bidang (hyperplane). 1 78

Hiper-permukaan bola (hypersphere)

Page 223: Analisis Vektor

INDEKS

Hukum asosiatil-. 2. 5, l8Hrrkum distributii 2

untuk dyadik, 74untuk hasil-kali silang, 18, 22, 24

untuk hasil-ka]i titik, I 7, I 8untuk matriks- 172

Hukum Gauss, 137Hukum hasil basi. 171, 185Hukum jaiaran genjang untuk persamaan vektor, 24Hukum Kepler, 87, 88, 103

Hukum Kepler, 87. 88, 103Hukum komutadL 2, 5, l7Hukum Newlon. 39, 5 l, 53

da.lam bentuk tcnsor, 202universal gravitasi, 87

Hukum-hukum aljabar vekror, 2, i9Ht pocycloid. I 34

I

lndeks atas, 168Indeks bebas. 169

lndcks dumm!'. 169Indeksumbral. 169Indeks, dumnr)' atau umbra.l, 169

. bebas, 169lnteg;al garis, 83 88-96, I l3

evaluasi dari. 88-90. I l3sirkuiasi seei pandangan, 84, 133

teorema Green dan evaluasi dari, I l5tidak bergantung pada lintasan, 84, 9 t, 1 I 3, I 16,132

Integral permukaan, 85, 96 - 1 00didefinisikan sebagai limit dari suatu jumlah, 96evaluasi dari, 85

Integral ruang, (lihat integral volume)I4tegral volume, 85, 101-103

didefrnisikan sebagai limit dari suatu jumlah, I 00,Integral, dari rektor, 83-107

garis, (lihat integral garis)permuk aan, (lihat integral permukaan)

tak tentu, 83tentu, 83

teoremFteorema pada, (lihat integral teorema)volume, (lihat intergpl volume)

Integrasi (iihat integral, dari vektor-vektor)Irisan kerucut; 88

J

Jajaran genjang. luas Caii, 18, 25

Jarak antara dua titik, I 1

Jejari, dari kelcngkungan, 39,45,47, 50dari jejari torsi. 39, 46

KKaidah penjumlahan. I 59. I 7'?, l'l'1. 206Kalkulus variasi, 1 75

Keadaan tunak, 3

medan skalar, 3

medan vektor, 3

2t9

Kecepatan luas, 87Kecepatan lelatif, -53

Kecepatan sudut, 27, 43

Kecepatan, 4sudut, 27,43, 52

Kecepatan, sepanjang kurva ruang, 37,40dari cahaya, 82dari fluida, r.:,,dari partikel, 43, 53, 202. 203linear, 27luas. .;7relatif terhadap pengarnat yang diam dan bergerak, 53

sudut, 27,43, 52Kekekalan energi, 95Kclengkungan, 39, 45, 47, I i 3

jejari, 39, 45, 47, 50Riemann-Christoffel, 206tensor, 205

Kepler, hukum. 87. 88. 103Kerangka-kerangka acuan, 59, 168Kerapatan arus, I 28

Kerapatan muatan, I 28Kcnpatan, I28

arus, I 28muatan. i 28

tensor,177,202Kesamaan, oari matriks-matriks, I 72

dari vektor-vektor. IKhayal, gaya, 53

Kinematika, 39, (lihat juga dinamika dan rnekanika)Kcrfiscn difusi, i 29Koefisien-koefisien matriks, r 5 1

Kofaktor, 1 73. 1 88, 1 89Komponen-komponen fisis, 174, 20C, 2M, 2llKomponen-komponen kontravarian, 1 39, 158, 1 59, 1 70

dyadik, 74fisis (lihat komponen fisis)kovarian,139vektor,3, 139, 158, i60, 169

Komponen-komponen kovarian, 139, 159, 150, 169

dari sebuah vektor, 139, 159, 160, 159dari sebuah tensor, i69, 170

Komponen-komponen sebuah vektor, 3, 7, 8tegak lurus, 3

Komponen.komponen kontravarian, 139, 158, i59, f69,170

darisebuah tensor, 159, 169, 170darisebuah vektor, 139, I58, 159, 169

Konduktivitas panas, I :8Kontinuitas, 37, 38

persamaan dai, 67', 128, 2llKontraksi, 1 ; -, 1 82, 1 83Koordinat kurva atau garis, 138Koordinat bipolar, 143, 16 1

Koordinat bola,elemen volume dalam, i47, 148

Koordinat bola, 140, l4l,144,149, 161, 162

curl dalam, 155divergensi dalam, 199, 200geodcsik dalanr,210

131

101

Page 224: Analisis Vektor

220

Koordinat bola (lani utan)

gradien dalamJacobian dalam, 162kecepatan dan percepatan dalam, 162, 2l Ikomponertkomponen kovarian dalam, I 79, I 80Laplace dalam, l,<7, 200panjang busur dalam,57, 148persarnaan kontinuitas dalam, 211persamaan panas dalam, 163

simbol Christoflel dalam, 194,2O9tensor metrik dalam, 187t'ensor metrik konyugat dalam, 189

K oordinat elipsoi dal, 1 43, 16 2Koordinat kurvalinear permukaan; 4qJ7, 157

panjang busur, 57, 148Koordinat kurvalinear, I 3 8- 16 7

dcfinisi,136elcmen-elemen volume dalam, 139,

,l40, 16 i

ortogonal,49, 135panjang busur dalam, 57, 139, 140, 161percepatan, 145,203, ZM, Zllpermukaan, 49, 57 , I 57umum, 150, 156-159

Koordinat oblate Spheroidal, 143, 146, 162, 163

Koordinat ortogonal. khusus, 140* I 44bipolar, 143, 161

bola, 140. l4l,(lihet koordinat bola)elipsoid, 143,162oblate spheroidal, 141, 148, 162,163paraboloid, 143, 161, 163,21iprolate spheroidal, l1Z, 162silinder cliptik, 112, 157, 16I, 16.2, 210silinder parabollk, l4l (lihat iuga koordinat silinderParabolik)silinder, 140, 141, (/rl,a, koordinat silinder)toroid,144

Koordinat paraboloid, L42, 162, i63, 210Koordinat Prolate Spheroidal, 142, 162Koordinatsilinder parabolik, 14l, 146, 157, 16 1, 163, 2L0

curl dalam, 163divergensi dalam,elcmen volume dal.am, 147gradicn dalam,Jacobian dalam, 162Laplacc dalam, 157ptmjang busur dalam, 146persamaan Schrocdinger dalam, 163simbol Christoffcl dalam, 210

Koordinat silinder, 142, 157, l6 l, 210Koordinat Spheroidal, oblatc, 143, 148. 162, 163

prolatc.142. I62Koordinat toroid, 144

K oordinat, kurvalincar, (//ral koordinat ku rvalinear)Koordinat-koordinat silinder, 140, I 4 l, I 44, t4 5, I 6 t, 162

curl pada, 15, 156

divcrgcnsi dari, 155, 199, 200elip ttk, {liha t koordinai silinder clip tik)clcmcn vohrmc pada, 147

gcodesik pada,2l0gradicn peda, 155, 156

INDEKS

Koordinat-koordinat silinder (lo ni u ta n)iacobian iada, 162kecepatan dan percepatan pada, 145, 203,2O4Laplacian pada, 155, 156, 200pzuljang busur pada, 146parabolik. (lihat koordinat silinder parabolik)sinrbot Christoffel pada, 195, 210tensor mctrik konyugat pada, 2 I I

tensor metrik pada, t87Kubik terbelit, 56Kurva tertutup sederhana, 83, 108

luas dacrah yang dibatasi, I l4Kurva, ruang, (lihat kurva-kurva ruang)Kurva-kurva ruang 36.

binormal, 39,46,48jejari kelengkungan, 39.45,47, 50jejari torsi, 39, 46

kelengkungan dari, 39, 56, 139, 150normal utama, 39, 45, 48, 50panjang busur dari, 39, 56, 139. 150percepatan sepanjang, 37,40, 50, 57vektor singgung satuan, 39, 4 1, 46, 48, 50

LLarange, 204Lembar Mocbius, 100Lemniscate. 134Luas daerah, yang dibatasi olch sebuah kurva tcrtutup se-

derhana, 1 14

dari elips, I 14

dari jajaran gcnja:rg, I 7. 25dari permukaan, 105, 106, 163dari segi tiga 25vcktor, 26, 84

MMatriks baris atau vektor, 17 2

Matriks nol, 172Matriks satuan, 172Matriks sesuai (conformable), I72Matriks singular, 172Matriks,

bujur-sangkar, I 72transposc dari, I 72. 209

Matriks, 171, 172, 186, (lihat iugo matriks)pcnjumlahan, l7lsama 172scsu:ri, (conformable), i 72eijabar, 1 72'diagon:rl u tarna da:i, 172di tcrima dari, I 72, 208

clcmc:n-elcmcn, 172invcrs dari, I 72kolom, I72nol,172ordc dari, I 72

singular. I 72Mcdur ktnsc;vntif, 73, 64. 91, 95

gcrrk partikcl di. 95s-u"rrrat pcrlu ilan cukup, 92, 93

Page 225: Analisis Vektor

INDEKS

Medan vonteks, 72ilfedan selonoidal, 68, 73, 122, I.28Medaa sumber, 13,(lihat iu4a sumber)Medan sungap, 13,67, 122Medani oihat skalar dan medan vektor)

irotasional, 7 2, 73, 92konservatif, (lihat medan konservatif)solenoidal, 67, 73, .122, 128sumber, 13, (lihat juga sumber)sungap (sink), 13,(lihat juga sungtp)tensor, 170vorteks, 72

Mekanika kuantum, 163Mekarika, 39, 57, (lihat iuga dinamika)

fluida, 84Mekanika-mekanika fluida, 84Momentum, 39

sudut,51,52,57

NNormal berarah keluar, 50, 84Normal utama, 39, 45, 48, 50Normal, terhadap permukaan, 49, 50, 57 , 62

positif atau beraratr L^cluar, .5 0, 84Nsrmal, utaina, 39, 43

bi-. 39,45,48

o\'Operasi-operasi dengan tenso-i i ? 1, 1,-a,1 85Operator, 58, (lihat Del)

Laplacian, (lihat operator lirptac.ian)turunan waktu, terhadap sislem yaflg diam danrak, 51, 52

Orde, dari matriks, 171dari lenssor, 169

Orthocenter, 35

P

Panas, 128, 129kapasitas, I 27

Panjang busur, 39, 57, 139, 150rielam koordinat kurvalinear ortogonal, I 39dalzun koordinat kurvalinear, 57, 150pada kurva, 57

Panjang, dari sebuah vektor, I 73,174,190Parabola,88, 141Peluru, l03Pemetaan, 163Pengurimgan, dari tcnsor, I 71

dari vektor. 2

Pengurangan, dari tensor-tensor, I 7ldari vcktor-vcktor, 2

Pcnjunrlalan, dari nratriks, I 70dari tcnsor, 169

?cnjurrl'r-han vcktor, 2, 4. 5

hukurn rsosiatif un tuk, 2

hukum.jajarm gcnjang, 2, 4hukurn komutatif, 2, 5hukum segitiga, 4

221

Penyeim bang (equilibrium), 6

Penyilang (cross-cut), 1 15

Percepatan coriolis, 53Percepatan relatif, 53

Percepatan sentripetal, 43, 5 1, 53Percepatan, 37, 40, 41, 50, S7

coriolis, 53

dalam koordinat silinder, 145. 203dalam koordinagkoordinat bola" 16l, Zlldalam koordinat-koordinat polar, 5 7

dari sebuah partikel, 43, 50. -s3, 85,2O2,2Urelatif terhadap pengamat 1'ang diam dan bergerak, 53sentripetal,43,5l,53

Periode, dari planet-planet, I 03

Perkalan dalam, 171, 183

Perkalian luar, 171

Permuka?rn, luas drri, 105, 106. 163Permukaar.perm'rkaan koordinat. 1 3 8Permukaan-permukaan, 3 8

benisidua, 84

bersisi-satu, I00dapat diorientasikan, 100digambar normal kearah luar. 84

koordinat,138panjarg busur, 5 7

sudut antara, 64P.'namaan diferensial, 54, 105Persamaan Euler, 196Persamaan gelombang, 73Persamaan Jacob, 80, 149Persamaan karakteristik, 209Persamaan Larange, 196, ZUPenamaan Ma;iwell, 73, 82

dalam bentuk tensor, 2O4

Persamaan panas, 128, 129,463dalam koordinai bola, 162dalam koordinat eliptik silinder, 157

Pcrsamaan parameter, dari sebuah kurva,40,41dari garis, I 2

dari permukaan, 49, 50Persamaan Schrocdinger, 163Potensial skalar, 73, 82, E4,93

vektor, 82Prinsip Hamilton, 204Proyeksi, dari sebuah vektor, 19, 21

permukaan, 96, 97R

Rark, dari scbuah lcnsor, 169Rclativitas, teori dari, 206I{csultrn dari vcktor-vcktor. l.-1. 5. 6, 10

Rotasi, barvah invarians, (lihat inr.arians)murni, 60sunrbu-sumbu, 59, 76, 7 7

Ruarg Riornaln, 173, 174

Ruang. bcrdimcnsi N, 168Ruang, I:ukiid.172

Ricnr:mn..173Ruangrumg cukJid, 1?2

bcrdimcnsi N. I73Rumus Irrcne t- Scrrcl, 39, 45

bergc-

Page 226: Analisis Vektor

222 INDEKS

S Tensormnknol,I70Secara grafis, penjumlahan vektor, -1 Tensor relatit l'16,201,202,211

penggambaran, I Tensorresiprokal, lT3Segitig:a, Iuas dari, 25, 26 Tensor Riemann-Christoffel, 2M,211Selisih dari rrratriks-matriks, 172 Tensorsekutu, 173, 190, 191, 209

tensor, 171 Tensor, absolut, 177vektor, 2 anti-simetrik, 170, 171

Simbol Christoffel, l74,192-195,21O campumn, 169,170hukum transformasi dad, 174, 193, 194 fundamental, 1?3

Simbol dan tensor permutas\ l7 5, 176 kartesis, 209

Simbol Kronecker,77,207 kelengkungan, 206Sinar-sinar cahaya,65 kerapatan, 177,202Sinus, hukum dari, untuk segitigabidang,25 kontravarian, (lihat komponerrkomponen kontravari-

untuk segitigabola" 30,31 an)

Sirkulasi, 83, 133 konyugat 173

Sistem koordinat rotasi, 51, 53 kovarian, 0ihat komponen-komponen kovarian) ,r'Sistem dekstral, 3 medan, 170Sistem diam dan bergerak,5Z-53 metrik, 172Sistem koordinat atuan tangan kanan, 2,3 orde dari, 169

lokal, 39 rank dari, 169Sistem koordinat kurvalinear ortogonal,49, 138, 191 reiatii 176, 2O1,202,211

klusus, 140-144 resiprokal, lT3Sis&m koordinat tegak lurus, 3 sekutu, 173, 190, 191, 209Sistem yang diam dal bergerak, pengamat di, 51-53 simetrik, 170Sistem-sistem inenial, 53 Tensor, operasi dasar dengan, 171, 180-:"95

D;Skalar, 1,4, 170 Tensor-tensordampuran, i69, 170f';ngsi kedudukal, 3 Tensor-tensor kartesis, 209 l/lfungsi titik skalar, 3 Teorema divetgensi Gauss, Qiiat te.reJna divergensi) IYIUfhasil-ka1itripel,(I/rarhasfl-kalitripel) Teoremadivergensi, I08,1f.U, tt:, ll7-129 Ahasil-kati, 183,(lihat hasil-kali titik) arti fisika dari, 118, itq' fimedan, 3, 7, 8 l,entuk tegai<-lurus dad, 1 lS. 122potensial, 73,82,84,93 bentuk tersor dt"t,204'variabel, 36 bukti dari, I 19, :20

Stasioner tunak, 3 dinyatakan dengan kalik:rta, 117Sudut antara, 64 teorema Green sebagai hai khusus dari, I 08, 1 1 2, 1 13

antaraduavektor,20, l'74,191 TeoremaGauss, 126,127sudut ruang, 126, 127 Teorema Green dalam bidang; 1 08, 1 10- 1 1 7

Sudutrum& 126, l2'1 sebagaihalkhususdari teorcmastokes, 108, 112Sudut, antara dua permukaan, 64 sebagai hal khusus dari teorcma divergensi, 1 08, i I 2,

antara duavektor,21, l'14,191 113 :kecepatan sudut,27,43,52 unurkdaerah terhubung:lipat-ganda, 115-117momentum, 51, 52,57 untuk daerah terhubungsederhana. 110-ll2ruang,126,121 Teorema Hamilton-Cayley, 209

Sumber, 13,67, 122 Teorema itientitas Green pertama, 109, 123Sungap, 13, 6'1, 122 identitas Green kedua atau teorcma simetrik, 109, 123

teorcma dalarn nranB oihat teorcma divergensi)T Teoremaintegal, lO9, L22, L23,126, 123,132Tak bergantung (bebas), dari asa1, (lihatjuga teorema Stokes dan teorema divergensi)

pada lintasan yang menghubungkan, 84, 90, 91, 113 Teorema Pytdgoras, 10116,131,130 TeoremaStokes, l08,112,129-133

Tensor absolut, 177 bentuk tensor dai,zllTensor fundamefital, lT3 bukti dari, 129 -131Tensor kelengkungan kovarian, 206 teorema Green sebagai hal khusus, I 12Tensor kontravarian rank satu, 159, 169 Teori elktromagnetik, 55, 73, 205

rank dua dan lebih besar, 170 Teori relativitas khusus, 212Tensor konyugat, I 73 Terhubung lipat ganda, dierah. 1 1 2. 1 14-l 1 6

Tensor kovarian, rank satu, 159 Tidak bergantung, dari titik asat, 9Tensor matriks konyugat (conyugate matric tensor)" 173, Tidak bergantung, pada pcmilihan titik asal, 9188' 189 Titik asal atau titik pangkal dari sebuah vektor, ITensormetrik, t7Z,173,187_Lg9 litikpangkalvektor, I

Page 227: Analisis Vektor